压缩迭代序列的极限及其应用[1]

设函数 ｆ：Ｘ→Ｘ，如果 ｆ $（ｆ ｘ）＝ ｆ（（ｆ ｘ））有惟一的不动点，则 ｆ 也有惟一的不动点 ． 此结果的证明是熟知
的．
定理 ３ 设 ｆ∈Ｃ［ａ，ｂ］，且 ｆ（ａ）≥ａ，ｆ（ｂ）≤ｂ 或者 ｆ（ａ）≤ａ，ｆ（ｂ）≥ｂ，则存在 !∈［ａ，ｂ］，使得 ｆ（!）＝! ．
定理 ４ 设 ｆ∈Ｃ［ａ，ｂ］，Ｉ＝［ａ，ｂ］，且 ｆ：Ｉ→Ｉ 则存在 !∈Ｉ，使得 ｆ（!）＝! ．
ａ１，ｎ－ １＋ａ２，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １＝Ａ，得
ａ２，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １＝Ａ－
ａ１，ｎ－ １，ａ１，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １＝Ａ－
ａ２，ｎ－ １，ａ１，ｎ－ １＋ａ２，ｎ－ １＝Ａ－
ａ３，ｎ－ １，于是成立
ａｉ，ｎ＝
１ ２
（Ａ－
ａｉ，ｎ－ １），ｎ＝
２，３，…，由此而来得ｌｉｍ ａｉ，ｎ ｎ→∞
ｘｎ
＝ｃ，且
ｃ
满足
（ｆ ｃ）＝ｃ．
定理 ８ 设 ｆ∈Ｃ（Ｒ），如果 ｆ（ ｆ（ｘ））有不动点，则 ｆ（ｘ）至少有一个不动点 ．
３ 压缩函数映射的不动点原理
设函数 ｆ：Ｘ→Ｒ，满足条件：存在正常数 ０＜ｋ＜１，使得│ｆ（ｘ）－ ｆ（ｙ）│≤ｋ│ｘ－ ｙ│，对任何 ｘ，ｙ∈Ｘ 成立，则称 ｆ
是 Ｘ 上的压缩函数 ．
摘 要：引述压缩迭代序列的极限理论，利用它可系统地解决一大批问题，形成一套具体的理论方法，并指出它的
后继发展和应用 ．
关键词：压缩迭代序列； 压缩函数映射； 不动点原理
中图分类号：Ｏ １７１
文献标识码：Ａ
压缩映射不动点原理、Ｂｒｏｕｗｅｒ 不动点原理是泛函分析中的著名定理 ． 它们在微分方程、积分方程解的 存在性理论，隐函数存在定理，计算方法等方面都具有重要的应用［１－４］． 然而对这些原理的认识和了解，一般 是学过泛函分析或数值分析之后才能知道 ． 人们发现，这些原理的原型其实在数学分析中就有所体现，在 数学分析中应该大力介绍这些对后续发展有用的理论知识，以利于掌握后来的理论及其应用，并加深对柯西 收敛原理的理解和使用 ． 本文在引述压缩迭代序列的极限理论的基础上，给出了它所能解决的系列问题， 形成了一套具体的理论方法，使用起来非常方便，由此说明它的威力和使用价值，并指出这个理论方法的后 继发展，体现了这个理论体系的来龙去脉 ．
Ａ＝ａ＋ １ Ａ
，所以
Ａ＝
ａ＋’ａ２＋４
２
；
’ 故 ｌｉｍ ｘｎ＝ ａ＋ ｎ→∞
ａ２＋４ ２
．
例２
设
ｘ０ ＞０，ｘｎ＋１＝１＋
１ ｘｎ
（ｎ＝０，１，２，…），求证：ｌｉｍ
ｎ→∞
ｘｎ
存在，并求其值
．
解 显然有
ｘｎ＞１，ｘｎ＋１＝１＋
１ ｘｎ
≤２， ｘｎ＋２＝１＋
１ ｘｎ＋１
≥１＋ １ ２
＝ ２ （ｎ＝１，２，…）； ３
１）ｎ－
１
１ ２ｎ－
１
ａｉ，１
１－（－ １ ）ｎ－１
＝
１ ２
Ａ
２ １－（－ １
）
＋（－
１）ｎ－
１
１ ２ｎ－
１
ａｉ，１→
１ ３
Ａ，（ｎ→∞），于是ｌｉｍ
ｎ→∞
ａｉ，ｎ
＝
１ ３
Ａ．
２
２ 函数映射的不动点
设 Ｘ 是某一数集 ． 给定函数 ｆ：Ｘ→Ｘ，如果存在 ｘ０∈Ｘ，使得 ｆ（ｘ０）＝ｘ０ ，称 ｘ０为 ｆ 的一个不动点，称 ｆ 有不 动点 ．
由闭区间上连续函数的介值定理，即可给出定理 ３、定理 ４ 的结果，这就是后来著名的 Ｂｒｏｕｗｅｒ 不动点
原理的原型 ．
定理 ５ 设 ｆ∈Ｃ［ａ，ｂ］，Ｉ＝［ａ，ｂ］，且 ｆ：Ｉ→Ｉ，若 ｆ 是单调递增函数，记 ａ０＝ａ，ａｎ＝（ｆ ａｎ－１），ｂ０＝ｂ，ｂｎ＝ （ｆ ｂｎ－１），ｎ＝
１，２，…，则｛ａｎ｝是单调递增数列，｛ｂｎ｝是单调递减数列，ｌｉｍ ａｎ ＝ａ＊，ｌｉｍ ｂｎ ＝ａ＊，且对满足 ｆ（!）＝ !，!∈Ｉ＝［ａ，ｂ］的所
定理 ７ 设 Ｉ＝［ａ，ｂ］，ｆ ：Ｉ→Ｉ，且对任何 ｘ，ｙ∈Ｉ 成立│ｆ（ｘ）－ ｆ（ｙ）│≤│ｘ－ ｙ│，则（１）ｆ∈Ｃ［ａ，ｂ］；（２）Ｆ（ｘ）＝
１［ｘ＋（ｆ ｘ）］是单调递增函数；（３）任取 ２
ｘ０∈［ａ，ｂ］，令
ｘｎ＝
１ ２
［ｘｎ－
１＋（ｆ ｘｎ－
１）］，ｎ＝１，２，…，则有ｌｉｍ ｎ→∞
ｎ→∞
ｎ→∞
有 ! 成立 ａ＊≤!≤ａ＊．
定理 ６ 设 ｆ∈Ｃ［ａ，ｂ］，Ｉ＝［ａ，ｂ］，且 ｆ：Ｉ→Ｉ，若 ｆ 是单调递增函数，对任意 ｘ０∈［ａ，ｂ］，记 ｘｎ＝ ｆ（ｘｎ － １），ｎ＝１，
２，…，则｛ｘｎ｝是单调数列，ｌｉｍ ｘｎ ＝ｃ，且 ｃ 满足 ｆ（ｃ）＝ｃ ． ｎ→∞
定理 ５、定理 ６ 的理论后来发展为单调算子理论的上、下解方法 ．
．
例６
设
ａ
＞
１ ４
，ｘ１＞０，ｘｎ＋１ ＝’ａ＋ｘｎ
，ｎ＝１，２，…，证明ｌｉｍ ｘｎ存在 ． ｎ→∞
例 ７ 设 ａ＞１，ｘ０ ＝ １，ｘｎ＝’ａｘｎ－１ ，ｎ＝１，２，…，证明ｌｉｍ ｘｎ存在 ． ｎ→∞
例８
设
ｘ０
＝
０，ｘ１
＝ａ
，ｘｎ＋１
＝
１ ２
（ｘｎ＋ｘｎ－
１），证明ｌｉｍ ｎ→∞
ｘｎ
存在
．
解 由条件，得
件：存在正常数 ０＜ ｋ＜１，使得对任何 ｘ，ｙ∈Ｉ 成立│ｆ（ｘ）－ ｆ（ｙ）│≤ｋ│ｘ－ ｙ│．
任取 ｘ０∈Ｉ，构造迭代序列如下：ｘｎ＋１＝ ｆ（ｘｎ）∈Ｉ，ｎ＝０，１，２，…；则有ｌｉｍ ｘｎ ＝ｘ＊ 存在，满足 ｘ＊＝ ｆ（ｘ＊），且成立先验 ｎ→∞
误差估计：│ｘｎ －
ｘ＊│≤
ｋｎ １－ ｋ
│ｘｎ＋１ －
ｘｎ│＝│（１＋
１ ｘｎ
）－（１＋
１ ｘｎ－ １
）│≤（ ２ ３
）２│ｘｎ－
ｘｎ－ １│（ｎ＝４，５，…）．
由定理
１，于是得｛ｘｎ｝是收敛的，设ｌｉｍ ｘｎ＝Ａ，显然 ｎ→∞
Ａ≥１；在
ｘｎ＋１
＝１＋
１ ｘｎ
两边令
ｎ→∞ 取极限，得到
Ａ＝１＋
１ Ａ
，
所以 Ａ＝ １＋’ ５ ２
；故ｌｉｍ
ｎ→∞
ｘｎ
＝
１＋
’ ２
５
．
利用上面的方法，类似的可解决下列问题 ．
例３
设
ｘ１≥０，ｘｎ＋１
＝１＋
ｘｎ １＋ｘｎ
，ｎ ＝１，２，…，证明ｌｉｍ ｘｎ存在 ． ｎ→∞
例４
设
ｘ０≥０，ｘｎ＋１
＝
１ １＋ｘｎ
，ｎ＝ ０，１，２，…，则ｌｉｍ ｘｎ＝ ｎ→∞
’５ ２
－
１
．
例５
设
ｘ０≥０，ｘｎ＋１
＝１＋
１ １＋ｘｎ
，ｎ＝ ０，１，２，…，则ｌｉｍ ｘｎ＝’ ２ ｎ→∞
２００８ 年 ６ 月
邢家省等：压缩迭代序列的极限及其应用
－ ６３９ －
Leabharlann Baidu
例 １３
设函数 ｆ（ｘ）在（－
∞，＋∞）内可导，│ｆ（′ｘ）│≤Ｍ，０＜!＜
１ Ｍ
，则
!
（ｆ ｘ）是
Ｒ
上的压缩函数 ．
定理 ９［５－６］ 设 Ｉ 为［ａ，ｂ］或［ａ，＋∞），或（－ ∞，ａ］，或（－ ∞，＋∞），ｆ 是定义在 Ｉ 上的函数，且 ｆ ：Ｉ→Ｉ，满足条
例 １１ 设 ｆ（ｘ）＝ ｃ（１＋ｘ），ｘ∈Ｉ＝［０，＋∞），其中常数 ｃ＞１ ． ｃ＋ｘ
因为
０＜
ｆ（′ｘ）＝（ｃ（ｃ＋ｃ－ｘ）１）２ ≤
ｃ（ｃ－ ｃ２
１）＝１－
１ ｃ
＜１，所以 ｆ 是 Ｉ 上的压缩函数 ．
例 １２ 设 ｆ（ｘ）＝ｍ＋" ｓｉｎ ｘ，ｘ∈Ｒ，其中常数 ｍ，│"│＜１，则 ｆ 是 Ｒ 上的压缩函数 ．
＝
１ ２
（ａ１，ｎ－ １＋ａ３，ｎ－ １），ａ３，ｎ＝
１ ２
（ａ１，ｎ－
１＋ａ２，ｎ－
１），ｎ＝
２，３，…，求ｌｉｍ ａｉ，ｎ，ｉ＝１，２，３． ｎ→∞
解 设 ａ１，１＋ａ２，１＋ａ３，１＝Ａ，因为 ａ１，ｎ＋ａ２，ｎ＋ａ３，ｎ＝ａ１，ｎ－１＋ａ２，ｎ－１＋ａ３，ｎ－１，ｎ＝２，３，…，所以 ａ１，ｎ＋ａ２，ｎ＋ａ３，ｎ＝Ａ，ｎ＝１，２，３，…；由
ｘｎ＋１－
ｘｎ
＝
１ ２
（ｘｎ＋
ｘｎ－
１）－
ｘｎ ＝（－
１ ２
）（ｘｎ－
ｘｎ－ １），
反复使用此结果，得
ｘｎ＋１－
ｘｎ ＝（－
１ ２
）ｎ（ｘ１ － ｘ０）＝（－
１ ２
）ｎ ａ，（ｎ＝１，２，…），
１－（－ １ ）ｎ＋１
于是
ｘｎ＋１＝（ｘｎ＋１－ ｘｎ）＋（ｘｎ－ ｘｎ－１）＋ … ＋（ｘ１－
ｘ０ ）＋ｘ０＝（－
│ｘ１ －
ｘ０│，ｎ＝１，２，…；后验误差估计：│ｘｎ －
ｘ＊│≤
ｋ １－ ｋ
│ｘｎ－
ｘｎ－１│，ｎ＝１，２，… ．
第 ２６ 卷 第 ６ 期 ２００８ 年 ６ 月
文章编号：１００４－ ３９１８（２００８）０６－ ０６３６－ ０５
河南科学 ＨＥＮＡＮ ＳＣＩＥＮＣＥ
Ｖｏｌ．２６ Ｎｏ．６ Ｊｕｎ． ２００８
压缩迭代序列的极限及其应用
邢家省 １， 饶明贵 ２， 崔玉英 １
（１． 北京航空航天大学 数学系，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 １０００８３； ２． 河南工程学院， 郑州 ４５１１９１）
１ 压缩迭代序列的极限
定理 １ 设数列｛ｘｎ｝满足条件：存在正常数 ０＜ｋ＜１，使得
│ｘｎ＋１ －
ｘｎ│≤ｋ│ｘｎ－
ｘｎ－１│，ｎ＝１，２，…，则ｌｉｍ ｘｎ＝ｘ＊ ｎ→∞
存在，且有先验误差估计│ｘｎ －
ｘ＊│≤ ｋｎ １－ ｋ
│ｘ１ －
ｘ０│，ｎ＝１，２，…；后
验误差估计│ｘｎ －
ｘ＊│≤
ｋ １－
│ｘｎ＋ｐ －
ｘ│ｎ ≤│ｘｎ＋ｐ－
ｘｎ＋ｐ－１│＋ … ＋│ｘｎ＋１－
ｘ│ｎ ≤ｋ
１－ １－
ｋｐ ｋ
│ｘｎ－
ｘｎ－ １│，
在上式中令
ｐ→∞ 取极限，就得到│ｘｎ －
ｘ│＊ ≤
ｋ １－ ｋ
│ｘｎ－
ｘｎ－１│，ｎ ＝１，２，… ．
定理 ２［５］ 设数列｛ｘｎ｝满足条件：存在正常数 ０＜ｋ＜１，使得
收稿日期：２００７－ １２－ １６ 基金项目：北京市级精品课程建设项目基金资助；河南省软科学基金资助项目（０５１３０１１１１０） 作者简介：邢家省（１９６４－），男，河南泌阳人，副教授，博士，从事偏微分方程研究和教学工作 ．
１ ２
）ｎ ａ＋（－
１ ２
）ｎ－１ ａ＋…＋（－
１ ２
）ａ＋ａ＝ａ
２ →２ １－（－ １ ） ３
ａ，（ｎ→∞），
２
故ｌｉｍ
ｎ→∞
ｘｎ
＝
２ ３
ａ．
－ ６３８ －
河南科学
第 ２６ 卷 第 ６ 期
例 ９ 设 ｘ０ ＝ １，ｘ１ ＝ ａ ＞ ０，ｘｎ＋１ ＝!ｘｎｘｎ－１ ，ｎ ＝１，２，…，求ｌｉｍ ｘｎ． ｎ→∞
ｋ│ｘｎ－
ｘｎ－│１ ，ｎ ＝１，２，… ．
证明 由条件
│ｘｎ＋１ － ｘｎ│≤ｋ│ｘｎ－ ｘｎ－│１ ，ｎ ＝１，２，…，
得出成立
从而
│ｘｎ＋１－ ｘ│ｎ ≤ｋ│ｘｎ－ ｘｎ－│１ ≤…≤ｋｎ│ｘ１ － ｘ０│，ｎ ＝０，１，２，…，
│ｘｎ＋ｐ －
ｘｎ│≤ｋｎ
１ １－
ｋ│ｘ１
－
ｘ０│（$ｎ∈Ｎ＊，$ｐ∈Ｎ＊）．
由０＜ｋ ＜１，易得｛ｘｎ｝是基本列，由柯西收敛准则，得｛ｘｎ｝是收敛的，设则ｌｉｍ ｘｎ＝ｘ＊；在│ｘｎ＋ｐ－ ｎ→∞
ｘ│ｎ ≤ｋｎ
１－ ｋｐ １－ ｋ
│ｘ１－
ｘ０│
中，令 ｐ→∞取极限，就得到
│ｘｎ －
ｘ│＊ ≤ ｋｎ １－ ｋ
│ｘ１ －
ｘ０│，ｎ ＝１，２，…，
因为 所以
│ｘｎ＋ｉ － ｘｎ＋ｉ－１│≤ｋｉ│ｘｎ － ｘｎ－１│，ｉ＝１，２，…，
解
令
ｙｎ
＝ｌｎ
ｘｎ，ｎ＝
０，１，２，…，则有
ｙ０
＝
０，ｙ１
＝ｌｎ
ａ，ｙｎ＋１
＝
１ ２
（ｙｎ＋
ｙｎ－
１），于是ｌｉｍ ｎ→∞
ｙｎ
＝
２ ３
２
ｌｎａ，故ｌｉｍ ｘｎ ＝ ａ ３ ｎ→∞
．
例 １０
设数列｛ａ１，ｎ｝，｛ａ２，ｎ｝，｛ａ３，ｎ｝，满足：ａ１，ｎ
＝
１ ２
（ａ２，ｎ－
１＋ａ３，ｎ－ １），ａ２，ｎ
存在，设ｌｉｍ
ｎ→∞
ａｉ，ｎ ＝
ａｉ，则有
ａｉ＝
１ ２
（Ａ－
ａｉ），从而
ａｉ＝
１ ３
Ａ，ｉ＝１，２，３，故ｌｉｍ
ｎ→∞
ａｉ，ｎ
＝
１ ３
Ａ．
或者
ａｉ，ｎ＝
１ ２
Ａ－
１ ２
ａｉ，ｎ－
１＝
１ ２
Ａ－
１ ２２
Ａ＋
１ ２２
ａｉ，ｎ－
２＝…＝
１ ２
Ａ－
１ ２２
Ａ＋
１ ２３
Ａ＋…＋（－
１）ｎ－
２
１ ２ｎ－
１
Ａ＋（－
解 显然有
ｘｎ≥ａ；ｘｎ＋１＝ａ＋
１ ｘｎ
≤ａ＋
１ （ｎ＝１，２，…，）； ａ
│ｘｎ＋１ －
ｘｎ│＝│（ａ＋
１ ｘｎ
）－（ａ＋
１ ｘｎ－ １
）│≤ １ ａ２
│ｘｎ－
ｘｎ－ １│（ｎ＝２，３，…），
于是得｛ｘｎ｝是收敛的，设ｌｉｍ ｘｎ＝Ａ，显然 ｎ→∞
Ａ≥ａ；在
ｘｎ＋１＝ａ＋
１ ｘｎ
两边，令
ｎ→∞取极限得到
２００８ 年 ６ 月
邢家省等：压缩迭代序列的极限及其应用
－ ６３７ －
│ｘｎ＋２ － ｘｎ＋１│≤ｋ│ｘｎ － ｘｎ－│１ ，ｎ ＝１，２，…，
则ｌｉｍ ｘｎ＝ ｘ＊ 存在 ． ｎ→∞
证明 由条件，得 │ｘ２ｉ＋１ － ｘ２ｉ│≤ｋｉ│ｘ１ － ｘ０│，ｉ＝１，２，…；│ｘ２ｉ＋２ － ｘ２ｉ＋│１ ≤ｋ│ｉ ｘ２ － ｘ１│，ｉ＝１，２，…，
［ｎ ］
从而│ｘｎ＋１ － ｘｎ│≤ｋ ２ ａ，ｎ ＝２，３，…，ａ＝ｍａｘ｛│ｘ２ － ｘ１│，│ｘ１ － ｘ０│｝；于是可知｛ｘｎ｝是基本列，根据柯西收敛准则，得
｛ｘｎ｝是收敛的 ．
例１
设
ａ＞１，ｘ０
＞０，ｘｎ＋１＝ａ
＋
１ ｘｎ
，（ｎ＝０，１，２，…），求证：ｌｉｍ ｘｎ存在，并求其值 ． ｎ→∞