基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳

1基本不等式.ab空

2

(1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0.

(2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号.

［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？

提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab.

2 2

②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b.

2 2

2•几个重要的不等式

2 2 b a

a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0).

a b

2 2

a +

b 2 a +b 2 a +b

ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R)

2 2 2

3•算术平均数与几何平均数

设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术

2

平均数不小于它的几何平均数.

4•利用基本不等式求最值问题

已知x 0, y - 0,则

(1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小).

2

(2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大).

［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？

1

提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解•例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调

x

5

性，易知X = 2时丫皿山二.

2

［自测•牛刀小试］

1.已知m・0, n • 0,且mn =81，则m • n的最小值为()

A. 18

B. 36

C. 81 D . 243

解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.

1

2•若函数f(x)=x (x 2)在x=a处取最小值，则a =( )

x—2

利用基本不等式证明不等式

1 1

［例 1］已知 a ■ 0,b ■ 0, a ^1,求证：(1

)(1 ) _9. a b

________ I ■ ■ ■- I _______________________________

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用 基本不等式条件的可通过“变形”来转换， 常见的变形技巧有： 拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，

“1

的代换法等.

1 .已知 a 0, b 0, c 0,求证：ca _ a b c. a b c

A. 1 + 2

B. 1+ 3

C. 3

D. 4

3. 已知 x . 0, y . 0, z .0, x_y 2z=0,则 2的( )

y

1

1 A.最小值为8 B .最大值为8C.最小值为-D.最大值为-

8

8

1

4. _____________________________________ 函数y=x+—的值域为 __________________________________ .

5.在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数

f(x)=?的图象交于P 、Q 两点，则线段 PQ 长的

x

最小值是 _________

保持例题条件不变，证明:

II

(1)将该厂家20XX 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;

⑵已知a Qb " J 1,则alb 2的最大值为

------ I ■ ■ ■- I -------------------------

应用基本不等式求最值的条件

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1) 一正二定三相等•“一正”就是各项必须为正数；

(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积 的因式的和转化成定值；

(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求 的最值，这

也是最容易发生错误的地方.

1 1

1. (1)函数y =a 1_a (a -0, a =1)的图象过定点 代若点A 在直线mx • ny -仁0(m, n • 0)上，求一•一的最小值;

m n

⑵ 若正数a, b 满足ab = a b • 3,求ab 的取值范围.

利用基本不等式解决实际问题

1『」

［例3］为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在

20XX 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量

(即该

一

一

一

k

厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t -0)万元满足X=4

( k 为常数).如果不搞促销活动，则该产品的年销

[例2] (1)(2012 •浙江高考)若x . 0, y 0,满足x • 3y =5xy,则3x 4y 的最小值是(

24 代丁

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B.g

C. 5 D . 6 5

J

利用基本不等式求最值

II