重庆大学数理统计试题2

一、假设129,,X X X …，是来自总体()2~,X N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，求下列常数a 的值。

（1）()

0.78P X a σμ<+=；（2）922113.49()15.51i i P X X a σ=⎛⎫

<-≤= ⎪⎝⎭

∑；（3）

0.05X P a S μ⎛⎫

->= ⎪⎝⎭。 解：（1

）2~(,

~(0,1)x x N N N σμ

x p a <

=

即

2.34},(2.34),0.99x p a a a <=Φ==。

（2）

2

22

(1)~(1)n s n χσ

--

99

2

22

211

9

2

2

12

2

1:()(1)()11

{3.49()

15.51}(1){3.4915.51}(15.51)(3.49)10.950.10.85

i i i i i

i s x x n s x x n p x x a

n s p a

a a a σ

σ

===-⇒-=--<-≤=-<

≤=Φ-Φ+=-==∑∑∑

（3

2

22

(1)~(0,1),

~(1)X n s N n χσ

--

~(1),t n -

即

()

~(1)3(){}0.05

3()1{}0.053(){}0.95

1.86

X t n s

X p a s

X p a s X p a s a μμμμ--->=--≤=-≤==

二、设总体X 的密度函数()2,0

()00,0

x xe x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩其一个样本为12,,n X X X …，

（1）求()1

g λλ

=

的最大似然估计量T ；

（2）验证T 是否为()1

g λλ

=的有效估计量，若是，写出信息量()I λ； （3）验证T 是否为()1

g λλ

=

的相合估计量。

解：（1）1

2

21

1

1

()(,)()()n

i

i

i n

n

n

x x n

i

i i I I i L f x x e

x e

λ

λλλλ

λ=--===∑=

==∏∏∏

1

1

11ln ()2ln ln 2ln ()01112212

n

n

i i

i i n

i i n i i L n x x d n L x d x x n T X

λλλλλλλ=====+-=-===∴=∑∑∑∑

（2）由（1）

121220211ln (,,,)2()21

,()22

1111

()()222n n i i x d n L X X X X n X d T X c n

E T E X EX x e dx λλλλλ

λλλ=+∞-=-=--==-====

∑⎰ T 是

1λ得无偏估计量因而T 是1

λ

的有偏估计量。 信息量2()()2

()c g I n λλλλ

'==

（3.）2

()10()()2g DT n c n λλλ'=

=→→∞故T 是1

λ

得相合估计。

三、为了检验一种杂交物的两种新处理方案，在同一地区随机地选择8块地段，在各实验地段，按两种方案处理作物，这8块地段的单位面积产品是（单位：公斤）

假设这两种产量都服从正态分布，分别为()()2

2

1

2

,,,N N μσμσ，2

σ

未知，求12μμ-的

置信度为95%的置信区间。

解：由给定的两组样本值，有：

2211222

8,81.625,145.696,8,75.875,102.1257145.6967102.125123.910

14

n X S n Y S S ω

=

=====⨯

+⨯==

置信度为95%，则0.05α=

()120.97512

1212

(2)14 2.145

81.62575.875 5.75(2) 2.14511.94t

n n t X Y t

n n S αα-

-

+-==-=-=∆=+-==

所以，12μμ-的95%的置信区间为

()()(), 5.7511.94,5.7511.94 6.19,17.69X Y X Y --∆-+∆=-+=-。

四、设总体()~,1X N a ，其一个样本为12,,n X X X …，；对于假设01:1,:2H a H a == （1

）取检验水平为α，写出检验0H 的统计量和拒绝域；

（2）若拒绝域为{}

X c >且犯两类错误的概率均不大于0.05。求样本容量n 和常数

c 。 解：（1)

()~0,1X a N -拒绝域

0:1K x >+ （2）{}}

1(

1)1)10.05P X c a P

X c a

α=>==->

-==

{}}

0.950.051) 1.645

2(2)2)20.05

2) 1.645

10.824

c u P X c a P

X c a c u n β-===≤==->-==-==-=