1.2.1-正弦型函数的周期教案(高教版拓展模块)
正弦型函数的周期
2
f
x
2
由周期函数的定义可知，
T 2 是f x A sin x ( 0)的周期
动脑思考 探索新知
一般我们指的周期都是最小正周期
因此我们得到y A sin x 的周期是：T 2 。
注意：正弦函数的周期只与 有关
f x T f x 成立，那么，函数 y f x 叫周期函数，常数 T 叫这个函数的一个周期
情境引入
情境引入
在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流 叫做交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电 流的大小和方向随时间而变化，满足：
i I m sin(t 0 ) (Im 0, 0, ≤ 0 ≤ )
巩固知识 典型例题
例1、求下列函数的最小正周期T.
（1）f (x ) 2sin(1 x )
24
（2）f
x
2 sin
2x
3
解：（1）= 1 ，T
2
2
1
4
2
（2）=2，T 2
2
点评：找准函数中的，即x 的系数。
巩固知识 典型例题
例2、求函数y sin x cos 2x cos x sin 2x的周期。
(2) y 3sin(x π)； 3
(3) y sin(1 x π)； 23
(4) y cos 2x sin 2x．
（1） 2π ； 3
（2） 2π； （3） 4π； （4） π ．
理论升华 整体建构
高一年级数学 正弦函数的周期性教学设计
二、周期函数
如果在周期函数f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做 f (x)的最小正周期.
正弦函数是周期函数，2k (k Z且k
最小正周期是2 .
0) 都是它的周期，
如果不特殊说明，周期函数的周期一般都是指它的最小正周期.
三、函数f (x) Asin x 的最小正周期是什么？
, x R（其中 A, , 为常数,且 A 0, 0）
几何画板探究
函数 f (x) Asin x , x R（其中 A, , 为常数,且 A 0, 0的）
最小正周期与x的系数 有关.
三、函数 f (x) Asin x 的最小正周期是什么？
, x R（其中 A, , 为常数,且 A 0, 0）
令z x ，函数转化为 y Asin z, z R，
二、周期函数
对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域 内的每一个值时，都有
f(x T) f(x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
正弦函数中，存在常数2k (k Z ), 对任意x R,都有 sin（x 2k ） sin x，(k Z)
正弦函数是周期函数，常数 2k (k Z, k 0) 都是正弦函数的周期. 其中k Z，且k 0, 2 , 4 , 6 , 以及 2 , 4 , 6 , 都是正弦函数的周期.
显然Asin z Asin z 2
Asin x
Asin x
2 Asin
x2
故f (x) f (x 2 )
函数 f (x) Asin x 最小周期是 T 2
, x R（其中 A, , 为常数,且 A 0, 的0）
《正弦函数、余弦函数的性质-周期性》教学设计
《正弦函数、余弦函数的性质－周期性》教学设计巩义二中黄殿海教学目标：一、知识与技能：1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性。
2．会求一些简单三角函数的周期并会利用周期性解决问题。
二、过程与方法：从生活实际的周期性现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图象的联系, 运用数形结合的方法研究正弦函数的周期性后,概括抽象出周期函数的定义，通过类比研究余弦函数的周期性。
三、情感、态度与价值观：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。
教学重点： 1.周期函数的定义。
2.正弦余弦函数的周期性。
教学难点：1.周期函数概念的理解。
2.运用定义求函数的周期。
教学过程：一、复习回顾，引入新知：1.如何画出正余弦函数在[0,2]上的图象？2.如何画出正余弦函数在R上的图象？3.如何画出余弦函数图象，并思考正弦、余弦函数的图象联系？(关键：形状相同，位置不同)二、讲授新课：1. 创设问题，情景引入：（1）观察正、余弦曲线，想一想与之前学习的函数相比最显著的特点是什么？学生根据常识会回答：周期性（2）生活中有哪些周而复始现象？你能说出一些周期性现象吗？【设计意图】激发学习兴趣，让学生感受数学来源于生活又高于生活。
如：（演示动画）1 昼夜更替、四季轮回、日出日落、宇宙星空运行。
2 今天周四，14天前周几？98天后周几？3 有一首古诗：离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生。
(勾起高一学生对小学一年级学习情景的回忆和感慨，进而陶冶学生情操，激发学习积极性）……进一步设问：生活中的周期性现象看来大家非常熟悉，那么数学上的周期性现象我们怎么用数学语言来表述呢？这个问题可不简单，你能吗？2．正弦函数的周期性：下面以正弦曲线为例设计三个动画将从三个角度，让学生直观上感知周期函数本质的特点，从而更准确地归纳出周期函数的定义。
正弦函数、余弦函数的周期性教学设计
《正弦函数、余弦函数的周期性》教学设计1．教学任务分析（1）从实际生活的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与正弦函数x y sin =，R x ∈的图象比较，抽象概括出周期函数的定义．让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程．（2）运用周期函数的定义，结合诱导公式（一）研究正弦函数x y sin =，R x ∈的周期性，通过类比的方法，让学生自己动手研究余弦函数x y cos =，R x ∈的周期性，体会知识形成的过程．（3） 通过例题的教学，学生的练习、讨论、归纳出函数)sin(φω+=x A y 与)cos(φω+=x A y (其中)0,0≠≠ωA 的周期公式ωπ2=T ，并用此公式解决正弦型、余弦型函数的周期，让学生形成系统的认识．（4）通过本节课的学习，使学生能够初步对周期函数的定义形成认知，完善函数性质，并能够利用周期函数的定义解决简单的函数周期问题．2．教学重点与难点：重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 难点：对周期函数的理解及运用定义求函数的周期.3．教学基本流程4．教学情景设计问 题设计意图师生活动5．几点说明1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难，为了突破这个难点，借助了多媒体动画演示来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，对周期T 是自变量的增加值理解有偏差，为了突破这个难点，设计了二道判断题让学生思考，引导学生逐步形成正确的认知结构。
3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１的前2问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由个别学生口答，教师板书完成第3问，再由师生共同点评．4.预计学生在归纳周期公式时有一定的困难，所以采用了小组讨论的方式归纳周期公式。
《正弦余弦函数的周期性》教案
《正弦、余弦函数的周期性》教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：创设问题复习回顾构建周期情境引入引入新知函数定义正弦函数巩固周期余弦函数的周期函数定义的周期七、教学过程：预计课堂课堂小结反馈知识应用时间教学程序（分）教师活动学生活动备注1分钟创设问题问:生活中有哪些周而复始情境引入现象？问:数学中有哪些周期现象? 2分钟复习回顾引导学生回顾：1．诱导公式（一）2．正弦线3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示）.学生举例从生活中的周期现象引入，激发学生的学习兴趣.学生回顾诱导公式（一）引导学生回学生观察动画演示顾旧知为本课做准备.通过动画演示让学生直观感知周而复始的变化规律.10分钟构建周期函数定义问:正弦函数y=sinx图象有答：由动画演示观察可通过对正弦函数y=sin x图什么特征？得：正弦函数图象具有象观察、分析，周而复始的变化规律结合诱导公问:图象呈周期性变化怎样答：即sin(2π+x)=sinx,式，构建出周期函数的定用数学表达式表示?由诱导公式也可得：义，主要是立sin(2π+x)=sinx,足于从学生的(让学生再次观察动画演示)抽象概括：最近思维区入正弦函数图象的周而复始的变化实际上就是函数值的周而复始的变化.设f(x)=sinx,则对于任意手，着力于知x∈R,都有f(x+2π)=f(x)．识建构，培养周期函数定义:学生观察、分一般地，对于函析和抽象概括数f（x），如果存在能力,并进一步一个非零的常数T，渗透数形结合预计时间教学程序（分）sin(2π+x)=sinx这个结论可使得定义域内的每一思想方法．由图象观察分析得到，也可个x值，都满足由诱导公式得到.f(x+T)=f(x)，那么函问:对于sin(2π+x)=sinx,数f（x）就叫做周期若记f(x)=sinx,则对于任意函数，非零常数T叫x∈R,都有f()=f()做这个函数的周期.给出周期函数及周期的定义.教师活动学生活动备注函数定义 1.因为πππ,（分）教师活动2分钟正弦函数的周期和最小正周期的定问:正弦函数的周期为多少?问:在正弦函数的周期中,最小正数是多少?答:让学生理解最2π、4π、6π、……小正周期的定2kπ(k∈Z且k≠0)都是义．它的周期．培养学生的义.给出最小正周期的定义．答:2π数形结合能力9分钟巩固周期判断题：答:1.错举反例:为了帮助sin(+)=sin424πππ学生正确理解sin(+)≠sin323周期函数概所以π是y=sin x的周期. 2.错（结合正弦函数周念，防止学生2期分析）以偏概全，让2.周期函数的周期唯一．3.对（结合定义分析）学生学会怎样3.常数函数f(x)=5是周期函学生谈体会：学习概念；培数. 1.周期的定义是对定养学生透过现（分四人一组进行讨论,再义域中的每一个x值来象看本质的能由学生发表看法.）说的.力，使学生养引导学生做完判断题后谈 2.周期函数的周期不唯成细致、全面一谈体会．一.地考虑问题的3.周期函数不一定存在思维品质.让最小正周期.学生在讨论交说明:今后不加特殊说流中不断完善明，涉及的周期都是最自己的认知结小正周期.构，充分感受成功与失败的情感体验.2分钟探究余弦问题：学生回答:通过对定函数的周期余弦函数y=cos x是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使cos(T+x)=cosx成立？若是，请找出它的周期，若不是，请说明理由.余弦函数y=cos x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期．最小正周期为2π义的理解、余弦函数图象以及类比正弦函数，可以得到余弦函数是周期函数，这样使学生加深对预计时间教学程序定义的理解，培养学生类比思想和数形结合能力．学生活动备注2. f ( x ) = sin 2 x ， x ∈ R ；9 分钟知识应用例 1．求下列函数的最小正 两名学生板演，其余学 周期 T. 生在下面独立完成， 1. f ( x ) = 3sin x ， x ∈ R ； 完成后由学生点评. 学生可能的方法：1.周期函数定义3. f ( x ) = 2sin( 1 x + π ) ， 2.函数图象观察得到周24期x ∈ R ；第 1 题师生共同完成第 2、3 题学生独立完成 预设：利用课件中的图象引 导学生发现最小正周期观察学生 对周期函数定 义的掌握情 况．培养学生 的数形结合能 力．课外作业： 求下列函 数的周期：(1)y = 3sin x4， x ∈ R ；(2)πy = sin( x + )10， x ∈ R ；(3)4 分钟课堂反馈 练习：1．等式sin(300 + 1200 ) = sin 300是否成立 ?如果这个等式成立,能否说120 0是正弦函数y = sin x 的一个周期？2.求下列函数的周期:(1)y = cos 4 x , x ∈ R1(2) y = cos x, x ∈ R2答：1. 成立 不能π 2.(1)2(2) 4 π通 过课堂 反 馈能准确、及 时地了解学生 对周期函数定 义和函数周期 求法的掌握情 况 , 做到及时 反馈、评价,及 时查漏补缺 , 达到堂堂清.πy = cos(2 x + )3, x ∈ R (4)1 πy = 3 sin( x - )2 4， x ∈ R课外思考： 1. 求 函 数f ( x ) = A s in(ω x + ϕ )和f ( x ) = A cos(ω x + ϕ )1 分钟 课堂小结1.回顾周期函数的定义．2.函数 y=sinx 和函数 y=cosx 周期为多少？.3.函数周期有多少种求法?， x ∈ R附：板书设计1.周期函数定义: 引导学生 一般地，对于函数 对所学知识进 f （x ），如果存在一个 行小结 , 有利 非零的常数 T ，使得定 于学生对已有 义域内的每一个 x 值， 的知识结构进 都满足 f(x+T)=f(x)， 行编码处理 , 那么函数 f （x ）就叫做 加强记忆. 周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.2. 函数 y=sinx 和函数 y=cosx 周期均为 2π． 3．周期的求法：①定义法 ②图象法（ 其 中A,ω,ϕ 为常数，且A ≠ 0,ω > 0）的周期．2.求下列函 数的周期： （ 1 ）y =| sin x |， x ∈ R ； （ 2 ）y =| cos 2 x |课题：正弦、余弦函数的周期性设计意图1． 周期函数定义 例 1 板演及学生演示区为了使学生全面 系统地了解本节内容2．正弦函数y=sinx的周期为2π余弦函数y=cosx的周期为2π.的知识结构,达到突出重点,简洁明了的目的.附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化”的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明广东省东莞中学松山湖学校彭科《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从 “知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y =sin x 图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数 y =sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数 y=cosx 的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标： 让学生体会数学来源于 生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程创设问题 情境引入复习回顾 引入新知 构建周期 函数定义正弦函数 的周期 巩固周期 函数定义 余弦函数 的周期课堂 小结 三、学习基础及作用课堂 反馈知识应用本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难.我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sinx图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。
《正弦函数、余弦函数的性质-周期性》教学设计
《正弦函数、余弦函数的性质－周期性》教学设计教学目标：一、知识与技能：1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.二、过程与方法：从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图象的比较,概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合的方法研究正弦函数的周期性，通过类比研究余弦函数的周期性．三、情感、态度与价值观：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．教学重点： 1.周期函数的定义。
2.正弦余弦函数的周期性。
教学难点：1.周期函数定义。
2.运用定义求函数的周期。
教学过程：一、复习回顾，引入新知：1.如何画出正余弦函数在[0,2 ]上的图象？2.如何画出正余弦函数在R上的图象？3.如何画出余弦函数图象，并思考正弦、余弦函数的图象联系？(关键：形状相同，位置不同)二、讲授新课：1. 创设问题，情景引入：（1）、观察正、余弦曲线，想一想与之前学习的函数相比最显著的特点是什么？学生根据常识会回答：周期性（2）、生活中有哪些周而复始现象？你能说出几个？【设计意图】：激发学习兴趣，让学生感受数学离生活很近。
如：（演示动画）1 昼夜更替、四季轮回、日出日落、宇宙星空运行。
2 今天周四，14天前周几？98天后周几？3 有一首古诗：离离原上草，一岁一枯荣，夜火烧不尽，春风吹又生。
(勾起高一学生对小学一年级学习情景的回忆和感慨，进而陶冶学生情操，激发学习积极性）……2、演示三个动画让学生从三角度观察进而归纳总结周期函数的定义。
这三个动画分别是：（1）演示[0，2π]上的图象不断重复e an dAl l t h i n g s i n t h e i r b e i n ga r e go od f o rs o（2）演示R 上任意长度为2π的区间上的图象重复（3）演示任意一点加减2π后的函数值重复e i rb ei n ga re go od f o rs 3、通过这三个动画使学生由直观到抽象，由感性到理性地思考：① 正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这一点可以从正弦线的变化规律中看th i ng si nt he i r b ei n ga r e go 结论：形如（或）的函数的最小正周期sin(),y A x x R ωϕ=+∈cos(),y A x x R ωϕ=+∈th i ng si rb ei n ga r e go od f o rs 三、练习：1、求下列函数的周期：R x x y ∈=,43sin)1(Rx x y ∈=,4cos )2(t i me an dAl l th i ng si nt he i r b ei n ga r e go od 3、理解正余弦函数的周期性及会求形如：（或的周期。
高教版中职数学(拓展模块)1.2《正弦型函数》ppt课件1
探
究
简谐交流电的三要素．
位移， A叫做振幅；T 2 叫做简谐振动的变化周期，f 1 叫
探 索
T
做简谐振动的变化频率，t
叫做相位；
0
0
叫做初相位．
新
知
例5 已知交流电的电流强度i （单位：A）随时间t（单位：s）
巩 固
的函数关系为i 40sin(100πt π)，写出电流的峰值、周期、频率和 3
体
的函数关系．其中Im 是电流强度的最大值，叫做简谐交流电的峰值； T 2 叫做简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变
建
化所需的时间（单位为：s）；单位时间内，交流电完成周期性变化
构
的次数叫频率，用f 表示，f
位， 0 叫做初相位．
1 T
单位为Hz（赫兹）；t
0
叫做相
自 我 反 思
动 交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电流的大小
脑
思 和方向随时间而变化，满足
考
i Im sin(t 0 ) (Im 0, 0, ≤ 0 ≤ )
探 索 新
的函数关系．其中Im 是电流强度的最大值，叫做简谐交流电的峰值；
T 2 叫做简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变
6
化
频率为 ，
练
2
习
初相位为 .
6
理
简述正弦型函数在电学中的应用．
论
升
在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流叫做
华
交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电流的大小 和方向随时间而变化，满足
高中高一数学教案：三角函数的周期性
高中高一数学教案：三角函数的周期性教学目标：1. 理解三角函数的周期性概念；2. 掌握正弦函数和余弦函数的周期；3. 掌握正切函数的周期。
教学重点：1. 正弦函数和余弦函数的周期；2. 正切函数的周期。
教学准备：1. 幻灯片或黑板；2. 教材、课本。
教学过程：Step 1：引入三角函数的周期性（5分钟）1. 引导学生绘制一个完整的正弦函数图像，并观察图像的特点。
2. 提示学生正弦函数图像是否具有重复的模式。
3. 引导学生思考正弦函数的周期性概念。
Step 2：正弦函数和余弦函数的周期（15分钟）1. 将幻灯片或黑板上的正弦函数图像展示给学生。
2. 引导学生观察并分析正弦函数的周期。
3. 解释正弦函数的周期为2π。
4. 将同样的步骤应用于余弦函数，解释余弦函数的周期也为2π。
Step 3：正切函数的周期（10分钟）1. 将幻灯片或黑板上的正切函数图像展示给学生。
2. 引导学生观察并分析正切函数的周期。
3. 解释正切函数的周期为π。
Step 4：总结（5分钟）1. 对三角函数的周期性进行总结，重点强调正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
2. 鼓励学生自己思考和总结其他三角函数的周期。
Step 5：练习与讨论（15分钟）1. 给学生几个练习题，让他们通过计算来确定其他三角函数的周期。
2. 引导学生通过讨论来解决不确定问题，营造积极的课堂氛围。
3. 对学生的答题过程进行指导和纠正，确保他们对三角函数的周期具有清晰的认识。
Step 6：作业布置（5分钟）1. 布置相关的练习题作为课后作业，巩固学生对三角函数周期的理解和应用。
教学反思：本节课主要讲解了三角函数的周期性，强调了正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π，并通过练习和讨论巩固了学生的学习成果。
教案设计了多种教学方法，如引导学生观察和分析，讨论和指导等，以激发学生的学习兴趣和积极性，提高教学效果。
数学(拓展模块)第1章
数值之间的关系.
1.1 和角公式
学习提示
式（1-1）、（1-2）的特点可归纳为：任意 角、同名称、符号反.
数学
（扩展模块）
第1章 三角公式及应用
1.1 和角公式
1.2 正弦型函数
1.3
正弦定理与余弦定理
1.1 和角公式
1.1.1 两角和与差的余弦公式
我们知道：
cos 60°= 1 2
,cos 30°=
3 2 ，cos
60°+cos
30°=
1
2
3，
cos(60°+30°)=cos 90°=0，
显然
cos 60°+cos 30°≠cos(60°+30°)，
由此可知，一般情况下，对于任意两个角α 、β，cos(α +β)≠cos
α+cos β.那么，cos(α+β)与α,β的三角函数值到底有什么关系呢？如何
计算cos(α +β)的值呢？下面我们来讨论这个问题.
1.1 和角公式
如图1-1所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α ,β.为简单起见， 我们先假定α ,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与 单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cos α,sin α)，点C的坐标为(cos β,
4
1.1 和角公式
例7是否还有别的解法？
1.1 和角公式
正弦余弦函数的周期性教案
正弦余弦函数的周期性教案正弦余弦函数的周期性教案正弦余弦函数的周期性教案1一、教材分析1、教材的地位和作用：由教材的知识结构、功能特点可知：本节课是学生学习了诱导公式和三角函数图象之后，对三角函数的又一个深入探讨。
是研究三角函数其它性质的基础，又是函数性质的重要补充。
研究三角函数周期的过程中蕴含着数形结合、分析讨论、归纳推理等数学思想方法，在高中数学课程的学习中起到承上启下的作用。
2、教学目标：根据本节课的教学内容和学生的认知规律，我制定以下教学目标：（1）知识目标：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。
（2）能力目标：让学生经历研究三角函数从特殊到一般再到特殊的过程，领会并感悟数形结合、分类讨论、归纳推理的思想方法（3）情感目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，感受数学的魅力。
3、重点难点分析：由于学生对抽象函数图像缺乏感性认识。
为此，在教学过程中让学生自己去感受函数图象的周期性为这一堂课的突破口。
因此确定本节课的重点是重点：正弦、余弦函数的周期性；难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期二、教法分析：依据本节课的特点，我主要运用了启发发现教学法，并充分利用多媒体、网络等现代教学媒体进行辅助教学，增强知识的直观性和趣味性。
通过创设情境，激发学习兴趣，引导学生去观察、思考、讨论，使得学生在动手动脑的过程中发现规律，减轻学生认知的难度。
三、学法分析：学生已掌握了诱导公式、函数图象及五点作图的方法，但对知识的理解和方法的掌握不完善，反映在学生解题思维不严密、过程不完整，能力上具备了观察、类比、分析、归纳的能力，但知识的整合和主动迁移能力较弱。
因此，我指导学生采用自主思考、合作探究的学习方法。
让学生在学习、合作的过程中，体会数学的乐趣。
四、教学过程分析我设计的教学环节分别是情境引入、探索新知、精析例题、巩固提高、小结归纳、布置作业六个环节。
下面我将就每个环节分别从教什么、怎么教、为何这样教三个方面加以说明。
高教版中职数学(拓展模块)1.2《正弦型函数》ppt课件2
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1
时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 1倍(纵坐标
不变) 而得到的。
思考：函数y f (x）与函数y f (k x)的图象有何关系？
练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图 ：
2019/7/31
最新中小学教学课件
29
thank
you!
2019/7/31
最新中小学教学课件
30
巩固知识 典型例题
将例2中的四条曲线，放到同
一坐标系中（如图），可以看到
将正弦曲线y = sinx( x [0，2π])上 所有点的横坐标缩短到原来的 1
2 倍（纵坐标不变），可以得到正
弦型曲线y = sin2x；将正弦型曲 得线正y =弦si型n2曲x向线左y平移sin8π(2个x单 位π)；，将可正
0
1
0
－1
0
以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点(x, y)，用光滑的 曲线顺次联结各点,得到 y sin(2x π)一个周期内的图像．
4
巩固知识 典型例题
（3）y sin(2x π) 4
列表
x
π
π
8
8
2x π 4
π
0
2
y sin(2x π) 4
0
1
3π
5π
7π
8
8
(1) y sin 4x (2) y sin 1 x 3
2019/7/31
巩固知识 典型例题
（3）y sin(2x π) 解 4
（3）函数
高教版中职数学(拓展模块)1.2《正弦型函数》word教案
【课题】 1.2正弦型函数（二）
【教学目标】
知识目标：
会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用．
能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．【教学难点】
已知正弦型函数的图像写出函数的解析式．
【教学设计】
本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度．例7是同频率的正弦量的合成问题．计算量比较大，可以根据学生的情况选用．电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算．教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】。
正弦型函数的周期教案(高教版拓展模块)
1.2.1 正弦型函数的周期一、教学目标1．使学生理解函数周期性的概念。
2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。
二、教学重、难点1. 教学重点：(1)周期函数的定义；(2)正弦、余弦函数、正切函数的周期性；2. 教学难点：周期函数与最小正周期的意义。
三、教学设想：（一）情境导入：T ：今天是星期一，7天之后星期几？S ：星期一T ：14天之后呢？S ：还是星期一T ：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天。
你能找到类似的实例吗？S ：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转。
T ：这些现象有什么共同特点呢？S ：都给我们重复、循环的感觉T ：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。
[设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲]我们已经学习了正弦函数和余弦函数，在物理、电工和工程技术中，经常会遇到形如()sin y A x ωϕ=+的函数，这类函数叫做正弦型函数，它与正弦函数有着密切的联系。
正弦函数的周期是2π，那么()sin y A x ωϕ=+的周期又是多少呢？（二）探讨过程：1、我们先看函数周期性的定义．定义 对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．需要注意的几点：①T 是非零常数。
②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。
③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。
理解定义时，要抓住每一个x 都满足),()(x f T x f =+成立才行；④周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么2T 也是)(x f y =的周期.⑤对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.2、函数()sin y A x ωϕ=+的周期()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>()()()sin sin 2f x A x A x ωϕωϕπ=+=++22sin A x f x ππωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由周期函数的定义可知，()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>的周期是：2T πω=一般我们指的周期是最小正周期，()()sin (0)f x A x ωϕω=+<的周期又是多少呢？很显然，是2πω的绝对值。
中职数学拓展模块全册教案精编【配套高教版教材】
高教版中职数学拓展模块全册教案目录1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） (1)1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二） (8)1.2正弦型函数（一） (15)1.2正弦型函数（二） (20)1.2正弦型函数（三） (29)1.3正弦定理与余弦定理（一） (35)1.3正弦定理与余弦定理（二） (41)1.3正弦定理与余弦定理（三） (46)2．1椭圆（一） (51)2．1椭圆（二） (58)2．2双曲线（一） (66)2．2双曲线（二） (73)2．3抛物线（一） (81)2．3抛物线（二） (89)3．1排列与组合（一） (95)3．1排列与组合（二） (102)3．1排列与组合（三） (108)3．2二项式定理 (113)3．3离散型随机变量及其分布（一） (119)3．3离散型随机变量及其分布（二） (126)3．4二项分布（一） (132)3．4二项分布（二） (137)3．5正态分布 (144)1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα-=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045︒=︒-︒求解，还可以利用154530︒=︒-︒求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识，这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式．*创设情境兴趣导入问题我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然()cos6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知()cos cos cosαβαβ-≠-．介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果5 *动脑思考探索新知在单位圆（如图11-）中，设向量OA、OB与x轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A（cos,sinαα），点B（cos,sinββ）．因此向量(cos,sin)OAαα=，向量(cos,sin)OBββ=，且1OA=,1OB=．于是cos()cos()OA OB OA OBαβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sinOA OBαβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sinαβαβαβ-=⋅+⋅．（1）总结归纳思考启发引导学生发现解决【教师教学后记】1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正切公式，了解二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是二倍角公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】考虑到学生继续学习的需求，介绍两角和与差的正切公式。
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1.2.1 正弦型函数的周期
一、教学目标
1．使学生理解函数周期性的概念。
2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．
3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。
二、教学重、难点
1. 教学重点：(1)周期函数的定义；
(2)正弦、余弦函数、正切函数的周期性；
2. 教学难点：周期函数与最小正周期的意义。
三、教学设想：
（一）情境导入：
T：今天是星期一，7天之后星期几？
S：星期一
T：14天之后呢？
S：还是星期一
T：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天。
你能找到类似的实例吗？
S：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转。
T：这些现象有什么共同特点呢？
S：都给我们重复、循环的感觉
T：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。
[设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲]
我们已经学习了正弦函数和余弦函数，在物理、电工和工程技术中，经常会遇到形如()sin y A x ωϕ=+的函数，这类函数叫做正弦型函数，它与正弦函数有着密切的联系。
正弦函数的周期是2π，那么()sin y A x ωϕ=+的周期又是多少呢？
（二）探讨过程：
1、我们先看函数周期性的定义．
定义 对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．
需要注意的几点：
①T 是非零常数。
②任意x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。
③任取x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。
理解定义时，要抓住每一个x 都满足),()(x f T x f =+成立才行；
④周期也可推进，若T 是)(x f y =的周期，那么2T 也是)(x f y =的周期.
⑤对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
2、函数()sin y A x ωϕ=+的周期
()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>
()()()sin sin 2f x A x A x ωϕωϕπ=+=++
22sin A x f x ππωϕωω⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦ 由周期函数的定义可知，()()sin f x A x ωϕ=+(0)ω>的周期是：2T πω=
一般我们指的周期是最小正周期，()()sin (0)f x A x ωϕω=+<的周期又是多少呢？很显然，是2π
ω的绝对值。
由此我们得到()sin y A x ωϕ=+的周期是：2T πω=。
请大家记住正弦型函数的周期只与ω有关。
（三）例题讲解
例1、求下列函数的最小正周期T.
（1）)421sin(2)(π+
=x x f （2）()2sin 23f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ 解：（1）4T π=
（2）2T π
=
点评：找准函数()sin y A x ωϕ=+中的ω，即x 的系数。
例2、求函数sin cos 2cos sin 2y x x x x =+的周期
解：sin cos 2cos sin 2sin3y x x x x x =+=
故函数的周期为：23
T π= 点评：不是()sin y A x ωϕ=+型的必须运用和与差的正余弦公式化为()sin y A x ωϕ=+。
（四）练习：
教材P9面练习1.2.1
（五）小结：
正余弦函数的周期，首先要了解周期函数的定义和正余弦函数的周期公式的推导过程，
熟记正余弦函数的周期公式。
在解题过程中找准函数()sin y A x ωϕ=+中的ω，即x 的系数；学会灵活运用和与差的正余弦公式将函数化为()sin y A x ωϕ=+。
（六）作业：
教材P16面习题1.2
求2题中函数的周期。