华师10秋学期《高等数学(理工)》在线作业参考答案及练习测试题答案
《高等数学(一)》作业参考答案
《高等数学（一）》作业参考答案一、求下列函数的定义域（1）[0，+∞]；（2）（-1，∞+）。
（3）(,1)(1,)-∞-∞ ；二、用区间表示变量的变化范围：（1）(],6-∞（2）[]2,0 （3）[]3,5-三、求下列极限(1）[]3313)1(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)hh xh h x h x h h 202202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0=+→(3)lim 1n n n →∞== (4）2211lim 1lim 2lim 12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim 1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→xx x (6)xx x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→xx x ; (7）)2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;31(8)00sin 555lim lim ;sin 222x x x x x x →→== (9))45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim 1=+-→x x x (10）31lim 3lim 13(lim 33=+=+∞→∞→∞→nn n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 550550==→→xx x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→x x xx x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==-+-+四、求下列函数的微分：（1）[])4sin(+=wt A d dy=)4sin(+wt Ad=)4()4cos(++wt d wt A=dt wt Aw )4cos(+(2)[])3cos(x e d dy x -=-=)3cos()3cos(x d e de x x x -+---=dx x e dx x e x x )3sin()3cos(-+----=[]dx x x e x )3cos()3sin(----五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；(3）)'ln 1(ln 11'2221x x y +⋅+⋅= =x x xx x x221ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅(4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x-===- (5);ln 1ln )ln ('221'xx x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211('x x x y +⋅+-=+= =2)21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;(9)3.013.13.13.1'x x y ==-; (10)22212)'1(11'x x x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==六、求下列函数的二阶导数（1）x y +=11'， 2)1(1''x y +-=； （2）x x e x xe y 22222'+=x x x x e x xe xe e y 222224442''+++==)241(222x x e x ++（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=七、求下列不定积分(1）12x dx c-==⎰; (2)dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4121; (3)c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰⎰-=x xd xdx cos sin sin 23=x d x cos )cos 1(2⎰-- =⎰⎰-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x822(8=28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(1222 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰(10）⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-2241ln 21 (11) c x dx x xxdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3)arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：(1）[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ=--。
10-11-1高数21理工类(B)卷答案
2010 ～2011 学年度第一学期《高等数学21（理工）》试卷（B 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2010级高等数学21理工类（本科） 考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷一、选择题（每小题 3 分，共 12 分。
请将答案填在下面的表格内） 1、C 2、A 3、D 4、B 二、填空题（每题 3分，共 12 分）[1、32 2、第一类3、14、0三、求下列极限（每题 5 分，共 10 分）[]1、解：11lim1x x x →→=- （1分）1x →= （2分）12x →== （2分）2、解：03limx x x →∞→∞=⎰3分） 13=………………………………………………………（2分） 四、求下列函数的导数或微分（每题 5 分，共 15 分）]1、解：()12sin x x e y '⎛⎫⋅ ⎪''==……………………………（2分）=（2分）……………………………（1分）[]2、解：方程sin cos()0y x x y --=两边同时对x 求导得sin cos sin()()0y x y x x y x y ''++-⋅-=……………………………（1分） sin cos sin()(1)0y x y x x y y ''++-⋅-= ……………………………（2分）[]sin()sin cos sin()x y x y y x x y '--=+-……………………………（1分）cos sin()sin()sin y x x y y x y x +-'=--，所以cos sin()sin()sin y x x y dy dx x y x+-=-- ……………………………（1分）[]3、解：由(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩，则由参数方程求导得()(1cos )(1cos )()sin sin dx x t a t t dy y t a t t'--===' …………………………… （2分）22233(1cos )sin (1cos )cos 1cos sin sin sin sin t d x t t t t t dy a t a t a t '-⎡⎤⎢⎥---⎣⎦=== ……………………………（2分） 所以223661cos 1(8sin t t d x t dy a t aππ==-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦ ……………………………（1分） 五、求下列积分（每题 6 分，共 12 分）1、解：22--=⎰⎰……………（2分）2分）12π=-………………………………………（2分）2、解：因为222tan (sec 1)sec x xdx x x dx x xdx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰……………………（1分）2211tan tan tan 22xd x x x x xdx x =-=--⎰⎰………（2分） 22sin 111tan tan cos cos 2cos 2x x x dx x x x d x x x x =--=+-⎰⎰…… （2分）21tan ln cos 2x x x x C =+-+……………………（1分） 六、简答题（共 8 分）解：（1）函数()f x 的定义域为2x ≠-的一切实数……………（1分）（2）因为23(6)()(2)x x f x x +'=+， ……………（1分） （3）又因为424()(2)xf x x ''=+，令()0f x ''=，得10x =，22x =-为()f x ''不存在的点（1分） （4）以10x =，22x =-为分断点，将()f x 的定义域分成三段列表如下 （3分）（5）所以()f x 的凸区间是(,2)-∞-和(2,0)-，凹区间是(0,)+∞，拐点是(0,4)（2分） 七、应用题（共 7 分）解：联立方程243y y x x =⎧⎨=-+-⎩得121,3x x ==…………………………（2分） 所以可得所围图形的面积是33322114(43)2333x x x dx x x ⎡⎤-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦⎰…………………………（5分）八、解微分方程（每小题 7分，共14分）[教师答题时间：6分钟][]（1）解：由22dy y dx x y =-可得212y dy x ydx x=-…………………………（1分） 该方程为齐次微分方程，令y u y ux x =⇒=可得dy du u x dx dx=+ ……………（2分） 则原方程变形为12(12)u dx du u u x-=+ ………………………………………（1分）两边积分可得2(12)uCx u =+ （C 为常数）………………………………………（2分） 将yu x=代入上式可得2(2)y C x y =+（C 为常数）…………………………（1分） []（2）解：由已知可得方程4x y y xe ''-=的特征方程为210r -=特征值为121,1r r =-=……………………………（2分）所以其相应的齐次方程的通解为12x x y C e C e -=+ （12,C C 为常数）……………………………（1分）又因为1是一重特征根，由已知可得1m =，故原方程有特解*()x y x ax b e =+，代入原方程可得(422)4x x ax a b e xe ++=，解得1,1a b ==-， 可得原方程的一个特解为 *(1)x y x x e =- 所以原方程的通解为12(1)x x x y C e C e x x e -=++-……………………………………………（2分） 又因为，00|0,|1x x y y =='==可得1212011C C C C +=⎧⎨-+-=⎩，解得1211C C =-⎧⎨=⎩ 所以满足初始条件的特解为(1)x x x y e e x x e -=-++-………………（2分） 九、综合题[综合型]（共10分）] 证明：220()()()a a a af x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（2分）令2x a t =-，则当x a =时，t a =；当2x a =时，0t =，dx dt =- （4分） 所以200()(2)(2)a a aaf x dx f a t dt f a x dx =--=-⎰⎰⎰（2分）所以[]20()()(2)aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰（2分）注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。
16秋华师《高等数学(文)》在线作业
奥鹏17春16秋华师《高等数学（文）》在线作业一、单选题（共20 道试题，共40 分。
）1. y=xsin3x,则dy=( )。
A. (-cos3x+3sin3x)dxB. (sin3x+3xcos3x)dxC. (cos3x+sin3x)dxD. (sin3x+xcos3x)dx正确答案：2. f(x)在某点连续是f(x)在该点可微的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件正确答案：3. x→5时，函数|x-5|/(x-5)的极限是（）A. 0B. ∞C. 1D. 不存在正确答案：4. 当x→0时，ln(1+x)与x比较是（）。
A. 高阶无穷小量B. 等价无穷小量C. 非等价的同阶无穷小量D. 低阶无穷小量正确答案：5. 当x→0时，下列变量为无穷大量的是（）。
A. xsinxB. sinx/xC. e^xD. (1+sinx)/x正确答案：6. 极值反映的是函数的（）性质。
A. 局部B. 全体C. 单调增加D. 单调减少正确答案：7. （）是函数f(x)=1/2x的原函数。
A. F(x)=ln2xB. F(x)=-1/x^2C. F(x)=ln(2+x)D. F(x)=lnx/2正确答案：8. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f[g(x)]有意义，则f[g(x)]是（）A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D. 偶函数或奇函数正确答案：9. 曲线y=(4+x)/(4-x)在点（2,3）的切线的斜率是（）。
A. 2B. -2C. 1D. -1正确答案：10. 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线存在是函数y=f(x)在x0处可导的A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件正确答案：11. 如果函数f(x)的定义域为（-1,0），则下列函数中，（）的定义域为（0,1）A. f(1-x)B. f(x-1)C. f(x+1)D. f(x2-1)正确答案：12. 偶函数的定义域一定是( )。
华中师大《高等数学》练习测试题库及答案（可编辑）
华中师大《高等数学》练习测试题库及答案华中师范大学网络教育《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数y 是()A.偶函数B.奇函数 C 单调函数D 无界函数2.设fsincosx+1,则fx为()A 2x-2B 2-2xC 1+xD 1-x3.下列数列为单调递增数列的有()A.0.9 ,0.99,0.999,0.9999B.,,,C.fn,其中fnD.4.数列有界是数列收敛的()A.充分条件B. 必要条件C.充要条件D 既非充分也非必要5.下列命题正确的是( )A.发散数列必无界B.两无界数列之和必无界C.两发散数列之和必发散D.两收敛数列之和必收敛6.()A.1B.0C.2D.1/27.设e 则kA.1B.2C.6D.1/68.当x1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )A.x-1B. x-1C.x-1D.sinx-19.fx在点xx0处有定义是fx在xx0处连续的()A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|1时,y ()A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f(x)(1-x)cotx要使f(x)在点:x0连续,则应补充定义f(0)为()A、 B、e C、-eD、-e-112、下列有跳跃间断点x0的函数为()A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设fx在点x0连续,gx在点x0不连续,则下列结论成立是( )A、fx+gx在点x0 必不连续B、fx×gx在点x0必不连续须有C、复合函数f[gx]在点x0必不连续D、在点x0必不连续14、设fx 在区间- ∞,+ ∞上连续,且fx0,则a,b满足()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数fx在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有( )A、B、 C、tan[fx]D、f[fx]16、函数fxtanx能取最小最大值的区间是下列区间中的( )A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数fx有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、fafb <0是在[a,b]上连续的函fx数在(a,b)内取零值的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间0,1内取零值的有( )A、fxx+1B、fxx-1C、fxx2-1D、fx5x4-4x+120、曲线yx2在x1处的切线斜率为( )A、k0B、k1C、k2D、-1/221、若直线yx与对数曲线ylogx相切,则( )A、eB、1/eC、exD、e1/e22、曲线ylnx平行于直线x-y+10的法线方程是( )A、x-y-10B、x-y+3e-20C、x-y-3e-20D、-x-y+3e-2023、设直线yx+a与曲线y2arctanx相切,则a( )A、±1B、±л/2C、±л/2+1D、±л/2-124、设fx为可导的奇函数,且f`x0a, 则f`-x0( )A、aB、-aC、|a|D、025、设y? ,则y’|x0( )A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设ycossinx,则y’|x0()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yfx ?1+X,yf[fx],则y’|x0( )A、0B、1/ ?2C、1D、 ?228、已知ysinx,则y10( )A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知yx?x,则y10( )A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数fxxsin|x|,则( )A、f``0不存在B、f``00C、f``0 ∞D、 f``0 л31、设函数yyfx在[0,л]内由方程x+cosx+y0所确定,则|dy/dx|x0()A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y2sinθ上相应于θл/4处的切线斜率,K( )A、-1B、0C、1D、 233、函数fx在点x0连续是函数fx在x0可微的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数fx在点x0可导是函数fx在x0可微的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数fx|x|在x0的微分是( )A、0B、-dxC、dxD、不存在36、极限的未定式类型是( )A、0/0型B、∞/∞型C、∞ -∞D、∞型37、极限的未定式类型是()A、00型B、0/0型C、1∞型D、∞0型38、极限( )A、0B、1C、2D、不存在39、xx0时,n阶泰勒公式的余项Rnx是较xx0 的( )A、(n+1)阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数fx在[0, +∞]内可导,且f`x >0,xf0 <0则fx在[0,+ ∞]内有()A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线yx2-4x+3的顶点处的曲率为( )A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y4x-x2在它的顶点处的曲率半径为( ) A、0B、1/2 C、1D、243、若函数fx在(a,b)内存在原函数,则原函数有()A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫fxdx2ex/2+C( )A、2ex/2B、4 ex/2C、ex/2 +CD、ex/245、∫xe-xdx ( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫Pxx-1-ndx( )A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx( )A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y21及x-12/9+y2/41之间所围的平面图形面积等于( )A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线yx2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是( )A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为( )A、B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是( )A、Z4B、Z0C、Z-2D、x252、平面xa截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c21所得截线为( )A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程0所表示的图形为( )A、原点(0,0,0)B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面,但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z20表示旋转曲面,它的旋转轴是( )A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z21所确定的曲面是( )A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56、设函数f(x)=—— ,g(x)=1-x,则f[g(x)]= ( )x 1 1 1A.1- ——B.1+ ——C. ————D.x x x 1- x 157、x→0 时,xsin——+1 是 ( ) x A.无穷大量 B.无穷小量 C.有界变量D.无界变量58、方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) A.平行于xoy面的平面 B.平行于oz轴的平面 C.过oz轴的平面 D.直线59、下列函数中为偶函数的是( ) A.y=e^x B.y=x^3+1C.y=x^3cosxD.y=ln│x│60、设f(x)在(a,b)可导,a〈x_1〈x_2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使( )A.f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)B.f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)C.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)D.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)61、设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的 ( ) A.充分必要的条件 B.必要非充分的条件 C.必要且充分的条件 D既非必要又非充分的条件二、填空题1、求极限 x2+2x+5/x2+1( )2、求极限 [x3-3x+1/x-4+1]( )3、求极限x-2/x+21/2( )4、求极限 [x/x+1]x( )5、求极限 1-x1/x ( )6、已知ysinx-cosx,求y`|xл/6()7、已知ρψsinψ+cosψ/2,求dρ/dψ| ψл/6( )8、已知fx3/5x+x2/5,求f`0( )9、设直线yx+a与曲线y2arctanx相切,则a( )10、函数yx2-2x+3的极值是y1()11、函数y2x3极小值与极大值分别是( )12、函数yx2-2x-1的最小值为()13、函数y2x-5x2的最大值为( )14、函数fxx2e-x在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线yax3+bx2+c的拐点,则有b()c()16、∫xx1/2dx ( )17、若F`xfx,则∫dFx ( )18、若∫fxdxx2e2x+c,则fx19、d/dx∫abarctantdt()20、已知函数fx在点x0连续, 则a( )21、∫02x2+1/x4dx( )22、∫49 x1/21+x1/2dx( )23、∫031/2a dx/a2+x2()24、∫01 dx/4-x21/2()25、∫л/3лsinл/3+xdx( )26、∫49 x1/21+x1/2dx27、∫49 x1/21+x1/2dx( )28、∫49 x1/21+x1/2dx( )29、∫49 x1/21+x1/2dx( )30、∫49 x1/21+x1/2dx( )31、∫49 x1/21+x1/2dx( )32、∫49 x1/21+x1/2dx( )33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为34、设fx [x] +1,则f(л+10)()35、函数Y|sinx|的周期是 ()36、ysinx,ycosx直线x0,xл/2所围成的面积是 ()37、 y3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是 ( )38、心形线ra1+cosθ的全长为( )39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为 ( )40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是 ()41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-120平行的平面方程是()42、求三平面x+3y+z1,2x-y-z0,-x+2y+2z0的交点是43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是 ( )44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是 ( )45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是( )46、函数y=arcsin√1-x^2 + ——————的定义域为_________ √1-x^2_______________。
(全新整理)10月高等数学(工本)全国自考试卷及答案解析
全国 2018 年 10 月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码： 00023一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在空间直角坐标系中，点 P （ -1， 2， -3）关于 oyz 坐标面的对称点是（ ）A ．（ 1，-2， 3）B ．（ 1， 2， -3）C ．（ -1， 2，3）D ．（ -1， -2，-3）2．设函数 f (x, y)满足 f x ( x 0 , y 0 ) f y (x 0 , y 0 ) 0 ，则函数 f (x, y)在点（ x 0, y 0）处（）A ．一定连续B ．一定有极值C ．一定可微D ．偏导数一定存在3．设区域 D 是由直线 y=2x ， y=3x 及 x=1 所围成，则二重积分 dxdy（）DA ．1B ．132C ． 1D ． 324．已知二阶常系数线性齐次微分方程 y pyqy 0 的通解为y e x (C 1 sin 2x C 2 cos 2 x) ，则常数 p 和 q 分别为（ ）A ．-2 和 5B ．2和-5C ．2和 3D ． -2 和-35．若无穷级数u n 收敛于 S ，则无穷级数(u n 1 u n ) 收敛于（）n 1n 1A ． SB ． 2SC ． 2S-u1D ． 2S+u1二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．设函数 z arctan( x z______________.y) ，则 (1,0)x17．设区域 D ： 0≤ x ≤ 1， |y|≤ 2，则二重积分(x y sin x) dxdy 的值等于 ______________.D8．已知 sin xdx cos ydy 是某个函数 u （ x,y ）的全微分，则 u （ x,y ）=______________.9．微分方程 ( d 2 y) 22 dy y e x的阶数是 ______________.dx 2dx10．设 f (x) 是周期为2π的周期函数，它在 [, ) 上表达式为x 2 , x 0f (x)x， s(x)x,0是 f(x) 的傅里叶级数的和函数，则 s(π )= ______________.三、计算题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）11．求过点 P 1（ 1， 2， -4）和 P 2（ 3， -1， 1）的直线方程 . 12．设函数 zsin yexy, 求2z .xy 213．已知方程 x 2y 2z 28z 0 确定函数 z z(x, y) ，求z , z .xy14．求函数 f (x, y)2xyx 2 y 2 在点（ 1，2）处，沿与 x 轴正向成 60°角的方向l 的方向导数 .15．求曲线 z2 x 23 y 2 在点（ 1，1， 5）处的切平面方程 .1116．计算二次积分 I dy e x 2 dx.0 y17．计算三重积分 Ixyzdxdydz ，其中Ω是由平面x=1,y=1,z=1 及坐标面所围成的区域 . 18．计算对弧长的曲线积分2 xds ，其中 L 是抛物线 y1 x 2上由点（ 1， 1）到点（ 2，2）L2 2的一段弧 .19．计算对坐标的曲线积分( x 22xy)dx ( y 22 xy) dy ，L其中 L 为图中的有向折线 ABO.20．已知可导函数 f ( x) 满足f ( x) 1x tf (t)dt，求函数 f (x).221．求幂级数(1) n x n1的收敛半径和收敛域 .n ( n1)n 1 222．判断无穷级数1的敛散性 .n1n1n四、综合题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）23．求函数 f ( x, y)x3 4 x2 2 xy y 21的极值 .24．求由平面 x=0， y=0， z=0， x+y=1及抛物面 z x 2y2所围成的曲顶柱体的体积 .25．将函数 f ( x)x展开成 x 的幂级数 .x33。
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第1页/共8页第一章 函数、极限与连续1.1 映射与函数1. (1)）（x f 与 ）（x h 相同; ）（x g 与）（），（x h x f 不同. (2)）（x f 与 ）（x ψ相同相同）（x ϕ与）（），（x x f ψ不同. (3) ）（x f 与 ）（x g 相同. 2. (1) [ππ）（12,2+n n ],,2,1,0 =n (2) 21≤a 时[]a a −1，;21>a 为空集. 3. (1)3arctan 213arctan 21xy y x ==；(2)xx y y y x −=−=1ln 1ln； 5.（2）,224,216==−）（）（πϕπϕ02=）（ϕ. 6. (1)奇 , (2)奇 , (3) 偶. 7..22332+∞<<−h r r h h hr ，）（π1.2 数列的极限1.（1）3⎯⎯→⎯∞→n n x .（2）.0⎯⎯→⎯∞→n n x(3)无极限. (4) 无极限. 1.3 函数的极限2. (1) 极限不存在. (2) 极限不存在. (3)，2arctan π−⎯⎯→⎯−∞→x x∞→x 时,x arctan 的极限不存在. (4)，11⎯⎯→⎯++∞→−x x e ∞→x 时,x e −+1的极限不存在. (5) 极限不存在. 1.4 无穷小与无穷大3.无界,非无穷大. 1.5 极限运算法则1. 2; 2. 0; 3. -1/5; 4. -1; 5. 2x ;6. 2; 7. 0; 1.6 极限存在准则 两个重要极限1.(1) e1; (2) a ; (3) 0 ; (4) x ; (5) 1; (6)2−e ; (7) 1−e ; (8) 3; (9) e . 2. 2 ; 3. 0 1.7 无穷小的比较1. (1)x x ~arctan . (2)e a =时等价; e a ≠时同阶. (3) 同阶. (4) 同阶. 2 (1)6=n ; (2) 1=n ; (3) 8=n . 1.8 函数的连续性与间断点1.(1)2=x ,第一类可去,补充定义-4; 3=x ,第二类无穷. (2)，，20ππ+==k x x 第一类可去, 分别补充定义1,0; ）（0≠=k k x π为第二类无穷. (3) 0x =第一类跳跃第一类跳跃 （4）0x =第二类无穷第二类无穷2. ），），（，），（，（∞+−−∞−1122.3112∞⎯⎯→⎯−⎯⎯→⎯→−→x x x f x f ）（，）（3.）（）（，）（0100100f f f =−=+=−, ，0=x 第一类跳跃.4.1±=x ,第一类跳跃.1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性1..34==b a ，2. (1)112ln ++e ; (2) 0 ; (3) 1/2 ; (4)-1/56 ; (5) 1/2 ;(6) 0 ; (7) 2−e ; (8) 0 ; (9) ；x sin − (10) 1−e . 第二章 导数与微分 2.1 导数概念1、（1）-20 （2）12、（1）(0)f ′ （2）0()f x ′−（3）02()f x ′3、2，-14、1,1y x y x −=−=−2.2 函数的求导法则1、（1）′=++y x xln ln 2222 （2）′=−+⋅y x x x x x 332155222cos sin sec () (3)2-1(1)y x x =+(4)2cos sin x x x y x −= (5)(2)(3)(1)(3)y x x x x =−−+−−(1)(2)x x +−−(6)21cos sin (1cos )x xy x ++=+ （7）()22224sin1cos (1)x x x y x x ⎡⎤++⎣⎦=+(8)x x chx shx e y x tan sec )(3−+=′ 2、（1）-2 （2）2(1)42π+ 3.(1)38(25)y x =+(2)3sin(43)y x =− (3)22xy a x−=− (4)2sin 4y x =(5)2sec (12)y x x =−−(6)()arctan 21x e y x x =+ (7)211y x=+(8)12(1)y x x =− (9)sec y x =(10)csc y x =(11)()11sin cos sin sin cos n n n n y n x x x x x x −−=+(12)211y x =−− (13)()1ln ln ln y x x x =(14)′=++−y x x x xx xx 3222212123ln ()ln cos4．22()()()()()()f x f xg x g x f x g x ′′++5．445(3),5x x −6．(1)()-241xy exx =−++(2)-24()t ty e e =+或21(ch) (3)24arctan 24xy x =+ (4)arcsin 2x y =(5)4218x x x x y x x x x x x+++=+++ 7.122.3 高阶导数1. (1)214-x (2)()23222aa x −− (3)232(1)x y x −=+2．(1)!n (2) ().xx n e +(3)-1-12sin(2).2n n y x π=+3. (1)4cos xe x −(2)21225(sin 250cos 2sin 2)2x x x x x −++5022.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1 (1)22.ay x y ax −− (2)′=++−+y y x x y x x y sin cos()cos cos()2.(1)222.y x y −(2)22.e3.sin 11cot 2(1)x xx x x e e x x e ⎡⎤−+−⎢⎥−⎣⎦24.(1)cos sin 1sin cos θθθθθθ−−− (2)sin cos cos sin t t t t +−5.(1)231t t +− (2)1()f t ′′2.5函数的微分1 (1)22)sin 2).xxx e x e dx ++（（(2)231(1)dx x + (3)2ln 1)1x dx x −−−（(4)42.1xdx x −+2．dx3.提示：利用()(0)(0)f x f f x ′≈+第三章 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理1.提示：首先验证函数满足Lagrange 定理的条件，并可求得63(1,2)3ξ−=∈, 使(2)(1)()21f f f ξ−′=−.2.11ln()xe x x θ−=3.方程()0f x ′=有且仅有三个实根,它们分别在区间(0,1),(1,2),(2,3)内.4.提示：利用反证法.5.提示：作辅助函数()x ϕ=(1)10xx e −+>,利用Lagrange 中值定理.3.2 洛必达法则1.32 2. 12 3. 3. 11 4. 12 5. 5. 1 6. 1 6. 0 0 7. 528. 8. 1 1 9. ∞ 10. 13.3 泰勒公式 1.21()ln 2()()244f x x x ππ=−−−−− 232sec tan ()34x πξξ−− ,ξ在,4x π之间.2.2311()2!(1)!xn n xe x x x x o x n =+++++− 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性2. 1(,),(1,)2−∞+∞单调增加,1(,1)2上单调减少.3.2(,),(,)3a a −∞+∞单调增,2(,)3a a 上单调减.4.22[,]33−单调增, 2(,]3−∞−,2[,)3+∞单调减.7. 凸区间(,1]−∞,凹区间[1,)+∞, 拐点11(1,)9−3.5 函数的极值与最大值最小值1.2[1,]e 单调增,(0,1],2[,)e +∞单调减,极小值(1)0f =,极大值224()f e e=2.2,05x x ==3. 极大值213xy ==,极小值312.5x y ==.4. 3,0,1a b c =−==5. 0()f x 是极小值是极小值6.最大值为2,最小值为 -2.7.最小值212x y =−=8.0163x =, max 16()151.73S =9.422,33h R r R == 3.7 曲率1. 曲率2K =,曲率半径12ρ=. 2. 2x π=处曲率最大,为1.高等数学期中自测试题一、DDCDD二、1、[1,2] 2、1/2 3、-14、(1)(1)(0)(0)f f f f ′′>−>5、1t =三、1、(22)n n πππ+，(012)n =±± ，，，2lim ln sin 0x x π→=2、1/43、04、36、(]0−∞，单调减，[)0+∞，单调增单调增五、提示：利用反证法，由零点定理推出矛盾。
华中师范大学《高等数学（理工）》在线作业-0001
B:正确
参考选项：A
∫0πsinxdx=2
A:错误
B:正确
参考选项：B
非奇、非偶函数的导数一定是非奇、非偶函数
A:错误
B:正确
参考选项：A
C:选择图中C选项
D:选择图中D选项
参考选项：A
设偶函数f(x)二阶可导，且f''(x)0,则点x=0（ ）
A:不是f(x)的驻点
B:是f(x)的不可导点
C:是f(x)的极小值点
D:是f(x)的极大值点
参考选项：C
数列有界是数列收敛的
A:充分条件
B:必要条件
C:充要条件
D:既非充分也非必要
参考选项：B
华师《高等数学（理工）》在线作业-0001
设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处()
A:连续且可导
B:连续且可微
C:连续不可导
D:不连续不可微
参考选项：C
函数f(x)=sin(x^2)(-∞x∞)是（）
A:奇函数
B:单调函数
C:周期函数
D:非周期函数
参考选项：D
若f(sinx)=3-cos2x,则f(cos2x)=()
B:非奇非偶函数
C:连续函数
D:周期函数
参考选项：A
题面见图片：
A:选择图中A选项
B:选择图中B选项
C:选择图中C选项
D:选择图中D选项
参考选项：A
设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是
A:Z=4
B:Z=0
C:Z=-2
D:x=2
参考选项：D
题面见图片：
A:选择图中A选项
B:选择图中B选项参考选项B指数函数求导数不变A:错误
高等数学B(上),随堂练习2020秋华工答案
高等数学B（上），随堂练习1.(单选题) 函数的定义域是( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：2.(单选题) 函数的定义域是 ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：3.(单选题) 函数的定义域是( ) A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：4.(单选题) 函数的定义域为( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.(单选题) 函数的定义域是（）A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：6.(单选题) 函数的定义域是( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：7.(单选题) 函数的定义域是（）A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.(单选题) 函数的定义域为（）．A．B．C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：9.(单选题) ( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：10.(单选题) ( )A． B．不存在 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：11.(单选题) ( )A．不存在 B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：12.(单选题) （）A．0 B．不存在 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：13.(单选题) （）..A．0 B．不存在 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：14.(单选题) ( )A．0 B．不存在 C． D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：15.(单选题) ( )A．不存在 B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：16.(单选题) ( )A．8 B．2 C． D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：17.(单选题) ( )A．0 B．1 C． D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：18.(单选题) ( )A．0 B．1 C． D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：19.(单选题) ( )A．0 B．1 C． D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：20.(单选题) ( )A．0 B．1 C． D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：21.(单选题) 设函数，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：22.(单选题) 设函数，则 ( ) A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：23.(单选题) 设函数，则( ) A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：24.(单选题) 设函数，则 ( ) A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：25.(单选题) 设函数，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：26.(单选题) 设函数，在( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：27.(单选题) 设函数，则( ) A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：28.(单选题) 设函数，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：29.(单选题) 设函数，则( ) A． B． C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：30.(单选题) , 则（）. A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：31.(单选题) , 则（）. A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：32.(单选题) , 则（）. A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：33.(单选题) 设确定隐函数，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：34.(单选题) 设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：35.(单选题) 设函数由方程所确定，则( ) A．0 B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：36.(单选题) 设方程所确定的隐函数为，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：37.(单选题) 设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B．0 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：38.(单选题) 设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：39.(单选题) 设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B．2 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：40.(单选题) 设，则（）.A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：41.(单选题) 设，则（）. A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：42.(单选题) 设，则（）. A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：43.(单选题) ( )A． B．0 C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：44.(单选题) ( )A． B．0 C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：45.(单选题) ( )A． B． C． D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：46.(单选题) ( )A． B． C．1 D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：47.(单选题) ( )A． B． C．1 D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：48.(单选题) ( )A． B． C．1 D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：49.(单选题) ( )A． B． C．1 D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：50.(单选题) ( )A． B． C．1 D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：51.(单选题) 函数的单调减少区间是 ( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：52.(单选题) 函数的单调区间是 ( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：53.(单选题) 函数的单调增加区间是( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：54.(单选题) 函数的单调增加区间为 ( ) ．A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：55.(单选题) 函数的单调减区间为( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：56.(单选题) 函数的单调增加区间为( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：57.(单选题) 函数的极值等于( )A．1 B．0 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：58.(单选题) 函数的极值为( ) A． B． C．0 D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：59.(单选题) 函数的极值为( )A．1 B．0 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：60.(单选题) 函数的极大值为( ) A．-16 B．0 C．16 D．-7答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：61.(单选题) 函数的极大值为( ) A．3 B．1 C．-1 D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：62.(单选题) ( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：63.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：64.(单选题) ( )A. B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：65.(单选题) ( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）66.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：67.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：68.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：69.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：70.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：71.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：72.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）73.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：74.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：75.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：76.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：77.(单选题) 若D由和围成，则D的面积可表示为( ). A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：78.(单选题) 若D由和围成，则D的面积可表示为( ). A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：79.(单选题) 若D由，和围成，则D的面积可表示为( ). A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：80.(单选题) 定积分等于( )A. B. C.81.(单选题) ( )A．2 B．1 C．0 D．-1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：82.(单选题) ( )A．2 B．0 C．1 D．-1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：83.(单选题) 设函数在上连续，，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：84.(单选题) 设，则等于( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：85.(单选题) ( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：86.(单选题) ( )A． B． C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：87.(单选题) ( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：88.(单选题) ( )A． B． C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：89.(单选题) ( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：90.(单选题) ( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：91.(单选题) ( )A．1 B． C．0 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：92.(单选题) ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：93.(单选题) ( )A． B．C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：94.(单选题) 由曲线与直线及所围成的平面图形的面积等于( )A． B．2 C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：95.(单选题) 由抛物线，直线，及所围成的平面图形的面积等于( )A．2 B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：96.(单选题) 由直线，，及曲线所围成的平面图形的面积等于( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：97.(单选题) 由抛物线与直线及所围成的封闭图形的面积等于( )A． B． C．2 D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：98.(单选题) 由曲线与所围图形的面积等于( )A．1 B． C．3 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：99.(单选题) 由，，所围成的封闭图形的面积等于( ) A． B．1 C．3 D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：100.(单选题) 由曲线与所围图形的面积等于( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A101.(单选题) 曲线，直线，及轴所围成的图形的面积是( ) A． B． C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：102.(判断题) 当时，和是等价无穷小. （）答题：对. 错. （已提交）参考答案：√问题解析：103.(判断题) 当时，和是等价无穷小. （）答题：对. 错. （已提交）参考答案：√问题解析：104.(判断题) 当时，和是等价无穷小.（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：√问题解析：105.(判断题) 若是的极小值点，则它是的驻点.（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：×问题解析：106.(判断题) （判断题）若是的驻点，则它是的极小值点.（）答题：对. 错. （已提交）107.(判断题) 由于在区间内，是的一个原函数，因此. （）答题：对. 错. （已提交）参考答案：√问题解析：108.(判断题) 由于在区间内，是的一个原函数，因此.（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：×问题解析：。
高数答案__华中师范大学B1
(1)y =
1 x
−
√
(2)y = sin sin(x) sin x ∈ R )µ dK¿Œ µ x ∈ R = ¤¦½Â••R.
•[−1, 0) ∪ (0, 1].
1
(2)f (x) = [x] )µ ∀ε > 0,Ø” ε < 1, δ = ε, −δ < x < 0ž,|[x] − (−1)| = 0 < ε.¤± lim f (x) = −1.
x→0−
1 x
−δ < x < 0 ž,|e − 0| < ε,¤±
x→0−
lim f (x) = 0.
1 ln M ,
≤π 2 ,¤± lim
x→∞
arctan x x
= 0.
3!®•f (x)•x → 1ž á §g (x)•x → 2ž á .@of (x) + g (x)˜½•Ã¡ íº f (x)g (x)˜½•Ã¡ íº )µ ؘ½.~Xf (x) =
x−1 x−2 •x
→ 1ž á §g (x) = ጧ•Ÿoº
ª= lim
)µ
ª= lim (1 +
= lim (1
n→∞
1 n+1 n+1 ( n+2 ) n+1 ) n→∞ 1 n+1 n+1 + n+1 ) lim =e n→∞ n+2
(3) lim
sin n n→∞ n n 1 )µ sin ≤n ,∀ ε > 0, ∃N = [ 1 n ε ], ∀n n n N ž, sin < ε.¤± lim sin = 0. n n→∞ n
高等数学课后习题及参考答案(第十章)
高等数学课后习题及参考答案（第十章）习题10-11.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量I x,I y;(2)这曲线弧的重心坐标,.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dI x=y2μ(x,y)ds,dI y=x2μ(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为,.曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dM x=yμ(x,y)ds,dM y=xμ(x,y)ds.曲线L的重心坐标为,.2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则.证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则.令λ=max{∆s i}→0,上式两边同时取极限,即得.3.计算下列对弧长的曲线积分:(1),其中L为圆周x=a cos t,y=a sin t (0≤t≤2π);解=.(2),其中L为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;解L的方程为y=1-x (0≤x≤1);.(3), 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成的区域的整个边界; 解 L 1: y =x 2(0≤x ≤1), L 2: y =x (0≤x ≤1) ..(4), 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2, 直线y =x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解 L =L 1+L 2+L 3, 其中L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ),L 2: x =a cos t , y =a sin t ,L 3: x =x , y =x ,因而 ,.(5)⎰Γ++ds zy x 2221, 其中Γ为曲线x =e t cos t , y =e t sin t , z =e t 上相应于t 从0变到2的这段弧;解,.(6), 其中Γ为折线ABCD , 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0, 0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);解 Γ=AB +BC +CD , 其中AB : x =0, y =0, z =t (0≤t ≤1),BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤3),CD : x =1, y =t , z =2(0≤t ≤3),故.(7), 其中L 为摆线的一拱x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )(0≤t ≤2π);解.(8), 其中L 为曲线x =a (cos t +t sin t ), y =a (sin t -t cos t )(0≤t ≤2π).解.4. 求半径为a , 中心角为2ϕ的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心.解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知, 又ϕϕsin a =, 所以圆弧的重心为)0 ,sin (ϕϕa 5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x =a cos t , y =a sin t , z =kt , 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求:(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的重心.解 .(1).(2),,,,故重心坐标为.习题 10-21. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: .证明 设L 是直线x =a 上由(a , b 1)到(a , b 2)的一段,则L : x =a , y =t , t 从b 1变到b 2. 于是.2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a , 0)到(b , 0)的一段直线,证明.证明L : x =x , y =0, t 从a 变到b , 所以.3. 计算下列对坐标的曲线积分:(1), 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;解 L : y =x 2, x 从0变到2, 所以.(2), 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π,L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a ,因此.(3), 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到的一段弧;解.(4)⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()(, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行); 解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以⎰+--+L y x dy y x dx y x 22)()(.(5), 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧;解 ⎰⎰--+=-+Γπθθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x .(6), 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的一段直线;解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1..(7), 其中Γ为有向闭折线ABCA , 这里的A , B , C依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);解 Γ=AB +BC +CA , 其中AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0,BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,CA : x =x , y =0, z =1-x , x 从0变到1,故.(8), 其中L 是抛物线y =x 2上从(-1, 1)到(1, 1)的一段弧.解 L : x =x , y =x 2, x 从-1变到1, 故4. 计算, 其中L 是:(1)抛物线y =x 2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;解 L : x =y 2, y =y , y 从1变到2, 故.(2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段;解 L : x =3y -2, y =y , y 从1变到2, 故(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线;解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =1, y =y , y 从1变到2,L 2: x =x , y =2, x 从1变到4,故dy x y dx y x dy x y dx y x L L )()()()(21-+++-++=⎰⎰ .(4)沿曲线x =2t 2+t +1, y =t 2+1上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧.解 L : x =2t 2+t +1, y =t 2+1, t 从0变到1, 故.5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m的质点沿圆周x 2+y 2=R 2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.解 已知场力为F =(|F |, 0), 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ,θ从0变到, 于是场力所作的功为.6. 设z 轴与力方向一致, 求质量为m 的质点从位置(x 1, y 1, z 1)沿直线移到(x 2, y 2, z 2)时重力作的功.解 已知F =(0, 0, mg ). 设Γ为从(x 1, y 1, z 1)到(x 2, y 2, z 2)的直线,则重力所作的功为7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中L为:(1)在xOy面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1);解L的方向余弦,故.(2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1);解曲线L上点(x,y)处的切向量为τ=(1, 2x),单位切向量为,故.(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1).解L的方程为,其上任一点的切向量为,单位切向量为,故.8.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为τ=(1, 2t, 3t2)=(1, 2x, 3y),单位切向量为,.习题10-31.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:(1),其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围成的区域的正向边界曲线;解L=L1+L2,故,而 dxdy x dxdy y P x Q DD )21()(-=∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰ ,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. (2), 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界.解 L =L 1+L 2+L 3+L 4, 故dy xy y dx xy x L L L L )2())((2324321-+-+++=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰+-+-+=202002022222)8()4(dy y dx x x dy y y dx x ,而,所以 ⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂l D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(. 2. 利用曲线积分, 求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线x =a cos 3t , y =a sin 3t ;解.(2)椭圆9x 2+16y 2=144;解 椭圆9x 2+16y 2 =144的参数方程为x =4cos θ, y =3sin θ, 0≤θ≤2π, 故.(3)圆x 2+y 2=2ax .解 圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为x =a +a cos θ, y =a sin θ, 0≤θ≤2π,故.3. 计算曲线积分,其中L为圆周(x-1)2+y2=2,L的方向为逆时针方向.解,.当x2+y2≠0时.在L内作逆时针方向的ε小圆周l:x=εcosθ,y=εsinθ(0≤θ≤2π),在以L和l为边界的闭区域Dε上利用格林公式得,即.因此.4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关,并计算积分值:(1);解P=x+y,Q=x-y,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,而且,故在整个xOy面内,积分与路径无关.取L为点(1, 1)到(2, 3)的直线y=2x-1,x从1变到2,则.(2);解P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,故积分与路径无关,取路径(1, 2)→(1, 4)→(3, 4)的折线,则.(3).解P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数,并且,所以在整个xOy面内积分与路径无关,选取路径为从(1, 0)→(1, 2)→(2, 1)的折线,则.5. 利用格林公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为三顶点分别为(0, 0)、(3, 0)和(3, 2)的三角形正向边界;解 L 所围区域D 如图所示, P =2x -y +4, Q =5y +3x -6,4)1(3=--=∂∂-∂∂yP x Q , 故由格林公式,得.(2)⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正 向星形线(a >0);解 , ,,由格林公式⎰-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222.(3), 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到的一段弧;解 , ,,所以由格林公式,其中L 、OA 、OB 、及D 如图所示.故.(4), 其中L 是在圆周上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.解 P =x 2-y , Q =-x -sin 2y ,0)1(1=---=∂∂-∂∂yP x Q , 由格林公式有,其中L 、AB 、BO 及D 如图所示.故.6.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y):(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;证明因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y )的全微分..(2)2xydx+x2dy;解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分..(3)4sin x sin3y cos xdx–3cos3y cos2xdy解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(4)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个定义在整个xOy平面内的函数u(x,y)的全微分..(5)解因为,所以P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分.7.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关.解场力所作的功为.由于,故以上曲线积分与路径无关,即场力所作的功与路径无关.习题10-41.设有一分布着质量的曲面∑,在点(x,y,z)处它的面密度为μ(x,y,z),用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量.解. 假设μ(x , y , z )在曲面∑上连续, 应用元素法, 在曲面∑上任意一点(x , y , z )处取包含该点的一直径很小的曲面块dS (它的面积也记做dS ), 则对于x 轴的转动惯量元素为dI x =(y 2+z 2)μ(x , y , z )dS ,对于x 轴的转动惯量为.2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式,其中∑是由∑1和∑2组成的.证明 划分∑1为m 部分, ∆S 1, ∆S 2, ⋅⋅⋅, ∆S m ;划分∑2为n 部分, ∆S m +1, ∆S m +2, ⋅⋅⋅, ∆S m +n ,则∆S 1, ⋅⋅⋅, ∆S m , ∆S m +1, ⋅⋅⋅, ∆S m +n 为∑的一个划分, 并且.令, , , 则当λ→0时, 有.3. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 ∑的方程为z =0, (x , y )∈D ,,故 .4. 计算曲面积分, 其中∑为抛物面z =2-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分, f (x , y , z )分别如下:(1) f (x , y , z )=1;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此⎰⎰+=πθ2020241rdr r d .(2) f (x , y , z )=x 2+y 2;解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,dxdy y x dxdy z z dS y x 22224411++=++=.因此 dxdy y x y x dS z y x f xyD 2222441)(),,(+++=⎰⎰⎰⎰∑ ⎰⎰+=πθ2020241rdr r d.(3) f (x , y , z )=3z .解 ∑: z =2-(x 2+y 2), D xy : x 2+y 2≤2,.因此dxdy y x y x xyD 2222441)](2[3+++-=⎰⎰.5. 计算, 其中∑是:(1)锥面及平面z =1所围成的区域的整个边界曲面; 解 将∑分解为∑=∑1+∑2, 其中∑1: z =1 , D 1: x 2+y 2≤1, dS =dxdy ;∑1:, D 2: x 2+y 2≤1, .+.提示: .(2)锥面z 2=3(x 2+y 2)被平面z =0及z =3所截得的部分. 解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤3,,因而 .提示: .6. 计算下面对面积的曲面积分:(1), 其中∑为平面在第一象限中的部分;解 , ,,.(2), 其中∑为平面2x +2y +z =6在第一象限中的部分; 解 ∑: z =6-2x -2y , D xy : 0≤y ≤3-x , 0≤x ≤3,,⎰⎰--+--=x dy y xy x x dx 30230)22236(3.(3)dS z y x )(++∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分;解 ∑:, D xy : x 2+y 2≤a 2-h 2,,(根据区域的对称性及函数的奇偶性).提示:,(4), 其中∑为锥面被x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分. 解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2ax ,,dxdy y x y x xy dS zx yz xy xyD ])([2)(22+++=++⎰⎰⎰⎰∑421564a =. 提示: .7. 求抛物面壳的质量, 此壳的面密度为μ=z .解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤2,.故.8. 求面密度为μ0的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量.解 ∑: , D xy : x 2+y 2≤a 2,,.提示:.习题10-51. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式:.解 证明把∑分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时又表示第i 块小曲面的面 积), ∆S i 在yOz 面上的投影为(∆S i )yz , (ξi , ηi ,ζi )是∆S i 上任意取定的一点, λ是各小块曲面的直径的最大值, 则.2. 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？解 因为∑: z =0, (x , y )∈D xy , 故dxdy z y x R dxdy z y x R xyD ),,(),,(⎰⎰⎰⎰±=∑,当∑取的是上侧时为正号, ∑取的是下侧时为负号.3. 计算下列对坐标的曲面积分:(1)zdxdy y x 22∑⎰⎰其中∑是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧;解 ∑的方程为, D xy : x 2+y 2≤R , 于是zdxdyy x 22∑⎰⎰dxdy y x R y x xyD )(22222----=⎰⎰.(2), 其中z 是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的第一卦限内的部分的前侧;解 ∑在xOy 面的投影为零, 故.∑可表示为, (y , z )∈D yz ={(y , z )|0≤y ≤1, 0≤z ≤3}, 故⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=∑3010102221311dy y dy y dz dydz y xdyz yz D ∑可表示为, (z , x )∈D zx ={(z , x )|0≤z ≤3, 0≤x ≤1}, 故dzdx x ydzdx zx D 21-=⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-=30101022131dx x dx x dz . 因此 .解法二 ∑前侧的法向量为n =(2x , 2y , 0), 单位法向量为,由两种曲面积分之间的关系,dS z y x ydzdx xdydz zdxdy )cos cos cos (γβα++=++∑∑⎰⎰⎰⎰.提示: 表示曲面的面积.(3), 其中f (x , y , z )为连续函数, ∑是平面x -y +z =1在第四卦限部分的上侧;解 曲面∑可表示为z =1-x +y , (x , y )∈D xy ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x -1}, ∑上侧的法向量为n =(1, -1, 1), 单位法向量为,由两类曲面积分之间的了解可得dS z f y f x f ]cos )(cos )2(cos )[(γβα+++++=∑⎰⎰.(4), 其中∑是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1: x =0, D yz : 0≤y ≤1, 0≤z ≤1-y ,∑2: y =0, D zx : 0≤z 1, 0≤x ≤1-z ,∑3: z =0, D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x ,于是 xzdxdy 4000∑⎰⎰+++=由积分变元的轮换对称性可知.因此 .解 ∑=∑1+∑2+∑3+∑4, 其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块;∑4: z =1-x -y , D xy : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x .显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零, 于是yzdzdx xydydz xzdxdy ++=∑⎰⎰4dS xz yz xy )cos cos cos (4γβα++=∑⎰⎰dS xz yz xy )(34++=∑⎰⎰.4. 把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分:(1)∑为平面在第一卦限的部分的上侧;解 令, ∑上侧的法向量为:,单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰.(2)∑是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧.解 令F (x , y , z )=z +x 2+y 2-8, ∑上侧的法向量n =(F x , F y , F z )=(2x , 2y , 1),单位法向量为,于是 Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰10-61.利用高斯公式计算曲面积分:(1),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式(这里用了对称性).(2),其中∑为球面x2+y2+z2=a2的外侧;解由高斯公式原式.(3),其中∑为上半球体x2+y2≤a2,的表面外侧;解由高斯公式原式.(4)其中∑界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9的整个表面的外侧;解由高斯公式原式.(5),其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧.解由高斯公式原式.2.求下列向量A穿过曲面∑流向指定侧的通量:(1)A=yz i+xz j+xy k,∑为圆柱x+y2≤a2(0≤z≤h )的全表面,流向外侧;解P=yz,Q=xz,R=xy,⎰⎰⎰dv.=0=Ω(2)A=(2x-z)i+x2y j-xz2k,∑为立方体0≤x≤a, 0≤y≤a, 0≤z≤a,的全表面,流向外侧;解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,.(3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k,∑是以点(3,-1, 2)为球心,半径R=3的球面,流向外侧.解P=2x+3z,Q=-(xz+y),R=y2+2z,⎰⎰⎰dv.π=3=108Ω3.求下列向量A的散度:(1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k;解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,.(2)A=e xy i+cos(xy)j+cos(xz2)k;解P=e xy,Q=cos(xy),R=cos(xz2),.(3)A=y2z i+xy j+xz k;解P=y2,Q=xy,R=xz,.4.设u (x,y,z)、v (x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,,依次表示u (x,y,z)、v (x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数.证明,其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面,这个公式叫作林第二公式.证明由第一格林公式(见书中例3)知,.将上面两个式子相减,即得.5.利用高斯公式推证阿基米德原理:浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力.证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下,设液体的密度为ρ,在物体表面∑上取元素dS上一点,并设∑在点(x,y,z)处的外法线的方向余弦为cos α, cos β, cos γ, 则dS 所受液体的压力在坐标轴x , y , z 上的分量 分别为-ρz cos αdS , -ρz cos β dS , -ρz cos γ dS ,∑所受的压力利用高斯公式进行计算得,,||cos Ω-=-=-=-=ΩΩ∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρργρdv dv dS z F z ,其中|Ω|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.习题10-71. 利用斯托克斯公式, 计算下列曲线积分:(1), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2, , 若从z 轴的正向看去, 这圆周取逆时针方向;解 设∑为平面x +y +z =0上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: 表示∑的面积, ∑是半径为a 的圆.(2), 其中Γ为椭圆x 2+y 2=a 2,(a >0, b >0), 若从x 轴正向看去, 这椭圆取逆时针方向;解 设∑为平面上Γ所围成的部分, 则∑上侧的单位法向量为.于是.提示: ∑(即)的面积元素为.(3), 其中Γ为圆周x 2+y 2=2z , z =2, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向;解 设∑为平面z =2上Γ所围成的部分的上侧, 则.(4), 其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=9, z =0, 若从z 轴的正向看去, 这圆周是取逆时针方向.解 设∑为xOy 面上的圆x 2+y 2≤9的上侧, 则.2. 求下列向量场A 的旋度:(1)A =(2z -3y )i +(3x -z )j +(-2x )k ;解 .(2)A =(sin y )i -(z -x cos y )k ;解 .(3)A =x 2sin y i +y 2sin(xz )j +xy sin(cos z )k .解=[x sin(cos z )-xy 2cos(xz )]i -y sin(cos z )j +[y 2z cos(xz )-x 2cos y ]k . 3. 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分, 并计算积分值, 其中A 、∑及n 分别如下:(1)A =y 2i +xy j +xz k , ∑为上半球面, 的上侧, n 是∑的单位法向量;解 设∑的边界Γ : x 2+y 2=1, z =0, 取逆时针方向, 其参数方程为x =cos θ, y =sin θ, z =0(0≤θ≤2π,由托斯公式.(2)A =(y -z )i +yz j -xz k , ∑为立方体0≤x ≤2, 0≤y ≤2, 0≤z ≤2的表面外侧 去掉xOy 面上的那个底面, n 是∑的单位法向量.解.4. 求下列向量场A 沿闭曲线Γ(从z 轴正向看依逆时针方向)的环流量:(1)A =-y i +x j +c k (c 为常量), Γ为圆周x 2+y 2=1, z =0;解.(2)A =(x -z )i +(x 3+yz )j -3xy 2k , 其中Γ为圆周, z =0.解 有向闭曲线Γ的参数方程为x =2cos θ, y =2sin θ, z =0(0≤π≤2π). 向量场A 沿闭曲线Γ的环流量为⎰⎰-++-=++L L dz xy dy yz x dx z x Rdz Qdy Pdx 223)()(.5.证明rot(a+b)=rot a+rot b.解令a=P1(x,y,z)i+Q1(x,y,z)j+R1(x,y,z)k,b=P2(x,y,z)i+Q2(x,y,z)j+R2(x,y,z)k,由行列式的性质,有.6.设u=u(x,y,z)具有二阶连续偏导数,求rot(grad u)解因为grad u=u x i+u y j+u z k,故=(u zy-u yz)i+(u zx-u xz)j+(u yx-u xy)k=0.*7.证明:(1)∇(uv)=u∇v+v∇u解=u∇v+v∇u.(2)解==u∆v+v∆u+2∇u⋅∇u.(3) ∇⋅(A⨯B )=B⋅(∇⨯A )-A⋅(∇⨯B )解B=P2i+Q2j+R2k,而所以∇⨯(A⨯B)=B⨯(∇⨯A)-A⨯( ∇⨯B )(4) ∇⨯(∇⨯A )=∇(∇⋅A )-∇2a解令A=Pi+Q j++R k,则从而命题地证总习题十1. 填空:(1)第二类曲线积分化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解 , 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑⎰⎰化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解 , 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________.(A )xdS xdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (B );(C )xdS zdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑⎰⎰⎰⎰=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分:(1), 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为, (0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x L L )()()(222022'+'⋅==+⎰⎰⎰().(2), 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0);解.(3), 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧;解 ⎰⎰⋅-+-⋅+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L.(4), 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧;解.(5), 其中L 为上半圆周(x -a )2+y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解 这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2, .令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式,.(6), 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去, 沿逆时针方向.解 曲线Γ的一般方程为, 其参数方程为, t 从0变到2π.于是.4. 计算下列曲面积分:(1), 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2;解 ∑=∑1+∑2, 其中, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ;, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , ,于是.(2), 其中∑为锥面(0≤z ≤h ) 的外侧;解 这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y , 0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,而40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x h πθθθθπ=-=-⎰⎰⎰⎰∑, 所以 .(3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑⎰⎰, 其中∑为半球面的上侧;解 设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得,而 ,所以 33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑⎰⎰.(4), 其中∑为曲面(z ≥0)的上侧;解 这里, , , 其中., , ,.设∑1为z =0的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式,32223222)()(1z y x zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑⎰⎰⎰⎰. (5)xyzdxdy∑⎰⎰, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解 ∑=∑1+∑2, 其中∑1是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧;∑2是(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxy D D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=103220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xy D .5. 证明22y x ydy xdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数.解 这里, . 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且 , 所以22y x ydy xdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分. .6. 设在半平面x >0内有力构成力场, 其中k 为常数, . 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.解 场力沿路径L 所作的功为.令, . 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且,所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关.7. 求均匀曲面的质心的坐标.解 这里∑:, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}.设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, . 因为,222421a a dS ππ=⋅=∑⎰⎰, 所以 .因此该曲面的质心为.8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明:(1);(2),其中、分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号称为二维拉普拉斯算子. 证明 设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α).(1),所以 .(2)dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u DD )()]()([22222222∆-∆=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎰⎰⎰⎰. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解 设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为33==Ω⎰⎰⎰dv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解 设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为.曲面∑的的单位法向量为, 由斯托克斯公式有.温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
10级高等数学(A)2期末测试题答案
3.
设 L : 点 (1, 0)到 点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折 线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
L
2 3 2
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x + y , Q(x , y )=3 xy ,由 =3 y = ,故此积分与路径无关.............2 分 ∂y ∂x 从而可选择 （1 ， 0 ）到（3， 0 ）的直线段,方程为： y = 0,1 ≤ x ≤ 3................4 分 3 26 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx = ...........6分 1 3 L
D
】
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ...........................2分
D D D
1 = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ ⋅1⋅ 2=3........................................6分 2 D
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解：(1) 联立方程可求得交线为： x 2 + y 2 = 1, z = 1, 从而D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}..........................2分
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy........................4分
).
32π
1. 设 zLeabharlann = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求
华师10秋学期《高等数学(理工)》在线作业参考答案及练习测试题答案
华师10秋学期《高等数学（理工）》在线作业单选题（共50 道试题，共100 分。
）得分：01. 正确答案：D2. 正确答案：A3. 正确答案：C4. 正确答案：C5. 正确答案：D6. 下列有跳跃间断点x=0的函数为A. xarctan1/xB. arctan1/xC. tan1/xD. cos1/x正确答案：B7. 正确答案：D8. 正确答案：D9. 正确答案：B10. 正确答案：C11. 正确答案：D12. 正确答案：C13. 正确答案：B14. 正确答案：A15. 若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有A. 一个B. 两个C. 无穷多个D. 都不对正确答案：C16. 设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=A. ±1B. ±л/2C. ±(л/2+1)D. ±(л/2-1)正确答案：D17. f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：A18. 函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的A. [0,л]B. （0,л）C. [-л/4,л/4]D. （-л/4,л/4）正确答案：C19. 设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=A. 0B. 1/ ㏑2C. 1D. ㏑2正确答案：C20. 正确答案：A21. 正确答案：A22. 正确答案：A23. 正确答案：B24. 正确答案：A25. f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件正确答案：A26. 正确答案：A 27. 函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：B28. 正确答案：C29. 数列有界是数列收敛的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要正确答案：B30. 正确答案：B31. 在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：A32. 正确答案：A33. 正确答案：A34. 设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=B. -aC. |a|D. 0正确答案：A35. 正确答案：A36. 正确答案：C37. 方程=0所表示的图形为A. 原点（0，0，0）B. 三坐标轴C. 三坐标轴D. 曲面，但不可能为平面正确答案：C38. 正确答案：D39. 函数f(x)=|x|在x=0的微分是A. 0B. -dxC. dxD. 不存在正确答案：D40. 正确答案：A41. 设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是A. Z=4B. Z=0C. Z=-2D. x=2正确答案：D42. 若函数f(x)=xsin|x|，则A. f``(0)不存在B. f``(0)=0C. f``(0) =∞D. f``(0)= л正确答案：A43. 正确答案：C44. 正确答案：C45. 若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有A. 唯一的零点B. 至少存在有一个零点C. 没有零点D. 不能确定有无零点正确答案：D46. 正确答案：B47. 正确答案：C48. 正确答案：B49. 正确答案：C50. 正确答案：C华中师范大学网络教育学院 《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin2x)=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2C 1＋x 2D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，54C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x xk)1(lim e 6则k=( )A.1B.2C.6D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（ ）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）A 、 xarctan1/xB 、arctan1/xC 、tan1/xD 、cos1/x13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 0不连续，则下列结论成立是（ ）A 、f(x)+g(x)在点x 0 必不连续B 、f(x)×g(x)在点x 0必不连续须有C 、复合函数f[g(x)]在点x 0必不连续D 、 在点x 0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 满足14、设f(x)= （ ）A 、a ＞0,b ＞0B 、a ＞0,b ＜0C 、a ＜0,b ＞0D 、a ＜0,b ＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）A 、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A、-1B、0C、1D、 233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在 36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型 37、极限 012)sin lim(→x x xx 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型38、极限 xx x x sin 1sinlim20→=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在 39、xx 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A 、2B 、1/2C 、1D 、0 42、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（ ） A 、0 B 、1/2 C 、1 D 、2 43、若函数f(x)在（a,b ）内存在原函数，则原函数有（ ）A 、一个B 、两个C 、无穷多个D 、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（ ）A 、2ex/2B 、4 ex/2C 、ex/2+C D 、e x/245、∫xe -xdx =（ D ）A 、xe -x-e -x+C B 、-xe -x+e -x+C C 、xe -x+e -x+C D 、-xe -x-e -x+C46、设P （X ）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-ndx （ ）A 、不含有对数函数B 、含有反三角函数C 、一定是初等函数D 、一定是有理函数 47、∫-10|3x+1|dx=（ ）A 、5/6B 、1/2C 、-1/2D 、148、两椭圆曲线x 2/4+y 2=1及(x-1)2/9+y 2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）A 、лB 、2лC 、4лD 、6л49、曲线y=x 2-2x 与x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）A 、лB 、6л/15C 、16л/15D 、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）A 、B 、2C 、31/2D 、 21/251、设曲面方程（P ，Q ）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）A 、Z=4B 、Z=0C 、Z=-2D 、x=252、平面x=a 截曲面x 2/a 2+y 2/b 2-z 2/c 2=1所得截线为（ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、两相交直线 53、方程=0所表示的图形为（ ）A 、原点（0，0，0）B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面，但不可能为平面 54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线 55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ）5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ） 13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ） 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ）25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=（ ）26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
高等数学300题(含答案)
x
2
2
x 1 , 代入 g(1 2x) 1 x 即可得到结果 3.
4
x
10 、 设 f (x) 2x 5 , 则 f f (x) 1 .
解: f (x) 1 2x 5 1 2x 4,则f 「 f (x) 1[ f (2x 4) 2(2x 4) 5 4x 13
0 ,则正整数 n =
x 0 s]n x
x0 1 cos x
x2 ln 1 x2
解: ∵ l]m
l]m x2 x2
x0 s]nn x
x x0
n
2
27、 l]m(1 x) x x0
n 4 0, l]m xn n 2 0 n 2, n 4, x x0 2 2
故n 3 .
(
)
A、 1
B. 0
解 : ∵ l]m
x0
s]
n x
x
1,
「 l]m x 0【
x
s]nx1⎠
⎞
C. 1
a
o
a
a
1
│
D. 2
选 C.
29、函数
f
(x)
〔e
1
, x 1
x
1
,
在点
x
1处
0, x 1
A、连续
B、不连续, 但右连续
(
)
C、不连续, 但左连续
1
1
解 : f (1) 0, l]m e x 1 , l]m e
32 、 f (x) s]n bx , x 0 在 x 0 处连续, a 与 b 的关系为
.
2x
考点 7 函数间断点的类型判定
33、 x 0 是函数 f (x) arci an 1 的 x
(完整版)高等数学课程作业答案
高等数学(1)课程作业_A1.(4分)图片201• C. (C)答案C2.(4分)图片126答案B3.(4分)图片63 答案B4.(4分)图片433 答案A5.(4分)图片2-2 答案B6.(4分)图片366答案A7.(4分)图片337答案D8.(4分)图片499答案C9.(4分)图片265答案C10.答案B11.(4分)图片339• D. (D) 答案D 12.(4分)图片476答案D 13.答案B14.(4分)图片173 答案B15.(4分)图片158• B. (B) 答案B16.• A. (A) 答案A 17.(4分)图片2• D. (D) 答案D 18.(4分)图片3-7 答案C 19.答案C20.(4分)图片153• C. (C) 答案C21.(4分)图片228 • C. (C) 答案C22.答案D 23.(4分)图片68 • C. (C) 答案C24.(4分)图片429 答案B(4分)图片553• B. (B) 答案B1.(4分)图片145答案B2.(4分)图片87 • A. (A) 答案A(4分)图片390答案B4.(4分)图片514答案C5.(4分)图片47 答案B6.(4分)图片3-147.(4分)图片475答案B8.(4分)图片181 答案C9.(4分)图片371答案A10.(4分)图片40711.(4分)图片557答案C12.(4分)图片4-4 答案C13.(4分)图片35答案B14.(4分)图片4-30答案C15.(4分)图片114答案B16.(4分)图片48答案C17.(4分)图片474 答案D 18.(4分)图片3-3 答案D 19.(4分)图片3-4•答案A20.答案D 21.(4分)图片72答案C22.(4分)图片173 答案B23.答案B24.(4分)图片479答案C25.(4分)图片482答案D高等数学(1)课程作业_A一单选题1. 图片234标准答案：(B)2. 图片4-10标准答案：(A)3. 图片475标准答案：(B)4. 图片3-5标准答案：(D)5. 图片235标准答案：(A)6. 图片59标准答案：(B)7. 图片4-15用户未作答标准答案：(D)8. 图片48标准答案：(C)9. 图片304标准答案：(B)10. 图片372标准答案：(C)11. 图片339标准答案：(D)12. 图片4-11标准答案：(C)13. 图片2-7标准答案：(C) 14. 图片401标准答案：(D)15. 图片257标准答案：(D)16. 图片407标准答案：(B)17. 图片4-3标准答案：(D)18. 图片4-6标准答案：(D)19. 图片4-8标准答案：(C)20. 图片441标准答案：(D)21. 图片2-4标准答案：(A)22. 图片179标准答案：(D)23. 图片4-12标准答案：(C)24. 图片476标准答案：(D)25. 图片346标准答案：(D)1. 图片4-24标准答案：(C)2. 图片4-12标准答案：(C)3. 图片2-8标准答案：(B)标准答案：(A)5. 图片4-28标准答案：(C)6. 图片372标准答案：(C)7. 图片4标准答案：(A)8. 图片3-1标准答案：(B)9. 图片349标准答案：(D)10. 图片228标准答案：(C)11. 图片520标准答案：(B)12. 图片144标准答案：(D)13. 图片155标准答案：(B)14. 图片101标准答案：(D)15. 图片234标准答案：(B)16. 图片2-9标准答案：(C)17. 图片151标准答案：(A)18. 图片61标准答案：(D)标准答案：(D)20. 图片434标准答案：(A)21. 图片442标准答案：(A)22. 图片476标准答案：(D)23. 图片119标准答案：(D)24. 图片4-17标准答案：(B)25. 图片242标准答案：(C)1. 图片151标准答案：(A)2. 图片4-5标准答案：(A)3. 图片33标准答案：(D)4. 图片4-21标准答案：(A)5. 图片481标准答案：(D)6. 图片3-11标准答案：(B) 7. 图片4-8标准答案：(C)8. 图片2-5标准答案：(C)9. 图片476标准答案：(D)10. 图片171标准答案：(B)11. 图片214标准答案：(A)12. 图片4-11标准答案：(C)13. 图片46标准答案：(A)14. 图片4-17标准答案：(B)15. 图片3-14标准答案：(B)16. 图片122标准答案：(C)17. 图片48标准答案：(C)18. 图片2-1标准答案：(A)19. 图片234标准答案：(B)20. 图片4-15标准答案：(D)21. 图片441标准答案：(D)标准答案：(C)23. 图片4-30标准答案：(C)24. 图片155标准答案：(B)25. 图片235标准答案：(A)1. 图片234标准答案：(B) 2. 图片2-8用户未作答标准答案：(B) 3. 图片180标准答案：(A) 4. 图片188标准答案：(D) 5. 图片4-6标准答案：(D) 6. 图片119标准答案：(D) 7. 图片4-29标准答案：(A)用户未作答标准答案：(A) 9. 图片307标准答案：(C) 10. 图片124标准答案：(A) 11. 图片4-23本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 12. 图片402标准答案：(D) 13. 图片4-26标准答案：(D) 14. 图片64标准答案：(C) 15. 图片476标准答案：(D) 16. 图片70标准答案：(A) 17. 图片4-16标准答案：(C) 18. 图片257标准答案：(D) 19. 图片3-15标准答案：(A) 20. 图片3-1标准答案：(B) 21. 图片214标准答案：(A) 22. 图片475标准答案：(B) 23. 图片520标准答案：(B) 24. 图片2-5标准答案：(C) 25. 图片57标准答案：(D)1. 图片119标准答案：(D) 2. 图片3-2标准答案：(C) 3. 图片242标准答案：(C) 4. 图片339标准答案：(D) 5. 图片401标准答案：(D) 6. 图片4-28标准答案：(C) 7. 图片498标准答案：(D) 8. 图片4-25标准答案：(C) 9. 图片188标准答案：(D) 10. 图片234标准答案：(B) 11. 图片499标准答案：(C) 12. 图片3-5标准答案：(D) 13. 图片4-22标准答案：(D) 14. 图片3-1标准答案：(B) 15. 图片307标准答案：(C) 16. 图片235标准答案：(A) 17. 图片257标准答案：(D) 18. 图片214标准答案：(A) 19. 图片4-21标准答案：(A) 20. 图片476标准答案：(D) 21. 图片399标准答案：(A) 22. 图片212标准答案：(B) 23. 图片3-12标准答案：(D) 24. 图片4-13标准答案：(C) 25. 图片151标准答案：(A) 1. 图片4-5标准答案：(A) 2. 图片2-9标准答案：(C) 3. 图片4-19标准答案：(A) 4. 图片401标准答案：(D) 5. 图片346标准答案：(D) 6. 图片4-26标准答案：(D) 7. 图片3-14标准答案：(B) 8. 图片124标准答案：(A) 9. 图片148标准答案：(C) 10. 图片3-2标准答案：(C)标准答案：(C) 12. 图片3-11标准答案：(B) 13. 图片307标准答案：(C) 14. 图片61标准答案：(D) 15. 图片481标准答案：(D) 16. 图片3-4标准答案：(A) 17. 图片2-7标准答案：(C) 18. 图片2-3标准答案：(C) 19. 图片101标准答案：(D) 20. 图片4-20标准答案：(B) 21. 图片56标准答案：(C)标准答案：(B) 23. 图片475标准答案：(B) 24. 图片180标准答案：(A) 25. 图片3-13标准答案：(C) 1. 图片151标准答案：(A) 2. 图片3-14标准答案：(B) 3. 图片523标准答案：(C) 4. 图片304标准答案：(B) 5. 图片4-13标准答案：(C) 6. 图片407标准答案：(B) 7. 图片434标准答案：(A)标准答案：(C) 9. 图片4-30标准答案：(C) 10. 图片402标准答案：(D) 11. 图片3-5标准答案：(D) 12. 图片57标准答案：(D) 13. 图片4-6标准答案：(D) 14. 图片4-16标准答案：(C) 15. 图片4-14标准答案：(B) 16. 图片3-2标准答案：(C) 17. 图片4-7标准答案：(A) 18. 图片214标准答案：(A)标准答案：(C) 20. 图片499标准答案：(C) 21. 图片242标准答案：(C) 22. 图片4-23标准答案：(C) 23. 图片180标准答案：(A) 24. 图片228标准答案：(C) 25. 图片119标准答案：(D) 1. 图片46标准答案：(A) 2. 图片4-16标准答案：(C) 3. 图片520标准答案：(B) 4. 图片151标准答案：(A)标准答案：(A) 6. 图片2-9标准答案：(C) 7. 图片56标准答案：(C) 8. 图片4-8标准答案：(C) 9. 图片33标准答案：(D) 10. 图片70标准答案：(A) 11. 图片4-22标准答案：(D) 12. 图片2-1标准答案：(A) 13. 图片3-5标准答案：(D) 14. 图片4-20标准答案：(B) 15. 图片4-29标准答案：(A)标准答案：(A)17. 图片3-1标准答案：(B) 18. 图片4-26标准答案：(D) 19. 图片242标准答案：(C)20. 图片59标准答案：(B) 21. 图片407标准答案：(B) 22. 图片122标准答案：(C) 23. 图片61标准答案：(D) 24. 图片3-13标准答案：(C) 25. 图片4-21标准答案：(A) 1. 图片4-17(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(B) 2. 图片257(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(D) 3. 图片177(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 4. 图片4-23(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 5. 图片33(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(D) 6. 图片307(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 7. 图片372(A)(B)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 8. 图片4(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 9. 图片4-21(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 10. 图片214(A)(B)(C)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(A) 11. 图片226标准答案：(D) 12. 图片4-12(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 13. 图片48(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(C) 14. 图片441本题分值： 4.0 用户未作答标准答案：(D)15. 图片498标准答案：(D)16. 图片124用户未作答标准答案：(A)17. 图片402标准答案：(D)18. 图片70标准答案：(A) 19. 图片485标准答案：(A)20. 图片4-15标准答案：(D)21. 图片523标准答案：(C)22. 图片3-1标准答案：(B) 23. 图片339标准答案：(D)24. 图片4-14标准答案：(B)25. 图片4-3标准答案：(D)1. 图片61标准答案：(D)2. 图片4-15标准答案：(D)3. 图片498标准答案：(D)4. 图片4-22标准答案：(D) 5. 图片229标准答案：(A)6. 图片4-23标准答案：(C) 7. 图片3-4标准答案：(A)8. 图片2-5标准答案：(C)9. 图片70标准答案：(A) 10. 图片434标准答案：(A) 11. 图片349标准答案：(D) 12. 图片119标准答案：(D)13. 图片101标准答案：(D)14. 图片4-17标准答案：(B)15. 图片4-16标准答案：(C)16. 图片523标准答案：(C)17. 图片212标准答案：(B) 18. 图片151标准答案：(A)19. 图片4-7标准答案：(A) 20. 图片214标准答案：(A)21. 图片304标准答案：(B) 22. 图片4-30标准答案：(C)23. 图片4-20标准答案：(B)24. 图片520标准答案：(B)25. 图片188标准答案：(D)1.(4分)图片49答案D2.(4分)图片43 答案B3.(4分)图片484答案B4.(4分)图片90答案B5.答案D6.(4分)图片182A7.(4分)图片3-8 答案D8.(4分)图片4-26 答案D9.答案D 10.(4分)图片520 答案B11.(4分)图片557答案C12.答案B13.(4分)图片141答案C14.(4分)图片475答案B15.。
柴俊,丁大公,陈咸平 等 编 科学出版社 华东师范大学 高等数学 上下册 答案Ch_11_Infinite_series
第11章 无穷级数参考解答1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性： （1）()111n n n ∞=+∑ 解：()()1111111nn k S n k k n ===-→→∞++∑，故原级数收敛。
（2）1n ∞=解：()1nn k S n ===→∞→∞，故原级数发散。
2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性： （1）1n ∞= 解：32lim 1n n →∞==<，而级数3121n n ∞=∑收敛，故原级数收敛。
（2）23111n n n∞=++∑ 解：2311lim 11n n n n→∞++==，而级数11n n∞=∑发散，故原级数发散。
（3）112sin5n n n ∞=∑ 解：12sin5lim 125n n n n →∞==⎛⎫⎪⎝⎭，而级数125n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故原级数收敛。
（4）2211ln n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 解：2221ln lim 11n n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，而级数211n n∞=∑收敛，故原级数收敛。
（利用极限1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，或()0ln 1lim1x x x →+=） （5）()11ln 1n n ∞=+∑ 解：()11ln 1n n >+，而级数11n n∞=∑发散，故原级数发散。
3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性： （1）121nn n∞=-∑ 解：111121121lim lim 121221n n n n n nn n n n ++→∞→∞++--==<--，故原级数收敛。
（2）15!n n n n n∞=∑解：()()1151!115lim5lim15!11n n n nn n nn n n en n ++→∞→∞++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故原级数发散。
（3）()()21!2!n n n ∞=∑解：()()()()()()()()2221!22!11limlim 121224!2!n n n n n n n n n →∞→∞+++==<++，故原级数收敛。
华师10秋学期《高等数学(理工)》在线作业参考答案及练习测试题答案
华师10单选题（共 501. 正确答案：2. 正确答案：3. 正确答案：4. 正确答案：5. 正确答案：6.D. cos1/x7. 正确答案：8. 正确答案：9. 正确答案：10. 正确答案：11. 正确答案：12. 正确答案：13. 正确答案：14. 正确答案：15. 若函数有A. 一个B.D.16. 设直线±1D. ±(л/2-1)17. f(a)f(b) （a,bB. 必要条件C.18. 函数间中的A. [0,лB. （0,л）C. 答案：C19. 设yf(x)= 1/ ㏑2C. 1D. ㏑20. 正确答案：21. 正确答案：22. 正确答案：23. 正确答案：24. 正确答案：25. f(x)在点A. 必要条件B. 充分条件C. A26. 正确答案：27. 函数f(x)A. 充分条件B. 必要条件C.A. 充分条件充要条件D. 既非充分也非必要正确B,b]上连续是函数f(x)有界的A. 充充要条件D. 无关条件正确答案：A AAf`(x0)=a，则正确答案：AACA. 原点（0，0，0）三坐标轴D. 曲面，但不可能为平面D在x=0的微分是A. 0B. -dxC. dxD. DAP，Q）则用下列平面去截曲面，截A. Z=4正确答案：D，则A. f``(0)不存在∞D. f``(0)= л正确答案：CC在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，在[0,+ ∞]内有A. 唯一的零点B.C. 没有零点D. 不能确定有无零BCBCC华中师范大学网络教育学院 《高等数学》练习测试题库一．选择题1.函数y=112+x 是（ ）A.偶函数B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin2x)=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {nn 212+}4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6则k=( )A.1B.2C.6D.1/68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ） A 、是连续的 B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值 11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（ ）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ） A 、 xarctan1/x B 、arctan1/x C 、tan1/x D 、cos1/x13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 0不连续，则下列结论成立是（ ）A 、f(x)+g(x)在点x 0 必不连续B 、f(x)×g(x)在点x 0必不连续须有C 、复合函数f[g(x)]在点x 0必不连续D 、 在点x 0必不连续 14、设f(x)=在区间(-∞,+ ∞)上连续，f(x)=0，则a,b 满足且（ ）A 、a ＞0,b ＞0B 、a ＞0,b ＜0 C 、a ＜0,b ＞0 D 、a ＜0,b ＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 0也连续的有（） A 、 B、C f[f(x)]16、函数间中的（ ）A 、C 、/4,л/4）17、在闭区间A C 18、f(a)f(b) ＜（a,b A C 19A 、C 、f(x)=x 220、曲线y=x 2在A 、21、若直线y=x A 、22、曲线y=lnx （ ）A 、D 、-x-y+3e -2=023、设直线y=x+a A 、±D 、±(л/2-1)24、设f(x)、-a C 、|a| D 、0，则y’|x =0=（ ）、1/2 C 、-1 D 、0，则y’|x =0=（ ）、0 C 、1 D 、 不存在㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x =0=、1/ ㏑2 C 、1 D 、 ㏑2，则y(10)=（ ）、cosx C 、-sinx D 、x ，则y(10)=（ ）9B 、1/ x 9C 、8.1/x 9D 、，则（ ）B 、f``(0)=0C 、f``(0) =∞在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0x=0=（ ）、0 C 、л/2 D 、 2,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线）、0 C 、1 D 、 2x 0连续是函数f(x)在x 0可微的B 、必要条件D 、无关条件x 0可导是函数f(x)在x 0可微的B 、必要条件C35、函数A、36、极限lim1x→A、0/0型37、极限A、00型38、极限A、39、x x0x （）A、（C40、若函数xf(0) ＜0则A个零点C点41、曲线y=xA、2D、042、抛物线（）A、0D、243、若函数、两个 C、无穷多x/2+C=（）、4 e x/2 C、e x/2 +C D、D ）-x +C B、-xe-x+e-x +C-x +C D、-xe-x -e-x +C为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dxB、含有反三角函数D、一定是有理函数（）、1/2 C、-1/2 D、1 2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围）B、2лC、4лD、6与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的）、6л/15 C、16л/15 D、）与（0，-1，1）之间的距离为（）、2 C、31/2 D、 21/2P，Q）则用下列平面去截曲面，截）、Z=0 C、Z=-2 D、x=2x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为、双曲线 C、抛物线 D、两53、方程=0A 、原点（C 可能为平面54、方程3x 2+3y 2（ ）A 、X 轴一条直线55、方程3x 2-y 2A 物面 D 二、填空题1、求极限1lim -→x 2、求极限 0lim →x 3、求极限2lim →x 4、求极限∞→x lim 5、求极限0lim →x 6、已知7、已知ρ=ψsin 8、已知9、设直线y=x+a 10、函数y=x 211、函数y=2x 312、函数y=x 213、函数y=2x-5x 14、函数f(x)=x 215、点（0，1（ ） c=（16、∫xx 1/2dx= =x 2e 2x+c ，则f(x)= ( ) =（ ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连)dx =（ ） 1/2)dx=（ ） 2+x 2)=（ ）2)1/2=（ ） /3+x)dx=（ ） 1/2)dx=( ) 1/2)dx=（ ） 1/2)dx=（ ）1/2)dx=（ ） 1/2)dx=（ ） 1/2)dx=（ ） 1/2)dx=（ ）|x-2|＜1的X 所在区间为 ( ) ，则f （л+10）=（ ） 的周期是 （ ）直线x=0,x=л/2所围成的面积是 2与x 轴所围成图形的面积是 θ)的全长为 （ ） ，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成）2，3，1）和（4，5，6）等距行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是 ( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
(完整)自考《高等数学(工专)》课后习题答案详解
自考《高等数学（工专）》课后习题答案详解《高等数学(工专)》真题：积分的性质单选题正确答案：A答案解析：本题考查积分的性质。
由于在[0，1]上，根号x大于x，所以I1>I2。
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A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)正确答案：C答案解析：本题考查驻点的概念。
对x的偏导数为2x+y+1，对y的偏导数为x+2y-1，由于求驻点，也就是偏导数为0的点，所以2x+y+1=0，x+2y-1=0，得到x=-1，y=1。
《高等数学(工专)》真题：矩阵逆的求法单选题1.如果A2=10E，则(A+3E)-1=()。
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A2-9E=E，(A+3E)(A-3E)=E，(A+3E)-1=A-3E《高等数学(工专)》真题：连续的概念单选题A.f(x)在(-∞，1)上连续B.f(x)在(-1，+∞)上连续C.f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上连续D.f(x)在(-∞，+∞)上连续正确答案：C答案解析：本题考查连续的概念。
《高等数学(工专)》真题：矩阵的计算性质单选题1.设A是k×l阶矩阵，B是m×n阶矩阵，如果A·CT·B有意义，则C是()矩阵。
A.k×nB.k×mC.l×mD.m×l正确答案：D答案解析：本题考查矩阵的计算性质。
首先我们判断CT是l×m阶矩阵，所以C是m×l阶矩阵。
《高等数学(工专)》真题：连续的定义单选题1.试确定k的值，使f(x)在x=1处连续，其中()A.k=-2B.k=-1C.k=0D.k=2正确答案：D答案解析：本题考查连续的定义。
《高等数学(工专)》真题：矩阵的性质单选题1.关于矩阵的乘法的说法，正确的是()。
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华师10秋学期《高等数学（理工）》在线作业单选题（共50 道试题，共100 分。
）得分：01. 正确答案：D2. 正确答案：A3. 正确答案：C4. 正确答案：C5. 正确答案：D6. 下列有跳跃间断点x=0的函数为A. xarctan1/xB. arctan1/xC. tan1/xD. cos1/x正确答案：B7. 正确答案：D8. 正确答案：D9. 正确答案：B10. 正确答案：C11. 正确答案：D12. 正确答案：C13. 正确答案：B14. 正确答案：A15. 若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有A. 一个B. 两个C. 无穷多个D. 都不对正确答案：C16. 设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=A. ±1B. ±л/2C. ±(л/2+1)D. ±(л/2-1)正确答案：D17. f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：A18. 函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的A. [0,л]B. （0,л）C. [-л/4,л/4]D. （-л/4,л/4）正确答案：C19. 设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=A. 0B. 1/ ㏑2C. 1D. ㏑2正确答案：C20. 正确答案：A21. 正确答案：A22. 正确答案：A23. 正确答案：B24. 正确答案：A25. f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件正确答案：A26. 正确答案：A 27. 函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：B28. 正确答案：C29. 数列有界是数列收敛的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要正确答案：B30. 正确答案：B31. 在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：A32. 正确答案：A33. 正确答案：A34. 设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=B. -aC. |a|D. 0正确答案：A35. 正确答案：A36. 正确答案：C37. 方程=0所表示的图形为A. 原点（0，0，0）B. 三坐标轴C. 三坐标轴D. 曲面，但不可能为平面正确答案：C38. 正确答案：D39. 函数f(x)=|x|在x=0的微分是A. 0B. -dxC. dxD. 不存在正确答案：D40. 正确答案：A41. 设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是A. Z=4B. Z=0C. Z=-2D. x=2正确答案：D42. 若函数f(x)=xsin|x|，则A. f``(0)不存在B. f``(0)=0C. f``(0) =∞D. f``(0)= л正确答案：A43. 正确答案：C44. 正确答案：C45. 若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有A. 唯一的零点B. 至少存在有一个零点C. 没有零点D. 不能确定有无零点正确答案：D46. 正确答案：B47. 正确答案：C48. 正确答案：B49. 正确答案：C50. 正确答案：C华中师范大学网络教育学院 《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin2x)=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2C 1＋x 2D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，54C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x xk)1(lim e 6则k=( )A.1B.2C.6D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（ ）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）A 、 xarctan1/xB 、arctan1/xC 、tan1/xD 、cos1/x13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 0不连续，则下列结论成立是（ ）A 、f(x)+g(x)在点x 0 必不连续B 、f(x)×g(x)在点x 0必不连续须有C 、复合函数f[g(x)]在点x 0必不连续D 、 在点x 0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 满足14、设f(x)= （ ）A 、a ＞0,b ＞0B 、a ＞0,b ＜0C 、a ＜0,b ＞0D 、a ＜0,b ＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）A 、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A、-1B、0C、1D、 233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在 36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型 37、极限 012)sin lim(→x x xx 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型38、极限 xx x x sin 1sinlim20→=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在 39、xx 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A 、2B 、1/2C 、1D 、0 42、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（ ） A 、0 B 、1/2 C 、1 D 、2 43、若函数f(x)在（a,b ）内存在原函数，则原函数有（ ）A 、一个B 、两个C 、无穷多个D 、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（ ）A 、2ex/2B 、4 ex/2C 、ex/2+C D 、e x/245、∫xe -xdx =（ D ）A 、xe -x-e -x+C B 、-xe -x+e -x+C C 、xe -x+e -x+C D 、-xe -x-e -x+C46、设P （X ）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-ndx （ ）A 、不含有对数函数B 、含有反三角函数C 、一定是初等函数D 、一定是有理函数 47、∫-10|3x+1|dx=（ ）A 、5/6B 、1/2C 、-1/2D 、148、两椭圆曲线x 2/4+y 2=1及(x-1)2/9+y 2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）A 、лB 、2лC 、4лD 、6л49、曲线y=x 2-2x 与x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）A 、лB 、6л/15C 、16л/15D 、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）A 、B 、2C 、31/2D 、 21/251、设曲面方程（P ，Q ）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）A 、Z=4B 、Z=0C 、Z=-2D 、x=252、平面x=a 截曲面x 2/a 2+y 2/b 2-z 2/c 2=1所得截线为（ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、两相交直线 53、方程=0所表示的图形为（ ）A 、原点（0，0，0）B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面，但不可能为平面 54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线 55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ）5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ） 13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ） 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ）25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=（ ）26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。