高考平面几何平面解析几何

第五章直线与圆

直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形，是代数方法在几何研究中的应用的开始. 对于这部分内容，学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法，既要注重代数运算的简洁，也要充分利用几何图形的性质，还要认真考虑代数式的几何意义，在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况.

近年来，这一部分内容在高考试题中通常属于基础题，难度中等，但解答问题使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率.

第一节直线与圆的位置关系

1. 直线的x-截距与y-截距之间的关系

例1 （09华南师大附中3月）已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等，

且到点（1，2）的距离为2，求直线l的方程.

【动感体验】

要全面考虑可能成立的各种情况. 已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况.

如图5.1.1所示，点P在以A（1，2）为圆心、半径为2的圆上，直线（记为l）经过点P且与圆A相切. 则该l到点（1，2）的距离为恒为2.

打开文件“09华南师大附中3月.zjz”，拖动点P，观察可能出现直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的情况.

图5.1.1

【思路点拨】

对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论.

【动态解析】

图5.1.2-5.1.7所示六种情况下，经过点P的直线在x轴、y轴上截距的绝对值均相等.

图5.1.2 图5.1.3

图5.1.4 图5.1.5

图5.1.6 图5.1.7

可设满足条件的直线的方程为b kx y +=. 当0=b 时，由点到直线的距离公式得：

21|2|2

=+-k

k ，解得62+-=k 或

62--=k .

当0≠b 时，则直线l 的斜率k 为1或者-1，由点到直线的距离公式得：

21|2|2

=+-+k

b k ，当1=k 时，解得1-=b 或3=b ；当1-=k 时，解得5=b 或

1=b .

因此所求直线的方程为：x y )62(+-=，或x y )62(--=，或1-=x y ，或3+=x y ，或5+-=x y ，或1+-=x y .

【简要评注】

从本题的题设条件，很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解，但要注意避免遗漏直线经过原点的情况. 在这里我们首先考虑到直线到点A 的距离为

2，再寻找满足要求的直线，就容易分类了.

有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便，但答案通常写成斜截式.

2. 直线与圆的位置关系

例2 （06湖南理10）若圆010442

2

=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）。

A ． ]412[

π

π， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]2

0[π

， 方法一：

【动感体验】

方程0104422=---+y x y x 可化为18)2()2(22=-+-y x ，该圆的圆心为（2，2）、半径为23，圆心在直线x y =上. 0:=+by ax l 是一条过原点的直线，系数b a ,决定其倾斜角. 令b

a

k -

=，则l 的方程为：kx y =. 考虑k 变化时与直线kx y =平行并与之距离为22的两条直线与圆交点的个数. 打开文件“06湖南理10.zjz ”，实线表示直线kx y =，虚线是两条到直线kx y =的距离等于22，通过拖动点P 或者动画按钮可以改变k 的值，如图5.1.8-5.1.12所示为其中的几种情况.

图5.1.8 图5.1.9

图5.1.10 图5.1.11

图5.1.12

【思路点拨】

改变k 的值考虑当圆上恰好有三个点到直线l 的距离为22时，两条平行线与圆的位置关系. 这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交，而圆心到直线l 的距离恰好为2，由此不难确定直线l 的倾斜角的取值范围. 【动态解析】

注意到22=OC ，当圆心到直线l 的距离CD 恰好为2时，如图5.1.8、图5.1.11所示，6

π

=

∠COD . 由此不难确定若圆010442

2=---+y x y x 上至少

有三个不同的点到直线l 的距离为22时,直线l 的倾斜角的取值范围是]12

512[π

π，. 所以选择B .

方法二： 【动感体验】

方程0104422=---+y x y x 可化为18)2()2(2

2=-+-y x ，可知该圆的圆心为（2，2）、半径为23. 进入文件“06湖南理10.zjz ”第二页，点C 是方程

0104422=---+y x y x 所在圆的圆心. 点P 是圆C 上的动点，OP CD ⊥与

D ，因此可以用直线OP 表示方程0=+by ax 对应的直线l ，其中. 拖动点P ，观

察直线OP 与圆C 的位置关系，判断当圆C 上至少有三个不同的点到直线OP 的距离为22时直线OP 所应满足的条件，如图5.1.13-5.1.16所示，为其中的几种情形.

图5.1.13 图5.1.14

图5.1.15 图5.1.16

【思路点拨】

将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离. 【动态解析】 令b

a

k -

=，则l 的方程为：kx y =. 当直线OP 在圆心C 左上方时，若圆上正好有3个点到l 的距离为22，如图5.1.13所示，则此时22223||=-=CD . 又因为22||=OC ，

4

π

=∠xOC ，

所以在Rt △CDO 中，6

π

=

∠COD ，所以

12

5π

=

∠+∠=∠COD xOC xOD . 当直线OP 在圆心C 的右下方时，若圆上正好有3个点到l 的距离为22，如图5.1.14所示，则此时22223||=

-=CD . 又因为22||=OC ，