数学建模优秀论文 输油管的布置

输油管的布置
摘要
本文讨论了输油管线最佳布置方案及最少费用问题，即最优化问题。

通过分类讨论、图形求解，以及构建非线性规划的目标函数和约束条件，编写程序，然后借助lingo软件，分别给出了三个问题的解决方案。

建立了三个模型，求出了三种情况下的最优管线铺设方案和最少费用。

针对问题一的情形，我们采用分类讨论的方法，细分了三种情况：没有共用管线、有共用管线且共用管线费用与非共用管线费用相同、有共用管线但共用管线费用与非共用管线费用不同。

没有共用管线时，我们根据初等几何中“求直线上一点，到直线一侧的两定点距离之和最短”的知识，利用图形求解，得到了使得铺设管线费用最少的车站建设点。

对于后两种情况，参考了文献[1]中对“费尔马点”问题的推广，即“求一点，使得它到定直线和直线一侧两定点距离之和最短”问题的讨论，结合具体问题进行改进，得到了使得费用最少的管线铺设方案，并求出了最少费用，具体结果见正文。

问题二的情形更复杂，城区管线增加了附加费用。

我们按车站建设在城区或郊区，分成两种情况讨论，然后再比较这两种情况下各自的最优方案，优中选优。

这样，使得解决问题的思路变得清晰。

首先对于三家公司的估计数据，我们根据其资质等级设立权重，得到较合理的一个数据。

然后，以铺设管线的总费用作为目标函数，结合几何知识进行推理分析，得到约束条件，转化为非线性规划问题。

最后，编写程序，利用lingo软件得到关键点的坐标，进而得到最优的管线铺设方案和最少花费。

我们发现，最优方案中，车站应建在郊区，而在城、郊界限处应有一个管线的转折点，具体结果见正文。

问题三与问题二相比，只是A厂和B厂所用管线的费用不同了，所以我们类似问题二的分析，稍作修改就得到了最优方案。

我们发现，此时车站也应建在郊区，而在城、郊界限处也应有一个管线的转折点，具体结果见正文。

本文给出了大量图形，条分缕析，虽直观易懂，但推理严谨，深入浅出，结果准确。

模型可操作性强，推广应用起来也很方便。

关键词：分类讨论图形求解“费尔马点”问题推广非线性规划权重
一、问题重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。

由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。

在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。

两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。

图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7。

2万元。

铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。

估算结果如下表所示：
工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21 24 20
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应
的油管。

这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米6.5万元，输送B厂
成品油的每千米0.6万元，共用管线费用为每千米2.7万元，拆迁等附加费用同上。

请给
出管线最佳布置方案及相应的费用。

二、模型假设
1、炼油厂、车站、油管交汇处的面积可以忽略，都可以看做点
2、铁路是直的，宽度可以忽略，并且可以看做线段
3、输油管线可以在任意位置以任意形状铺设，车站可以在铁路上任一点建设
4、题目中所给数据正确无误
三、符号说明
图1
A 、
B 炼油厂的位置
a 炼油厂A 到铁路的垂直距离（千米）
b 炼油厂B 到铁路的垂直距离（千米）
s 管线总长度（千米）
c 如 图1中线段CR 的长度（千米）
l 如图1中线段CD 的长度（千米）
1k A 厂管线费用 （万元/千米） 2k B 厂管线费用（万元/千米） 3k 共用管线费用（万元/千米） w 管线建设的总费用（万元）
4k 补偿及拆迁费用（万元/千米）
m 当k k k ==21时3k 与k 的比值（21<≤m ）
四、模型建立与求解
4.1 问题一的模型建立及求解
由题意，此时A 厂与B 厂管线费用相同，即k k k ==21。

我们采用分类讨论的方法，对问题一分为三种情形分别讨论：
（1）没有共用管线；
（2）有共用管线，但共用管线费用与非共用管线费用相同；
R
（3）有共用管线，但共用管线费用与非共用管线费用不同。

下面我们分别讨论不同情形下问题的解。

（一）没有共用管线的情形
图2
此时管线费用s k w ⨯=，为使费用最低，只要使PB PA s +=最小即可。

我们利用初等几何对称的知识，图形求解。

作A 点关于直线的对称点A '，连结B A '交铁路线于P ，此时P 点即为车站所在位置，这时管线沿着AP ，PB 铺设费用最低，
22min )(b a l s ++= ，22min )(b a l k w ++=，其中bl
PD a b
=
+。

（二）有共用管线但共用管线费用与非共用管线费用相同
图3
如上图建立直角坐标系，设),(1t x P ，此时123k k k k ===， w k s =⨯， w 与s 成正比，所以此题简化为求一个点到定直线和两个定点的距离之和最短，即
s PA PB PC =++最小，这是“费尔马点”问题的推广（见参考文献[1]）。

易知，欲使PA PB PC ++ 最小，点 P 一定在四边形 OABD 内部(包括边界)。

0(A A '
若t a >，即点P 在直线 y a =的上方（如图3）时， 由于
PA PB PC AB PC AB AO ++≥+>+，
所以，点 P 不可能在 A 点的上方，故0t a ≤≤。

为了便于问题的解决，我们先假设t 固定了，即 P 点只可以在直线y t =上左右平移。

图4
设点A 关于直线y t =的对称点为'A ，则()'0,2A t a -。

（如图4） 由平面几何知识可知:
''s PA PB PC PA PB PC A B PC t =++=++≥+= ()0t a ≤≤。

记
()f t t = ()0t a ≤≤，
则
'()1f t =。

由'()0f t
=得出
2(2)0a b t +-=，
即
26a b t +=
-或26
a b t a +=+>（舍去）。

又由02a b a +≤
≤
))b a l a b -≤≤+
2,0(t A '
t
(A
（Ⅰ）当0)l b a <<-时，易判断'()0f t <，即()f t 在区间[]0,a 上单调递减，所以
min ()()f a a f t ==。

此时，易求出点P 的坐标为()0,a ，即点P 与点A 重合时，s 最小。

(Ⅱ) 当))b a l a b -≤≤+时，易判断 ()f t 在区间0,2a b ⎡+⎢⎣⎦
上单调减， 在
区间,26a b a ⎡⎤
+-⎢⎥⎣⎦
上单调增，所以
min ()2a b f t f ⎛+=-= ⎝⎭
当26a b t +=-时，'A 的坐标为0,b ⎛ ⎝⎭
，从而B A '的方程为
33
y x b =
+-， （1）
而当26
a b t +=
-时，y t =变为
2a b y +=
， （2） 联立方程（1）、（2）得方程组，解得B A '与y t =的交点P 的坐标为
P 2a b +-⎝⎭。

(Ⅲ) 当)l a b >+时，易判断'()0f t >，即()f t 在区间[]0,a 上单调递增，所以
min ()(0)t f f ==，
此时'A 的坐标为()0,a -，点P 坐标为,0al P a b ⎛⎫
⎪+⎝⎭。

综上所述：。