《电工基础与测量》第3章-正弦交流电路-正弦量及其相量的表示法(精)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章
正弦交流电路
广东水利电力职业技术学院 电力工程系-供用电技术专业
1
第 3章
正弦交流电路
正弦交流电路是指电路中所含电源（激励）与产生 的各部分电压和电流（稳态响应）都是按同一频率正弦 规律变化的线性电路。正弦交流电动势是由交流发电机 所产生的。由于正弦交流电容易产生、传输经济、便于 使用，因此在工农业生产以及日常生活中得到了最为广 泛的应用，是目前供电和用电的主要形式。 正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。本章 所讨论的一些基本概念、基本理论和基本分析方法是后 面学习交流电机、电器及电子技术的理论基础。
f
1 T
（3.1）
在我国和大多数国家都采用50HZ作为电力工业标准频率，习惯上 称为工频,有些国家（如美国、日本等）采用60HZ。 正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表 示。ω是表示正弦量每秒钟变化的弧度数。因此有
T 2
4
即
2 2 f T
（3. 2）
其单位是rad/s（弧度每秒）。
在一个正弦交流电路中，电压和电流的频率是相同的，但初相位不一 定相同，例如图3.1.3中所示电压u和电流i的波形可用下式表示
u U m sin(t 1 ) i I m sin(t 2 )
（3. 7）
8
它们的初相位分别为ψ 1和ψ 2。
u, i u
0
i i
t
2
3.1 正弦量及其相量的表示法
3.1.1 正弦量的三要素
正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如图3.1（a） 所示。在电路图上标明它们的参考方向后，正半周时其值为正；负半周时， 其值为负。如图3.1（b）和（c）所示。图中的虚线箭标表示电流的实际 方向；⊕、Θ 表示电压的实际极性。
u
7
3. 初相位
正弦量是随时间而变化的，所取的计时起点不同，正弦量的初始值 （ 时的值）就不同，到达幅值或某一特定值所需的时间也就不同。 在正弦量的表示式
i I m sin(t )
， 中，角度（ω t+ψ ）称为正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量变 化的进程。当相位角随时间连续变化时，正弦量的瞬时值随之作连续变化。 t=0时的相位角ψ 称为初相位角或初相位，所取计时起点不同时，正 ， 弦量的初相位不同，其初始值也就不同。初相位的取值范围为 ，
I Ie j i I i
称为正弦量的相量，可用来准确地表示一个正弦量（在线性正弦稳态电 路中，响应是和激励同频率的正弦量。因此只需求得有效值和初相位两 个要素，即可确定一个正弦量）。 对于正弦量
13
u 2U sin t u
i 2I sin t i
对应的相量分别为
+j
U
Ue j u U U u
u
0
i
I
ห้องสมุดไป่ตู้
+1
Ie j i I I i
图3.6 相量图
相量在复平面上的图形称为相量图，见图3. 6。相量与正弦量有一一对应的 关系，但二者决不能划等号。正弦量是时间的正弦函数，相量只是表示这个时 间函数的两个特征的复数。 t 1，辐角以角速度w 旋转的复数，称为旋转因子，相量 I 乘以 e jt e j是一个模为 在复平面上以角速度w 绕原点逆时针方向旋转。由复数知识可知： 表示相量 I j为90°旋转因子，一个相量乘上+j，表示该相量在复平面上逆时针方向旋转 90°，乘上-j则顺时针方向旋转90°。
（3.15）
对比正弦量的表达式，有
j t i Im 2 Ie j i e jt i 2 I sin t i Im 2 Ie
可见，通过数学的方法，可以把一个实数范围的正弦时间函数与一个 复数范围的复指数函数一一对应起来。正弦电流i可以看作是一个复指数 函数取虚部的结果。 式（3.15）中的 是一个复常数，它的模表示了正弦量的有效值，辐 角 表示了正弦量的初相位。将该复数表示为
0 T
t
图3.2 正弦电流波形图
正弦电流、电压和电动势的大小常用有效值来计量。下面从电流的热效 应来定义周期电流的有效值。 如果一个周期电流 通过电阻R在一个周期内产生的热量，与一个直流电 流I通过同样大小的电阻，在相等的时间内产生的热量相等，那么这个直流电 流的值就叫做该周期电流的有效值。即由
或
a 2 b2 b arg tg a
r
+j
（3.11）
b
r
Y
a r cos b r sin
jψ
0
（3.12）
a +1
图3.5 复数
根据欧拉公式e
= cosψ + jsinψ ，有复数的指数形式
Y re
复数也常写成极坐标形式
j
（3.13） （3.14）
Y r
_ R +
+
0
i>0 u>0
i<0 u<0
（ a）
（ b）
+
t
图 3.1
正弦电压和正弦电流
正弦电压和电流等物理量，常统称为正弦量。频率、幅值和初相位 就称为正弦量的三要素。
3
+
u, i + _
i
_
i
u
R
（c）
1. 频率与周期
正弦量变化一次所需的时间称为周期T，单位为s（秒）。每秒内 变化的次数称为频率f，单位为HZ（赫兹）。 频率与周期的关系为
（3. 5）
6
1 T 2 U u dt 0 T
当周期电压为正弦量时，有
U
Um 2
（3.6)
【例3.1】 已知正弦电流i = 10 sinω t A，f = 50Hz，试求电流有 效值I和t = 0.1s时的瞬时值。 【解】
I
Im 2
10 2
7.07
i 10sin 2 ft 10sin100 0.1 0
Y a jb
（3.9）
其中a为实部，b为虚部， j 1 为虚数单位。 在复平面上复数Y用从原点出发的有向线段表示，见图3.5。由图可 得复数的三角函数式 （3.10） Y r cos jr sin
11
其中r 为复数的模，复数的模也记为|Y|，θ 为辐角。由图3.5可知
2. 幅值与有效值
图3.1.2所示为正弦电流的波形图， 它的数学表达式为
i
Im
i I m sin t
（3. 3）
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用 小写字母来表示，如i、u、e分别表示电流、 电压及电动势的瞬时值。瞬时值中的最大值 称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母 表示，如Im、Um、及Em分别表示电流、电 压及电动势的幅值。
0
i1 i2
2 1
t
i3
图3.4 正弦量的同相和反相
图3. 3 同频率正弦量的相位差
两个同频率正弦量的相位角之差(即初相位之差)，称为相位差，用φ 表示。在上式中，u和i的相位差为
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
（3.8）
9
当两个同频率正弦量的计时起点（t = 0）改变时，它们的相位和初 相位即跟着改变，但是两者之间的相位差仍保持不变。 由图3.3的正弦波形可见，因为 u 和 i的初相位不同，它们不是同时 到达正的幅值或零值。图中ψ 1 >ψ 2，所以 u 较 i 先到达正的幅值，称在 相位上 u 比 i 超前φ 角，或者说 i 比 u 滞后φ 角。相位差的取值范围为 |φ | ≤ 180°。 在图3.4所示的情况下，i1和i2具有相同的初相位，即相位差φ = 0， 称两者同相；而i1和i3的相位差φ = 180°，称两者反相。 在电工技术中正弦量的应用极为广泛。因为它有如下几个方面的优点， 一是可以利用变压器把正弦电压升高或降低，这种变换电压的方法灵活、 简单、经济；二是同频率的正弦量作加、减、乘、除、求导及积分运算时， 结果仍为同频率的正弦量，这就为电路分析带来极大的方便；三是正弦量 变化平滑，在正常情况下不会引起过电压而破坏电气设备的绝缘，而非正 弦周期量中含有高次谐波，这些高次谐波不利于电气设备的运行；另外， 正弦交流电路的分析方法是求解非正弦交流电路的理论基础。
10
3.1.2
正弦量的相量表示法
一个正弦量可以用三角函数式来表示，如i = Im sin(ω t+ψ )，也可以 用正弦波形来表示，如图3.2所示。但是，如果采用这两种形式来分析正弦 交流电路，前者需要求解关于正弦量的常系数微分（积分）方程；后者则 需要用正弦波形来完成一系列运算，是很不方便的。因此正弦交流电路的 分析常采用相量法。 相量法指的是借助于复数这个数学工具，将时域中描述电路性状的微 分方程，转化为复频域中的复数代数方程，使电路分析计算得以简化。下 面我们来讨论如何用复数表示正弦量。 一个复数Y有多种表示形式，其代数形式为
14
谢
谢！
广东水利电力职业技术学院 电力工程系-供用电技术专业
复数作加减运算时用代数形式进行，而作乘除运算用指数式或极坐 标式更为方便。复数的代数式与指数式之间转换时，需用到式（3.11）、 （3.12）。
12
设正弦电流 i 2I sin t i 。根据欧拉公式，一个复指数函数可写为：
2Ie
j t i
2I cos t i j 2I sin t i
得周期电流 的有效值为
T
0
Ri 2 dt RI 2T
1 T
I
T
0
i 2 dt
（3. 4）
上式也称为电流的均方根值。 当周期电流为正弦量时，如i = Im sinωt，则
Im 1 T 2 2 I I m sin (t )dt 0 T 2
式（3.1.4）可推广到求任意周期量的有效值，如周期电压的有效值
正弦交流电路
广东水利电力职业技术学院 电力工程系-供用电技术专业
1
第 3章
正弦交流电路
正弦交流电路是指电路中所含电源（激励）与产生 的各部分电压和电流（稳态响应）都是按同一频率正弦 规律变化的线性电路。正弦交流电动势是由交流发电机 所产生的。由于正弦交流电容易产生、传输经济、便于 使用，因此在工农业生产以及日常生活中得到了最为广 泛的应用，是目前供电和用电的主要形式。 正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。本章 所讨论的一些基本概念、基本理论和基本分析方法是后 面学习交流电机、电器及电子技术的理论基础。
f
1 T
（3.1）
在我国和大多数国家都采用50HZ作为电力工业标准频率，习惯上 称为工频,有些国家（如美国、日本等）采用60HZ。 正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表 示。ω是表示正弦量每秒钟变化的弧度数。因此有
T 2
4
即
2 2 f T
（3. 2）
其单位是rad/s（弧度每秒）。
在一个正弦交流电路中，电压和电流的频率是相同的，但初相位不一 定相同，例如图3.1.3中所示电压u和电流i的波形可用下式表示
u U m sin(t 1 ) i I m sin(t 2 )
（3. 7）
8
它们的初相位分别为ψ 1和ψ 2。
u, i u
0
i i
t
2
3.1 正弦量及其相量的表示法
3.1.1 正弦量的三要素
正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如图3.1（a） 所示。在电路图上标明它们的参考方向后，正半周时其值为正；负半周时， 其值为负。如图3.1（b）和（c）所示。图中的虚线箭标表示电流的实际 方向；⊕、Θ 表示电压的实际极性。
u
7
3. 初相位
正弦量是随时间而变化的，所取的计时起点不同，正弦量的初始值 （ 时的值）就不同，到达幅值或某一特定值所需的时间也就不同。 在正弦量的表示式
i I m sin(t )
， 中，角度（ω t+ψ ）称为正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量变 化的进程。当相位角随时间连续变化时，正弦量的瞬时值随之作连续变化。 t=0时的相位角ψ 称为初相位角或初相位，所取计时起点不同时，正 ， 弦量的初相位不同，其初始值也就不同。初相位的取值范围为 ，
I Ie j i I i
称为正弦量的相量，可用来准确地表示一个正弦量（在线性正弦稳态电 路中，响应是和激励同频率的正弦量。因此只需求得有效值和初相位两 个要素，即可确定一个正弦量）。 对于正弦量
13
u 2U sin t u
i 2I sin t i
对应的相量分别为
+j
U
Ue j u U U u
u
0
i
I
ห้องสมุดไป่ตู้
+1
Ie j i I I i
图3.6 相量图
相量在复平面上的图形称为相量图，见图3. 6。相量与正弦量有一一对应的 关系，但二者决不能划等号。正弦量是时间的正弦函数，相量只是表示这个时 间函数的两个特征的复数。 t 1，辐角以角速度w 旋转的复数，称为旋转因子，相量 I 乘以 e jt e j是一个模为 在复平面上以角速度w 绕原点逆时针方向旋转。由复数知识可知： 表示相量 I j为90°旋转因子，一个相量乘上+j，表示该相量在复平面上逆时针方向旋转 90°，乘上-j则顺时针方向旋转90°。
（3.15）
对比正弦量的表达式，有
j t i Im 2 Ie j i e jt i 2 I sin t i Im 2 Ie
可见，通过数学的方法，可以把一个实数范围的正弦时间函数与一个 复数范围的复指数函数一一对应起来。正弦电流i可以看作是一个复指数 函数取虚部的结果。 式（3.15）中的 是一个复常数，它的模表示了正弦量的有效值，辐 角 表示了正弦量的初相位。将该复数表示为
0 T
t
图3.2 正弦电流波形图
正弦电流、电压和电动势的大小常用有效值来计量。下面从电流的热效 应来定义周期电流的有效值。 如果一个周期电流 通过电阻R在一个周期内产生的热量，与一个直流电 流I通过同样大小的电阻，在相等的时间内产生的热量相等，那么这个直流电 流的值就叫做该周期电流的有效值。即由
或
a 2 b2 b arg tg a
r
+j
（3.11）
b
r
Y
a r cos b r sin
jψ
0
（3.12）
a +1
图3.5 复数
根据欧拉公式e
= cosψ + jsinψ ，有复数的指数形式
Y re
复数也常写成极坐标形式
j
（3.13） （3.14）
Y r
_ R +
+
0
i>0 u>0
i<0 u<0
（ a）
（ b）
+
t
图 3.1
正弦电压和正弦电流
正弦电压和电流等物理量，常统称为正弦量。频率、幅值和初相位 就称为正弦量的三要素。
3
+
u, i + _
i
_
i
u
R
（c）
1. 频率与周期
正弦量变化一次所需的时间称为周期T，单位为s（秒）。每秒内 变化的次数称为频率f，单位为HZ（赫兹）。 频率与周期的关系为
（3. 5）
6
1 T 2 U u dt 0 T
当周期电压为正弦量时，有
U
Um 2
（3.6)
【例3.1】 已知正弦电流i = 10 sinω t A，f = 50Hz，试求电流有 效值I和t = 0.1s时的瞬时值。 【解】
I
Im 2
10 2
7.07
i 10sin 2 ft 10sin100 0.1 0
Y a jb
（3.9）
其中a为实部，b为虚部， j 1 为虚数单位。 在复平面上复数Y用从原点出发的有向线段表示，见图3.5。由图可 得复数的三角函数式 （3.10） Y r cos jr sin
11
其中r 为复数的模，复数的模也记为|Y|，θ 为辐角。由图3.5可知
2. 幅值与有效值
图3.1.2所示为正弦电流的波形图， 它的数学表达式为
i
Im
i I m sin t
（3. 3）
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用 小写字母来表示，如i、u、e分别表示电流、 电压及电动势的瞬时值。瞬时值中的最大值 称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母 表示，如Im、Um、及Em分别表示电流、电 压及电动势的幅值。
0
i1 i2
2 1
t
i3
图3.4 正弦量的同相和反相
图3. 3 同频率正弦量的相位差
两个同频率正弦量的相位角之差(即初相位之差)，称为相位差，用φ 表示。在上式中，u和i的相位差为
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
（3.8）
9
当两个同频率正弦量的计时起点（t = 0）改变时，它们的相位和初 相位即跟着改变，但是两者之间的相位差仍保持不变。 由图3.3的正弦波形可见，因为 u 和 i的初相位不同，它们不是同时 到达正的幅值或零值。图中ψ 1 >ψ 2，所以 u 较 i 先到达正的幅值，称在 相位上 u 比 i 超前φ 角，或者说 i 比 u 滞后φ 角。相位差的取值范围为 |φ | ≤ 180°。 在图3.4所示的情况下，i1和i2具有相同的初相位，即相位差φ = 0， 称两者同相；而i1和i3的相位差φ = 180°，称两者反相。 在电工技术中正弦量的应用极为广泛。因为它有如下几个方面的优点， 一是可以利用变压器把正弦电压升高或降低，这种变换电压的方法灵活、 简单、经济；二是同频率的正弦量作加、减、乘、除、求导及积分运算时， 结果仍为同频率的正弦量，这就为电路分析带来极大的方便；三是正弦量 变化平滑，在正常情况下不会引起过电压而破坏电气设备的绝缘，而非正 弦周期量中含有高次谐波，这些高次谐波不利于电气设备的运行；另外， 正弦交流电路的分析方法是求解非正弦交流电路的理论基础。
10
3.1.2
正弦量的相量表示法
一个正弦量可以用三角函数式来表示，如i = Im sin(ω t+ψ )，也可以 用正弦波形来表示，如图3.2所示。但是，如果采用这两种形式来分析正弦 交流电路，前者需要求解关于正弦量的常系数微分（积分）方程；后者则 需要用正弦波形来完成一系列运算，是很不方便的。因此正弦交流电路的 分析常采用相量法。 相量法指的是借助于复数这个数学工具，将时域中描述电路性状的微 分方程，转化为复频域中的复数代数方程，使电路分析计算得以简化。下 面我们来讨论如何用复数表示正弦量。 一个复数Y有多种表示形式，其代数形式为
14
谢
谢！
广东水利电力职业技术学院 电力工程系-供用电技术专业
复数作加减运算时用代数形式进行，而作乘除运算用指数式或极坐 标式更为方便。复数的代数式与指数式之间转换时，需用到式（3.11）、 （3.12）。
12
设正弦电流 i 2I sin t i 。根据欧拉公式，一个复指数函数可写为：
2Ie
j t i
2I cos t i j 2I sin t i
得周期电流 的有效值为
T
0
Ri 2 dt RI 2T
1 T
I
T
0
i 2 dt
（3. 4）
上式也称为电流的均方根值。 当周期电流为正弦量时，如i = Im sinωt，则
Im 1 T 2 2 I I m sin (t )dt 0 T 2
式（3.1.4）可推广到求任意周期量的有效值，如周期电压的有效值