河南文科高考数学试卷

合集下载

1998年河南高考文科数学真题及答案

1998年河南高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：，，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2，移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0，即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ．设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)．依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}．故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)，得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)．将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大．由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号．由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。

2024年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)[含答案]

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比．V V =甲乙15．已知，，则．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。

2021年河南省高考文科数学真题及参考答案

2021年河南省高考文科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集{}54321，，，，=U ，集合{}21，=M ，{}43，=N ，则()=N M C U （）A .{}5B .{}2,1C .{}4,3D .{}4,3,2,12.设i iz 34+=，则=z （）A .i 43--B .i 43+-C .i43-D .i43+3.已知命题p ：1sin ,<∈∃x R x ；命题q ：1,≥∈∀xe R x ，则下列命题中为真命题的是（）A .qp ∧B .q p ∧⌝C .qp ⌝∧D .()q p ∧⌝4.函数()3cos 3sinxx x f +=的最小正周期和最大值分别是（）A .π3和2B .π3和2C .π6和2D .π6和25.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+324y y x y x ，则y x z +=3的最小值为（）A .18B .10C .6D .46.=-125cos 12cos22ππ（）A .21B .33C .22D .237.在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛210，随机取1个数，则取到的数小于31的概率为（）A .43B .32C .31D .618.下列函数的最小值为4的是（）A .422++=x x yB .xx y sin 4sin +=C .xx y -+=222D .xx y ln 4ln +=9.设函数()xxx f +-=11，则下列函数中为奇函数的是（）A .()11--x fB .()11+-x f C .()11-+x f D .()11++x f 10.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D B 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A .2πB .3πC .4πD .6π11.设B 是椭圆1522=+y x 的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（）A .25B .6C .5D .212.设0≠a ，若a x =为函数()()()b x a x a x f --=2的极大值点，则（）A .b a <B .b a >C .2a ab <D .2a ab >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()5,2=a，()4,λ=b ，若b a ∥，则=λ.14.双曲线15422=-y x 的右焦点到直线082=-+y x 的距离为.15.记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为3，︒=60B ，ac c a 322=+，则=b .16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号一次为.（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x ，y ，样本方差分别为21s ，22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果1022221s s x y +≥-，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.）18.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，⊥PD 底面ABCD ，M 为BC 的中点，且AM PB ⊥.（1）证明：平面⊥P AM 平面PBD ；（2）若1==DC PD ，求四棱锥ABCD P -的体积.19.（12分）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知3219,3,a a a 成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n T S ，分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <.20.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y 的焦点F 到准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足QF PQ 9=，求直线OQ 斜率的最大值.旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.521.（12分）已知函数()123++-=ax x x x f （1）讨论()x f 的单调性；（2）求曲线()x f y =过坐标原点的切线与曲线()x f y =的公共点的坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，☉C 的圆心为()12，C ，半径为1.（1）写出☉C 的一个参数方程；（2）过点()14，F 作☉C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()3++-=x a x x f .（1）当1=a 时，求不等式()6≥x f 的解集；（2）若()a x f ->，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由题意可得{}4,3,2,1=N M ，∴(){}5=N M C U 2.C 解析：在等式i iz 34+=两边同时乘i 得，34-=-i z ，∴i z 43-=.3.A 解析：p 真，q 真，∴选A 4.D解析：由题可得()⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin 2πx x f ，故周期为πωπ62==T ，最大值为2.5.C 解析：由约束条件可得可行域如图所示，当直线y x z +=3过点()31，B 时，z 取最小值为6.6.D解析：原式236cos 12sin 12cos22==-=πππ7.B 解析：本题为集合概型，测度为长度，()32021031=--=A P .8.C 解析：由题意可知A 的最小值为3，B 等号成立条件不成立，D 无最小值.9.B解析：()xx f ++-=121关于()11--，中心对称，向右1个单位，向上1个单位后关于()0,0中心对称，∴()11+-=x f y 为奇函数.10.D解析：如图，1PBC ∠为直线PB 与1AD 所成的角的平面角.易知11BC A ∆为正三角形，又P 为11C A 的中点，∴61π=∠PBC .11.A 解析：由P 在C 上，设()00,y x P ，且152020=+y x ，()10，B ，因此()202021-+=y x PB，由152020=+y x 可得[]1,1,5502020-∈-=y y x ，代入上式得()20202155-+-=y y PB，化简得[]1,14254140202-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=y y PB .因此当且仅当410-=y 时，PB 的最大值为25.12.D解析：若0>a ，其图象如图（1），此时，b a <<0；若0<a ，其图象如图（2），此时，0<<a b .综上，2a ab >.二、填空题13.58解析：由已知，b a ∥，则λ542=⨯，故58=λ.14.5解析有题意可知，双曲线的右焦点坐标为()0,3，由点到直线的距离公式得521802322=+-⨯+=d .15.22解析：343sin 21===∆ac B ac S ABC ，∴4=ac .由余弦定理，823222==-=-+=ac ac ac ac c a b ，∴22=b .16.②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面P AC ⊥平面ABC ，2==PC P A ，5==BC BA ，2=AC .俯视图为⑤；侧视图为③，如图（2），P A ⊥平面ABC ，1=P A ，5==AB AC ，2=BC ，俯视图为④.三、解答题17.解：（1）()0.107.92.101.100.108.99.92.100.103.108.9101=+++++++++=x ()3.105.104.105.106.103.101.100.101.104.101.10101=+++++++++=y ，()()()()2222210.100.1020.109.90.108.920.107.9[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()()036.0]0.103.100.102.1020.101.10222=-+-⨯+-+，()()()()2222223.104.1023.103.103.101.1033.100.10[101-⨯+-+-⨯+-⨯=s ()()04.0]3.106.103.105.10222=-+-⨯+.（2）由（1）中数据得3.0=-x y ，0304.00076.021022221==+s s .则0304.009.03.0>=，显然>-x y 1022221s s +，∴可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.解：（1）∵⊥PD 底面ABCD ，⊂AM 平面ABCD ，∴AM PD ⊥，∵AM PD ⊥，AM PB ⊥，P PD PB = ，⊂PB 平面PBD ，⊂PD 平面PBD ，∴⊥AM 平面PBD又∵⊂AM 平面P AM ，∴平面P AM 平面PBD .（2）∵M 为BC 的中点，∴AD BM 21=且1==DC AB ……①∵⊥AM 平面PBD ，⊂BD 平面PBD ，∴BD AM ⊥.则有︒=∠+∠90MAD BAM ，︒=∠+∠90ADB MAD ，即ADB BAM ∠=∠，则有ADB BAM ∆∆~，则有DAABAB BM =，即将①代入得2=AD .212=⨯=⋅=DC AD S ABCD ，32123131=⨯⨯=⋅=-PD S V ABCD ABCD P .19.解：（1）设{}n a 的公比为q ，则1-=n n qa ，∵3219,3,a a a 成等差数列，∴q q 32912⨯=+，解得31=q故131-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=n n n S 31123311311.又n n n b 3=，则n n n nn T 3313332311321+-++++=- ，两边同乘31，则143233133323131++-++++=n n n nn T ，两式相减得132133131313132+-++++=n n n nT ，即1133112133113113132++-⎪⎭⎫⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn nn n n T ，整理得nn n n n n T 3232433231143⨯+-=⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-=，∴032343112332324322<⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-=-n n n n n n n S T ，故2nn S T <.20.解：（1）在抛物线中，焦点F 到准线的距离为p ，故2=p ，∴x y 42=.设()()()01,,2211，，，F y x Q y x P ，则()1212,y y x x PQ --=，()22,1y x QF --=，∵QF PQ 9=，∴()21219x x x -=-，1129y y y -=-，∴91021-=x x ，2110y y =，又∵点P 在抛物线上，1214x y =，∴()()910410222-=x y ，则点Q 的轨迹方程为259522-=x y .设直线OQ 的方程为kx y =，当直线OQ 和曲线259522-=x y 相切时，斜率最大，联立直线与曲线方程，得02595222=+-x x k ，相切时，0=∆，即025945222=⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-k ，解得31=k 或31-=k （舍去）∴直线OQ 斜率的最大值为31.21.解：（1）函数()x f 的定义域为R ，其导数为()a x x x f +-='232.①当31≥a 时，()0='x f 至多有一解，即()0≥'x f ，∴()x f 在R 上单调递增；②当31<a 时，令()0='x f ，即0232=+-a x x ，解得3311,331121ax a x -+=--=.()0>'x f 时，1x x <或2x x >；()0<'x f 时，21x x x <<∴()x f 在()1x ，∞-上单调递增，在()21,x x 上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增.∴当31≥a 时，()x f 在R 上单调递增；当31<a 时，()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-3311a ，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--33113311a a ，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+-+，3311a 上单调递增.（2）记曲线()x f y =过坐标原点的切线为l ，切点为()1,020300++-ax x x x P .()a x x x f +-='020023.∴切线l 的方程为()()()002002030231x x a x x ax x x y -+-=++--，又切线l 过坐标原点，则0122030=--x x ，解得10=x ∴切线l 的方程为()xa y +=1若()x a ax x x +=++-1123，则有方程0123=+--x x x ，解得1=x 或1-=x ∴曲线()x f y =过坐标原点的切线与曲线()x f y =的公共点的坐标为()a +1,1和()a ---1,1.（二）选考题22.解：（1）∵☉C 的圆心为()12，C ，半径为1，故☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，（θ为参数）.（2）设切线()14+-=x k y ，即014=+--k y kx ，故1114122=++--kk k ，即212k k +=，∴2214k k +=，解得33±=k .故直线方程为()1433+-=x y ，()1433+--=x y .故两条切线的极坐标方程为1334cos 33sin +-=θθρ或1334cos 33sin ++=θθρ.23.解：（1）当1=a 时，()31++-=x x x f ，即求631≥++-x x 的解集.当1≥x 时，622≥+x ，得2≥x ；当13<<-x 时，64≥，此时没有x 满足条件；当3-≤x 时，622≥--x ，解得4-≤x .综上，解集为(][)∞+-∞-，，24 .（2）()a x f ->min ，而由绝对值的几何意义，即求x 到a 和3-距离的最小值.当x 在a 和3-之间时最小，此时()x f 最小值为3+a ，即a a ->+3.3-≥a 时，032>++a ，得23->a ；当3-<a 时，a a ->--3，此时a 不存在.综上，23->a .。

2023年河南省普高联考高考数学测评试卷(文科)(四)+答案解析(附后)

2023年河南省普高联考高考数学测评试卷（文科）（四）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数的共轭复数为，且，则( )A. B. 1 C. 2 D. 33. 已知向量，，且，则( )A. B. C. D.4. 已知为等差数列的前n项和，若，那么( )A. 40B. 45C. 50D. 555. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同现测得，一水平面内的两个测量基点C与D，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度约为参考数据：，( )A. 13米B. 24米C. 39米D. 45米6. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.7. 记不等式组的解集为D，现有下面四个命题：：，；：，；：，；：，其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 函数是定义在R上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则t的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则( )A. B. C. D.10. 任意写出一个正整数m，并且按照以下的规律进行变换：如果m是个奇数，则下一步变成，如果m是个偶数，则下一步变成，无论m是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示为数列：为正整数，若，则m的所有可能取值之和为( )A. 188B. 190C. 192D. 20111. 若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是( )A. B. C. D.12. 已知双曲线E：的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为( )A. 2或B. 3或C. 2D. 313. 在正项等比数列中，，，则______ .14. 已知点和，点M满足，直线t：与点M 的轨迹相切，则直线l的倾斜角为______ .15. 在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为______ .16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A；点D在线段AC上，且，若的面积为，，求BD的长.17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，点M在底面ABCD上的射形为CD的中点O，E为线段AD上的点含端点若E为线段AD的中点，证明：平面平面MAD；若，且三棱锥的体积为，求实数的值.18. 某公司为了解年营销费用单位：万元对年销售量单位：万件的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示.表中，，，已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程.求y关于x的回归方程；若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？收益=销售利润-营销费用-固定成本参考数据：，参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，19. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上.求椭圆C的标准方程；过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围.20. 已知函数当时，求在点处的切线方程；证明：当时，对任意的，恒成立.21. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，其中为参数.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图无需写出作图过程；直线与曲线C相交于A，B两点，且，求的值.22. 已知函数的最小值为在直角坐标系中画出的图象，并求出m的值；若a，b，c均为正数，且，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：由已知可得，，所以A，C，D错误，B正确，故选：求出集合A，B的交集，并集，然后对各个选项逐个分析即可判断求解．本题考查了集合的交集，并集运算，考查了元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：复数的共轭复数为，则，因为，所以，即，解得，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：已知向量，，，，，又，则，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合三角函数求值问题求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数求值问题，属基础题．4.【答案】B【解析】解：由等差数列的性质及其，，那么故选：由等差数列的性质及其，可得，再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：在中，由于，，米，所以，利用正弦定理，整理得，在中，，解得：米．故选：直接利用正弦定理和三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．6.【答案】A【解析】解：因为，，所以，所以为R上的奇函数，排除B，D；又因为，故排除C，只有A满足．故选：先判断出函数为奇函数，排除B，D；再判断的正负即可得答案．本题考查了函数的奇偶性、数形结合思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：不等式组的解集为D，作出平面区域：由图可知，在阴影区域ABC中，对于：，，正确；：，，错误；：，，代入不成立，错误；：，，正确．故选：依题意，作出线性规划图，对、、、四个选项逐一判断分析即可．本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以是定义域R上的偶函数，又因为在区间上单调递增，且，所以，即，解得或，所以或，所以t的取值范围是故选：根据函数是定义在R上的奇函数得出是偶函数，把不等式化为，即，求解不等式即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：抛物线C：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，所以M的纵坐标为：，则A的纵坐标：，A的横坐标为：，M的横坐标为：，FA的斜率为：，AF的方程为：，代入抛物线方程可得：，可得，，可得，可得故选：利用已知条件求解A的坐标，得到M的坐标，然后求解B的坐标，即可求解的值．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意，的可能情况有：①：②；③：④：⑤：⑥的所有可能取值为2，16，20，3，128，21，所有可能取值的和为故选：根据“冰雹猜想”，一一列举出所有可能的情况即可．本题考查数列的递推式，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：函数在上恰有两个零点，，解得；①又在上单调递增，，解得；②联立①②得的取值范围是故选：利用正弦函数性质，结合题意可求得的取值范围．本题考查正弦型函数的单调性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：设下焦点为，则，，，，，解得或，经检验，不符合题意，舍去，，，故选：设下焦点为，利用，求解即可．本题考查求双曲线的离心率，考查运算求解能力，属中档题．13.【答案】24【解析】解：由等比数列的性质可知，，，又等比数列的各项都为正数，故答案为：根据等比数列的性质可得，从而求出的值．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，设，由于点M满足，则有，变形可得，即，则点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，若直线t：与点M的轨迹相切，则有，解可得：，设直线l的倾斜角为，则，故；故答案为：根据题意，设，分析M的轨迹，可得点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于中档题．15.【答案】【解析】解：在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，则，设，又点M，N分别在线段AD，CD上，且，，则，，将沿MN折叠到，使，设在平面ABC内的射影为F，则点F在BG直线上，又，，，由可得点F与点G重合，即在平面ABC内的射影为G，又为直角三角形，且，则，，则，设的外接圆的圆心为，半径为r，则，即，即，，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，则平面ABC，设H为的外心，则四边形为矩形，设，则，则，，即三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：由已知可得在平面ABC内的射影为G，由正弦定理可得的外接圆的半径为，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，H为的外心，且，则，然后结合球的表面积公式求解即可．本题考查了正弦定理及勾股定理，重点考查了球的表面积公式，属中档题．16.【答案】解：因为，即，所以由正弦定理可得，又，所以，可得，因为C为三角形内角，，所以，可得，又，所以；因为点D在线段AC上，且，的面积为，所以，又，所以，因为，所以，可得，所以，所以【解析】利用正弦定理以及三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，即可求解A的值．由题意，利用三角形的面积公式可求，结合，可求b 和c的值，进而可求AD的值，利用余弦定理即可求解BD的值．本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：由点M在底面ABCD上的射影为CD的中点O，知平面ABCD，因为平面ABCD，所以，在中，，，，由余弦定理知，，所以，即，因为，OM、平面MOE，所以平面MOE，又平面MAD，所以平面平面解：由可得，，，三棱锥的体积为，可得，解得，，，可得【解析】由平面ABCD，知，在中，结合余弦定理与勾股定理，可证，从而知平面MOE，再由面面垂直的判定定理，得证；求解OA，MO，利用三棱锥的体积为，求解AE，即可实数的值．本题考查点到平面的距离、线面垂直的判定与性质、正四面体的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：由表可知，，，所以，，所以，因为，，所以，所以，即y关于x的回归方程为年收益，所以，令，则，即，当时，，递增；当时，，递减，所以当时，年收益取得最大值，故估计该公司每年投入万元的营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大．【解析】结合表中数据与参考公式，可求得和的值，再利用，，根据对数的运算法则，即可得解；年收益，利用导数研究其单调性，进而知其最大值，得解．本题考查回归方程的求法及其实际应用，利用导数求函数的最值，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：因为，可得，设椭圆的方程为：，将点代入椭圆的方程：，解得，所以椭圆的方程为：；由可得右焦点，由题意设直线l的方程为，设，，联立，整理可得：，显然成立，，，，可得AB的中点，可得弦长，可得直线OQ的方程为，设，，联立，整理可得，可得，设，，所以M到直线l的距离，N到直线l的距离，因为M，N在直线l的两侧，所以，所以，因为所以四边形的面积的范围【解析】由离心率的值可得a，b的关系，再将点的坐标，代入椭圆的方程，可得a，b的值，可得椭圆的方程；设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得弦长的代数式，可得AB的中点Q的坐标，可得直线OQ的方程，与椭圆联立，可得M，N的坐标，可得M，N到直线l的距离，由M，N在直线的两侧，可得M，N到直线l的距离之和的代数式，可得四边形的面积的表达式，由自变量的范围，可得四边形的面积的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，四边形的面积的求法，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，，，在点处的切线方程为，即为证明：函数，要证明当时，对任意的，恒成立当时，对任意的，恒成立．令，，，，令，，①时，，此时函数单调递增，，即，函数在上单调递增，；②时，，此时函数单调递减，而，，存在，使得，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．时，函数取得极大值即最大值，，，令，，，令，解得，且为函数的极小值点，此时函数取得最小值．，综上可得：当时，对任意的，恒成立，即当时，对任意的，恒成立．【解析】当时，，，利用导数的运算法则可得，，利用点斜式即可得出在点处的切线方程．函数，要证明当时，对任意的，恒成立当时，对任意的，恒成立．令，，，，令，，通过对x分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：直线l的参数方程为其中t为参数，转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为故曲线C 的简图为：直线与曲线C 相交于A ，B 两点，所以，解得，同理，所以，故，整理得：，由于，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用极径的关系式和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径关系式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．22.【答案】解：，由图知，的最小值为，即；由可得，因为a ，b ，c 都为正数，由柯西不等式可得：，当且仅当时取等号，所以，即的最小值为【解析】去掉绝对值，可得分段函数的解析式，如图所示，可得函数的最小值；由柯西不等式可得代数式的最小值．本题考查分段函数的图像求函数的最小值及柯西不等式的应用，属于基础题．。

2017年河南省全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3 8．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020河南高考数学试卷文科

选择题：1. 以下哪个选项是二次函数的图像形状？A. V形B. 直线C. 正弦曲线D. 反比例函数曲线2. 以下哪个选项是等差数列的通项公式？A. Un = a + (n - 1)dB. Un = a^nC. Un = a * nD. Un = a / n3. 下面哪个选项是对数函数的反函数？A. 幂函数B. 正弦函数C. 一次函数D. 指数函数4. 下列哪个选项是垂直于直线2x - 3y = 6的直线?A. y = 2x + 3B. y = -3x + 2C. y = 3x + 2D. y = -2x + 35. 以下哪个选项是解一元二次方程的公式？A. x = -b ± √(b^2 - 4ac) / 2aB. x = -b ± √(b^2 + 4ac) / 2aC. x = b ± √(b^2 - 4ac) / 2aD. x = b ± √(b^2 + 4ac) / 2a6. 下面哪个选项是立方根的定义？A. a^2 = bB. a^3 = bC. a^4 = bD. a^5 = b7. 已知平行四边形两对边分别平行于坐标轴，且一对边的长度为7，另一对边的长度为3，该平行四边形的面积为多少？A. 10B. 14C. 17D. 218. 以下哪个选项是复数的模？A. 实部B. 虚部C. 系数D. 绝对值填空题：1. 若a = 2，b = 5，则a + b = ____。

2. 二次函数图像的顶点坐标是(3, -4)，对称轴方程是x = ____。

3. 若f(x) = 2x + 3，则f(-2) = ____。

4. 若sinθ = 0.8，则cosθ = ____。

5. 在直角三角形中，边长最长的边被称为____。

6. 若x = 3^2，y = √9，则xy = ____。

7. 若log₂a = 4，则a = ____。

8. 下列哪个选项是等差数列的通项公式：Un = ____。

高考河南文科数学试卷

高考河南文科数学试卷A卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

每小题有4个选项，其中有一个正确答案。

）1.若实数a的平方根是正数，则a的取值范围是A.(0,+∞)B.（-∞,+∞）C.[-1,1]D.(-1,+∞)2.不等式x^2-4x-21<0的解集是A.(-3,7)B.[3,7)C.[3,7]D.(3,7)3.二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图象是一个抛物线，则a的符号与下列哪个关系正确定义A.抛物线开口朝上B.抛物线开口朝下C.抛物线与x轴相交D.抛物线在一侧4.x^2+px-12的判别式不小于0，则A.p>=-4B.p<=-4C.p>=4D.p<=45.若根号 a +1=3，则 a=（）。

A.4B.8C.3D.96.已知 2x-y=2 ，求 ax+by=7 的几个解中， a:b=（）。

A.1:2B.2:-1C.1:-2D.-1:27.若x,y均为整数且x^2+y^2=2，则 xy=（）A.2B.-2C.1D.-18.函数 y=ax^2+bx+c恒大于0，解得a=3,b=-6,则c=（）。

A.-3B.3C.-4D.49.若函数f(x)=x^2+bx+c恒大于0，解得b=6，则c=（）。

A.9B.18C.21D.3610.记函数y=ax^2+bx+c的最小值为m，则a>0时，m=（）。

A.-b/(4a)B.b/(4a)C.c-b^2/(4a)D.c+b^2/(4a)B卷二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）11.数列1，5，9，13，……的第n项为12.若a+b=3 ，则(a^2+b^2)的最小值为13.若x^2-4x+2=0的两根为α,β,则（α/β+β/α）=14.已知点M（2,3），则过点M的平行于x轴的直线方程为15.设函数y=ax^2+bx+c的图象和x轴相交于两点A（1,0）和B （3,0），则a的值为C卷三、简答题（本题共4小题，每小题12分，共48分）16.求函数y=x^2-x的最小值。

2020年河南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)

2020年河南省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A＝{x|x2−3x−4<0}，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝（）A.{−4, 1}B.{1, 5}C.{3, 5}D.{1, 3}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．【解答】集合A＝{x|x2−3x−4<0}＝(−1, 4)，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝{1, 3}，2. 若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A.0B.1C.√2D.2【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】z＝1+2i+i3＝1+2i−i＝1+i，∴|z|=√12+12=√2．3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+12【答案】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】设正四棱锥的高为ℎ，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′，则依题意有：{ℎ2=12aℎℎ2=ℎ2−(a2)2，因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′⇒4(ℎa)2−2(ℎa)−1＝0⇒ℎa=√5+14（负值舍去）；4. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A.1 5B.25C.12D.45【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概率公式即可求出．【解答】O，A，B，C，D中任取3点，共有C53=10种，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P=210=15，5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：∘C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i, y i)(i＝1, 2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A.y＝a+bxB.y＝a+bx2C.y＝a+be xD.y＝a+b ln x【答案】求解线性回归方程【解析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】由散点图可知，在10∘C至40∘C之间，发芽率y和温度x所对应的点(x, y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+b ln x可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．6. 已知圆x2+y2−6x＝0，过点(1, 2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D(1, 2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．【解答】由圆的方程可得圆心坐标C(3, 0)，半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D(1, 2)的直线与圆的相交弦长|AB|＝2√r2−d2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，所以最小的弦长|AB|＝2√32−(2√2)2=2，7. 设函数f(x)＝cos(ωx+π6)在[−π, π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】由图象观察可得最小正周期小于13π9，大于10π9，排除A，D；再由f(−4π9)＝0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】由图象可得最小正周期小于π−(−4π9)=13π9，大于2×(π−4π9)=10π9，排除A，D；由图象可得f(−4π9)＝cos(−4π9ω+π6)＝0，即为−4π9ω+π6=kπ+π2，k∈Z，(∗)若选B，即有ω=2π7π6=127，由−4π9×127+π6=kπ+π2，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω=2π4π3=32，由−4π9×32+π6=kπ+π2，可得k＝−1，成立．8. 设a log34＝2，则4−a＝（）A.1 16B.19C.18D.16【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】因为a log34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9则4−a=14a =19，9. 执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A.17B.19C.21D.23【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】n＝1，S＝0，第一次执行循环体后，S＝1，不满足退出循环的条件，n＝3；第二次执行循环体后，S＝4，不满足退出循环的条件，n＝5；第三次执行循环体后，S＝9，不满足退出循环的条件，n＝7；第四次执行循环体后，S＝16，不满足退出循环的条件，n＝9；第五次执行循环体后，S＝25，不满足退出循环的条件，n＝11；第六次执行循环体后，S＝36，不满足退出循环的条件，n＝13；第七次执行循环体后，S＝49，不满足退出循环的条件，n＝15；第八次执行循环体后，S＝64，不满足退出循环的条件，n＝17；第九次执行循环体后，S＝81，不满足退出循环的条件，n＝19；第十次执行循环体后，S＝100，不满足退出循环的条件，n＝21；第十一次执行循环体后，S＝121，满足退出循环的条件，故输出n值为21，10. 设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质即可求出．【解答】{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，则a2+a3+a4＝q(a1+a2+a3)，即q＝2，∴a6+a7+a8＝q5(a1+a2+a3)＝25×1＝32，11. 设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A.7 2B.3C.52D.2【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．【解答】由题意可得a＝1，b=√3，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP|=12|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|−|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|＝4，∴|PF1|⋅|PF2|＝6，∴△PF1F2的面积为S=12|PF1|⋅|PF2|＝3，12. 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A【考点】球的表面积和体积【解析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则3 2AO1＝AB sin60∘，32AO1=√32AB，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2√3，外接球的半径为：R=√AO12+OO12=4，球O的表面积：4×π×42＝64π．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年河南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)

2020年河南省髙考数学试卷(文科)(新课标I )一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合Λ = {%∣X 2-3X -4<0}, B={-4, 1, 3, 5},则AC ∖B=() A.{-4, 1}B.{l, 5}C.{3, 5}D.{l, 3}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求解一元二次不等式得到集合4,再由交集运算得答案• 【解答】集⅛4={%∣%2-3X -4 <0} = (-l, 4), B={-4, 1,3,5}, 则AnB=(1, 3}, 2.若z=l +2i + iS 则IZl=()A.0B.lC.√2D.2【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即町. 【解答】z=l + 2i + i 3= l + 2i - i = l + i, .∙. IZI =√12÷ I 2= ∖[2.3•埃及胡夫金字塔是占代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面枳，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()【答案】A. √5-lD.√5+lB •导C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.【解答】设正四棱锥的高为/1，底面边长为6侧面三角形底边上的高为∕Λ则依题意有：h2 = ^ah h2 = h2-φ2'因此有护-φ2 = lαΛ,=> 4（》2 _ 2（》一1 =O » =字（负值舍去）;4・设O为正方形ABCD的中心，在O, A9 B、C9 D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）【答案】A【考点】占典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概率公式即可求出.【解答】O, A f B, C, D中任取3点，共有屈=10种, 其中共线为4，O, C和B, O, D两种，故取到的3点共线的概率为P =5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度％（单位：9）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（X it y i Xi = I t 220）得到下面的散点图：由此散点图，在10。

2022年河南高考文数真题及答案（全国乙卷）

2022年河南高考文数真题及答案(全国乙卷)高中数学是一个特别需要用心学习的科目，数学的知识点很多，涉及到的题型也特别多，稍微用错一个公式，计算少算一步，这道题都得不到分。

以下是小编为大家收集整理的关于2022年河南高考文数真题及答案(全国乙卷)的相关内容，供大家参考!2022年全国乙卷适用的省份：河南、安徽、江西、山西、陕西、黑龙江、吉林、甘肃、内蒙古、青海、宁夏、新疆点击查看》》2022年河南高考真题及答案汇总2022年河南高考文数真题及答案(全国乙卷)高校招生的几种模式1、了解学科类别在填报志愿之前，考生应了解大类的具体学科类别，要按照教育部规定的普通高等学校本科专业的设置分类，了解选报的大类是属于12个学科的哪一个学科?又属于哪一个门类?这一点首先要搞清楚。

2、不同大类包含专业不同考生在填报志愿过程中会发现，专业目录中相同的招生大类，各学校所包含的专业也不同。

各省考生在报考时，一定要认真阅读本省当年下发的《招生专业目录》，看清所报学校的招生专业，确定自己喜欢的专业是否包含在某“大类”之中，以免漏报、错报。

3、二次分流选专业要多种因素综合考虑目前国内的高校大类专业分流模式大致有两种：一是基于学生成绩、平时表现等综合因素分专业。

这种模式最直接的影响是，排名在后的学生没有选择的余地。

有些学生可能是为了某个专业才选择大类专业，可在选专业时，受成绩排名等影响，难以选到目标专业。

二是直接按照学生意愿选专业。

这种方法看似更科学，但操作起来很困难。

在实际中，大部分学生更乐意选择“热门专业”，这样一来，“热门专业”扎堆，人数太多难以吸纳。

所以，提前了解所报院校将来分专业的相关规定，是很有必要的，这直接关系到将来学生的专业去向。

4、考生应考虑清楚自己今后的发展方向按大类招生为不了解大学专业设置的高考考生及其家长提供了一个先了解后选择的机会，使考生能够先进入大学学习基础课程和学科技能，后根据专业兴趣、个人特长等选择合适的专业，再进行专业知识点的学习和能力培养。

2023年河南省高考文科数学真题及参考答案

2023年河南省高考文科数学真题及参考答案一、选择题1.=++3222ii （）A .1B .2C .5D .52.设集合{}8,6,4,2,1,0=U ，集合{}6,4,0=M ，{}6,1,0=N ，则=⋃N C M U （）A .{}8,6,4,2,0B .{}8,6,4,1,0C .{}8,6,4,2,1D .U3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若c A b B a =-cos cos ，且5π=C ，则=∠B （）A .10πB .5πC .103πD .52π5.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则=⋅ED EC （）A .5B .3C .52D .57.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .218.函数()23++=ax x x f 存在3个零点，则a 的取值范围是（）A .()2-∞-，B .()3-∞-，C .()14--，D .()0,3-9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A .65B .32C .21D .3110.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .2311.已知实数y x ,满足042422=---+y x y x ，则y x -的最大值是（）A .2231+B .4C .231+D .712.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，下列四个点中，可为AB 中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈30πθ，，21tan =θ，则=-θθcos sin .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.16.已知点C B A S ,,,均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则=SA .三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知112=a ，4010=S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 前n 项和n T .19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）若︒=∠120POF ，求三棱锥ABC P -的体积.20.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）若()x f 在()∞+，0单调递增，求a 的取值范围.21.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，证明：线段MN 中点为定点.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112CADCDBCBADCD1.解：∵i i i i 212122232-=--=++，∴()52121222232=-+=-=++i ii 3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵C B A -=+π，∴()B A C +=sin sin ，∵c A b B a =-cos cos ，由正弦定理得：B A B A C A B B A sin cos cos sin sin cos sin cos sin +==-∴0cos sin =A B ，∵()π，0∈B ，∴0sin ≠B ，∴0cos =A ，∴2π=A ∵5π=C ，∴10352πππ=-=B .5.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .6.解：以AD AB ,为基底表示：AD AB BC EB EC +=+=21，AD AB AD EA ED +-=+=21，∴31441212122=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅AB AD AD AB AD AB ED EC7.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .8.解：由条件可知()032=+='a x x f 有两根，∴0<a 要使函数()x f 存在3个零点，则03>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a f 且03<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a f ，解得3-<a 9.解：有条件可知656626=⨯=A P .10.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .11.解：由042422=---+y x y x 得()()91222=-+-y x ，令t y x =-，则0=--t y x ，圆心()1,2到直线0=--t y x 的距离为321111222≤-=+--t t ，解得231231+≤≤-t ，∴y x -的最大值为231+.12.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.二、填空题13.49；14.55-；15.8；16.213.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.解：∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20πθ，，∴0cos ,0sin >>θθ，由⎪⎩⎪⎨⎧===+21cos sin tan 1cos sin 22θθθθθ，解得552cos ,55sin ==θθ，∴55cos sin -=-θθ.15.解：作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .16.解：如图所示，根据题中条件2==OS OA ，3===AC BC AB ，∴3323321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==A O r ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=2121221212A O OO SA OS A O OO OA即()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=222222r d SA R r d R ，代入数据得()⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=343422d SA d ，解得2=SA 或1-=SA （舍）三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s ，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==+=402910101111012d a S d a a 解得⎩⎨⎧-==2131d a ，∴数列{}n a 的通项公式为()n d n a a n 21511-=-+=.（2）由（1）知n a n 215-=，令0215>-=n a n 得*∈≤<N n n ,70∴当*∈≤<N n n ,70时，()n n a a n T n n 14221+-=+=；当*∈≥N n n ,8时，nn a a a a a a T +++++++= 98721n a a a a a a ----+++= 98721()n a a a a a a +++-+++= 98721()981414492222777+-=+--⨯=-=--=n n n n T T T T T n n 综上所述⎪⎩⎪⎨⎧∈≤++-∈≤+-=**Nn n n n Nn n n n T n ,7,814,7,142219.解：（1）∵BC AB BF AO ⊥⊥,，∴OAB FBC ∠=∠.22tan ==∠AB OB OAB ，22tan ==∠BC AB ACB ，∴ACB FBC ∠=∠.又点O 为BC 中点，∴BC OF ⊥.又BC AB ⊥∴AB OF ∥.∴点F 为AC 中点.∵点E 为P A 中点，∴PC EF ∥.∵点O D ,分别为BC BP ,中点，∴PC DO ∥，即EFDO ∥∵⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）过点P 作OF PH ⊥，垂足为H .由（1）知BC OF ⊥，在PBC ∆中，PC PB =，∴BC PO ⊥.∵O PO OF =⋂，∴BC ⊥平面POF .又⊂PH 平面POF ，∴PH BC ⊥.又∵OF PH ⊥，O BC OF =⋂，∴PH ⊥平面ABC .在PBC ∆中，222=-=OC PC PO .在POH Rt ∆中，︒=∠60POH ，3sin =∠⋅=POH PO PH ∴362213131=⋅⋅⨯=⋅=∆-BC AB PH S PH V ABC ABC P .20.解：（1）（1）当1-=a 时，()(),1ln 11+⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x f ，则()()11111ln 12+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯-='x x x x x f ，据此可得()()2ln 1,01-='=f f ，函数在()()11f ，处的切线方程为()12ln 0--=-x y ，即()02ln 2ln =-+y x .（2）由题意知()()()()()11ln 11111ln 1222+++-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x x x x x ax x a x x x x f .若()x f 在()∞+，0上单调递增，则方程()()01ln 12≥++-+x x x ax 在()∞+，0上恒成立，令()()()0,1ln 12>++-+=x x x x ax x h ，则()()1ln 2+-='x ax x h .当21≥a 时，()()01ln 2≥+-='x ax x h 成立，()x h 单调递增且()00=h ，()0≥x h 成立，符合题意.当210<<a 时，()()()0112,1ln 2=+-=''+-='x a x h x ax x h ，则121-=a x ，则()x h '在⎪⎭⎫ ⎝⎛-121,0a 上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，121a 上单调递增，()00='h 则()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛-121,0a 上单调递减，()00=h ，则⎪⎭⎫⎝⎛-∈121,0a x 上时，()0<x h 不合题意，舍去.当0≤a 时，()()01ln 2<+-='x ax x h ，()x h 单调递减，()00=h ，则()0<x h 不合题意，舍去.∴a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21.21.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y 。

2023年河南省商丘市部分学校高考数学段考试卷(文科)(六)+答案解析(附后)

2023年河南省商丘市部分学校高考数学段考试卷（文科）（六）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数，则( )A. B. C. D.3. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组分别为专业人士记为小组和观众代表记为小组给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论错误的是( )A. 小组A打分的分值的平均数为48B. 小组B打分的分值的中位数为66C. 小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差D. 小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.6. 执行如图所示的程序框图，输出的( )A. B. C. D. 07. 已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90dB，则传输距离约为原来的参考数据：( )A.倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍8. 已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为( )A. B.C. D.9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为( )A. B. C. D.10. 已知抛物线C：的焦点为F，，M为C上位于第一象限的一点，且点M 的横坐标小于2，则的面积的最大值为( )A. 2B.C. 1D.11. 已知四棱锥的底面ABCD是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N是C的一条渐近线上的两点，且为坐标原点，若P为C的左顶点，且，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D.13. 已知在平行四边形ABCD中，点E满足，，则实数______ .14. 已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为______ .15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则的面积为______ .16. 若过点有n条直线与函数的图象相切，则当n取最大值时，a的取值范围为______ .17. 已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足，求的通项公式；记，求数列的前n项和18. 某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间单位：时的频率分布表：日均收看世界杯时间时频率如果把日均收看世界杯的时间高于小时的观众称为“足球迷”.根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计从样本中为“足球迷”的观众中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人进行交流，求3人都是男性观众的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC，E，F分别为棱，BC的中点.证明：平面；若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离.20. 已知椭圆的上顶点为A，右顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，的面积为求椭圆C的方程；若过点且不过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线MQ与直线交于点E，证明：21. 已知函数当时，求的极小值；若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为设曲线与曲线交于A，B两点，求；若M，N是曲线上的两个动点，且，求的取值范围.23. 已知函数求不等式的解集；若的最小值为t，a，b，c为正实数，且，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，，则故选：利用交集的定义可求．本题主要考查交集的运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】因为，所以，故选：根据复数的除法运算求得z，根据共轭复数的概念可得答案．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由图可知，小组A打分的平均数为，故A正确；将小组B打分从小到大排列为36、55、58、62、66、68、68、70、75，所以中位数为66，故B正确；小组A打分的分值的极差为，小组B打分的分值的极差为，故C错误；小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确；故选：根据平均数公式判断A，将小组B打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断本题主要考查了平均数、中位数和极差的计算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为，所以故选：利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得．本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系在三角函数值求解中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图得该几何体为如图所示的多面体，且，，所以，则其表面积为故选：根据三视图得到几何体的直观图，从而求出几何体的表面积．本题主要考查三视图，几何体的表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由程序框图知，第一次循环，判断不成立，，；第二次循环，判断不成立，，；第三次循环，判断不成立，，；第四次循环，判断成立，，；第五次循环，判断成立，，；第六次循环，判断成立，，，跳出循环，输出故选：根据给定的程序框图，依次计算直到条件被满足即可作答．本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设原来的传输损耗、载波频率、传输距离分别为L，F，D，变化后的传输损耗、载波频率、传输距离分别为，，，则，，因此，于是，解得，所以传输距离约为原来的倍．故选：设出变化前后的相关量，再结合已知列式，借助对数运算求解作答．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，所以，在上单调递增，由，得，当时，由，得，当时，由，得，所以原不等式的解集为故选：由题意不等式等价于，再根据函数的单调性分和两种情况讨论即可得解．本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到，所以，所以，，所以，，当，时，，时，则，即；当，时，，时，则，即；综上可得的值域为故选：根据三角函数的变换规则得到的解析式，即可得到的解析式，再将函数写成分段函数，利用辅助角公式化简，最后结合正、余弦函数的性质计算可得．本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意，可得，则，直线FN的方程为，设与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程为，联立抛物线C的方程可得，由，可得，所以当M点为直线与抛物线C相切的切点时，M点到直线FN的距离最大，当时，由式可得，则M点的坐标为，此时点M到直线FN的距离为，所以的面积的最大值为故选：求出与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程，切点为M时，三角形面积最大，即可得解．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，记，则点F为矩形ABCD的外接圆圆心，取AD的中点E，连接PE，EF，记的外接圆圆心为G，易知，，且P，E，G共线．因为，，，AD，平面PAD，所以平面PAD，所以平面PAD，平面PAD，，，EF，平面ABCD，所以平面ABCD，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圆半径为，即过G作平面PAD，且，连接FO，由平面PAD，可知，则四边形EFOG为矩形，所以，则平面根据球的性质，可得点O为四棱锥的外接球的球心．因为，所以四棱锥的外接球的体积为故选：作出辅助线，求出平面PAD外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的体积．本题主要考查多面体外接球问题，球的体积问题，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦距为，因为，所以，所以M，N关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为，不妨设M，N所在的渐近线方程为，则，由解得或，不妨设，，因为P为双曲线的左顶点，所以，所以，又，，由余弦定理得，即，整理得，所以离心率故选：根据，可得M，N关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根据，可得四边形为矩形，再求出M，N的坐标，求出，，再利用余弦定理构造齐次式即可得解．本题主要考查了双曲线的性质，考查了双曲线离心率的求解，属于中档题．13.【答案】【解析】解：如图所示：则，，解得：故答案为：利用向量的四则运算化简求值．本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图所示：过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为，由得，则圆的半径，所以圆的方程为故答案为：由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程．本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为，由正弦定理得，即，得，又，所以因为，所以由余弦定理可得，即，所以，故的面积为故答案为：根据正弦定理以及同角关系可得，进而根据余弦定理即可得ab的值，由面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设过点的直线l与的图象的切点为，因为，所以切线l的斜率为，所以切线l的方程为，将代入得，即，设，则，由，得或，当或时，，所以在，上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以，，又，所以恒成立，所以的图象大致如图所示，由图可知，方程最多3个解，即过点的切线最多有3条，即n的最大值为3，此时故答案为：设过点的直线l与的图象的切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，可得，则方程解的个数即为切线的条数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．17.【答案】解：由数列是首项为2，公差为4的等差数列，可得；等比数列的公比设为q，由，，即，解得，则：，则数列的前n项和，，上面两式相减可得，化为【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，计算可得所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为所以在抽取的200人中，“足球迷”有人．故列联表如下：非足球迷足球迷合计女701080男8040120合计15050200所以因为，所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关．样本中为“足球迷”的观众有50人，男、女人数之比为4：故用分层抽样方法从中抽出5人，男性有4人，记为，，，，女性有1人，记为B，从这5人中再随机抽取3人，有，，，，，，，，，共10个结果，其中3人都是男性观众的结果有4个，所以3人都是男性观众的概率为【解析】由频率分布表填写列联表，计算，与临界值比较确定结论；由分层抽样确定男性和女性人数，5人中随机抽取3人，列举所有可能的结果，由古典概型公式计算概率．本题考查独立性检验以及古典概型相关知识，属于中档题．19.【答案】解：证明：如图，取AB的中点G，连接，GF，则，所以，，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面取AC的中点D，连接BD，因为是等边三角形，所以又平面平面ABC，且平面平面，所以平面因为平面，所以因为，，BD，平面ABC，所以平面所以，得因为平面ABC，所以在和中，由勾股定理可得，所以设点C到平面的距离为d，由，得，解得所以点C到平面的距离为【解析】利用中位线得线线平行，进而可证平行四边形，由线面平行的判断定理即可求证．根据面面垂直可得线面垂直，利用体积公式可求解，进而根据等体积法即可求解．本题考查线面平行以及点到平面的距离相关知识，属于较难题．20.【答案】解：依题意，，，有，因为的面积为2，则，又点O到直线AB的距离为，则有，于是，而，解得，所以椭圆C的方程为；证明：直线PQ的斜率，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，代入椭圆方程得，不妨设此时，，则，直线NE的斜率，因此；当直线l的斜率存在时，设其方程为，设，，则直线MQ的方程为，令，得，由消去y得：，由于点P在椭圆C内，必有，则，，，因此，即，所以【解析】根据给定条件，结合点到直线的距离、三角形面积列出关于a，b的方程组，求解作答；直线l的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，求出直线MQ的方程，求出点E的坐标，利用韦达定理结合斜率坐标公式求出直线NE的斜率即可判断，再验证直线l的斜率不存在的情况作答．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以由，可得，故在上恒成立，令，若，则恒成立，不合题意．若，则令则在上恒成立，所以在上单调递减．当时，，即，所以在上单调递减，故，即在上恒成立，满足题意．当时，，所以存在，使得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以存在，使得，不合题意．综上，实数m的取值范围是【解析】求出函数的导函数，利用研究函数单调性，从而求出极小值；构造函数，即只需寻找函数恒小于零时实数m的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，所以，又，所以曲线的普通方程为，又曲线的极坐标方程为，由，所以曲线的直角坐标方程为，由，解得或，所以又，所以，所以，即曲线的极坐标方程为，因为，所以设，，所以，所以当时取得最小值，当时取得最大值8，所以的取值范围为【解析】首先将曲线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立两曲线方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得；首先求出曲线的坐标方程，设，，即可表示出，再利用二倍角公式公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，可化为，解得，所以；当时，可化为，解得，此时无解；当时，可化为，解得，所以；综上，不等式的解集为；证明：因为，当时等号成立，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，又，当且仅当，即时，等号成立，所以【解析】分和两种情况，分别求出不等式的解集，最后取并集即可；先求出的最小值为，所以，再结合基本不等式证明即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题．。

2022年河南高考数学(文科)真题及参考答案

2022年河南高考数学真题及参考答案文科数学注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1086,42，，，=M ，{}61<<-=x x N ，则=⋂N M （）A.{}4,2 B.{}6,4,2 C.{}86,4,2， D.{}1086,42，，，2.若()i b a i 221=++，其中a ，b 为实数，则（）A.1,1-==b a B.1,1==b a C.1,1=-=b a D.1,1-=-=b a 3.已知向量()1,2=a ，()4,2-=b=-（）A.2B.3C.4D.54.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0422y y x y x ，则y x z -=2的最大值是（）A.2- B.4C.8D.126.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，点A 在C 上，点()0,3B ，若BF AF =，则=AB （）A.2B.22C.3D.237.执行右图的程序框图，输出的=n （）A.3B.4C.5D.68.右图是下列四个函数中的某个函数在区间[]3,3-的大致图象，则该函数是（）A.1323++-=x x x y B.1323+-=x x x y C.1cos 22+=x x x y D.1sin 22+=x x y 9.在正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）A.平面EF B 1⊥平面1BDDB.平面EF B 1⊥平面BD A 1C.平面EF B 1∥平面ACA 1 D.平面EFB 1∥平面DC A 1110.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，4252=-a a ，则=6a （）A.14B.12C.6D.311.函数()()1sin 1cos +++=x x x x f 在区间[]π2,0的最小值、最大值分别为（）A.22ππ，-B.223ππ，-C.222+-ππ， D.2223+-ππ，12.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.31B.21 C.33 D.22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省高三文科数学试题(解析版)

高三文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）{}2|4A x x =≥(){}ln 3|B x y x ==-A B = A.B.[]2,3[)2,3C. D.][(,22,3⋃-∞-⎤⎦][(),22,3-∞-⋃【答案】C 【解析】【分析】先分别求得集合和集合，再根据交集的运算即可得到. A B A B ⋂【详解】因为集合或，{}{2|4|2A x x x x =≥=≥}2x ≤-集合, (){}{}{}|ln 3|30|3B x y x x x x x ==-=->=<所以， {}{}|2|23A B x x x x =≤-≤< 即， (][),22,3A B =-∞ 故选：C. 2. 已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（） 14i1iz +=-i z A .第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的除法运算得到，从而得到，再由复数的几何意义即可求解. 35i 22z =-+z 【详解】由题意得：，所以， ()()()()14i 1i 14i 35i 1i 1i 1i 22z +++===-+--+35i 22z =--由复数的几何意义得：在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，z 35,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：C.3. “”是“”的（） 1x >21x >A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】判断和的包含关系即可判断它们构成的命题的关系﹒ {|1}x x >2{|1}x x >【详解】∵ 或，{|1}x x >2{|1}{|1x x x x >=>1}x <-∴“”是“”充分不必要条件﹒ 1x >21x >故选：B ﹒4. 已知向量，的夹角为，，，则（）a b120︒2a =3b =a b += A.B.C. 7D. 19【答案】A 【解析】【分析】根据向量的数量积公式得到，从而求得，即可求得. a b ⋅2a b + a b + 【详解】由题意得：，1cos1202332a b a b ⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭则，()22222222337a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=因为，所以，0a b +> a b +=故选：A.5. 已知为第四象限角，则的值为（） sin 2cos 1,ααα+=sin 2αA. B.C. D.2425-242545-45【答案】A 【解析】【分析】结合同角关系，解方程组得，再由倍角公式求值.sin cos αα、【详解】因为，联立解得或，22sin 2cos 1,sin cos 1a a a a +=+=sin 1cos 0αα=⎧⎨=⎩3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又为第四象限角，所以，所以. α3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24sin 22sin cos 25ααα==-故选：A ．6. 等比数列中，，则数列的前6项和为（） {}n a 364,32a a =-={}n a A. 21 B.C. 11D.21-11-【答案】A 【解析】【分析】求出等比数列的公比，通项公式和前项和，即可求出前6项和. {}n a n n S 【详解】由题意，，N n *∈在等比数列中，， {}n a 364,32a a =-=设公比为,前项和为，q n n S ∴，解得：， 3363432a a q q ==-=2q =-∴，()()3133422n n n n a a q---==-⨯-=--∴，()()()()()()11111121121,211123nnnn a q a S q-----⎡⎤=--=-===--⎣⎦---∴，()66121213S ⎡⎤=⨯--=⎣⎦故选：A.7. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A. 432B. 216C. 144D. 72【答案】C 【解析】【分析】根据条件中的三视图得到该几何体是三棱柱中截去一个以三棱柱上底面为底面，侧棱为高的一个三棱锥所得，再结合棱柱和棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由三视图可知，该几何体如图①所示，是由如图②所示的三棱柱中截去三棱锥所得， ABC A B C '''-A A B C '''-根据条件可得，所求几何体的体积， 11161266126144232ABC A B C A A B C V V V ''''''--=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=所以该几何体的体积是， 144故选：C.8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<（）A. 的最小值是 ()f x 2-B. 的最小正周期为 ()f x 2πC. 在区间上单调递增 ()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 ()f x π6cos 2y x =【答案】A 【解析】【分析】根据题目所给函数图象分别过，和，再结合正弦函数的图象与性质求得()0,15π,012⎛⎫⎪⎝⎭11π,012⎛⎫⎪⎝⎭，对各个选项逐一判断即可.()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【详解】由图象可得：函数的最小正周期满足， ()f x T 11π5ππ212122T =-=即函数的最小正周期，所以B 选项错误； ()f x πT =因为，且，所以，即，2ππT ω==0ω>2ω=()()sin 2f x A x ϕ=+又知图象过和， ()0,15π,012⎛⎫⎪⎝⎭则有，即，则，其中， sin 15πsin 2012A A ϕϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎩5ππ61sin k A ϕϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5ππ61sin k A ϕϕ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k ∈Z 又，，所以取，即，， 0A >0πϕ<<1k =π6ϕ=2A =所以函数， ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭即，则的最小值为，所以A 选项正确； ()[]2,2f x ∈-()f x 2-当时，，5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2ππ2,633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦又，取得最小值， ππ262x +=-()f x 所以在不是单调函数，所以C 选项错误； ()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦将的图象向右平移个单位长度后得到，所以D 选项()f x π62sin 22sin π6π6π26y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦错误，故选：A.9. 在正方体中，为正方形ABCD 的中心，则直线与直线所成角的余弦值1111ABCD AB C D -O 1CD 1B O 为（）A.B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长，求出相关各点的坐标，利用向量的夹角公式求得答案. 【详解】如图，以D 为坐标原点，DA ,DC, 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系， 1DD 设正方体棱长为2，则 ,11(2,2,2),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)B O C D 则，()()110,2,2,1,1,2CD OB =-=故，111111cos ,=||||CD OB CD OB CD OB ⋅=⋅ 故线与直线，1CD 1B O 故选：B10. 已知函数，若，则实数的取值范围是（）()122(1)x f x x -=+-()()3log 2f a f >a A. B. ()1,9,9⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭()(),19,-∞+∞ C.D.()10,9,9⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭()()0,19,⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据条件，分析得到函数关于直线对称且在上单调递增，进而将不等式()f x 1x =[)1,+∞转化为，结合对数函数的图象与性质即可求解.()()3log 2f a f >3log 11a ->【详解】由可得：，()()2121x f x x -=+-()212xf x x +=+则，()()()221221xxf x x x f x --+=+-=+=+所以函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，()1y f x =+()1y f x =+0x =所以函数的图象关于直线对称，()f x 1x =又时，在上单调递增，则在上单调递减，1x ≥()()2121x f x x -=+-[)1,+∞()f x (),1-∞若，则，()()3log 2f a f >()()3log121fa f ->-即，所以或，解得：或， 3log 11a ->3log 2a >3log 0a <9a >01a <<所以实数的取值范围是， a ()()0,19,⋃+∞故选：D.11. 已知椭圆，，分别是的左顶点和上顶点，是的左焦点，若2222:1(0)x y C a b a b+=>>A B C F C ，则的离心率为（）tan 2tanFAB FBA ∠=∠C A.B.12C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的性质结合锐角三角函数，在和在求出，的正切Rt ABO △Rt BFO △FAB ∠BFO ∠值，由两角差的正切公式求出的正切值，结合题目条件得，的关系，即求出椭圆的离心率. FBA ∠a c 【详解】由题意作出图形，如下图所示：可知：，，，OA a =OB b =OF c =在中可得：， Rt ABO △tan tan b BAO FAB a∠=∠=在中可得：， Rt BFO △tan b cBFO ∠=所以 tan tan tan tan()1tan tan 1b b BFO FABc a FBA BFO FAB b bBFO FAB c a-∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅化简得： 2()tan b a c FBA ac b-∠=+因为，所以①， tan 2tan FAB FBA ∠=∠2()2b b a c a ac b -=⋅+又，所以①整理可得：， 222b a c =-2230c a ac +-=即，解得 2310e e -+=e =又，所以， (0,1)e ∈e =故选：C.12. 若，则的大小关系为（）0.2e ,ln3.2a b c ===,,a b c A. B. a b c >>a c b >>C. D.b c a >>b a c >>【答案】D 【解析】【分析】先比较与的大小，通过比较和即可得到，再比较与的大小，构造a b 5a 5b b a >a c （），利用导数证明得到时，，从而得到()e 1x f x x =--0x >0x >e 1x x >+，通过，结合的单调0.2 1.2e 10.2 1.2ln e a =>+==()()561.26ee 2.7387.4=>≈()53.2335.5≈ln y x =性即可得到，即可得到，，的大小关系. a c >a b c【详解】由，得：，，0.2e 0a =>0b =>5e a =5b =因为，所以，则；e >55b a >b a >设（），则，()e 1x f x x =--0x >()e 1x f x '=-当时，，所以在上单调递增， 0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+所以时，，即时，， 0x >()()00f x f >=0x >e 1x x >+所以， 0.2 1.2e 10.2 1.2ln e a =>+==又，，()()561.26ee 2.7387.4=>≈()53.2335.5≈所以，则， 1.2e 3.2> 1.2ln e ln 3.2>又，所以， ln 3.2c =a c >综上：， b a c >>故选：D.【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：1. 通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系.2. 通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构造函数，利用导()e 1xf x x =--数证明得到时，，进而放缩得到.0x >e 1x x >+0.2 1.2e 10.2 1.2ln e a =>+==二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 请写出渐近线方程为的一个双曲线方程____________.y =【答案】（答案不唯一）2213y x -=【解析】【分析】先指定焦点所在位置，由题意可得，进行赋值即可得双曲线方程． ::a b c【详解】若焦点在轴上，由题意可得：，x ::2a b c =不妨令，则双曲线方程．12a b c ===，2213y x -=故答案为：．（答案不唯一） 2213y x -=14. 已知函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则实数()e 1x f x a =+()()0,0f 310x y ++==a________．【答案】13【解析】【分析】对函数求导得到，从而得到在点处的切线斜率，根据条件结合两直线垂()f x ()f x '()()0,0f 直的斜率关系得到关于的方程，即可求解.a 【详解】由题意得：，()e xf x a '=则在点处的切线斜率，()()0,0f ()0k f a '==又因为在点处的切线与直线互相垂直， ()()0,0f 310x y ++=且直线的斜率为， 310x y ++=3-所以，解得：， ()31a ⨯-=-13a =故答案为：. 1315. 在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为224x y +=(),P x y ()()2210y x x y -++≤________．【答案】## 120.5【解析】【分析】根据条件得到或，结合画出符合要求的可行域，根20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩224x y +=据圆的性质及直线，的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.20y x -=210x y ++=【详解】要满足，则①或②，()()2210y x x y -++≤20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆， 224x y +=则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：由图知：在圆内随机取在阴影部分，224x y +=(),P x y 而直线过圆心，且直线与直线相互垂直， 20y x -=()0,020y x -=210x y ++=所以图中阴影部分的面积为圆面积的，12故点满足的概率为， (),P x y ()()2210y x x y -++≤12故答案为：.1216. 已知数列满足，（），若，数列的前项和为{}n a 11a =113nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭*n ∈N 13n n n b a -={}n b n nS ，则________．20222022202243S a -=【答案】2022 【解析】【分析】根据题目条件，利用的表达式，求出的表达式，再错位相加求和，化简可得n S 3n S 的通项公式，即可求解.{}43n nn Sa -【详解】由题意得：，21123123333n n n n S b b b b a a a a -=++++=+⋅+⋅++⋅L L 即，2312333333nn n S a a a a =⋅+⋅+⋅++⋅L 两式相加得：，()()()2111223143333n n n n n n S a a a a a a a a --=+++⋅+++⋅++⋅L 数列满足，（），{}n a 11a =113nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭*n ∈N所以，即，12121111413333333n n n n n S a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 43nn n S n a =+⋅则，所以，43nn n S a n -=202220222022432022S a -=故答案为：.2022【点睛】思路点睛：本题解决的难点在于以学习过的数列相关的知识为基础，通过问题的特征，引出新的解题思路，然后在快速理解的基础上，解决新问题.本题中主要是根据题目条件，联想到数13n n n b a -=列的错位相减求和，再根据条件和所求式进行构造及推理，将平时常113nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭20222022202243S a -见的错位相减求和转化为本题中所用的错位相加求和，可得所求式子的结果.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 为应对中国人口老龄化问题，各地积极调研出台三孩配套政策.某地为了调研生育意愿是否与家庭收入有关，对不同收入的二孩家庭进行调研.某调查小组共调研了20个家庭，记录了他们的家庭年可支配收入以及生育三孩的意愿，若将年可支配收入不低于20万划归为富裕家庭，20万以下为非富裕家庭，调研结果如下表.家庭年可支配收入（万元） 12 16 22 30 10 8 8 19 20 8 是否愿意生三孩否是否否否否是否是否家庭年可支配收入（万元） 32 28 48 24 19 29 50 18 18 60 是否愿意生三孩否是否是否是是否否否（1）根据上述数据，请完成下面列联表，并判断能否有90%的把握认为生育三孩与家庭是否富裕有关？富裕家庭非富裕家庭总数愿意生三孩不愿意生三孩总数20（2）相关权威部门的数据表明年可支配收入在20万元以上（含20万元）的家庭约占全部家庭的，110若以该调查组的调研数据为依据制定相关政策，你认为是否合理？请说明理由.附：，.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++20()P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）根据提供的数据，列出列联表，再求得值，与临界值对照下结论； 2K （2）根据提供的数据中，富裕家庭的占比与比较，下结论. 110【小问1详解】解：由上述数据，得列联表如下：富裕家庭非富裕家庭总数愿意生三孩 5 2 7 不愿意生三孩 5 8 13 总数101020因为，2220(5825) 1.978 2.7067131010⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯K 所以没有90%的把握认为生育三孩与家庭是否富裕有关；【小问2详解】因为调查组的调研数据中的富裕家庭占比为， 101120210=>所以调查组的调研数据与实际不符，故不合理.18. 如图1所示，在长方形中，，是的中点，将沿折起，ABCD 22AB AD ==M DC ADM △AM 使得，如图2所示，在图2中．AD BM ⊥（1）求证：平面； BM ⊥ADM （2）求点到平面的距离．C BMD【答案】（1）证明见解析（2） 12【解析】【分析】（1）在图1中，连接，根据勾股定理结合条件得到，再由线面垂直的判定定理BM BM AM ⊥即可证明出平面；BM ⊥ADM （2）在图2中，作的中点，连接，根据（1）的结论结合面面垂直的判定和性质得到线段AM O OD 是三棱锥的高，从而求出三棱锥的体积，再由等体积法，即可求得点到平面OD D BCM -D BCM -C 的距离.BMD 【小问1详解】在图1中，连接，如图所示：BM因为在长方形中，，是的中点， ABCD 22AB AD ==M DC 所以， 1AD DM BC CM ====则，AM ==BM ==又，即，所以，2AB =222AB AM CM =+BM AM ⊥在图2中，又，，平面，平面， AD BM ⊥AD AM A = AD ⊂ADM AM ⊂ADM 所以平面. BM ⊥ADM 【小问2详解】在图2中，作的中点，连接，如图所示：AM O OD因为，所以，且， 1AD DM ==OD AM ⊥12OD AM ==又由（1）得：平面，平面，BM ⊥ADM BM⊂ABCM 所以平面平面，又平面平面，ABCM ⊥ADM ABCM ADM AM =，平面，所以平面，OD AM ⊥OD ⊂ADM OD ⊥ABCM 即线段是三棱锥的高， OD D BCM -所以三棱锥的体积， D BCM -11111332BCM V S OD =⨯⨯=⨯⨯⨯=△又平面，平面，所以， BM ⊥ADM DM ⊂ADM BM DM ⊥则的面积 DBM △11122DBM S DM BM =⨯⨯=⨯=△设点到平面的距离为， C BMD d则三棱锥的体积， C BDM -1133BDM V S d d =⨯⨯==△， =12d =故点到平面的距离为. C BMD 1219.在①；②；③cos cos 2cos a B b A c A +=22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并1(sin tan cos )4S b b A a A B =+S ABC 作答．在中，角，，边分别为，，，且________． ABC A B C a b c （1）求角的大小；A（2）若为锐角三角形且，求的取值范围． ABC a =b c +注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）π3（2） (【解析】【分析】（1）选①：根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到sin 2sin cos C C A =1cos 2A =，即可求解；选②：利用正弦定理角化边结合余弦定理得到，即可求解；选③：根据条件和三1cos 2A =角形的面积公式得到，通过三角恒等变换和诱导公式得到()11sin tan cos sin 42S b b A a A B ab C =+=，即可求解； 1cos 2A =（2）根据正弦定理得到，再利用诱导公式和三角恒等变换得到()6sin sin b c B C +=+，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到的取π6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B b c +值范围. 【小问1详解】若选①：由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即，()sin 2sin cos A B C A +=又因为，则， ()πC A B =-+()()sin sin πsin C A B A B =-+=+⎡⎤⎣⎦所以，又，则， sin 2sin cos C C A =()0,πC ∈sin 0C >所以，又，所以.1cos 2A =()0,πA ∈π3A =若选②：由正弦定理得：，化简得：，()22b c a bc -=-222b c a bc +-=又由余弦定理得：，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===因为，所以. ()0,πA ∈π3A =若选③：因为， ()11sin tan cos sin 42S b b A a A B ab C =+=即，sin cos sin 2sin cos A Bb A aa C A+=则，sin cos sin cos 2cos sin b A A a A B a A C +=又由正弦定理得：， 2sin sin cos sin cos 2sin cos sin B A A A B A A C +=又，，所以， ()0,πA ∈sin 0A >sin cos sin cos 2cos cos B A A B A C +=即，()sin 2cos sin A B A C +=又因为，则， ()πC A B =-+()()sin sin πsin C A B A B =-+=+⎡⎤⎣⎦所以，又，则， sin 2sin cos C C A =()0,πC ∈sin 0C >所以，所以.1cos 2A =π3A =【小问2详解】由正弦定理得：， 6sin sin b c B C ===则，， 6sin b B =6sin c C =所以， ()6sin sin b c B C +=+又，()πC A B =-+所以，()π1sin sin πsin sin 32C A B B B B ⎛⎫=-+=+=+⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭则，3π6sin 9sin 26b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵为锐角三角形，ABC ∴，即，解得：， π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<∴，ππ2π363B <+<πsin 16B⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴96πB ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故的取值范围是.b c +(20. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：上一点到焦点F 的距离()220y px p =>()()004,0S y y >.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B .5SF =（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点. 【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义即可求出p ；（2）根据斜率公式，韦达定理列方程求出直线方程即可. 【小问1详解】抛物线D ：的焦点，准线方程为，()220y px p =>,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭2px =-因为抛物线上一点到焦点F 的距离， 00(4,)(0)S y y >5SF =由抛物线的定义得，所以. 452p+=2p =所以抛物线E 的标准方程是； 24y x =【小问2详解】将代入可得或（舍），所以点S 坐标为，4x =24y x =04y =04y =-(4,4)由题意直线l 的斜率不等于0，设直线l 的方程是，，，x my n =+()11,A x y ()22,B x y 联立，得，24y x x my n⎧=⎨=+⎩2440y my n --=由韦达定理得，121244y y my y n+=⎧⎨=-⎩因为直线，的斜率之和为2，AS BS 所以， 121222121212444411444444444y y y y y y x x y y ⎛⎫----+=+=+ ⎪--++⎝⎭--1212124(8)24()16y y y y y y ++==+++所以，121224()0y y y y ++=将代入上式可得，121244y y my y n +=⎧⎨=-⎩2n m =所以直线l 的方程是，显然它过定点. ()2x my n m y =+=+()0,2-21. 设函数，．()()22e xf x x x =-()2e ln e g x x a x =-（1）若函数在上存在最大值，求实数的取值范围； ()g x ()e,+∞a （2）当时，求证：．2a =()()f x g x >【答案】（1）()0,1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得到，分类讨论和，根据导数与函数单调性的关系得()g x ()g x '0a ≤0a >到：当，且时，取得最大值，根据在上存在最大值，得到，即可求0a >e x a =()g x ()g x (e,)+∞ee a>得的取值范围；a (2)当时，将原不等式可转化为，分别构造，2a =2ln (2)e 2e e xx x x-+>()(2)e 2e xx x ϕ=-+，利用导数，分别求得其最小值和最大值，可得且两个函数的最值点不2e ln ()xh x x=min max ()()x h x ϕ=相等，即可证明. ()()f x g x >【小问1详解】（1）由得：（）， 2()e ln e g x x a x =-()22e e e e a xg x a x x-=='-0x >①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值，0a ≤()0g x '>()g x (0,)+∞(e,)+∞②当时，令，解得：， 0a >()0g x '=e0x a=>当时，，在上单调递增， ,e 0x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x e 0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，,e x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭()0g x '<e ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以在时，取得最大值， ()g x e x a =e g a ⎛⎫⎪⎝⎭又由函数在上存在最大值， ()g x (e,)+∞因此，解得：， ee a>1a <所以的取值范围为. a (0,1)【小问2详解】证明：当时，，且函数的定义域为，2a =2()e ln 2e g x x x =-()g x ()0,∞+要证明，即证明时，， ()()f x g x >0x >()222e e ln 2e x x x x x ->-只需要证明：时，，0x >()222e 2e e ln x x x x x -+>因为，所以不等式等价于 0x >2ln (2)e 2e e xxx x-+>设（），则，()(2)e 2e xx x ϕ=-+0x >()()1e xx x ϕ-'=令得：，()0x ϕ'=1x =当时，，当时，， 01x <<()0x ϕ'<1x >()0x ϕ'>所以在上单调递减，在上单调递增， ()ϕx (0,1)(1,)+∞故，且当时，等号成立；()(1)e x ϕϕ≥=1x =又设（），则， 2e ln ()x h x x=0x >22e (1ln )()x h x x -'=令得：，()0h x '=e x =当时，，当时，， 0e x <<()0h x '>e x >()0h x '<所以在上单调递增，在上单调递减， ()h x (0,e)(e,)+∞故，且当时，等号成立；()(e)e h x h ≤=e x =综上可得：时，，且等号不同时成立， 0x >()()x h x ϕ≥所以时，， 0x >()()x h x ϕ>即当时，得证.2a =()()f x g x >【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将要证明的原不等式（），转()222e e ln 2e x x x x x ->-0x >化为（），进而分别构造，，再结合导2ln (2)e 2e e xx x x -+>0x >()(2)e 2e x x x ϕ=-+2e ln ()x h x x=数，分别求得其最小值和最大值，得到且两个函数的最值点不相等，从而证明min max ()()x h x ϕ=.()()f x g x >（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为xOy 1C 44cos sin x ty t⎧=⎨=⎩t O x 极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． 2C cos 5sin 10ρθρθ-+=（1）求的普通方程和的直角坐标方程； 1C 2C （2）求与的公共点的直角坐标． 1C 2C 【答案】（1（，），； 1+=[]0,1x ∈[]0,1y ∈510x y -+=（2） 11,44⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件得到：（为参数）（，），利用同角三角函数的平22sin cos tt==t []0,1x ∈[]0,1y ∈方关系消去参数得到的普通方程，再将代入的极坐标方程即可得到的直角坐标方t 1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 2C 程；（2）联立（1）得到的和的直角坐标方程，通过代入消元法和利用平方处理根式即可求解方程，从1C 2C 而得到与的公共点的直角坐标. 1C 2C 【小问1详解】因为参数，则，所以，，t ∈R []sin 1,1t ∈-[]2sin 0,1t ∈[]4sin 0,1t ∈同理参数，则，所以，，t ∈R []cos 1,1t ∈-[]2cos 0,1t ∈[]4cos 0,1t ∈由曲线的参数方程为（为参数）得：（为参数）， 1C 44cos sin x ty t ⎧=⎨=⎩t 22sin cos tt==t （，）， 1+=[]0,1x ∈[]0,1y ∈所以（，）； 1C 1+=[]0,1x ∈[]0,1y ∈将代入的极坐标方程得：，cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 510x y -+=所以的直角坐标方程为：. 2C 510x y -+=【小问2详解】由（1）知的直角坐标方程为：，即， 2C 510x y -+=51x y =-将代入（）51x y =-1C 1+=1=[]0,1y ∈①，①式两边平方整理得：②，1=21y -=②式两边平方整理得：，解得：或， 24510y y -+=1y =14y =当时，，不满足题意，舍去； 1y =514x y =-=当，，满足题意， 14y =1514x y =-=所以与的公共点的直角坐标为. 1C 2C 11,44⎛⎫⎪⎝⎭选修4-5：不等式选讲23. 已知. ()|1||21|f x x x =+--（1）解不等式；()21f x x <+（2）若关于x 的不等式有解，求m 的取值范围. ()|33|f x x m >+-【答案】（1） ()3,-+∞（2） ()3,+∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法分类讨论即可得结果；（2）首先分离参数，再利用绝对值三角不等式求出最小即可. 【小问1详解】当时，，解得，此时； 12x >()121221f x x x x x =+-+=-+<+13x >12x >当时，，解得，此时； 112x ≤≤-()121321f x x x x x =++-=<+1x <112x ≤≤-当时，，解得，此时； 1x <-()121221f x x x x x =--+-=-<+3x >-31x -<<-综上可得：不等式的解集为. ()21f x x <+()3,-+∞【小问2详解】关于x 的不等式有解，()|33|f x x m >+-即能成立， |1||21||21|33||22||x x x m x x ++-=++-->+由于， |21|22|2221|3y x x x x =+-≥+-+=+即的最小值为3，|22||21|y x x +=+-所以m 的取值范围. ()3,+∞。

2021年河南省洛阳市高考数学第三次统一考试试卷(文科)(附答案详解)

2021年河南省洛阳市高考数学第三次统一考试试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−4<0}，B={x|log3x<1}，则A∩B=()A. (0,1)B. (0,2)C. (−2,1)D. (−2,3)2.已知i为虚数单位，复数z满足z(3+i)=4−2i，则下列说法正确的是()A. 复数z的模为2B. 复数z的共轭复数为−1+iC. 复数z的虚部为−iD. 复数z在复平面内对应的点在第四象限3.已知如表所示数据的回归直线方程为ŷ=4x−4，则实数m的值为()A. 11B. 12C. 13D. 144.下列命题中，真命题是()A. 命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题是真命题B. 命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”C. “x>1”是“x2>1”的必要不充分条件D. 对任意x∈R，e x+e−x≥25.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为()A. 13B. −3C. −12D. 26. 已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，P 为其渐近线上一点，若△PF 1F 2是等腰直角三角形，则E 的离心率为( )A. √5B. 2C. √3D. √27. 已知a =log 31.5，b =log 0.50.1，c =0.50.2，则a 、b 、c 的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <a <b8. 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是( )A. 110B. 15C. 310D. 259. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 9=126，a 4+a 10=40，则2S n +60n的最小值为( )A. 12√5+1B. 4√5+1C. 19D. 2810. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x]称为高斯函数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3，已知函数f(x)=3x −21+3x+1，则函数y =[f(x)]的值域为( )A. {0,−3}B. {0,−1}C. {0,−1,−2}D. {1,0，−1，−2}11. 已知球O 是棱长为24的正四面体ABCD 的内切球，球O 1与球O 外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球O 1的表面积为( )A. 24πB. 12πC. 8πD. 6π12. 已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x 都有f′(x)−f(x)=e x (2x −1)，f(0)=4，则不等式f(x)<10e x 的解集为( )A. (−2,3)B. (−3,2)C. (−∞,−3)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若sin(π2−θ)=35，θ∈(0,π)，则sin2θ= ______ ．14. 已知递增等比数列{a n }满足1a 1+1a 3+1a 5=78，a 3=4，则a 8= ______ ．15. 已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，|AB|=2√3，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为线段AB 的中点，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ． 16. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左，右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆C 上第一象限内的一点，且△PF 1F 2的周长为4+2√3.过点P 作C 的切线l ，分别与x 轴和y 轴交于A ，B 两点，O 为原点，当点P 在C 上移动时，△AOB 面积的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在平面四边形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =60°，AD =2，BD =4．(1)求cos∠ABD ； (2)若BC =2√3，求CD ．18.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB//平面AEC；(2)设AP=1，AD=√3，三棱锥P−ABD的体积V=√3，求A到平面PBC的距离．419.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(4,m)(m>0)是抛物线C上一点，且|PF|=5．(1)求抛物线C的方程；(2)若A，B为抛物线C上异于P的两点，且PA⊥PB，记点A，B到直线y=−4的距离分别为a，b，求证：ab为定值．20.2020年11月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”.现有1500名(男生1200名，女生300名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：女生测试情况：(Ⅰ)现从抽取的100名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；(Ⅱ)若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)为“非体育达人”.根据以上统计数据填写下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否为体育达人与性别有关？”临界值表：,n=a+b+c+d)．附：(K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=ax−x2−lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+sin2αy =sinα+cosα(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．(1)求C 1和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：θ=θ0(θ0∈[π4,π3]，ρ≥0)与曲线C 1和C 2分别交于异于原点的点A ，B ，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取值范围．23. 已知a ，b ，c 都是正实数．(1)若abca+b+c =13，求ab +bc +ac 的最小值；(2)若a >b >c ，且a +2b +3c =1，求证：a 2+8b 2+27c 2<1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A ={x|x 2−4<0}={x|−2<x <2}， B ={x|log 3x <1}={x|0<x <3}， ∴A ∩B ={x|0<x <2}=(0,2)．故选：B ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由z(3+i)=4−2i ，得z =4−2i 3+i=(4−2i)(3−i)(3+i)(3−i)=10−10i 32+12=1−i ，∴|z|=√12+(−1)2=√2，故A 错误；复数z 的共轭复数为1+i ，故B 错误；复数z 的虚部为−1，故C 错误；复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，在第四象限，故D 正确．故选：D ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：x −=15(2+3+4+5+6)=4，y −=15(3+7+m +18+21)=49+m 5，则样本点的中心为(4,49+m 5)，代入y ̂=4x −4，得49+m 5=4×4−4=12，解得m =11．故选：A ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得m 值．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A，因为逆否命题与原题等价，又因为原命题“若sinx=siny，则x=y”是假命题，所以A错；对于B，命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2<0”，所以B错；对于C，因为“x>1”⇒“x2>1”，所以“x>1”是“x2>1”的充分条件，所以C错；对于D，因为对任意x∈R，e x+e−x≥2√e x⋅e−x=2，所以D对．故选：D．A根据逆否命题与原题等价判断；B根据全称命题的否定概念判断；C根据充分条件与必要条件概念判断；D根据重要不等证明判断．本题以命题真假判断为载体，考查了充分条件与必要条件概念，考查了全称命题的否定问题，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：a=2，i=1，第1次执行循环体后，a=−3，i=2，不满足退出循环的条件；，i=3，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，a=−12第3次执行循环体后，a=1，i=4，不满足退出循环的条件；3第4次执行循环体后，a=2，i=5，不满足退出循环的条件；……第2020次执行循环体后，a=2，i=2021，不满足退出循环的条件；第2021次执行循环体后，a=−3，i=2022，满足退出循环的条件；故输出a值为−3，故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵△PF1F2是等腰直角三角形，设∠F1PF2=90，|PF1|=|PF2|，则P 点仅在y 轴上成立， ∵P 为其渐近线上一点， ∴∠F 1PF 2=90°，不成立，由于双曲线是对称图形，P(x,y)点为渐近线第二象限上的点， ∵∠PF 1F 2=90°，P 点为渐近线第二象限上的点， ∴y =−ba ⋅(−c)=bca，即P 点的坐标为P(−c,bca )，又∵△PF 1F 2是等腰直角三角形， ∴|PF 1|=|F 1F 2|=2c ， ∴2c =bc a，即b =2a ，∵c 2=a 2+b 2=a 2+4a 2=5a 2， ∴c =√5a ，∴则双曲线E 的离心率为：e =c a =√5a a =√5，故选：A ．通过分析可得，∠F 1PF 2=90°，不符合题意，由于双曲线是对称图形，可设∠PF 1F 2=90°，P(x,y)点为渐近线第二象限上的点，可得P 点的坐标，最后结合离心率公式，即可求解．本题考查双曲线的性质，以及渐近线、离心率，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵0=log 31<log 31.5<log 3√3=12，∴0<a <12， ∵log 0.50.1>log 0.50.5=1，∴b >1， ∵0.5<0.50.2<0.50，∴12<c <1， ∴a <c <b ，故选：B ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查概率性质、几何概型等基础知识，是较易题．由题意，设直角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，分别表示出大正方形和小正方形的面积，从而求出满足条件的概率即可．【解答】解：由题意设直角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，则斜边是√10，则大正方形的面积是10，则4个三角形的面积是12×1×3×4=6，故小正方形的面积是4，故满足的条件的概率p =410=25，故选D ．9.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 9=126，得9a 1+9×82d =126，即9a 1+36d =126①；又a 4+a 10=40得a 1+3d +a 1+9d =0即2a 1+12d =40②．联立①②得{a 1+4d =14a 1+6d =20，解得a 1=2；d =3.所以S n =2n +n(n−1)2×3=32n 2+12n ；则2S n +60n=3n 2+n+60n =3(n +20n)+1．令f(x)=x +20x(x >0)，则该函数在(−∞,2√5)单调递减、在(2√5,+∞)单调递增，且f(4)=4+204=9；f(5)=4+204=9．所以当n =4时，2S n +60n=3×4+1=28；当n =5时，2S n +60n=3×4+1=28.所以2S n +60n的最小值为28．故选：D ．利用S 9=126；a 4+a 10=40可建立关于首项a 1和公差d 的方程组且能解出a 1和d 的值；将a 1和d 的值代入2S n +60n中再结合其对应函数的性质即可得出2S n +60n的最小值．本题主要考查等差数列的通项、前n 项和、数列与函数的综合问题；考查运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=3x−21+3x+1=13×3x+1−63x+1+1=13×(1−73x+1+1)，∵0<73x+1+1<7，∴−6<1−73x+1+1<1，∴−2<13×(1−73x+1+1)<13，则函数y=[f(x)]的值域为{0,−1,−2}，故选：C．把函数的解析式变形，求出它的值域，再利用高斯函数定义的理解得：函数y=[f(x)]的值域为{0,−1,−2}，得解．本题考查了分式函数值域的求法及对即时定义的理解，属中档题．11.【答案】A【解析】解：如图，设求O的半径为R，球O1的半径为r，由正四面体的性质，取CD中点E，连接EA、EB，设AG是棱锥的高，两球与侧面分别切于点H、F，O在AG上，G是底面中心，记正四面体棱长为a，则GE=13×√32a=√36a，AE=√32a，在△ABE中，AG=√AE2−GE2=√63a，由△AOF∽△AEG，得OFGE =AOAE，即√36a=√63a−R√32a，解得R=√612a，又由O1H//OF，得O1HOF =AO1AO，即rR =AG−2R−rAG−R，把a=24代入，解得r=√6．∴球O1的表面积为S=4πr2=4π×(√6)2=24π．故选：A．设求O的半径为R，球O1的半径为r，取CD的中点E，连接EA，EB，AG是棱锥的高，两球与侧面分别切于点H、F，O在AG上，G是底面中心，记正四面体的棱长为a，在△ABE中求解三角形得r，代入球的表面积公式得答案．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：令G(x)=f(x)e x，则G′(x)=f′(x)−f(x)e x=2x −1，可设G(x)=x 2−x +c ，则G(0)=f(0)=4，∴c =4，所以G(x)=f(x)e x=x 2−x +4，不等式f(x)<10e x 等价于f(x)e <10，所以x 2−x <6，解得−2<x <3，所以不等式的解集为(−2,3)．故选：A ．令G(x)=f(x)e x，求导后得G′(x)=2x −1，根据不定积分的运算法则，可设G(x)=x 2−x +c ，由G(0)=0求出c 的值，进而得G(x)的解析式；不等式f(x)<10e x 等价于G(x)<10，解之即可．本题考查利用导数解不等式、不定积分的运算，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】2425【解析】解：由sin(π2−θ)=35，知cosθ=35， ∵θ∈(0,π)，∴sinθ=√1−cos 2θ=45， ∴sin2θ=2sinθcosθ=2×35×45=2425．故答案为：2425．结合诱导公式、同角三角函数的平方关系，可得cosθ和sinθ的值，再由二倍角公式，求解即可．本题考查二倍角公式、诱导公式和同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】16√2【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，由a 3=4，得1a 3=14．又1a 1+1a 3+1a 5=78，则1a3÷q 2+1a 3+1a3⋅q 2=78，即q 2+1q 2=52，解得q 2=2或q 2=12(舍去)．所以q =√2；所以a 8=a 4⋅q 5=4×4√2=16√2．故答案为：16√2．根据等比数列{a n }满足1a 1+1a 3+1a 5=78，可得1a3÷q2+1a 3+1a 3⋅q 2=78，结合a 3=4可求得q 2，从而确定q 值；即可根据a 8=a 4⋅q 5求得结果．本题主要考查等比数列的性质、通项公式；考查运算求解能力；考查逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于基础题．15.【答案】5【解析】解：在△OAB 中，cos∠AOB =OA 2+OB 2−AB 22⋅OA⋅OB22+22−(2√3)22×2×2=−12．∵M 为线段AB 的中点，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+52OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32×22+22+52×2×2×cos120°=5．故答案为：5．OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 作内积即可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】2【解析】解：∵△PF 1F 2的周长为4+2√3，∴2a +2c =4+2√3，由a 2=b 2+c 2，且b 2=1，得a 2=1+c 2，联立{a +c =2+√3a 2=1+c 2，解得a =2(a >1)，c =√3，则椭圆方程为x 24+y 2=1．设P(x 0,y 0)，x 0>0，y 0>0，则x 024+y 02=1，过P 点的切线l 的方程为x 0x 4+y 0y =1，取x =0，得y =1y 0，则B(0,1y 0)，取y =0，得x =4x 0，则A(4x 0,0)，∴S △AOB =12⋅4x 0⋅1y 0=2x0y 0，由x 024+y 02=1，得1=x 024+y 02≥2√x 024⋅y 02=x 0y 0，当且仅当x2=y 0时等号成立．∴△AOB面积的最小值为2x0y0=2．故答案为：2．由已知列关于a与c的方程组，求得a值，可得椭圆方程，设P的坐标，得到过P点的切线方程，求得A、B的坐标，代入三角形面积公式，再由点P在椭圆上，利用基本不等式求最值．本题考查椭圆的几何性质，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)在△ABD中，由正弦定理可得ADsin∠ABC =BDsinA，∵∠A=60°，AD=2，BD=4，∴sin∠ABD=AD⋅sinABD =2×√324=√34，∵BD>AD，∴∠ABD<60°，∴cos∠ABD=√1−sin2∠ABD=√1−316=√134．(2)∵∠ABC=90°,sin∠ABD=√34，∴cos∠CBD=sin∠ABD=√34，在△BCD中，由余弦定理可得，CD2=BD2+BC2−2BD⋅BC⋅cos∠CBD=16+12−2×4×2√3×√34=16，∴CD=4．【解析】(1)在△ABD中，利用正弦定理可得，sin∠ABD=√34，再利用三角函数的同角公式，即可求解，(2)在△BCD中，运用余弦定理，即可求解．本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理，以及三角函数的同角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵四边形ABCD 是矩形， ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点， ∴EO//PB ．因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB//平面AEC ；(2)∵AP =1，AD =√3，PA ⊥平面ABCD ，三棱锥P −ABD 的体积V =√34，∴V =13×12PA ⋅AB ⋅AD =√36AB =√34， ∴AB =32，所以PB =√1+(32)2=√132．∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，PA ，AB ⊂平面PAB ∴BC ⊥平面PAB ，作AH ⊥PB 交PB 于H ， ∵AH ⊂平面PAB ∴BC ⊥AH ，又PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ．故AH ⊥平面PBC ．则△ABH ∽△PBA ，所以AH =PA⋅AB PB=3√1313， ∴A 到平面PBC 的距离3√1313．【解析】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，为中档题．(1)设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明PB//平面AEC ；(2)通过AP =1，AD =√3，三棱锥P −ABD 的体积V =√34，求出AB ，作AH ⊥PB 交PB于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可．19.【答案】解：(1)P(4,m)(m >0)是抛物线C 上一点，|PF|=5，∴p2+4=5，即p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ， (2)证明∵P(4,m)是抛物线C 上一点， ∴m 2=16， ∵m >0， ∴m =4，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线PA 的方程为{x −4=t(y −4)y 2=4x，联立方程可得y 2−4ty +16(t −1)=0，即(y −4)(y −4t +4)=0， ∴y 1=4t −4，∵点A 到直线y =−4的距离分别为a ， ∴a =|y 1−(−4)|=|4t|，又∵PA ⊥PB ，∴用−1t 代入t ，可得y 2=−4t −4，b =|y 2−(−4)|=|4t |， ∴ab =|4t ×4t |=16，即ab 为定值．【解析】(1)运用抛物线的性质，即可求解，(2)设直线PA 的方程(x −4)=t(y −4)，将直线与抛物线进行联立，可得y 1=4t −4，再结合点A 到直线y =−4的距离为a ，可得a =|4t|，由于PA ⊥PB ，可用−1t 代入t ，可求得b =|4t |，即可求解．本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了计算能力，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，用分层抽样抽取的男生人数为1200×1001500=80，抽取的女生人数为300×1001500=20；所以x=80−(2+10+18+46)=4，y=20−(1+3+11+2)=3，则抽取的这100名学生中，男生优秀的有4人，标记为A，B，C，D；女生优秀的有2人，标记为a，b；从这6人中随机抽取两名学生，所包含的基本事件有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(C,D)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D,b)，(a,b)共15个基本事件，选出的这两名学生恰好是一男一女，所包含的基本事件有：(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D.b)，共8个基本事件；所以选出的这两名学生恰好是一男一女的概率为P=815；(Ⅱ)由题中条件，完善列联表如下：利用公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(50×15−5×30)255×45×80×20≈9.091>6.635，故因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为“是否为体育达人与性别有关“．【解析】本题考查了独立性检验与分层抽样、古典概型的概率求法，属于中档题．(Ⅰ)先根据分层抽样的方法，由题中条件，得到抽取的这100名学生中，男生优秀的有4人，标记为A，B，C，D；女生优秀的有2人，标记为a，b；用列举法列举出从这7人中随机抽取两名学生，所包含的基本事件，以及选出的这两名学生恰好是一男一女，所包含的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率；(Ⅱ)根据(Ⅰ)中计算，结合题中条件，直接完善列联表，由列联表根据公式计算K，根据临界值表，即可得出结论．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−2x−1x ，∵2x+1x≥2√2，①当a≤2√2时，f′(x)≤0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a>2√2时，f′(x)=a−2x−1x =−2x2−ax+1x，由f′(x)=0得x1=a−√a2−84,x2=a+√a2−84，且x2>x1>0，由f′(x)>0得x 1<x <x 2，由f′(x)<0得0<x <x 1，或x >x 2， ∴函数f(x)的单调递增区间为(a−√a2−84,a+√a 2−84)，单调递减区间为(0,a−√a 2−84),(a+√a 2−84,+∞)，综上所述，当a ≤2√2时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当a >2√2时，函数f(x)的单调递减区间为(0,a−√a 2−84),(a+√a 2−84,+∞)，单调递增区间为(a−√a 2−84,a+√a 2−84)；(2)由(1)知，当f(x)存在极值时，a >2√2，此时方程2x 2−ax +1=0有两个不相等的正根x 1，x 2， ∴{x 1+x 2=a 2>0x 1x 2=12>0，∴f(x 1)+f(x 2)=a(x 1+x 2)−(x 12+x 22)−(lnx 1+lnx 2)=a(x 1+x 2)−[(x 1+x 2)−2x 1x 2]−ln(x 1x 2)=a 22−a 24+1−ln 12=a 24+1+ln2，依题意a 24+1+ln2>5+ln2，即a 2>16，且a >2√2，∴a >4，∴a 的取值范围是(4,+∞)．【解析】(1)可看出f(x)的定义域为(0,+∞)，并求出f′(x)=a −2x −1x ，根据2x +1x ≥2√2可讨论a ：a ≤2√2时，可得出f′(x)≤0，从而得出f(x)在(0,+∞)上单调递减；a >2√2时，f′(x)=−2x 2−ax+1x，可求出2x 2−ax +1=0的两个不相等的实数根，然后即可写出f(x)的单调增区间和单调减区间；(2)根据(1)知，当a >2√2时，f(x)存在极值，这两个极值是方程2x 2−ax +1=0的两个不相等的实数根x 1，x 2，根据韦达定理可得出{x 1+x 2=a2x 1x 2=12，从而可求出f(x 1)+f(x 2)=a 24+1+ln2，然后根据题意可得出a 24+1+ln2>5+ln2，然后解出a 的范围即可．本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，一元二次方程的求根公式，一元二次不等式的解法，函数极值的定义及求法，韦达定理，对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+sin2αy =sinα+cosα(α为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=x(0≤x ≤2)．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1．(2)方程y 2=x(0≤x ≤2)，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρsin 2θ=cosθ．由于{ρsin 2θ=cosθθ=θ0，得到|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=ρA =cosθ0sin θ，由{ρ=2sinθθ=θ0，得到|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ρB =2sinθ0，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ρA ρB =cosθ0sin 2θ0⋅2sinθ0=2tanθ，由于θ0∈[π4,π3]，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[2√33,2]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】(1)解：∵abc a+b+c =13，∴1bc +1ac +1ab =3，而bc +1bc ≥2√bc ⋅1bc =2，ac +1ac ≥2√ac ⋅1ac =2，ab +1ab ≥2√ab ⋅1ab =2，三式相加，可得ab +bc +ac +1ab +1bc +1ac ≥6， ∴ab +bc +ac ≥3，当且仅当a =b =c =1时等号成立．故ab +bc +ac 的最小值为3；(2)证明：∵a >b >c ，∴b 2<ab ，c 2<ac ，c 2<bc ，∴a 2+8b 2+27c 2=a 2+4b 2+9c 2+4b 2+6c 2+12c 2<a 2+4b 2+9c 2+4ab +6ac +12bc =(a +2b +3c)2，又∵a +2b +3c =1，∴a 2+8b 2+27c 2<1．【解析】(1)把已知等式变形可得1bc +1ac+1ab=3，再由基本不等式得到bc+1bc≥2√bc⋅1bc =2，ac+1ac≥2√ac⋅1ac=2，ab+1ab≥2√ab⋅1ab=2，同向不等式相加，即可求得ab+bc+ac的最小值；(2)由已知可得b2<ab，c2<ac，c2<bc，把不等式左边拆项，然后结合放缩法与配方即可证明结论．本题考查利用基本不等式求最值，训练了利用放缩法证明不等式，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。