统计与概率难点分析及教学建议

统计与概率难点分析及教学建议概率难点分析及教学建议河北师范大学数学与信息科学学院程海奎统计与概率研究随机现象的规律性。

对新课标教材中的统计与概率内容，就知识层面和方法看，似乎不难。

但蕴涵的概率观点和统计思想却不容易了解。

那么，概率的意义究竟是什么？概率难在何处？统计推断有什么特点？如何评价统计推断的结果？统计与概率的关系是什么？下面就这些问题作一简单分析。

一、概率的难点分析1．概率的抽象性。

概率是随机事件发生的可能性的度量。

像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。

而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知，太抽象了。

2. 统计规律的隐含性。

随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验时，事件频率的稳定性。

这种规律称之为统计规律性。

频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以度量的。

同时它也给出了度量的一种方法。

现实中，只有个别特殊情形，在合理的假设下不需通过重复实验而直接计算概率，而大量事件的概率需要用频率去估计。

由于统计规律是通过大量重复实验揭示的，因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义，利用概率思想进行风险决策。

对概率与频率的关系的认识可以分三个层次进行教学。

直观认识。

概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在n次实验中，事件发生的频繁程度。

一般地，如果一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。

反之也对。

具体实验。

通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。

但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。

精确刻画。

有些资料这样叙述：“实验次数越多，用频率估计概率越准确”，这样的叙述严密吗？以掷硬币为例，已知“正面向上”的概率为0.5，掷两次硬币，可能频率为是0.5，用频率估计概率的误差为0；而掷100次硬币，也可能频率为0.2，误差为0.3。

显然上面的叙述不严密，太绝对了。

究竟如何精确地刻画频率的稳定性呢？提供如下案例供参考（不需要学生了解计算方法）。

案例1 分别掷100次、200次、1000次硬币，用“正面向上”的频率估计概率，在给定误差范围内，计算估计的可靠性。

用f n表示掷n次硬币“正面向上”的频率，f n的取值具有不确定性，用EXCEL计算结果如下表：比较严格的叙述为：“当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大”。

3. 概率定义的复杂性。

概率事件发生的可能性大小的度量。

这是概率的描述性定义，它虽然揭示了概率的本质，但对概率具有那些性质，如何计算或估计事件的概率都没有帮助。

概率是频率的稳定值。

这是概率的统计定义。

它给出了估计事件概率的一种方法，而且明确了概率作为一种度量，应该具有非负性、规范性和可加性。

但频率还有随机性的特征，特别当实验次数不大时，很难知道这个稳定值是什么。

为了能较好地理解概率的意义，我们应该采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式。

先认识频率及其性质，频率和概率的关系；然后讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；从中归纳概率的本质特征，最后给出概率的公理化定义（高中阶段不作要求）。

案例2美国的一个电视游戏节目有三扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有一只羊。

给你一次猜的机会。

猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车。

当然大家都希望能开走汽车。

现在假如你猜1号门后面是车，然后主持人把无车的一扇门（比如2号门）打开。

现在再给你一次机会，请问你是否要换3号门？这是一个概率决策问题，结论只有换与不换两个。

在当时引起了人们极大的兴趣，众说纷纭，各种各样的观点都有。

足以看出概率问题是有一定难度的。

观点一一位数学博士说：美国公民的数学水平也太差了，这三扇门后面有车的可能性是一样的，都是1/3，所以不必换。

观点二假定主持人打开的是2号门，既然2号门后面没有车，那么车要么在1号门后面，要么在3号门后面，概率各是1/2，所以不必换。

观点三车在1号门后面的概率是1/3，于是在2号门或3号门后面的概率就是2/3 ，现在既然2号门后面没有车，所以车在3号门后面的概率为2/3，因此应该换。

哈佛大学概率教授（Diaconis）应电视台邀请，进行了表演。

以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊。

按照规则要求，演示了8次，结果是有6次显示应当换。

Diaconis 教授说：概率的判断是依靠大量试验才获得的。

如果这个游戏允许多次重复，那一定是“换”为好。

如果只给你一次机会，那是很难说的。

分析由于随机性，如果1号门后面确实是车，你猜对了，此时要换反而得不到车。

如果1号门后面没有车，此时换就得到车。

那么换与不换应该依据什么为准则？在此问题中，以得到车的概率最大为准则。

三种观点在应用概率思想方面都是正确的，造成不同结果的原因在于对概率大小的判断上。

首先注意的一点是，主持人是知道汽车在哪扇门后的。

换的结果是将汽车换成羊，或将羊换成汽车。

选择1号门，得到汽车的概率为1/3，得到羊的概率为2/3。

如果换3号门，得到羊的概率为1/3，得到汽车的概率为2/3。

从概率决策的角度应该换，观点三是正确的。

如果主持人也不知道那扇门后面是车，而是任意选择一扇门，此时换与不换等价于抽签时是先抽还是后抽。

我们知道抽签不分次序先后，得到车的概率都是1/3。

但现在的问题是：主持人打开的一定是无车的门，所以观点一是错误的。

当主持人打开无车的2号门时，如果让你在1号门和3号门之间重新任选一扇门，得到车和羊的概率都是1/2。

现在不是让你重新任选一扇门，而是问你是否要换。

重新选择和交换结果是不同的，所以观点二也是错误的。

Diaconis 教授的观点是正确的。

既然在概率大小的判断上有分歧，通过重复模拟实验，借助频率的大小来判断最有说服力。

但遗憾的是重复实验次数太少，频率的值很不稳定，说服力不强，当时并没有消除争议。

二、统计的难点分析真实的数据能提供科学信息，数据能帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信。

因此，“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而“用样本推断总体”又是统计最核心的思想方法。

统计学已有2000多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学可以描述统计和推断统计。

描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。

推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。

那么统计内容学习的难点在那里呢？1．传统的数学思维模式对统计思维方法的影响统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。

它所采用的是归纳推理，属于合情推理范畴。

带有很强的实验性。

确定性数学主要运用演绎推理的方式，即从已有的事实（包括定义、公理、定理）出发，按照规定的法则证明结论，或揭示数学规律。

研究确定性数学，是不能用个别举例或验证代替一般的证明的。

比如可以通过测量或拼接的方法，归纳得出“三角形内角和等于180°”，但是，哪怕你度量了100次，只能说发现了这一结论，未经证明之前仍不能作为定理。

统计学习，这种思维方式的转变需要一个过程。

2.统计方法的评价与统计结果的解释确定性数学在确定的条件下，结论是完全确定的。

对其结果可以用“对”和“错”来评判。

用样本推断总体，由于样本数据和总体的不一致性，会产生代表性误差，由于样本的随机性，会产生随机误差，从而造成估计的结论也具有不确定性。

因此，评价一种估计方法的好坏，不能仅依一次估计的误差大小来衡量，而应考虑所有可能样本的情况下，整体误差的大小。

对统计结论也不能用“对”和“错”来解释，而应指出在多大的置信度下，误差有多大。

对某种统计方法，既让学生认识到方法的合理性，又体会到结果的不确定性，这是渗透统计思想不可缺少的。

问题是，在学生没有或具有很少的概率知识背景下，在教学中应该如何处理？这肯定是一个难点。

3．统计原理的理解与运用统计推断的依据是一些统计原理。

例如，统计估计依据的极大似然原理，假设检验时依据小概率原理，回归分析依据最小二乘原理等。

它们都是人们在长期的社会实践中归纳出来的一般原理。

它们不同于数学公理或定理，公理是大家公认的事实，是绝对正确的；定理是经过严密的逻辑证明是正确的事实。

而统计原理本身并不是绝对正确的，利用这些原理进行推断肯定会犯错误。

如何理解这些原理，并将其运用到统计推理中，这是又一个难点。

案例3 目前流行的甲型H1N1流感传染性很强，假设在人群中的感染率为20%。

现有Ⅰ，Ⅱ两种疫苗，疫苗Ⅰ对8个健康的人进行注射，最后结果为无一人感染。

疫苗Ⅱ对25个健康的人进行注射，最后结果为有一人感染。

你认为这两种疫苗哪个更有效？直观分析：如果不考虑概率，注射疫苗Ⅰ后感染率为0，注射疫苗Ⅱ后感染率为4%，似乎疫苗Ⅰ更有效些。

而实际上感染率只有20%，并非100%。

假设疫苗Ⅰ完全无效，“8人注射无一人感染”仍有较大的可能性。

假设疫苗Ⅱ无效的条件下，“25人注射有1人感染”的可能性要小的多。

依据小概率原理，判断疫苗Ⅱ比疫苗Ⅰ可能更有效些。

推理过程：设事件A=“8人注射无一人感染”，B=“25人注射有1人感染”，假设疫苗Ⅰ无效，，A发生的可能性较大，没有充足的证据说明苗Ⅰ有效。

假设疫苗Ⅱ无效，，B是一个小概率事件，依据小概率原理，认为B在一次实验中是不会发生的，但现在竟然发生了，和统计原理相违背，从而否定假设，认为疫苗Ⅱ有效。

这种推理称为假设检验。

所运用的推理方式类似于数学反证法。

应用数学反证法，当推出和已知事实矛盾的结果时，否定假设。

假设检验是一旦小概率事件发生，就否定假设。

但小概率原理不是绝对正确的事实，所以推理有可能犯错误。

我们追求的是使犯错误的概率尽可能小。

三、对统计与概率教学的几点建议1．突出核心思想，把握重点和难点。

对概率意义和统计思想的理解，是教学的重点，也是难点。

不要把概率教学变成复杂的概率计算；把统计教学变成单纯的数据处理和计算技巧；不要纠缠一些无关紧要的细节而干扰主题。

现在的情况是，许多学生（包括数学专业的大学生），可以计算很复杂的概率，但面对需要用概率和统计思想解决实际问题时，显的束手无策。

这说明在教学中，过多的关注了知识技能的学习，忽视思想方法的理解。