基础拓扑学第4章答案

《基础拓扑学讲义》部分习题解答四

ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两

个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例

子。

答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=∅，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。

ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=∆是乘积空间X X ×的闭集。

证：（必要性）要证)(X ∆为闭集，只要证它的余集是

开集。C X y x ))((),(∆∈∀，),(y x 为内点。由

C X y x ))((),(∆∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(∆⊂×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ∆为闭集。

（充分性）对,,x y X x y ∀∈≠，由()X ∆的定义知，(,)()x y X ∉∆，即(,)(())C x y X ∈∆，由)(X ∆为闭集知：()C X ∆为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(∆⊂×∈，由(())C U

V X ×⊂∆知，,U V 为,x y

的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。

ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。

证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ∀∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ∃的邻

域U ，y ∃的邻域V ，

有U V =∅∩。从而()()A U A V =∅∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。

ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。

证：设µ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则

[,1)a a +是开集，从而在µ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈⊂+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b

≠时，a b U U ≠。于是µ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。