百分数与配比问题数量关系

一、商品的出售例1某商品按定价的 80％（八折或 80折）出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？解：设定价是“1”，卖价是定价的 80％，就是0.8.因为获得20％定价的期望利润的百分数是答：期望利润的百分数是50％.例2 某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中80％的卖价是 1.3×80％，20％的卖价是 1.3÷2×20％.因此全部卖价是1.3×80％＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.实际获得利润的百分数是1.17－1＝ 0.17＝17％.答：这批笔记本商店实际获得利润是 17％.例3 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜 10％.甲店按 20％的利润来定价，乙店按 15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜 11.2元.问甲店的进货价是多少元？解：设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.乙店的定价是 1×（1＋ 15％），甲店的定价就是 0.9×（1＋20％）.因此乙店的进货价是11.2÷（1.15- 0.9×1.2）=160（元）.甲店的进货价是160× 0.9= 144（元）.答：甲店的进货价是144元.设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.例4开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加 10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？解：设去年的利润是“1”.利润下降了40％，转变成去年成本的 10％，因此去年成本是 40％÷10％＝ 4.在售价中，去年成本占因此今年占 80％×（1+10％）＝ 88％.答：今年书的成本在售价中占88％.因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.例5一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？解：设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.现在出售 70％商品已获得利润0.5×70％＝ 0.35.剩下的 30％商品将要获得利润0.5×82％-0.35＝0.06.因此这剩下30％商品的售价是1×30％＋ 0.06＝ 0.36.原来定价是 1×30％×（1+50％）＝0.45.因此所打的折扣百分数是0.36÷0.45＝80％.答：剩下商品打8折出售.从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.例6某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？解：按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润（45-35）×12＝120（元）.出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润120÷8＝15（元）.不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是（45-15）÷（1-85％）＝200（元）.答：每个商品的定价是200元.例7张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价 4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？解：减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购 4×3＝12（件）.由于60件每件减价 4元，就少获得利润4×60＝ 240（元）.这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润240÷12＝20（元）.这种商品每件成本是100-4-20＝76 （元）.答：这种商品每件成本76元.例8 小明训练 3000米赛跑，如果速度提高 5％，那么时间缩短百分之几？（百分数保留一位小数.）解：设原来的速度是“1”.时间缩短的百分数是也就是答：时间缩短了4.8％.从后一算式可以看出，无论是多少米赛跑，速度提高5％，时间就缩短了4.8％.换一句话说，考虑这一问题，与距离无关.例9 采了10千克蘑菇，它们的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到98％.晾晒后的蘑菇重多少千克？解：晾晒前后蘑菇里的干物质（除了水分以外的其他成分）的重量是不变的.干物质的重量是10×（1- 99％）= 0.1（千克）.晾晒后，干物质将占总重量的（1-98％）.此时蘑菇重0.1÷（1-98％）＝5（千克）.答：晾晒后蘑菇重5千克.这一例题的答案是否使你感到意外？下一例题可以说是例9的补充.例10 有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3％，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2％，再加入同样多的水，此时盐水浓度是多少呢？又问未加水时盐水浓度是多少？解：关键是先算出每次加多少水.浓度为 3％，也就是盐 3份，水 97份，共100份.浓度下降为2％，原来3份，就成为 2％，加水后总共是3÷2％=150（份）.因此加入的水是 150-100＝50（份）.第三次加水后，浓度是未加入水时的浓度是答：三次加水后浓度是1.5％，未加水时浓度是6％.例11 把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？解：设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20％，另一边将增加所以正方形的边长是2÷25％＝8（米）.正方形的面积是8×8＝ 64（平方米）.答：正方形面积是64平方米.例12 有一堆糖果，其中奶糖占 45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占 25％.问这堆糖中奶糖有多少块？解：奶糖占25％，其他糖果就是奶糖的（100-25％）÷25％＝3（倍）.原来其他糖果只有1-45％＝55％.放入16块水果糖后是45％×3＝135％.因此奶糖的块数是16÷（135％- 55％）× 45％＝ 9（块）.答：这堆糖中，奶糖有9块.例13 有两包糖果，第一包的粒数与第二包粒数之比是2∶5.在第一包中奶糖占30％，在第二包中其他糖占42％，如果把两包糖合在一起，奶糖所占的百分数是多少？解：设第一包为2份，第二包为5份.第一包中奶糖是 2×30％＝0.6（份）.第二包中奶糖是 5×（1-42％）＝ 2.9（份）.合起来后，奶糖占（0.6＋2.9）÷（2＋ 5）＝ 50％.答：合在一起，奶糖占50％.这是一个典型问题，与第五讲第二节中求平均数，做法是一致的.例14早上水缸注满了水，白天用去了其中的 20％，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10％，最后剩下的水是半水缸多1升.问早上注入多少升水？解：白天和傍晚用去水后剩下1-20％＝80％少 27（升）晚上用去水是80％×10％＝8％少27×10％＝ 2.7（升）.白天、傍晚、晚上总共用去水20％＋8％再加（27-2.7）升，它应该是50％少 1升.因此50％-（20％＋8％）是（27- 2.7）＋ 1升.早上水缸的水是（27-2.7＋1）÷（50％- 20％- 8％）＝ 115（升）.答：早上注入水缸中的水是115升.三、浓度和配比一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.从一些基本问题开始讨论.例15 基本问题一（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？解：（1）浓度10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水80-8＝72（克）.如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水100-8＝92（克）.还要加入水 92- 72＝ 20（克）.（2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40- 8＝ 32（克）.如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有x∶32＝40％∶（1-40％），例16 基本问题二20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克？解： 20％比15％多（20％-15％）， 5％比15％少（15％-5％），多的含盐量（20％-15％）×20％所需数量要恰好能弥补少的含盐量（15％-5％）×5％所需数量.也就是画出示意图：相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.答：需要浓度 20％的 600克，浓度 5％的 300克.这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.例17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％.（85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2.按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.设买红笔是x支，可列出比例式5x∶9×30＝2∶3答：红笔买了 36支.配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.例18甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为 62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是后一次混合，甲、乙数量之比是这与上一讲例 14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变.5与2相差3，5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2，3∶5中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份，每份是3.原来这答：第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.例19 甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水 120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.甲中含盐量：乙中含盐量= 300×8％∶120×12.5％= 8∶5.现在要使（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.把“300克+ 倒入水”算作8份，“120克+ 倒入水”算作5份，每份是（300-120）÷（8-5）= 60（克）.倒入水量是 60×8-300＝ 180（克）.答：每一容器中倒入 180克水.例20甲容器有浓度为2％的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9％的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？解：（1）现在甲容器中盐水含盐量是180×2％＋ 240×9％＝ 25.2（克）.浓度是25.2÷（180 ＋ 240）× 100％= 6％.（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9％，要含有 25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克），还要倒入水420-280＝140（克）.答：（1）甲容器中盐水浓度是6％；（2）乙容器再要倒入140克水.例21甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含乙两种含金样品中含金的百分数.解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.用例17方法，画出如下示意图.因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以（68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％）＝2∶1＝ 6∶3.注意：6+3＝2＋7＝9.那么每段是因此乙的含金百分数是甲的含金百分数是答：甲含金 60％，乙含金 72％.用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.。