1.2.1-正弦型函数的周期教案(高教版拓展模块)

1.2.1 正弦型函数的周期

一、教学目标

1．使学生理解函数周期性的概念。

2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．

3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

二、教学重、难点

1. 教学重点：(1)周期函数的定义；

(2)正弦、余弦函数、正切函数的周期性；

2. 教学难点：周期函数与最小正周期的意义。

三、教学设想：

（一）情境导入：

T：今天是星期一，7天之后星期几？

S：星期一

T：14天之后呢？

S：还是星期一

T：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天。你能找到类似的实例吗？

S：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转。。。

T：这些现象有什么共同特点呢？

S：都给我们重复、循环的感觉

T：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。

[设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲]

我们已经学习了正弦函数和余弦函数，在物理、电工和工程技术中，经常会遇到形如()sin y A x ωϕ=+的函数，这类函数叫做正弦型函数，它与正弦函数有着密切的联系。正弦函数的周期是2π，那么()sin y A x ωϕ=+的周期又是多少呢？

（二）探讨过程：

1、我们先看函数周期性的定义．

定义 对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．

需要注意的几点：

①T 是非零常数。

②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。

③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。 理解定义时，要抓住每一个x 都满足),()(x f T x f =+成立才行；

④周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么2T 也是)(x f y =的周期.

⑤对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.

2、函数()sin y A x ωϕ=+的周期

()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>

()()()sin sin 2f x A x A x ωϕωϕπ=+=++

22sin A x f x ππωϕωω⎡⎤⎛

⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭

⎣⎦ 由周期函数的定义可知，()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>的周期是：2T πω=

一般我们指的周期是最小正周期，()()sin (0)f x A x ωϕω=+<的周期又是多少呢？很显然，是2π

ω的绝对值。

由此我们得到()sin y A x ωϕ=+的周期是：2T πω=

。 请大家记住正弦型函数的周期只与ω有关。

（三）例题讲解

例1、求下列函数的最小正周期T.

（1）)421sin(2)(π+

=x x f （2）()2sin 23f x x π⎛⎫=+

⎪⎝⎭ 解：（1）4T π=

（2）2T π

=

点评：找准函数()sin y A x ωϕ=+中的ω，即x 的系数。

例2、求函数sin cos 2cos sin 2y x x x x =+的周期

解：sin cos 2cos sin 2sin3y x x x x x =+=

故函数的周期为：23

T π= 点评：不是()sin y A x ωϕ=+型的必须运用和与差的正余弦公式化为()sin y A x ωϕ=+。

（四）练习：

教材P9面练习1.2.1

（五）小结：

正余弦函数的周期，首先要了解周期函数的定义和正余弦函数的周期公式的推导过程，

熟记正余弦函数的周期公式。在解题过程中找准函数()sin y A x ωϕ=+中的ω，即x 的系数；学会灵活运用和与差的正余弦公式将函数化为()sin y A x ωϕ=+。

（六）作业：

教材P16面习题1.2

求2题中函数的周期。