定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx
定积分Word 文档
一、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）定理 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()F x 是它在该区间上的一个原函数，则有()()()()()()b b a a f x dx F x F b F a f x dx F x C==-=+⎰⎰例1计算121dx x--⎰ 解：2ln 2ln 1ln |||ln 11212-=-==----⎰x dx x例2设1(0)()(0)x x x f x e x -+≥⎧=⎨<⎩ ，求21()f x dx -⎰ 解：202110()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰ 02102210(1)1()|()|32x x e dx x dx e x x e ----=++=-++=+⎰⎰注意：在定积分的计算中，要注意带绝对值的积分和分段函数的积分，按照积分可加性计算。
二、 定积分的计算（一）、凑微分法例3求210x xe dx -⎰ 解 222211001211001(2)2111()()|(1)222x x x x xe dx x e dx e d x e e -----=--=--=-=--⎰⎰⎰ 可见，这种计算方法对应于不定积分的第一类换元积分法，即凑微分法。
（二）、换元积分法------（换元必换限）例4计算30⎰ 解：t =，则 21x t =- 2dx tdt =当0x =时，1t = 当3x =时 2t =；得232011.2t tdt t -=⎰⎰38= 练习： ⎰+411x dx解：令t x =，则tdt dx t x 2,2==，当2,4;1,1====t x t x ，原式=()2211212121112ln(1)2((2ln 3)(1ln 2))2(1ln 3ln 2)321ln 2tdt dt t t t t ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-+=---=-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰例5 若)(x f 在],[a a -上连续，则为奇函数为偶函数)()(,0,)(2)(0x f x f dx x f dx x f a a a⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-。
定积分的应用总结
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
2013-7-15 杨涛 过控10 7
2
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二、极坐标系情形
d
设由曲线r ( ) 及射线
、 围成一曲边扇
形，求其面积．这里， ( ) 在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
2013-7-15
立体体积 V
杨涛 过控10
b
a
A( x )dx.
11
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例 1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中 心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所 得立体的体积. 解 取坐标系如图 R
底圆方程为
o
2
y
x y R
2 2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形 1 2 A( x ) ( R x 2 ) tan , 截面面积 2 1 R 2 立体体积 V (R x 2 ) tan dx 2 R 3 tan . 2杨涛R 3 2013-7-15 12 过控10
2013-7-15
2
3
0
2
(1 3 cos t 3 cos 2 t cos 3 t )dt 5 2 a 3 .
杨涛 过控10 17
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绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
2a 2a
y
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
B x x2 ( y ) 2a C x x1 ( y ) A o 2 a x
2013-7-15 杨涛 过控10 23
[全]高等数学之定积分的应用方法总结[下载全]
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关于定积分的应用这一部分内容，考研数学大纲要求掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。在定积分的应用中，经常采用所谓元素法。经常用到的关于定积分应用的计算公式如下：
（一）平面图形面积
（二）平面曲线的弧长
（三）旋转体体积
（四）旋转曲面面积
题型一：求平面图形的积
例1.
分析：该心形线所围成图形为心状，根据求曲边扇形面积计算公式可得
解：
题型二：求平面曲线的弧长
例2：
解：
题型三：求旋转体的体积
例3.
解：
总结：对于定积分的应用需要熟练掌握在各种情形下计算公式，然后直接套用公式计算得到结果。
定积分应用总结
一、主要内容
二、典型例题
一、主要内容
微 元 法 的所 特求 点量
解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
1、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
x
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s
2
( )
2 r ( ) r ( )d
(4) 旋转体的侧面积
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
极坐标情形
r ( )
d
r 1 ( )
d
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
o
a
x x dx
b
x
V a A( x )dx
b
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
y
dy
定积分的应用 文档
§4.4 定积分在实际中的应用一、液体的静压力在设计水库的闸门、管道的阀门时，常常需要计算油类或者水等液体对它们的静压为，这类问题也可用定积分来计算。
例12 一圆柱形水管半径为1米，若管中装水一半，求水管阀门之所受的静压力解: 取坐标系如图，此时变量x表示水中各点的深度，它们变化区间是［0，1］，圆的方程为x2+y2＝1。
图5-30由物理知识，对于均匀受压的情况，压强P处处相等，要计算所求的压力，可按公式压力＝压强×面积计算，但现在闸门在水中所受的压力是不均匀的，压强随着水深度x的增加而增加，根据物理知识，有P=ωx(吨／米2)，W=1吨／米3，因此要计算闸门所受的水压力，不能直接用上述公式，但是，如果将闸门分成几个水平的窄条，由于窄条上各处深度x相差很小，压强P=wx可看成不变。
1 选取深度［x,x+Δx］，所受到的压力为ΔF，则ΔF≈wx·2yΔx=wx·2Δx2 dF=wx2dx3 F＝∫102wx dx=2w(- (1-x2) 3／2 )｜10)＝＝(吨)二、功例13设有一直径为20米的半球形水池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少功。
解本题要计算克服重力所作的功，要将水抽出，池中水至少要升高到池的表面，由此可见对不同深度x的单位质点所需作的功不同，而对同一深度x的单位质点所需作的功相同，因此如图建立坐标系，即oy轴取在水平面上，将原点置于球心处，而ox轴向下(此时x表示深度)这样，半径可看作图x2+y2＝100在第一象限中部分绕ox轴旋转而成的旋转体，深度x的变化区间是［0，10］。
图5-31因同一深度的质点升高的高度相同，故计算功时，宜于用平行于水平面的平面截半球成许多小片来计算。
1 选取区间［x,x+Δx］相应的体积ΔV≈πy2Δx=π(100-x2)Δx所以抽出这层水需作的功ΔW≈wπ(100-x2)Δx·x=πwx(100-x2)Δx其中W=1吨／米3是一立方米的水重2 dw=πwx(100-x2)dx3 W＝πwx(100-x2)dx＝πw x(100-x2)dx＝－［(100-x2)2］＝×10４＝2500πW≈7854(吨／米)图5-32假若本题改为把水抽到水池上方10米高的水箱中，需做的功又是多少呢，请读者自己解决一下。
定积分计算方法总结,DOC
定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
4.
5.
6.
7.
8.
二、
1.
2.
3.
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则
>=dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
2.
M，
<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法六、。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
定积分应用的小结
sin8
t(3a
sin
t
cos2
t)d
t
32 a3
105
【例6】 一容器的内侧是由曲线 y x2 绕 y 轴旋转而成的
曲面,其容积为 72 m3 ,其中盛满水, 若将容器中的水从容 器的顶部抽出 64 m3 , 至少需做多少功? （长度单位：m 重力加速度为 g m / s2 , 水的密度 103 kg / m 3 ）
【解1】 dV 2 ( 2x x2 x)(2 x)dx
V 2
1
(
2 x x2 x)(2 x)dx 2 2 .
0
23
【解2】 dV [ (2 x)2 (2 y)2 ]dy
[ (2 (1 1 y2 ))2 (2 y)2 ]dy
V 1 [ (2 (1 1 y2 ))2 (2 y)2 ]dy 2 2 .
g
谢谢
3.引力。
主要内容
11 内容小结 12 典型例题
【例1】设 D 是由曲线 xy 1 0 与直线 y x 0 及 y 2
围成的有界区域，求区域 D 的面积.
【解1】 S
1
(2 x)dx
1
2 (2
1 )dx
2
1
x3 ln 2 2来自解2】S2(
1
y)dy
1y
3 ln 2 2
【例2】设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos 3 ( ),
6
6
求 L 所围平面图形的面积.
【解】
S1 2
6
cos
2
3d
6
6 cos 2 3d 0
1
6 (1 cos 6 )d
20
12
【例3】设平面图形 A 由 x2 y2 2x 与 y x 所确定,求图 形 A 绕 x 2 旋转一周所得旋转体的体积.
积分知识点各种题型归纳方法总结
积分知识点各种题型归纳方法总结一、定积分题型归纳方法1. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。
3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。
4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。
5. 换元积分法：对于特定的被积函数，可以通过合适的换元变量进行换元，使得积分变得更加简单。
二、定积分题型求解步骤1. 确定积分上下限：根据题目给出的条件，确定定积分的上下限。
2. 分析被积函数：仔细分析被积函数的形式和性质，确定可能适用的积分方法。
3. 选择合适的方法：根据被积函数的特点，选择适用的积分方法进行求解。
4. 进行换元或分解：如果需要进行换元或分解，根据题目要求进行相应的代换或分解。
5. 积分求解：根据选择的方法进行积分计算，注意求解过程中的每一步骤，避免计算错误。
6. 确定常数：如果题目中有未知常数，根据给出的条件确定常数的值。
7. 检查结果：对得到的积分结果进行检查，是否符合物理意义或题目要求。
三、不定积分题型归纳方法1. 函数求导法：对于某些函数，可以通过求导反过来求不定积分。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。
3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。
4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。
5. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。
以上是积分知识点各种题型归纳方法的总结，希望能对您的学习和应用有所帮助！。
数学分析-定积分的应用
故
3.
求曲线
图形的公共部分的面积 .
解：
与
所围成
得
所围区域的面积为
设平面图形 A 由
与
所确定 提示：
选 x 为积分变量.
旋转体的体积为
4.
若选 y 为积分变量, 则
则有
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
则曲边梯形面积
二、参数方程情形
例3. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
且曲线不在自相交，
则曲线围成面积为：
所表示的曲线是封闭的，即
如果参数方程
例3. 求椭圆
解:
所围图形的面积 .
利用椭圆的参数方程
得
当 a = b 时得圆面积公式
三、极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
解:
(利用对称性)
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
提示:
方法1 利用对称性
旋转而成的环体体积 V
方法2 用柱壳法
说明: 上式可变形为
上
半圆为
下
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
备用题
解：
1. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其它.
又
故在区域
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)Word版
有关定积分问题的常见题型解析题型一 利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。
（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。
如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。
题型二 利用定积分求平面图形的面积例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。
分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。
为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。
解：由方程组⎩⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x 。
故所求图形面积为：S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x）3323113313=---x 。
评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。
关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。
定积分应用
(3)、 (3)、引力
由物理学知道， 由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为
m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 ， r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的 为引力系数，
连线方向． 连线方向．
练习：P68 A3，A5，B4 作业题：P68 A4，A6，B3
F (x) = k q r2
（ k 是常数） 是常数） ，
当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴 处时， 移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的 功．
o
r
解:
由题意,所求功为 由题意 所求功为
b
+q
• o
⋅• •• • a r
b
+1
• •• ⋅
b
r
kq = kq − 1 = kq 1 − 1 . w = ∫a 2dr r a a b r
4 A1 = ∫ [ x − ( − x )]dx = 0 3
1
第二块的面积： 9 x −3 28 A2 = ∫ [ x − ( )]d x = 1 2 3 32 则 总 面 积 ： A = A1 + A 2 = 3
分析 2 ： 若把围成的平面 区域看成y - 型区域：则 左曲线为： = y 2 , 右曲 x 线为： x = 2y + 3, 下直线 y = -1, 上直线为： y = 3 直接由 y 型区域面积的 计算公式得面积 2 A = ∫ ( 2y + 3 ) - y dy =10 . 3 -1
2 3
练 ： 习 1、 = sin x， = cos x在 2π]上 围 的 积 y y [0， 所 成 面 。
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。
推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。
4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。
定积分的计算与题型总结
定积分的计算与题型总结本文内容是高等数学中积分相关内容的一个大总结，包括凌乱知识点的总结和一些附带的例子，以及一些常用的和容易出错的细节和结论。
内容主要涉及定积分的计算技巧、结论的运用、定积分的几何和物理应用；多重积分的计算技巧(包括排列和旋转等。
)及其在定积分中的应用；曲线和曲面积分的计算公式和定理总结，各种积分之间的关系，物理和几何的应用。
您现在浏览的内容是此系列的第一篇：定积分的计算与题型总结。
1.定积分的计算(1)直接先计算不定积分，然后使用牛顿-莱布尼茨公式。
这个非常简单，也是最基本的一种方法，不多赘述。
（注意：只适用于所有能简单积分出原函数的题，所以想做好定积分，不定积分首先要过关。
）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且存在原函数 F(x) ，则 \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_{a} ^{b}(2)利用定义计算。
若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，将区间分为 n 等分:\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\lim _{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n}f\left[a+\frac{i}{n}(b-a)\right] \frac{b-a}{n}特别注意，根据上述表达式有，当 [a, b] 区间恰好为 [0,1] 区间时，则 [0,1] 区间积分表达式为:\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)例1:用定义计算 \int_{0}^{1}x^2\mathrm{d}x解: \int_{0}^{1} x^2 \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2=\lim _{n \rightarrow\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2=\lim _{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}(3)利用奇偶性计算根据定积分的几何意义(图像和横轴围成的有向面积)，奇函数在正负对称区间的积分为0。
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（四）旋转曲面面积
题型一：求平面图形的面积
例1.
分析：该心形线所围成图形为心状，根据求曲边扇形面积计算公式可得
解：
题型二：求平面曲线的弧长
例2：
解：
题型三：求旋转体的体积
例3.
解：
总结：对于定积分的应用需要熟练掌握在各种情形下计算公式，然后直接套用公式计算得到结果。
高等数学之定积分的应用方法总结
关于定积分的应用这一部分内容，考研数学大纲要求掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。在定积分的应用中，经常采用所谓元素法。经常用到的关于定积分应用的计算公式如下：
第六章 定积分的应用总结
第六章 定积分的应用 总结一、定积分的元素法1．用定积分表示量U 的条件如果量U 满足：（1） ；（2） ；（3） ，那么就可考虑用定积分表示这个量U ．2．写出量U 的积分表达式的步骤：（1） ；（2） ；（3） ．二、平面图形的面积1．若平面图形由连续曲线))()()((),(x g x f x g y x f y ≥==及直线)(,b a b x a x <==所围成，则其面积为=A ．2．若平面图形由连续曲线))()()((),(y y y x y x ψϕψϕ≥==及直线)(,d c d y c y <==所围成，则其面积为=A ．3．由连续曲线0)(),(≥=θϕθϕρ及两射线βθαθ==,围成的曲边扇形的面积为=A ．三、体积1．旋转体的体积（1）由连续曲线0)(≥=x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为=x V ．（2）由连续曲线0)(≥=y x ϕ，直线)(,d c d y c y <==及y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为=V ．2．平行截面面积为已知的立体的体积适当建立x 轴，使立体在过点)(,b a b x a x <==且垂直于x 轴的两平面之间，)(x A 为该立体过点x 且垂直于x 轴截面的面积，于是该立体的体积为=V ．四、平面曲线的弧长1．曲线可求长的充分条件： ．2．求光滑曲线弧的长度的公式：（设L 为平面光滑曲线弧）如果已知L 的参数方程：)(),(),(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ，其中)(t ϕ和)(t ψ在],[βα上有连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则L 的长度为=s ．如果已知L 的直角坐标方程：)()(b x a x f y ≤≤=，其中)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ．如果已知L 的极坐标方程：)()(βθαθρρ≤≤=，其中)(θρ在],[βα上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ．四、定积分在物理学上的应用1．变速直线运动的路程某物体作直线运动，已知速度)(t v 是时间t 的连续函数，且0)(≥t v ，则该物体从时刻1t 到时刻2t （21t t ≤）的运动路程为=s ．2．变力沿直线作功如果力F 的方向不变（与x 轴同向）且大小为)(x F ，物体在力F 的作用下由x 轴上的点a 移动到点b ，则力F 对物体作的功为=W ．3．水压力一般使用定积分的 法得到水压力的定积分表示式，再计算其值．4．引力求引力时通常分别求引力在两个坐标轴上的分力，使用定积分的 法．要注意充分利用对称性．。
(完整版)定积分典型例题精讲
= ．证毕．
证法2由于 单调增加，有 ，从而
．
即
= = ．
故
．
例18计算 ．
分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
解 ＝ ＝ ＝ ．
注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数 在 处间断且在被积区间内无界.
,
故
．
例32计算 ．
分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．
解
． （1）
令 ，则
．（2）
将（2）式代入（1）式中得
．
例33设 在 上具有二阶连续导数， 且 ，求 ．
分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．
解由于
．
故 ．
例34（97研）设函数 连续，
，且 （ 为常数），
．
于是可得
．
又由于
．
因此
= ．
例8设函数 在 上连续，在 内可导，且 ．证明在 内存在一点 ，使 ．
分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件 即可．
证明由题设 在 上连续，由积分中值定理，可得
，
其中 ．于是由罗尔定理，存在 ，使得 ．证毕．
例9（1）若 ，则 =___；（2）若 ，求 =___．
图5－2
= = = ， = ，于是
= = ．
例43求心形线 与圆 所围公共部分的面积．
分析心形线 与圆 的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．
解求得心形线 与圆 的交点为 = ，由图形的对称性得心形线 与圆 所围公共部分的面积为
第六节定积分的应用精品文档
yx ((tt)) (t)
s
2(t)2(t)dt
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r ( )( )
s
r2()r2()d
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例1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
42 2
2a x
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2. 极坐标情形
设 () C [,] ,() 0 ,求由曲线 r() 及
射线 ,围成的曲边扇形的面积 .
在区间[,]上任取小区间 [,d]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA1()2d
1y2dx (P168)
因此所求弧长
s b 1y2 dx a
b
a
1f2(x)dx
y
yf(x)
ds
o a xxdxb x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
yx ((tt)) (t)
弧长元素(弧微分) :
ds(d x)2(d y)2
2 所求曲边扇形的面积为
r()
d
A122()d
x
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例5. 计算阿基米德螺线 ra (a0 )对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1(a )2 d 02
a2 2
1 3
3
2 0
在 [a,b]上任取[子 x,x区 dx]， 间 在其上所作的功元
的弧长 .
y
解: ds (d dxt)2(d dyt)2dt
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定积分复习重点
定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使
用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物
理问题等．
1. 定积分的运算性质
(1) b
b
kf (x)dx
k f (x)dx(k 为常数 ).
a a
(2) b
b
f 1 ( x)dx
b
2 ( x)dx.
[ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx
f a a a
b
c b 其中 a<c<b
(3) f (x)dx
f (x)dx f ( x)dx(
a
a c
2．微积分基本定理
如 果 f ( x) 是 区 间 [a ， b] 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 F '
( x)
f ( x) ， 那 么
b
F (a)
f ( x)dx F (b)
a
，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3. 求定积分的方法
（ 1）利用微积分基本定理就定积分①对被积
分函数 , 先简化 , 再求定积分 .
3
(1-2sin 2
)d
( 2
x 23
) x
(-cos x) sin x 例如： 0 2 注： 3
， ②分段函数 , 分段求定积分 , 再求和 . （被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）
1．计算积分
3
2 2x
3 | dx
| x
2
解 1.
由于在积分区间 [ 2,3] 上，被积函数可表示为
| x
2
2x 3|
x 2
2x 3 , 2 x
1,
( x 2 2x 3) , 1 x
3.
3
2x 3 | dx
1
2x 3) dx
3
2x 3)dx 13 .
所以| x 2
( x 2
(x
2
2
2
1
（2）利用定积分的几何意义求定积分
1
2
dx
1
1 x 如定积分 0
4 ，其几何意义就是单位圆面积的 4 。
（课本 P60 B 组第一题 ）
(3) 利用被积函数的奇偶性
a
a.
若
f ( x) 为奇函数，则 f (x)dx
a ；
a
a
b.
若
f ( x)
为偶函数，则
f ( x)dx 2 f (x)dx
；其中
a
0 。
a
2 2( x 3
+5x 5
)dx 0
例题： 1.
第3题）
2
（同步训练 P32
a
a
a
2dx 4a
2.
(x cos x -5sin x 2)dx(x cosx -5sin x)dx
a
a
a
6
8
6
f ( x)dx
3) (2007
f ( x)dx
枣庄模拟 ) 已知 f(x) 为偶函数，且 0
，则
6
等于（B ）
Ａ. ０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ .16 （同步训练 P30 第 6 题）
4．利用定积分求曲边多边形的面积
在直角坐标系中，要结合具体图形来定：
(1)S
b
f ( x)dx;
a
(2) S
b b
f ( x)dx
f ( x)dx;
a a
(3) S
c b c b f ( x)dx
f (x) dx
f (x)dx
f ( x)dx;
a c
a
c
(4) S
b g( x)] dx
[ f (x)
a
方法总结： 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1) 画出图形，（ 2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；
(3) 确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；。
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(4) 写出平面图形面积的定积分的表达式；(5) 运用微积分基本定理计算定积分，求面积．
5. 定积分在物理中的应用
（ 1）变速直线运动问题
如果作变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v v(t ) v(t)
0 ，那
么物体从时刻 t a 到t
b(a b) 所经过的路程为：
b v(t )dt
s
a
（ 2）变力做功问题
W
b F ( x)dx
a
巩固练习：
1．由直线 y
0, x e, y
2x 及曲线 y
2
所围成的封闭的图形的面积为 ( )
x
A. 3 2 ln 2
B.
3
C.
2e 2
3 D.e
2．由曲线 y
sin x, y cos x 与直线 x
0, x
所围成的平面图形 ( 图中的阴影部分 ) 的面积
2
是 .
2
2
dx
7．4 x
.
8．曲线 y 2 ＝x 与 y ＝ x 2 围成的图形的面积为 ______________．
巩固练习答案：
1． B
1
e 2
2
1 e
1
2 3，故选 B.
2xdx
dx x
|0 2ln x |1
1
x
2． 2 2
2
故 S
2 4 (cos x sin x)dx
2 (sin x
cos x) |04 2 (
2
2 1)222
2
2
3． e
1
4．
10
3
S
xdx
( x 2)dx
3
4
2
4
2
3 2 10 .
2
x 2
(
x
2x)
42
4
4
2
3
2
2
3
3
y
1
y=x
,3
3
y= 3
(3,3)
1
(1,1)
y= x
O
x
5． 3
6． 4
ln3
3．在平面直角坐标系 xOy 中，由直线 x 0, x 1, y 0 与曲线 y e x
围成的封闭图形的面积
1 3
1
dx 3 x dx 4 ln 3
则所求区域面积为
S 1
3 是.
3
x
1
4．曲线 y
0, y
x , y x 2 所围成的封闭图形的面积为
．
2
x 2
dx
7．
根据积分的几何意义，由图可得
4
，故填 .
5．由直线 x ＝－ ， x ＝ ， y ＝ 0 与曲线 y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为
．
3
3
( 2
x 23
1
6．曲线 xy
1与直线 y x 和 y
3 所围成的平面图形的面积为
_________.
8．
1
S
1
0 ( x
x 2
)dx
1 x 3 ) 1
，故选 A ．
3
3
3
3。