定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

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定积分复习重点

定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使

用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物

理问题等．

1. 定积分的运算性质

(1) b

b

kf (x)dx

k f (x)dx(k 为常数 ).

a a

(2) b

b

f 1 ( x)dx

b

2 ( x)dx.

[ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx

f a a a

b

c b 其中 a

(3) f (x)dx

f (x)dx f ( x)dx(

a

a c

2．微积分基本定理

如 果 f ( x) 是 区 间 [a ， b] 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 F '

( x)

f ( x) ， 那 么

b

F (a)

f ( x)dx F (b)

a

，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3. 求定积分的方法

（ 1）利用微积分基本定理就定积分①对被积

分函数 , 先简化 , 再求定积分 .

3

(1-2sin 2

)d

( 2

x 23

) x

(-cos x) sin x 例如： 0 2 注： 3

， ②分段函数 , 分段求定积分 , 再求和 . （被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）

1．计算积分

3

2 2x

3 | dx

| x

2

解 1.

由于在积分区间 [ 2,3] 上，被积函数可表示为

| x

2

2x 3|

x 2

2x 3 , 2 x

1,

( x 2 2x 3) , 1 x

3.

3

2x 3 | dx

1

2x 3) dx

3

2x 3)dx 13 .

所以| x 2

( x 2

(x

2

2

2

1

（2）利用定积分的几何意义求定积分

1

2

dx

1

1 x 如定积分 0

4 ，其几何意义就是单位圆面积的 4 。

（课本 P60 B 组第一题 ）

(3) 利用被积函数的奇偶性

a

a.

若

f ( x) 为奇函数，则 f (x)dx

a ；

a

a

b.

若

f ( x)

为偶函数，则

f ( x)dx 2 f (x)dx

；其中

a

0 。

a

2 2( x 3

+5x 5

)dx 0

例题： 1.

第3题）

2

（同步训练 P32

a

a

a

2dx 4a

2.

(x cos x -5sin x 2)dx(x cosx -5sin x)dx

a

a

a

6

8

6

f ( x)dx

3) (2007

f ( x)dx

枣庄模拟 ) 已知 f(x) 为偶函数，且 0

，则

6

等于（B ）

Ａ. ０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ .16 （同步训练 P30 第 6 题）

4．利用定积分求曲边多边形的面积

在直角坐标系中，要结合具体图形来定：

(1)S

b

f ( x)dx;

a

(2) S

b b

f ( x)dx

f ( x)dx;

a a

(3) S

c b c b f ( x)dx

f (x) dx

f (x)dx

f ( x)dx;

a c

a

c

(4) S

b g( x)] dx

[ f (x)

a

方法总结： 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤

(1) 画出图形，（ 2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；

(3) 确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；

。

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(4) 写出平面图形面积的定积分的表达式；(5) 运用微积分基本定理计算定积分，求面积．

5. 定积分在物理中的应用

（ 1）变速直线运动问题

如果作变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v v(t ) v(t)

0 ，那

么物体从时刻 t a 到t

b(a b) 所经过的路程为：

b v(t )dt

s

a

（ 2）变力做功问题

W

b F ( x)dx

a

巩固练习：

1．由直线 y

0, x e, y

2x 及曲线 y

2

所围成的封闭的图形的面积为 ( )

x

A. 3 2 ln 2

B.

3

C.

2e 2

3 D.e

2．由曲线 y

sin x, y cos x 与直线 x

0, x

所围成的平面图形 ( 图中的阴影部分 ) 的面积

2

是 .

2

2

dx

7．4 x

.

8．曲线 y 2 ＝x 与 y ＝ x 2 围成的图形的面积为 ______________．

巩固练习答案：

1． B

1

e 2

2

1 e

1

2 3，故选 B.

2xdx

dx x

|0 2ln x |1

1

x

2． 2 2

2

故 S

2 4 (cos x sin x)dx

2 (sin x

cos x) |04 2 (

2

2 1)222

2

2

3． e

1

4．

10

3

S

xdx

( x 2)dx

3

4

2

4

2

3 2 10 .

2

x 2

(

x

2x)

42

4

4

2

3

2

2

3

3

y

1

y=x

,3

3

y= 3

(3,3)

1

(1,1)

y= x

O

x

5． 3

6． 4

ln3

3．在平面直角坐标系 xOy 中，由直线 x 0, x 1, y 0 与曲线 y e x

围成的封闭图形的面积

1 3

1

dx 3 x dx 4 ln 3

则所求区域面积为

S 1

3 是.

3

x

1

4．曲线 y

0, y

x , y x 2 所围成的封闭图形的面积为

．

2

x 2

dx

7．

根据积分的几何意义，由图可得

4

，故填 .

5．由直线 x ＝－ ， x ＝ ， y ＝ 0 与曲线 y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为

．

3

3

( 2

x 23

1

6．曲线 xy

1与直线 y x 和 y

3 所围成的平面图形的面积为

_________.

8．

1

S

1

0 ( x

x 2

)dx

1 x 3 ) 1

，故选 A ．

3

3

3

3

。