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浙江省新高考研究联盟2017届第三次联考数学试题卷+Word版含答案

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2017年浙江数学高考试题文档版(含答案)

2017年浙江数学高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数 学一、 选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。

每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

{}{}x -1<x Q x =<<<1，=0x 2P ，那么PQ =A.〔-1,2〕B.〔0，1〕C.〔-1,0〕D.〔1,2〕x y +=22194的离心率是A.B. C. 23 D. 593.某几何体的三视图如下图〔单位：cm 〕，则该几何体的体积〔单位：3cm 〕是 A.π+12B.π+32C.π3+12 D. π3+324.假设x,y 满足约束条件x 0x y 30x 2y 0⎧≥⎪≥=+⎨⎪≤⎩+-，则z 2-x y 的取值范围是A.[0,6]B. [0,4]C.[6, +∞）D.[4, +∞） 5.假设函数()2f x =++x ax b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-mA. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0〞是465"+2"S S S >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件y (x)y (x)f f ==，的导函数的图像如下图，则函数y (x)f =的图像可能是8．随机变量i ξ满足P 〔i ξ=1〕=p i ，P 〔i ξ=0〕=1—p i ，i =1，2.假设0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ9．如图，正四面体D –ABC 〔全部棱长均相等的三棱锥〕，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α,β,γ，则 A ．γ<α<β B ．α<γ<β C ．α<β<γ D ．β<γ<α10．如图，平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝ ，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３< I １<I ２D ． I ２<I １<I ３非选择题局部〔共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2024年浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)高考数学第三次联考试卷(含解析)

2024年浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)高考数学第三次联考试卷(含解析)

2024年浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高考数学第三次联考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥8−2x}，则A∪B=( )A. [2,4)B. [3,4)C. [2,+∞)D. [3,+∞)2.复数5ii−2的虚部是( )A. iB. 1C. −2iD. −23.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，则cos<3a+4b，a+b>=( )A. 0B. 7210C. 210D. 14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S3=a4−2，S2=a3−2，则公比q=( )A. 2B. −2C. 12D. −125.已知A(−2,−2)，B(1,3)，点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最大值为( )A. 16−62B. 26+22C. 26+42D. 326.若函数f(x)=sin(ωx)+cosx的最大值为2，则常数ω的取值可以为( )A. 1B. 12C. 13D. 147.已知[x]表示不超过x的最大整数，若x=t为函数f(x)=x−1e x−1(x<0)的极值点，则f([t])=( )A. 2ee−1B. 3e2e2−1C. 4e3e3−1D. 5e4e4−18.设O为原点，F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，点P在C上且满足|OP|=32a，cos∠F1P F2=37，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 2x±y=0B. x±2y=0C. 3x±y=0D. x±3y=0二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是( )A. 数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3B. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ越小，表示随机变量X分布越集中C. 已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为3，则x 1−1，x 2−1，x 3−1，…，x n −1的方差为3D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y =0.3x −m ，若其中一个散点为(m,−0.28)，则m =410.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a ⋅sin 2A +C2=b ⋅sinA ，下列结论正确的是( )A. B =π3B. 若a =4，b =5，则△ABC 有两解C. 当a −c =33b 时，△ABC 为直角三角形D. 若△ABC 为锐角三角形，则cosA +cosC 的取值范围是(32,1]11.在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别为线段B 1C ，D 1C 1的中点，点P 满足DP =λD D 1+μDB,λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则( )A. 当λ+μ=1时，三棱锥D −PEF 的体积为定值B. 当λ=μ=12，四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积是9π4C. △PEF 周长的最小值为32+ 22+12D. 若AP =62，则点P 的轨迹长为π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(参考答案及评分标准)

2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(参考答案及评分标准)

12017年第三次全国大联考【新课标III 卷】理科数学·参考答案13．3 14．590490 15．12 16．2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭17．【解析】（Ⅰ）由cos cos 2a B b A +=，根据余弦定理，得222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，整理，得2c =．………………2分由()cos 1cos cA b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+，又sin B ＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，………4分sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．………………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）因为13sin cos 226x x x x x ⎫π⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以6C π=．………………8分 由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………9分 所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分 所以ABC ∆的面积21sin 226S a π==………………12分18．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420180240m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分2（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=，参加跳绳的学生人数有3人，所以X 的所有可能取值为1、2、3、4，………………6分()134347C C 41C 35P X ===，()224347C C 182C 35P X ===，()314347C C 123C 35P X ===，()4447C 14C 35P X ===，………………9分所以离散型随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 4P435 1835 1235 135所以41812116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．【解析】（Ⅰ）如图，连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AFBG DE ，BG DE =，AF ⊥平面ABCD ，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MHBGAF ，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分 在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且ACMH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥．………………5分（Ⅱ）由题意，以D 为坐标原点，以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设1AB AF BG DE ====，………………6分则()0,0,1E ，()1,0,1F ，()1,1,1G ，()0,1,0C ，()1,0,0EF =，()0,1,1EC =-，()1,1,0EG =． …………………………………………………………………7分 设()1111,,x y z =n 为平面FCE 的一个法向量，则由110EF EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得11100x y z =⎧⎨-=⎩，取11y =，得()10,1,1=n ．………………9分3设()2222,,x y z =n 为平面GCE 的一个法向量，则由2200EG EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得222200x y y z +=⎧⎨-=⎩，取21y =，得()21,1,1=-n ，………………11分∴1212126cos ,||||323⋅===⋅⨯n n n n n n ， ∴二面角F CE G --的余弦值为6．………………12分20．【解析】（Ⅰ）由题意，得63c a = ①，且12||2F F c =，21||b PF a=，则212146||||2b F F PF c a ⋅=⋅= ②．………………2分由①②联立，并结合222a b c =+，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=．………………4分 （Ⅱ）当直线m 与x 轴不垂直时，设直线m 的方程为()()20y k x k =-≠，代入椭圆C 的方程22162x y +=，得()222213121260k x k x k +-+-=．………………5分 设()11,A x y 、()22,B x y ，所以21221213k x x k+=+，212212613k x x k -=+．………………6分 根据题意，假设在x 轴上存在一个定点()0,0M x ，使得MA MB ⋅的值为定值， 则()()()()101202102012,,MA MB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()()222002222120120231210612413x x k x k x x k x x x k x k-++-=+-++++=+．…………7分要使上式为定值，即与k 无关，则()220003121036x x x -+=-，解得073x =，4此时，20569MA MB x ⋅=-=-，………………8分 所以在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……………9分当直线m 与x 轴垂直时，将2x =代入椭圆方程可求得出,A B 的坐标，不妨设,2,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，则161,,,33MA MB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭∴115()()339MA MB ⋅=-⨯--=-．…………11分 综上可知，在x 轴上存在定点7,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使得MA MB ⋅为定值，且073x =，定值为59-．……12分21．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()1+∞－，，()()()()2331212111x a af x x x x +-'=+++－＝，………………2分 当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；……………3分 当0a >时，若1x ≥，则()0f x '≥，函数()f x 在1,)+∞上单调递增；若11x -<<，则()0f x '<，函数()f x 在(1)-上单调递减．……………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1+∞－，上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间()1-上单调递减，在)1,+∞上单调递增．………………5分（Ⅱ）22()323()3g x x x x x '=-=-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可见，当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，()g x 在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，()g x 在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………7分而()1224327g g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，所以，()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，………………8分 依题意，只需当12,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()11134x f x ++≥恒成立， 即()()1111x f x +≥，即()()1ln 111a x x x +++≥+在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，5亦即()()()211ln 1a x x x ≥+-++在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立．………………9分 令()()()2()11ln 1h x x x x =+-++2,13x ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()()()21ln 1h x x x x '=--++，………9分显然(0)0h '=， 当2,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时， 0x ->，()()21ln 10x x ++<，()0h x '>，即()h x 在2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增；………………10分当(]0,1x ∈时，0x -<，()()21ln 10x x ++>，()0h x '<，即()h x 在区间(]0,1上单调递减； 所以，当0x =时，函数()h x 取得最大值(0)1h =，………………112分 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1， 所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分 （Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=，解得512k=，所以所求切线的方程为512280x y-+=；当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x=．………………9分综上，所求切线的方程为4x=或512280x y-+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（Ⅰ）设()222f x x x=+--，则()4,13,124,2x xf x x xx x--<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x<-时，由42x-->，得6x<-，6x<-∴；………………2分当12x-≤<时，由32x>，得23x>，223x<<∴；………………3分当2x≥时，由42x+>，得2x>-，2x≥∴．………………4分综上所述，集合M为2|63x x x⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1t=，则()()()1111a b c t---==．因为1,1,1a b c>>>，所以10,10,10a b c->->->，………………6分则()110a a=-+≥>，（当且仅当2a=时等号成立）……………7分()110b b=-+≥>，（当且仅当2b=时等号成立）………………8分()110c c=-+≥>，（当且仅当2c=时等号成立）………………9分则8abc≥≥（当且仅当2a b c===时等号成立），即8abc≥．………………10分67。

浙江省新高考研究联盟2017届高三上学期考试数学试题Word版含答案

浙江省新高考研究联盟2017届高三上学期考试数学试题Word版含答案

浙江省新⾼考研究联盟2017届⾼三上学期考试数学试题Word版含答案2016学年第⼀学期浙江“七彩阳光”新⾼考研究联盟⾼三联考数学学科试题考⽣须知：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.考⽣答题前，务必将⾃⼰的姓名、准考证号⽤⿊⾊字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3.选择题的答案须⽤2B 铅笔将答题纸上对应题⽬的答案标号涂⿊，如要改动，须将原填涂处⽤橡⽪擦净。

4.⾮选择题的答案须⽤⿊⾊字迹的签字笔或钢笔写在答题纸相应区域内，答案写在本试题卷上⽆效。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()().P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独⽴，那么()()().P A B P A P B = 如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是p，那么n 次独⽴重复试验中事件A 恰好发⽣k次的概率()(1)(0,1,2,,).k kn k n n P k C p p k n -=-= 球的表⾯积公式24,S R π=其中R 表⽰球的半径。

球的体积公式34,3VR π=其中R 表⽰球的半径。

柱体的体积公式,V Sh =其中S 表⽰柱体的表⾯积，h 表⽰柱体的⾼。

锥体的体积公式1,3VSh =其中S 表⽰锥体的表⾯积，h 表⽰锥体的⾼。

台体的体积公式()121,3V h S S =其中12,S S 表⽰台体的上、下⾯积，h 表⽰台体的⾼。

第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.已知全集U R =,集合{}{}2|3,|13,A x x B x x =≥=<<则()R A C B =B.{|x x x ≤≥C.{|1或x x x ≤≥D.{}|3x x x ≤≥ 2.若,a b 为实数，则“33ab <”是“1a b <+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续整数的概率是（） A.35 B.25C.13D.234.已知等差数列{}na 满⾜22383829a a a a ++=，且0n a <，则其前10项和为（）A.-9B.-11C.-13D.-15 5.函数()2cos sin 3f x x x π??=- ?的最⼤值为（）A.12 D.26.设圆C的圆⼼与双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线30x y -=被圆C 截得的弦长等于1，则双曲线的离⼼率e 的值是（）327.如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 两个三等分点，41BA CA BE CE ?=?=- ，，则BF CF的值是（）A.-5B.-4C.-3D.-2 8.已知221,0()() (1),0x x x f x y f x x f x x ?--+<==-?-≥?，则的零点有（）B.A.1个 B.2个C.3个D.4个()2*0121123sin cos cos ,0...,()(),,2...,n n n n n n n f x x x x x x x x a f x f x n N S a a a a S π-=+≤<<<<≤=-∈=++++9.已知函数则的最⼤值等于（）1 D.210.如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=5,PA=4，BC=6,点M 在平⾯PBC 内，且α，则cos α的最⼤值为（）A.5B.5C.25D.5第Ⅱ卷⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 三、11.已知42,lg ,a x a ==则a =；x =.12.正项等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，公⽐为q ，且4418,a S S =-则1=；=q .13.⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的最长的棱长为；体积为. 14.已知实数,x y 满⾜320324010x y x y y -+≥??+-≤??+≥?，则z x y =+的最⼤值是15.已知00=2x y xy x y >>+，，，若222x y m m +≥+恒成⽴，则实数m 的取值范围是.16.已知函数2)3,1() 2,1xa x a x f x x -+17.直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的⾯积称为函数()f x 在区间[],a b 上的⾯积.现已知函数sin y nx =在区间0,n π的⾯积为2n ，则函数3sin 314y x π=-+（）在区间5,44ππ上的⾯积为.三、解答题：本⼤题共5个⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在ABC ?中，⾓A B C ，，的对边分别为,,a b c ，且tan 21.tan A c B b+=（Ⅰ）求⾓A 的⼤⼩.（Ⅱ）若=2a ，求ABC ?⾯积的最⼤值.19.（本题满分15分）如图，在四棱锥C ABDE-中，F为CD的中点，,//,2D B A B C B D A E B D平⾯且（Ⅰ）求证：//.EF ABC 平⾯（Ⅱ）若6AB BC CA DB ====，，求AC 与平⾯ECD 所成⾓的正弦值.20.（本题满分15分）已知函数31() 1.3f x x ax =-+ 1左视图俯视图AEDBF（Ⅰ）若=1a 时，求()f x 在2x =处的切线⽅程.（Ⅱ）求()f x 在[]0,1上的最⼩值()g a 的表达式.21.（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离⼼率为，并且经过点(M .（Ⅰ）求椭圆的标准⽅程. （Ⅱ）若直线l 与圆22:1O x y +=相切，与椭圆C 相交A,B 两点，求AOB ?D 的⾯积最⼤值.22.（本题满分15分）已知数列{}n a 满⾜12115,6(2)n n n a a a a a n +-===+≥.（Ⅰ）求证：{}12n n a a ++是等⽐数列.（Ⅱ）设33n n n n na b n +=?，且{}n b 的前n 项和为*,n T n N ∈,证明：6n T <.2016学年七彩联盟—⾼三数学试题答案2016.12.1⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。

2017届高三第三次联考(理数)(含答案)word版

2017届高三第三次联考(理数)(含答案)word版

2017年六校高三年级第三次联考理 科 数 学（时间：120分钟 满分：150分）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2．下列判断错误．．的是( ) A ．“22bm am <”是“a<b”的充分不必要条件 B ．命题“01,23≤--∈∀x xR x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若q p Λ为假命题,则p,q 均为假命题D ．若ξ～B （4，0．25）则1=ξE3. 已知为等差数列，以表示的前n 项和，则使得达到最大值的n 是( ) A. 18B. 19C. 20D. 214．已知2a －b ＝(－1，3)，c ＝(1，3)，且a ·c ＝3，|b |＝4，则b 与c 的夹角为 ( ) A. π6 B. π3 C.5π6 D.2π35.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成060角， 则直线11AC 到底面ABCD 的距离为( )B.1 6. 执行右侧框图所表达的算法后，输出的n 值是（ ）A.1B.2C.3D.47.已知1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当的面积等于时，双曲线的离心率为（ ）正视图俯视图A.2B.3C.26D.2 8. 2(sin cos )1y x x =+-是（ ）A.最小正周期为π2的偶函数B.最小正周期为π2的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数 9. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图像是（ ）B ．C ．D ．10. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是（ ）A ． 2nB ． 2(2n-1)C ． 2nD ．2n2第II 卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．11.一离散型随机变量ξ且其数学期望E ξ＝1.5， 则b a -＝__________． 12. 一空间几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 13．dx x ⎰--2|)1|2(＝ ．14．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 57 9 11 13 15 17 19 ……按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．PA BCDQM15．选做题：（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果两题均做，则按第一题计分）A ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 ⎩⎨⎧-=+=ty at x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围 ．B. （不等式选讲选做题）如果存在实数x 使不等式k x x <--+21成立，则实数k 的取值范围是_________．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），)1),24(sin 2(2-+=Bn π,m ⊥n ．（1）求角B 的大小；（2）若a =b=1，求c 的值． 17. （本小题满分12分）某中学经市人民政府批准建分校，工程从2010年底开工到2013年底完工，工程分三期完成。

2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)文数卷(解析版)

2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)文数卷(解析版)

2017年第三次全国大联考【新课标III 卷】文科数学·全解全析一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，21{|1,}2N y y x x ==-+∈R ，则M N =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,2D ．{}2 1．A 【命题意图】本题考查集合的运算、二次函数值域，意在考查运算求解能力．【解析】因为{}2,1,0,1,2M =--，{}|1N y y =≤，则{}2,1,0,1MN =--，故选A ． 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足41i 1z=-+，则共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．D 【命题意图】本题考查复数的运算、共轭复数与模的计算，意在考查运算求解能力． 【解析】由41i 1z =-+，得()()()41i 41112i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+，则12i z =-，在复平面上对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ．3．在长为4的线段PQ 上随机取一点R （R 不取端点值），以PR 的长为边长的正方形的面积大于9的概率为（ ）A ．12B ．14C ．716D ．9163．B 【命题意图】本题考查几何概型，意在考查运算求解能力． 【解析】由题意，知29PR >，即34PR <<，则所求概率为43144-=，故选B ． 4．已知函数()1e 2x x f x -=+，且()2e 1f x -≤+，则实数x 的取值范围是（ ）A ．()(),33,-∞+∞B ．(],3-∞C ．()3,+∞D ．(),-∞+∞4．B 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，意在考查运算求解能力、等价变换的能力．【解析】由函数解析式易知()f x 在R 上为增函数，且()1e 1f =+，所以原不等式等价于()()21f x f -≤，所以21x -≤，解得3x ≤，故选B ．5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上两个不同的点，满足||||8AF BF +=，且线段AB 的中点坐标为()3,4，则p =（ ）A ．12 B ．2 C ．4 D ．8 5．B 【命题意图】本题主要考查抛物线的几何性质，意在考查运算求解能力．【解析】由题意知236A B x x +=⨯=，根据抛物线的定义及||||8AF BF +=知822A B p p x x +++=，即68p +=，解得2p =，故选B ． 6．若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，且331z x y m =-++-的最大值为1，则m =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．A 【命题意图】本题主要考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力．【解析】作出约束条件2204x y x y x -≥-⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩所对应的可行域（如图中阴影部分）．变形目标函数可得直线331y x z m =+-+， 当直线经过点()4,1A --时，z 取得最大值，即()341311m -⨯--+-=，解得3m =-，故选A ．7．执行下列程序框图，如果输出的i 值为2，那么输入的x 的取值范围是（ ）A ．4x <B ．24x <<C ．24x ≤<D ．416x ≤<7．C 【命题意图】本题主要考查程序框图，意在考查辨识框图的能力、运算求解能力．【解析】执行下列程序：20,log i x x ==→()221,log log i x x ==→()()2222,log log log i x x ==,则由()()()22222log log log 0log log 0x x ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得24x ≤<，故选C ．8．如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是正方体中挖去了两个半圆锥得到的一个几开始x 输入0i =2log x x =0?x <1i i =+i 输出结束何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．8045+πB ．()84451+-πC ．()80451+-π D ．8445+π 8．C 【命题意图】本题主要考查三视图与正方体、圆锥的表面积，意在考查空间想象能力、转换能力、运算求解能力．【解析】根据三视图还原出来的几何体如下图所示，其表面积221164224422S ⎛⎫=⨯-⨯π⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭＋22242π⨯⨯+＝()80451+-π，故选C ．9．函数()223e x y x x =+的图象大致是（ ）9．A 【命题意图】本题考查函数图象、导数与极值的关系，意在考查识图能力．【解析】由()f x 的解析式知只有两个零点32x =-与0x =，排除B ；又()()2273e x f x x x '=++，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选A ．10．已知过半径为2的球的球心的大圆面α内有一个内接正ABC △，点P 是过AB 且与平面α垂直的球的截面圆上任意一点，则点P 到平面ABC 的最大距离为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．23 10．B 【命题意图】本题主要考查球的性质、面面垂直的应用，意在考查空间想象能力、运算求解能力．【解析】如图所示，由题意，知平面PAB ⊥平面ABC ，所以点P 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上，所以PD ⊥平面ABC ，所以当D 为AB 的中点时，点P 到平面ABC 的距离最大，即为PD ．因为ABC △是正三角形，则31CD OD ==，，223PD OP OD =-=，故选B ．1123的双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若线段OF 的垂直平分线与双曲线一条渐近线的交点到另一条渐近线的距离为c λ（c 为半焦距，0λ>），则实数λ的值是（ ）A ．12B ．13C ．2D ．3 11．A 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力及方程思想的应用．【解析】由题意，得()0F c ，，不妨设线段OF 的垂直平分线2c x =与渐近线b y x a =的交点为,22c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此它到另一条渐近线b y x a =-，即0bx ay +=的距离为2222bc bc b c a b λ+==+．又由23c a =与222c a b =+可得12b c =，所以12λ=，故选A ． 12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*4n p a n n =∈N ，若*n ∀∈N ，*m ∃∈N ，使得22816n m pS a p n =+成立，且满足条件的所有正整数p 从小到大构成数列{}n b ，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ）A ．()161n n +B ．()41n n +C ．14n n+ D ．()161n n + 12．A 【命题意图】本题考查数列通项与前n 项和，意在考查运算求解能力、裂项法的应用．【解析】因为4n p a n =，所以()18n p S n n =+，代入22816n m pS p n a -=，得()22811684p p p n n p n m ⋅+-=⋅⋅，整理，得4p m n =．由于*m ∈N ，*n ∈N ，*p ∈N ，则必有4p k =()*k ∈N ，于是4n b n =，所以()111111161161n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则n T ＝()1111111111162231161161n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在菱形ABCD 中，()2,3AC =-，()1,2BD x =-，则x =____________．13．4【命题意图】本题主要考查平面向量的垂直的条件，意在考查运算求解能力与转化能力．【解析】由菱形的性质知AC BD ⊥，则 ()()21320AC BD x ⋅=-+-⨯=，解得4x =．14．已知()()()13log 3x a a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩（1,*a a ≠∈N ），若()()2418f f +=，则a =____________． 14．4【命题意图】本题主要考查分段函数的求值，意在考查运算求解能力．【解析】由题意，得21log 418a a ++=，即2log 417a a +=．因为1,*a a ≠∈N ，所以217a <，则24a ≤≤，分别验证2,3,4a =知，只有4a =满足条件，故4a =．15．《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”问这个数学问题中动物有＿＿＿＿＿只．（数字作答）15．590490【命题意图】本题考查数学文化、等比数列，意在考查运算求解能力、审读能力．【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项19a =，公比9q =的等比数列{}n a ，其通项公式为1999n n n a -=⋅=，则动物的数量为()5655699919590490a a +=+=+=（只）．16．已知函数())sin 03f x x ωωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭＞的最小正周期为π，若0,3x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()()21110f x a f x a ---+≤∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________．16．1,2⎛+-∞- ⎝⎦【命题意图】本题考查三角函数的性质与值域、不等式恒成立，意在考查运算求解能力、等价转化能力．【解析】由22T ωπ==，得()sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭则当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≤≤令()1t f x =-，则1t -≤≤，且210t at -+≤恒成立，整理可得1a t t ≤+，而函数1y t t=+在区间1⎡-⎣上单调递增，所以1y tt =+的最小值为(1+-=，则12a +≤-． 三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2222cos 40a c b bc A c +-+-=，且()cos 1cos c A b C =-．（Ⅰ）求c 的值及判断ABC △的形状； （Ⅱ）若6C π=，求ABC △的面积． 17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积与三角恒等变换，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力，以及方程思想、转化思想的应用．【解析】（Ⅰ）由2222cos 40a c b bc A c +-+-=，根据余弦定理，得 2222222402b c a a c b bc c bc +-+-+⋅-=，整理，得2c =．………………2分 由()cos 1cos c A b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，……………4分 所以sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．……………5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………8分因为6C π=，所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分所以ABC △的面积21sin 226S a π==………………12分 18．（本小题满分12分）某初级中学根据运动场地的影响，且为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2016冬季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只能参加其中一项，该校780名学生参加各运动项目人数统计如下表：其中参加跑步类的人数所占频率为13，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（Ⅰ）求表格中m 和n 的取值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）抽取的13名学生中恰好包含X Y ，两名同学，其中X 同学参加的项目是200米，Y 同学参加的项目是跳绳，现从参加200米和跳绳两个项目中随机抽取3人，求这3人中正好有X Y ，两名同学的概率．18．【命题意图】本题考查分层抽样、古典概型，意在考查学生的数据获取与处理能力、逻辑思维能力、运算求解能力．【解析】（Ⅰ）由题意，得参加跑步类的有778042013⨯=人，………………1分 所以420240180m =-=，78042018012060n =---=．………………3分 根据分层抽样法知，抽取的13人中参加200米的学生人数有180133780⨯=人．………………5分 （Ⅱ）选出的13人中参加200米的有3人，分别记为12,,A A X ，参加跳绳的有3人，分别记为12,,B B Y ．………………7分现从这6人中任选3人，有()()()()()()()()121211221211121112,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A X A A B A A B A A Y A X B A X B A X Y A B B ，()()()()()()()()1112212222122122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B Y A B Y A X B A X B A X Y A B B A B Y A B Y ，()()()()121212,,,,,,,,,,,X B B X B Y X B Y B B Y ，共20种，………………10分其中这3人中正好有X Y ，两名同学的情况有4种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为41205=．………………12分 19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 为正方形，AF ⊥平面ABCD ，AF BG DE ∥∥，且AB AF BG DE ===，H 为EG 中点．（Ⅰ）求证：BD CH ⊥；（Ⅱ）若正方形ABCD 的边长为1，求三棱锥G BCE -的体积．19．【命题意图】本题考查空间直线与平面间平行和垂直的判断与证明、三棱锥的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推证能力、运算求解能力．【解析】（Ⅰ）连接AC 交BD 于点M ，连接MH ．∵AF BG DE ∥∥，BG DE =，∴四边形BDEG 为矩形，………………1分又∵H 为EG 中点，∴MH BG AF ∥∥，MH BG =，………………2分又∵AF ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥BD ．………………3分在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，且AC MH M =，∴BD ⊥平面CMH ，………………4分 又CH ⊂平面CMH ，∴BD CH ⊥.………………5分（Ⅱ）连接,BF AG 交于点N ，则∵AB AF BG DE ===，AF BG DE ∥∥，∴四边形ADEF 和四边形ABGF 均为平行四边形， ∴EF AD BC ，∴四边形BCEF 为平行四边形．………………7分又AF ⊥平面ABCD ，∴AF AB ⊥，平面ABGF ⊥平面ABCD ，∴四边形ABGF 为正方形，∴AG BF ⊥．………………8分又∵BC AB ⊥，∴BC ⊥平面ABGF ．∵AG ⊂平面ABGF ，∴BC AG ⊥．………………9分 又∵BC BF B =，∴AG ⊥平面BCEF ，即GN ⊥平面BCEF ．………………10分 根据条件可得1222GN AG ==，1BC EF AB ===，………………11分 ∴1111211222366G BCE G BCEF BCEF V V GN S --==⨯⋅==．………………12分20．（本小题满分12分）已知左、右焦点分别为12F F 、的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一短轴端点为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与椭圆C 交于,P Q 两个不同的点．当四边形12PF F Q为矩形时，其面积为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设()3,0A -，问：是否存在过定点()1,0M 的直线n 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点，使AMN △?若不存在，说明理由；若存在，求出直线n 的斜率．20．【命题意图】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，意在考查学生的逻辑思维能力、分析能力与运算求解能力，以及方程思想、数形结合思想、分类讨论思想．【解析】（Ⅰ）由题意，得32b = ①，且12||2F Fc =，21||b PF a =，则2121||||24b F F PFc a ⋅=⋅= ②．………………2分 由①②联立，并结合222a b c =+，解得29a =， 所以椭圆C 的方程为224199x y +=．………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知点()3,0A -是椭圆C 的左顶点，当直线n 与x 轴平行时，AMN △不存在，…………………6分，所以设直线n 的方程为1x my =+，并设点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 联立2241991x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()224280m y my ++-=， 其判别式()2224324361280m m m ∆=++=+>，…………8分， 所以12224m y y m +=-+，12284y y m =-+， 所以121||||2AMN S AM y y ∆=-==，…………10分 假设存在直线n= 解得24m =或26017m =-（舍去），所以2m =±，……………………11分故存在直线n ：21x y =±+使得AMN S △n 的斜率为12±．…………12分 21．（本小题满分12分）设函数()2ln f x ax x a =--．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对任意()1,x ∈+∞，都有()e 1e x f x x+>，求实数a 的取值范围． 21．【命题意图】本题主要考查导数与单调性和最值的关系、不等式恒成立问题，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、等价转化能力， 以及分类讨论的思想、等价转化思想、构造法的应用．【解析】（Ⅰ）()()212120ax f x ax x x x-'=-=>．………………1分 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞内单调递减；………………2分当0a >时，令()0f x '=，有x =x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．………………4分 综上所述，0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞内单调递减；当0a >时，函数()f x 在⎛⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎭内单调递增．………………5分 （Ⅱ）令1e ()ex g x x =-()()1,x ∈+∞，即e e ()e x x x g x x -=()()1,x ∈+∞． ………………6分 令()e e x h x x =-，则()()e e 01xh x x '=->>，则()h x 在()1,+∞内单调递增， 所以()()10h x h >=，故()0g x >．………………7分当0a ≤，1x >时，()2ln 0f x ax x a =--<， 故当()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立时，必有0a >．………………8分 当102a <<时，1>，由（Ⅰ）知函数()f x 在上单调递减，即x ∈时，()(1)()f x f g x <<，不符合题意，舍去．………………9分 当12a ≥时，令()()()u x f x g x =-，1x >，则 ()2211e 11e 22e e x u x ax ax x x x x x '=-+->-+-＝3222221210ax x x x x x -+-+>>，……10分所以()u x 在1x >时单调递增，所以()()10u x u >=恒成立，即()()f x g x >恒成立，满足题意．………………11分 综上，1[,)2a ∈+∞．………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()4cos 2sin m ρρθθ--=-，且直线l 与圆C 相交于不同的,A B 两点．（Ⅰ）求线段AB 垂直平分线l '的极坐标方程；（Ⅱ）若||AB =m 的值．（Ⅲ）若1m =，求过点()4,4N 与圆C 相切的切线方程．22．【命题意图】本题考查直线的极坐标与圆的参数方程、直线与圆的位置关系，意在考查运算求解能力、等价转化能力．【解析】（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1，所以直线l '的斜率为1-．………………1分因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，则配方，得()()22215x y m -+-=-，其圆心为()2,1C ，半径为)5m <．………………3分由题意，知直线l '经过圆心()2,1C ，所以直线l '的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，所以由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l '的极坐标方程为()cos sin 3ρθθ+=．………………5分（Ⅱ）因为||AB =C 到直线l)5m =<．)5m =<，解得1m =．………………7分（Ⅲ）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=．2=， 解得512k =，所以所求切线的方程为512280x y -+=； 当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x =．………………9分综上，所求切线的方程为4x =或512280x y -+=．………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2222x x +-->的解集为M ．（Ⅰ）求集合M ；（Ⅱ）已知t 为集合M 中的最小正整数，若1,1,1a b c >>>，且()()()111a b c t ---=，求证：8abc ≥．23．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论与等价转化的思想．【解析】（Ⅰ）设()222f x x x =+--，则()4,13,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，………………1分当1x <-时，由42x -->，得6x <-，6x <-∴；………………2分当12x -≤<时，由32x >，得23x >，223x <<∴；………………3分 当2x ≥时，由42x +>，得2x >-，2x ≥∴．………………4分综上所述，集合M 为2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1t =，则()()()1111a b c t ---==．因为1,1,1a b c >>>，所以10,10,10a b c ->->->， ………………6分则()110a a =-+≥>（当且仅当2a =时等号成立），……………7分()110b b =-+≥>（当且仅当2b =时等号成立），………………8分 ()110c c =-+≥>（当且仅当2c =时等号成立），………………9分 则8abc ≥≥（当且仅当2a b c ===时等号成立）， 即8abc ≥．………………10分。

浙江省2017年新高考数学试题 Word版含答案

浙江省2017年新高考数学试题 Word版含答案

2017年浙江省普通高校招生统一考试数 学选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}11P x x =-<<，{}02Q x x =<<，那么PQ =A. (1,2)-B. (0,1)C. (1,0)-D. (1,2)2．椭圆22194y x +=的离心率是B.C. 23D. 593．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积 （单位：3cm ）是A. π+12B. π+32 C. 3π+12 D. 3π+324．若,x y 满足约束条件0,30,20,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤则2z x y =+的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6,)+∞D. [4,)+∞5．若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m - A. 与a 有关，且与b 有关 B. 与a 有关，但与b 无关 C. 与a 无关，且与b 无关 D. 与a 无关，但与b 有关6．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的 A. 充分不必要条 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示， 则函数()y f x =的图象可能是8．已知随机变量i ξ满足(1)i i P p ξ==，(0)1i i P p ξ==-，1,2i =．若12102p p <<<，则A. 12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ<B. 12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ>C. 12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ<D. 12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ>9．如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），,,P Q R 分别为,,AB BC CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==．分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为,,αβγ，则A. γαβ<<B. αγβ<<C. αβγ<<D. βγα<<10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ．记1I OA OB =⋅，2I OB OC =⋅，3I OC OD=⋅，则A. 123I I I <<B. 132I I I <<C. 312I I I <<D. 213I I I <<非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2017年高考浙江卷数学试题解析(正式版)(解析版)

2017年高考浙江卷数学试题解析(正式版)(解析版)

第 1 页 共 13 页绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径1()3a b V h S S =柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，那么=Q P A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A第 2 页 共 13 页【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-.2．椭圆22194x y +=的离心率是 A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B 【解析】945e -==，选B. 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（第3题图）A ．π2+1 B ．π2+3 C ．3π2+1 D ．3π2+3 【答案】A【解析】21113(21)13222V π⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+，选A ．4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在2 (0),(1)1,()24a af b f a b f b==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B．6．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C7．函数y=f(x)的导函数()y f x'=的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（第7题图）【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x=位于增区间内，因此选D．8．已知随机变量iξ满足P（iξ=1）=p i，P（iξ=0）=1–p i，i=1，2．若0<p1<p2<12，则A．1()Eξ<2()Eξ，1()Dξ<2()DξB．1()Eξ<2()Eξ，1()Dξ>2()DξC．1()Eξ>2()Eξ，1()Dξ<2()DξD．1()Eξ>2()Eξ，1()Dξ>2()Dξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E pξξ==，∴12()()E Eξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p pξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p pξξ-=---<，故选A．9．如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，第 3 页共 13 页第 4 页 共 13 页2BQCRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则（第10题图）A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠>，OA OC <，OB OD <，所以0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅， 故选C ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.第 5 页 共 13 页11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =． 【答案】33【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则61336(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=．12．已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ．【答案】5，2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==．13．已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =________，5a =________．【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：223232C C 2C C 2r r m m m r m m r m x x x --+⋅=⋅⋅⋅，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，取r m =，可得25124a =⨯=．14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______． 【答案】1510,15．已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，25【解析】设向量,a b的夹角为θ，由余弦定理有：2212212cos54cosa bθθ-=+-⨯⨯⨯=-，()2212212cos54cosa bθθ+=+-⨯⨯⨯π-=+，则：54cos54cosa b a bθθ++-=++-，令54cos54cosyθθ=++-，则[]221022516cos16,20yθ=+-∈，据此可得：()()max min2025,164a b a b a b a b++-==++-==，即a b a b++-的最小值是4，最大值是25．16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）【答案】66017．已知a∈R，函数4()||f x x a ax=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是___________．【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x xx∈+∈，分类讨论：①当5a≥时，()442f x a x a a xx x=--+=--，函数的最大值9245,2a a-=∴=，舍去；②当4a≤时，()445f x x a a xx x=+-+=+≤，此时命题成立；③当45a<<时，(){}maxmax4,5f x a a a a=-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a aa a⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a=或92a<综上可得，实数a的取值范围是9,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 6 页共 13 页第 7 页 共 13 页18．（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23 sin x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求2()3f π的值． （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（Ⅰ）由23sin3π=，21cos 32π=-，2223131()()()23()322f π=---⨯⨯-． 得2()23f π=．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（Ⅰ）证明：//CE平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2．【解析】（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ．MFH QNPAB CDEPAB CDE第 8 页共 13 页因为E，F，N分别是PD，P A，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ//CE．由△P AD为等腰直角三角形得PN⊥AD．由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN．所以sin∠QMH 2，所以直线CE与平面PBC 2．20．（本题满分15分）已知函数f(x)=（x21x-e x-（12x≥）．（Ⅰ）求f(x)的导函数；（Ⅱ）求f(x)在区间1[+)2∞，上的取值范围．【答案】（Ⅰ）()(1)(1)e21xf'x xx -=--；（Ⅱ）[0，1212e-]．第 9 页共 13 页第 10 页 共 13 页【解析】（Ⅰ）因为1(21)121x x 'x --=--，(e)e x x '--=-，所以1()(1)e (21)e 21x x f'x x x x --=-----(1)(212)e 1()221xx x x x ----=>-．（Ⅱ）由(1)(212)e ()021xx x f'x x ----==-，解得1x =或52x =． 因为x 12（12，1） 1 （1，52） 52（52，+∞） – 0 + 0 – f （x ）121e 2-521e 2-又21()(211)e 02x f x x -=--≥，所以f （x ）在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,e ]2-．21．（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（第19题图）（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；第 11 页 共 13 页（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）(1,1)-；（Ⅱ）2716（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A 211()2k x ++21(1)k k ++，|PQ |= 2221()1Q k x x k +-=+所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=． 令3()(1)(1)f k k k =--+， 因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 22．（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n N *∈）．证明：当n N *∈时，第 12 页 共 13 页（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （Ⅲ）112n -≤x n ≤212n -． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，因此10()n n x x n *+<<∈N ．故112()2n n n n x x x x n *++-≤∈N ． （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以第 13 页 共 13 页112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-，得 111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=， 故212n n x -≤．综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试-数学(浙江卷)解析(参考版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试-数学(浙江卷)解析(参考版)

选择题部分(共40分)、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1 .已知P {x |1 x 1} , Q {2 x 0}，则 P QA • ( 2,1)B • ( 1,0)C • (0,1)D • ( 2, 1)【答案】A【解析】取P,Q 所有元素，得P Q ( 2,1).绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共 4页，选择题部分1至2页，非选择题部分 3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意： 1 •答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。

2 •答题时，请按照答题纸上 注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式S 4 R 2 球的体积公式 1 V -Sh3其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高1 ------------------ V §h(S a S a S £)其中S a , $分别表示台体的上、下底面积 h 学%科网表示台体的高2 2x 2 .椭圆一9 y1的离心率是4A .远3 【答案】B【解析】e .9 433 .某几何体的三视图如图所示(单位: cm3)是nF+1【答案】【解析】n 12(_2~ 1)4 .若x, y满足约束条件y2yA. [0,6] B . [0,4] 【答案】Dcm)，则该几何体的体积(单位:正视图Q俯视圈C.3n彳T+1D.弓+31，选A.0，则z=x+2y的取值范围是C. [6, +8]D. [4,+ 8【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4, 无最大值，选D.5.若函数f(x)=x2+ ax+b在区间［0,1］上的最大值是M，最小值是m,则A .与a有关，且与b有关B .与a有关，但与b无关C.与a无关, 且与b无关D.与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在f (0) b, f(1) 12a aa b, f ( )b 中取，所以最值之差2 4b无关，选B.6.已知等差数列［a n ］的公差为d ,前n 项和为3,贝U d>0”是S 4 + S” >S 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D •既不充分也不必要条件【答案】C【解析】S 4 S 6 2S 5 d ，所以为充要条件，选 C.【答案】D8.【答案】9 .如图，已知正四面体 D-\BC (所有棱长均相等的三棱锥)，PQR 分别为AB , BC , CA 上的点,C . a < B <Y【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选 8.已知随机变量A . E( J<E( C . E(1)>E( 1满足P(1 =1) =P)i, P (1=0) =1 —|：)i , i = 12) , D( 1)<D( 2)B.E( 1)<E( 2), D( 1)<D( 2) D.E( 1)>E(1 小,2.若 0<p 1<p 2< ，则22) , D( 1)>D( 2)2) , D(1)>D( 2)【解析】 Q E( i )P i ,E( 2) p 2 , E( 1)E( 2) Q D( 1)P 1(1 pj, D( 2) P 2(1 P 2),D( 1) D( 2) (P 1P 2)(1 P 1 P 2)0,选 A.AP=PB ,BQ QCCR RA2，分别记二面角 D -PR-Q , D -PQ-R , D -QR-P 的平面较为 a B, Y 则7.函数y=f(x)的导函数y f (x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是D.【答案】B【解析】设0为三角形ABC 中心，贝U O 到PQ 距离最小，0到PR 距离最大，0到RQ 距离居中，而高相 等，因此所以选BLLW iun10.如图，已知平面四边形 ABCD , AB 丄BC, AB = BC = AD = 2, CD = 3, AC 与BD 交于点O ,记Ii = OAOB ,uur Lur LLLT Lur I 2=OB OC , I 3=OC OD ，贝U/）A. I 1 <I 2 < I 3 nB . I 1<I 3 <I 2C . c I 3<I 1 < I 2D . I 2<I 1<I 3【答案】CLUL LILT LLTT L ILT LLL T LLLT【解析】因为 AOBCOD 90°，所以 OB OC 0 OA OB OCOD(QOA OC,OB OD)非选择题部分（共110分）7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学(浙江卷)解析(参考版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学(浙江卷)解析(参考版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式锥体的体积公式球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a ab b V h S S S S =+⋅+柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Shh 学%科网表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P A ．)1,2(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,2(--【答案】A【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P )1,2(-.2．椭圆22194x y +=的离心率是 A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】B【解析】94533e -==，选B. 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．π2+1 B ．π2+3 C ．3π2+1 D ．3π2+3 【答案】A 【解析】2π1211π3(21)1322V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A. 4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B.6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C.7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是 【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8.【答案】A 【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A.9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则 A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<所以选B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I O A O B ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３【答案】C【解析】因为90AOB COD ∠=∠> ,所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<< 选C非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省名校新高考研究联盟2024届高三第三次联考(三模)数学试题(含答案与解析)_8968

浙江省名校新高考研究联盟2024届高三第三次联考(三模)数学试题(含答案与解析)_8968

Z 20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第三次联考数学试题卷本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1. 答卷前， 务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效.3. 请保持答题卡的整洁.考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}{}24182A x x B x x x =≤<=-≥-， ，则 A B ⋃=（ ） A [)2,4B. [)3,4C. [)2,∞+D. [)3,∞+2. 复数5ii 2-的虚部是（ ） A. iB. 1C. 2i -D. 2-3. 已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=，则cos 34,a b a b ++= （ ）A. 0B.C.D. 14. 设 n S 为等比数列 {}n a 前 n 项和，已知 342322S a S a =-=-， ，则公比 q =（ ） A. 2B. -2C.12D. 12-5. 已知()()2,2,1,3A B --，点P 在圆224x y +=上运动，则22PA PB +的最大值为（ ）A. 16-B. 26+C. 26+D. 326. 若函数 ()()sin cos f x x x ω=+ 最大值为 2，则常数 ω 的取值可以为（ ） A. 1B.12C.13D.14.的的7. 已知 []x 表示不超过 x 的最大整数，若 x t = 为函数1()(0)1e xx f x x -=<-的极值点，则 []()f t =（ ）A. 2e e 1-B. 2231e e -C. 3341e e -D. 4451e e -8. 设O 为原点，12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，点P 在C 上且满足32OP a =，123cos 7F PF ∠=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.0y ±= B. 0x ±=C. 0y ±=D. 0x =二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3B. 已知随机变量X 服从正态分布()2,,Nμσσ越小，表示随机变量X 分布越集中C. 已知一组数据12,,,n x x x 的方差为3，则1231,1,1,,1n x x x x ---- 的方差为3D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为ˆ0.3yx m =-，若其中一个散点为(),0.28m -，则4m =10. 已知 ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2sin sin 2A Cb A +⋅=⋅，下列结论正确的是（ ） A. π3B =B. 若 45a b ==， ，则 ABC 有两解C. 当a c -=时， ABC 为直角三角形D. 若 ABC 为锐角三角形，则 cos cos A C + 的取值范围是 11. 在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E F 、分别为线段111B C D C ，的中点，点P 满足[][]10,1,0,1DP DD DB λμλμ=+∈∈，，则（ ）A. 当1λμ+=时，三棱锥D PEF -的体积为定值B. 当12λμ==，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是9π4C. PEF !12D. 若AP =，则点P 的轨迹长为π2第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为_________.13. 甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2 人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_____________种. (用数字作答)14. 已知关于x 的不等式()()2ln 22110x ax x a x ⎡⎤--++≤⎣⎦对任意 ()0,x ∞∈+ 恒成立，则实数 a 的取值范围是___________________.四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15. 已知等差数列 {}n a 的公差不为零， 125,,a a a 成等比数列，且 221n n a a =+ . （1）求数列 {}n a 的通项公式; （2）求 13521n a a a a -++++ .16. 已知四面体,2,A BCD AB AD BC CD AC -=====（1）证明：AC BD ⊥;（2）若BD =AB 与平面ACD 所成角的正弦值.17. 为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%. 已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第n 天不下雪的概率为n P . （1）求123P P P 、、的值，并求n P; （2）设小王寒假第n 天通过运动消耗的能量为X ，求X 的数学期望.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为 12F F 、 ，焦距为直线 :l y x m =+ 与椭圆交于 A B 、 两点 （其中点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方）. （1）求椭圆 C 的标准方程;（2）如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定半平面（平面 12A F F '）与 y 轴 负半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 12B F F ' ) 垂直.①若折叠后 OA OB '⊥' ，求 m 的值;②是否存在 m ，使折叠后 A B ''、 两点间的距离与折叠前 A B 、 两点间的距离之比为34 ? 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转π(0)2αα<£后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”. （1）判断函数y =是否为“π6旋转函数”，并说明理由；（2）已知函数()()()ln 210f x x x =+>是“α旋转函数”，求tan α的最大值；（3）若函数()()21e ln 2xx g x m x x x =---是“π4旋转函数”，求m 的取值范围.的的参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}{}24182A x x B x x x =≤<=-≥-， ，则 A B ⋃=（ ） A. [)2,4 B. [)3,4C. [)2,∞+D. [)3,∞+【答案】C 【解析】【分析】先解集合B 中的不等式182x x -≥-，解出x 的范围，再求得A B ⋃即可. 【详解】由182x x -≥-，解得3x ≥，即{}3B x x =≥，{}24A x x =≤< ，{}2A B x x ∴⋃=≥.故选：C2. 复数5ii 2-的虚部是（ ） A. iB. 1C. 2i -D. 2-【答案】D 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.【详解】因为()()()5i 2i 5i 12i i 2i 22i --==-----， 所以复数5ii 2-的虚部是2-. 故选：D3. 已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=，则cos 34,a b a b ++= （ ）A. 0B.C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】计算出()()347a b a b +⋅+=，345a b +=r r，a b += ，利用向量夹角余弦公式求出答案..【详解】()()22343743047a b a b a a b b +⋅+=+⋅+=++= ，()2223492416901625a ba ab b +=+⋅+=++= ，故345a b +=r r ，()2222112a b a a b b +=+⋅+=+=，故a b += ，所以()()34cos 34,34a b a b a b a b a b a b+⋅+++===+⋅+ . 故选：B4. 设 n S 为等比数列 {}n a 的前 n 项和，已知 342322S a S a =-=-， ，则公比 q =（ ） A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】A 【解析】【分析】根据数列的前n 项和与n a 的关系，两式相减，即可求解. 【详解】由已知，342322S a S a =-=-，，两式相减得，32343S S a a a -==-，即342a a =，即432a q a ==. 故选：A5. 已知()()2,2,1,3A B --，点P 在圆224x y +=上运动，则22PA PB +的最大值为（）A. 16- B. 26+ C. 26+D. 32【答案】C 【解析】【分析】设()2cos ,2sin P θθ，根据两点间的距离公式结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设()2cos ,2sin P θθ，则()()()()2222222cos 22sin 22cos 12sin 3PA PB θθθθ+=++++-+-22224cos 8cos 44sin 8sin 44cos 4cos 14sin 12sin 9θθθθθθθθ=++++++-++-+π4cos 4sin 26264θθθ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，当πcos 14θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，22PA PB +取得最大值26+. 故选：C.6. 若函数 ()()sin cos f x x x ω=+ 的最大值为 2，则常数 ω 的取值可以为（ ） A. 1 B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【分析】首先分别分析函数cos y x =和()sin y x ω=的最大值，再根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数cos y x =的最大值为1，()sin y x ω=的最大值为1， 由题意可知，cos y x =取得最大值1时，()sin y x ω=也取得最大值1， 即当2π,Z x k k =∈时，π2π2π2k k ω'⋅=+，,Z k k '∈， 得14k k kω'=+，,Z k k '∈，0k ≠， 当1,0k k '==时，14ω=，其他值不满足等式.故选：D7. 已知 []x 表示不超过 x 的最大整数，若 x t = 为函数1()(0)1e x xf x x -=<-的极值点，则 []()f t =（ ）A. 2e e 1-B. 2231e e -C. 3341e e -D. 4451e e -【答案】B 【解析】【分析】求导后，构造()e 2e 1x xg x x =-+-，分别求出()()10,20g g ->-<，由零点存在定理得到零点范围，再结合题意求出结果即可.【详解】由题意可得()()2e 2e 1e 1x x xx f x -+-¢=-，令()e 2e 1x xg x x =-+-， 则()1313e 110e g --=-=->，()22424e 110eg --=-=-<，所以存在021x -<<-，使得()00g x =，即()00f x '=，当02x x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当01x x <<-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以0x x =为函数()f x 的极值点， 所以[][]02t x ==-，所以[]()()22222133e 21e 1e 11e ft f ----=-===---，故选：B.8. 设O 为原点，12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，点P 在C 上且满足32OP a =，123cos 7F PF ∠=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.0y ±=B. 0x ±=C. 0y ±=D. 0x =【答案】B 【解析】【分析】设12,PF m PF n ==，由题意列出含,m n 的方程组，解出,a b 的关系式，进而求出双曲线的渐近线即可.【详解】设12,PF m PF n == ，由双曲线的定义知 2m n a -= ①， 在 12F PF △ 中，由余弦定理得：2221242cos c m n mn F PF ∠=+-⋅， 所以222647c m n mn =+- ②， 再由32OP a =，O 为12,F F 的中点，延长PO 至Q ，使OQ OP =， 所以四边形12PF F Q 为平行四边形，且3232PQ a a =⨯=，在12PF F △中，由余弦定理知：2221242cos c m n mn F PF ∠=+-⋅， 在1PF Q △中，由余弦定理知：222192cos a m n mn PF Q =+-∠， 因为121πF PF PF Q ∠+∠=，则121cos cos 0F PF PF Q ∠+∠=， 可知()()()2222232m na c +=+，所以2222942a c m n ++=③， 由①③得2214mn a c =+④， 把③④代入②得2222294614274a c c a c +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，化简得222222*********c a a b a a =∴+=∴=， ，所以渐近线方程0x =. 故选：B.【点睛】关键点点睛：由四点共圆的四边形四个边的平方和等于两条对角线的平方和()()()2222232m n a c +=+是解决本题的关键.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3B. 已知随机变量X 服从正态分布()2,,Nμσσ越小，表示随机变量X 分布越集中C. 已知一组数据12,,,n x x x 的方差为3，则1231,1,1,,1n x x x x ---- 的方差为3D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为ˆ0.3yx m =-，若其中一个散点为(),0.28m -，则4m = 【答案】BC 【解析】【分析】根据百分位数的定义即可判断A ；根据正态曲线的性质即可判断B ；根据方差的性质即可判断C ；根据观测值与预测值的区别即可判断D.【详解】对于A ，数据按照从小到大的顺序排列为2,3,5,7,10，为因为540%2⨯=，所以数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3542+=，故A 错误； 对于B ，σ越小，即方差越小，随机变量X 分布越集中，故B 正确； 对于C ，已知一组数据12,,,n x x x 的方差为3，则1231,1,1,,1n x x x x ---- 的方差为2133⨯=，故C 正确；对于D ，散点(),0.28m -不一定在回归直线为ˆ0.3yx m =-上， 所以由散点(),0.28m -无法求出m 值，故D 错误. 故选：BC.10. 已知 ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c2sin sin 2A Cb A +⋅=⋅，下列结论正确的是（ ） A. π3B =B. 若 45a b ==， ，则 ABC 有两解C.当a c -=时， ABC 为直角三角形 D. 若 ABC 为锐角三角形，则 cos cos A C +的取值范围是 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A ；通过余弦定理即可判断B ；通过余弦定理及a c -=可得2a c =或2c a =，即可判断C ；通过求A 的取值范围ππ62A <<，并将πcos cos sin(6A C A +=+即可判断D.【详解】对于A2sin sin 2A C b A +⋅=⋅，所以由πA B C ++=2πsin sin sin 2BA B A -⋅=⋅，2cos sin sin 2BA B A ⋅=⋅，的因为(0,π)A ∈，故sin 0A ≠22sin cos 222B B B =，化解得coscos )0222B B B -=，即πcos sin()0226B B -=， 所以cos 02B =或πsin(026B -=，即B π=（舍）或π3B =，故A 正确； 对于B ，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即21251682c c =+-⨯⨯，得2490c c --=， 由2(4)4(9)520∆=--⨯-=>，所以2c =+负值舍)，即ABC 有一解，故B 错误；对于C，因为a c -=，两边平方得22223b a ac c -+=， 由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，由两式消2b 得，222520a ac c -+=，解得2a c =或2c a =，由π23B a c b ===，，解得π2A ∠=，由π23B c a b ===，，解得π2C ∠=; 故ABC 为直角三角形，故C 正确；对于D ，因为ABC 为锐角三角形，且π3B =， 所以ππ00ππ222πππ6200322A A A AC ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<-<<<⎪⎪⎩⎩，即2π1πcos cos cos cos()cos sin()326A C A A A A A +=+-=+=+， 所以ππ2π(,)633A +∈，所以πsin()6A +∈，故D 正确. 故选：ACD.11. 在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E F 、分别为线段111B C D C ，的中点，点P 满足[][]10,1,0,1DP DD DB λμλμ=+∈∈ ，，则（ ）A. 当1λμ+=时，三棱锥D PEF -的体积为定值B. 当12λμ==，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是9π4C. PEF !12D. 若AP =，则点P 的轨迹长为π2 【答案】ABD【解析】【分析】A 选项，先得到1BP BD λ= ，故点P 在线段1D B 上，证明出1//D B EF ，所以三棱锥D PEF-为定值；B 选项，点P 为线段1D B 的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径和外接球面积；C 选项，取线段11A D 的中点1F ，由对称性知，1PF PF =，数形结合得到11PF PE PF PE F E ∴+=+≥=，从而得到周长的最小值；D 选项，由AP =得到点P 的轨迹为以Q 为圆心，半径为1的圆的一部分，求出圆的半径，得到轨迹长度.【详解】A 选项，当1λμ+=时，()111DP DD DB DP DD DB λμλλ=+⇒=+- ，故()1DP DB DD DB λ-=- ，即1BP BD λ= ， 故点P 在线段1D B 上，连接1BC ，与1B C 相交于点E ，则E 为1BC 的中点，连接EF ，因为F 为11D C 的中点，所以1//D B EF ，故三棱锥D PEF -的体积为定值，A 正确；B 选项，当12λμ==时，由A 选项可知，112BP BD = ，点P 为线段1D B 的中点，连接,AC BD 相交于点Q ，则PQ ⊥平面ABCD ，设正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为T ，则,,P Q T 三点共线，其中1,2PQ CQ ==，设PT TC r ==，则12TQ r =-， 由勾股定理得222TC TQ CQ =+，即221122r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 解得34r =， 则表面积是29π4r =，B 正确； C 选项，点P 在矩形11D B BD 及其内部，取线段11A D 的中点1F ， 由对称性知，1PF PF =，11PF PE PF PE F E ∴+=+≥=，此时1,,E F P 三点共线，又112EF BD ==PF PE FE ∴++≥，C 错误；D 选项，因为AP = ，又点P 在矩形11D B BD 及其内部，∴点P 的轨迹为点A 11D B BD 截且在矩形11D B BD 及其内部的图形，又AQ ⊥平面11BDD B ，且AQ =，故1PQ == ， 所以点P 的轨迹为以Q 为圆心，半径为1的圆的一部分，如图，其中1JQ MQ ==，DQ DB ==故JD MB === 则45JQD MQB ∠=∠=︒，则90JQM ∠=︒，则轨迹长为1π2π142⨯⋅=，D 正确. 故选：ABD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为_________.【答案】3【解析】【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π ，设母线长为l ，高为h .则π(15)30πl +⨯=，解得5l =.如图所示圆台的轴截面，在BED 中，||4,||5ED BD ==，由勾股定理得：圆台的高3h =.故答案为：3.13. 甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2 人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_____________种. (用数字作答)【答案】180【解析】【分析】采用分步乘法计数原理计算即可.【详解】易知甲有6种站法，则乙有5种站法，丙有6种站法，总共有656180⨯⨯=种.故答案为：18014. 已知关于x 的不等式()()2ln 22110x ax x a x ⎡⎤--++≤⎣⎦对任意 ()0,x ∞∈+ 恒成立，则实数 a 的取值范围是___________________. 【答案】11,2e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】将原不等式转化为2ln 21x ax x x ≤≤-+恒成立，画出函数ln y x =与21,0y x x x =-+>的图像，求出过原点且与函数ln y x =，21,0y x x x =-+>分别相切时直线的斜率，根据数形结合可得结果.【详解】不等式可化为()()22ln 210ax x ax x x ⎡⎤---+≤⎣⎦，令()2ln 1,0y x x x x =--+>，因为()()211121x x y x x x+-'=-+=-， 令001y x >⇒<<'，所以函数()2ln 1y x x x =--+在()0,1上为增函数， 令01y x '<⇒>，所以函数()2ln 1y x x x =--+在()1,+∞上为减函数， 所以当1x =时max 10y =-<，即当()0,x ∈+∞时0y <，所以()2ln 1x x x <-+， 所以2ln 21x ax x x ≤≤-+设1k 为过原点且与ln y x =相切的直线的斜率，设切点()00,x y ， 则001001x x y k y x x ===='，所以01y =，又00ln 1y x ==，所以0e x =，所以11ek =， 设2k 为过原点且与21,0y x x x =-+>相切的直线的斜率，设切点()11,x y ， 则1121121x x y k y x x ===-'=，且21111y x x =-+，解得11x =或11x =-（舍去），所以21k =， 画出函数ln y x =与21,0y x x x =-+>的图像，如图：数形结合可得，121221e k a k a ≤≤⇒≤≤，所以112e 2a ≤≤， 故答案为：11,2e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. .【点睛】关键点点睛：本题关键点是将原不等式转化为2ln 21x ax x x ≤≤-+恒成立，根据数形结合，将问题转化为过原点且与函数ln y x =，21,0y x x x =-+>分别相切时直线的斜率，从而得结果.四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知等差数列 {}n a 的公差不为零， 125,,a a a 成等比数列，且 221n n a a =+ .（1）求数列 {}n a 的通项公式;（2）求 13521n a a a a -++++ .【答案】（1）21n a n =-（2）22n n -【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，（2）根据等差数列求和公式即可求解.【小问1详解】由题意 221121211n n a a a a d a =+⇒=+⇒=+ (1)()()()222151111422.a a a a d a a d d a =⋅⇒+=+⇒= 由(1)(2)可得 112a d ==，所以 ()11221n a n n =+-⋅=-【小问2详解】()21221143n a n n -=--=-，2347n a n -=-，21234n n a a ---=，故{}21n a -为等差数列， ()12121352122n n n a a n a a a a n a n n --+⋅++++==⋅=- .16. 已知四面体,2,A BCD AB AD BC CD AC -=====（1）证明：AC BD ⊥;（2）若BD =AB 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据题意可知,BD AM BD CM ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）方法1：根据题意可知：平面BCD ⊥平面ACM ，作辅助线，可知AH ⊥平面BCD ，利用等体积法求点B 到平面ACD 的距离为，结合线面夹角的定义分析求解；方法2：根据题意可知：平面BCD ⊥平面ACM ，作辅助线，可知AH ⊥平面BCD ，建系，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BD 的中点M ，连,AM CM ，由AB AD BC BD ===，可得,BD AM BD CM ⊥⊥，又因为AM CM M ⋂=，AM CM ⊂、平面ACM ，所以BD ⊥ 平面 ACM ，因为AC ⊂平面ACM ，所以AC BD ⊥.【小问2详解】方法1：因为BD =，所以1AM CM ==，又因为AC =120AMC ∠= ，由（1）可得BD ⊥平面ACM ，所以平面BCD ⊥平面ACM ，作AH CM ⊥交CM 延长线于点H ，则AH ⊥平面BCD 且AH =，设点B 到平面ACD 的距离为h ，因为B ACD A BCD V V --=，则1133ACD BCD S h S ⋅= ，可得h ==， 设直线AB 与平面ACD 所成角为θ，可得sin h AB θ==， 所以直线AB 与平面ACD 取成线面角； 方法2：因为BD =，所以1AM CM ==，又因为AC =120AMC ∠= ，由（1）可得BD ⊥平面ACM ，且BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ACM ，作AH CM ⊥交CM 延长线于点H ，则AH ⊥平面BCD且AH =， 如图，以MB 为x 轴，MC 为y 轴，z 轴//AH 建立空间直角坐标系，的则)()()10,,,0,1,0,2A B C D ⎛- ⎝，可得)310,,,,,22AC DC AB ⎛=== ⎝ ，设平面ACD 的一个法向量为(),,n x y z =，则3020n AC y z n DC y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ， 令1x =，则3==-y z，可得()1,3n =- ， 设直线AB 与平面ACD 所成角为θ，可得sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅====⋅ ， 所以直线AB 与平面ACD. 17. 为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%. 已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第n 天不下雪的概率为n P .（1）求123P P P 、、的值，并求n P; （2）设小王寒假第n 天通过运动消耗的能量为X ，求X 的数学期望.【答案】（1）12310.40.52P P P ===，，，1111225n n P -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（2）11250305n -⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意得到123,,P P P ，且得到()110.40.61n n n P P P --=+-，利用构造法得到12n P⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，从而求出通项公式；（2）求出200300X =，，及对应的概率，得到X 的数学期望.【小问1详解】由题意得121,10.40.4P P ==⨯=，第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，故30.40.40.60.60.52P =⨯+⨯=，依题意()111130.40.6155n n n n P P P P ---=+-=-+， 整理得1111252n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以11122P -=为首项，15-为公比的等比数列， 即1111225n n P -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，所以1111225n n P -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；【小问2详解】 200300X =，，由（1）得()()3000.80.210.60.2n n n P X P P P ==+-=+，则他第n 天通过运动锻炼消耗的能量X 的期望为()()()3003002001300P X P X =+-=()1120010030022060250305n n P X P -⎛⎫=+==+=+- ⎪⎝⎭ .18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12F F 、 ，焦距为 直线 :l y x m =+ 与椭圆交于 A B 、 两点 （其中点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方）.（1）求椭圆 C 的标准方程;（2）如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 12A F F '）与 y 轴 负半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 12B F F ' ) 垂直.①若折叠后 OA OB '⊥' ，求 m 的值;②是否存在 m ，使折叠后 A B ''、 两点间的距离与折叠前 A B 、 两点间的距离之比为34? 【答案】（1）2214x y += （2）①1m =±；②不存在【解析】【分析】（1）由焦距为，可得出c和222a b c =+可得出a 与b 的值，从而求得椭圆的标准方程；（2）①联立直线方程与椭圆方程，由直线和椭圆有两个交点且两个交点在x 轴两侧，利用韦达定理求出m 范围，然后建立空间直角坐标系，根据条件OA OB '⊥'，得出0OA OB ''⋅= ，即可得出m 值；②分别表示出折叠前A B 、间的距离和折叠后A B ''、间的距离，根据题目中距离的比值列方程求解m ，再判断其是否满足条件即可.【小问1详解】由题意222c a a c b c =+==，解得：21a b ==，， 所以椭圆 C 的标准方程为 2214x y += 【小问2详解】折叠前设 ()()1122A x y B x y ，，， ，联立2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()2258410x mx m ++-=的由直线 y kx m =+ 与椭圆交于不同两点，所以 0∆> ，解得 25m < ， 由韦达定理得：()221212418,55m m x x x x -+=-⋅=，因为 AB 位于 x 轴两侧，所以120y y ⋅<，化简得 24m < ，从而 22m -<< ，以 O 为坐标原点，折叠后，分别以原 y 轴负半轴，原 x 轴，原 y 轴正半轴所在直线为 x y z ，， 轴建立空间直角坐标系，则折叠后()()11220,,,,,0A x y B y x ''-①折叠后 OA OB '⊥' ，则 0OA OB ''⋅= ，即120x x ⋅= ，所以21,1m m ==±②折叠前2AB x =-==，折叠后A B '=='==34=，解得 2152m = ，此时直线 l 与椭圆无交点， 故不存在 m ，使折叠后的 A B '' 与折叠前的 AB 长度之比为 34.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用空间向量的知识求解.19. 在平面直角坐标系中，如果将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转π(0)2αα<£后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”.（1）判断函数y =是否为“π6旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数()()()ln 210f x x x =+>是“α旋转函数”，求tan α的最大值；（3）若函数()()21e ln 2xx g x m x x x =---是“π4旋转函数”，求m 的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析（2）12（3）e m ≥【解析】【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可.（2）将已知条件转化为函数与直线y kx b =+最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离b ，构造新函数，转化为新函数在()0+∞，上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在()0+∞，上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可.【小问1详解】函数y =不是“π6旋转函数”，理由如下：y =逆时针旋转π6后与y 轴重合， 当0x =时，有无数个y 与之对应，与函数的概念矛盾，因此函数y =不是“π6旋转函数”. 【小问2详解】由题意可得函数()()()ln 210f x x x =+>与函数y kx b =+最多有1个交点， 且πtan 2k α⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 210x kx b x +=+>最多有一个根，即()()ln 210x kx b x +-=>最多有一个根，因此函数()()ln 210y x kx x =+->与函数(y b b =∈R )最多有1个交点，即函数()ln 21y x kx =+-在()0,∞+上单调，因为221y k x =-+'，且()20,0,221x x >∈+， 所以220,2121y k k x x =-≤≥++'，所以2k ≥， 即πtan 22α⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，1tan 2α≤，即tan α的最大值为12. 【小问3详解】由题意可得函数()()21e ln 2xx g x m x x x =---与函数y x b =+最多有1个交点， 即()()221e ln 1e ln 22xx x x m x x x x b m x x x x b ---=+⇒----=， 即函数()21e ln 2xx y m x x x x =----与函数y b =最多有1个交点， 即函数()21e ln 2xx y m x x x x =----在()0,∞+上单调， e ln 2x y mx x x =---'，当0x →时，y '→+∞，所以maxln 20e x x x y m x '++⎛⎫≥⇒≥ ⎪⎝⎭， 令()ln 2e x x x x x ϕ++=，则()()()2n e 1l 1xx x x x x ϕ+-'--=， 因为ln 1t x x =---在()0,∞+上单调减，且()10104t t ⎛⎫><⎪⎝⎭，， 所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00t x =， 即()0000001ln 1ln e 1e ex x x x x x +=-⇒⋅=-⇒⋅=， 所以()x ϕ在()00,x 单调递增，()0,x +∞单调递减，所以()()0000max 000ln 21e e ex x x x x x x x ϕϕ++====， 即e m ≥.【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化：函数()()y f x g x =-的零点个数⇔方程()()0f x g x -=的根的个数⇔函数()y f x =与()y g x =图象的交点的个数；另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若(,),()x a b m f x ∀∈≥恒成立，只需max ()m f x ≥，(,),()x a b m f x ∀∈≤恒成立，只需min ()m f x ≤.。

2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)文数卷(参考答案)

2017年5月2017届高三第三次全国大联考(新课标Ⅰ卷)文数卷(参考答案)

2017年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】文科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 D C A D B C 7 8 9 10 11 12 B DACAB13．16 14．向右平移3个单位长度 15． (],6-∞- 16．(322,322-+ 17．【解析】（Ⅰ）因为()sin sin sin c C a A b a B -=-，由正弦定理得222c a b ab -=-，即222ab a b c =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==．又因为()0,πC ∈，所以π3C =．……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=，所以2π3B A =-且2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故2πcos cos cos cos 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++13πcos sin 26A A A ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ62A +=即π3A =时， cos cos A B +取得最大值，为1．……12分 18．【解析】（I ）因为2PA AB ==，22PB =，所以222PA AB PB +=，所以AB PA ⊥，由题意知60ABC ADC ∠=∠=︒，1122AB AD BC ==，在ABC △中，由余弦定理有：222AC AB BC =+ 2cos60AB BC -⋅⋅︒ 12=，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥，又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥. ．．5分 （Ⅱ）由题意知PA AD ⊥，由（I ）知AB PA ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，由已知得122PA AB AD ===，所以2PA AB ==， 4AD =,因为E 为PD 的中点，所以E 点到平面ADC 的距离为112PA =，所以多面体PABCE 的体积为11124sin 60224sin 60123332P ABCD E ADC V V ---=⨯⨯⨯︒⨯-⨯⨯⨯⨯︒⨯=. ．．．．12分19．【解析】(Ⅰ)由已知可得，40岁以下的有3100605⨯=人，使用微信支付的有260403⨯=人，40岁以上使用微信支付有140104⨯=人．所以22⨯列联表为：40岁以下40岁以上合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计6040100由列联表中的数据计算可得2K 的观测值为()21004030201050604050503k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于5010.8283>，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”． .．．．．5分(Ⅱ) 若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为,A B ，则()()23P A P B ==，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C ，则()14P C =，显然,,A B C 相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为()113111133412P ABC -=-⨯⨯= .故至少有一人使用微信支付的概率为1112 . .．．．．12分20．【解析】（Ⅰ）因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为22143x y +=．……………………5分 （Ⅱ）①若直线ON 的斜率不存在，23ON =， 2OM =， 4MN =， 原点O 到直线MN 的距离·3OM ON d MN==．②若直线ON 的斜率存在，设直线OM 的方程为y kx =，代入22143x y +=，得221234x k =+，2221234k y k =+，直线ON 的方程为1y x k=-，代入23y =，得()23,23N k -．由题意知222MN ON OM =+ ()()222323k=-+()()222221214813434k k k k +++=++．设原点O 到直线MN 的距离为d ，由题意知··MN d OM ON =⇒ 2222·3OM ON d MN==，则3d =．综上所述，原点O 到直线MN的距离为定值3．……………………12分21．【解析】（Ⅰ）由()2ln f x ax a x =--，得21212)(0)(ax ax x x f xx -=-=>'，当0a ≤时， 0()f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，由0()f x '=，解得2x a =，所以10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 0()f x '<， ()f x 单调递减，1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， 0()f x '>， ()f x 单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ……4分. （Ⅱ）21ln e 0e x ax a x x --+->在()1,+∞上恒成立等价于()2e 1e 1ln xa x x x ->--在()1,+∞上恒成立，设()e e e 1e ex x xx k x x x =-=-，记()1e e xk x x =-，则()1e e x k x ='-，当1x >时，()10k x '>，()1k x 在()1,+∞上单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故()e 10e xf x x+->在()1,+∞上恒成立时，必有0a >. ……6分. 当0a >时，①若112a >，则102a <<，由（Ⅰ）知11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()f x 单调递减； 1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，因此()1102f f a ⎛⎫<=⎪⎝⎭，而102k a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即存在112x a =>，使()e 10e x f x x +-<，故当102a <<时， ()e 10e x f x x +->不恒成立. ……9分. ②若112a≤，即12a ≥，设()()21e 1ln e x s x a x x x =---+，()211e 2e x s x ax x x '=-+-，由于2ax x≥且1()e e 0xk x x =->，即e 1e x x <，故e 1e xx->-，因此()()2322222111121210x x x x x s x x x x x x x x--+-+'>-+-=>=> ，故()s x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10s x s >=，即12a ≥时，()e 10e x f x x +->在()1,+∞上恒成立. ……11分.综上，1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()e 10e x f x x+->在()1,+∞上恒成立. ……12分. 22.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22124x y +=，直线l 的普通方程为33x y +=.………5分（Ⅱ）点()03P ，在直线l 33x y +=上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得221323422t t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 251240t t ∴+-=，设两根为1t ， 2t ，12125t t +=- ， 124·05t t ∴=-<，故1t 与2t 异号，2121212414()45PA PB t t t t t t ∴+=-=+-=，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=， 1114·PA PB PA PB PA PB+∴+==.………………10分 23.【解析】（Ⅰ）不等式()0f x x +>可化为21x x x -+>+，当1x <-时， ()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时， ()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分（Ⅱ）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，21213x x x x -+≤----=∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分。

2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

所以正六边形
ABCDEF
的面积为
S内 =6
1 2
11
sin
60
33 2
．
【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题．
（ 12）【 2017 年 浙 江 ,12， 6 分 】 已 知 ab R ，（a bi）2 3 4i （ i 是 虚 数 单 位 ） 则 a2 b2
（B)与 a 有关，但与 b 无关
（C）与 a 无关,且与 b 无关
（D）与 a 无关，但与 b 有关
【答案】B
【解析】解法一:因为最值在 f (0) b, f (1) 1 a b, f ( a) b a2 中取,所以最值之差一定与 b 无关，
2
4
故选 B．
解法二：函数 f x x2 ax b 的图象是开口朝上且以直线 x a 为对称轴的抛物线，①当
2
a 1或 a 0 ， 即 a 2 ,或 a 0 时 ， 函 数 f x 在 区 间 0,1 上 单 调 ， 此 时
2
2
M m f 1 f 0 a ，故 M m 的值与 a 有关，与 b 无关；②当 1 a 1，即 2 a 1时,
22
函数
f x 在 区 间
0,
a 2
由已知可得： OE OG OF ．∴ cos cos cos ,（ （ 为锐角．∴α＜γ＜β,故选 B．
4
2017 年高考浙江数学试题及答案(word 解析版)(word 版可编辑修改)
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了
推理能力与计算能力，属于难题．
（10【）2017
年浙江,10，4 分】如图，已知平面四边形

2017年高考真题全国III卷数学(文)试题及答案

2017年高考真题全国III卷数学(文)试题及答案

（2）求数列
an 的前 n 项和. 2n 1
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浙江学联数学教研组
18． （12 分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未 售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求 量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最 高气温位于区间[20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为 了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布 表： 最高气温 天数 [10，15） 2 [15，20） 16 [20，25） 36 [25，30） 25 [30，35） 7 [35，40） 4
本题选择 B 选项.
6． 【答案】A 【解析】由诱导公式可得： cos x

cos x sin x ， 6 3 3 2
1 6 则： f x sin x sin x sin x , 5 3 3 5 3
浙江学联数学教研组
A.月接待游客逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4.已知 sin cos
4 ，则 sin 2 =( 3
C.
)
A.
7 9
浙江学联数学教研组
19．（12 分） 如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE⊥EC， 求四面体 ABCＥ与四面体 ACDE 的体积比．

2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2017年浙江，1，4分】已知，，则（ ）{|11}P x x =-<<{20}Q x =-<<P Q = （A ） （B ） （C ） （D ）(2,1)-(1,0)-(0,1)(2,1)--【答案】A【解析】取所有元素，得，故选A ．,P Q P Q = (2,1)-【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．（2）【2017年浙江，2，4分】椭圆的离心率是（ ）22194x y +=（A （B （C ） （D）2359【答案】B【解析】B ．e ==【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．（3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）12π+32π+312π+332π+【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为，故选A ．2111π3(21)13222V π⨯=⨯⨯+⨯⨯=+【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．（4）【2017年浙江，4，4分】若，满足约束条件，则的取值范围x y 03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩2z x y =+是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）[]0,6[]0,4[]6,+∞[]4,+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，故选D ．()2,1【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．（5）【2017年浙江，5，4分】若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（()2f x x ax b =++[]01（M m –M m ）（A ）与a 有关，且与b 有关 （B ）与a 有关，但与b 无关（C ）与a 无关，且与b 无关 （D ）与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】解法一：因为最值在中取，所以最值之差一定与b无关，故选2(0),(1)1,(24a af b f a b f b==++-=-B．解法二：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，①当或()2f x x ax b=++2ax=-12a->，即，或时，函数在区间上单调，此时，故2a-<2a<-0a>()f x[]0,1()()10M m f f a-=-=的值与有关，与无关；②当，即时，函数在区间上递减，M m-a b1122a≤-≤21a-≤≤-()f x0,2a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在上递增，且，此时，故的值与有关，与无,12a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()01f f>()224a aM m f f⎛⎫-=--=⎪⎝⎭M m-a b 关；③当，即时，函数在区间上递减，在上递增，且122a≤-<10a-<≤()f x0,2a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,12a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，此时，故的值与有关，与无关．综上可得：()()01f f<()224a aM m f f a⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭M m-a b的值与有关，与无关，故选B．M m-a b【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．（6）【2017年浙江，6，4分】已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（[]na d nnS0d>4652S S S+>）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，()46511210212510S S S a d a d d+-=+-+=0d>46520S S S+->4652S S S+>反之，若，则，所以“”是“”的充要条件，故选C．4652S S S+>0d>0d>4652S S S+>【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．（7）【2017年浙江，7，4分】函数的导函数的图像如图所示，则函数()y f x=()y f x'=的图像可能是（）()y f x=（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】解法一：由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数()0f x'<f x（（()0f x'>f x（（的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，()y f x='()f x且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，，故选D．解法二：原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，故选D．x=【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．（8）【2017年浙江，8，4分】已知随机变量满足，，．若1ξ()11iP pξ==()101iP pξ==-1,2i=，则（）1212p p<<<（A），（B），12E()E()ξξ<12D()D()ξξ<12E()E()ξξ<12D()D()ξξ>（C），（D），12E()E()ξξ>12D()D()ξξ<12E()E()ξξ>12D()D()ξξ<【答案】A【解析】，112212(),(),()()E p E p E Eξξξξ==∴<111222()(1),()(1)D p p D p pξξ=-=-，故选A．121212()()()(1)0D D p p p pξξ∴-=---<【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想i象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（9）【2017年浙江，9，4分】如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），–D ABCPQR分别为，，上的点，，，分别记二面角，AB BC CA AP PB=2BQ CRQC RA==––D PR Q，的平面较为，，，则（）––D PQ R––D QR Pαβγ（A）（B）（C）（D）γαβ<<αγβ<<αβγ<<βγα<<【答案】B【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面的中心为．不妨ABC∆O设．则3OP=，，，，，，()0,0,0O()0,3,0P-()0,6,0C-(D)Q()R-，，，，()PR=-(PD=)PQ=()2,0QR=--．设平面的法向量为，则，可得(QD=-PDR(),,n x y z=n PRn PD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得，取平面的法向量．3030yy⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩)1n=-ABC()0,0,1m=则．同理可得：．cos,m nm nm n⋅==α=β=．∴．γ=>>αγβ<<解法二：如图所示，连接，过点发布作垂线：，，OD OQ OR（（O OE DR⊥OF DQ⊥，垂足分别为，连接．设．则OG QR⊥E F G（（PE PF PG（（OP h=cos ODRPDRS OES PEα∆∆==c，．=cosOFPFβ==cosOGPGγ==由已知可得：．∴，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B．OE OG OF>>cos cos cosαγβ>>αβγ（（【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（10）【2017年浙江，10，4分】如图，已知平面四边形，ABCD，，，AB BC⊥2AB BC AD（（（3CD（与交于点O，记，，，则（）AC BD1·I OA OB＝2·I OB OC＝3·I OC OD＝（A）（B）（C）（D）123I I I<<132I I I<<312I I I<<223I I I<<【答案】C【解析】∵，，，∴，∴，AB BC⊥2AB BC AD===3CD=AC=90AOB COD∠=∠>︒由图象知，，∴，，即，故选C．OA OC<OB OD<0OA OB OC OD>⋅>⋅OB OC⋅>312I I I<<【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（11）【2017年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

2017年浙江省高考数学试题+解析(可编辑修改word版)

2017年浙江省高考数学试题+解析(可编辑修改word版)

133 {2017 浙江省高考理科数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1．（4 分）已知集合 P={x |﹣1＜x ＜1}，Q={x |0＜x ＜2}，那么 P ∪Q=（ ）A ．（﹣1，2）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（1，2）x 2 y 22．（4 分）椭圆 + =1 的离心率是（ ） 9 4 5 2 5 A ． B ． 3 C ．3 D ．93．（4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）π π 3π 3πA ．2+1B ．2+3C ． 2+1D ． 2+3x ≥ 0 4．（4 分）若 x 、y 满足约束条件 x + y ‒ 3 ≥ 0，则 z=x +2y 的取值范围是（）x ‒ 2y ≤ 0 A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，+∞） D ．[4，+∞）5．（4 分）若函数 f （x ）=x 2+ax +b 在区间[0，1]上的最大值是 M ，最小值是 m ， 则 M ﹣m （）A ．与 a 有关，且与 b 有关B ．与 a 有关，但与 b 无关C ．与 a 无关，且与 b 无关D ．与 a 无关，但与 b 有关6．（4 分）已知等差数列{a n }的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，则“d ＞0”是“S 4+S 6＞2S 5” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4 分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（4 分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜1，则（）2A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）9．（4 分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分BQ C R别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，QC=R A=2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α10．（4 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC→→→→→→与BD 交于点O，记I1=OA•OB，I2=OB•OC，I3=OC•OD，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=．12．（6 分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则a2+b2=，ab= ．13．（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=，a5=．14．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC 的面积是，cos∠BDC= ．→→→→→ →→→15．（6 分）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|a﹣b|的最小值是，最大值是．16．（4 分）从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）417．（4 分）已知a∈R，函数f（x）=|x+x﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是．三、解答题（共5 小题，满分74 分）3sinx cosx（x∈R）．18．（14 分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣22π（Ⅰ）求f（3 ）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（15 分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线 CE 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（15 分）已知函数 f （x ）=（x﹣（1） 求 f （x ）的导函数；1）e ﹣x1（x ≥2）．（2） 求 f （x ）在区间[2，+∞）上的取值范围．1 1 3 9 21．（15 分）如图，已知抛物线 x 2=y ，点 A （﹣ ， ），B （ ， ），抛物线上的点 P （x ，y ）2 4 2 41 3 （﹣ ＜x ＜ ），过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．2 2（Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA |•|PQ |的最大值．22．（15 分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln （1+x n +1）（n ∈N *），证明：当 n ∈N * 时，（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ；x n x n + 1 （Ⅱ）2x n +1﹣x n ≤2；1 1（Ⅲ） n ‒ 1≤x n ≤ ．2 2n ‒ 22x ‒ 1133 5 2017 年浙江省高考理科数学参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）1．（4 分）已知集合 P={x |﹣1＜x ＜1}，Q={x |0＜x ＜2}，那么 P ∪Q=（ ）A ．（﹣1，2）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（1，2）【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合 P={x |﹣1＜x ＜1}，Q={x |0＜x ＜2}， 那么 P ∪Q={x |﹣1＜x ＜2}=（﹣1，2）． 故选：A ．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．x 2 y 22．（4 分）椭圆 + =1 的离心率是（ ） 9 4 5 2 5 A ． B ． 3 C ．3 D ．9【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．x 2 y 2【解答】解：椭圆 + =1，可得 a=3，b=2，则 c= 9 ‒ 4= 5， 9 4c所以椭圆的离心率为： = ．a 3故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．（4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）{π π 3π 3πA．2+1 B ．2+3 C ．2 +1D ． 2+3【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为 3，1 1 1 1 π故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × 2× 2×3= +1，2 3 3 2 2故选：A【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．x ≥ 04．（4 分）若 x 、y 满足约束条件 x + y ‒ 3 ≥ 0，则 z=x +2y 的取值范围是（）x ‒ 2y ≤ 0 A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，+∞） D ．[4，+∞）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．{x ‒ 2y = 0x ≥ 0【解答】解：x 、y 满足约束条件 x + y ‒ 3 ≥ 0，表示的可行域如图：x ‒ 2y ≤ 0 目标函数 z=x +2y 经过 C 点时，函数取得最小值， 由{x + y ‒ 3 = 0解得 C （2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（4 分）若函数 f （x ）=x 2+ax +b 在区间[0，1]上的最大值是 M ，最小值是 m ，则 M ﹣m （）A ．与 a 有关，且与 b 有关B ．与 a 有关，但与 b 无关C ．与 a 无关，且与 b 无关D ．与 a 无关，但与 b 有关【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下 M ﹣m 的取值与 a ，b 的关系，综合可得答案．a【解答】解：函数 f （x ）=x 2+ax +b 的图象是开口朝上且以直线 x=﹣2为对称轴的抛物线，a a①当﹣2＞1 或﹣2＜0，即 a ＜﹣2，或 a ＞0 时，函数 f （x ）在区间[0，1]上单调， 此时 M ﹣m=|f （1）﹣f （0）|=|a +1|， 故 M ﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关1 a②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1 时，2 2a a函数f（x）在区间[0，﹣2]上递减，在[﹣2，1]上递增，且f（0）＞f（1），a a2此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣2）= 4 ，故M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关a 1③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0 时，2 2a a函数f（x）在区间[0，﹣2]上递减，在[﹣2，1]上递增，且f（0）＜f（1），a a2此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣2）=1+a+ 4 ，故M﹣m 的值与 a 有关，与 b 无关综上可得：M﹣m 的值与a 有关，与b 无关故选：B【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（4 分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n 项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7．（4 分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0 时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0 时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0 时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0 时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B，故选D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．8．（4 分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜1，则（）2A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）2 2C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）1 1【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，2 2从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，10＜p1＜p2＜，1∴ ＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=p1 ‒p12，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=p2 ‒p22，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（p2 ‒p22）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．9．（4 分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分BQ C R别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，QC=R A=2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为{O ．不妨设 OP=3．则 O （0，0，0），P （0，﹣3，0），C （0，6，0），D （0，0，6 2），Q ( 3，3，0)，R ( ‒ 2 3，0，0)，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接 O P ，O Q ，O R ，过点 O 分别作垂线：OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥OD ODQR ，垂足分别为 E ，F ，G ，连接 DE ，DF ，DG ． 可得 tan α=O E ．tan β=OF，tan γ=ODOG．由已知可得：OE ＞OG ＞OF ．即可得出． 【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为 O ．不妨设 OP=3．则 O （0，0，0），P （0，﹣3，0），C （0，6，0），D （0，0，6 3，﹣3，0）．Q ( 3，3，0)，R ( ‒ 2 3，0，0)，2），B （3 →→→→PR =( ‒ 2 3，3，0)，P D =（0，3，6 0)，→ QD =( ‒ 3， ‒ 3，6 2)．2），P Q =（ 3，6，0），Q R =( ‒ 3 3， ‒ 3， →→设平面 PDR 的法向量为n =（x ，y ，z ），则 → → ，可得{3y + 6 2z = 0，→ n ⋅ PR = 0 n ⋅ PD = 0 →→‒ 2 3x + 3y = 0可得n =( 6，2 2， ‒ 1)，取平面 ABC 的法向量m =（0，0，1）．→ →→→m ⋅ n ‒ 1 1则 cos ＜m ，n ＞= → → = 15， 取 α=arccos 15．|m ||n |32同理可得：12 3∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接 O P ，O Q ，O R ，过点 O 分别作垂线：OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥ QR ，垂足分别为 E ，F ，G ，连接 DE ，DF ，DG ． 设 OD=h ．OD则 tan α=O E．OD OD同理可得：tanβ=OF，tanγ=OG．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ 为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（4 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC→→→→→→与BD 交于点O，记I1=OA•OB，I2=OB•OC，I3=OC•OD，则（）3 3 A ．I 1＜I 2＜I 3 B ．I 1＜I 3＜I 2 C ．I 3＜I 1＜I 2 D ．I 2＜I 1＜I 3【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可． 【解答】解：∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2 2，∴∠AOB=∠COD ＞90°， 由图象知 OA ＜OC ，OB ＜OD ，→→→→→→∴0＞OA •OB ＞OC •OD ，OB •OC ＞0， 即 I 3＜I 1＜I 2， 故选：C ．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形 3 3 的面积 S 6，S 6=2．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积． 【解答】解：如图所示，单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中， △AOB 是边长为 1 的正三角形， 所以正六边形 ABCDEF 的面积为 1 3 S 6=6×2×1×1×sin60°= 2 ．3 故答案为： 2．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．12．（6 分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则a2+b2= 5 ，ab= 2 ．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，{a = 2，{a=‒ 2．b = 1 b=‒ 1则a2+b2=5，故答案为：5，2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= 16 ，a5= 4 ．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，a5就是常数的乘积．【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x 的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x 的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．152 10415 2 104【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．14．（6 分）已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连15 结 CD ，则△BDC 的面积是 2 10，cos ∠BDC= 4．【分析】如图，取 BC 得中点E ，根据勾股定理求出 AE ，再求出 S △ABC ，再根据 S △BDC = 12S △ABC 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 【解答】解：如图，取 BC 得中点 E ， ∵AB=AC=4，BC=2，1∴BE=2BC=1，AE ⊥BC ，∴AE= AB 2 ‒ B E 2= 15，1 1∴S = BC•AE= ×2× 15= 15， △ABC2 2∵BD=2， 1 ∴S △BDC =2S △ABC = ，∵BC=BD=2， ∴∠BDC=∠BCD ， ∴∠ABE=2∠BDC 在 Rt △ABE 中，B E 1∵cos ∠ABE=AB =4，1∴cos ∠ABE=2cos 2∠BDC ﹣1=4，∴cos ∠BDC= ，故答案为： ，【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题→→→→→ →→ →15．（6 分）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，则|a +b |+|a ﹣b |的最小值是 4 ， 最大值是 2→ →【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|a +b |→ →| a ﹣b |【解答】解：记∠AOB=α，则 0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： → →|a +b | → →|a ﹣b |令 x= 5 ‒ 4cosα，y= 5 + 4cosα，则 x 2+y 2=10（x 、y ≥1），其图象为一段圆弧 MN ，如图，令 z=x +y ，则 y=﹣x +z ，则直线 y=﹣x +z 过 M 、N 时 z 最小为 z min =1+3=3+1=4， 当直线 y=﹣x +z 与圆弧 MN 相切时 z 最大，由平面几何知识易知 z max 即为原点到切线的距离的 2倍， 也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 2倍， 所以 z max = 2× 10=2 5．→ →→ →综上所述，|a +b |+|a ﹣b |的最小值是 4，最大值是2 5． 故答案为：4、2 5．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（4 分）从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有660 种不同的选法．（用数字作答）【分析】由题意分两类选 1 女 3 男或选2 女2 男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1 女3 男，有C63C21=40 种，这4 人选2 人作为队长和副队有A42=12 种，故有40×12=480 种，第二类，先选2 女2 男，有C62C22=15 种，这4 人选2 人作为队长和副队有A42=12 种，故有15×12=180 种，根据分类计数原理共有480+180=660 种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题417．（4 分）已知a∈R，函数f（x）=|x+x﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a9的取值范围是（﹣∞， ] ．24【分析】通过转化可知|x+x﹣a|+a≤5 且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+4x≤5，进而计算可得结论．4 4【解答】解：由题可知|x+x﹣a|+a≤5，即|x+x﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，4又因为|x+x﹣a|≤5﹣a，4所以a﹣5≤x+x﹣a≤5﹣a，4所以2a﹣5≤x+x≤5，4又因为1≤x≤4，4≤x+x≤5，9所以2a﹣5≤4，解得a≤ ，29故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5 小题，满分74 分）18．（14 分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣22π（Ⅰ）求f（3 ）的值．3sinx cosx（x∈R）．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，2π（Ⅰ）代入可得：f（3 ）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间7π【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 3sinx cosx=﹣3sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ 6 ）2π2π7π5π（Ⅰ）f（3 ）=2sin（2× + ）=2sin =2，3 6 2（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，7πππ由2x+6 ∈[﹣2+2kπ，2+2kπ]，k∈Z 得：5ππx∈[﹣6 +kπ，﹣3+kπ]，k∈Z，5πππ2π故f（x）的单调递增区间为[﹣6 +kπ，﹣3+kπ]或写成[kπ+6，kπ+ 3 ]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．（15 分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AD 的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F 作FM⊥PB 于M，连结PF，推导出四边形BCDF 为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．【解答】证明：（Ⅰ）取AD 的中点F，连结EF，CF，∵E 为PD 的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD 中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F 为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC⊂平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过 F 作FM⊥PB 于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF 为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，2设 DC=CB=1，由 PC=AD=2DC=2CB ，得 AD=PC=2，∴PB= P C 2 ‒ BC 2= 14 ‒ 1= 3， BF=PF=1，∴MF=2，又 BC ⊥平面 PBF ，∴BC ⊥MF ，1∴MF ⊥平面 PBC ，即点 F 到平面 PBC 的距离为 ，21 1 ∵MF=2，D 到平面 PBC 的距离应该和 MF 平行且相等，为 ，E 为 PD 中点，E 到平面 PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，1∴E 到平面 PBC 的距离为 ，4在△ PCD 中，P C = 2，CD = 1，P D = 2， 由余弦定理得 CE= 2，142设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 θ，则 sin θ=C E = 8．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（15 分）已知函数 f （x ）=（x ﹣（1） 求 f （x ）的导函数；1）e ﹣x1（x ≥2）．（2） 求 f （x ）在区间[2，+∞）上的取值范围．【分析】（1）求出 f （x ）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；1 5（2）求出 f （x ）的导数，求得极值点，讨论当 ＜x ＜1 时，当 1＜x ＜ 时，当 x ＞2 25 1 5 时，f （x ）的单调性，判断 f （x ）≥0，计算 f （ ），f （1），f （ ），即可得到所 2 2 22x ‒ 11 2x ‒ 1 2x ‒ 1 ）e ， ）e =（1 ﹣ ）e ；2 2 1求取值范围． 【解答】解：（1）函数 f （x ）=（x ﹣）e ﹣x1 （x ≥2）， 1 导数 f′（x ）=（1﹣2• •2）e ﹣x ﹣（x ﹣ 2x ‒ 1）e ﹣x =（1﹣x + 2x ‒2 ﹣x ﹣x ）（1 2 ﹣x 2x ‒ 1 （2）由 f （x ）的导数 f′（x ）=（1﹣x ）（1﹣ 2 ﹣x 2x ‒ 1 5 可得 f′（x ）=0 时，x=1 或 ， 2 1 当 ＜x ＜1 时，f′（x ）＜0，f （x ）递减； 2 5 当 1＜x ＜ 时，f′（x ）＞0，f （x ）递增； 2 5当 x ＞2时，f′（x ）＜0，f （x ）递减， 且 x ≥ 2x ‒ 1⇔x 2≥2x ﹣1⇔（x ﹣1）2≥0，则 f （x ）≥0．1 5 1 1 ‒2 5 1 ‒ 2 由 f （2）=2e ，f （1）=0，f （ ）=2e ， 1 ‒ 2 即有f （x ）的最大值为2e ，最小值为 f （1）=0． 1 11 ‒ 2则 f （x ）在区间[2，+∞）上的取值范围是[0， e ]． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．1 1 3 921．（15 分）如图，已知抛物线 x 2=y ，点 A （﹣ ， ），B （ ， ），抛物线上的点 P （x ，y ） 2 4 2 4 1 3 （﹣ ＜x ＜ ），过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．2 2 （Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA |•|PQ |的最大值．2x ‒ 14 21 3 【分析】（Ⅰ）通过点 P 在抛物线上可设 P （x ，x 2），利用斜率公式结合﹣ ＜x ＜2 2 可得结论； 13 （Ⅱ）通过（I ）知 P （x ，x 2）、﹣ ＜x ＜ ，设直线 AP 的斜率为 k ，联立直线 AP 、BQ2 2→ →方程可知 Q 点坐标，进而可用 k 表示出P Q 、P A ，计算可知|PA |•|PQ |=（1+k ）3 （1﹣k ），通过令 f （x ）=（1+x ）3（1﹣x ），﹣1＜x ＜1，求导结合单调性可得结论．1 3 【解答】解：（Ⅰ）由题可知 P （x ，x 2），﹣ ＜x ＜ ，2 2x 2 ‒ 11所以 k AP = x + 1 =x ﹣ ∈（﹣1，1）， 2故直线 AP 斜率的取值范围是：（﹣1，1）；1 3 （Ⅱ）由（I ）知 P （x ，x 2），﹣ ＜x ＜ ，2 2 → 1 1 所以P A =（﹣ ﹣x ， ﹣x 2）， 2 4 1 1 13 9 设直线 AP 的斜率为 k ，则 AP ：y=kx + k + ，BQ ：y=﹣ x + + ，2 4 k 2k 43 + 4k ‒ k 2 9k 2 + 8k + 1 联立直线 AP 、BQ 方程可知 Q （ ， 2k 2 + 2 ）， 4k 2 + 4→1 + k ‒ k2 ‒ k3 ‒ k4 ‒ k 3 + k 2 + k 故P Q =（→ ， 1 + k 2 ）， 1 + k 2 又因为P A =（﹣1﹣k ，﹣k 2﹣k ），→ → (1 + k )3(k ‒ 1) k 2(1 + k )3(k ‒ 1)故﹣|PA |•|PQ |=P A •P Q =+ 1 + k 2 1 + k 2 =（1+k ）3（k ﹣1），所以|PA |•|PQ |=（1+k ）3（1﹣k ），2 16 16令 f （x ）=（1+x ）3（1﹣x ），﹣1＜x ＜1，则 f′（x ）=（1+x ）2（2﹣4x ）=﹣2（1+x ）2（2x ﹣1），1 1由于当﹣1＜x ＜2时 f′（x ）＞0，当 ＜x ＜1 时 f′（x ）＜0， 1 27 27故 f （x ）max =f （2）= ，即|PA |•|PQ |的最大值为 ． 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（15 分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln （1+x n +1）（n ∈N *），证明：当 n ∈N * 时，（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ；x n x n + 1（Ⅱ）2x n +1﹣x n ≤ 2 ；1 1 （Ⅲ） n ‒ 1≤x n ≤ ．2 2n ‒ 2【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，x n x n + 1 1 1 1 1 （Ⅲ）由 2 ≥2x n +1﹣x n 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明 x n + 1 2 x n 2【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n ＞0，当 n=1 时，x 1=1＞0，成立，假设当 n=k 时成立，则 x k ＞0，那么 n=k +1 时，若 x k +1＜0，则 0＜x k =x k +1+ln （1+x k +1）＜0，矛盾，故 x n +1＞0，因此 x n ＞0，（n ∈N*）∴x n =x n +1+ln （1+x n +1）＞x n +1，因此 0＜x n +1＜x n （n ∈N *），（Ⅱ）由x n =x n +1+ln （1+x n +1）得 x n x n +1﹣4x n +1+2x n =x n +12﹣2x n +1+（x n +1+2）ln （1+x n +1），记函数 f （x ）=x 2﹣2x +（x +2）ln （1+x ），x ≥02x 2 + x∴f′（x ）= x + 1+ln （1+x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴f （x ）≥f （0）=0，因此 x n +12﹣2x n +1+（x n +1+2）ln （1+x n +1）≥0，x n x n + 1故 2x n +1﹣x n ≤2 ；（Ⅲ）∵x n =x n +1+ln （1+x n +1）≤x n +1+x n +1=2x n +1，1 ∴x n ≥ ， 2n ‒ 1 x n x n + 1 1 1 1 1 由 2 ≥2x n +1﹣x n 得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0， 1 1 1 1 x n + 1 2 x n 2 1 1 ∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n ﹣1（ ﹣ ）=2n ﹣2， x n 2 1 x n ‒ 1 2 x 1 2∴x n ≤ ， 2n ‒ 2 1 1 综上所述 n ‒ 1≤x n ≤ ．2 2n ‒ 2【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题。

浙江省高考研究联盟2017届高三下学期期初联考数学试题Word版含答案

浙江省高考研究联盟2017届高三下学期期初联考数学试题Word版含答案

2016学年第二学期浙江“七彩联盟”新高考研究联盟期初联考高三年级数学学科试题命题：温岭市第二中学考生须知：1．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。

参考公式：第I卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数z的对应点为(1,1)，则z2= ( )A. 2 D. 2+2i2. 命题p:x∈R且满足sin2x=1.命题q:x∈R且满足tanx=1.则p是q的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知实数x,y满足不等式组33030x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2x−y的取值范围为（）A.[−1,3]B.[−3,−1]C.[−1,6]D. [−6,1]4.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）+65+125+63 +655.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0+∞, )单调递减，若实数 a 满足f(log 3a)+f(13log a )≥2f(1), 则a 的取值范围是（ ）A.(0,3]B.(0, ]C.[ ,3]D.[1,3]6.过双曲线的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点分别为A,B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB=1200，则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C. 37.在∆ABC 中，BC=7,AC=6,cosC=267.若动点P 满足，(λ∈R)，则点P 的轨迹与直线BC,AC 所围成的封闭区域的面积为（ ） A. 5 B. 106 68.已知f(x)= ，且g(x)= f(x)+2x有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,+∞) B. [1,+∞) C. (0, ) D.(0,1]9.已知数列{a }满足a =43，a n+1−1=a n 2−a n (n ∈N*)，则m= 的整数部分是（ ）A. 1B. 2C. 3 10.已知函数 f(x)=x+2bx+a,x ∈[a,+∞)，其中a>0，b ∈R ，记m(a,b)为 f(x)的最小值，则当m(a,b)=2时，b 的取值范围为（ ） A. b> < > <第II 卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知全集为R ，集合A={y|y=3x ,x ≤1}，B={x|x 2−6x+8≤0}，则A ∪B=__________ A ∩C R B=_________.12.已知数列{}n a 的前n 项和Sn=n 2 +2n−1(n ∈N* )，则a 1= ；数列{}n a 的通项公式为a n = .13.有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P(ξ=9)=__________,Eη=__________（用数字作答）.14.若sin(π+x)+cos(π+x)=，则sin2x= ，= .15.已知直线2x+my−8=0与圆C:(x−m)2+y2=4相交于A、B两点，且∆ABC为等腰直角三角形，则m= ．16.若正数a,b,c满足，则的最小值是.17.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将∆ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[]内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为.三、解答题：本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）已知函数f(x)=2sinxcosx+23cos2x−3.（I）求函数f(x)的单调减区间；（II）已知∆ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c，其中b=2,若锐角A满足f()= 3，且，求边c的取值范围.19.（本题满分15分）等腰∆ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P 的位置，使二面角P−AE−C的大小为120°，设点P在面ABE上的射影为H.（I）证明：点H为BE的中点；（II）若AB=AC=22,AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值.20．（本题满分15分）已知f(x)=|x|(x2−3t)(t∈R).（I）当t=1时，求f(x)的单调递增区间；（II）设g(x)=|f(x)|(x∈[0,2]),求g(x)的最大值F(t).21.（本题满分15分）椭圆C1 : =1(a>b>0)的右焦点与抛物线C2 :y2=2px(p>0)的焦点重合， 曲线C 1与C 2相交于点().（I ）求椭圆C 1的方程；（II ）过右焦点F 2的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 1交于A 、C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交椭圆C1于B 点（O 为坐标原点），求四边形OABC 的面积S 的最小值.22.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足a 1=3，a n+1=a n 2+2a n ，n ∈N* ， 设b n =log 2(a n +1). （I ）求{a n }的通项公式； （II ）求证：1+<n(n ≥2)；（III ）若2n c=b n ，求证：2≤1()nn nc c +<3. 2016学年第二学期浙江“七彩联盟”新高考研究联盟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.]4,0(、 )2,0( 12.2、⎩⎨⎧≥+=2,121,2n n n 13. 92, 32 14.43-、328-15. 142或 16.2171+ 17.π123三、解答题：本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）解：（1）3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f )32sin(22cos 32sin )(π+=+=∴x x x x f 3分时，解得当Z k k x k ∈+≤+≤+∴,2233222πππππ Z k k x k ∈+≤≤+,12712ππππ 6分因此，函数)(x f 的单调减区间为)](127,12[Z k k k ∈++ππππ 7分（2）由3)62(=-πA f 且角A 为锐角得：3π=A 9分 又由正弦定理CcB b sin sin =及2=b 得 BB B B B B A BC c tan 31sin cos 3sin sin )sin 2sin sin 2+=+=+==（ 12分34ππ≤≤B 312+≤≤∴c 14分19．（本题满分15分）解：（Ⅰ）依题意，AE BC ⊥，则AE EB ⊥，AE EP ⊥，EB EP E ⋂=. ∴AE ⊥面EPB .故CEP ∠为二面角C AE P --的平面角，则点P 在面ABE 上的射影H 在EB 上.由120CEP ∠=︒得60PEB ∠=︒.………………………………………………………………3分 ∴1122EH EP EB ==. ∴H 为EB 的中点. ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）（法一：）过H 作HM AB ⊥于M ，连PM ，过H 作HN PM ⊥于N ，连BN ， 则得AB ⊥面PHM .即面PHM ⊥面PAB ， ∴HN ⊥面PAB .故HB 在面PAB 上的射影为NB .∴HBN ∠为直线BE 与面ABP 所成的角.………………………………9分 依题意，122BE BC ==.112BH BE ==. 在HMB △中，2HM =, 在EPB △中，3PH =, ∴在PHM Rt △中，21HN =. ∴21217sin HN HBN HB ∠==.…………………………………………………………13分 23tan =∠HBN .23所成角的正切值为与平面直线ABP BE ∴………………………………15分 （法二：）分分，中，在的距离，到平面为其中15 (2)3tan 13 (721)sin 72123222131722131222,sin =∴=∴=∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴===∆=--αααh h V V BP AP ABP ABP E h BEhABE P ABP E.23所成角的正切值为与平面直线ABP BE ∴ （法三：）如图，分别以EA,EB 所在直线为x,y 轴，以过E 点且平行于PH 的直线为Z 轴建立空间直角坐标系。

2017年高考浙江数学试题与答案(word解析版)

2017年高考浙江数学试题与答案(word解析版)

.专业.专注.数学（理科）第I 卷（选择题共40分）、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中三棱锥的底面是底边长 2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体2 的体积为V 二1 3「 — 1 2 1^n1 ,故选A .3 2 2 2 点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题 ，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目.x _0(4 )12017年浙江，4 , 4分】若x , y 满足约束条件 x ，y-3_0,则z=x'2y 的取值范围是x -2y 空0( )(A ) 0,6 丨 (B ) b,4 1 (C ) 6,=丨 (D ) !4, :: 1答案】D,所以直线过点 2,1时取最小值4,无最大值，故选D .2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）点评】本题考查线性规划的简单应用 ,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键,只有一项符合题目要(1 )匸017年浙江，1 , 4 分】已知 P ={x| -1 ：：:x ：：:1}, Q 二{ —2 ：：: x ：：:0},贝V P^Q 二( (A ) (-2,1)( B ) (-1,0)(C ) (0,1)答案】A解析】取P,Q 所有元素，得P j Q =(21),故选A .(D) (-2,-1)点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力9 | 4(A ) 13(B ) 丄33答案】B解析】e = .^45 -,故选B .3 3点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.(3 )12017年浙江 ,3 , 4分】某几何体的三视图如图所示位：cm 3) 是（)JI313兀, (A ) -1(B ) — 3(C ) — 1222答案】A，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成解军析】如图，可行域为一开放区域 （2）12017年浙江，2, 4分】椭圆— 11的离心率是(C )解析】由几何的三视图可知 （单,圆锥的底面圆的半径为1 ,.专业.专注.(5) [2017年浙江，5, 4分】若函数f x =x2 - ax b在区间10,1 ]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ()(A)与a有关，且与b有关(B)与a有关，但与b无关(C)与a无关，且与b无关(D)与a无关，但与b有关答案】Ba a2解析】解法一：因为最值在f (0) =b, f(1) =1 • a • b, f (―?) =b —匸中取，所以最值之差一定与b无关，故选B.解法二：函数f x =x2 ax b的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，①当-空1或」 2 2a0 ,即a ::：-2 ,或a ■ 0时，函数f x在区间0,1 ]上单调，此时M —m =M - m的值与a有关，与b无关，故选B.点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键.(6)12017年浙江，6, 4分】已知等差数列Ia n 1的公差为d ,前n项和为§，则’d 0堤’S4 S6 2S5”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件答案】C解析】由S4 S6 -2S5 =10a1 21^2 5a1 10d =d ,可知当d 0 时，有Q •足-2S5 0 ,即S4S6 2Ss ,反之，若S4 Ss 2S S ,则d・0,所以d 0堤S4 S6 .2S5 ”的充要条件，故选C.点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题答案】D 瞰军析】解法一：由当f x <0时，函数f( x)单调递减，当「X 0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y二「x的图象可知：f x先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A, C, 且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B,,故选D.解法二：原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内，故选D .点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题.(8 )【2017年浙江，8 , 4分】已知随机变量1满足P \ =1 [=P i , P \ =0[=1 - P i , i =1,2 .若.word可编辑.f 1 - f 0|; |a ,故1 aM -m的值与a有关，与b无关；②当 1 ,即_2辽a辽-1时，函数f x在区间0,a=—，故M - m的值与a有关，与b无.2 4a 1 a I关；③当0 ,即-1 ：：：a乞0时，函数f X在区间0,-2 2 1! 2 一=a -,故M ~^m的值与a有关，与b无关.综上可得：.2 4，且 f 0 . f 1 ,此时M -m = f 0：：-ff 0 :：: f 1 ，此时M —m 二f 0 —f上递减，上递减，在-旦,1上递增，且2(7)y = f (x)的图像如图所示在-?1匸017年浙江，7 , 4分】函数y=f x的导函数,则函数y = f x的.专业.专注.1…0 ：：： pi ::: P 2 ＜2，则((A ) E(J ：：：E ( 2),(C ) E( J .E( 2), 答案】A 解析】E( J = p,E( 2) *2,. E( J ：：：E( 2) ： D( J 二 口(1一 pJ,D( 2) = P 2(1-P 2),■ D( 1) -D( 2)=(P 1 -P 2)(1-P 1 -P 2)O 故选 A •点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题•9 , 4分】如图，已知正四面体 D -ABC (所有棱长均相等的三棱锥 PQRD -PQ -R , D(A) l ：,答案】B懈析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系.设底面- ABC 的中心为O •不妨设 OP =3•贝 UO 0,0,0 , P 0, -3,0 , C 0,-6,0 , D 0,0,6 .2 , Q 3,2,0 , R -2 3,0,0 , PR =[「2 .3,3,0 , PD = 0,3,6 . 2 , PQ = 3,5,0 , QR =[—3 一 3, 一2,0 ,QD - - .3, -2,6 . 2 •设平面PDR 的法向量为n = x,y,z ,贝卩. [n PD =0-2 3x 3y =0 { _ ,可得n =(用,2 72, 7 \,取平面ABC 的法向量m =(0,0,1 ). 3y 6 2z =0 m n1卄1 「 一 ,口则 cos m,n,取〉二arccos^= •同理可得：* 2 123= arccos .T.••.「：：：：:：-.V 95 V 15 V 95 V681解法二：如图所示,连接OD , OQ , OR , OG _QR ,垂足分别为E , F , cos ：二汪=OE S 卸R PE=—OE •同理可得:cos ： =OFOE 2 h 2PF由已知可得：OE OG OF .二 cos 、； n cos • cos ：,:-,-, 为锐角.•••％＜丫＜3 故选 B .点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力 属于难题•(10 )12017年浙江，10, 4分】如图，已知平面四边形 ABCD , AB — BC , AB = BC = AD =2 , CD =3，AC 与 BD 交于点 O ,记 h=OAOB , 12= OB OC , J=OCOD ,贝U ()(B ) E( \) :::E( ；) , D( \) D( 2) (D ) E( J .E( ；) , D( J ：：：D(；)D( J ：：：D( 2)D( J ：：：(9 )12017年浙江， BQ CR,CA 上的点，AP=PB , 竺=竺=2 ,分别记二面角 D -PR -Q ,QC RA-QR -P 的平面较为:,'■,,贝卩( ) (B ) 「：：：：：： - (C ):-:::::::分别为AB , BC 0E _ DR , OF _ DQ ,过点0发布作垂线 3 =arccos^^V681P 设 OP=h •, 连接P E 0G OFc , OF 2 h 2cos cos ：,:-,期 OG cos PGOG 2 h 2(D )1,可得 则.专业.专注.(A ) I 1：： I 2：：I 3( B ) I 1 ：：： I 3 ：：： I 2( C ) I 3 ：：： h ：：： I 2 ( D ) I 2 ：：： I 2 ：：：爲答案】c解析】・・AB_BC , AB =BC =AD =2 , CD =3，二 AC =2* 2，「上AOB /COD 90 ,由图象知 OA :：: OC , OB ：：OD ，二 0 OA OB O C OD , OB O C .0,即 l 3 ：： h ：： l 2 ,故选 C . 点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.第口卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. (11 )2017年浙江，算到任意精度。

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绝密★考试结束前浙江省名校新高考研究联盟2017届第三次联考 数学试题卷命题：富阳中学 凌渭忠、叶大瑞 平湖中学 高玉良、盛寿林 校稿：马喜君、张伯桥 校对：檀杰 考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh如果事件A 、B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高P(AB)=P(A)P(B) 锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为p,那么n V=13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(1,2,,)kkn knn P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 S=4πR2V=121()3S S h +球的体积公式其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积， V=343R πh 表示为台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}10|R {<<∈=x x P ，}02|R {2≤-+∈=x x x Q ，则（ ） A ．Q P ∈B ．RP Q ∈ðC ．R P Q ⊆ðD ．RRQ P ⊆痧2．已知i 为虚数单位，复数i2i31+-=z ，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．在ABC ∆中，“B A sin sin >”是“B A cos cos <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．直三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都相等，M 是11AC 的中点，N 是1BB 的中点，则AM 与NC1所成角的余弦值为（ ） A ．32B ．53C ．35D ．545．若2017201722102017543)1()1()1()1(x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ ，则3a 的值为（ ）A ．32017CB ．32018C C ．42017CD ．42018C6．已知等差数列}{n a 前n 项和为n S ，且3184=S S ，则=168S S （ ） A ．103 B ．73C ．31D ．21 7．从双曲线15322=-y x 的左焦点F 引圆322=+y x 的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点,M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MT MO -等于（ ）A ．3B ．5C ．35-D ．35+8．从{1,2,3,…,10}中选取三个不同的数,使得其中至少有两个相邻,则不同的选法种数是（ ） A ．72 B ．70 C ．66 D ．64 9．已知2()241f x x x =--，设有n个不同的数(1,2,,)i x i n = 满足1203n x x x ≤<<<≤ ，则满足12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤ 的M 的最小值是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．210．已知直角ABC ∆中，5,4,3===BC AC AB ，I 是ABC ∆的内心，P 是IBC ∆内部(不含边界)的动点，若)R ,(∈+=μλμλ，则μλ+的取值范围是（ ） A ．7(,1)12B ．(1,13) C ．(17,412) D ．(1,14)非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

11．已知函数()tan(2)4f x x π=-，则()f x 的最小正周期为 ；()3f π= ．12．某几何体的三视图如图示（单位: cm ）： 则该几何体的体积为______cm3；该几何体的外接球的直径为_______cm ． 13．随机变量X正视图侧视图俯视图第12题图则 ；若则．14．已知函数)R (12∈++=a x ax y 的值域是1[,]4m -，则常数=a，=m ． 15．已知),(y x P 是抛物线24y x =x 的最大值是 ．16．过)1,1(-P 的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组24020390x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内某点（记为B ），则|PA|+|AB|的取值范围是 ．17．已知非负实数x ,y 满足22222429x x y y x y +++=，则)x y xy ++的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对边分别为,,,c a b 且512cos 2sin =-B B ． （Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）若ac a b =-22，求ACsin sin 的值．19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD 是圆台1OO 的轴截面，24AB CD ==，点M 在底面圆周上，且2π=∠AOM ，D M AC ⊥．（Ⅰ）求圆台1OO 的体积；（Ⅱ）求二面角A D M O --的平面角的余弦值．20．（本题满分15分）设函数2()ln f x x ax x =-++（R ∈a ）． （Ⅰ）若1a =时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在],1[e e有两个零点，求实数a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数）1O OABCDM21．（本题满分15分）如图椭圆:M )0(12222>>=+b a by a x 的焦距为32，上下顶点分别为(0,1)A ，(0,1)B -，过点(0,2)P 斜率为k 的直线l 交椭圆于两个不同的点D C ,，直线AD 与BC 交于点Q ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）试探究点Q 的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．（本题满分15分）设数列}{n a 满足:a =11, 11n n na a a +=+（*N ∈n ）．（Ⅰ）证明：1+<n n a a （*N ∈n ）； （Ⅱ）证明:n a ≤≤*N ∈n ）； （Ⅲ）求正整数m ，使|2017a m -|最小． 浙江省名校新高考研究联盟2017届第三次联考 数学参考答案1～10 DCBBD ACDAA11．（1）2π（2）12．13, 13．（1）16 （2）4314．3,1415．1 16．[] 17．1+18．解：（Ⅰ）由已知512cos 2sin =-B B 平方得即251sin 1=-B ，即2524sin =B ------ 3 故257cos ±=B又2cos 2sinB B >，)2,0(2π∈B 所以),2(ππ∈B故257cos -=B ------ 7 （Ⅱ）由余弦定理得B ac c a ac a b cos 22222-+=+= 即)257(2-⋅-=a c a 所以a c 2511= ------11 故2511sin sin =A C ----1419．解法一：（Ⅰ）由已知可得: OM ⊥平面AOD.又AC ⊥DM.从而有AC ⊥DO 由平面几何性质可得AC ⊥CB -----4 设OO1=h ，在直角△ABC 中，有AC2+BC2=AB2 即 (9+h2)+(1+h2)=16h ∴= ∴圆台1OO 的体积337)(31222121ππ=++=r r r r h V .-----7（Ⅱ）过点O 在△DOM 内作OE ⊥DM ，作OH ⊥平面DAM ，垂足分别为E ，H ，连EH. 易得EH ⊥DM,故∠OEH 就是二面角A DM O --的平面角. ----10在△DOM 中由VD-AOM=VO-ADM 得 OH=7-----13在直角△OEH 中,sinOEH ∠=则二面角A DM O --的余弦值为77---15 解法二：（Ⅰ）由题意可得1OO 、OM 、OB 两两互相垂直，以O 为原点，分别以直线OM 、OB 、1OO 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 -----2 设1(0)OO h h =>，则(0,1,)D h -，(2,0,0),M (0,2,0)A -，(0,1,)C h(2,1,)DM h ∴=- ，(0,3,)AC h =ks5uDM AC ⊥ 230DM AC h ∴⋅=-=解得h = -----5∴圆台1OO 的体积337)(31222121ππ=++=r r r r h V . -----7 （Ⅱ）(2,2,0)AM =,(2,1,DM = ,(2,0,0)OM =-----9设平面AD M 、平面ODM 的法向量分别为111(,,)u x y z = ，222(,,)v x y z =则00u AM u DM ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩ 且 0v DM v OM ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩即1111122020x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 且22222020x y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取u =(3,1)v =-----13 ∴cos ,||||u v u v u v ⋅<>==⋅. K*s*5*u则二面角A DM O --的余弦值为77---1520．（Ⅰ）定义域),0(+∞∈x2121()210x x f x x x x-++'=-++=> -----3即2210x x --<即01x << -----5∴)(x f 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞ ------7（Ⅱ）0ln )(2=++-=x ax x x f 即xxx a ln -= -----9 令x x x x g ln )(-=，其中],1[e ex ∈ 01ln ln 11)(222>-+=-⋅-='x x x x xx x x g 即1>x ∴)(x g 的减区间为)1,1[e，增区间为],1(e ------12∴1)1()(min ==g x g又e e e g 1)1(+=，e e e g 1)(-=函数)(x f 在],1[e e有两个零点，则a 的取值范围是1(1,]e e- -----1521．（Ⅰ）椭圆M 的方程为1422=+y x --------4 （Ⅱ）由题意l ：2+=kx y ，设),(11y x C ，),(22y x D⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x kx y 即01216)41(22=+++kx x k -----722122122(16)48(14)016141214k k k x x k x x k ⎧⎪-+>⎪-⎪∴+=⎨+⎪⎪⋅=⎪+⎩----9 BC l ：1111-+=x x y y ，AD l ：1122+-=x x y y 联立方程组，消x 得122121332x x x x x kx y -++= ----13又)(342121x x x kx +-=，解得21=y ，即Q 的纵坐标为定值21---1522．（Ⅰ）由已知条件可知n a 与1n a +同号且110a =>,故0n a > -----2 故11n n n a a a +=+>na ----4 （Ⅱ）因为11n n na a a +=+n a ≥,所以1n a ≥ 则221212n n na a a +-=+ ---7 即2≤2213n n a a +-≤所以2222222132123,23,,23n n a a a a a a -≤-≤≤-≤≤-≤ 则22(1)13(1)n n a n -≤-≤-n a ≤≤ -----10 （Ⅲ）221212n n na a a +-=+可得222017222223201511122015a a a a a -=⨯++++ ----12 由（2）知 22017111140343574029a <+++++ <4034+1111111111111111()()()2448888222+++++++++++<4034+5.5=4039.5 而220174034a >又222633969,63.54032.25,63.64044.96=== 所以201763.563.6a <<故使|2017a -m |为最小的正整数m =64 ----15。

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