用绝对值的几何意义来解题复习过程
绝对值的意义及应用(复习讲义)01
绝对值知识精讲绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2 D．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6【例11】若|x+y|=y-x，则有（）A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|＞m，则m＜0；（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________【例17】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 都是正数时，M = ______； 当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】若42a b -=-+，则_______a b +=ca0b【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）分别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x++-【巩固】化简12x x+++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1. 若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2. 若|x|=-x，则x一定是（）A．负数 B．负数或零 C．零 D．正数3. 如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥14. 若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或45. 若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________6. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【家庭作业】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（ ）A.a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ≤0 D ．a ＜07. 若3230x y -++=，则y x的值是多少？。
化育张萍老师《绝对值的几何意义》
A
0 -1 营山中学
B
C
D
F
1 2 3 4 5 6 化育中学 云凤 二中 城北 三中
P
合作探究：
Ix+1I + Ix-2I +Ix-3I +Ix-4I +Ix-5I +Ix-6I
规律：
当x满足什么条件时？
∣x－a1∣+ ∣x－a2∣+ ∣x－a3∣+ ... + ∣x－an∣有最小值 已知a1≤a2≤a3≤... ≤an
解：当x=6时，原式有最小值. 它的最小值是： I6-1I+I6-2I+I6-3I+…+I6-6I+I6-7I+I6-8I+…+I6-11I =5+4+3…+0+1+2+…+5 =2×（1+2+3+4+5）
=2×15 =30
拓展延伸二
当x满足什么条件时 ，∣x－1∣+ ∣x－2∣+ ∣x－3∣+...+ ∣x－21∣ +∣x－22∣有最小值，最小值是多少？ 解: 当11≤x≤12时，有最小值. 最小值是: （12-11）+（13-10）+（14-9）+... +（21-2） +（22-1） =1+3+5+...+19+21 =(1+21)×11÷2
绝对值的几何意义
-----求 最 值
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
化育中学
张萍
知识点复习：
1、绝对值的几何定义： 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点 与原点的距离； 数a到原点的距离是︱a︱,数c到原点的距离是︱c︱; 2、∣a∣最小值是多少？ ∣a∣是非负数，即∣a∣≥0，最小值是0
有关绝对值计算的解题指南
有关绝对值计算的解题指南绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础，学好它非常重要，而进入初中阶段，运用绝对值的知识进行有关计算是学生感觉较难的问题。
本文将通过典型的例题，在深入理解相关概念含义的基础上进行归纳总结，灵活运用，逐渐形成清晰的解题思路。
一、去绝对值符号1．根据绝对值的定义数a 的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
”数a 的绝对值所表示的是一段距离，不论数a 本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
如果绝对值里面是代数式，可将其看作一个整体，作为一个数来处理。
【例1】已知1≤ x < 5 ，化简|1-x |+|x-5|【解析】由1≤ x < 5 可知1- x ≤0，x - 5 < 0 ，可直接去掉绝对值符号进行化简,原式= x -1+ 5 - x = 4【总结】只要知道绝对值符号内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．【例2】设 ，化简 的结果是（ ）A.2-xB.2+xC.-2+xD.-2-x【解析】由x<-1得出x-2<-3<0【答案】应选 B ．【总结】化简具有多重绝对值符号的式子，只要逐层从里到外去绝对值即可．2、利用绝对值的非负性【例3】已知|x-2|+|y-3|=0，求x+y 的值。
【解析】 由绝对值的非负性可知x-2=0,y-3=0;得x=2,y=3；所以x+y=2+3=53、借助数轴利用绝对值的几何意义画出数轴，在数轴上标出相关数对应的点，便于确定形如“a+b ”或“a-b ”的代数式的正负，从而去掉绝对值号。
【例4】 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图，化简 |a |+| c - b | -| a + b |+ |a - c |【解析】由数轴上容易看出 a <0 ，c-b >0，a+b<0，a-c<0 ，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍,原式=-a+c-b-[-(a+b)]+[-(a-c)]=-a+c-b+a+b+c-a= 2c-a【总结】这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：零点的左边都是负数，右边都是正数；右边点表示的数总大于左边点表示的数． 离原点远的点的绝对值较大，然后运用代数式的运算法则判断代数式的正负。
3.绝对值的意义及应用(含答案)-
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x ≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
第4讲 绝对值的几何意义(学生版)
知识导航知识导航1求代数式2计算34数轴上是否存在数在数轴上对应的点到原点的距离，解决下面问题：的距离为．（包括）到（包括）之间时，则的最小值等然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。
它的画法如下：1．画一个等边三角形；2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。
请你亲自动手做个实验。
把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。
如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3）。
实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。
这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。
我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。
由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。
下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度为b。
开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。
【方法技巧】用绝对值的几何意义解题
【方法技巧】用绝对值的几何意义解题大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．一、求代数式的最值例1 已知a是有理数，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.解：由绝对值的几何意义知，| a－2007|+| a－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值为1.例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，|x－2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分别为3和－3．二、解绝对值方程例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1时，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，则点P必在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为个单位（如图3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为：x＝－2－＝－，x＝ 1+＝．三、求字母的取值范例4 若 |x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x－2|的最小值为3，此时x在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是－1≤x≤2．例5 对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a 的取值范围是___________．解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－4|的最小值为6，而对于任意数x，|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，所以a的最值范围是a＜6．四、解不等式例6 不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－3|的最小值为5，此时x在－2～3之间（包括两端点）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，则x必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x＜－2或x＞3．五、判断方程根的个数例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（）个解．A.．4； B． 3； C． 2； D．1解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）．六、综合应用例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，∵ |x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，故x+ y的最大值与最小值分别为6和－3．。
运用几何意义破解绝对值不等式问题
运用几何意义破解绝对值不等式问题作者：***来源：《中学生数理化·高考使用》2020年第04期含绝对值不等式的常用解法有：（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号。
（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或兩个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解。
（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点之间的距离求解。
（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解。
在此，我们重点讲解如何运用几何意义，解绝对值不等式。
问题一、利用几何意义解两项绝对值不等式代数法与几何意义解决绝对值不等式问题的对比。
评注：代数法解决绝对值不等式时，要根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法。
利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏。
利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想。
问题二、利用几何意义解三项绝对值不等式评注：从以上解答过程中可以看到，解答该题的关键是把问题转化为：在数轴上观察动点x与各个零点之间的关系，从而获得所求解集。
问题三、利用几何意义运用绝对值不等式的解集求参数的取值范围评注：解法一是利用数轴通过零点间的相互关系，找出使不等式恒成立时的参数k的取值范围;解法二，首先是把|x+l||x-2|构造为函数y=|x+l|-|x-2|，再画出分段函数的完整图像，对比两个函数y=|x+l|-|x-2|与y=k的图像，使得函数y=|x+l|-|x-2|的最小值恒大于k，从而获得k的取值范围。
（责任编辑王福华）。
绝对值几何意义及动点问题(一)
绝对值几何意义及动点问题(一)绝对值几何意义及动点问题在几何学中，绝对值是一个常见的概念，它表示一个数到零的距离。
在这篇文章中，我们将探讨绝对值的几何意义以及与动点相关的问题。
绝对值的几何意义绝对值可以用几何的方式来解释。
首先，我们可以将绝对值看作一个点到零点的距离。
例如，对于实数x，绝对值|x|表示点x到零点的距离。
如果x是负数，则绝对值表示x在数轴上的投影到零点的距离。
绝对值的性质绝对值具有以下性质： - |x| >= 0：绝对值永远大于等于零。
- |x| = 0 当且仅当 x = 0：只有当x等于零时，绝对值才等于零。
- |x * y| = |x| * |y|：绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。
绝对值的动点问题在几何学中，动点问题是一类常见的问题，它涉及到点在运动中的位置、轨迹等特性。
绝对值可以应用在动点问题中，通过求解动点到其他点的距离。
以下是一些与绝对值和动点相关的问题： 1. 给定一个动点A和两个固定点B、C，求动点A到点B和点C的距离之和的最小值。
2. 已知动点A在直线L上运动，点B为直线L上的固定点，求动点A到点B的距离的最大值。
3. 给定一个动点A和一个固定点B，在直线L 上构建一个点C，使得动点A到点B和点C的距离之和最小。
这些问题都可以通过绝对值的几何意义来解决。
我们可以使用点到点的距离公式，通过求解绝对值来得到问题的答案。
绝对值在几何学中具有重要的意义，它可以帮助我们解决许多与动点相关的问题。
通过理解绝对值的几何意义，我们可以更好地应用它来解决各种几何问题。
希望通过这篇文章，你对绝对值的几何意义及动点问题有更深入的理解。
利用用绝对值的几何意义解最小值问题
妙用绝对值的几何意义解最小值问题∣m-n ∣的几何意义是：数轴上表示数m,n,的两点之间的距离。
利用绝对值的几何意义思考有关绝对值的问题，可使某些利用绝对值的代数定义难以解决的问题，简明直观地获得妙解。
例1 求∣x-1∣+∣x-2∣的最小值。
析解：由绝对值的几何意义知∣x-1∣表示x 到1的距离，∣x-2∣表示x 到2的距离。
例2 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣的最小值。
例3 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+∣x-4∣的最小值。
已知a,b,c 都是有理数，且满足a a ||+b b ||+c c ||=1，求||abc abc 的值已知a<b<0<c ，化简式子：|a-b|+|a+b|-|c-a|+|b-c|得已知│x │=2003，│y │=2002,且x ＞0，y ＜0，求x+y 的值。
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用绝对值的几何意义解题 答案版
用绝对值的几何意义解题大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．一、求代数式的最值例1 已知a是有理数，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.解：由绝对值的几何意义知，| a－2007|+| a－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值为1.例2 |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，|x－2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分别为3和－3．二、解绝对值方程例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1时，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，则点P必在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为个单位（如图3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为：x＝－2－＝－，x＝ 1+＝．三、求字母的取值范围例4若 |x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x－2|的最小值为3，此时x在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是－1≤x≤2．例5对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是___________．解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－4|的最小值为6，而对于任意数x，|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，所以a的最值范围是a＜6．四、解不等式例6不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－3|的最小值为5，此时x在－2～3之间（包括两端点）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，则x必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x＜－2或x＞3．五、判断方程根的个数例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（）个解．A.．4； B． 3； C． 2； D．1解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）．六、综合应用例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，∵ |x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，故x+ y的最大值与最小值分别为6和－3．。
中考数学复习：专题1-4 分类例说运用绝对值的几何意义求解
专题04 分类例说运用绝对值的几何意义求解【专题综述】我们知道(0)x a a =≥的意义是：数轴上的点(x )到原点的距离是非负数a .推广一下，式子(0)x y a a -=≥的意义显然是数轴上点(x )到点(y )的距离为非负数a ；式子(0)m n a a +=≥意义显然是数轴上点(m )到点(－n )的距离为非负数a . 利用这一意义，我们可以巧解有关于绝对值的问题.【方法解读】一、求不等式的解例1：关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 .【举一反三】使不等式21x +>成立的x 的值为( )A.比-1大的数B.比-3小的数C.大于-1或小于-3的数D. -2以外的数二、求方程的解例2：方程236x x -++=的解的个数是( )A.1B.2C.3D.4【举一反三】关系式34326x x -++=的整数x 的值的个数是( )A.0B.1C.2D.大于2的自然数三、求最值例3：已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于( )A.1B.5C.8D.3【举一反三】若(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，则23x y z ++的最小值是 ，最大值是 .【强化训练】1．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算a b -的结果为（ ）A. a b +B. a b -C. b a -D.a b -- 2．如图，若数轴上的两点A 、B 表示的数分别为a 、b ，则|a ﹣b |+|b |等于（ ）A. aB. a ﹣2bC. ﹣aD. b ﹣a3．我们知道：式子3x -的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数3的点之间的距离，则式子2x -＋+1x 的最小值为_____________；4．p 在数轴上的位置如图所示， 化简|p +1|-|p -2|=_________.5．已知a a =-，化简21a a ---所得的结果是（ ）A. 23a -B. 3-C. 32a -D. 16．我们知道，|x +3|+|x -6|的最小值是__________。
绝对值与方程及几何意义解题
绝对值【2 】与一元一次方程一.形如| x +a | = b 办法：去绝对值符号例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2二.绝对值的嵌套办法：由外向内逐层去绝对值符号|3x – 4|+1| = 2 例2：|||x|– 2|-1| =3例1：| 12三.形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程办法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根,不然必须舍去,故解绝对值方程时必须磨练.例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5应用“零点分段“法化简办法：求零点,分区间,定正负,去符号例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1|演习化简：1.| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2.||x|−2x||x−3|−|x|四.“零点分段法”解方程“零点分段法”即令各绝对值代数式为零,得若干个绝对值为零的点,这些点把数轴分成几个区间,再在各区间内化简求值即可.例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 |演习：解方程1.3| 2x – 1 | = |-6|2.││3x-5│+4│=83.│4x-3│-2=3x+44.│2x-1│+│x-2│=│x+1│进步题：1.若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解,求a的值和方程的解2.设a.b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题)3.评论辩论方程││x+3│-2│=k的解的情形.绝对值的几何意义解题一.求代数式的最小值1、求│x-1│+│x+2│的最小值2、求│x-3│+│x-4│+│x-5│的最小值3、求│x-1│+│x-2│+│x-3│+……+│x-1997│的最小值4、求│x-2│+│x-4│+│x-6│+……+│x-2000│的最小值二.解绝对值方程1.│x+1│+│x-3│=22.│x+1│+│x-2│-3=02.是否消失有理数x,使│x+1│+│x-3│=x？。
初一年级数学上册绝对值最值问题知识点及例题讲解
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晓之 数学
【专题】
用绝对值的几何意义解题 第一步 找点
第二步 取x值
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x
-5
38
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用绝对值的几何意义解题
解：
-5
3
8
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x
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零点分段讨论法 第一步：取零点： 第二步：分区间讨论： －5 3
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【解题分析】
。
第一步 找点：
☻ 1
第二步 取x值：
☻☻ ☻☻ 2 3 998 999
☻☻ 1996
“单数取中间点，双数取中间区域”
999≥ ≥998
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解：
999≥ ≥998 x=999
999≥ ≥998
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【分析和思考】 思考三：根据绝对值的几何意义解题 第一步 找点： 解法三： 第∵二步 分析取x值
∴
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x
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分析思考一： 第一步：找点
绝对值的几何意义解题
第二步：取x值
-3
1
x
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☻
1 2 3 998 999 1996
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第3讲 绝对值的几何意义(教师版)
“当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值是
”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：
，
和 ，经研究发现，当
时，值最小为 ．
请你根据他们的解题解决下面的问题．
当式子
取最小值时，相应的 的取值范围是
，最小值
是
．
已知
，求相应的 的取值范围及 的最大值．写出解答过程．
表示数 所在的点到数 、 、 三点的距离之和， 则当数 所在的点落在数 所在的点上时，
取最小值，最小值为 ． ，
零点为 、 、 ，
则当
时，
取最小值，
最小值为
．
考点
数 有理数 数轴 数轴比较大小 数轴上的距离问题 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义求最小值 绝对值化简 结合数轴化简绝对值
作业7
小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
．
当 为偶数时， 应设在第 台和
台之间任何地方；
当 为奇数时， 应设在第 台的位置．
当
时，原式的值最小，最小值是 ．
考点
数 有理数 绝对值化简 零点分段法 绝对值的综合应用
教师备选
同学们都知道，
表示 与 之差的绝对值，实际上也可理解为 与 两数在数轴上所对的两
点之间的距离．试探索：
答案
1． 2．
时，有最大值 ．
解析
当式子
，最小值是 ．
当
，时
当
，时
取最小值时，相应的 的取值范围是
． ．
当
，时
．
初一数学绝对值几何意义解题
初一数学绝对值几何意义解题
初一数学中，绝对值是一个重要的概念，也是学习几何意义解题的基础。
在解决几何问题时，我们需要深入理解绝对值的含义和性质，才能正确地应用到实际问题中。
首先，我们需要明确绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值为| x |，表示x到原点的距离，也就是说，| x | = x（当x≥0时），| x | = -x（当x<0时）。
接下来，我们可以通过几何意义来理解绝对值的含义。
例如，当x=3时，| x | = 3，表示数轴上点3距离原点的距离为3个单位。
当x=-2时，| x | = 2，表示数轴上点-2距离原点的距离也为2个单位。
在解题时，我们可以通过绝对值的几何意义来判断两点之间的距离。
例如，求点A(3,4)和点B(-1,2)之间的距离。
我们可以通过绝对值来求解，即| AB | = | 3-(-1) | + | 4-2 | = 4+2 = 6。
因此，点A和点B之间的距离为6个单位。
此外，在解决数轴问题时，我们也需要深入理解绝对值的性质。
例如，当a、b为实数时，有| a-b | = | b-a |，即两点之间的距离与顺序无关。
这个性质在解决一些简单的数轴问题时非常有用，可以帮助我们更加快速地求解问题。
综上所述，初一数学中，我们需要深入理解绝对值的几何意义和性质，灵活运用到实际问题中，才能更好地完成数学学习和应用。
- 1 -。
妙用绝对值的几何意义解题
６
、
ａ＋ｃ
ａ
－
ｃ
、
ｃ
－
６
是负数
，
ｃ
－
ａ
、
６
是正 数 根据
Ｉ
吗 ？ 其 实 就是 在数 轴 上表 示 数
点之间 的 距 离
．
的两
Ｉ
负 数 的 绝 对 值 是 它 的 相 反 数
．
，
正数的绝对值
｜
解 几 对 用 义 去 处 理 些 利 绝 值 的 何意 某 棚
一
是 匕 本 身
，
在数 轴 上 到
，
，
１
对应 的 点 的 距 离
—
ｔ 丨 来 糊数轴 大小 若 把 它 们 嫌 轴 ｉ ｏ
？
ｉ
，
帛
３
触 额个 前 雖 有 两 个 个是
２
，
，
个是乂
３
的 直观 性
，
匕们
的 大 小 关系 便
一
目
了然
解
ａ
、
■ ■
因 为 冰岭 师嫌轴 上齡ｉ
．
、 另
ｔ
一
即
ｘ
－
２＝
－
４
或
ｘ
－
｜
，
就 可 得 出 答案
－
－
：
应依 次填
ａ
－
６
－
、
ａ
－
ｃ
、
ｃ
－
ａ
＿
、
ａ ＋ｃ
－
、
ｃ
＋６
、
寸
．
丄
．
．
广
绝 对值 的代 数 意 义 制 酿 的 冋 爾
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
第一讲4绝对值不等式
, 3
( x 1) ( x 2) 5,
即3 5, 矛盾。此时不等式的解集为 当x 1时, 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5,
2, 综上所述可知原不等式的解集为 ， 3 2，
解得x 2, 此时不等式的解集为
-3 O -2 2x
法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体 现了函数与方程的思想．
(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形 结合思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函 数与方程的思想．
探索：不等式|x|<1的解集。 方法四： 利用函数图象观察 从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x
－1 o 1
如果 a ＞0，则
x a x a x a
例5 解不等式 x 1 x 2 5
A1
-3
A
-2
B
1
B1
2 x
例5
解不等式 x 1 x 2 5
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解， 体现了数形结合思想
例5
解不等式 x 1 x 2 5
( x 1) ( x 2) 5,
解法2 当x 2时，原不等式可以化为 解得x 3, 此时不等式的解集为 当 2 x 1时, 原不等式可以化为
用绝对值的几何意义来解题
关方键法： 一先:利－找用到|x2等-1|于|=－0的,|x点+|2，|=x再0－的分零析5点,|分表段讨示论去数绝对轴值 上的一点到表示数2和5两点的距离
不表等示式 数|轴ax的上-b到|<差1c和的|距a，x离-b加|当>上c是到P否2也的点适距用离在？大于2等的于5左的点边时，其差恒为－3；当P点在5的右
0
1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
关键：先找到等于的点，再分析
例4不等式|x-3|<4的解是-1<x<7 ．
例5不等式|x-3|>4的解是x>7或x<-．1
4
4
-1
3
7
关键：找到什么时候等于，
然后“大于在两边，小于在中间”
不等式|ax-b|<c和|ax-b|>c是否也适用？
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
x 2 例5不等式|x-3|>4的解是
．
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解．
解 : 原 不 等 式 化 为 |x 1 | |x 2 | 5 0 , 构造y函 x数 -1x2-5，化简得
练习：|x－2|－| x－5| 的最大值是 ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
，3 最小
值是 ．-3 练习：不等式|x＋2|+|x－3|<7的解是 ．
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合. 不等式|ax-b|<c和|ax-b|>c是否也适用？
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
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（x-1）（x2）， x1 2x 6, x 2
即 y 2， 2 x 1 2x 4，x 1
2x 6, x 2
y 2， 2 x 1
y
2x 4， x 1
如 图 ,作 出 函 数 的 图 象 ,
取 yx-1x2-50
函 数 的 零 点 是 -3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由 图 象 可 知 , 当 x 3 或 x 2 时 , y 0 ,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
这种方法体现了函数与方程的思想．
例题：解不等式|x-1|+|x+2|≥5
1
3
1
-1 -2
12
表示数轴上到1的距离加上到2的距 离大于等于5的点
解得x≥2或x≤-1
原 不 等 式(12x)x(1x2)5325x1x.
(3)当x1时,
原 不 等 式(xx11)(x2)5
xx
1 2
x
2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二：通过构造函数，利用函数的图象求解．
解 : 原 不 等 式 化 为 |x 1 | |x 2 | 5 0 , 构造y函 x-数 1x2-5，化简得
然后“大于在两边，小于在中间”
不等式|ax-b|<c和|ax-b|>c是否也适用？
解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值
解 :(1)当 x2时 ,这种解法体现了分类讨论的思想
原 不 等 式(x1 x)2(x2)5xx23x3. (2)当 2x1时 ,
用绝对值的几何意义解题
防城港市高级中学 数学组 李铮
在数轴上，
a 0 - a 表示原点到a的距离
x - a 表示数轴上某一个点到a的距离 x a 表示数轴上某一个点到-a的距离
x（ - -a）
一、解绝对值方程
例1 方程|x－3|＝4的解为 -1或7 ．
几何意义：数轴上到3的距离等于4的点
4
2.解不等式|x+3|+|x-3|>8.
4
-1
3
7
方程|ax-b|=c怎么办？
练习：方程|2x－3|＝4的解为 -0.5或．3.5
|2x－3|＝4
2x-3 4 2
x-3 2 2
几何意义：数轴上到1.5的距离等于2的点
2
2
-0.5
1.5
3.5
练习：方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为 -2.5或．1.5
3
-2.5 -2
1 1.5 2
表示数轴上到1和-2的距离之和等于4的点
练习：|x－2|－| x－5| 的最大值是 值是 ．-3
-3
-3~3
3
，3 最小
2
5 6 7 8 9、、、
解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，|x －2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离 的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右 边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点） 时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）．
三、解不等式
例3、不等式|x|<1的解集 不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.-10 Nhomakorabea1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
关键：先找到等于的点，再分析
例4不等式|x-3|<4的解是-1<x<7 ．
例5不等式|x-3|>4的解是x>7或x<-．1
4
4
-1
3
7
关键：找到什么时候等于，
练习：不等式|x＋2|+|x－3|<7的解是 -1<x．<4
1
5
1
-1 -2
34
分析：不等式表示数轴上到-2的距离加上到3的距 离大于7的点。显然-2到3的距离就是5了，所以 这些点在-2到3之间和之外都有。现在找到距离之 和等于7的点，再分析。
作业
用绝对值的几何意义解下面的题
1.解不等式1<|2x+1|<3.
二、求代数式的最值
例2 、求|x－2007|+|x－2008|的最小值是 1
2007
2008
解：由绝对值的几何意义知， |x－2007|+|x－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008 两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间 （包括这两个端点）取值，故|x－2007|+|x－2008|的最小值为 1.