空间直角坐标系的几种方法

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空间直角坐标系

长度：使用直角坐标系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方向移动保持原点位置不变
旋转和平移的复合：先旋转后平移或先平移后旋转
旋转和平移的逆操作：旋转和平移的逆操作可以恢复原坐标系
空间直角坐标系的表示方法
空间直角坐标系：由三个互相垂直的坐标轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示：用三个数字表示分别对应x、 y、z轴上的坐
感谢您的观看
汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是三维的平面直角坐标系是二维的
空间直角坐标系中的点可以用三个坐标表示平面直角坐标系中的点可以用两个坐标表示
空间直角坐标系中的点可以通过投影变换转换为平面直角坐标系中的点
平面直角坐标系中的点可以通过升维变换转换为空间直角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向的坐标。

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧建立空间直角坐标系在解决立体几何问题中起着重要作用。

向量法是建系的一种常用方法，它引入了空间向量坐标运算，使解题过程更加简便。

建立适当的坐标系是向量解题的关键步骤之一，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一种建系的方法是利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系。

例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.要证明点C1在平面AEF内，并求二面角A-EF-A1的正弦值。

另一种建系的方法是利用线面垂直关系构建直角坐标系。

例如，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H。

将△XXX沿EF折到△D'EF的位置，OD'=.要证明D'H⊥平面ABCD，并求二面角B-D'A-C的正弦值。

还有一种建系的方法是利用面面垂直关系构建直角坐标系。

例如，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，AB=BC=1AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点。

要证明直线CE//平面PAB，求二面角M-AB-D的余弦值。

有些图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系，例如正三棱柱、正四棱柱等，利用自身对称性可建立空间直角坐标系。

例如，在圆锥D-O-ABC中，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=6DO。

要证明PA⊥平面PBC，并求二面角B-PC-E的余弦值。

另外，利用正棱锥的中心与高所在直线也可构建直角坐标系。

建立空间直角坐标系的方法及技巧有多种，根据不同的图形特点选择合适的方法，能够更加高效地解决立体几何问题。

1.中，给定正四棱锥P-ABCD，其所有棱长均为6.底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD、BC平行于x轴，棱AB、CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上。

空间坐标系

'
同理，点 A 的坐标是（3，0，2）．
'
典型例题
| 例1 如下图，在长方体OABC D ' A' B 'C '中， OA | 3 | OC | 4 写出四点D’，C，A’，B’的坐标． | OD ' | 2
，
z
D
A
'
'
B'
O B
C'
C y
x
A
解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同．在xOy平面上，点B 横坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．所以点B’的坐标是（3，4，2）．
B
y轴上的点横坐标竖坐标为 0 .
z轴上的点横坐标纵坐标为 0 .
二、坐标平面内的点
xOy平面是坐标形如 (x,y,0) 的点构成的
yOz平面是坐标形如 (0,y,z) 的点构成的
xOz平面是坐标形如 (x,0,z) 的点构成的
练一练
空间直角坐标系
OABC—D’A’B’C’是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC, OD’的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y， z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x 叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． z
R
M
P

建立空间直角坐标系的方法及技巧

建立空间直角坐标系的方法及技巧1.确定坐标轴方向：首先需要确定空间直角坐标系的坐标轴方向，通常选择三个相互垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。

可以选择其中一个轴为参考轴，然后使用右手定则来确定其他两个轴的方向。

在右手定则中，将右手的拇指、食指和中指分别与x、y和z轴对齐，那么食指和中指所形成的平面就是坐标系的平面，拇指的方向就是z轴的方向。

2.确定原点位置：确定好坐标轴方向后，需要确定坐标系的原点位置。

原点通常可以选择在三维空间中的一些特殊点上，例如物体的质心、交点或者其他方便计算的点。

原点的选择应根据具体问题和需求进行确定。

3.确定单位长度：建立坐标系后，需要确定单位长度，也就是每个坐标轴上的单位距离。

单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定，可以根据物体的大小和所需精度进行估计。

常用的单位长度包括米、厘米、毫米等。

4.标示坐标轴刻度：在建立坐标系后，需要在每个坐标轴上标示刻度，以便表示点的位置。

可以根据需求和所测量的物体大小来确定每个刻度的长度和数量。

通常可以使用尺子、直尺等工具来测量和标示刻度。

在标示刻度时，可以选择以原点为起点，沿着每个坐标轴正方向逐个标示刻度，或者以坐标轴的负方向为起点标示刻度。

5.标示点的坐标：建立好坐标轴和刻度后，就可以根据需要来标示空间中的点的坐标。

对于一个三维空间中的点，可以通过它到坐标轴的距离来确定它的坐标值。

通常可以使用直角坐标系中的(x,y,z)来表示一个点的坐标，其中x、y和z分别是点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。

1.灵活选择参考轴：参考轴的选择应根据具体问题和需求进行确定。

在确定参考轴时，可以考虑使问题的描述尽量简洁和直观，同时方便计算和分析。

2.注意坐标轴的方向：在确定坐标轴的方向时，使用右手定则可以帮助确定其他两个轴的方向。

要确保坐标轴的方向满足右手定则中拇指、食指和中指的排列次序。

3.注意单位长度的选择：单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定。

建立空间直角坐标系的几种方法

建立空间直角坐标系的几种方法1.给定坐标轴方向及原点位置：最直接的方法是给定三个坐标轴的方向及原点位置。

通常，我们选择三个相互垂直的轴，并确定它们的正方向。

例如，我们可以选择X轴向右，Y轴向上，Z轴垂直于XOY平面向外，然后选择原点为坐标轴的交点。

通过这种方法，我们就可以建立一个三维直角坐标系。

2.使用原点和两个已知点：在给定两个已知点和原点的情况下，我们可以建立一个空间直角坐标系。

首先，我们将其中一个已知点作为坐标轴上的一个点，然后确定一个与此轴垂直的第二个轴。

接下来，我们确定第三个轴的方向，使其与前两个轴正交，并选择原点位置。

通过这种方法，我们可以构建一个三维直角坐标系。

3.使用平面和轴的交点：另一种建立空间直角坐标系的方法是确定两个平面及其在坐标轴上的交点。

首先，我们选择平面XY作为参考平面，并将其与X轴和Y轴在原点处的交点作为坐标轴上的两个点。

然后，选择两个非共线的轴分别与平面XZ和平面YZ正交，并确定它们的正方向。

通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。

4.使用向量运算：通过向量运算的方法可以建立空间直角坐标系。

首先，选择一个已知向量为其中一个坐标轴的向量。

然后，选择另一个与已知向量相互垂直的向量，并进行正规化。

接下来，使用向量叉积运算确定第三个轴的方向，并对其进行正规化。

最后，选择原点位置。

通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。

这些方法都是建立空间直角坐标系的常见方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行建立。

空间直角坐标系

空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。

它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。

本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。

一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。

x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。

在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。

其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。

二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。

通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。

2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。

这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。

3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。

通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。

三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。

例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。

2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。

例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。

3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。

根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。

例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。

四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB//CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值.解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角1 , 2)、B(2, 4, 0), •- BC =(-2,3,2) , CD=(0, -1,0).坐标系，则C （0,设BC i与CD所成的角为vCD 3 '1717二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点,EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值.3解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系.由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—,3•••在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0,C1 第3 /—,—,0 .I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄<a<3,I2丿22由EAL EB，得EAEB =0,CDBA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角.訳=BA = （0,0八 2） , EA 二三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCDAB 丄 VA又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则J-1显1 I 22丿即「2，一皿］ X ,2—aJ< 2 丿+a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 |4 I 2丿3 4 即-2或a =| (舍去).故E 佇，,0 . ■ 3i3 去（3,0,_Q,时,2, -纠辽 2丿 I 2 2丿，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V =灵晁^，即ta —子EA'B 1A 1(1)证明 AE 丄平面VAD(2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值.解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0）， VA =（ 1，0， — V 3 ）.由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得AB 丄平面VAD故所求二面角的余弦值为 —217四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系已知正四棱锥 V-ABCD 中, E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a ,高为h .即 cos Z DEB =「6a 2 h ：； 10a 1 2 +h 2(2)因为E 是VC 的中点，又BE! VCc 2 , 23 2 a h a 0 ,• h -、2a . 2 2 21 1，即 cos Z DEB 二-一• EB[DV 」i,o,J 3)=o ,••• E 吐 DV又 EAL DV 因此/ AEB 是所求二面角的平面角.(1) 求/ DEB 的余弦值;(2) 若BE! VC 求/ DEB 的余弦值.解析: (1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x / BC O y // AB,则由 AB^ 2a , OV= h ,有 B (a ,a , 0)、C (- a , a ,0)、D( - a , -a,0)、V (0, 0, h)、*222'丿•晁…3a ,I 2a h 2 2) 丨h a,_ •- cos ：. BE ,DEBE DE 2 2 ? 10a h =o ,即 _3a,-a h I 22,2 心，a ，-h )“ , 这时 cos ；： BE ,DE -6a 2 h 2 10a 2 h 2E 八EB .'21 …cosEB _ 7图4所以五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) 自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥 P — ABCDfQ-ABCD 勺高都为 2, AB= 4.(1) 证明：PQL 平面ABCD(2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;(3) 求点P 到平面QAD 勺距离.(2)由题设知，ABCDI 正方形，且ACL BD 由( 1),PQL 平面ABCD 故可分别以直线 CA, DB , QP 点评：禾U 用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出•第(3)问也可用“等体积法”求距离. 3 3 ，利用为x , y , z 轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得 A5 =(—2J2Q ，- 2),PB =(0,2、2- 2), cos ：： AQ ,PB =AQ PB1 arccos —. 3(3)由(2)知，点 D(0,— 2矩0) AD =(—2逅,—2J2,0)PQ所求异面直线所成的角是 = (0,0, 4).设n = (x , y , z )是平面QAD 的一个法向量，则 0[nLAD = 0,得、，2x • z = 0,取 1,得 x y =0, n = (1, -1, - .2) •点P 到平面QAD 勺距离d -PQL nn| =2】2 .。

空间直角坐标系的建立的常见方法

一、空间一、空间直角直角坐标系的建立的常见方法坐标系的建立的常见方法运用“坐标法”解答空间运用“坐标法”解答空间几何体几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键．一、利用共一、利用共顶点顶点的互相垂直的三条棱建系的互相垂直的三条棱建系例1、在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，′中，点M 是棱AA ′的′的中点中点，点O 是对角线BD ′的中点′的中点. .（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA ′和BD ′的公′的公垂线垂线；（Ⅱ）求二面角M －BC ′－B ′的大小；例2、如图，在直、如图，在直三棱柱三棱柱111ABC A B C -中，中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC=600. (Ⅰ)证明：1AB A C ^；（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的大小。

二、利用线面垂直关系建系二、利用线面垂直关系建系例3、已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ， PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN, M,S 分别为PB,BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小. ·D ¢A BCDM OA ¢B ¢C ¢·C B A C 1B 1A 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC1ACBPz xy例4、如图，、如图，正方形正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的所在的平面互相平面互相垂直垂直，C E ⊥AC,EF AC,EF∥∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ；（Ⅲ）求（Ⅲ）求二面角二面角A-BE-D 的大小。

的大小。

例5、如图，在三、如图，在三棱锥棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB Ð=，AP BP AB ==，PC AC ^．（Ⅰ）求证：PC AB ^；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；的大小；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．的距离．例6、如图2，在，在三棱柱三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，的一点， EA ⊥EB 1＝3p．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的的平面角的正切正切值．值．BC=22，SA SA＝＝SBDBCASOyxz三、利用面面三、利用面面垂直垂直关系建系关系建系例7、如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，是正方形，侧面VAD 是正三角形，是正三角形，平面平面VAD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的所成的二面角的余弦余弦值．值．例8、在直、在直三棱柱三棱柱111ABC A B C -中，中， AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公的公垂线垂线；（2）设12AA AC AB ==，求二面角11A AD C --的大小．的大小．例9、四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC SBC⊥底面⊥底面ABCD ABCD。

空间直角坐标系建立方法

空间直角坐标系建立方法在几何学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统。

它可以用来描述三维空间中的点和向量。

在本文中，我们将介绍如何建立空间直角坐标系及其相关概念和方法。

1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，通常用x、y和z表示。

这些坐标轴可以分别与长、宽和高相关联。

坐标轴的原点称为原点，确定了整个坐标系的基准点。

通过在每个坐标轴上选择一个单位长度，我们可以测量任意点的位置。

2. 建立空间直角坐标系的步骤建立空间直角坐标系的方法可以分为以下步骤：步骤1：选择基准面基准面是用于确定坐标轴位置的平面。

在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个基准面作为起点。

通常情况下，我们选择一个平面作为基准面，例如一个水平的地面或桌子。

步骤2：确定坐标轴方向在确定了基准面之后，我们需要确定三个坐标轴的方向。

通常情况下，我们选择一个垂直于基准面的方向作为z轴的正方向。

剩下的两个坐标轴的方向可以根据实际情况选择。

步骤3：确定坐标轴长度单位在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个长度单位来测量点的位置。

常用的长度单位包括米、英尺等，根据具体应用场景选择适合的单位。

步骤4：确定原点位置确定了基准面、坐标轴方向和长度单位后，我们需要确定原点的位置。

原点通常位于基准面上，它是坐标系的起点。

步骤5：确定坐标轴的位置和范围确定了原点位置后，我们需要确定坐标轴的位置和范围。

坐标轴的位置可以通过在基准面上选择足够多的点来确定，这些点可以作为参考点。

坐标轴的范围通常由应用场景决定，可以根据实际需要进行调整。

3. 空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学和物理学中具有广泛的应用。

它可以用来描述三维空间中的点和向量，计算点之间的距离和方向，以及解决各种几何和物理问题。

在几何学中，空间直角坐标系可以用来描述多面体的形状和位置关系，计算多面体的体积和表面积，以及解决与多面体相关的几何问题。

在物理学中，空间直角坐标系可以用来描述物体的运动和力的作用，计算物体的速度和加速度，以及解决与物体运动和力相关的物理问题。

建立空间直角坐标系的几种方法

建立空间直角坐标系的几种方法方法一：直角坐标系基于物体的参考点和参考线。

首先，选择一个点作为原点，然后选择一个方向作为x轴的正方向，并将参考直线从原点开始延伸。

然后，选择与x轴垂直的方向作为y轴的正方向，并延伸直线。

最后，选择与xy平面垂直的方向作为z轴的正方向，并延伸直线。

这样，就完成了一个空间直角坐标系的建立。

方法二：直角坐标系基于坐标系的旋转和平移。

在二维平面中，我们可以通过将一个坐标系进行旋转和平移来建立另一个坐标系。

同样，在三维空间中，我们可以通过对一个已有的坐标系进行旋转和平移来建立一个新的坐标系。

通过旋转和平移的组合，我们可以得到一个新的坐标系，其中的坐标轴可以与原坐标系的坐标轴成直角。

方法三：直角坐标系基于物体的方向和参考面。

在航空航天等领域，直角坐标系通常是根据物体的方向和参考面来建立的。

例如，在航空航天器中，航天员在太空中的朝向通常是以地球为参考面建立的直角坐标系。

方法四：直角坐标系可以通过测量和计算得到。

在地理测量和地质勘探等领域，可以通过测量物体的位置和方向来确定一个直角坐标系。

测量可以通过使用全站仪或其他测量设备进行精确的三维测量来完成。

方法五：直角坐标系可以基于地图坐标系建立。

在地理信息系统（GIS）中，地图坐标系是一种基于平面坐标系的直角坐标系。

通过将地图上的点与已知的地理坐标进行对应，并利用平面坐标系的投影方法，可以建立地图坐标系。

以上是建立空间直角坐标系的几种常见方法。

这些方法在各种领域中得到广泛应用，可以帮助我们更好地理解和描述物体在空间中的位置和方向。

建立空间直角坐标系的方法及技巧(修改)

建立空间直角坐标系的方法及技巧
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∠CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∠侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ∠EB 1．已知2AB =
，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3
π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ∠底面ABCD ．
（1）证明AB ∠平面VAD ；
（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．
四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．
（1）求∠DEB的余弦值；
（2）若BE∠VC，求∠DEB的余弦值．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥P－ABCD与
Q－ABCD的高都为2，AB＝4．
（1）证明：PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离．。

常见建立空间直角坐标系的方法

常见建立空间直角坐标系的方法在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点的位置。

然而，当我们需要描述三维空间中的点的位置时，就需要使用空间直角坐标系。

空间直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常分别记作x、y和z轴。

建立空间直角坐标系的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法：1. 建立三个相互垂直的平面：这是最常见的方法之一、我们可以选择一个水平的平面作为xy平面，再选择一个与之垂直的平面作为xz平面，最后选择与之都垂直的平面作为yz平面。

通过这三个平面的交线，我们就可以建立一个空间直角坐标系。

2.直角投影：这是另一种常见的方法。

它通过将三个相互垂直的轴投影到一个平面上来建立坐标系。

首先，选择一个水平平面作为基准面，通常选择地面或水平桌面。

然后，沿着垂直于基准面的方向，线性地延长三个轴线段，直到它们相交于一个点P。

此时，基准平面上的四个交点将构成一个四边形，可以将其看作一个平行于基准平面的投影区域。

通过将这个投影区域等分成正方形或长方形，我们可以建立一个坐标系。

3.三面角投影法：这种方法的基本思想是选择三个不共面的平面，用它们的交线来建立坐标系。

三个平面可以是任意的，只要它们不共面即可。

通过选择适当的角度和距离，我们可以确保三个平面的交线相互垂直，并与坐标轴一一对应。

4.旋转和平移：这是一种几何变换法，通过对平面或轴进行旋转和平移来建立坐标系。

首先，我们可以选择一个水平平面作为基准平面。

然后，通过旋转和平移一个或多个轴，使其与基准平面垂直。

通过这种方式，我们可以建立一个与基准平面相垂直的坐标系。

通过以上方法可以建立一个空间直角坐标系，然后就可以用来描述三维空间中的点的位置。

在这个坐标系中，每个点都可以由一个有序的三元组（x，y，z）来表示，其中x，y和z分别表示该点在x、y和z轴上的投影坐标。

总结起来，建立空间直角坐标系的方法包括建立相互垂直的平面、直角投影、三面角投影法以及旋转和平移等方法。

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧建立空间直角坐标系是解决空间向量问题的基础。

下面将介绍建立空间直角坐标系的方法及技巧。

一、确定坐标轴的方向和位置1.确定原点：选择一个固定点作为原点，通常选择一个与问题相关的点，如物体的质心或一个已知的点。

2.确定x轴的方向和位置：选择一个与原点不共线的点作为x轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。

然后确定一个与x轴垂直的直线作为x轴，并确定x轴的正方向。

3.确定y轴的方向和位置：选择一个与原点和x轴不共面的点作为y轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。

然后确定一个与x轴和y轴都垂直的直线作为y轴，并确定y轴的正方向。

4.确定z轴的方向和位置：选择一个与原点、x轴和y轴不共线的点作为z轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。

然后确定一个与x轴、y轴和z轴都垂直的直线作为z轴，并确定z轴的正方向。

二、确定坐标轴的刻度和单位1.确定刻度：确定每个坐标轴上的刻度间隔，刻度的选择应根据问题而定，可以根据已知数据、问题要求或实际情况选择。

2.确定单位：确定每个坐标轴上的单位，单位的选择应根据问题而定，可以选择国际单位制（如米、千克）或其他适当的单位。

三、确定坐标系的右手定则建立空间直角坐标系时，要符合右手定则，即将右手放在坐标轴上，大拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，则中指指向的方向即为z轴的正方向。

四、根据空间向量的位置确定其坐标根据已知空间向量的位置，确定其在空间直角坐标系中的坐标。

首先确定向量所在直线与坐标轴的交点，然后根据交点的坐标确定向量的坐标。

五、利用正交性简化向量运算空间直角坐标系有一个重要的特点，即坐标轴两两正交。

利用这一性质，可以简化向量的运算。

例如，两个向量的数量积可以分别计算各个坐标上的乘积，然后相加，而不必进行向量的点积运算。

总结：建立空间直角坐标系的方法及技巧主要包括确定坐标轴的方向和位置、确定坐标轴的刻度和单位、确定坐标系的右手定则、根据空间向量的位置确定其坐标和利用正交性简化向量运算。

如何建立恰当的空间直角坐标系

二、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），
利用自身对称性可建立空间直角坐标系，再写出空间点的坐标。
例 3、已知两个正四棱锥 P－ABCD 与 Q－ ABCD 的高都为 2，AB ＝ 4, 两个正四棱锥底
面重合，试建立适当的直角坐标系，并写出各点坐标．
为零 , 则 C（ 0， 1，0）， M 点在面 xOy 的射影是 A1，因此 M 同 A1 的横坐标和竖坐标相同，
又 M为 A1B1 的中点，故其纵坐标值为
1 ，故 M （ 1， 1 ， 1），同理可得 N （ 1， 1， 1 ） .
2
2
2
z
D1
C1
A1
M
B1
D O A
x
N Cy
B
点评：对于正方体和长方体，可以直接建立右手直角坐标系，再根据棱长写出各点坐标。
由已知，容易得 A （0， 0， 0）， B（0，a， 0）， A 1（0， 0， 2 a），下面重点谈谈如何
计算点 C 的坐标，在平面 ABC 中，过点 C 作直线 AB 的垂线 CD 交 AB 于点 D，过点 C 作
xA 的垂线于点 E,则在等边三角形 ABC 中， AD
1 AB
1 a ，AE
AC cos
如何建立恰当的空间直角坐标系
引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，
只需
建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤
之一．下面通过举例分析建立空间直角坐标系的三个方法．
一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系

直角坐标表示方法有几种

直角坐标表示方法有几种在数学和几何学中，直角坐标是一种常见的表示方法，用于描述平面或空间中的点。

它使用水平轴（x轴）和垂直轴（y轴）之间的直角关系来确定点的位置。

然而，直角坐标可以以多种方式表示，取决于坐标轴的方向和原点的位置。

本文将介绍直角坐标表示方法的几种常见形式。

笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是最常见的直角坐标表示方法。

它以法国数学家笛卡尔的名字命名，坐标轴互相垂直，并交于原点。

x轴是水平的，正方向向右；y轴是垂直的，正方向向上。

在笛卡尔坐标系中，一个点的位置由一个有序实数对(x, y)表示，其中x是点到y轴的垂直距离，y是点到x轴的水平距离。

极坐标系极坐标系是另一种常见的直角坐标表示方法。

它使用点到原点的距离（称为径向距离）和点到正x轴的角度（称为极角）来表示点的位置。

在极坐标系中，径向距离通常用正实数r表示，极角通常用弧度表示。

用(r, θ)表示点的坐标，其中r是非负实数，θ是弧度值。

在极坐标系中，坐标原点是焦点，正x轴是极轴。

点的位置可以通过旋转一个固定角度来确定，这使得极坐标系在描述圆和旋转问题时非常有用。

柱面坐标系柱面坐标系是一种三维直角坐标表示方法。

它与极坐标系类似，使用径向距离、极角和z轴上的高度来表示点的位置。

在三维空间中，一个点的坐标可以用(r, θ, z)表示，其中r是点到z轴的垂直距离，θ是点到正x轴的极角，z是点的垂直高度。

柱面坐标系在描述圆柱体、圆锥体等几何体时特别有用，可以更直观地表示这些几何体的形状和位置。

球面坐标系球面坐标系是另一种常见的三维直角坐标表示方法。

它使用点到原点的距离（称为半径）、点到正z轴的极角和点到正x轴在xy平面上的投影的极角来表示点的位置。

在球面坐标系中，一个点的坐标由(r, θ, φ)表示，其中r是非负实数，θ是极角，φ是投影极角。

球面坐标系常用于描述球体、宇宙空间等天体物理学问题。

它能更准确地表示天体的位置、方向和运动。

总结直角坐标是一种常见的表示方法，通过水平轴和垂直轴的直角关系来表示点的位置。

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧在数学和物理领域中，空间直角坐标系是一个重要的工具，用于描述和分析三维空间中的位置和运动。

建立空间直角坐标系的方法和技巧可以总结如下：1.空间直角坐标系的三个轴：在空间直角坐标系中，三个轴通常被命名为x轴，y轴和z轴。

要建立一个坐标系，首先需要确定这三个轴的方向和位置。

通常情况下，我们可以选择x轴为水平方向，y轴为垂直于x轴的水平方向，z轴为垂直于x和y轴的竖直方向。

这样就建立了一个右手坐标系，其中x和y轴构成一个平面，z轴垂直于该平面。

2.坐标轴的标定：确定了轴的方向和位置后，就需要对坐标轴进行标定。

标定的目的是为了确定每个轴的起点和单位长度。

通常情况下，我们可以选择x轴起点为原点O，y轴起点为O点到x轴正向的一个单位长度，z轴起点为O点在x-y平面上的投影到z轴上的一个单位长度。

标定完成后，就可以根据需要选择适当的比例来表示不同长度的点和线段。

3.坐标的表示和读取：在空间直角坐标系中，任意一个点的位置都可以用一组坐标来表示。

坐标是一个有序的数对或数组，一般表示为(x,y,z)，其中x表示点在x轴上的投影距离原点的长度，y表示点在y轴上的投影距离原点的长度，z表示点在z轴上的投影距离原点的长度。

在读取坐标时，先读取x轴上的坐标，再读取y轴上的坐标，最后读取z轴上的坐标。

4.坐标系的旋转和平移：空间直角坐标系可以通过旋转和平移来与物体的实际位置和方向相适应。

旋转可以改变坐标系中的轴的方向和位置，平移可以改变坐标系中的原点位置。

要进行旋转和平移操作，可以通过矩阵变换的方法或向量运算的方法来实现。

5.坐标系的投影：在进行建立空间直角坐标系时，我们通常需要将三维空间中的物体投影到一个二维平面上进行观察和分析。

投影可以是正交投影或透视投影。

正交投影是指物体在投影过程中保持平行关系，透视投影是指物体在投影过程中呈现出透视效果。

根据具体需求，可以选择适当的投影方式。

6.坐标系的缩放和变换：在实际问题中，我们经常需要将物体的大小和形状进行缩放和变换。

直角坐标的表示方法

直角坐标的表示方法直角坐标是一种常用的表示空间中点位置的方法。

它是通过两条互相垂直的坐标轴来确定点的位置的。

一般情况下，我们使用 x 轴和 y 轴来表示平面上的点的位置，而在三维空间中，我们使用 x 轴、y 轴和 z 轴来表示点的位置。

下面将详细介绍直角坐标的表示方法。

平面上的直角坐标表示方法在平面上，我们通常使用 x 轴和 y 轴来表示点的位置。

其中，x 轴是水平方向的轴，y 轴是垂直方向的轴。

点的位置是通过它在 x 轴和 y 轴上的坐标来确定的。

以原点 O 为起点，画出 x 轴和 y 轴，将其分成若干等长的小段，这些小段就是刻度。

我们通过一个点在 x 轴和 y 轴上的刻度值来表示这个点的位置。

例如，假设有一个点 P，它在 x 轴上的刻度值为 3，在 y 轴上的刻度值为 4。

那么点 P 在平面上的位置就可以表示为 (3, 4)。

其中，括号中的第一个数表示在 x 轴上的刻度值，第二个数表示在 y 轴上的刻度值。

这种表示方法被称为点的坐标。

三维空间中的直角坐标表示方法在三维空间中，我们需要使用 x 轴、y 轴和 z 轴来表示点的位置。

其中，x 轴是水平方向的轴，y 轴是与 x 轴垂直且位于水平面上的轴，z 轴是与 x 轴和 y 轴都垂直的轴。

点的位置是通过它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标来确定的。

和平面上直角坐标的表示方法类似，我们以原点 O 为起点，在三个轴上画出刻度线。

假设有一个点 Q，它在 x 轴上的刻度值为 2，在 y 轴上的刻度值为 3，在 z轴上的刻度值为 4。

那么点 Q 在三维空间中的位置就可以表示为 (2, 3, 4)。

其中，括号中的第一个数表示在 x 轴上的刻度值，第二个数表示在 y 轴上的刻度值，第三个数表示在 z 轴上的刻度值。

直角坐标系的性质直角坐标系有以下几个重要的性质：1.在直角坐标系中，两个坐标轴之间的夹角是 90 度，即垂直于彼此。

这就使得直角坐标系能够准确地表示空间中的点的位置。