第三章四川大学高分子流变

五、锥形、环锥形和异形导管中的压力流动
1、锥形导管
2 KL 3n 1 p0 p L Q 3n n
n
RL 3n R0 3n R R 0 L
这种近似方程对于锥度小于30°是可用的
2、环锥形导管
牛顿流体的 体积流率
幂律流体的 体积流率
三、圆环空间的拖曳流动
流体在内、外半径分别为Ri 和 R0 的同心圆筒之间的流动转动
将柱坐标动量方程简化

2 v
r 1 2 r r 0 2 r r
p r
2 v dr 积分得 p r a r 2 r
a-常数
对于幂律流体
r
a d v K r ( ) 2 r dr r
y 0时vx 0, y H时vx V
vx y
V H
沿宽度X方向单位宽度W 的体积流率为 Q
1 VHW 2
二、沿矩形槽拖曳流动
与平行板拖曳流动情况的区别
：固定边界形成有限宽度W， 而使上板运动所引起的流动减慢
动量方程z分量和广义牛顿流体本 构方程合并并简化
2vz 2vz 2 0 2 x y


体积流率
dvz dr
Ri
V q(1 K ) K q 1 Ri R0 Ri K q 1
剪切速率
对于牛顿流体有
v z lnr / R0 V ln K
速度分布
Q 2K 2 ln K K 2 1 2R0 R0 Ri V 41 K ln K
用dp/dx代替p/x
d 2vx dp 2 dy dx
两次积分
边界条件y H / 2时vx 0
2 H 2 p 2 y vx 1 8L H
速度分布
Q H 3 p W 12L
在z方向单位宽度W的体积流率
幂律流体
二、环形导管中的轴向拖曳、压力组合流动
牛顿流体的体积流率
Q
R0 2V 1 K 2
2
4 pR 0 0 2K 2 8L ln(1 / K )
2 2 ( 1 K ) 4 1 K ln(1 / K )
三、环形导管的轴向压力流动和转动拖曳流动的组合
体积流率
pR04 Q 8L
(1 K 2 ) 2 4 1 K ln( 1 / K )
幂律流体
Q
体积流率
nR0 p ( R Ri )( 2n1) / n F (n, k ) 2n 1 2KL
1 n
式中，F(n，K)是 流率修正系数
Ri
1 1 K R0 Ri K ln K
体积流率
剪切速率
第二节
压 力 流 动
一、平行板之间的压力流动
对于牛顿流体
2 vx p X分量 0 x y 2
动量方程为 y分量 0 y z分量 0
p z
p
2 vx p 0 x y 2
牛顿流体
剪切速率
pR4 Q 8L
pR2 vz 4L
体积流率
r 2 1 R
速度分布
四、环形导管中的轴向压力流动
牛顿流体
2 pR r 1 K 2 r 1 vz ln 4L R0 ln( 1 / K ) R0 速度分布 2 0
2vz 2vz 2 0 2 x y
边界条件
1 y 0和x W时， v z 0; 2
y H时vz V
体积流率
Q
H
0

W /2
W / 2
1 v z ( x, y )dxdy VHWFD 2
式中, FD 是拖曳流动的形状因子
幂律流体矩形槽拖曳流动的形状因子
速度 y 1 dp 以V除之 vx V y( H y) H 2 dx
速度分布
vx y y y H 2 dp 1 V H H H 2V dx
无因次压力梯度，决定着速 度分布的形状，用p表示 （1） P=0时,dp/dx=0,此时,无压力流动, 只有拖曳流动 （2）P>0时, 沿正的方向压力是降低的, 速度分布为正; （3）P<0时,平行板间的速度有正(远离 固定板处),也有负(接近固定板处),即平 行板间在固定板附近有逆流
（4）质量力可忽略
（5）流体对板壁无滑动
第二，简化动量方程
动量方程(等温、层流) yx 0 y 第三，考虑本构方程
如用广义牛顿流体本构方程
yx
v x ( ) y
第四，求解。
yx y
积分
0
将 yx (
v x ) 代入 y
vx 常数 y
边界条件
流动过程分为两类
来自百度文库
压力流动
是指施加流体上的外压力产生了速度 场，但体系的边界是固定不动的刚体， 这种流动又称为Poiseuille流动
第一节
拖 曳 流 动
一、平行板拖曳流动
第一、作出简化假设 （1）流体为不可压缩的无弹性流体（无 法向应力），定常流动时剪切应力 只是剪切速率的函数 （2）一维等温层流 （3）板间流体与大气相通，静压力p为常数
WH 3p Q FP 12L
速度分布
体积流率
幂律流体
WH Hp Q SP 2(2n 1) 2KL
2
1 n
体积流率
三、长圆管中的压力流动
将柱坐标动量方程简化
p r分量： 0 r 1 p 分量 : 0 r p 1 d z分量 : (r rz ) 0 z r dr
r R, v z 0 r 0,
积分
. n p 1 rK rz z r r
边界条件
vz . rz 0 r
C1=0
rz
.
vz p r r z 2 K
1 n
rz
.
vz p r r z 2 K
n
解出其中 的微商为
d v 1 a 2 dr r r Kr v br 2 / n 或 c r 2/n
边界条件
1 n
br2 / n 1
r Ri时v Ri r R0时v 0
2/ n
v r 1 R0 / r Ri Ri 1 k 2 / n
边界条件
r Ri时vz V r R0时vz 0
速度分布
q vz 1 r q 1 V k 1 R0
1 其中 q 1 n
Q 1 1 K q2 1 K 2R0 R0 Ri V q 2 (1 K )(K q 1) 2 K q 1
3、异形截面导管
幂律流体 体积流率
牛顿流体 体积流率
2nA( 2 n1) / n p 1/ n Q ( ) 1/ n ( n 1) / n (3n 1) K L
A3 p Q ( ) 2 2 L
W H 3p 或Q fp 12L
第三节
拖 曳、压 力 组 合 流 动
( n 1) / n nH Hp 2y vx 1 2(n 1) 2 KL H 1/ n
速度分布
Q nH 2 Hp W 2(1 2n) 2KL
1/ n
体积流率
二、矩形导管中的压力流动
牛顿流体
2vz 2vz p 2 2 x y L
将非牛流体的幂律定律
rz K rz
. n
v K z r
n
代入
p 0 r 1 p 分量 : 0 r p 1 d z分量 : (r rz ) 0 z r dr r分量：
r rz
. n
p r 2 C1 z 2 K
积 分
nR 3 Rp 1/ n 体积流率 Q 3n 1 2 KL
n R n1p vz 2 R 3n 1 2 KL

Q
1 n
平均速度
2(3n 1) v 3n 1 4Q R n D 4n R 3
第三章 简单截面导管内的流动
简单截面导管，是指以下四种等截面的导管 （1）圆形和狭缝形（即长方形，但其宽度 W 与高H的比值必须 等于或大于10，包括平行板间形成的狭缝）截面的导管 （2）环（隙）形截面导管
（3）导管截面是圆形与狭缝形的复合形状
（4）矩形、椭圆形和等边三角形截面的导管
拖曳流动
是指对流体不施加压力梯度，而是靠 边界运动产生流动场，黏性作用使运 动着的边界拉着流体跟它一起运动。 这种流动又称为Couette流动
积 分
1 n
p 1 n vz r z 2 K n 1
边界条件
vz r时vz 0
1 n 1 n
1 n
1 n
1 n n
C2
1 n nR Rp p r n vz (r ) 1 n 1 2 KL L R
沿x方向单位宽度上的轴向体积流率
1 Q 2VH 2 z d 0 W
一、平行板间的组合流动
2 vx p 2 x y
积分
1 dp y 2 vx ( ) c1 y c2 dx 2
y 0时vx 0
速度分布
y H时vx V
边界条件
vx y y y H2 1 V H H H 2V
dp dx
式中 K Ri / R0
四、环形管中的轴向拖曳流动
流体在两个同心圆筒之间的环形空间 中被内圆筒以速度v拖曳而沿z向运动
假设： 内圆筒沿轴向运动而产生等温、层流动 柱坐标系动量方程z方向简化为
( r rz ) 0 r
积分
rz a / r
（式中，a为常数）
dv 2 n ) 对于幂律流体，有 rz K ( dr
( p L p0 ) H 3 (WL W0 ) Q 12 L ln(WL / W0 )
1 n 1 n W W ( 2 n 1 ) H 1 1/ n 2 1/ n 1/ n L 0 Q ( p0 p L ) H / ( ) ( ) ( ) 1/ n n 2 KL 1 n WL W0