抛物线的简单几何性质公开课ppt课件

2、 y2 ? 4x 上的点M纵坐标为2，求点M与抛物线的 焦点的距离 3、抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，过焦点且 与y轴垂直的弦长为 8，求抛物线方程 4、抛物线 x2 ? 2 y的焦点为F, 斜率为2的直线过抛物线
的焦点,且与抛物线相交于 A,B两点,求线段AB的长.
.
.
.
例 2.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 ? 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解法1 抛物线的焦点 F(1 , 0),
Βιβλιοθήκη Baidu
直 线 l的 方 程 为 ： yx? ? 1
? ? ?
y y
?
2
x ?
?1 4x
?
x2 ? 6x ? 1 ? 0
?
?? ?
x1
6
l的 方 程 为 ：
?y ?
?x1+y
?x 2?
x2=
? 1 ? x2 4x
6, x1x2=
y ??x
? 6x?
1
1
1
?
A1
0
5 4 3 2
A
|AB |= |AF|+ |BF |
F 1
= |AA1 |+ |BB1 |
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B B -1
1
-2
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
?
3 2
x?1
开口方向
开口向右 开口向左
x2 ? 4 y F (0,1) y ? ?1
2x2 ? 7y ? 0
F
(0,?
7 8
)
y?
7 8
.
开口向上 开口向下
一、抛物线的几何性质
y
P(x,y)
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而 2 px ? y2 ? 0
o F ( p ,0) x
2
p?0
? x? 0
o F ( p ,0) x
2
下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。
.
（二）归纳：抛物线的几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
y2 = 2px p
x （p>0）
F
( 2
,0)
x? ? p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
xy（2 p=>-02）pxF
(?
p ,0) 2
?
3
?
22
或
?? ?
x2
?
3
?
22
? y1 ? 2 ? 22
? y2 ? 2 ? 22
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
.
例 2.斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 ? 4 x 的焦
点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解法 2:抛物线的焦点 F(1 , 0), y
.
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
例题 例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２，? 2 2 ）， 求抛物线的标准方程。
.
课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程
1、顶点在原点，焦点 F为（0，5）;
x2 ? 20y
2、顶点在原点，关于 x轴对称,并且经过点 M(-5, 4).
.
四、归纳总结
（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性 质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其 几何意义。 （二）了解了抛物线的焦半径，焦点弦和通径 （三）我们运用了 数形结合，待定系数法 来求解抛 物线方程，在解题过程中，准确体现了 函数与方程 以及 分类讨论 的数学思想。
.
作业：
1、抛物线 y2 ? 8x 上的点M横坐标为4，求点M与抛物线 的焦点的距离
（p>0）
2
x2 = 2py
p
（p>0）
F (0, ) 2
x2 = -2py （p>0）
F (0,? p )
.
2
准线
x? ? p 2
x? p 2
y? ? p 2
y? p 2
二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
焦点
准线
y2 ? 6x y2 ? ?4x
F
(
3 2
,0)
F (?1,0)
x
?
y2 ? ? 16 x 5
3、若抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，
过点P(2,2) ；
x y2 ? 2 x或 2 ? 2 y
.
2. 若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，求 抛物线的标准方程。
解析：由x＝0，y＝－2，由y＝0，x＝4即(0，－2) 或(4,0)为抛物线的焦点 ∴抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y. 答案：y2＝16x或x2＝－8y
由y2 = 2px （p>0）当
y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐
标原点（0，0）。
o F ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。
.
4、离心率
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比，叫做抛物线 的离心率，由抛物线的 定义，可知e=1。
y
P(x,y)
.
一、复习回顾：
前面我们已学过椭圆与双曲线 的几何性质,它们都是通过标准方 程的形式研究的,现在请大家想想 抛物线的标准方程、图形、焦点 及准线是什么?
.
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
焦点
y2 = 2px
p
（p>0）
F ( ,0) 2
y2 = -2px F (? p ,0)
所以抛物线的范围为 x ? 0
.
2、对称性
抛物线y2 =2px（p>0）关于
x轴对称.
y2 ? ? 2 px x轴 x2 ? 2 py y轴 x2 ? ? 2 py y轴
注：焦点在对称轴上
.
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
３、顶点
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。
y
P(x,y)
.
（一）焦半径：连接抛物线任意一点 y
A ( x1 , y1 )
与焦点的线段叫做抛物线的 焦半径。
焦半径公式 ：
AF
?
x1 ?
p 2
（二）焦点弦：通过焦点的直线，与 抛物线相交于两点，连接两点的线段
F
O
x
B ( x2 , y2 )
叫做抛物线的焦点弦。
焦点弦公式： AB ? x1 ? x2 ? p
特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦 AB，称为 抛物线的通径。 |AB|=2p
x?
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x2 = 2py
p
x （p>0） F (0, 2 )
y?? p 2
y≥0 x∈R
l
y轴
y
OF
l x2 = -2pyF (0,? p )
x（p>0）
2
y? p 2
y ≤0 x∈R
.
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内
2.抛物线只有 1条对称轴,没有 对称中心 ; 3.抛物线只有 1个顶点、 1个焦点、 1条准线 ; 4.抛物线的离心率是确定的 ,为1;