统计与概率难点分析及教学建议

统计与概率难点分析及教学建议

概率难点分析及教学建议

河北师范大学数学与信息科学学院程海奎

统计与概率研究随机现象的规律性。对新课标教材中的统计与概率内容，就知识层面和方法看，似乎不难。但蕴涵的概率观点和统计思想却不容易了解。那么，概率的意义究竟是什么？概率难在何处？统计推断有什么特点？如何评价统计推断的结果？统计与概率的关系是什么？下面就这些问题作一简单分析。

一、概率的难点分析

1．概率的抽象性。概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知，太抽象了。

2. 统计规律的隐含性。随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验时，事件频率的稳定性。这种规律称

之为统计规律性。

频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以度量的。同时它也给出了度量的一种方法。

现实中，只有个别特殊情形，在合理的假设下不需通过重复实验而直接计算概率，而大量事件的概率需要用频率去估计。由于统计规律是通过大量重复实验揭示的，因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义，利用概率思想进行风险决策。

对概率与频率的关系的认识可以分三个层次进行教学。

直观认识。概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在n次实验中，事件发生的频繁程度。一般地，如果一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。反之也对。

具体实验。通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。

精确刻画。有些资料这样叙述：“实验次数越多，用频率估计概率越准确”，这样的叙述严密吗？以掷硬币为例，已知“正面向上”的概率为0.5，掷两次硬币，可能频率为是0.5，用频率估计概率的误差为0；而掷100次硬币，也可能频率为0.2，误差为0.3。显然上面的叙述不严密，太绝对了。究竟如何精确地刻画频率的稳定性呢？提供如下案例供参考（不需要学生了解计算方法）。

案例1 分别掷100次、200次、1000次硬币，用“正面向上”的频率估计概率，在给定误差范围内，计算估计的可靠性。

用f n表示掷n次硬币“正面向上”的频率，f n

的取值具有不确定性，用EXCEL计算结果如下表：

比较严格的叙述为：“当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大”。

3. 概率定义的复杂性。概率事件发生的可能性大小的度量。这是概率的描述性定义，它虽然揭示了概率的本质，但对概率具有那些性质，如何计算或估计事件的概率都没有帮助。概率是频率的稳定值。这是概率的统计定义。它给出了估计事件概率的一种方法，而且明确了概率作为一种度量，应该具有非负性、规范性和可加性。但频率还有随机性的特征，特别当实验次数不大时，很难知道这个稳定值是什么。

为了能较好地理解概率的意义，我们应该采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式。先认识频率及其性质，频率和概率的关系；然后讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；从中归纳概率的本质特征，最后给出概率的公理化定义（高中阶段不作要求）。

案例2美国的一个电视游戏节目

有三扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有一只羊。给你一次猜的机会。猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你猜1号门后面是车，然后主持人把无车的一扇门（比如2号门）打开。现在再给你一次机会，请问你是否要换3号门？

这是一个概率决策问题，结论只有换与不换两个。在当时引起了人们极大的兴趣，众说纷纭，各种各样的观点都有。足以看出概率问题是有一定难度的。

观点一一位数学博士说：美国公民的数学水平也太差了，这三扇门后面有车的可能性是一样的，都是1/3，所以不必换。

观点二假定主持人打开的是2号门，既然2号门后面没有车，那么车要么在1号门后面，要么在3号门后面，概率各是1/2，所以不必换。

观点三车在1号门后面的概率是1/3，于是在2号门或3号门后面的概率就是2/3 ，现在既然2

号门后面没有车，所以车在3号门后面的概率为2/3，因此应该换。

哈佛大学概率教授（Diaconis）应电视台邀请，进行了表演。以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊。按照规则要求，演示了8次，结果是有6次显示应当换。

Diaconis 教授说：概率的判断是依靠大量试验才获得的。如果这个游戏允许多次重复，那一定是“换”为好。如果只给你一次机会，那是很难说的。

分析由于随机性，如果1号门后面确实是车，

你猜对了，此时要换反而得不到车。如果1号门后面没有车，此时换就得到车。那么换与不换应该依据什么为准则？在此问题中，以得到车的概率最大为准则。三种观点在应用概率思想方面都是正确的，造成不同结果的原因在于对概率大小的判断上。

首先注意的一点是，主持人是知道汽车在哪扇门后的。换的结果是将汽车换成羊，或将羊换成汽车。选择1号门，得到汽车的概率为1/3，得到羊的概率为2/3。如果换3号门，得到羊的概率为1/3，得到汽车的概率为2/3。从概率决策的角度应该换，观点三是正确的。

如果主持人也不知道那扇门后面是车，而是任意选择一扇门，此时换与不换等价于抽签时是先抽还是后抽。我们知道抽签不分次序先后，得到车的概率都是1/3。但现在的问题是：主持人打开的一定是无车的门，所以观点一是错误的。

当主持人打开无车的2号门时，如果让你在1

号门和3号门之间重新任选一扇门，得到车和羊的概率都是1/2。现在不是让你重新任选一扇门，