(完整版)2019年厦门一中数学三模试卷(含解析)
福建省厦门市2019年初中毕业班教学质量检测数学试题-参考答案
2019年厦门市初中毕业班教学质量检测数学试题2019.5.6.18.06一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1.计算(－1)3，结果正确的是A.－3B.－1C.1D.3 2.如图，在△ABC 中，∠C =90°，则ABBC等于 A. sinA B. sinB C. tanA D. tanB3.在平面直角坐标系中，若点A 在第一象限，则点A 关于原点的中心对称点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若n 是有理数，则n 的值可以是A.－1B. 2.5C.8D.95.如图，AD 、CE 是△ABC 的高，过点A 作AF ∥BC ，则下列线段 的长可表示图中两条平行线之间的距离的是 A.AB B. AD C. CE D. AC6.命题：直角三角形的一条直角边与以另一条直角边为直径的圆相切. 符合该命题的图形是7.若方程(x －m )(x －a )=0(m ≠0)的根是x 1=x 2=m ，则下列结论正确的是 A.a=m 且a 是该方程的根 B.a =0且a 是该方程的根 C.a=m 但a 不是该方程的根 D.a=0但a 不是该方程的根8.一个不透明盒子里装有a 只白球b 只黑球、c 只红球，这些球仅颜色不同.从中随机摸出一 只球，若P (摸出白球)=31，则下列结论正确的是 A. a =1 B. a =3 C. a = b =c D. a =21(b+c ) 9.已知菱形ABCD 与线段AE ，且AE 与AB 重合. 现将线段AE 绕点A 逆时针旋转180°，在 旋转过程中，若不考虑点E 与点B 重合的情形，点E 还有三次落在菱形ABCD 的边上，设 ∠B =α，则下列结论正确的是A.0°<α<60°B. α=60°C.60°<α<90°D.90°<α<180°10.已知二次函数y =－3x 2+2x +1的图象经过点A (α，y 1)，B (b ，y 2)，C (c ，y 3)，其中a 、b 、c 均大于0. 记点A 、B 、C 到该二次函数的对称轴的距离分别为d A 、d B 、d C . 若d A <21< d B < d C ， 则下列结论正确的是A.当a ≤x ≤b 时，y 随着x 的增大而增大B.当a ≤x ≤c 时，y 随着x 的增大而增大C.当b ≤x ≤c 时，y 随着x 的增大而减小D.当a ≤x ≤c 时，y 随着x 的增大而减小 二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11.计算:－a +3a ＝________.12.不等式2x －3≥0的解集是________.13.如图，在平面直角坐标系中，若□ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐 标分别是(2，3)，(1，－1)，(7，－1)，则点D 的坐标是________.14.某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售目标完成情况发放奖金. 该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为22、15、18(单位：万元). 若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额定为________万元较为合适.15.在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x 与双曲线y =xk(k >0,x >0)交于点A . 过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过该双曲线上另一点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥AC 于点E ，连接AB . 若OD =3OC ， 则tan ∠ABE =________.16.如图，在矩形ABCD 中，AB >BC ，以点B 为圆心，AB 的长为 半径的圆分别交CD 边于点M ，交BC 边的延长线于点E . 若 DM=CE ，AE 的长为2π，则CE 的长为________. 三、解答题(本大题有9小题，共86分) 17.(本题满分8分)解方程组⎩⎨⎧=-=+124y x y x18. (本题满分8分)已知点B 、C 、D 、E 在一条直线上，AB ∥FC，AB=FC ，BC=DE . 求证：AD ∥FE .化简并求值：(2212a a -－1)÷2222a a a +，其中a =220.(本题满分8分)在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的点，过点E 作EF ⊥BD 于F . (1)尺规作图：在图中求作点E ，使得EF=EC ； (保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下连接FC ，求∠BCF 的度数.21.(本题满分8分)某路段上有A 、B 两处相距近200m 且未设红绿灯的斑马线. 为使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯. 图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A 、B 斑马线前停留时间的抽样统计图.根据统计图解决下列问题：(1)若某日交通高峰期共有350辆车经过A 斑马线，请估计其中停留时间为10s ~12s 的车辆数，以及这些停留时间为10s ~12s 的车辆的平均停留时间；(直接写出答案) (2)移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适?请说明理由.如图，已知△ABC 及其外接圆，∠C =90°，AC =10. (1)若该圆的半径为52，求∠A 的度数；(2)点M 在AB 边上且AM >BM ，连接CM 并延长交该圆于点D ，连接DB ，过点C 作CE 垂 直DB 的延长线于E. 若BE =3，CE =4，试判断AB 与CD 是否互相垂直，并说明理由.23.(本题满分10分)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =60°，AB=BC =4，CD =3. (1)如图1，连接BD ，求△BCD 的面积；(2)如图2，M 是CD 边上一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°，可得线段BN ，过点N 作NQ ⊥BC ，垂足为Q ，设NQ =n ，BQ =m ，求n 关于m 的函数解析式(自变量m 的取值范围只需直接写出)A图2图1某村启动“贫攻坚”项目，根据当地的地理条件，要在一座高为1000m的山上种植一种经济作物. 农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下：①这座山的山脚下温度约为22℃，山高h(单位：m)每增加100m，温度T(单位：℃)下降约0.5℃；③该作物在这座山上的种植量w受山高h影响，大致如图A(1)求T关于h的函数解析式，并求T的最小值；(2)若要求该作物种植成活率p不低于92%，根据上述统计结果，山高h为多少米时该作物的成活量最大?请说明理由.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A . 若对点A 作如下变换；第一步：作点A 关于x 轴的对称点A 1；第二步：以O 为位似中心，作线段OA 1的位似图形 OA 2，且相似比12OA OA =q ，则称A 2是点A 的对称位似点. (1)若A (2，3)，q =2，直接写出点A 的对称位似点的坐标； (2)知直线l ：y =kx －2，抛物线C : y =－21x 2+m x －2(m >0)，点N (2)(k k m m ，2k －2) 在直线l 上. ①当k =21时，判断E (1，－1)是否为点N 的对称位似点请说明理由； ②若直线l 与抛物线C 交于点M (x 1，y 1)(x 1≠0)，且点M 不是抛物线的顶点，则点M 的对称位似点是否可能仍在抛物线C 上?请说明理由.参考答案一、BACDB CADCC 二、11.2a 12.x ≥23 13.(8,3) 14.18 15. 3116. 4－22 三、 17. ⎩⎨⎧==13y x 18.略 19.aa 2-，1－2 20.在正方形ABCD 中， ∠BCD ＝90°，BC ＝CD ∠DBC ＝∠CDB ＝45°， ∵EF ＝EC∴∠EFC ＝∠ECF 又EF ⊥BD∴∠BFC ＝∠BCF∴∠BCF ＝21(180°－45°)＝67.5°21.（1）7辆，11s. （2）A ：501(1×10+3×12+5×10+7×8+9×7+11×1)＝4.72 B ：401(1×3+3×2+5×10+7×13+1×12)＝6.45 ∵4.72<6.45，故选B. 22.（1）当∠C ＝90°时，AB 为外接圆的直径， ∵AC ＝10， AB ＝102∴△ABC 为等Rt △ ∴∠A ＝45°（2）记圆心为点O ，连接OC 、OD. ∠E ＝90°，BE ＝3，CE ＝4，则BC ＝5 ∠CDE ＝∠A ∴tan ∠CDE = tan ∠A=21BEAE∴DE CE =DE 4=21，DE ＝8，BD ＝5 ∴BC ＝BD∴∠BOC ＝∠BOD ∴AB ⊥CD 23. （1）33（2）连接AN ，易证：△ABN ≌△CBM 则∠BAN ＝∠BCM ＝120° 连接AC ，则△ABC 为正△ ∴N 、A 、C 三点共线 ∵NQ ＝n ，BQ ＝m ， ∴CQ ＝4－m ，在Rt △NQC 中，NQ ＝CQ ·tan ∠NCQ n ＝3(4－m)＝－3m+43(21≤ m ≤2) 24.（1）T ＝22－100h ×0.5＝－2001h+22(0≤ h ≤1000) T 随h 增大而减小，∴当H ＝1000时，T ＝17 （2）由表中数据分析可知，当19≤ T ≤21时，p 与T 大致符合一次函数关系；不妨取(21，0.9)、(20，0.94)，则k=21209.094.0--＝－251∴p 1＝－251(T －21)+0.9＝－251T+5087（19≤ T ≤21）当17.5≤ T<19时，p 与T 大致符合一次函数关系； 不妨取(19，0.98)、(18，0.94)，则k=191898.094.0--＝251∴p 2＝251(T －18)+0.94＝251T+5011（17.5≤ T<19） 从坐标中观察可知，除点E 外，其余点基本上在同一直线上， 不妨取(200，1600)、(500，1000)，则k=50020010001600--＝－2w ＝－2(h －500)+1000＝－2 h+2000 (0≤ h ≤1000) 因成活率需不低于92%，故（17.5≤ T ≤20.5） 由（1）知，当温度T 取：17.5、19、20.5时， 相应的h 的值分别是：900、600、300 当300≤ h ≤600时， p 1＝－251(－2001h+22)+5087=50001h+5043 QC成活量y ＝w ·p 1＝(－2 h+2000)( 50001h+5043) ＝－25001h 2－2535 h+1720 －25001<0，开口向下，对称轴在y 轴的左侧 ∴当300≤ h ≤600时，图象下降，成活量y 随h 增大而减小.∴当h =300时，成活量y 有最大值，此时成活率＝92%，种植量为1400， 成活量y 最大值＝1400×92%＝1288（株）当600< h ≤900时，p 2＝251(－2001h+22)+5011=－50001h+1011 成活量y ＝w ·p 2＝(－2 h+2000)( －50001h+1011)= 25001h 2－513h+220025001>0，开口向上，对称轴h=3250>900，图象下降，成活量y 随h 增大而减小 ∴当h ＝600时，使用p 1＝－251T+5087，在这里成活率最小.综上所述：当h =300时，成活量最大.25.（1）(4，－6)、(－4， 6) （2） ①当k=21时，2k －2＝2×21－2＝－1，将y ＝－1代入y=kx －2得：x=2 ∴ N 的坐标为（2，－1），其关于x 轴对称点坐标是（2，1）对于E （1，－1）， ∵11-≠21，所构成的Rt △直角边不成比例， ∴E （1，－1）不是N （2，－1）的对称位似点 ②直线l ：y =kx －2过点N (2)(kk m m -，2k －2) 2k －2＝k2)(kk m m -－2，整理得：m 2－mk －2k ＝0 (m －2k)( m+k)=0 ∴m=2k 或m=－k直线与抛物线相交于点M ，－21x 2+m x －2＝kx －2 kx ＝－21x 2+m x ∵x ≠0，∴k ＝－21x +m ，x=2(m －k) 抛物线对称轴：x=m ，且点M 不是抛物线的顶点 ∴2(m －k) ≠m ，m ≠2k∴只有m=－k 成立. 此时，x=2(m －k)＝－4k ，M 的坐标：（－4k ，－4k 2－2） 于是，M 关于x 轴的对称点M 1(－4k ， 4k 2+2)直线OM 1的解析式： y=x kk 4242+-若直线OM 1与抛物线有相交，x k k 4242+-＝－21x 2+k x －2 整理得：k x 2－ x +4k ＝0 当△＝1－16k 2≥0，k 2≤161时，交点存在，不妨设为M 2，12OM OM ＝q ，则M 2是点M 的对称位似点∵m>0，且m=－k ， ∴k<0， ∴－41≤k<0.。
2019年3月厦门市高三质检数学(文)参考答案
n
^ 由表中数据得， d =
uivi − nu v
i =1
n
ui2 − nu 2
=
30.5 −101.51.5 = 1 . 46.5-101.51.5 3
i =1
3
所以
ln
c
=
v-
^
d
u=1.5-
1
1.5
=
1,
所以
^
c
=
e
.
3
1
所以年研发费用 x 与年销售量 y 的回归方程为 y = e x3 . ····················································8 分
解：（1）取 AB ， DE 中点 G ， H ，连接 CG ， FH ， HG ，则平行四边形 CFHG 即为所求截面.
··························································································································································2 分
解：（1）由散点图知，选择回归类型 y = c xd 更适合. ·····················································2 分
（2）对 y = c xd 两边取对数，得 ln y = ln c + d ln x ，即 v = ln c + du . ·························4 分
又 BC BE = B ， BC ， BE 平面 BCFE ，所以 AM ⊥ 平面 BCFE . ····························9 分
福建省厦门市2019届高中毕业班第一次(3月)质量检查数学(文科 )试题(解析版)
厦门市2019届高中毕业班第一次质量检查数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得到集合A后再求出即可．【详解】由题意得，所以．故选A．【点睛】本题考查集合的交集运算，通过解不等式求出集合A是解题的关键，考查计算能力，属于简单题．2.是虚数单位，则的虚部是（）A. -2B. -1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3.已知，，，则（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量的垂直求出，然后可求出．【详解】∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查向量的坐标运算，求解时注意向量运算的坐标表示，然后根据相关运算的定义进行求解，考查计算能力．4.设双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率求出间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵，∴，∴双曲线的方程为．由得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，然后求出与之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．5.在中，，，，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的面积．【详解】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选D．【点睛】三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．6.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】【分析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．7.已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．【详解】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．8.设函数，若直线是图像的一条对称轴，则（）A. 的最小正周期为，最大值为1B. 的最小正周期为，最大值为2C. 的最小正周期为，最大值为1D. 的最小正周期为，最大值为2【答案】A【解析】【分析】先根据直线是图象的一条对称轴，并借助特殊值求出参数的值，再将函数化为的形式后求解即可得到答案．【详解】∵直线是图象的一条对称轴，∴，即，解得．∴，∴的最小正周期为，最大值为．故选A．【点睛】利用特殊值求出是解题的关键，另外，解决有关三角函数的问题时，首先应将函数解析式化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解，注意“整体代换”的应用，属于基础题．9.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概型概率求解，先确定从八卦中任选两卦的所有可能的种数，再求出取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的种数，进而可得所求概率．【详解】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为．故选A．【点睛】根据古典概型求事件A的概率时，首先要求出试验的所有的结果，即所有的基本事件数，然后再求出事件A包含的基本事件的个数，最后根据公式求解即可．求基本事件数时，常用的办法是列举法，列举时要做到不重不漏．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据求出球的半径，进而可得球的表面积．【详解】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．【点睛】求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象能力．11.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，结合图象可得所求的范围．【详解】∵函数恰有两个零点，∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．①当时，显然不符合题意．②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．所以符合题意．③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．由，得，所以，所以，解得，所以．综上可得或．故选A．【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是结合函数的图象、并根据参数的几何意义进行求解，解题时要根据题意对参数进行分类讨论，考查画图能力和分类讨论思想方法的运用．12.设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到．再根据判别式得到的取值范围，进而可得的取值范围．【详解】设，直线的方程为，由消去y整理得，∵直线和抛物线交于两点，∴，解得且．又点，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式．求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．【详解】∵，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．14.若满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线并结合的几何意义求解可得结果．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由变形得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为，所以．故答案为2．【点睛】求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15.在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．【详解】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．则，设，则，∴，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，∴．故答案为．【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用．16.在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点，平面，平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，作出异面直线和所成的角，再根据题中的数据利用解三角形的知识求解可得结果．【详解】画出图形，正三棱锥如图所示．因为平面，平面，平面平面，所以．取的中点，连接，则，所以，所以为异面直线和所成角或其补角．取的中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以．在中，，，所以，，所以异面直线和所成角的余弦值为．【点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时要注意异面直线所成角的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，再根据等差数列的通项公式得到；然后再由得到，两式作差后可得．（2）当时根据裂项相消法求得，最后验证当时也成立，于是可得所求结果．【详解】（1）依题意得，又数列为公差为2的等差数列，所以，所以．因为所以，两式相减得：，，所以，，又不满足上式，所以．（2）当时，所以，又当时，满足上式，所以.【点睛】（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．18.如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．【详解】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.理由如下：因为均垂直于平面，所以，因为，，所以四边形为梯形．又分别为中点，所以，，所以，，所以为平行四边形，因为，为中点，所以．又平面，平面，所以．又，所以平面又平面，所以平面平面，所以平行四边形即为所作的截面.（2）法一：过点作于点．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面在中，，，，得，所以，因为，所以，，所以.法二：将多面体补成直三棱柱，其中，，，，则在中，，，，得，所以，所以，所以.法三：在多面体中作直三棱柱，则，在中，，，，得，所以，设边上的高为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．所以，，所以．【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，和（其中为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；（3）已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）选择回归类型；（2）；（3）2.7亿元.【解析】【分析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型．（2）将两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可．【详解】（1）由散点图知，选择回归类型更适合．（2）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.（3）由（2）知，，∴，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.【点睛】求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。
福建省厦门第一中学2019届高三下学期开学考试数学(文)试题(解析版)
福建省厦门第一中学2019届高三下学期开学考试试题数学（文）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. D.2.某校为了了解学生参加社会实践活动的意向，采用分层抽样从高一、高二、高三学生中抽取容量为200的样本进行调查，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3，则应从高三学生中抽取的人数是（）A. 30B. 40C. 60D. 803.设集合A={x|y=}，B={x|x＞a}，则“a=0”是“A⊆B”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某程序框图如图所示，则输出的S等于（）A.6B. 14C. 30D. 325.若P是长度为6的线段AB上任意一点，则点P到线段AB两端距离均不小于1的概率（）A. B. C. D.6.已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则7.如表给出的是某产品的产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据：x的线性回归方程为=0.7x+，试预测当产量x=8时，生产能耗y约为（）A.B. C. D.8.函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A.B.C.D.9.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，如图所示，f（0）=-，则A的值是（）A. 1B.C.D. 210.过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）作其中一条渐近线的垂线，垂直为E，O为坐标原点，当△OEF的面积最大时，双曲线的离心率等于（）B. C. 2 D. 3A.11.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点（含边界），且=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（m∈R）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点A（x1，x12），B（x2，x22），记圆（x+1）2+y2=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（）B. C. D.A.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作锐角α，它的终边和单位圆交于点A（x，），则tan（π-α）=______．14.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为______．15.已知三棱锥P-ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4，三边AB，BC，CA的乘积为16，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______．16.关于x的不等式（ax-1）（ln x+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从0，1，2，3，4中抽取三个数构成等比数列，余下的两个数是递增等差数列{a n}的前两项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=++…+，对任意n∈N*，都有T n＜m2，求实数m的取值范围．18.某小学生同时参加了“掷实心球”和“引体向上”两个科目的测试，每个科目的成绩有7分，6分，5分，4分，3分，2分1分共7个分数等级，经测试，该校某班每位学生每科成绩都不少于3分，学生测试成绩的数据统计二1，2，所示，其中“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人．（1）求该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数；（2）已知该班学生中恰有3人两个科目成绩均为7分，在至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率．19.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；（2）证明：平面BDE⊥平面BCD．（3）求D到平面BCE的距离．20.已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（t，8）到焦点F的距离是．（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线与抛物线C交于A，B两点，是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=sin x，g（x）=f（x）-ax，x∈[0，]．（1）当a=时，求函数g（x）的单调递增区间；（2）若函数g（x）的最小值为0，求实数a的取值范围；（3）设0≤x1＜x2≤，试比较-与的大小，并说明理由．22.已知曲线C的极坐标方程是ρ-4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点（点A在点B右侧），求|MA|-|MB|．23.已知函数f（x）=|x-2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；（Ⅱ）若|a|＞1，且，证明：|b|＞2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数===1+i，其共轭复数是1-i．故选：B．利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，∴高三在总体中所占的比例是，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为200的样本，∴要从高三抽取×200=60名学生，故选：C．根据三个年级的人数比，做出高三所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高三所占的比例，得到要抽取的高三的人数．本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3.【答案】A【解析】解：A={x|y=}=A={x|x≥1}，若A⊆B，则a≥1，则“a=0”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选：A．根据集合关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4.【答案】B【解析】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1S=2，i=2不满足条件i≥4，S=6，i=3不满足条件i≥4，S=14，i=4满足条件i≥4，退出循环，输出S的值为14．故选：B．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时，满足条件i≥4，退出循环，输出S的值为14．本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5.【答案】B【解析】解：设“长为6的线段AB”对应区间[0，6]，“与线段两端点A、B的距离均不小于1”为事件A，则满足A的区间为[1，5]，根据几何概率的计算公式可得，P（A）==．故选：B．由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概率公式可求．本题主要考查了几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．6.【答案】D【解析】解：对于A，若m∥n，m⊂α，则n∥α，或n⊂α，故A不正确；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α∩β=l，故B不正确；对于C，当α、β、γ分别为墙角的三个两两垂直的墙面（α为底面）时，满足α⊥β，α⊥γ，但β与γ相交，故C错误；对于D，若m∥n，m⊥α，n⊥β，由线面垂直的性质知，α∥β，故D正确．故选：D．A，m∥n，m⊂α⇒n∥α或n⊂α，可判断A不正确；B，m∥n，m⊂α，n⊂β⇒α∥β或α∩β=l，可判断B不正确；C，举例说明，当α、β、γ分别为墙角的三个两两垂直的墙面（α为底面）时，满足α⊥β，α⊥γ，但β与γ相交，可判断故C错误；D，利用线面垂直的性质可判断D正确．本题考查空间线面平行、面面平行的判定与性质，熟练掌握线面平行、线面垂直与面面平行的判定与性质定理是关键，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由表中数据可得：==4.5，==3.5，∵归直线一定经过样本数据中心点，故=-0.7=3.5-0.7×4.5=0.35．y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35．预测当产量x=8时，生产能耗y=0.7×8+0.35=5.95．故选：C．根据回归直线一定经过样本数据中心点，可求出，然后求解产量x=8时，生产能耗y．本题考查回归直线方程的应用，回归直线一定经过样本数据中心点，是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：（1）∵lnx递增、x-1递增，∴函数f（x）=2lnx+x-1递增，而图象在x＞1时先增后减，故A不正确；（2）令x=e10带入f（x）得f（e10）=21-e10＜0，故B不正确；（3）f′（x）=2（lnx+1），当x＞e时f′（x）＞0，函数f（x）递增，故C不正确；故选：D．（1）由lnx递增、x-1递增，得出函数f（x）=2lnx+x-1递增，而图象在x＞1时先增后减，故A不正确；（2）取特殊值验证不正确；（3）先对函数求导，结合单调性，排除C；本题主要考查函数的性质，对于函数的选择题，利用函数的性质解题是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：由图象知函数的周期T=2（）=π，即，解得ω=2，由五点对应法则，解得φ=-，则函数f（x）=Asin（2x-），∵f（0）=-，∴f（0）=Asin（-）=-=-，即A=，故选：C．根据三角函数的图象，确定A，ω和φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，即有右焦点F（c，0）（c=2）到渐近线的距离为：d==b，则|OE|===a，由a2+b2=4，又ab≤=2，（当且仅当a=b取等号），则△OEF的面积为ab≤1，当且仅当a=b=取得最大值1．则离心率e==．故选：A．设出双曲线的一条渐近线方程，由点到直线的距离公式可得d=b，再由勾股定理可得|OE|=a，结合重要不等式a2+b2≥2ab，可得ab的最大值及△OEF的面积的最大值，由等号成立的条件，即可得到离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，运用点到直线的距离公式和重要不等式是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则DO=2AO，P在A时，λ=0，μ=0，所以λ+μ=0，此时为最小；P在D时，=3=3×（+），λ=，μ=，所以λ+μ=3，此时为最大．故选：C．将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则DO=2AO，P在A时，λ+μ=0，此时为最小；P在D时，λ+μ=3，此时为最大．本题考查平面向量基本定理，考查特殊化方法，比较基础．12.【答案】C【解析】解：函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x的导数为f′（x）=x2+2mx+2m+3，由题意可得，判别式△＞0，即有4m2-4（2m+3）＞0，解得m＞3或m＜-1，又x1+x2=-2m，x1x2=2m+3，直线l经过点A（x1，x12），B（x2，x22），即有斜率k==x1+x2=-2m，则有直线AB：y-x12=-2m（x-x1），即为2mx+y-2mx1-x12=0，圆（x+1）2+y2=的圆心为（-1，0），半径r为．则g（m）=d-r=-，由于f′（x1）=x12+2mx1+2m+3=0，则g（m）=-，又m＞3或m＜-1，即有m2＞1．则g（m）＜-=，则有0≤g（m）＜．故选：C．求出函数的导数，由极值的概念可得x1，x2是f′（x）=0的两根，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得直线AB的斜率和直线方程，运用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，求得g（m）=d-r，再由m的范围，计算即可得到范围．本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．13.【答案】【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作锐角α，它的终边和单位圆交于点A（x，），所以x=，tanα=．tan（π-α）=-tanα=．故答案为：．直接利用任意角的三角函数的定义求出锐角α的正切函数值，然后利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式以及任意角的三角函数，基本知识的考查．14.【答案】【解析】解：把y=1-x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b（1-x）2=1，整理得（a+b）x2-2bx+b-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴线段AB的中点坐标为，∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k===．答案：．把y=1-x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b（1-x）2=1，由根与系数的关系可以推出线段AB的中点坐标为，再由过原点与线段AB中点的直线的斜率为，能够导出的值．本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．15.【答案】8π【解析】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则S△ABC==，解得r=1 ∵三棱锥P-ABC的体积为底面ABC，且△ABC的面积为4．∴，∴PA=2如图，设球心为O，M为△ABC的外接圆的圆心，则OM=则三棱锥P-ABC的外接球的半径R==．三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2=8π．故答案为：8π设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P-ABC球半径为R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R=OP，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、勾股定理的合理运用．属于中档题．16.【答案】a≤-或a=e【解析】解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y=lnx+ax，则y′=+a，∴0＜x＜-时，y′＞0，x＞-时，y′＜0∴x=-时，函数取得最大值ln（-）-1，∵lnx+ax≤0，∴ln（-）-1≤0，∴a≤-；a=0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意；a＞0时，或，a=e，综上，a≤-或a=e．分类讨论，将不等式转化，即可求出实数a的取值范围．本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）只能由1，2，4，三个数构成等比数列，因此剩下的两个数：0，3，为递增等差数列{a n}的前两项．∴首项为0，公差为3，∴a n=0+3（n-1）=3n-3．（2）由（1）可得a n=3n-3，a n+1=3n，∴当n≥2时，==．∴T n=++…+=+…+==．∵对任意n∈N*，都有T n＜m2，∴m2，解得或m．∴实数m的取值范围是或m．【解析】（1）只能由1，2，4，三个数构成等比数列，因此剩下的两个数：0，3，为递增等差数列{a n}的前两项．再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得a n=3n-3，a n+1=3n，当n≥2时，==．利用“裂项求和”可得T n，再利用数列的单调性即可得出m的取值范围．本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人，3分的频率为1-0.1-0.35-0.4-0.1=0.05∴该班有=40人，∵该班学生“引体向上”科目成绩为7分的频率为1-0.05-0.15-0.3-0.4=0.1，∴该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数为40×0.1=4人，（2）∵“掷实心球”科目成绩为7分的学生有40×0.1=4人，“引体向上”科目成绩为7分的为4人，恰有3人两个科目成绩均为7分∴至少有一科成绩等级为A的有5人，其中恰有3人两个科目成绩均为7分，另2人只有一个个科目成绩均为7分；设这5人为A、B、C、D，E，其中A，B，C是两个科目成绩均为7分的同学，则至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人，基本事件空间为Ω={（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（DE）}，一共有10个基本事件；而设这2人两个科目成绩均为7分的有3个基本事件，分别为（A，B），（A，C），（B，C），∴随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率P=，【解析】（1）根据频率=，求出该班的人数，再计算“引体向上”科目成绩为7分的人数；（2）用列举法求出在至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人的基本事件数与“随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分”的事件数，计算概率即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了求古典概型的概率的应用问题，是综合题目19.【答案】证明：（1）连结MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN=AE=CD，∴四边形ANME是平行四边形，∴AN∥EM，∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME．（2）∵AC=AB，N是BC的中点，AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD，由（1）知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD，又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD．解：（3）V D-BCE=V E-BCD===，又△BCE的面积，∴点D到平面BCE的距离为．【解析】（1）连结MN，则MN∥CD，AE∥CD，推导出四边形ANME是平行四边形，从而AN∥EM，由此能证明AN∥平面CME．（2）推导出AN⊥平面BCD，N∥EM，从而EM⊥平面BCD，由此能证明平面BDE⊥平面BCD．（3）V D-BCE=V E-BCD=，由此能求出点D到平面BCE的距离．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由抛物线的定义得|MF|=t+，∵M（t，8）到焦点F的距离是，∴t+=，∴t=2p，∴M（2p，8），代入抛物线方程得到p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；（2）设直线l的方程为x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线方程联立，可得y2-8my-16=0，∴y1+y2=8m，设A，B的中点为M，则y M=（y1+y2）=4m，x M=4m2+2，|AB|=x1+x2+p=8m2+8，由抛物线的对称性可知，若定圆存在，则其圆心必在x轴上，设圆的方程为（x-a）2+y2=r2，∴（4m2+2-a）2+16m2=（4m2+4-r）2，∴（32-8a）m2+（2-a）2=（32-8r）m2+（4-r）2，∴，∴a=3，r=3．∴定圆的方程为（x-3）2+y2=9．【解析】（1）利用抛物线的定义，结合M在抛物线上，即可求抛物线C的方程；（2）设直线l的方程为x=my+2，与抛物线方程联立，可得y2-8my-16=0，由抛物线的对称性可知，若定圆存在，则其圆心必在x轴上，设圆的方程为（x-a）2+y2=r2，得到（4m2+2-a）2+16m2=（4m2+4-r）2，建立方程组，即可得出结论．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）a=时，g（x）=sin x-x，x∈[0，]，g′（x）=cos x-，令g′（x）≥0，解得：0≤x≤，∴函数g（x）在[0，]单调递增；（2）∵g′（x）=cos x-a，①a＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，]单调递减，∴g（x）min=g（）=-a=0，解得：a=0（舍），②0≤a≤1时，g（x）min={g（0），g（）}，由g（0）=0，∴g（）≥g（0）=0，∴0≤a≤，③a＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）在[0，]单调递增，g（x）min=g（0）=0，综上a≤；（3）由于+=+=，∵x1＜x2，∴只需研究2（cos x1-cos x2）+（x1-x2）（sin x1+sin x2）在0≤x1＜x2≤上的正负情况，令h（x）=22（cos x1-cos x2）+（x1-x2）（sin x1+sin x2），x∈[0，x2），其中0＜x2≤，h′（x）=-sin x+sin x2+（x-x2）cos x，令s（x）=h′（x）=-sin x+sin x2+（x-x2）cos x，则s′（x）=-cos x+cos x+（x-x2）（-sin x）=-（x-x2）sin x，∵0≤x＜x2≤，∴s′（x）≥0，∴s（x）在[0，x2）上↑，∴h′（x）=s（x）＜s（x2）=0在[0，x2）上成立，∴h（x）在[0，x2）上递减，∴h（x）＞h（x2）=0，∴+＜0，∴-＞．【解析】（1）将a的值代入函数，求出g（x）的导数，令g′（x）≥0，从而求出g（x）的递增区间；（2）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，从而综合得出结论；（3）通过-+，得到新函数h（x）=22（cosx1-cosx2）+（x1-x2）（sinx1+sinx2），x∈[0，x2），通过讨论h（x）的单调性，得到h（x）＞h（x2）=0，从而得到结论．本题考查函数与导数、函数的单调性、最值等基础知识；考查运算求解能力、抽象概括能力及推理论证能力；考查分类与整合、函数与方程、数形结合、化归与转化思想．22.【答案】解：（Ⅰ）由ρ-4sinθ=0得ρ2-4ρsinθ=0，得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4y=0；直线l的参数方程为：（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程并整理得：t2-3+1=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t 1+t2=3，t1t2=1＞0，∴|MA|-|MB|=|t|-|t2|=|t1-t2|===．【解析】（Ⅰ）：（Ⅰ）由ρ-4sinθ=0得ρ2-4ρsinθ=0，得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4y=0；直线l的参数方程为：（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用韦达定理和参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：|x-2|+|x-1|≥5，当x＞2时，（x-2）+（x-1）≥5，x≥4；当1≤x≤2时，（2-x）+（x-1）≥5，无解；当x＜2时，（2-x）+（1-x）≥5，x≤-1．综上，不等式的解集为：{x|x≥4或x≤-1}．（Ⅱ）证明：f（ab）＞|a|•f（）⇔|ab-2|＞|a|•|-2|⇔|ab-2|＞|b-2a|⇔（ab-2）2＞（b-2a）2，⇔a2b2+4-b2-4a2＞0⇔（a2-1）（b2-4）＞0，因为|a|＞1，所以a2-1＞0，所以b2-4＞0，即|b|＞2．【解析】（I）讨论x的范围，去绝对值符号解不等式；（II）根据绝对值的性质得出不等式的等价不等式，再根据a的范围得出b的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式证明，属于中档题．。
福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学(文)试题(解析版)
福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P （恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。
2019厦门市初中毕业班教学质量检测数学参考答案
2019年厦门市初中毕业班教学质量检测数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.15.16.4-2^2.三、解答题（本大题有9小题，共86分）17.（本题满分8分）错误！解：①一②得（x+y）—（a—2y）=4—1,............2分y+2y=3,............3分3y=3,............4分y=l.............5分把；v=1代入①得x+1=4,,r=3.............7分所以这个方程组的解是错误！............8分18.（本题满分8分）证明（方法一）：,/AB//FC,:.ZB=ZFCE.................2分BC=DE,:.BC+CD=DE+CD.即BD=CE.................4分又,:AB=FC,:.△ABD*FCE.................6分ZADB=ZE.................7分AD//FE.................8分证明（方法二）:连接AF•.*AB//FC,AB=FC,:.四边形ABCF是平行四边形.AF//BC,AF=BC.•.*BC=DE,:.AF=DE........又・.・B,C,D,E在一条直线上, AF//DE..・・四边形ADEF是平行四边形.・.・AD//FE.....................2分............4分5分................7分••…8分19.(本题满分8分)2a2—4解：(二^T)2a2—4—a2 =?。
2+2]"2+2。
2分(a+2)(g—2)a1a1a(a+2)当a=y[2时，原式=错误！......................7分=1一璀.......................8分20.（本题满分8分）（1）（本小题满分3分）解：如图，点E即为所求...............3分（2）（本小题满分5分）方法_：解：四边形A3CQ是正方形,.L ZBCD=90°,BC=CD.:.ZDBC-ZCDB=45°...............5分EF±BD,:.ZBF£=90°.由⑴得EF=EC,BE=BE,:.Rt/\BFE^Rt/\BCE...............6分BC=BF.:.ZBCF=ZBFC...............7分ZBCF=180°-ZFBC2=67.58分方法二：解：四边形A3CQ是正方形，.L ZBCD=90°,BC=CD.:.ZDBC=ZCDB=45°................5分由(1)得EF=EC,ZEFC= ZECF...............6 分,/ EFLBD,:.ZBFE=90° .,/ ZBFE= ZBCE=90° ,ZBFE- ZEFC= ZBCE- ZECF.:. ZBFC= ZBCF...............7 分,/ ZDBC=45° ,ZBCF=180° 一 ZFBC2=67.5° .8分21.（本题满分8分）解：（1）（本小题满分3分）答：该日停留时间为10s~12s 的车辆约有7辆,均停留时间约为Ils. ................3分（2）（本小题满分5分）依题意，车辆在A 斑马线前停留时间约为：1x10+3x12+5x12+7x8+9x7+11x1=4.72这些停留时间为10s~12s 的车辆的平（秒）.50车辆在B 斑马线前停留时间为：1x3+3x2+5x10+7x13+9x12 、=6.45 （秒）.40由于 4.72<6.45因此移动红绿灯放置B 处斑马线上较为合适.7分8分22.（本题满分10分）（1）（本小题满分5分）解：... ZC=90°,AB 为△A3C 外接圆的直径. ..............1分该圆的半径为5皿，.I AB=1（）V2...............2 分在 RtAABC 中,AC 2 +BC 2 =AB 2 .AC=10102 +BC 2 =（1冲）2 .BC=10...............4 分AC=BC.:.ZA=ZB.（2）（本小题满分5分）解：A3与CQ 互相垂直，理由如下：由（1）得，AB 为直径，取AB 中点。
福建省厦门市2019届高三数学下学期第一次质量检查(3月)试题理(含解析)
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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇
形，则该几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆
心角为 120°，又由侧视图知几何体的高为 3，底面圆的半径为 2，把数据代入圆锥的体积公
.
3. 已知集合
，
，若
，则实数 的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
先化简集合 A,B ，利用子集关系建立不等式关系，即可得到结果．
【详解】
,
,
∵
，
∴
故选： D
【点睛】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中根据集合包含关系，构造出
关于参数 a 的不等式组是解答本题的关键．
式计算即可． 【详解】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，
由正视图可得：底面扇形的圆心角为 120°， 又由侧视图知几何体的高22× 3
．
故选： B．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状
是解答的关键．
7. 已知
1 拿到试卷：熟悉试卷 刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道 题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效 措施，也从根本上防止了“漏做题”。 2 答题顺序：从卷首依次开始 一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。所以，正确的做法是从卷首开始依次做 题，先易后难， 最后攻坚。 但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后难， 但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先 做好有保证的题，才能尽量多得分。 3 答题策略 答题策略一共有三点： 1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、熟悉的题，再做综 合题、难题。 2. 先小后大。先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。 3. 先 局部后整体。把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就 能得到一步的分数。 4 学会分段得分 会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分。”不会做的题 目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对， 立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处。如”果题目 有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。 5 立足中下题目，力争高水平 考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中 要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些 题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。 6 确保运算正确，立足一次性成功 在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。不 能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。试题做完后要认真做好 解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。 7 要学会“挤”分 考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把 要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做 几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。 8 检查后的涂改方式要讲究 发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。如果对现有的题 解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。有的同学先把原来写的题解涂抹了，写 新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事，莫慌乱！不管 是大型考试还是平时的检测，或多或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎么办？ 为防患于未然，老师家长们应该在考前给孩子讲清楚应急措施，告诉孩子遇事不慌乱，沉重冷 静，必要时可以向监考老师寻求帮助。
福建省厦门市2019届高中毕业班理数第一次(3月)质量检测试卷
福建省厦门市2019届高中毕业班理数第一次（3月)质量检测试卷一、单选题1．已知复数z满足(z+1)i=3+2i，则|z|=（）A．√5B．√10C．5D．102．若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1，则a=（）A．2B．4C．±2D．±43．已知集合A={x|x2−4x+3〉0}，B={x|x−a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．(3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,1)D．(−∞,1]4．若x,y满足约束条件{x+y≥22x−3y≤9x≥0，则z=x+2y的最小值为（）A．-6B．0C．1D．25．在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，BC=CD=DA=2，若E为BC的中点，则AC⇀·AE⇀=（）A．√3B．3C．2√3D．126．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．2π3B．4π3C．14π3D．16π97．已知a>b>0，x=a+be b，y=b+ae a，z=b+ae b，则（）A．x<z<y B．z<x<y C．z<y<x D．y<z<x8．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n+1a n，则S20=（）A．410B．400C．210D．2009．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）A．114B．17C．528D．51410．已知函数f(x)={x 2−3x+2,x≤1lnx,x>1，g(x)=f(x)−ax+a，若g(x)恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[−1,0]∪[1,+∞)B．(−∞,−1]∪[0,1] C．[−1,1]D．(−∞,−1]∪[1,+∞)11．已知函数f(x)=sin(2x−π3)，若方程f(x)=13在(0,π)的解为x1,x2(x1<x2)，则sin(x1−x2)=（）A．−2√23B．−√32C．−12D．−1312．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F，点A,B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M,N两点，若|MN|=2，ΔABF 的面积为8，则C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±2x D．y=±12x二、填空题13．在等比数列{a n}中，a2=1，a3a5=2a7，则a n=．14．(1+1x)(1−2x)5的展开式中x2的系数为．15．已知函数f(x)=e x−e−x−1，则关于x的不等式f(2x)+f(x+1)>−2的解集为．16．已知正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长为2，点M,N分别在侧面ABB1A1和ACC1A1内，BC1与B1C交于点P，则ΔMNP周长的最小值为．三、解答题17．在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=2.（1）若ΔABC的面积为3√32，求AC；（2）若AD=2√3，∠ACB=∠ACD+π3，求tan∠ACD.18．如图，在四棱锥P−ABCD中，BC⊥CD，AD=CD，PA=3√2，ΔABC和ΔPBC均为边长为2√3的等边三角形.（1）求证：平面PBC⊥平面ABCD；（2）求二面角C−PB−D的余弦值.19．某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的质量指数在[50,70)的为三等品，在[70,90)的为二等品，在[90,110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x i和年销售量y i(i=1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中 u i =lnx i ， v i =lny i ， u ̅=15∑5i=1u i ， v ̅=15∑5i=1v i根据散点图判断， y =a ·x b 可以作为年销售量 y （万件）关于年营销费用 x （万元）的回归方程.（ⅰ）建立 y 关于 x 的回归方程；（ⅱ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 e 4.159=64 ）参考公式：对于一组数据： (u 1,v 1) ， (u 2,v 2) ， ⋯ ， (u n ,v n ) ，其回归直线 v =α+βu 的斜率和截距的最小乘估计分别为 β̂=∑(u i −u ̅)ni=1(v i −v ̅)∑n i=1(u i −u ̅)2 ， α∧=v ∧−β̂u ̅20．已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C ：x 24+y 29=1 的上焦点， C 上一点 A 在 x 轴上方，且|OA|=√5 .（1）求直线 AF 的方程；（2）B 为直线 AF 与 C 异于 A 的交点， C 的弦 MN ， AB 的中点分别为 P,Q ，若 O,P,Q 在同一直线上，求 ΔOMN 面积的最大值.21．已知函数 f(x)=(x +a)ln(x +1)−ax .（1）若 a =2 ，求 f(x) 的单调区间；（2）若 a ≤−2 ， −1<x <0 ，求证： f(x)>2x(1−e −x ) .22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =tcosαy =tsinα （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2=41+3sin 2θ.（1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；（2）若 C 上恰有2个点到 l 的距离等于 √2 ，求 l 的斜率.23．已知函数 f(x)=|x +2|+|x −4| .（1）求不等式 f(x)≤3x 的解集；（2）若 f(x)≥k(x −1) 对任意 x ∈R 恒成立，求 k 的取值范围.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵(z +1)i =3+2i∴z =3+2ii−1=1−3i ∴|z|=√10 故答案为：B【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z ，再利用复数的实部和虚部算出复数的模。
福建省厦门市2019届高中毕业班第一次(3月)质量检查数学(理科)试题(解析版)
厦门市2019届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1•已知复数满足【+|；- 八"，贝旷:;I-（）A. B. C. 5 D. 10【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【详解】•••卜'>''•: +3+ 21一i:.:I = .故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2. 若抛物线:'的焦点到准线的距离为1，则（）A. 2B. 4C. .D.【答案】C【解析】【分析】由题意得到抛物线的焦点坐标与准线方程，从而得到结果【详解】由抛物线「- I-' ，可知：焦点坐标为| .' "；，准线方程为，：•抛物线x2- ay的焦点到准线的距离为+ - - 1，解得：-一二'故选：C【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题.3. 已知集合— m：，中—u：，若■.〔，则实数'的取值范围为（）A. << - ■-■■ IB. :C. x- •-门D.:【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，B，利用子集关系建立不等式关系，即可得到结果.【详解】| :,:.：：三.故选：D【点睛】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中根据集合包含关系，构造出关于参数不等式组是解答本题的关键.（丸+ y工24. 若满足约束条件「，则’的最小值为（）（心0A. -6B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标,代入目标函数得答案所以z = x+2y 的最小值为 3 - 2X 1 = 1 ； 故选：C .【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过 的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.在梯形/J 中，：；•'，' ' 一 '，山一 U - ；、' _ ■■，若为宀的中点，则（）A.B. 3C.D. 12【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义可得结果 •由题意可知： △ ABC 为直角三角形， / ACB=90 , AC = 2^ 根据数量积的几何意义可得： '■ I.：. - 故选：D【点睛】本题考查数量积的运算，考查数量积的几何意义，属于基础题.6•如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（A 时最小，【详解】D【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为 120° ,又由侧视图知几何体的高为3，底面圆的半径为 2，把数据代入圆锥的体积公式计算.【详解】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为 120°,又由侧视图知几何体的高为3，底面圆的半径为 2,二?■：1 2I •••几何体的体积 v • n 2 X 3 —・36033故选：B .【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键.7•已知：•：：：■：；：：■•；,.「，：.■+ ，则( )A. ::B. z ■: :C. ：. m ;D. : :/ <【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果 【详解】•.•「一」-：G —「•宀又• . I ,•••.•工/ - | -1 ■ ，:-'i. : - 1 ,又^ . I/.-宀 综上： 故选：A【点睛】 本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题.8. 已知数列'的前 项和为，且5 巴「二( )A. 410B. 400C. 210D. 200【答案】C 【解析】 【分析】 由题意明确数列的奇数项构成首项为 1,公差为2的等差数列，偶数项构成首项为2,公差为2的等差数列，利用等差数列前 n 项和公式即可得到结果. 【详解】由■，当n 》2时,■—| ,A.4朮B.C. 14T T两式作差可得：■，又■■■-•I ■- .又口1 = 1 , 2気=务 + 1 叫t ,•.日£ = 2•••数列 的奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列，偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列，10 x 910x9|I202 2故选：C【点睛】本题主要考查数列通项与前••项和之间的关系以及公式：-...-■■--;的应用，属于中档题•已知' 求「的一般步骤：（1 ）当 I 时，由 '丨求「的值；（2）当 时，由 式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示-；（4）写出*的完整表达式.9.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦） ，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）【答案】【解析】 【分析】直接根据概率公式计算即可.其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中,•这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p ",n 14故选：D【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题.2 .10.已知函数L ，氓匚心一总+',若， 恰有1个零点，则■的取值范围是（）A. ■■ u .B. .■：C. 1D.: u I【答案】A 【解析】 【分析】作出y =： 与y = a （x 1）的函数图象，根据交点个数判断 a 的范围. 【详解】•恰有1个零点等价于’ 图像与直线y = a （x 1）有一个公共点,作图如下：A. 1 14B.C. ■D. 514【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有 _■，：种，. . yr所以.- ■- , ■■- , 又因为I ，所以，(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围; (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.STIii.已知函数：，若方程：在 的解为w. ，则—(JO2 农J3 11A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】结合正弦型函数的图像与性质可得 5?r一，进而可得 ■'■-明确的范围得到结果•【详解】因为所以又因为是:；丿几-.：:的两根，n mt "代、 2 J2所以：，所以饰甘y 一厂所以、；.丁.「一：.，_ - ' .故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的对称性及取值范围，属于中档题x2 y212. 已知双曲线的一个焦点为，点J是.的一条渐近线上关于原点对称的两点，以a2 b2"为直径的圆过且交•的左支于：两点，若的面积为8,则・的渐近线方程为（）A. + ,门B.--C. - -D.； - 二【答案】B【解析】【分析】由双曲线的对称性可得—拝■-即「，又：、•，从而可得•的渐近线方程•【详解】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形！：「是矩形，所以,即，由，得：，，所以；、'•，所以，所以，：，所以• 、，*的渐故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题•二、填空题（将答案填在答题纸上）13. _________________________________________________ 在等比数列中，旳=1, 口3勺二"7,则口”二.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得到结果【详解】设等比数列■的公比为, 一，」；：；.---■,i-,• - 一‘ •… ■1故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. _______________________________________ （1 +》1—2卅的展开式中严的系数为.【答案】-40【解析】【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有的项得答案.11【详解】解：二y”--〔•_：、、、X X* I . 的展开式中含的项为■\1-抵尸的展开式中含护的项为-C? (- 2x)3 = - 80r 2 • X Xjl 「八/的展开式中，X 3的系数为40 80 = -40 • x 故答案为：-40 •【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略⑴ 求展开式中的特定项•可依据条件写出第r +1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r +1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15. 已知函数=，则关于X 的不等式十/一仕十1) A -2的解集为 _____________________ •【答案】 【解析】 【分析】判断I;心/ ' - •的奇偶性和单调性，原不等式转化为 C .■】，运用单调性，可得到所求解集. 【详解】令订--,易知函数为奇函数，在 R 上单调递增，::二一 I_'■： :- I - .■ . ：i ,即•：」，• •儿-,即 卩 x > 1 3故答案为：【点睛】 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.16. 已知正三棱柱宀'|的所有棱长为2,点分别在侧面|和「内，•与交于点：’，则0NP 周长的最小值为 ______________ •【答案】3 【解析】 【分析】设 关于侧面「：I 和r ■' ■!的对称点分别为，连结-，则当 -■■共线时，二周长最小.【详解】设：'关于侧面"-:!i 和"…I 的对称点分别为，连结「，则当■■共线时，―周长最小，由于在正三棱柱1 ■ I - I 中，点是•与 的交点，所以点：'是侧面的中心，故- 周长最小时：「分别为侧面| ■- ：- 'i 和一 「的中心，所以■- ■■ ■■- ■周长最小值为3. 故答案为：3【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查 推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)3 g(1 )若的面积为•，求「；【解析】 【分析】(1) 利用已知条件与面积公式即可得到结果； (2) 设GP7，则 '.，结合正弦定理即可得到*11'.7T17.在平面四边形■中，|；'， H LADC = -2,BC = 2(2)若厂 .，'-【答案】(1)■-=-⑵="CD — 求 Lan^ACD3 tan^ACD —— 2【详解】（1）在门-中，因为；：i .\；：i3 2 2所以兰；二i£,解得：「.2 2在中，由余弦定理得：|心 所以'.7TJT（2 ）设—打—讥，则二门「 - - 1 ^JT所以 ■--届 1- 所以一 '「，即：所以 tana. — —，即卩 tanjLACD =—2 2【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常 见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为 关于某个角的函数，利用函数思想求最值 •18.如图，在四棱锥'''中， I：和'：均为边长为的等边三角形（1）求证：平面•’ 平面-;； （2 ）求二面角書—能7啲余弦值.3V 13【答案】⑴见证明；（2）—-【解析】 【分析】（1）取；的中点•，连接’•‘…，要证平面"-平面出二，转证’I 平面，即证打厂丄* , :'即可;（2）以・为坐标原点，以为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面‘与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.在中，因为:貯：二疔，所以I AD _ 2^3sina sina 在-.i 1-中，7T J LBAC = TT — Z _J 4CB — ^ABC =3由正弦定理，得BC _ sinAC2^3 —smaAC sinjLABC2【详解】（1）取宀的中点•，连接•因为72" 杖均为边长为的等边三角形，所以I ・，；〕「=「且I 一：屮7因为■.，所以川―/ _ •—'，所以■ I ■ !，又因为•，.「□；：；■■■'，，；•：「平面，曲.厂平面I.:,所以，I平面二茫〉又因为「；：；:-平面’-，所以平面丄平面i . （2 ）因为竺.莒，W匚为等边三角形，7T 71 2 朮所以「' ，又因为「打：一1.门，所以'..1，上二:" ，6 6 3在f中，由正弦定理，得: 所以. .AC _ CD—•、= 一m+，则•’-：，沖扁汕：，」：|，「•■.-，设平面’二的法向量为，in BP = 0 Hn f -\3y+ 3^ = 0ntt则:.，任n =：.；，即..；：■:，令」一.，则平面Wi的一个法向量为1] 依题意，平面…二的一个法向量一| i ：•:- _ mn 3^13所以'-■- ■■；|m|| 用133<13 故二面角[•汪」的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1 ）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19•某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1 ）：20IQoo90ltoEw5040JO2Qwf> J J _1<10 2t> JO 40 50 60 70 an产品的质量指数在|.川人）的为三等品，在| 的为二等品，在 "I | |T 的为一等品，该产品的三、二、一 等品的销售利润分别为每件 1.5 , 3.5,5.5 （单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替 产品的质量指数位于该区间的概率 • （1 ）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用 （单位：万元）对年销售量 （单位：万件）的影响，对近 5年的年营销费用 和年销售量匸；【-I数据做了初步处理，得到的散点图（如图 2）及一些统计量的值.表中 口 _ ::为，匚 _ ：r.，、,,.=、■i = 1[ = 1根据散点图判断，•可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程•（i ） 建立关于的回归方程；（ii ） 用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取■'::）参考公式：对于一组数据： ，，，^,其回归直线的斜率和截距的最小乘估计【答案】（1）平均销售利润为4元.（2） （i ）（ii ）投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大 768万元y — 64 x【解析】 【分析】（1）设每件产品的销售利润为•元，则•的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,求出相应的概率值，得到分布列与期望值；（2） （i ）由， 得,；"八 n + 人、；，令，一",■-，则；：+；“"，利用表中数据求出•即可；（ii ）设年收益为万元，则^. I，禾U 用导函数即可得到结果 •z =yy —p x = z JOX — x【详解】（1）设每件产品的销售利润为•元，则•的所有可能取值为1.5,3.5,5.5 由直方图可得：一、二、三等品的频率分别为 0.4,0.45,0.15,所以：：「、一 ：•• - ■■■ - ,P （F = 3.5） = 0.45 ,= 5.5） = 0.4,所以：随机变量■的分布列为：所以，Eg 二 1.5 x 0.15 + 35 x 0.4S + 5.5 x 0.4 = 4 故每件产品的平均销售利润为 4元.(2) (i)由 y — ax b 得，tny = fn (虽=比口 + bln.分另为，' 二; -- - ------------ AA A.a = v —/Jui =1 丄由表中数据可得，•. . .■,:,即-:-1'..:.-.'.-. —!(.)设年收益为万元，则....■设，辻】！—；二®则；：一_；•： -」；：！ ■:：：L —1 X当’•时，‘ ，’在单调递增，当 m + "时，’，‘在［... + ：-•)单调递减.所以，当f - !，即r-二鳥：时，有最大值为768即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大 768万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题 •求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确n n定两个变量具有线性相关关系；②计算 A' \ 的值；③计算回归系数:④写出回归直线方程为:---；回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.2 220.已知 为坐标原点， 为椭圆： .丨的上焦点，•上一点•在 轴上方，且…〔二■-.J24.87则■/ •一厂一由①②解得：’或 ;所以」的坐标为」或由①②解得:（2）当点•在第一象限时，直线l ：':- x 2 y 2—+ ^-=1 4 9 V - —x +J52又因为 的坐标为'I ,所以直线加的方程为二或■-.2 2（2）当.在第一象限时，直线 -4"--■■■<两式相减得：E +疋2）（叼一 E ）5 +出）（乃 ' 乃） 4十斗“同理：又因为…在同一直线上，所以：'，所以 -:-亠2 2x y+ - = 14? 得：5兴-2巾工+ 2皿'-囲二0，由心A °,得-v 'l 0v = —x + m 丿 2由韦达定理得:2m -—， -所以 I ；：，’ / - /.：|'. 一 J7 汛-..:；~~5，• J （叼 + 尤』'一 4兀i 叼=-m 2, d =又因为•到直线；■■的距离1 +-』4—3 + 10—I3 ___ 所以■'!■:：--■ 即存二订丄时等号成立，3， ■-'面积的最大值也为5-当且仅当= 10-rn z ，即e ： 所以■--'--的面积的最大值为 当•在第二象限时，由对称性知， 综上，；■「'「面积的最大值为3.3,，得：，八-则•中点•的坐标为''' 49?所以直线■- ■: ■-—① 当直线；斜率不存在或斜率为零时，-八不共线，不符合题意； ② 当直线；■■斜率存在时，设：»” • f x 2『 所以卜—_I"-' ： W 小：；I ： I _ _:' -:' + f当，即存二订二时，；•二面积的最大值为 3，所以■--'-面积的最大值为3， 当•在第二象限时，由对称性知， 面积的最大值也为 3，综上面积的最大值为3.【点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从 而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基 本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.21. 已知函数」：：—「-“；」；：•，: : - ■■. (1 )若 ，求；的单调区间； (2)若，一—：八，求证：；!.，-：：：」；」一：.• I .【答案】(1)'的单调递增区间为. ，不存在递减区间.(2)见证明【解析】 【分析】x H11 x(1)求出’：I ，一―一.-「研究函数. 的正负情况即可明确-I，的正负情况，即可得到’ 的单调区间；X + 1⑵ 设-1 ■ ■■■' '■,证明.’，要证明.；？空=十只需证明,； ：：■ '2 :'.【详解】解法一：(1 )'的定义域为 t 一 】.■! •3，字一.时，:i.'.u '-： 一1_ X(x + I)2 (x + I)2当， I 时，；’，所以•在 1单调递减； 当「W +朋时，； 二所以• 在’I 单调递增;所以：■■，所以•’在： 单调递增,即； 的单调递增区间为；• ■ 0”门，不存在递减区间由 u■-；得：「：Skm由韦达定理，•.，4m 2 - 36■- ■!■ ■■■.；18m所以:-| -! ■-- '9+ 4/yi+Xz 因为八在同一直线上，所以 I) 9 1二，解得•，所以'，「5 5又因为•到直线；的距离为所以f _ - /. •讥-■_1V（2）设.-；i ■. I _ ■'■；： I ■ ■.! i ,则•:：”:;Ix+ 1x + 1当：丨时，• ，，所以•在 丨单调递增； 当 「 时，- ■，所以 在单调递减； 所以•所以，:’上 二时，::.■•：；!：!.+.「+ 叮：；駅〔+ jj £ = ＞［：-■■■： :- .f ；.■: I即； -- ■，要证明： ■ 只需证明［--.「丨 .由（ 1）知,r ■• ； 一「「m. -」：：打在【i+"i 单调递增， 2x 所以，当T ：：'时，‘，丨… ■'；，即丨 ■x + 2所以当：:：:.：时，二m ••工"宀x+ 2- 十 疋―2 j. x — 2 r所以只需证明 一 — •，即证明疋+ 2 疋+ 2x-2x 2e x设.，则.兀+ 2（X + Z ）2所以•在 1单调递增，所以：'—.&「•；，所以原不等式成立. 综上，当 ，：.：—…丄门时，:「：：. .［ — ：• 解法二：（1）同解法一 （2）同解法一得只需证明x — 2 设 ＜■＞；■ j - ? !■'■：＞； ' -F ■■■；?.■■■■：'•，则••沪:.匕- -X + 1.----,X 十1仕十1严由•■得，即I因为；I ,所以1,X + 1 十、 I 3 2（x^2） 2JT 2-X又因为：-：：：：•，所以忙十1 （X + I ）2 X 十 1 （x + l ）Z因为； I ，所以 所以.■， 在」单调递增，所以•"所以 在 I 单调递减，所以W —；l ，即：；.：：■ - : r 1 - :\：综上，当：：二-二时，- x — 2U -■ :i : 'I ，只需证明 —一 ”即证明 i 设 ■_.：■■： - ' - 了则"由 ■ 1 - :|，得，即 丁 ：• ■■ -F '.，所以 ' '-口所以. 在 |单调递增，所以 汁“-「」即」+：：••' 7「:一 ：，所以:综上，当：：二-二「；_丄.二：时，- 解法四：（1）同解法 （2）同解法一得要证明 ■兀一 £ 廿 只需证明+＜・』, 即证明 厂一 j设 ■ - ：■ ； ■: ■■■ I ,设，因为； I ，所以'，所以〔在 I 单调递减, 所以… 「'，解法三：（1）同解法一 （2）同解法一得要证明所以•在 -单调递增，所以•■ ■■即一m 所以::::：■'■ ■. i : -I综上，当-_ 二，：.： = .,」.「时，:i .：：■\：【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略（1）构造差函数；.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式•（2）根据条件，寻找目标函数•一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数•22. 在直角坐标系'中，直线的参数方程为二:•（为参数），以坐标原点-为极点，以轴正半轴为2 4极轴，建立极坐标系，曲线•的极坐标方程为，1 +亦切（1 ）求的普通方程和•的直角坐标方程；（2 ）若，上恰有2个点到的距离等于'，求的斜率.【答案】⑴ 的普通方程为:-触r, C的直角坐标方程为了..（2）.—【解析】【分析】（i）分类讨论」，消去参数t，得到的普通方程，禾u用茫二m,及'■，得到•的直角坐标方程；⑵-，根据题意可知上恰有2个点到的距离等于等价于•上的点到的距离的最大值为，利用椭圆的参数方程及点到直线距离，即可得到的斜率•n【详解】（1）当，即时，的普通方程为■'-当「宀r〒；i,即’-,■ 时，的普通方程为' 小「由及’.得' 即C的直角坐标方程为一+ “一..4（2）依题意，设;'所以•上恰有2个点到的距离等于等价于•上的点到的距离的最大值为-设•上任一点,贝打到的距离\sin（i - "2iccosB\ IJ1L + 4/小班"+ 仞| . - 2k1（其中」1 +4Jt2L,门+/& . &解得：•，所以的斜率为士.【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式x2+ y2^p2，,等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.23. 已知函数：：.（1 ）求不等式；的解集；（2 ）若（' — ! !对任意；恒成立，求-的取值范围•【答案】（1）1：'+宀（2）："二：1【解析】【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；. r |x + 2| + |x-4|⑵对x分类讨论，当• I时，，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小值，从而得到：•的取值范围•【详解】（1）当•时，原不等式等价于•如，解得，所以；当■:，：：工时，原不等式等价于「' : ' 1二<'■'，解得•-工，所以此时不等式无解；当一7 < .：■ < .<时，原不等式等价于-F 7 -■ - < < ，解得，所以：；综上所述，不等式解集为（2 ）由I ,得_ - - 1| •川••1|当「一.时，恒成立，所以乏；、\,, D , J 卜+ 2| + 比一斗| |x - 1 + 3| 4- |x- 1 -3|当.■- v :时，I|北-1| \x- 1|3 3 3 3因为: , ,X= 1 尤=1 X 1 X 1当且仅当I I ，即：或时，等号成立X —L X ~1所以，综上，：•的取值范围是•八亠.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题.(1) 求直线'■的方程；(2) 为直线-与异于」的交点，•的弦："的中点分别为’'「，若=•；在同一直线上，求少汁：面积的最大值.【答案】⑴ -的方程为「—、：：—、、或r—匚；1(2)3【解析】【分析】(1) 设| :，可得,■:,. ；I ,求出A点坐标，即可得到直线'■的方程；g 1(2) 利用点差法可得一$,又因为在同一直线上，所以阻，所以= -^，设出直线.-，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示丁面积，结合均值不等式即可得到结果.【详解】解法一：(1 )设• 「’I ,因为■: •，所以；■■■ : ；■■■ ■- ①左2 y1 2又因为点•在椭圆上，所以.’’丨②。
2019届福建省厦门第一中学高三最后一次模拟数学(理)试题(解析版)
2019届福建省厦门第一中学高三最后一次模拟数学（理）试题一、单选题1．复数()13z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ） A ．2- B ．2 C ．2i D ．2i -【答案】A【解析】由题意结合复数的除法法则确定z 的值，然后可得其虚部. 【详解】 由题意可得：()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 则z 的虚部是2-. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.2．已知命题{}2:|560p A x x x =-+<，命题{}:|lg(2),q B x y x a a R ==-∈.若命题q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a ≤C ．4a <D ．4a ≤【答案】D【解析】首先求得集合A ,B ，然后结合题意和恒成立的条件可得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得：命题p ：{}|23A x x =<<，命题q ：|2a B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭， 命题q 是p 的必要不充分条件，故不等式2ax >，即2a x <在区间()2,3上恒成立， 据此可知：a 的取值范围是4a ≤. 故选D . 【点睛】本题主要考查集合的表示，由必要不充分条件求参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若x，y满足{1x yx yx-≤+≤≥，，，则2z x y=+的最大值为（）A．0 B．1 C．3 2D．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122y x z=-+，令0Z=，作直线12y x=-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2，故选D.【考点】本题考点为线性规划的基本方法4．若a，b，c满足23a=，2log5b=，32c=.则（）A．c a b<<B．b c a<<C．a b c<<D．c b a<<【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】Q23a=，12232<<，∴12a<<，Q22log5log4b=>，∴2b>，Q32c=，01323<<，∴01c<<，∴c a b<<，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.5．数列{}n a满足()11nn na a n++=-⋅，则数列{}n a的前20项的和为( )A．100 B．-100 C．-110 D．110【答案】B【解析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”记该寺内的僧侣人数为0S ，运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．414B ．504C ．462D ．540【答案】C【解析】设僧侣人数为x ，则0036434S S +=，则0624S =；运行该程序，第一次，2i =，62412612S =-=，第二次，3i =，61218594S =-=，第三次，4i =，59424570S =-=，第四次，5i =，57030540S =-=，第五次，6i =，54036504S =-=，第六次，7i =，50442462S =-=，7i <不成立，此时输出的S 的值为462，故选C.7．若函数())f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，||αβ-的最小值是2π，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 图象关于直线6x π=对称B ．()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增 D ．()f x 图象可由2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向右平移3π个单位得到【答案】C【解析】首先确定函数的解析式，然后结合函数的解析式考查函数的对称轴、对称中心、单调性等性质即可. 【详解】函数的解析式即：()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ||αβ-的最小值是2π，故42T π=，即：1242ππω⨯=，解得：1ω=， 函数的解析式即()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，考查所给的选项：A . 当6x π=时，632x k ππππ+=≠+，题中的说法错误；B . 当3x π=时，62x ππ+=，故03f π⎛⎫≠⎪⎝⎭，题中的说法错误； C . 若,03x π2⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则,626x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，题中的说法正确；D . 2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向右平移3π个单位所得函数的解析式为：()2cos 2sin 36y x x f x ππ⎡⎤⎛⎫=--=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，题中的说法错误；故选C . 【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解方法，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．高考结束后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学去A 、B 、C 、D 四地旅游，每人只去一地，每地均有人去，且甲同学只去A 地，则不同出行方案种数为（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．72【答案】C【解析】由题意利用加法原理和排列组合公式计算不同的出行方案种数即可. 【详解】由题意可得，当A 地只有1人时，出行方案种数为：12234236C C A =种， 当A 地有2人时，出行方案种数为：134324C A =种，结合分步加法计数原理可得不同出行方案种数为362460+=. 故选：C . 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 9．某变量X 的总体密度曲线为sin(02)42xy x ππ=<<，变量T 的总体密度曲线为cos(02)42xy x ππ=<<，在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域记作I ，II ，在矩形OABC 区域中任取一点，则点落在区域I 或II 的概率为（ ）A ．2ππ- B ．22ππ- C ．4ππ- D ．42ππ- 【答案】B【解析】由题意首先利用微积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式可得概率值. 【详解】由题意可得，区域Ⅰ的面积：11211021cossin44242S x dx x dx πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 11201211sin |cos42222x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦42π=-. 区域Ⅱ的面积：2322cos sin4242S x x dx ππππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰23211sin cos |2222x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭122=-+， 则点落在区域I 或II 的概率为122224S S p πππ+-==⨯.故选：B . 【点睛】本题主要考查定积分及其应用，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M，若||||3MN AB =，则l 的斜率为（ ） A．BC ．1D ．2【答案】B【解析】由题意结合抛物线的定义和特殊角的三角函数值首先求得直线的倾斜角，然后确定其斜率即可. 【详解】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为',','A B N ，由抛物线的定义知AF =()11,||,||22AA BF BB NN AA BB AB '''''==+=， 因为3|||MN AB =，所以23|||'|,3'3MN MN NN NN ==， 所以∠MNN '=30°，即直线MN 的倾斜角为150°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60°，l 3故选：B . 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，直线的倾斜角及斜率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，一平行于平面1A BD 的平面α与棱AB ，AD ，1AA 分别交于点E ，F ，G ，点P 在线段11A C 上，且1//PG AC ，则三棱锥P EFG -体积的最大值为（ ）A ．1B ．2C 2D 3【答案】B【解析】由题意首先求得三棱锥P EFG -体积的表达式，然后利用导函数求解体积的最大值即可. 【详解】设()03AG t t =<<，则由题意可得：2EF t =，234EFG S EF ∆∴==232，又PG ⊥平面EFG ，且3(3)PG t =-，1133EFG V S PG ∆∴=⋅=2)2t t -=()32132t t -+，()21362V t t '=-+Q ，max (2)2V V ∴==. 故选B . 【点睛】本题主要考查立体几何中体积的求解，由导函数求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．已知函数2()(1)2xa f x x e x =--，对于任意1x R ∈，()20,x ∈+∞，不等式()()121222f x x f x x x +-->-恒成立，则整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】首先将原问题转化为恒成立的问题，然后结合导函数在特殊点处的值即可确定整数a 的最大值. 【详解】()()()()1212212122f x x f x x x x x x x +-->-=--+，设112t x x =+，212t x x =-则有12,t t R ∈且12t t >，即()()1221f t f t t t ->-恒成立， 即()()1122f t t f t t +>+，令()()g x f x x =+， 则()g x 在R 上单调递增，即()0g x '≥恒成立，即()10xg x xe ax =-+≥'，(1)10g e a -+'=≥，得14a e ≤+<，下证3a =成立：()31x g x xe x '=-+，易证当0x ≤时，()311x x g x xe x xe '=-+≥+，考查函数：xy x e =⋅，则()'1xy ex =+，故函数x y x e =⋅在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，当1x =-时，函数的最小值为min 1y e=-， 据此可得：()1'110x g x xe e≥+≥->， 当0x >时，()31xg x xe x '=-+>22(1)3121(1)0x x x x x x +-+=-+=-≥， 故3a =成立. 故选C . 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，不等式的放缩等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．已知向量()2,3a =v ，(),6b m =-v ，若a b ⊥v v ，则2a b +=vv __________. 【答案】13【解析】先化简a b ⊥v v 得到m 的值，再求2a b +v v .【详解】因为a b ⊥v v ，所以2m-18=0,所以m=9.所以2a b +v v =（4,6）+（9，-6）=（13,0），所以2a b +v v =13.故答案为13. 【点睛】(1)本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设a r =(,),x y 则a =r14．)5111x ⎛⎫-⋅⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为__________.【答案】-5【解析】)51展开式与11x ⎛⎫-⎪⎝⎭相乘得到x 项，则展开式中2x 项与1x 相乘，x 项与-1相乘，再相加，得到系数. 【详解】要求x 的系数，则)51展开式中2x 项与1x相乘，x 项与-1相乘，所以展开式中2x 项为41255C x =与1x相乘得到5x ，展开式中x 项为23510C x =，与-1相乘得到10x -，所以x 的系数为1055-+=- 【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题.15．已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的渐近线方程为____________.【答案】y =【解析】由题意利用对称性首先求得点P 的坐标，然后结合两点之间距离公式确定a ,b 的关系即可确定渐近线方程. 【详解】设F 1点关于渐近线的对称点为()00,P x y ，不妨设渐近线方程为by x a=，则： 0000122y b x c a y x c b a ⎧⨯=-⎪+⎪⎨-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：22002b ax caby c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 因为22OPF POF ∠=∠，所以PF 2=F 2O =c ，根据两点间距离可得2P c F ==，整理可得：42244a 4a b c +=，即()()2222224a a b a b +=+，据此有：()()222230a b ab +-=据此可得：ba= 故E的渐近线方程为y =. 【点睛】本题主要考查点关于直线的对称性，双曲线的渐近线的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，AD CD =，120ADC =∠︒，则BCD ∆面积的最大值为__________.【答案】3【解析】由题意结合正弦定理和余弦定理得到关于三角形面积的解析式，结合三角函数的性质即可确定BCD ∆面积的最大值. 【详解】设ABC α∠=，BCA β∠=，依题意得30ACD ∠=︒，AC =则12BCD S CB CD ∆=⋅⋅sin 6πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭ABC ∆中由余弦定理得：241221cos 54cos AC αα=+-⨯⨯⨯=-ABC ∆中正弦定理得：sin sin AC ABαβ=，即sin sin AC βα⋅= 则222cos AC AC β=-22sin 54cos AC βα=-22sin (2cos )αα-=-，即cos 2cos AC βα⋅=-，所以BCD S ∆==2sin 2πα⎛⎫-+ ⎪=≤，当且仅当23απ=取等号. 综上可得：BCD ∆. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 【答案】(1) 21n a n =- (2)见证明【解析】(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式. 【详解】（1）由1n n n a S S -=+，得11n n n n SS S S ---=+，即11(2)n n S S n --=≥，所以数列{}nS 是以111S a ==为首项，以1为公差的等差数列，所以1(1)1n S n n =+-⨯=，即2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； （2）当2n ≥时，111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭， 所以123111123n a a a na +++⋅⋅⋅+1111111122231n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-⎝⎭L 313222n =-< 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，E 是1CC 的中点，1BC =，12BB =，160BCC ∠=︒.（1）证明：1B E AE ⊥； （2）若2AB =11A B E A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【解析】（1）证明：连接1BC ，BE ，发现1BC BC ⊥，求出BE 和1B E ，并证得1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，所以1B E ⊥平面ABE ，证得1B E AE ⊥；（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面1AB E 的法向量为n r ，设平面11A B E 的法向量为m r，然后计算夹角即可.【详解】解：（1）证明：连接1BC ，BE ， 因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=︒．所以1BC BC ⊥． 所以1112BE CC ==，因为2211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⨯⨯︒=．所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ， 所以1B E AB ⊥，AB BE B =I ， 所以1B E ⊥平面ABE ， 因为AE ⊂平面ABE ， 所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(2A ，()13,0B -，13,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(13,2A -， 所以133,,022B E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，(13,2AB u u u v =--，133,,222A E ⎛=- ⎝u u u v ，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =r ，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c r=，则11300{ { 0320x y B E n AB n x z -=⋅=⇒⋅=+=u u u v ru u u v r ，取(3,2n =r， 则11300{ { 033220a y B E m A m abc E -=⋅=⇒⋅=-=u u u v ru u u v r，取()1,3,0m =r．所以6cos ,26m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯r r r rr r ， 即二面角11A B E A --的平面角的余弦值为6． 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题. 19．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和210.1()5p p -≤<.（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p .（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值. ①已知A ，B 生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元．若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估算该厂产量2000件时利润的期望值. 【答案】(1) 00.95p = (2) ①B 生产线上挽回的损失较多. ②见解析【解析】(1)由题意得到关于p 的不等式，求解不等式得到p 的取值范围即可确定其最小值；(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；②.由题意首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值. 【详解】（1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，设从A ，B 生产线上抽到合格品分别为事件M ，N ，则M ，N 互为独立事件 由已知有()p M p =，()210.51()p N p p =-≤<则()1()1p C p C =-=-()1()()p MN p M p N =-1(1)(22)0.995p p =---≥ 解得0.95p ≥，则p 的最小值00.95p =（2）由（1）知A ，B 生产线的合格率分别为0.95和0.9，即不合格率分别为0.05和0.1. ①设从A ，B 生产线上各抽检1000件产品，抽到不合格产品件数分别为1X ，2X ， 则有()1~1000,0.05X B ，()2~1000,0.1X B ，所以A ，B 生产线上挽回损失的平均数分别为：()11555E X EX ==⨯10000.05250⨯=，()2233310000.1300E X EX ==⨯⨯=所以B 生产线上挽回的损失较多.②由已知得X 的可能取值为10，8，6，用样本估计总体，则有203511(10)20040p X +===，60401(8)2002p X +===，20459(6)20040p X +=== 所以X 的分布列为所以111040EX =⨯+19868.1240⨯+⨯=（元） 故估算估算该厂产量2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元） 【点睛】本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，()11,A x y，3,2B ⎛ ⎝⎭，()22,C x y 是椭圆上三个不同的点，F 为其右焦点，且||AF ，|BF |，||CF 成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴交点为D ，求直线BD 的斜率k .【答案】(1) 2211612x y +=(2) 【解析】（1）由题意求得a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程；（2）由题意结合椭圆方程和等差数列的性质可得点D 的坐标，然后结合点的坐标可得直线的斜率. 【详解】（1）依题意得12c e a ==，即2a c =，b =， 将点B 代入椭圆方程可得2292114a b +=，即229211412c c+=，解得2c =， 所以椭圆的方程为2211612x y +=.（2）依题意得221111612x y +=，即22113124x y =-，且有14x ≤，(2,0)F||AF ==1142x ==-同理可得35||422BF =-=，21||42CF x =- 又||AF ，|BF |，||CF 成等差数列，则有126x x +=.因为221111612x y +=，222211612x y +=， 两式相减可得()()1212111612x x x x +-+()()12120y y y y +-=， 所以()12121292AC y y k x x y y -==--+，则AC 的中垂线为()12122(3)29y y y y y x +-=+-， 令0y =可得34x =，所以3,04D ⎛⎫⎪⎝⎭为定点，则有BD k =.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中直线恒过定点的问题及应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{}max 3,1010=，己知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设21()()3(1)2h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数； （2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．试题解析：（1）设()()()()2211212ln ,2x x F x x x F x x x x-='+=---=，．．．．．．．．．．．．．1分 令()0F x '>，得()1,x F x >递增；令()0F x '<，得()01,x F x <<递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴()()min 10F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴()21f x x =-．．．．．．．．．．．．．3分设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上图象可知，这两个函数的图象在(]0,1上有两个交点，即()h x 在(]0,1上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程()()f x G x =在(]0,1上有两根可得） （2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，则2223ln 42{1324422x x x a x a x a a x a+<+⎛⎫-+-++<+ ⎪⎝⎭，对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 42{20x x ax x a -<+->，对()2,x a ∈++∞恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ①设()()1112ln ,222xH x x x H x x x'-=-=-=， 令()0H x '>，得()02,x H x <<递增；令()0H x '<，得()2,x H x >递减， ∴()()max 2ln 21H x h ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a <，∴4ln 21,04a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 故当ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当22a +≥即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减，∴()()()12ln 212H x H a a a <+=+--． ∵()111ln 210222a a a '⎛⎫+--=-≤ ⎪+⎝⎭，∴()()20ln 210H a H +≤=-<， 故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ②若()()220x x a+->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a+≥，∴[]1,2a ∈-．．．．．．．．．．．11分 由①及②得，ln 21,24a -⎛⎤∈⎥⎝⎦． 故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 【考点】导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法. 22．曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的直角坐标方程为10x +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B （A ，B 异于原点），当斜率3k ∈⎣时，求1||||OA OB +的取值范围. 【答案】(1) 1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ+=.(2) 3,⎡⎣【解析】(1)由题意首先将参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程即可； (2)利用(1)中求得的极坐标方程和极坐标的几何意义将原问题转化为三角函数求值域的问题，结合三角函数的性质可得1||||OA OB +的取值范围. 【详解】 （1）由1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消θ得()2211x y -+=，即2220x y x +-=将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入1C ，2C 得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ=.（2）设直线l 的极坐标方程为θα=，ρ∈R ，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 联立方程可得A 2cos ρα=，B ρ=所以1||2cos ||OA OB α+=+cos 3cos ααα+=3παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有2,323πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即sin ,132πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦综上1||OA OB+的取值范围为3,⎡⎣ 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()|1|f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(][),82,-∞-⋃+∞（2）{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（Ⅱ）由题意，可将m 的值分为01x ≠和1m >-进行分类讨论，当01x ≠时，函数()315g x x =+-不过原点，且最小值为5-，此时满足题意；当1m >-时，函数()37,13,133,x m x g x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，再由函数()g x 的单调性及值域，求出实数m 的范围，最后综合两种情况，从而得出实数m 的范围. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于第 21 页 共 21 页 12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-⋃+∞. （Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意： 当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭.。
福建省厦门第一中学2019届高三数学3月模拟试题文(含解析)
福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。
2019年福建省厦门一中中考数学三模试卷(解析版)
2019年福建省厦门一中中考数学三模试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的﹣2019所对应的点与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D2．下列说法中正确的是（）A．有理数a的倒数可表示为B．有理数a的相反数可表示为﹣aC．若|a|＝﹣a，则a为负数D．若x3＝x，则x＝1或03．下面调查中，适合采用全面调查的是（）A．对南宁市市民进行“南宁地铁1号线线路”B．对你安宁市食品安全合格情况的调查C．对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查D．对你所在的班级同学的身高情况的调查4．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．如果代数式有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣3 B ．x ≠0 C ．x ≥﹣3且x ≠0 D ．x ≥36．已知：如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，点D 、E 分别在AB 和AC 上，且DE ∥BC ．则∠ADE 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°7．在检测一批刚出厂的足球的质量时，随机抽取了4个足球来测量其质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检测结果如下表：则生产较合格的足球的编号是（ ）A ．1号B ．2号C ．3号D ．4号 8．如图，PA 、PB 分别与圆O 相切于A 、B 两点，C 为圆上一点，∠P ＝70°，则∠C ＝（ ）A ．60°B ．55°C ．50°D ．45°9．如图，O 为直线AB 上一点，∠COB ＝26°30′，则∠1＝（ ）A ．153°30′B ．163°30′C ．173°30′D ．183°30′10．某校将举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每班推选一名同学参加比赛，为此，初二（1）班组织了五轮班级选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是96分，甲的成绩的。
福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学(文)试题-d8fff7a82c9447d2b8a0858f2e857ca8
绝密★启用前福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ，则 （ ） A ． B ．C ．D ．2．已知双曲线的一条渐近线为 ，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．3．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。
莞生一日，长一尺。
蒲生日自半。
莞生日自倍。
问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入 ， .那么在①处应填（ ）…外…………○○…………线…………○……※…内…………○○…………线…………○……A ．B ．C ．D ．6．实数 ， 满足，则 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．247．定义在 上的连续函数 ，当 时，函数 单调递增，且函数 的图象关于直线 对称，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A ． 或B ．C ． 或D ．8．在平行四边形 中， ， ，，，若 ，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， ， 是 上两动点，且 （ 为常数），线段 中点为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，若的最小值为1，则A．B．C．D．11．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知，为动直线与和在区间上的左，右两个交点，，在轴上的投影分别为，.当矩形面积取得最大值时，点的横坐标为，则（）A．B．C．D．○…………装……学校:___________姓名：__○…………装……联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人. 用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？19．已知空间几何体 中， 与 均为边长为 的等边三角形， 为腰长为 的等腰三角形，平面 平面 ，平面 平面 .（Ⅰ）试在平面 内作一条直线，使得直线上任意一点 与 的连线 均与平面 平行，并给出详细证明； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 20．已知椭圆 ：，动圆 ：（圆心 为椭圆 上异于左右顶点的任意一点），过原点 作两条射线与圆 相切，分别交椭圆于 ， 两点，且切线长的最小值为. （Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）求证：的面积为定值.21．已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）函数有两个极值点，其中.若恒成立，求实数的取值范围.22．在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与，在第一象限分别交于，两点，为上的动点.求面积的最大值.23．已知函数，若的解集是或. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）关于的不等式有解，求实数的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2．D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3．C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为，P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5．B【解析】【分析】根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解．【详解】由题意， S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选：B．【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键.6．D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得A（3，4），由z＝4x+3y得l：y x z，平移l结合图象得直线l过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，准确画出可行域，确定最优解是关键，是一道中档题．7．C【解析】【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）＝0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【详解】函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，即函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，故函数f（x）是偶函数，而f（2）＝0，故f（2﹣m）＞0，即f（2﹣m）＞f（2）,故|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．【点睛】本题考查了函数奇偶性，考查转化思想以及函数的单调性，熟练运用函数的奇偶性和单调性解不等式是关键,是一道中档题．8．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示化简，,再结合数量积运算，即可求出答案．【详解】如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，，，∴，若•12，则•（）•（）•32223×2×cos∠BAD＝12，cos∠BAD，又∠BAD∈（0，）∴∠BAD．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量基本定理，平面向量的数量积运算，将向量，表示为，是关键，基础题目．9．A【解析】【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥，放入长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【详解】根据四棱锥的三视图，知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；放入长方体（图2所示），长方体的长CD=2，宽为，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM，ON；∴外接球的半径满足R2＝ON2+AN2，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝4π．故选：A．【点睛】本题考查了由空间几何体三视图，外接球问题，准确还原几何体，将四棱锥放到长方体中是关键，是综合性题目．10．C【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别是Q，P．设|AF|=a，|BF|=b，连AF，BF．由抛物线定义得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|．在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．在中，由余弦定理得．∴，当且仅当，即时等号成立．∵的最小值为1，∴，解得，∴．选C．点睛：（1）抛物线定义在解题中的两个应用：①当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，利用此结论可解决有关距离、最值、弦长等问题．②当动点满足的几何条件符合抛物线的定义时，可根据定义得到动点的轨迹是抛物线，进而可求得抛物线的方程．（2）应用基本不等式求最值时，一定要注意不等式使用的条件，当所给式子不满足条件时需要通过变形得到所需要的形式，然后再用不等式求解．【解析】【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得，代入＜λa n2+2，分离参数λ，求出的最大值得答案．【详解】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，由d2r2，且，得22+S n＝2a n+2，∴4+S n＝2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2＝2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n＝2a n+2，取n＝1，解得＝2，∴S n+2＝（+2）•2n﹣1，则S n＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2适合上式，∴．设，，所以.所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立. 设，因为，所以，故的最小值为因为，所以.【点睛】本题考查数列通项公式，数列求和，数列的最值，不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题．12．A【解析】【分析】由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sinx），则矩形PQRS的面积为S（x）＝（2x）•sinx，（0＜x＜），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值，结合零点存在定理和得的范围【详解】由题意知，与关于直线对称，设，则，∴，∴，∴，∵，∴，∴在区间上单调递减，且，，∴在区间存在唯一零点，即为.令得：，即.由不等式得：，解得：，故选：A.【点睛】本题考查函数与导数综合,零点,不等式等，三角函数的图象与性质,考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．13．【解析】【分析】由复数代数形式的除法运算得z,再由共轭复数得答案．【详解】由，得z，∴．故答案为：．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，准确计算是关键，是基础题．14．30【解析】【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据，，可得3d＝﹣15，3+6d＝15，解得d，．令，解得n，进而得出的最大值．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵，，∴3d＝﹣15，3+6d＝15，解得d＝﹣5，＝15．∴a n＝15﹣5（n﹣1）＝20﹣5n，由＝﹣＝﹣解得3≤n≤4．则的最大值为＝＝3×1530．故答案为：30．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，数列和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】由题意，B，∠＝60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣的侧面积．【详解】由题意，面，B，∠＝60°，∴，B，∴AB，∴三棱柱ABC﹣的侧面积为（2）×1，故答案为．【点睛】本题考查三棱柱的侧面积，线面位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16．1【解析】【分析】（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，可得a＝2b+1，a＝c+lnc.，得,故|b﹣c|，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可求解．【详解】∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，∴a＝2b+1，a＝c+lnc．∴2b+1＝c+lnc，∴b．∴|b﹣c|，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），f′（c）＝1，当c>1, f′（c）>0;0<c<1, f′（c）<0可得：c＝1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）＝2＞0．∴|b﹣c|1，故答案为：1．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【详解】（Ⅰ）由题意得，且=6,故，由正弦定理得，整理得：，即，又，所以.在中，易知，取中点易得，即，所以. （Ⅱ）函数图像向左平移1个单位，得，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得，由，解得.所以函数单调递减区间为.【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A．还考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.【解析】【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【详解】（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为.（Ⅱ）根据题意，得出如下列联表.根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.【点睛】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据列出列联表，准确计算是关键，是中档题19．(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：第一问注意到任意直线都与平面是平行的，从而想到应该是线所在的平面与对应平面是平行的，再结合题中所给的条件，求得结果，第二问结合题中的条件，求出与三棱锥的体积相关的量，最后代入体积公式求得结果.详解：( Ⅰ )如图所示,取 DC 中点 N ,取 BD 中点 M ,连结MN ,则 MN 即为所求证明:取 BC 中点 H ,连结AH , ∵ ΔABC 为腰长为 3 的等腰三角形,H 为 BC 中点,∴ AH ⊥ BC ,又平面ABC ⊥ 平面 BCD ,平面ABC ∩ 平面 BCD = BC ,AH ⊂平面 ABC ,∴ AH ⊥ 平面 BCD ,同理可证EN ⊥ 平面BCD , ∴ EN∥ AH ,∵ EN ⊄平面 ABC , AH ⊂平面ABC , ∴ EN ∥ 平面ABC .又 M , N 分别为 BD , DC 中点, ∴ MN ∥ BC ,∵ MN ⊄平面 ABC , BC ⊂平面EMN , ∴ MN ∥ 平面ABC .又MN ∩ EN = N , MN ⊂平面 EMN ,EN ⊂平面 EMN ,∴ 平面EMN ∥ 平面 ABC ,又 EF ⊂平面EMN , ∴ EF ∥ 平面 ABC .( Ⅱ )连结 DH ,取 CH 中点 G ,连结 NG ,则NG ∥ DH ,由( Ⅰ)可知EN ∥ 平面 ABC ,所以点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等 .又ΔBCD 是边长为 2 的等边三角形, ∴ DH ⊥ BC ,又平面ABC ⊥ 平面 BCD ,平面ABC ∩ 平面 BCD = BC , DH ⊂平面 BCD ,∴ DH ⊥ 平面ABC , ∴ NG ⊥ 平面 ABC ,∴ DH = ,又 N 为 CD 中点, ∴ NG =,又AC = AB =3 ,BC =2 , ∴ S ΔABC = ·BC·AH =2∴ V E- ABC = V N - ABC = ·S ΔABC · | NG |=注:本题用空间向量做同样给分点睛：该题考查的是有关空间的线线、线面、面面的平行垂直关系，要求对这些定理的条件都得熟记，并且能够将问题转化，再者，在计算三棱锥的体积时，对应的高线在求解时，需要做的垂线必须借助于垂面来完成，即所有的垂线以及平行线都不是凭空而来的. 20．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）将圆心坐标代入椭圆方程，根据两点之间的距离公式，|OT|，由切线长的最小值为，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（Ⅱ）当斜率不存在，此时M、N分别为长、短轴一个端点，则△MON的面积为，当斜率存在，分别设出切线方程，代入求得M和N的坐标，由三角形的面积S△MON，即可求得△MON的面积【详解】（Ⅰ）因为椭圆：＜＜，焦点在x轴上，P（，）在椭圆方程上，则2＝b2（1），由＜b＜2，得：＝（1）+b2≥b2＞r2，故点O在圆P外，不妨设OM与圆P相切于T，则有：切线长|OT|，代入得|OT|，由已知得：，解得：b2＝2，所以椭圆的方程为：（Ⅱ）当切线或斜率不存在即圆与轴相切时，易得，代入椭圆方程得：，说明圆同时也与轴相切，此时、分别为长、短轴一个端点，则的面积为当切线、斜率都存在时，设切线方程为：，由得：，整理得：.由知：，即，此时，方程必有两个非零根，记为，则，分别对应直线，的斜率，由韦达定理得：，将代入得：，由上知：，设点位于第一、三象限，点位于第二、四象限，若点位于第一象限，点位于第二象限，设：与椭圆方程联立可得：，设：与椭圆方程联立可得：，分别过M,N作，垂直x轴，则梯形，代入坐标有：，同理，当点、位于其它象限时，结论也成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理运算和方程求解能力．运用化归转化手段．将切线长最短问题转化为椭圆上的动点到定点距离最短问题；考查圆锥曲线中的有关定值问题，从变化中寻找不变量，并通过必要的推理和运算化简求值．考查转化化归思想、分类整合思想，属于难题．21．（Ⅰ）或时，函数的增区间是，，减区间是.时，函数的增区间是；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞恒成立，即m＞恒成立，令t＝a﹣2（t＞2），则，令g（t），根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m 的范围即可．【详解】（Ⅰ），令.（1）当时，即或时方程有两根，，，函数的增区间是，，减区间是.（2）当时，即时，在上恒成立，函数的增区间是. 综上所述，或时，函数的增区间是，，减区间是.时，函数的增区间是.（Ⅱ）∵有两根，且，∴且，∴.恒成立等价于恒成立，即恒成立，令，则，令.当时，函数单调递增，，∴.∴，∴的取值范围是.本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用，解决与不等式有关的参数范围和证明问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，分类思想，考查运算能力，是一道综合题．22．（1）（2）【解析】【分析】(Ⅰ)先求出曲线的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出,再求出以为底边的的高的最大值为, 再求面积的最大值.【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线的普通方程为,曲线的极坐标方程为,直线的直角坐标方程为．(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,设,,则,即,得或(舍),,则,到的距离为,以为底边的的高的最大值为,则的面积的最大值为【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出.23．（1）m=3 (2)或试题分析：（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a﹣4，由此求得a的范围．试题解析：（1）解法一：，，，作出函数的图象由的解集为及函数图象得得解法二：，，，①得得，②得，不合题意③得当 时， ，不符合 ，舍去 当 时，综上不等式的解集为或，（2）解法一：由（Ⅰ）得 ，， ，∵ 有解 ∴ 即即，实数的取值范围解法二：由绝对值不等式几何意义得有解即实数的取值范围点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
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2019 年福建省厦门一中中考数学三模试卷一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）1．如图所示，圆的周长为4 个单位长度，在圆周的4 等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A 对应的点与数轴的数字1 所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的﹣2019 所对应的点与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D2．下列说法中正确的是（）A．有理数a 的倒数可表示为 B．有理数a 的相反数可表示为﹣aC．若|a|＝﹣a，则a 为负数D．若x3＝x，则x＝1 或03．下面调查中，适合采用全面调查的是（）A.对南宁市市民进行“南宁地铁1 号线线路”B．对你安宁市食品安全合格情况的调查C．对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查D．对你所在的班级同学的身高情况的调查4．如图，几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．如果代数式有意义，则实数x 的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3 且x≠0 D．x≥3 6．已知：如图，在△ABC 中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E 分别在AB 和AC 上，且DE∥BC．则∠ADE 的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7.在检测一批刚出厂的足球的质量时，随机抽取了4 个足球来测量其质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检测结果如下表：则生产较合格的足球的编号是（）A.1号B．2 号C．3 号D．4 号8.如图，PA、PB 分别与圆O 相切于A、B 两点，C 为圆上一点，∠P＝70°，则∠C＝（）A．60°B．55°C．50°D．45°9．如图，O 为直线AB 上一点，∠COB＝26°30′，则∠1＝（）A．153°30′B．163°30′C．173°30′D．183°30′10.某校将举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每班推选一名同学参加比赛，为此，初二（1）班组织了五轮班级选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是96 分，甲的成绩的方差是0.3，乙的成绩的方差是0.4，根据以上数据，下列说法正确的是（）A．甲的成绩比乙的成绩稳定B．乙的成绩比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）11.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝，那么6※3＝．12.若x+5，x﹣3 都是多项式x2﹣kx﹣15 的因式，则k＝．13.八边形的内角和为．14.如图，在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西54°的方向，同时轮船B 在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝．足球的编号 1 2 3 4 与标准质量的差（克）+3 +2 ﹣1 ﹣215.如图1，点E，F，G 分别是等边三角形ABC 三边AB，BC，CA 上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG，设△EFG 的面积为y，AE 的长为x，y 关于x 的函数图象大致为图2 所示，则等边三角形ABC 的边长为．16.如果把函数y＝x2（x≤2）的图象和函数y＝的图象组成一个图象，并称作图象E，那么直线y＝3 与图象E 的交点有个；若直线y＝m（m 为常数）与图象E 有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．三．解答题（共9 小题，满分86 分）17．（8 分）计算：﹣22﹣+|1﹣4sin60°|18．（8 分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8 分）如图，∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，试说明：△ABD≌△ACE．20．（8 分）已知函数y＝（m+1）x2+4（m2 一1）x+2（m+1）（1）若函数图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．（2）是否存在整数m，使函数图象与x 轴有两个交点，且两个交点之间的距离为2？若存在，求出符合条件的m 值；若不存在，请说明理由．21．（8 分）为了解家长对“学生在校带手机”现象的看法，某校“九年级兴趣小组”随机调查了该校学生家长若干名，并对调查结果进行整理，绘制如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次接受调查的家长总人数为人．（2）在扇形统计图中，求“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数；（3）若在这次接受调查的家长中，随机抽出一名家长，恰好抽到“无所谓”的家长概率是多少？22．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D，交BC 于点E．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OB＝10，CD＝5，求图中阴影部分的面积．23．（10 分）元旦节前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价2 元促销，降价后80 元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.25 倍．（1）试问：降价后每枝玫瑰的售价是多少元？（2）根据销售情况，店主用不多于1000 元的资金再次购进两种鲜花共180 枝，康乃馨进价为6 元/枝，玫瑰的进价是5 元/枝．试问；至少需要购进多少枝玫瑰？24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2 分别交x 轴、y 轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、B．点P 是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线分别交抛物线和直线AB 于点E 和点F．设点P 的横坐标为m．（1）点A 的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P 在线段OA 上时，若以B、E、F 为顶点的三角形与△FPA 相似，求m 的值．（4）若E、F、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P 三点为“共谐点”．直接写出E、F、P 三点成为“共谐点”时m 的值．25．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点C（2，m）为直线y＝x+2 上一点，直线y＝﹣x+b 过点C．（1）求m 和b 的值；（2）直线y＝﹣x+b 与x 轴交于点D，动点P 从点D 开始以每秒1 个单位的速度向x 轴负方向运动．设点P 的运动时间为t 秒．①若点P 在线段DA 上，且△ACP 的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使△ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．2019 年福建省厦门一中中考数学三模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）1.【分析】圆每转动一周，A、B、C、D 循环一次，﹣2019 与1 之间有2020 个单位长度，即转动2020÷4＝505（周），据此可得．【解答】解：1﹣（﹣2019）＝2020，2020÷4＝505（周），所以应该与字母A 所对应的点重合．故选：A．【点评】此题考查数轴，以及循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．2.【分析】依据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的性质进行判断即可．【解答】解：A.0 不存在倒数，故A 错误；B．a 的相反数是﹣a，故B 正确；C．若|a|＝﹣a，则a≤0，故C 错误；D．x3＝x，则x＝1 或0 或﹣1，故D 错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是倒数、相反数、绝对值的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．3.【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A、对南宁市市民进行“南宁地铁1 号线线路”适宜采用抽样调查方式；B、对你安宁市食品安全合格情况的调查适宜采用抽样调查方式；C、对南宁市电视台《新闻在线》收视率的调查适宜采用抽样调查方式；D、对你所在的班级同学的身高情况的调查适宜采用普查方式；故选：D．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4.【分析】找到从几何体左面看得到的平面图形即可．【解答】解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左．故选：A．【点评】此题主要考查了三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．5.【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≥﹣3 且x≠0故选：C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．6.【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE 即可．【解答】解：在△ABC 中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【分析】检测质量时，与标准质量偏差越小，合格的程度就越高．比较与标准质量的差的绝对值即可．【解答】解：|+3|＝3，|+2|＝2，|﹣1|＝1，|﹣2|＝2而1＜2＜3∴3 号球与标准质量偏差最小．故选：C．【点评】本题考查的是绝对值的应用，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．8.【分析】连接OB、OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理得到∠C 的度数．【解答】解：连接OB、OA，如图，∵PA、PB 分别与圆O 相切于A、B 两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣70°＝110°，∴∠C＝∠AOB＝55°．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．9．【分析】根据邻补角互补可得∠1＝180°﹣26°30′＝153°30′．【解答】解：∵∠COB＝26°30′，∴∠1＝180°﹣26°30′＝153°30′，故选：A．【点评】此题主要考查了补角，关键是掌握邻补角互补．10.【分析】根据方差越小，数据离散程度越小，成绩越稳定求解可得．【解答】解：∵甲的成绩的方差是0.3，乙的成绩的方差是0.4，∴甲的成绩比乙的成绩更稳定，故选：A．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）11.【分析】根据※的运算方法列式算式，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：6※3＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了算术平方根的定义，读懂题目信息，理解※的运算方法是解题的关键．12.【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．【解答】解：根据题意得（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15，＝x2﹣kx﹣15，∴﹣k＝2，解得k＝﹣2．【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法是互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．13.【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．14.【分析】首先计算出∠3 的度数，再计算∠AOB 的度数即可．【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，∠3＝90°﹣54°＝36°，∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．故答案为：141°．【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．15.【分析】设出等边三角形ABC 边长和BE 的长，表示等边三角形ABC 的面积，讨论最值即可．【解答】解：设等边三角形ABC 边长为a，则可知等边三角形ABC 的面积为设BE＝x，则BF＝a﹣xS△BEF＝易证△BEF≌△AGE≌△CFGy＝﹣3（）＝当x＝时，△EFG 的面积为最小．此时，等边△EFG 的面积为，则边长为1EF 是等边三角形ABC 的中位线，则AC＝2故答案为：2【点评】本题是动点函数图象问题，考查了等边三角形的性质及判断．解答时要注意通过设出未知量构造数学模型．16.【分析】在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，根据函数图象即可得到直线y＝3 与图象E 的交点个数以及常数m 的取值范围．【解答】解：在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，由图可得，直线y＝3 与图象 E 的交点有2 个，∵直线y＝m（m 为常数）与图象E 有三个不同的交点，∴直线y＝m 在直线y＝2 的下方，且在x 轴的上方，∴常数m 的取值范围是0＜m＜2，故答案为：2，0＜m＜2．【点评】本题主要考查了反比例函数以及二次函数的图象，解决问题的关键是在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2（x≤2）和函数y＝的图象，依据函数图象进行判断．三．解答题（共9 小题，满分86 分）17.【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣4﹣2 +4×﹣1＝﹣4﹣2+2 ﹣1＝﹣5．【点评】此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．18.【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把y 系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：两边都乘以12 得，2（y+1）﹣3（2y﹣5）≥12，去括号得，2y+2﹣6y+15≥12，移项，合并同类项得，﹣4y≥﹣5，系数化为1 得，y≤，把不等式的解集在数轴上表示如下：【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【分析】根据AAS 推出△ABD≌△ACE 即可．【解答】解：∵∠ADE＝∠AED，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED＝∠AEC又∵BE＝CD，∴BD＝BE﹣DE＝CD﹣DE＝CE在△ADB 与△ACE 中，，∴△ADB≌△ACE【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．20.【分析】（1）判断二次函数图象与x 轴的交点情况，相当于求方程（m+1）x2+4（m2一1）x+2（m+1）＝0 的判别式符号，函数图象与x 轴只有一个交点，则△＝0；（2）运用根与系数关系，求出符合条件的m 值，用△＞0 检验．【解答】解：（1）由条件可知：△＝[4（m2﹣1）]2﹣4（m+1）•2（m+1）＝8（m+1）2（m﹣1+1）（m﹣1﹣1）＝0，解得：m＝﹣1 或0 或2；（2）不存在，理由是：假设存在符合条件的m 的值，设函数图象与x 轴的两个交点横坐标是x1，x2，∴x1+x2＝﹣＝4﹣4m，x1x2＝＝2，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（4﹣4m）2﹣8＝（2 ）2，解得m＝0 或2，∵m＝0 或m＝2 都使得△＝0，∴不存在整数m，使函数图象与x 轴有两个交点，且两个交点之间的距离为2．【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交点的个数的判断，能理解二次函数与x 轴的交点和方程的根的判别式的关系是解此题的关键．21.【分析】（1）根据表示“赞同”的人数是50，所占的百分比是25%即可求得总人数；（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；（3）求得表示“很赞同”的人数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）这次接受调查的家长总人数为50÷25%＝200 人，故答案为：200；（2）∵“无所谓”的人数为200×20%＝40 人，∴“很赞同”的人数为200﹣（50+40+90）＝20 人，则“很赞同”所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝36°；（3）∵在所抽取的200 人中，表示“无所谓”的人数为40，∴恰好抽到“无所谓”的家长概率是＝0.2．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．总体数目＝部分数目÷相应百分比．22.【分析】（1）欲证明AC 是⊙O 的切线，只要证明OD⊥AC 即可．（2）证明△OBE 是等边三角形即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴OD⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线．（2）过O 作OG⊥BC，连接OE，则四边形ODCG 为矩形，∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝5 ，在Rt△OBG 中，利用勾股定理得：BG＝5，∴BE＝10，则△OBE 是等边三角形，∴阴影部分面积为﹣×10×5 ＝﹣25 ．【点评】本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【分析】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x 元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元，根据数量＝总价÷单价结合降价后80 元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的 1.25 倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）设购进玫瑰y 枝，则购进康乃馨（180﹣y）枝，根据总价＝单价×数量结合总价不多于1000 元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x 元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+2）元，根据题意得：＝×1.25，解得：x＝8，经检验，x＝8 是原方程的解．答：降价后每枝玫瑰的售价是8 元．（2）设购进玫瑰y 枝，则购进康乃馨（180﹣y）枝，根据题意得：5y+6（180﹣y）≤1000，解得：y≥80．答：至少购进玫瑰80 枝．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.【分析】（1）解方程即可得到A 点的坐标；（2）利用待定系数法即可求得函数解析式；（3）由M 点坐标可表示P、N 的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB 的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值；（4）用m 可表示出P、F、E 的坐标，由题意可知有F 为线段PE 的中点、P 为线段EF 的中点或E 为线段PF 的中点，可分别得到关于m 的方程，可求得m 的值．【解答】解：（1）在y＝+2 中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝+2 中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+ m+2），F（m，﹣m+2），∵△BEF 和△APF 相似，且∠BFE＝∠AEP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE，∴E 点的纵坐标为2，∴﹣m2+ m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，当∠EBF＝90°时，过点E 作EC⊥y 轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+ m+2﹣2＝﹣m2+ m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F 为顶点的三角形与△FPA 相似，m 的值＝，；（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+ m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P 三点为“共谐点”，∴有F 为线段PE 的中点、P 为线段FE 的中点或E 为线段PF 的中点，当F 为线段PE 的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+ m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P 为线段FE 的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+ m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；当E 为线段FP 的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+ m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P 三点成为“共谐点”时m 的值为﹣1 或﹣或．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．25.【分析】（1）分别令y＝0 可得b 和m 的值；（2）①根据△ACP 的面积公式列等式可得t 的值；②存在，分三种情况：i）当AC＝CP 时，如图1，ii）当AC＝AP 时，如图2，iii）当AP＝PC 时，如图3，分别求t 的值即可．【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2 中得：m＝2+2＝4，∴点C（2，4），∵直线y＝﹣x+b 过点C，4＝﹣+b，b＝5；（2）① 由题意得：PD＝t，y＝x+2 中，当y＝0 时，x+2＝0，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），y＝﹣x+5 中，当y＝0 时，﹣x+5＝0，x＝10，∴D（10，0），∴AD＝10+2＝12，∵△ACP 的面积为10，∴•4＝10，t＝7，则t 的值7 秒；②存在，分三种情况：i）当AC＝CP 时，如图1，过C 作CE⊥AD 于E，∴PE＝AE＝4，∴PD＝12﹣8＝4，即t＝4；ii）当AC＝AP 时，如图2，AC＝AP1＝AP2＝＝4 ，∴DP1＝t＝12﹣4 ，DP2＝t＝12+4 ；iii）当AP＝PC 时，如图3，∵OA＝OB＝2∴∠BAO＝45°∴∠CAP＝∠ACP＝45°∴∠APC＝90°∴AP＝PC＝4∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8；综上，当t＝4 秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8 秒时，△ACP 为等腰三角形．【点评】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．。