隐圆及其几何最值训练题

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专题18 隐形圆及最值问题

AB是 O 的直径，
ACB 90．
ABC 45 ， AC 5 ，
ABC 45 ，
AB AC 5 5 2 ， sin 45 2 2
MN最大
52 2
．
故答案为： 5 2 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3, 4) ，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A 、 B 在 x 轴上，且 OA OB ．点 P 为 C 上的动点， APB 90 ，则 AB 长度的最大值为．
1．如图，等边 ABC 的边长为 2， A 的半径为 1，D 是 BC 上的动点，DE 与 A 相切于 E ， DE 的最小值是 ( )
A．1
B． 2
C． 3
D．2
【分析】连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，因为 DE 与 A 相切于 E ，所以 AE DE ，可得 DE AD2 AE2 AD2 1 ，当 D 与 H 重合时， AD 最小，此时 DE 最小，求出 AH 的长，即可得出 DE 的最小值．【解答】解：如图，连接 AE ， AD ，作 AH BC 于 H ，
若平面上 A、B、C、D 四个点满足 ABC ADC ，则 A、B、C、D 四点共圆．证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角．
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．
D
C
H
O
A
B
四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 H，若 AH CH BH DH ，则 A、B、C、D 四点共圆.
作 AM⊥BP 于 M．当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（
）
A． 2 π 2

专题03 隐圆(辅助圆)最值模型

专题03 隐圆类最值问题题型一滑梯类1．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，线段DE 的两个端点D 、E 分别在边AC ，BC 上滑动，且6DE =，若点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，则MN 的最小值为( )A ．10B 3-C ．6D ．32．如图，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为．3．已知边长为a 的正方形ABCD ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 点D 在第一象限，点E 为正方形ABCD 的对称中心，连接OE ，则OE 的长的最大值是．4．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是．5．如图，矩形ABCD中，20AD=，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且10EF=，AB=，30点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH CH+的最小值为．题型二定点定长6．如图，在矩形ABCD中，4∆沿AB=，6AD=，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF EF所在直线折叠得到△EB F'，连接B D'，则B D'的最小值是．7．如图，在边长为4的菱形ABCD中，60∠=︒，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN∆A沿MN所在的直线翻折得到△A MN'，连接A C'，则线段A C'长度的最小值是．8．如图，四边形ABCD中，AB AC AD∠=度．∠=︒，则CBDCAD==，若769．如图，在Rt ABCBC=，点F在边AC上，并且2CF=，点E为边BC上的AC=，8∠=︒，6C∆中，90动点，将CEF∆沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是()A．1.5B．1.2C．2.4D．以上都不对10．如图，在平行四边形ABCD中，30BC=，CD=M是AD边的中点，N是AB边上BCD∠=︒，4的一动点，将AMN'，连接A C'，则A C'长度的最小值是．∆沿MN所在直线翻折得到△A MN题型三直角所对的是直径11．如图，在圆O中，半径OA弦10⊥，BC=，点Q是劣弧AC上的一个动点，连接BQ，作CP BQ垂足为P．在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是()A．6B．7C．8D．912．如图，在ABCAB=，12BC=，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD ∠=︒，8ABC∆中，90上的一个动点，连接AE，CE，当ABD BCE∠=∠时，线段AE的最小值是()A ．3B ．4C ．5D ．613．如图，Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，12AB =，8BC =，P 是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，连接PC ，则线段CP 长的最小值为．14．如图，已知C 的半径为3，圆外一定点O 满足5OC =，点P 为C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA OB =，90APB ∠=︒，l 不经过点C ，则AB 的最小值为．15．如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为3，则线段DH 长度的最小值是．题型四定边对定角16．如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为．第16题第19题 17．在锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，2BC =，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是．18．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为．19．如图，ABC ∆为等边三角形，2AB =．若P 为ABC ∆内一动点，且满足PAB ACP ∠=∠，则线段PB 长度的最小值为．20．【问题情境】（1）点A 是O 外一点，点P 是O 上一动点．若O 的半径为2，且5OA =，则点P 到点A 的最短距离为．【直接运用】（2）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是．【构造运用】（3）如图2ABCD 的边长为6，点M 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿边BC 、CD 方向向终点C 和D 运动，连接AM 和BN 交于点P ，则点P 到点C 的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，O 的半径为4，弦4AB =，点C 为优弧AB 上一动点，AM AC ⊥交直线CB 于点M ，则ABM ∆的面积最大值是．21．（1）如图1，已知ABC ∆中，30ABC ∠=︒，1AB AC ==，则ABC S ∆= ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴上运动，点B 在x 轴上运动，且4AB =，求AOB ∆面积的最大值．（3）如图3，O的半径为2，弦AB=C为优弧AmB上一动点，AM AC⊥交射线CB于点M，请问，ABM∆的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线289=--的图象经过点(0,3)y ax ax aC，交x轴于点A、(B A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；∠=∠？若存在，求出点P的坐标；若不（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使BPC BAC存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P为y 轴上的一个动点，已知(2,0)A -、(0,C -，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求此二次函数的解析式；（2）连接PA 、PB ，P 点运动到何处时，使得60APB ∠=︒，请求出P 点坐标．24．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．题型五定角定高25．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =，E 为BC 边上一动点，F 、G 为AD 边上两个动点，45FEG ∠=︒，则线段FG 的长度最大值为．26．辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB ，以AB 为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断AB 是否存在最小值，若存在，请求出AB 最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，CB CD ==点E 、F 分别为AB 、AD 上的点，若保持CE CF ⊥，那么四边形AECF 的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．27．问题研究（1）若等边ABC ∆边长为4，则ABC ∆的面积为；（2）如图1，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图2，四边形ABCD 中，AB AD ==，45B ∠=︒，60C ∠=︒，135D ∠=︒，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且EAF C ∠=∠，求四边形AECF 面积的最大值．28．（1）如图1，已知AC 、BC 为O 的两条弦，点D 为O 外一点，则ACB ∠ ADB ∠（请用“<”“ >”或“=”填空）（2）①如图2，若等边ABC ∆内接于O ，4AB =，CD 为O 的切线，则ABD ∆的面积为． ②如图3，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高．若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图4，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且45EDF ∠=︒，求四边形DEBF 面积的最大值．29．问题探究（1）如图1．在ABC ∆中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC ∆面积的最大值是．（2）如图2，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC ∆的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．30．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．AOB∆的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数9yx=的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求P∠的度数及点P的坐标；（2）求OCD∆的面积；（3）AOB∆的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．专题03 隐圆（辅助圆）最值模型题型一滑梯类模型1．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，线段DE 的两个端点D 、E 分别在边AC ，BC 上滑动，且6DE =，若点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，则MN 的最小值为( )A ．10B 3-C ．6D ．3【解答】解：ABC ∆中，90C ∠=︒，10AC =，8BC =，AB ∴==，6DE =，点M 、N 分别是DE 、AB 的中点，12CN AB ∴==，132CM DE ==，当C 、M 、N 在同一直线上时，取最小值，MN ∴3，故选：B ．2．如图，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为 1 ．【解答】解：如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，矩形ABCD ，1AB =，2BC =，1CD AB ∴==，2AD BC ==，点H 是AD 的中点，1AH DH ∴==，CH ∴===90AOD ∠=︒，点H 是AD 的中点，112OH AD ∴==，在OCH ∆中，CO OH CH <+，当点H 在OC 上时，CO OH CH =+，CO ∴的最大值为1OH CH +=，1．3．已知边长为a 的正方形ABCD ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 点D 在第一象限，点E 为正方形ABCD 的对称中心，连接OE ，则OE 的长的最大值是 a ．【解答】解：取AB 中点F ，连OF ，EF ，有OE OF FC +，当O 、E 、F 共线时，OE 有最大值，最大值是OF EF +．四边形ABCD 为正方形，90BEA ∴∠=︒，且F 为AB 中点，1122EF OF AB a ∴===， OE ∴的最大值为1122OF EF a a a +=+=，故答案为：a ．4．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 的长的最大值是．【解答】解：取AB 中点D ，连OD ，DC ，有OC OD DC +，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +．ABC ∆为等边三角形，AB BC AC a ∴===，根据三角形的性质可知：12OD a =，CD ==．OC ∴．5．如图，矩形ABCD 中，20AB =，30AD =，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的两个动点，且10EF =，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH 、GH ，则GH CH +的最小值为 45 ．【解答】解：由已知，点G 在以B 圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C 关于AD 的对称点C '，连接C B '，交AD 于H ，交以B 为圆心，以5为半径的圆于G 由两点之间线段最短，此时C B '50==，则GH CH +的最小值50545=-=，故答案为：45．题型二定点定长模型6．如图，在矩形ABCD中，4∆沿AB=，6AD=，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBFEF所在直线折叠得到△EB F'，连接B D'，则B D'的最小值是2．【解答】解：如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，此时B D'的值最小，根据折叠的性质，EBF∆≅△EB F'，∴'⊥'，EB B F∴'=，EB EBAB=，E是AB边的中点，4∴='=，2AE EBAD=，6∴=DE2∴'=．B D7．如图，在边长为4的菱形ABCD中，60∆A∠=︒，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到△A MN'，连接A C'，则线段A C'长度的最小值是2．【解答】解：如图所示：在N的运动过程中A'在以M为圆心，MA的长为半径的圆上，∴'是定值，A C'长度取最小值时，即A'在MC上时，MA过点M作MF DC⊥于点F，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 为AD 中点，2MD ∴=，60FDM ∠=︒，30FMD ∴∠=︒，112FD MD ∴==，cos30FM DM ∴=⨯︒=，MC ∴=2A C MC MA ∴'=-'=．故答案为：2．8．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ∠=︒，则CBD ∠= 38 度．【解答】解：AB AC AD ==，∴点B ，C ，D 可以看成是以点A 为圆心，AB 为半径的圆上的三个点，CBD ∴∠是弧CD 对的圆周角，CAD ∠是弧CD 对的圆心角；76CAD ∠=︒，11763822CBD CAD ∴∠=∠=⨯︒=︒． 9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是( )A ．1.5B ．1.2C ．2.4D ．以上都不对【解答】解：以F 为圆心，CF 为半径作F ，过点F 作FH AB ⊥于点H 交F 于点G ，则点P 到AB 的距离的最小值FH FP FH FG =-=-．由翻折的性质可知，2PF CF ==，∴点P 在F 上，6AC =，8BC =，10AB ∴=，由AHF ACB ∆∆∽， ∴AF FH AB BC =， ∴4108FH =， 3.2FH ∴=，∴点P 到AB 的距离的最小值 3.22 1.2FH FG =-=-=．故选：B ．10．如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，4BC =，CD =M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆沿MN A MN '，连接A C '，则A C '长度的最小值是 5 ．【解答】解：如图，连接MC ；过点M 作ME CD ⊥，交CD 的延长线于点E ；四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，4AD BC ==，点M 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，2DM MA ∴==，30MDE BCD ∠=∠=︒，112ME DM ∴==，DE ，CE CD DE ∴=+=222CM ME CE =+，7CM ∴=；由翻折变换的性质得：2MA MA '==，显然，当折线MA C '与线段MC 重合时，线段A C '的长度最短，此时725AC '=-=，故答案为5．题型三直角所对的是直径11．如图，在圆O 中，半径OA 弦10BC =，点Q 是劣弧AC 上的一个动点，连接BQ ，作CP BQ ⊥，垂足为P ．在点Q 移动的过程中，线段AP 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：如图，连接AC ，取BC 的中点K ，连接PK ，AKAB 是直径，90ACB ∴∠=︒，12AC ∴=，5CK BK ==，13AK ∴==，CP BQ ⊥，152PK BC ∴==， PA AK PK -，1358PA ∴-=，PA ∴的最小值为8．故选：C ．12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB =，12BC =，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当ABD BCE ∠=∠时，线段AE 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．90ABC ∠=︒，90ABD CBD ∴∠+∠=︒，ABD BCE ∠=∠，90CBD BCE ∴∠+∠=︒，90CEB ∴∠=︒，6CT TB ==，162ET BC ∴==，10AT ==， AE AT ET -，4AE ∴，AE ∴的最小值为4，故选：B ．13．如图，Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，12AB =，8BC =，P 是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，连接PC ，则线段CP 长的最小值为 4 ．【解答】解：90ABC ∠=︒，90ABP PBC ∴∠+∠=︒，PAB PBC ∠=∠，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，90APB ∴∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的O 上，连接OC 交O 于点P ，此时PC 最小，在Rt BCO ∆中，90OBC ∠=︒，8BC =，6OB =，10OC ∴==，1064PC OC OP ∴=-=-=．PC ∴最小值为4．故答案为：4．14．如图，已知C 的半径为3，圆外一定点O 满足5OC =，点P 为C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA OB =，90APB ∠=︒，l 不经过点C ，则AB 的最小值为 4 ．【解答】解：如图，连接OP ，PC ，OC ，OP PC OC +，5OC =，3PC =，∴当点O ，P ，C 三点共线时，OP 最短，如图，OA OB =，90APB ∠=︒，2AB OP ∴=，当O ，P ，C 三点共线时，5OC =，3CP =，532OP ∴=-=，24AB OP ∴==，故答案为：4．15．如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为3，则线段DH 长度的最小值是 31)2- ．【解答】解：在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CDBAD CDA AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CDADG CDG DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则1322OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值31)2OD OH =-=．故答案为：31)2．题型四定边对定角模型16．如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为【解答】解：ABC ∆是等边三角形，AB AC BC ∴==，60CAB ACB ∠=∠=︒，在ABE ∆和CAF ∆中，AB AC BAC ACB AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CAF SAS ∴∆≅∆，ABE CAF ∴∠=∠，60BPF PAB ABP CAP BAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，120APB ∴∠=︒，如图，过点A ，点P ，点B 作O ，连接CO ，PO ，∴点P 在AB 上运动，AO OP OB ==，OAP OPA ∴∠=∠，OPB OBP ∠=∠，OAB OBA ∠=∠，360120AOB OAP OPA OPB OBP ∴∠=︒-∠-∠-∠-∠=︒，30OAB ∴∠=︒，90CAO ∴∠=︒，AC BC =，OA OB =，CO ∴垂直平分AB ，30ACO ∴∠=︒，cos AC ACO CO ∴∠==2CO AO =，CO ∴=AO ∴=，在CPO ∆中，CP CO OP -，∴当点P 在CO 上时，CP 有最小值，CP ∴的最小值=故答案为17．在锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，2BC =，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是 23h <+ 【解答】解：如图，BC 为O 的弦，2OB OC ==，2BC =，OB OC BC ∴==，OBC ∴∆为等边三角形，60BOC ∴∠=︒，1302BAC BOC ∴∠=∠=︒，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则90DCB EBC ∠=∠=︒，∴当点A 在DE 上（不含D 、E 点）时，ABC ∆为锐角三角形，在Rt BCD ∆中，30D BAC ∠=∠=︒，CD ∴==当A 点为DE 的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图， A 点为DE 的中点，∴AB AC =，AH BC ∴⊥，1BH CH ∴==，OH ∴==2AH OA OH ∴=+=+h ∴的范围为23h +．故答案为23h +．18．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为【解答】解：如图所示．45ADB ∠=︒，2AB =，作ABD ∆的外接圆O （因求CD 最小值，故圆心O 在AB 的右侧），连接OC ，当O 、D 、C 三点共线时，CD 的值最小．90AOB ∴∠=︒，AOB ∴∆为等腰直角三角形，sin 45AO BO AB ∴==︒⨯=45OBA ∠=︒，90ABC ∠=︒，45OBE ∴∠=︒，作OE BC ⊥于点E ，OBE ∴∆为等腰直角三角形．sin451OE BE OB ∴==︒⋅=，312CE BC BE ∴=-=-=，在Rt OEC ∆中，OC ==当O 、D 、C 三点共线时，CD 最小为CD OC OD =-．19．如图，ABC ∆为等边三角形，2AB =．若P 为ABC ∆内一动点，且满足PAB ACP ∠=∠，则线段PB 长度的最小值为．【解答】解：ABC ∆是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，2AC AB ==，PAB ACP ∠=∠，60PAC ACP ∴∠+∠=︒，∴点P的运动轨迹是AC，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA PC=，OB AC⊥，则112AD CD AC===，30PAC ACP∠=∠=︒，1302ABD ABC∠=∠=︒，tan30PD AD AD∴=⋅︒==，BDPB BD PD∴=-==20．【问题情境】（1）点A是O外一点，点P是O上一动点．若O的半径为2，且5OA=，则点P到点A的最短距离为3．【直接运用】（2）如图1，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，2AC BC==，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP AP的最小值是．【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，O的半径为4，弦4AB=，点C为优弧AB上一动点，AM AC⊥交直线CB于点M，则ABM∆的面积最大值是．【解答】解：（1）连接AP、OP，如图4所示：O 的半径为2，2OP ∴=，523OA OP ∴-=-=，PA OA OP ∴-，3PA ∴，∴当点P 在OA 上时，PA 最短，最小值为3，故答案为：3；（2）连接OA ，交半圆于P '，连接OP ，如图1所示：2AC BC ==，BC 为半圆的直径，112OP OC BC ∴===，90ACB ∠=︒，OA ∴==AP OA OP -， 51AP ∴-，∴当点P 在OA 上时，AP1-，1；（3）点P 到点C 的最短距离为3，理由如下：取AB 中点O ，连接OP 、OC 、PC ，如图2所示：点M 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿边BC 、CD 方向向终点C 和D 运动， BM CN ∴=，四边形ABCD 是正方形，6AB BC ∴==，90ABM BCN ∠=∠=︒，在ABM ∆和BCN ∆中，BM CNABM BCN AB BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABM BCN SAS ∴∆≅∆，BAM CBN ∴∠=∠，90CBN ABN ∠+∠=︒， 90BAM ABN ∴∠+∠=︒， 90APB ∴∠=︒， ∴点P 在以AB 为直径的O 上运动， 132OP OA OB AB ====，OC =又PC OC OP -， 353PC ∴-，PC ∴的最小值为3；（4）连接OA 、OB ，如图3所示： 4OA OB AB ===， AOB ∴∆是等边三角形， 60AOB ∴∠=︒， 11603022ACB AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒，AM AC ⊥， 60M ∴∠=︒， ∴点M 在以120ADB ∠=︒的D 上， 4AB =，ABM S ∆最大，则点M 的距离最大， ∴当AM BM =时点M 到AB 的距离最大， ABM ∴∆是等边三角形，114422ABM S AB AB ∆∴==⨯=故答案为：21．（1）如图1，已知ABC ∆中，30ABC ∠=︒，1AB AC ==，则ABC S ∆= ．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴上运动，点B 在x 轴上运动，且4AB =，求AOB ∆面积的最大值．（3）如图3，O 的半径为2，弦AB =C 为优弧AmB 上一动点，AM AC ⊥交射线CB 于点M ，请问，ABM ∆的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图1中，作AH BC ⊥于H ．AB AC =，AH BC ⊥，BH CH ∴=，1AB =，30B ∠=︒，1122AH AB ∴==，2BC BH ==1122ABC S ∆∴==．（2）如图2中，取AB 的中点E ，连接OE ，作OH AB ⊥于H ．90AOB ∠=︒，AE EB =，122OE AB ∴==，OH AB ⊥，OH OE ∴，即2OH ，OH ∴的最大值为2，AOB ∴∆的面积的最大值12442=⨯⨯=．（3）如图3中，连接OA ，OB ，作OH AB ⊥于H ．OH AB ⊥，OA OB =，AH BH ∴==AOH BOH ∠=∠，sin AOH ∴∠，60AOH ∴∠=︒，2120AOB AOH ∠=∠=︒，1602ACB AOB ∴∠=∠=︒， MA AC ⊥，90MAC ∴∠=︒30M ∴∠=︒，如图31-中，ABM ∆中，AB =30AMB ∠=︒，ABM ∆的周长存在最大值，理由如下；作ABM ∆的外接圆，取优弧AB 的中点O ，连接OA ，OB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，延长AM 交O 于F ，连接BF ．30AOB AMB ∠=∠=︒，1152AFB AOB ∴∠=∠=︒， 30AMB F MBF ∠=∠+∠=︒，F MBF ∴∠=∠，MF MB ∴=，MA MB MA MF AF ∴+=+=，∴当AF 的值最大时，MA MB +的值最大，此时MAB ∆的周长最大，延长AO 交O 于E ，连接BE 交ABM ∆的外接圆于D ，连接AD ，OD ．易知：90ABD AOD ∠=∠=︒，OD AE ∴⊥，OA OE =，DA DE ∴=，15E EAD ∴∠=∠=︒，151530ADB ∴∠=︒+︒=︒，2AD DE AB ∴===6BD =，6BE ∴=，AE ∴当AF 与AE 重合时，AF 的值最大，AF ∴的最大值为ABM ∴∆的周长的最大值为22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线289y ax ax a =--的图象经过点(0,3)C ，交x 轴于点A 、(B A 点在B 点左侧），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式及点A 、B 的坐标；（2）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使BPC BAC ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把(0,3)C 代入289y ax ax a =--得93a -=，解得13a =-， ∴所以抛物线的解析式为182333y x x =-++．令0y =得：1823033x x -++=，解得：11x =-，29x =， (1,0)A ∴-，(9,0)B ．（2）分两种情况：①如图 2 ，以AB 为直径作M ，M 交抛物线的对称轴于(P BC 的下方）．42b x a=-=， ∴点P 的横坐标为 4 ．由圆周角定理得CPB CAB ∠=∠，(1,0)A -，(9,0)B ，10AB ∴=．152MP AB ∴==． (4,5)P ∴-．②如图 3 所示：以A B '为直径作M '，M '交抛物线的对称轴于P '，过点M '作M E P F '⊥'，垂足为E ，连接P M ''．点A '与点A 关于BC 对称，10AB A B ∴='=，A A ∠=∠'．CP B CA B ∠'=∠'，CP B A ∴∠'=∠．(1,6)A '，(9,0)B(5,3)M ∴'．1M E ∴'=．152M P A B ''='=，P E ∴'=∴点P '的坐标为(4，3)．综上所述，点P 的坐标为(4,5)P -或(4，3)．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知(2,0)A -、(0,C -，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求此二次函数的解析式；（2）连接PA 、PB ，P 点运动到何处时，使得60APB ∠=︒，请求出P 点坐标．【解答】解：（1）将A ，C 点坐标代入函数解析式，及对称轴，得42012a b c c b a⎧-+=⎪⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩，抛物线的解析式为2y x -，（2）以AB 为边作等边ABM ∆，作ABM ∆的外接圆O '，交y 轴负半轴于P ，作O E AB '⊥于E ，连接BO '，O P '．设(0,)P m ．易知：(1,3)O '-，23BO O P '='=，21(3)12m ∴++=，113m ∴=--或113-（舍弃）， (0,311)P ∴--，根据对称性可知(0,311)P '+也符合条件．24．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++过点(3,0)A ，(1,0)B -，∴933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=⎩， ∴这条抛物线对应的函数表达式为223y x x =-++．（2）解法一：如图，连接IO ，ID ，IA ，I 是ADG ∆的内心，IA ∴平分DAG ∠，ID 平分ADG ∠，12IAD DAG ∴∠=∠，12ADI ADG ∠=∠．90DAG ADG ∠+∠=︒，45IAD ADI ∴∠+∠=︒，135AID ∴∠=︒．在ADI ∆和AOI ∆中，AD AODAI OAI AI AI=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADI AOI SAS ∴∆≅∆．135AID AIO ∴∠=∠=︒． OA 为定线段，OIA ∠恒等于135︒，∴点I 在以OA 为弦，所含的圆周角等于135︒的圆弧上，设该圆的圆心为E ，连接EO ，EA ，135OIA ∠=︒，90OEA ∴∠=︒．EO EA =，EOA ∴∆为等腰直角三角形．过点E 作EH OA ⊥于点H ，则1322AH OH OA ===．OE ∴=．∴圆心E 的坐标为3(2，3)2，E ．当点I 在线段CE 上时，CI 的值最小，CI 的最小值CE OE =-==．题型五定角定高模型25．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =，E 为BC 边上一动点，F 、G 为AD 边上两个动点，45FEG ∠=︒，则线段FG 的长度最大值为 2 ．【解答】解：如图，作EFG ∆的外接圆O ，连接OA ，OE ，OG ，过点O 作OH AD ⊥于H ，过点E 作EQ AD ⊥于Q ，连接AC ．四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，1AB CD ==，AD BC ==2AC ∴=，45FEG ∠=︒，290FOG FEG ∴∠=∠=︒，12EFG EOG ∠=∠， 290EOF FOG EOG EFG ∴∠=∠+∠=∠+︒，1112221cos cos(45)cos(90)2EF EF EF OF OE OEF EFG EOF ====∠︒-∠︒-∠， ∴当EF 最大，且EFG ∠最小时，OF 的值最大，则FG 的值最大， 1sin 2EQEQ EFG FQ AC ∠==， ∴当点E 与C 重合，F与A 重合时，“=”号成立，12cos(4530)AC OF OE ∴==-︒-︒FG ∴的最大值2==．故答案为2．26．辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB ，以AB 为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断AB 是否存在最小值，若存在，请求出AB 最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD 中，45A∠=︒，90B D ∠=∠=︒，CB CD ==点E 、F 分别为AB 、AD 上的点，若保持CE CF⊥，那么四边形AECF【解答】解：（1）如图①中，ABC ∆即为所求．（2）如图②中，作ABC ∆的外接圆O ，连接OA ，OB ，OC ，作OE AB ⊥于E ．设2OA OC x ==．2120AOB ACB ∠=∠=︒，OA OB =，OE AB ⊥，AE EB ∴=，60AOE BOE ∠=∠=︒， 12OE OA x ∴==，AE =，OC OE CD +，34x ∴， 43x∴， x ∴的最小值为43，2AB =，AB ∴．（3）如图③中，连接AC ，延长BC 交AD 的延长线于G ，将CDF ∆顺时针旋转得到CBH ∆，作CEH ∆的外接圆O ．90ADC ABC ∠=∠=︒，AC AC =，CD CB =，Rt ACD Rt ACB(HL)∴∆≅∆， ACD ACB S S ∆∆∴=，45DAB ∠=︒，135DCB ∴∠=︒， 45DCG ∴∠=︒， 90CDG ∠=︒，CD DG ∴==12CG ∴==，12AB GB ∴==+由（2）可知，当CEH ∆的外接圆的圆心O 在线段BC 上时，ECH ∆的面积最小，此时四边形AFCE 的面积最大，设OC OE r ==，易知2OB EB ==，r ∴=r ∴=，12(2EH ∴=，∴四边形AFCE 的面积的最大值112(1212(214422=⨯⨯+⨯⨯⨯． 27．问题研究（1）若等边ABC ∆边长为4，则ABC ∆的面积为（2）如图1，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图2，四边形ABCD 中，AB AD ==，45B ∠=︒，60C ∠=︒，135D ∠=︒，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且EAF C ∠=∠，求四边形AECF 面积的最大值．【解答】解：（1）过点C 作CD AB ⊥于D ，等边ABC ∆边长为4，114222AD BD AB ∴===⨯=，在Rt ACD ∆中，由勾股定理得22AC AD CD =+，即22242CD =+，解得：CD =，11422ABC S AB CD ∆∴=-=⨯⨯故答案为：（2）CD 为AB 边上的高，若4CD =，设AB c =，AC b =，BC a =，过A 作AE BC ⊥于E ，111sin60222ABC S AB CD AE BC BC AC ∆∴=⨯=⨯=⨯⨯︒，4c ∴=，又sin 60AE AC =⋅︒=，1cos602CE AC b =⋅︒=， 12BE BC EC a b =-=-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理得222AB AE BE =+，即2221)()2c a b =+-， 2222c a b ab ab ab ab ∴=+--=，仅当a b =时取等号，即ABC ∆为等边三角形时， 283c c ∴，833c∴，11422ABC S AB CD ∆∴=⋅==最小（3）45B ∠=︒，60C ∠=︒，135ADC ∠=︒，3603604560135120BAD B C D ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，将ABE ∆逆时针旋转120︒得ADG ∆， 45ADG B ∠=∠=︒，AE AG =， 45135180ADG ADC ∴∠+∠=︒+︒=︒， C ∴、D 、G 三点共线，60EAF C ∠=∠=︒，12060BAE FAD EAF ∠+∠=︒-∠=︒， 60GAD FAD BAE FAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，在EAF ∆和GAF ∆中，AE AGEAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EAF GAF SAS ∴∆≅∆， EF GF ∴=，ABE ADF AGF AECF ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆=--=-四边形四边形四边形，∴当AGF S ∆最小时，AECF S 四边形最大，过A 作AH CG ⊥于H ，4AD =45ADH ∠='，sin454AH DH AD ∴==⋅︒=， 60FAG ∠=︒，11sin 6022AGF S AF AG AG AH GF ∆∴=--︒⋅=-，由（2）知AG AF =时，AFG ∆面积最小，由点F 在CD 上运动，达不到AFG ∆是等边三角形，当向D 运动时，AFG ∆面积逐渐减小，∴点F 到点D 时，AFG ∆面积最小，此时ABE AFG AFE ∆≅∆≅∆，45ABE AFE AFG HAF ∴∠=∠=∠=∠=︒，6BAE FAE AG O ∠=∠=∠=︒，AB AF AD ===在_AH 上取点M 使30HGM ∠=︒， 604515HAG FAG FAH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，9075AGH GAH '∴∠=-∠=︒，75(9030)15AGM AGH MGH HAG ∴∠=∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠，设GH x =，2MG x =，由勾股定理MH =，24AH AM MH x ∴=+=+=，4(2x ∴=-，44(212GF ∴=+=-，14(12242AEF AGF S S ∆∆==⨯⨯-=-12EF GF ==-1354590EFC ADC ADE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，60C ∠=︒，2111tan (1248222CEF S EF FC EF EF FEC ∆∴=⋅=⋅⋅∠=⨯-=，244824AEF CEF AECF S S S ∆∆∴=+=-=四边形．∴四边形AECF 面积的最大值为24．28．（1）如图1，已知AC 、BC 为O 的两条弦，点D 为O 外一点，则ACB ∠ > ADB ∠（请用“<”“ >”或“=”填空）（2）①如图2，若等边ABC ∆内接于O ，4AB =，CD 为O 的切线，则ABD ∆的面积为． ②如图3，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高．若4CD =，试判断ABC ∆的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图4，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的动点，且45EDF ∠=︒，求四边形DEBF 面积的最大值．【解答】解：（1）如图1，设AD 与O 交于E ，连接BE ，则C AEB ∠=∠，AEB D ∠>∠，ACB ADB ∴∠>∠；故答案为：>；（2）①如图2，连接CO 并延长交AB 于E ， ABC ∆是等边三角形， AC CB ∴=，∴AC BC =，CE AB ∴⊥，2AE BE ==，CE ∴=CD 为O 的切线，CE CD ∴⊥， //CD AB ∴，ABD ∴∆的面积11422AB CE =⋅=⨯=故答案为：②如图3中，作ABC ∆的外接圆O ，连接OA ，OB ，OC ，作OE AB ⊥于E ．设2OA OC x ==． 2120AOB ACB ∠=∠=︒，OA OB =，OE AB ⊥，AE EB ∴=，60AOE BOE ∠=∠=︒， 12OE OA x ∴==，AE =，OC OE CD +， 34x ∴， 43x∴， x ∴的最小值为43，2AB =，AB ∴； ABC ∴∆的面积的最小值142=⨯；（3）四边形DEBF 面积ADE CDF ABCD S S S ∆∆=--正方形，∴当ADE CDF S S ∆∆+DEBF 的面积有最大值，如图4，将DAE ∆逆时针旋转90︒得到DCM ∆， 180FCM FCD DCM ∴∠=∠+∠=︒，AE CM =，F ∴、C 、M 三点共线， DE DM ∴=，90EDM ∠=︒，90EDF FDM ∴∠+∠=︒， 45EDF ∠=︒，45FDM EDF ∴∠=∠=︒，在DEF ∆和DMF ∆中，DE DMEDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DEF DMF SAS ∴∆≅∆，EF MF ∴=，EF CF AE ∴=+；DEF ∆的面积DFM =∆的面积122ADE DCF S S EF CD EF ∆∆=+=⨯=，DEF ∴∆面积2EF =．EF AE CF =+，4AE BE AB +==，4BF CF BC +==， 8EF BE BF AB BC ∴++=+=， 8BE BF EF ∴+=-，22222(8)6416BE BF BE BF EF EF EF ∴⋅++=-=+-，且222BE FB EF +=， 328BE BF EF ∴⋅=-，2()0BE BF -， 222BE BF BE BF ∴+⋅， 26416EF EF ∴-2(8)128EF ∴+，828EF ∴-，或828EF --（舍去），EF ∴的最小值为8-，DEF ∴∆面积的最小值为，∴四边形DEBF 面积的最大值441632=⨯-=-29．问题探究（1）如图1．在ABC ∆中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC ∆面积的最大值是 24 ．（2）如图2，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC ∆的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，12AB =，6BC =，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当AD BC ⊥时，ABC ∆面积的最大，则ABC ∆面积的最大值是11862422BC AD ⋅=⨯⨯=，故答案为：24；（2）如图2中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OA OC x ==，2120COB CAB ∠=∠=︒，OC OB =，OE CB ⊥， CE EB ∴=，60COE BOE ∠=∠=︒，12OE OB x ∴==，BE ，OA OE AG +，33x ∴， 1x ∴，x ∴的最小值为1，2BC =，BC ∴的最小值为（3）如图3中，连接AF ，EF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，90D ∠=︒，6AD DE ==，45DAE AED ∴∠=∠=︒，12CD AB ==，6CE CF ∴==，45CEF CFE ∴∠=∠=︒， 90AEF ∴∠=︒，EF BF ∴=，将EFM ∆顺时针旋转得到FBH ∆，作FHN ∆的外接圆O 交AB 于N ，连接ON ，90AEF ABF ∠=∠=︒，AF AF =，EF BF =，Rt AEF Rt ABF(HL)∴∆≅∆， AEF ABF S S ∆∆∴=，。

专题09巧用隐圆妙解最值(原卷版)

A09巧用隐圆妙解最值模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。

AB 的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。

这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。

隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。

（可以解决动点轨迹。

）隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。

(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC ，则A,B,C,D 四点共圆。

在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径。

隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D 四点共圆。

隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC为直径。

隐圆四：定点定长，隐圆必现。

CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。

若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以 AO 中点M为圆心的圆。

（P为“主动点”，点Q为“从动点。

）典例分析如图11，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【点睛】图12，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP 中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．图13：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．实战训练一．选择题（共8小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（）A．5√5−5√2B．52C．3√5−3√2D．5√2−522．已知抛物线y=−316(x−1)(x−9)与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶OyxA BCMPOOyxA BCMPOPMCBA xyO图11图12图13点，以C 点为圆心的⊙C 半径为2，点G 为⊙C 上一动点，点P 为AG 的中点，则DP 的最大值与最小值和为（）A ．72B ．2√3C ．√412D ．53．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点P 是矩形ABCD 内一点，连接P A ，PC ，PD ，若P A ⊥PD ，则PC 的最小值为（）A ．2√13−4B ．2√10−3C ．2D ．44．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D ．√105．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB ＝4，∠AOC ＝120°，P 为⊙O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连接CQ ，则线段CQ 的最大值为（）A ．3B ．1+√6C ．1+3√2D ．1+√76．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（）A ．2B ．πC ．2πD ．√22π 7．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝12，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD ＝∠BCE 时，线段AE 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =√3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是（）A ．πB ．π+3√34C ．3√32D ．2π二．填空题（共12小题）9．如图，等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB ＝6，AD ＝4，△ADE 绕点A 旋转过程中，MN 的最大值为．10．如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为√．11．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝8，sin A=45，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是．12．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，则√2AC+BC的最大值为．13．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD=√3AB，则∠BDC＝．14．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作直线AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为．17．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC=12．则当点A从A0（0，10）滑动到O（0，0），B从O（0，0）滑动到B0（10，0）的过程中，点C运动的路径长为．18．如图，等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠P AD＝∠PDB，则线段CP长的最大值为．19．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD=√3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．三．解答题（共3小题）21．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB ＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．22．阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：（1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件时，AB有最小值为．（2）如图②，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离最小值为．（3）如图③，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ＝4，则在线段PQ滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由．（4）如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求DB'的最小值，并说明理由．（5）如图⑤，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，求PQ长的最小值，并说明理由．23．在矩形ABCD中，BC=√3CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．。

中考数学复习最值问题专题04 中考数学专题复习最值问题(隐圆)练习(原卷版)

中考数学专题复习最值问题（隐圆）练习1．如图，在Rt ABC ∆中，ACB Rt ∠=∠，8AC =cm ，3BC =cm ．D 是BC 边上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE AD ⊥于E ，连接BE ，在点D 变化的过程中，线段BE 的最小值是（）A ．1BC ．2D 2．如图，△ACB 中，CA ＝CB ＝4，∠ACB ＝90°，点P 为CA 上的动点，连BP ，过点A 作AM ⊥BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为（）Aπ B C D ．2π3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（）A ．2B ．πC ．2πD π4．如图，在等腰Rt ∆ABC 中，AC BC ==点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（）A．+B．2πC．2D．4π45．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC ＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是____．6．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是________7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．8．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为BC上一动点，BE⊥OD 于E，当点D由点B沿BC运动到点C时，线段AE的最大值是____．9．如图，点A ，B 的坐标分别为()4,0A ，()0,4B ，C 为坐标平面内一动点，且2BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，当AC 取最大值时，点M 的纵坐标为____．10．如图，⊙O 的半径为2，弦AB ＝2，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是_________．11．如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，AB ＝13，AD ＝5，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH ⊥AC 于H ．连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是 ___．12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝60°，AB ＝4，点P 是BC 边上的动点，过点c 作直线记的垂线，垂足为Q ，当点P 从点C 运动到点B 时，点Q 的运动路径长为_______．13．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为_____．14．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB ＝∠ACP，则点P运动的路径长为_________．15．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．16．如图一，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，求DE 的最小值．17．问题发现：（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM 上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是．问题解决：如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝P是BC边上任意一点．（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点P 在y 轴正半轴上运动时，∠APB 是否有最大值？如果有，说明此时∠APB 最大的理由，并求出点P 的坐标；如果没有请说明理由．19．在平面直角坐标系中，OABC 如图所示，(5,0)A ，(9,6)B ．点P 从点O 出发在线段OA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时点Q 从点B 出发在线段BC 上以每秒2个单位的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接PQ ．（1）如图1，连接OB 交PQ 于点D ，则点D 的坐标为________；（2）如图2，过A 作AH PQ ⊥于点H ，求OH 的最小值；（3）如图3，在PQ 上取一点M ，使得45AMP ∠=︒，那么点M 的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时OP 的长；若不存在，说明理由．20．问题发现：（1）正方形ABCD 和正方形AEFG 如图①放置，AB ＝4，AE ＝2.5，则DG CF＝___________．问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在矩形的内部，∠BPC ＝135°，求AP 长的最小值．问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD ＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．。

2025高考数学必刷题第62讲、隐圆问题(教师版)

第62讲隐圆问题必考题型全归纳题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC ===，且2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC = ，则2||BM的最大值为（）A B C ．434D ．494【答案】D【解析】由题||||||DA DB DC ==，则D 到A ，B ，C 三点的距离相等，所以D 是ABC 的外心.又2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，变形可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=，所以DB AC ⊥，同理可得DA BC ⊥，DC AB ⊥，所以D 是ABC 的垂心，所以ABC 的外心与垂心重合，所以ABC 是正三角形，且D 是ABC 的中心；由1||||cos ||||()22DA DB DA DB ADB DA DB ⋅=∠=⋅-=- ，解得||2DA = ，所以ABC 的边长为如图所示，以A 为坐标原点建立直角坐标系，则(3,B ，C =，(2,0)D ，||1AP =，可设(cos ,sin )P θθ，其中[0θ∈，2]π，而PM MC =，即M 是PC的中点，则3cos sin (,)22M θθ++，2223712sin()cos 33712496||()2444BM πθθ+--+=+== ，当23θπ=时，2||BM 取得最大值为494．故选：D ．例2．（2024·全国·高一阶段练习）已知,a b 是单位向量，0a b ⋅= ，若向量c满足||1c a b -+= ，则||c b -的取值范围是（）A．1]+B．1]+C ．[0,2]D．1]-【答案】D【解析】单位向量,a b 满足0a b ⋅= ，即a b ⊥，作,OA a OB b == ，以射线OA ，OB 分别作为x 、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，(1,0),(0,1)a b == ，设(,)c x y = ，则(1,1)c a b x y -+=-+ ，由||1c a b -+=得：22(1)(1)1x y -++=，令1cos (02π)1sin x y θθθ=+⎧≤<⎨=-+⎩，即(1cos ,1sin )c θθ=+-+，||c b -==其中锐角ϕ满足sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，当sin()1θϕ-=-时，max ||1c b -==，当sin()1θϕ-=时，min ||1c b -=-，所以||c b -的取值范围是1].故选：D例3．（2024·全国·高三专题练习）已知单位向量a 与向量()0,2b = 垂直，若向量c满足1a b c ++=，则c r 的取值范围为（）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．⎣⎦C ．1⎤-+⎦D ．⎤⎥⎣⎦【答案】C【解析】由题意不妨设()1,0a = ，设(),c x y = ，则()()()()1,00,2,1,2a b c x y x y ++=++=++．∵1a b c ++= ，∴()()22121x y +++=，即表示圆心为()1,2--，半径为1的圆，设圆心为P ，∴OP =．∵c r P 11c ≤= ，∴c r的取值范围为1⎤-⎦，故选：C ．变式1．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆22()()8x a y a -+-=a 的取值范围是（）A ．()3,3-B ．(1,1)-C ．(3,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 【答案】D【解析】问题可转化为圆22:()()8O x a y a -+-=和圆221:2O x y +=相交，两圆圆心距d ||a ，由1||R r OO R r -<<+得||a <，解得1||3a <<，即(3,1)(1,3)a ∈--⋃.故选：D变式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圆（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．()(0-⋃B ．(-C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣1，1）【答案】A【解析】∵圆（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O ：x 2+y 2＝4与圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣1）2＝1相交，∵|OC |=由R ﹣r ＜|OC |＜R +r 得：13，∴0a ＜＜∴﹣a ＜0或0＜a ＜．故选A ．变式3．（2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC === ，0DA BC DB AC DC AB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足||1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值为．【答案】494【解析】平面内，||||||2DA DB DC === ，0DA BC DB AC DC AB ⋅=⋅=⋅=，∴DA BC ⊥，⊥DB AC ，DC AB ⊥ ，可设(0,0)D ，(2,0)A ，(B -，(1,C -，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，可设(2cos ,sin )P θθ+，1cos (2M θ+，∴3cos (2BM θ+=，∴2223712sin()3cos 496(244BM πθθ+-+=+ ，当且仅当sin()16πθ-=时取等号，2||BM ∴ 的最大值为494．故答案为：494．变式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点D 与A 、B 、C 满足||||||DA DB DC == ，8DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=- ，动点P 、M 满足2AP = ，PM MC=，则2||BM 的最大值为．【答案】49【解析】由||||||DA DB DC ==，可得D 为ABC 的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0DB DA DC ⋅-= ，()0DC DB DA ⋅-= ，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有⊥DB AC ，DC AB ⊥，可得D 为ABC 的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC 为正三角形，由8DA DB ⋅=-,即有||||cos1208DA DB ︒⋅=- ,解得||||4DA BD ==，ABC 的边长为24cos30⨯⨯= 由PM MC =，可得M 为PC 中点，22211||()()24BM BP BC AP AB BC =+=-+ ()22212224AP AB BC AP AB AP BC AB BC =++-⋅+⋅-⋅，设,AP AB α〈〉= ，则2,3AP BC πα〈〉=- ，2,3AB BC π<>= ,2122||[4484822222433BM ππαα⎛⎫=++-⋅⋅+⋅⋅--⋅ ⎪⎝⎭ 2125cos()]1237cos )32πααααα=---+=-+-3712cos 6πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当5(0,)6παπ=∈时，最大值为49,故答案为：49题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值例4．（2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，(22),(4,0)P Q -，为两个定点，动点M 在直线=1x -上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为．【答案】5【解析】设点(,)N x y ，由2216NO NQ +=得：2222(4)16x y x y ++++=，即2240x y x ++=，即22(2)4x y ++=，N ∴在以OQ 为直径的圆上，不妨设(2cos 2,2sin )N θθ-，(1,)M m -，则(3,2)PM m =--，(2cos 4,2sin 2)PN θθ=--，∴(2cos 7,2sin 4)PM PN m θθ+=-+-，2222||(2cos 7)(2sin 4)8694[(4)sin 7cos ]PM PN m m m m θθθθ∴+=-++-=-++--2(4)53)m θϕ=-++-，其中ϕ为辅助角，t ，sin()a θϕ-=，则7t ≥，11a -≤≤．22||44PM PN t at ∴+=++，令222()44(2)44f t t at t a a =++=++-，7t ≥，11a -≤≤，()f t ∴在[7，)∞+上单调递增，故当7t =时，()f t 取得最小值5328a +，再令()5328g a a =+，11a -≤≤，显然()g a 在[1-，1]上单调递增，故1a =-时，()g a 取得最小值532825-=，综上，当7t =，1a =-时，2||PM PN + 取得最小值25．故||PM PN +的最小值为5,故答案为：5．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA=，则||BD 的最大值为．【答案】10【解析】设AC m =，由题意可得：3,DC m AB =，则：22228cos 22AC BC AB m C AC BC m+--==⨯，ABC 构成三角形，则：2{2m m +>-，解得：24m <<，由余弦定理：BD =当4m =时，BD取得最大值为10.例6．（2024·浙江金华·高二校联考期末）已知圆()()22:121C x y ++-=，点()10A -，，()10.B ，设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为．【答案】14-【解析】设()00,P x y ，()222001PA x y =++，()222001PB x y =-+，()()222222000011PA PB x y x y +=-++++22220000002121x x y x x y =-++++++2200222x y =++()220022x y =++，当OP 取得最小值时，22PA PB +取得最小值，由圆()()22:121C x y ++-=，则圆心()1,2C -，半径1r =，易知min 11OP OC r =-==，则)2min 212d =+14=-故答案为：14-.变式5．（2024·高二课时练习）正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222PA PB PC +=，则PD 的取值范围为.【答案】22⎡+⎣【解析】如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，设点(),P x y ，则由222PA PB PC +=，得()()()222222111x y x y x y ++-+=-+-，整理得()2212x y ++=，即点P 的轨迹是以点()0,1M -圆心M 到点D 的距离为2DM =，所以min max 22PD PD ==所以PD 的取值范围是22⎡+⎣.故答案为：22⎡+⎣.变式6．（2024·上海闵行·高二校考期末）如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且22||||PA PB +uu r uu r 2||PC a +=uu u r （a 为常数），满足条件的点P 有无数个，则实数a 的取值范围是．【答案】1a >【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系，如图所示：则11(,0),(,0),222A B C -设(,),P x y 则22222222211||(,||(,||()222PA x y PB x y PC x y =+-=++=-+ 222||||||PA PB PC a++=22222211:(()()22x y x y x y a +++++-+=化简得225330,4x y a +-+-=即221((1).3x y a +=-当1a <时，点(,)P x y 不存在；当1a =时，点(,)P x y 只有一个；当1a >时，点(,)P x y 的轨迹是一个圆形，有无数个；故答案为：1a >变式7．（2024·全国·高三专题练习）如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，点P 在ABC ∆所在的平面内，且222||||PA PB PC a ++= （a 为常数），下列结论中正确的是A ．当01a <<时，满足条件的点P 有且只有一个B ．当1a =时，满足条件的点P 有三个C ．当1a >时，满足条件的点P 有无数个D ．当a 为任意正实数时，满足条件的点总是有限个【答案】C【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则0,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，102B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设(),P x y，可得222PA x y ⎛=+- ⎝⎭，22212PB x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，22212PC x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，∵222||||||PA PB PC a ++=，∴22222211222x y x y x y a ⎛⎛⎫⎛⎫+-++++-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：2253304x y a ++-=，即2205132a x y +-+-=，配方，得()221163x y a ⎛⎫+- =⎪ ⎪⎝⎭…（1）当1a <时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当1a =时，方程（1）的右边为0，表示点06⎛ ⎝⎭，，恰好是正三角形的重心；当1a >时，方程（1）的右边大于0，表示以06⎛ ⎝⎭，为圆心，半径为r =的圆，由此对照各个选项，可得只有C 项符合题意.故选：C ．题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°例7．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知圆22:(1)(3)10C x y -+-=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点,A B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是．【答案】15t ≤≤【解析】对于5x =上任意一点M ，当,AM B M '均为圆的切线时AMB ∠'最大，由题意，90AMB '∠=︒，即MA MB '⊥，此时M 为满足题设条件的临界点，如上图，若B '与B 重合，则MA MB ⊥，,AM BM 为圆的切线，此时||||2AC CM =，综上，M 在临界点之间移动过程中，有||||2AC CM ≥2≥，解得2(3)4t -≤，可得15t ≤≤.故答案为：15t ≤≤例8．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是【答案】[2，6]【解析】因为点M 在圆C 外，当AM ，BM 与圆C 相切时，∠AMB 最大，要使在圆C 上存在两点A 和B ，使得MA ⊥MB ，只需当AM ，BM 与圆C 相切时，∠AMB ≥90°，即∠AMC ≥45°，则sin ∠AMC≥2，解得2≤t ≤6.故答案为：[2，6].例9．（2024·高二课时练习）设m R ∈，过定点A 的动直线0mx y -=和过定点B 的动直线430x my m +--=交于点P ，则PA PB +的取值范围是（）A ．B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎣D ．[]5,10【答案】C【解析】由已知可得动直线0mx y -=经过定点()0,0A ，动直线430x my m +--=经过定点()3,4B ，且两条直线互相垂直，且相交于点P ，所以PA PB ⊥，即22225PA PB AB +==，由基本不等式可得()()222222PA PB PA PB PA PB +≤+≤+，即()22550PA PB ≤+≤，可得5PA PB ≤+≤故选：C.变式8．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A B C ．5D ．10【答案】C 【解析】显然0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可化成(1)3y m x =-+，则经过定点()1,3B ，根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1(1)0m m ⨯+⨯-=，于是直线0x my +=和直线30mx y m --+=垂直，又P 为两条直线的交点，则PA PB ⊥，又AB ==222102PA PB AB PA PB +==≥⋅，则5PA PB ⋅≤，当PA PB =PA PB ⋅的最大值是5.故选：C变式9．（2024·高二课时练习）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则22||||PA PB +的值为（）A ．5B ．10CD【答案】B【解析】由题意，动直线0x my +=经过定点()0,0，则()0,0A ，动直线30mx y m --+=变形得()()130m x y -+-=，则()1,3B ，由030x my mx y m +=⎧⎨--+=⎩得22233,11m m m P m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∴22||||PA PB +222223311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22222331311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222222333131mm m m m m m -+-++++=+()432224322269696161m m m m m m m m m m m-++-+++++++=+()4222102010101m m m++==+，故选：B ．变式10．（2024·全国·高三校联考阶段练习）设m R ∈，动直线1l ：0x my +=过定点A ，动直线2l ：30mx y m --+=过定点B ，且1l ，2l 交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是（）AB．C ．5D ．10【答案】B【解析】根据方程推出12l l ⊥，可得1l ，2l 的交点(),P x y 在以AB 为直径的圆上，可得222||||||10PA PB AB +==，再根据不等式知识可求得结果.动直线1l ：0x my +=过定点A (0,0)，动直线2l ：30mx y m --+=过定点B (1,3)，因为1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以1l ，2l 的交点(),P x y 在以AB 为直径的圆上，所以22212||||||1310PA PB AB +==+=，设PA PB +t =||AB ≥=，则222||||2||||PA PB PA PB t ++=，所以22||||10PA PB t =-，因为22||||2||||PA PB PA PB +≥，当且仅当||||PA PB =时等号成立，所以21010t ≥-，即220t ≤t ≤≤.||||PA PB ≤+≤所以PA PB +的最大值是故选：B变式11．（2024·全国·高三专题练习）设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅= ，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（）A ．12B ．12C D ．1【答案】B【解析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c的坐标为(),x y ，因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,02222x y x y ⎛⎫⎫--⋅---= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2214x y ⎛+= ⎝⎭，表示以⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，则||c的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，12，故选：B变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点(1,0)A m -，(1,0)B m +，若圆C ：2288310x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】根据题意，圆C ：x 2+y 2-8x-8y+31=0，即（x-4）2+（y-4）2=1；其圆心为（4，4），半径r=1，设AB 的中点为M ，又由点A （1-m ，0），B （1+m ，0），则M （1，0），|AB|=2|m|，以AB 为直径的圆为（x-1）2+y 2=m 2，若圆C ：x 2+y 2-8x-8y+31=0上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有|m|-1≤5且|m|+1≥5，解可得：4≤|m|≤6，即-6≤m≤-4或4≤m≤6，即实数m 的最大值是6；故选C ．变式13．（2024·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()(2)0a c b c -⋅-= ，则c r 的最大值是（）AB ．2C D【答案】C【解析】如图，设OA a = ，OB b = ，2OE b = ，OC c =，则a c CA -= ，2b c CE -= ，因为()(2)0a c b c -⋅-= ，故0CA CE ⋅= ，故CA CE ⊥ ，所以C 在以AE 为直径的圆上，故c r的最大值为圆的直径AE =故选：C.变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0a c b c --=，则c r 的最大值是（）A ．1B ．2C D ．2【答案】C【解析】设OA OB ⊥，且OA a,OB b,OC c === ，D 为线段AB 的中点，因为1a b == ，所以2AB AD =，则2221()()02a c b c CA CB CD DA CD --=⋅=-=-= ，所以2CD = ，所以点C 在以D 为圆心，半径为2的圆，所以c r 的最大值即为该圆的直径，所以c r 故选：C.变式15．（2024·湖北武汉·高二校联考期中）已知a 和b 是平面内两个单位向量，且,3a b π= ，若向量c满足()()0a c b c -⋅-= ，则c r 的最大值是（）A 1+B C D 【答案】B【解析】如图所示：设OA a = ，OB b = ，OC c =，则CA a c =- ，CB b c =- ，因为()()0a c b c -⋅-= ，所以0CA CB ⋅= ，即CA CB ⊥ .所以C 在以AB 为直径的圆上.设AB 的中点为D ，因为a 和b 是平面内两个单位向量，且,3a b π= ，所以1AB =，OD =所以max1122cOD =+=.故选：B变式16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量a ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()20a c b c -⋅-= ，则c 的最大值是（）A BC ．2D 【答案】B【解析】因为a ，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故可设()1,0a = ，()0,1b = ，(),c x y =，则()1,a c x y -=-- ，()22,12b c x y -=--，因为()()20a c b c -⋅-= ，所以()()()()12120x x y y --+--=，整理得到22102x y x y +--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故c r，故选：B.题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值例10．（2024·全国·高一专题练习）设向量,,a b c 满足=1a b = ，12a b ⋅=- ，,60a c b c ︒--=，则||c的最大值等于.【答案】2【解析】由题设，1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，而,[0,]a b π<>∈ ，则2,3a b π<>= ，令,,a OA b OB c OC === ，则,a c CA b c CB -=-= ，又,60a c b c ︒--=，如下图示：所以23AOB π∠=，3ACB π∠=，则AOB ACB π∠+∠=，故,,,A O B C 共圆，而2222||()23AB b a b a b a =-=-⋅+=，即||AB =22sin 3R ==，对于||c，当OC 为直径时最大，即max ||2c = .故答案为：2.例11．（2024·全国·高三专题练习）在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围为.【答案】(1,8)-【解析】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤，∴(,2)PN x =- ，(8,4)PM x =-，∴288PM PN x x ⋅=-+ ，∵08x ≤≤，∴88PM PN -≤⋅≤．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解；（2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤，∴(0,2)PN y =- ，(8,4)PM y =-，∴268PM PN y y ⋅=-+，∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解；（3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤，∴(,6)PN x =-- ，(8,4)PM x =--，∴2824PM PN x x ⋅=-+，∵08x <≤，∴824PM PN ≤⋅≤．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解；（4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<，∴(8,2)PN y =-- ，(0,4)PM y =-，∴268PM PN y y ⋅=-+，∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解，综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r成立，那么m 的取值范围是(1,8)-，故答案为：(1,8)-．例12．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，=90BDC ∠︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为（）A ．27B ．16C ．10D ．25【答案】A【解析】以D 为坐标原点，DB ,DC 分别为x ,y 轴建立如图所示直角坐标系，则(0,0),(16,0),(0,9)D B C ,因为4sin 5A =，||16BD =，所以由平面几何知识得A 点轨迹为圆弧（因为为平面四边形ABCD ，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E ,则由正弦定理可得圆半径为1||11610(8,6)42sin 25BD E A ⨯=⨯=∴-，因此对角线AC 的最大值为22||108(69)1027,CE +=+--+=故选：A变式17．（2024·全国·高考真题）设向量,,a b c 满足2a b == ，2a b ⋅=- ，,60a c b c --=︒ ，则c v 的最大值等于A ．4B ．2CD ．1【答案】A【解析】因为2a b == ，2a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒ .如图所以，设,,OA a OB b OC c === ，则CA a c =- , C B b c=-, 120AOB ∠=︒.所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆.不妨设为圆M ，因为AB b a =- ,所以222212AB a a b b =-+=.所以AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c取得最大值4.故选A.变式18．（2024·全国·高三专题练习）在平面内,设A 、B 为两个不同的定点,动点P 满足:2PA PB k ⋅=(k 为实常数)，则动点P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．不能确定【答案】A【解析】设2AB a =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：则(,0),(,0)A a B a -设(,)P x y 2222(,)(,)PA PB a x y a x y x y a k ⋅=-----=+-=即2222x y a k +=+，表示圆故选：A变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，4CD =，BC AD =E 和F 分别为AD 与BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ的取值范围是A ．59(,420--B ．511(,)44--C ．111(,44-D ．91(,)204--【答案】D【解析】以DC 所在直线为x 轴，DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，2=,∴A (−1,2),B (1,2),C (2,0),D (−2,0),∴33,1,,122E F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1)当P 在DC 上时,设P (x ,0)(−2⩽x ⩽2),则33,1,,122PE x PF ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.于是23351224PE PF x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当54λ=-时,方程有一解,当51144λ-<时，λ有两解；(2)当P 在AB 上时,设P (x ,2)(−1⩽x ⩽1),则33,1,,122PE x PF ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴23351224PE PF x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当54λ=-时,方程有一解,当5144λ-<-时，λ有两解；(3)当P 在AD 上时，直线AD 方程为y =2x +4，设P (x ,2x +4)(−2<x <−1),则33,23,,2322PE x x PF x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是()22332723512224PE PF x x x x x λ⎛⎫⎛⎫⋅=---+--=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴当920λ=-或1944λ-<<时,方程有一解,当91204λ-<<-时，方程有两解；(4)当P 在CD 上时,由对称性可知当209λ=-或1944λ-<<时，方程有一解，当91204λ-<<-时，方程有两解；综上,若使梯形上有8个不同的点P 满足PE PF λ⋅=成立，则λ的取值范围是511519120191,,,,,444420494204⎛⎤⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋂--⋂--⋂--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择D 选项.变式20．（2024·江苏·高一专题练习）已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（）A ．(]0,2B ．()0,2C ．(]0,4D ．()0,4【答案】D 【解析】如图所示,设EF 的中点为O ,则2PE PF PO PE PF FE⎧+=⎨-=⎩,两式平方相减得2244PE PF PO EF ⋅=- ,所以24PE PF PO λ⋅=-= ,即24PO λ=+ ,所以PO = 由对称性可知每个边上存在两个点P ,所以点P 在边的中点和顶点之间,故2<<解得04λ<<,故选:D题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值例13．（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1)MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为1,0,33λ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若点()1,1B ，则3MP MB +的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ ，由1,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以PM =||||MQ MP λ=且3λ=3=，整理可得2223148a a x y x +-++=，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以2304118aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =-，所以()3,0Q -，又=3||MQ MP ，所以3||||||||MP MB MQ MB BQ +=+≥，因为(1,1)B ，所以3||||MP MB +的最小值BQ ==当M 在位置1M 或2M 时等号成立.故选：D例14．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=、点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，M 为圆O 上的动点，则2||||MA MB -的最大值为（）A ．52BC ．32D【答案】B【解析】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=，由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(),C m n ，则12MAMC==，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=，即2m =-，0n =，点()2,0C -，当点M 位于图中1M 的位置时，2||||||||MA MB MC MB -=-的值最大，最大为BC =故选：B.例15．（2024·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M 与两定点9,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5,0B 的距离之比为35时的阿波罗尼斯圆为229x y +=．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆22:4O x y +=上的动点M 和定点()1,0A -，()1,1B ，则2MA MB +的最小值为（）A ．2BC D【答案】C【解析】如图，点M 在圆22:4O x y +=上，取点(4,0)-N ，连接,MO MN ，有||2||4ON OM ==，当点,,O M N 不共线时，||||2||||OM ON OA OM ==，又AOM MON ∠=∠，因此AOM ∽MON △，则有||||2||||MN OM MA OA ==，当点,,O M N 共线时，有||2||MN MA =，则||2||MN MA =，因此2||||||MA MB MN MB BN +=+≥==当且仅当点M 是线段BN 与圆O 的交点时取等号，所以2MA MB +故选：C变式21．（2024·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A 、B ，满足()1PA PBλλ=≠的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A ，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数λ只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知()1,0A ，()4,0B ，()0,3D ，若动点P 满足12PA PB=，则2PD PB +的最小值是．【答案】【解析】由题意知：12PA PB=，即2PB PA =，2222PD PB PD PA AD ∴+=+≥（当且仅当,,A P D 三点按顺序共线时取等号），又AD ==，2PD PB ∴+的最小值为；故答案为：.变式22．（2024·上海·高三校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为【解析】如图，在x 轴上取点()3,0S -，3OM OP OP OS ==，MOP POS ∠=∠，MOP POS ∴，PS ∴=，PN PS PN SN +=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号），)minPNSN ∴+===变式23．（2024·四川广安·高二广安二中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB+的最小值为.【解析】设(),0Q a ，(),M x y，所以=MQ ，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MP =.因为MQ MPλ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又2MQ MP =，所以2MP MB MQ MB +=+，因为()1,1B ，所以2MP MB +的最小值为==BQ 当且仅当,,Q MB三点共线时取等..变式24．（2024·河北沧州·校考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M 与两定点,A B 的距离之比为(()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P 为圆22:4O x y +=上的动点，()()4,0,3,1M N -，则2PM PN +的最小值为.【答案】【解析】假设存在这样的点(),0Q t ，使得2PM PQ=，则224PM PQ =，设点(),P x y ，则()()222244x y x t y ⎡⎤++=-+⎣⎦，即()()222222228164233884160x y x x y tx t x y t x t +++=+-+⇒+-++-=，该圆对照224x y +=，所以1t =-，所以点()1,0Q -，所以()22222PM PN PQ PN PQ PN QN +=+=+≥=故答案为：变式25．（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(>0,1)k k k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知P 、Q 分别是圆22:(-4)+=8C x y ，圆22:+(-4)=1D x y 上的动点，O 是坐标原点，则||+|2PQ PO 的最小值是．【答案】1【解析】如图所示：取点(2,0)M ，设|||2z PQ PO =+，则min ||1||z PD PO =-，在PMC 和OPC 中，2MC PC PC OC ==，所以PMC 和OPC 相似，且相似比为2，所以OP =，则min ||||1D z P PM +=-，而||||PD PM DM +≥==即||||PD PM +的最小值为所以min 1z -=.故答案为：1-。

高中数学拓展训练【隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题】

高中数学拓展训练【隐形圆(阿波罗尼斯圆)问题】近年来阿波罗尼斯圆及隐圆问题受到命题者的广泛青睐，难度为中档、高档题目.该类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.对优化思维过程，提升数学解题能力，培养学生数学核心素养大有裨益.【典例1】 (1)已知点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ，若点C (5，－1)，那么|BC |的最大值为( ) A.16 B.14 C.12D.10(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是( ) A.[0，2] B.[－52，1] C.[－2，2] D.[－2，0]答案 (1)C (2)B解析 (1)动直线方程化为m (x －1)＋n (y －3)＝0，知恒过定点Q (1，3). 又∵点A (－5，－5)在动直线mx ＋ny －m －3n ＝0上的射影为点B ， ∴∠ABQ ＝90°，则点B 的轨迹是以AQ 为直径的圆， ∴圆心为AQ 的中点M (－2，－1)，圆的半径r ＝12|AQ |＝5. 又|MC |＝（5＋2）2＋（－1＋1）2＝7>r ＝5，∴点C (5，－1)在圆M 外，故|BC |的最大值为r ＋|MC |＝7＋5＝12. (2)设点P (x ，y )，且PA →·PB→≤20.∴(x ＋12)x ＋y (y －6)≤20，则(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，则点P 为圆O 在圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65内部及其上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，x 2＋y 2＋12x －6y ＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－5.结合图形(图略)可知－52≤x ≤1.点津突破 1.题目条件隐含“圆M ”及“圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65”，从而借助几何直观求解最值与范围. 2.发现确定隐圆的主要方法：(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.(2)在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足|PA |＝λ|PB |，当λ>0且λ≠1时，点P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆. (3)两定点A ，B ，动点P 满足PA →·PB→＝λ，确定隐圆. 【典例2】已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B (不同于点A )，使对于圆C 上任一点P ，都有|PB ||PA |为一常数？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，因为直线与圆相切，所以|－b |22＋12＝3，得b ＝±3 5. 所以所求直线方程为y ＝－2x ＋35或y ＝－2x －3 5.(2)设P (x 0，y 0)，则y 20＝9－x 20.假设存在这样的点B (t ，0)(t ≠－5)，使得|PB ||PA |为常数λ(λ≠1)，则|PB |2＝λ2|PA |2，所以(x 0－t )2＋y 20＝λ2[(x 0＋5)2＋y 20]，将y 20＝9－x 20，代入上式消去y 20，得(10λ2＋2t )x 0＋34λ2－t 2－9＝0对x 0∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎨⎧10λ2＋2t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎨⎧λ＝1，t ＝－5(舍去).所以存在定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0，使得对于圆C 上任一点P ，都有|PB ||PA |为常数35.点津突破 1.本题考查直线与圆的位置关系及存在开放问题，考查数学运算与逻辑推理等数学核心素养.2.第(2)问其设置原型即来源于“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点 A (－a ，0)，B (a ，0)(a >0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1a ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2aλλ2－1为半径的圆(阿波罗尼斯圆).借助定义，可将方程化简，准确进行答案的取舍(舍去λ＝1).【典例3】 (1)若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |＝3，则12(|PA |2＋|PB |2)的最大值为( ) A.3＋ 3 B.7＋4 3 C.8＋4 3D.16＋8 3(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足|MA |2＋|MO |2＝10，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)C (2)[0，3]解析 (1)以线段AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.则A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y ). 因为|PA ||PB |＝3，则（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y2＝ 3.化简得(x －2)2＋y 2＝3为动点P 满足的轨迹方程.易知|PA |2＋|PB |22＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 22＝x 2＋y 2＋1，其中x 2＋y 2可以看作圆(x －2)2＋y 2＝3上的点(x ，y )到点(0，0)的距离的平方，所以x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，所以x 2＋y 2＋1的最大值为8＋43，即|PA |2＋|PB |22的最大值为8＋4 3.(2)设M (x ，y )，由|MA |2＋|MO |2＝10，可得x 2＋(y －1)2＝4，∴M 点在圆x 2＋(y －1)2＝4上，故圆x 2＋(y －1)2＝4和圆(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1相交或相切， ∴1≤a 2＋（a －3）2≤3，∴0≤a ≤3.点津突破 1.两题均是利用直接法求动点的轨迹方程，求解轨迹，关键在于找准题目中凸显的或隐含的等量关系，并把这种关系“翻译”成与动点坐标(x ，y )有关的等式，即可得到所求的轨迹方程.2.重视数形结合与转化思想的应用：一是借形解题，即能画出满足题意的动点的大致轨迹；二是会转化，如本例第(1)题，把圆上的动点到定点的距离的最大值问题，转化为圆心到定点的距离加上半径. [跟踪演练]1.若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( ) A.π B.2π C.3π D.4π答案 D解析以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B(3，0).设M(x，y)，依题意有，x2＋y2（x－3）2＋y2＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，则M点的轨迹围成区域的面积为4π.2.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P 作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为() A.[0，2] B.[－52，1]C.[－2，2]D.[－2，2]答案 D解析由题意可知四边形PAOB为正方形，|OP|＝2，∴点P在以O为圆心，以2为半径的圆上，其方程为x2＋y2＝2，若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2＋y2＝2有公共点，则有2－2≤a2＋4≤2＋2，解得－2≤a≤2.3.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是()A.7B.6C.5D.4答案 B解析如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5.所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4.由∠APB＝90°知，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，故|OP|＝12|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m 的最大值是6.4.已知等边三角形ABC 的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足PA →·PB →－2λ＋1＝0的点P 恰有两个，则实数λ的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤38，12解析如图，以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y ).则PA →·PB →－2λ＋1＝0，即为(－1－x )(1－x )＋y 2－2λ＋1＝0，化简得x 2＋y 2＝2λ(λ>0)，故所有满足PA →·PB →－2λ＋1＝0的点P 在以O 为圆心，2λ为半径的圆上. 过点O 作OM ⊥AC ，垂足为点M ，由题意知，线段AC 与圆x 2＋y 2＝2λ有两个交点，所以|OM |<2λ≤|OA |，即32<2λ≤1，解得38<λ≤12.。

八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)

八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。

“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。

一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。

第24章圆之专题练习：隐圆隐切线求最值

隐圆隐切线求最值
方法技巧
在于最值有关的动态几何问题中，常利用“隐圆”或“辅助圆”，借助切线的性质转化为与切线相关的问题解决．
题型一在“角度最值”问题中的运用
【例1】如图，A(0，8)，B(0，2)，点E是x轴的正半轴上的一动点，连接AE，BE，当∠AEB最大时，求点E的坐标．
【例2】如图，在△ABC中，BC＝2AC＝2a，当∠ABC最大时，求AB
BC的值．
题型二在“线段最值”问题中的运用
【例3】如图，点C是⊙O上的一点，⊙O的半径为22，点D，E分别是弦CA，CB上的一动点，OD＝OE＝2，求AB得最大值．
【例4】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5
2，点P 是边BC 上的一动点(不与B ，C 重合)，PQ ⊥AP 交边CD
于点Q ，若CQ 的最大值为2
5
，求矩形ABCD 的周长．
针对练习7
1．如图，点P 为⊙O 内的一定点，点A 为⊙O 上的一动点，射线AP ，AO 分别与⊙O 交于B ，C 两点，若⊙O 的半径为3，OP ＝3，则弦BC 的最大值为．
2．如图，点A ，B ，P 三点在一条直线上，AB ＝4，PB ＝2，∠ACB ＝90°，当∠APC 最大时，求PC 的长．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，点P是边AD上的一动点，当∠BPC最大时，求PC的长．
4．如图，已知A，B两点的坐标分别为(8，0)(0，8)，点C，F分别是直线x＝－5和x轴上的动点，且CF ＝10，点D是线段CF的中点，直线AD交y轴于点E，连接AB，求△ABE面积的最小值．。

隐圆、路径最值问题

隐圆、路径、最值问题1. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E 为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为___2. 如图，在弓形ABC中，∠BAC＝60°，BC＝32，若点P在优弧BAC上由B点向C点移动，设△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路程为m，则m的最大值为_________3. 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E. F分别是边CD、AD上的动点，连接BE、CF交于点P，若始终保持CE=DF.①线段BE和CF的关系是BE=CF，且BE⊥CF，说明理由；当点E从点C运动到点D时，求点P 运动的路径长；(2)在边长为6的等边三角形ABC中,点E. F分别是边AC、BC上的动点,连接AF、BE,交于点P,若始终保持AE=CF,当点E从点A运动到点C时,直接写出点P运动的路径长是_______.4. 如图，RT⊿ABC中，AC＝BC＝2，P为边AC上的一动点，CQ⊥BP，垂足为Q点，则线段AQ长度的最小值是．5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝24，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于E，则线段CE长度的最小值为______6. 如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求求OC的最大值与最小值．OyxACB7、如图，ABC ∆中，4=BC ，︒=∠45BAC ，以24为半径，过C B 、两点作O ⊙，连接OA ，则线段OA 的最大值为8. 如图：△ABC 中，AB=2，BC=4，△ACD 是等边△，则△BCD 的面积的最大值是。

隐圆及几何值训练题

隐圆及几何值训练题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ByCxAO隐圆及几何最值训练题一、利用“直径是最长的弦”求最值1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为（）．2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D为AC的中点，过点D作DE⊥DF，DE、DF分别交射线AB、AC于点E、F，则EF的最小值为 .二、利用“定点定长存隐圆”求最值3．（2012年武汉市中考）在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD 的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.5．正方形ABCD中，BC=4，E，F分别为射线BC，CD上两个动点，且满足BE=CF，设AE，BF交于G，则DG的最小值为（）。

E DB CAFGFB CA DE6.（2013年武汉市中考）如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是7.（2015年武汉中考）如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（）8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是. 9.（2013年武汉中考）如图，圆A 与圆B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 分别是圆的切线，C 、D 、E 是切点，若∠CDE ＝x °,∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则弧DE 的长度是( ) A.90)90(Rx -π B.90)90(Ry -π C.180)180(Rx -π D.180)180(Ry -π10.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ’D ’F ’，若直线AE ’与直线BF ’相交于点P. （1）求∠PAO 的最大值（2）点P 运动的路径长M FEGD C AB ECABDPxy PF'D'DEGAoF E'第16题图NMA'D CB A三、利用“对角互补存隐圆”求最值11.如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，求PM 长度的最大值四、利用“定弦定角存隐圆”求最值12.（2014年武汉市元调）．如图，扇形AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于Q ，点I 为△OPQ 的内心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r . 则当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（）A ．0＜r ＜3B ．r=3C ．3＜r ＜3 2D ．r=3 213.如图, 边长为3的等边△ABC , D 、E 分别为边BC 、AC 上的点, 且BD ＝CE , AD 、BE 交于P 点, 则CP 的最小值为14.如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P 有个；（2）若点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时 ∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．IQOADPx y 51o A B五、利用“两边和差”求最值15.如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A 、B 分别在直角∠MON 的两边上滑动, 点C 在∠MON 内部, 则OC 的长的最大值为 .16.（2013年武汉市四调）如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).A ．3B ．6C ．332D ．3317．△ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=2，当点A 在x 轴上运动时，C 点也在y 轴上随之运动，求OB 的最大值18．△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC= 5 ，BP= 2 ，将CP 绕C 点顺时针旋转900得到线段CD ，当P 点绕B 点旋转一周时，D 点也随之运动，求BD 的最大值和最小值。

利用隐圆求最大或最小值--完美资料

隐圆求最值例1（12年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．例2（13年武汉中考）如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE＝DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.例3、如图,△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝6,BC＝8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为.练习R t ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AB＝6,点D在AB边上,点E是BC边上1、如图,△一点(不与点B、C重合),且DA＝DE,则AD的取值范围是.2、如图,已知边长为2的正△ABC,两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动,点C在∠MON内部,则OC的长的最大值为.3、如图,∠xOy＝45°,一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在Ox、Oy上移动,其中AB＝10,那么点O到顶点A的距离最大值为,点O到AB的距离的最大值为.补充练习1、如图，在△R t ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.2、如图，在△R t ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是.3、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O的最大距离为（）5D、A、21B、5C、145524、若在半径为1的圆O上任取两点A、B，再以AB为边向圆外作正方形，则OC的最大值和最小值分别为_______、________.5、如图，两同心圆半径分别为3、3，点A、B分别为两同心圆上的动点，以AB 为边作正方形ABCD，则OD的最大值为________.6、如图△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的△BCP是等边三角形，则AP的最大值为（）A．3B．4C．5 D.67、如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是________.8、过边长为1的正方形的中心O引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB长的取值范围是________.8、如图，半径为1的圆0上有一定点M为圆O上的动点．在射线OM上有一动点B，A B=1，0B＞1．线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点．则线段CD长度的取值范围________．。

隐圆及几何最值训练题

隐圆及几何最值训练题一、利用“直径是最长的弦”求最值1.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为（）．2.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8D 为AC 的中点，过点D 作DE ⊥DF ，DE 、DF 分别交射线AB 、AC 于点E 、F ，则EF 的最小值为 .二、利用“定点定长存隐圆”求最值 3．（2012年武汉市中考）在坐标系中，点A 的坐标为(3，为y 限内一点，且AC=2．，则m 的取值范围是4.如图，在Rt △ABC °，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.5．正方形ABCD 中，E ，F 分别为射线BC ，CD 且满足BE=CF ，设AE ，BF 交于G ，则DG 的最小值为（）。

E6.（2013年武汉市中考）如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是7.（2015、△EFG 均是边长为2点D 是边BC 、EF 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（）8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，M A'D CBA∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是.9.（2013如图，圆A 与圆B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 分别是圆的切线，C 、D 、E 是切点，若∠CDE ＝x °,∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则弧DE 的长度是( )A.90)90(Rx -π B.90)90(Ry -π C.180)180(R x -π D.180)180(R y -π 10.系中，O为原点，点A（-2，0），点B （0，2），点E，点F分别为OA，OB 的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，若直线AE’与直线BF’相交于点P. （1）求∠PAO的最大值（2）点P运动的路径长三、利用“对角互补存隐圆”求最值11.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，求PM长度的最大值四、利用“定弦定角存隐圆”求最值12.（2014扇形AOD中，∠AOD＝906，点P为弧AD上任意一点（不与点A 和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r. 则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 2 D．r=3 2 13.如图, 边长为3的等边△ABC, D、E分别为边BC、AC上的点, 且BD＝CE, AD、BE交于P点, 则CP的最小值为14.如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB明理由．五、利用“两边和差”求最值15.如图, ABC, 两顶点A、B分别在直角∠MON的两边上滑动, 点C在∠MON内部, 则OC 的长的最大值为.16.（2013年武汉市四调）如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC 的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 C D．x17．△ABC 中，∠，BC=2，当点A 在x C点也在y 的最大值18．△ABC 中，0，AC=BC= 5 ，CP 绕C 点顺时针旋转900得到线段CD ，当P 点绕B 点旋转一周时，D 点也随之运动，求BD 的最大值和最小值。

隐形圆解决最值及面积问题 - 含答案

定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

典型例题讲解1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．2414解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝12.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5 D．13-B．29解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为213-3.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2C．2D．34-2解：连接CD∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴O′B＝O′C＝4又∵∠ACO′＝90°∴AO′＝5 ∴AD的最小值为5－4＝14.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．312+D．346+6312+B．336+C．35.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．436.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点 ∴DM ⊥EF ∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值，连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB ∴CD 的最小值为127.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值，过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147- 8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连结B ′D ，则B ′D 的最小值是（）．A． B.6 C. D.4【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B ′E 可知，点A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B ′是动点，当E 、B ′、D 三点共线时，B ′D 的长最小，此时B ′D ＝DE －EB ′，问题得解.【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B ′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B ′D 的长最小值= DE －EB.故选A．【启示】此题属于动点（B ′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB ′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B ′、D 三点共线时，等号成立.9.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 .【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH . 22=B D DE B E ''≤-HGB A 112AB =1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH.当然此题也可利用的基本模型解决.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F ，连结B′D ，则B′D 的最小值是（）．A． B .6 C . D .4【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B′E 可知，点A 、B 、B′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B′是动点，当E 、B′、D 三点共线时，B′D 的长最小，此时B′D ＝DE －EB′，问题得解.【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B′D 的长最小值= DE －EB′.故选A ．【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线时，等号成立.【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是.【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH .【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决.DH OD OH ≤-22=B D DE B E ''≤-HGA 112AB =1DH OD OH ≤-【针对训练】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（）.A． B ． C ． D ．3作AC 的中点D ，连接OD 、BD ，∵OB ≤OD+BD ，∴当O 、D 、B 三点共线时OB 取得最大值，∵BD=2，OD=AD=21AC=1， ∴点B 到原点O 的最大距离为1+2．故选C2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（）.A ．B .C .D .4 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（）.A .6B .C .9D .优质解答如图，设 O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交 O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°，∵∠OP 1B=90°，∴OP 1∥AC ∵AO=OB ，∴P 1C=P 1B ，∴OP 1=21AC=4，∴P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1=1， x y 5612+32210-2213-22131+322如图，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2经过圆心，经过圆心的弦最长， P 2Q 2最大值=5+3=8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是9．故答案为：9．4.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）.A. B . C .5 D .5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（）．A ．B ．C .D .6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是A ．B ．C .D .7．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是 .8．（2017威海）如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若点P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为．解答解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，∵∠PAB=∠ACP ，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，∴点P 的运动轨迹是弧AC ，当O 、P 、B 共线时，PB 长度最小，设OB 交AC 于D ，如图所示：213-213+91651-31-21-21+23-31+231-此时PA=PC，OB⊥AC，。

巧用隐圆妙解最值(解析版)

巧用隐圆妙解最值模型背诵隐圆一:定弦定角，隐圆正好。

AB的长度固定不变(定弦)，∠ABC=α不变(定角)。

这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。

隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB为三点所在圆的直径。

(可以解决动点轨迹。

)隐圆二:等弦对等角，隐圆可以找。

(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC，则A,B,C,D四点共圆。

在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。

隐圆三:对角互补，四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆。

隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D四点共圆，且AC为直径。

隐圆四：定点定长，隐圆必现。

CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。

若Q为AP的中点，当P沿⊙O运动一周，则Q的运动轨迹为以AO中点M为圆心的圆。

(P为“主动点”，点Q为“从动点。

)典例分析如图1-1，点P(3,4)，圆P半径为2，A(2.8,0)，B(5.6,0)，点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【点睛】图1-2，M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．图1-3：当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．实战训练一．选择题(共8小题)1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°且AB=10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为()A.55-52B.52C.35-32 D.52-52试题分析：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB=90°，AK=BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出DK，PK，可得结论．答案详解：解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB=90°，AK=BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．∵点P是△ACB的内心，∠C=90°，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBA=12∠ABC，∴∠PAB +∠PBA =12(∠CAB +∠CBA )=45°，∴∠APB =180°-45°=135°，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵AB =10，AK =BK ，∠AKB =90°，∴AK =BK =KP =52，∠ABK =45°，∵∠ABT =90°，∴∠KBT =45°，∴KT =BT =5，∵OA =OB =BD =5，∴DT =10，∴DK =DT 2+KT 2=55，∴DP ≥DK -PK =55-52，∴DP 的最小值为55-52．所以选：A ．2.已知抛物线y =-316(x -1)(x -9)与x 轴交于A ，B 两点，对称轴与x 轴交于点D ，点C 为抛物线的顶点，以C 点为圆心的⊙C 半径为2，点G 为⊙C 上一动点，点P 为AG 的中点，则DP 的最大值与最小值和为()A.72B.23C.412D.5试题分析：P 为AG 中点，D 为AB 中点，所以PD 是△ABG 的中位线，则DP =12BG ，当BG 最大时，则DP 最大．由圆的性质可知，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大或最小．答案详解：解：如图，连接BG ．因为P 为AG 中点，D 为AB 中点，所以PD 是△ABG 的中位线，则DP =12BG ，当BG 最大时，则DP 最大．由圆的性质可知，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大．∵C (5，3)，B (9，0)，∴BC =32+42=5，∴BG 的最大值为2+5=7，BG 的最小值=5-2=3，∴DP 的最大值为72．DP 的最小值为32，∴DP 的最大值与最小值的和为5．所以选：D ．3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为()A.213-4B.210-3C.2D.4试题分析：由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案．答案详解：解：∵PA⊥PD，∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，∴连接CO交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，∵AB=4，BC=6，∴OD=3，DC=4，根据勾股定理可得，OC=32+42=5，∴CP=5-3=2，所以选：C．4.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A.2B.5C.3D.102试题分析：当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．答案详解：解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB=AM=3，∴M在以A为圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=32+42=5，AM=AB=3，∴CM=5-3=2，所以选：A．5.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为()A.3B.1+6C.1+32D.1+7试题分析：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；答案详解：解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解)在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，OC=1，CH=3，∴OH=12在Rt△CKH中，CK=(3)2+22=7，∴CQ的最大值为1+7，所以选：D．6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为()A.2B.πC.2πD.22π试题分析：由△ADE ≌△CDF ，推出∠DAE =∠DCF ，因为∠AED =∠CEG ，推出∠ADE =∠CGE =90°，推出A 、C 、G 、D 四点共圆，推出点G 的运动轨迹为弧CD ，利用弧长公式计算即可．答案详解：解：如图，∵CA =CB ，∠ACB =90°，AD =DB ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADE =∠CDF =90°，CD =AD =DB ，在△ADE 和△CDF 中，AD =CD ∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF (SAS )，∴∠DAE =∠DCF ，∵∠AED =∠CEG ，∴∠ADE =∠CGE =90°，∴A 、C 、G 、D 四点共圆，∴点G 的运动轨迹为弧CD ，∵AB =4，AB =2AC ，∴AC =22，∴OA =OC =2，∵DA =DC ，OA =OC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴点G 的运动轨迹的长为90π×2180=22π．所以选：D ．7.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =12，D 为AC 边上的一个动点，连接BD ，E 为BD 上的一个动点，连接AE ，CE ，当∠ABD =∠BCE 时，线段AE 的最小值是()A.3B.4C.5D.6试题分析：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．首先证明∠CEB =90°，求出AT ，ET ，根据AE ≥AT -ET ，可得结论．答案详解：解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，ET ．∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠CBD =90°，∵∠ABD =∠BCE ，∴∠CBD +∠BCE =90°，∴∠CEB =90°，∵CT =TB =6，∴ET =12BC =6，AT =AB 2+BT 2=82+62=10，∵AE ≥AT -ET ，∴AE ≥4，∴AE 的最小值为4，所以选：B ．8.如图，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是()A.πB.π+334C.332D.2π试题分析：由临界状态确定出C 1的运动路径，明确点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域为：扇形BC 'C ''和△BCC ''，再分别计算两部分面积即可．答案详解：解：如图，当P 与A 重合时，点C 关于BP 的对称点为C ′，当P 与D 重合时，点C 关于BP 的对称点为C ″，∴点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域为：扇形BC 'C ''和△BCC ''，在△BCD 中，∵∠BCD =90°，BC =3，CD =1，∴tan ∠DBC =13=33，∴∠DBC =30°，∴∠CBC ″=60°，∵BC =BC ''，∴△BCC ''为等边三角形，∴S 扇形BC ′C ″=120×π×(3)2360=π，作C ''F ⊥BC 于F ，∵△BCC ''为等边三角形，∴BF=12BC=32，∴C''F=tan60°×32=32，∴S△BCC''=12×3×32=334，∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+334．所以选：B．二．填空题(共12小题)9.如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6，AD=4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为　53　．试题分析：分析题意可知，点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，连接AN，AM，以AM 为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，以此得到M、A、N三点共线时，MN的值最大，再根据勾股定理分别算出AM、AN的值，则MN的最大值M′N=AN+AM′=AN+AM．答案详解：解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，∵△ADE绕点A旋转，∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，∵AM+AN≥MN，∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB=6，AD=4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN=3，DM=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得AN=AB2-BN2=33，在Rt△ADM中，由勾股定理得AM=AD2-DM2=23，根据旋转的性质得，AM′=AM=23，∴M′N=AN+AM′=53，即MN的最大值为53．所以答案是：53．10.如图，正方形ABCD中，AB=4，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为　210　．试题分析：如图，作点D关于直线BC的对称点K，连接MK，以AB为直径作⊙J，取CD的中点H，连接JH交⊙J于点T．由题意，点P的运动轨迹是AT，当点P运动到点T时，且点M在KT上时，DM+MP=KM+MP的值最小，最小值为KT的长．答案详解：解：如图，作点D关于直线BC的对称点K，连接MK，以AB为直径作⊙J，取CD的中点H，连接JH交⊙J于点T．∵点E与点F的速度相同．∴AE=DF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠ADF，AB=AD，∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴∠ABE=∠DAF，∵∠DAF+∠PAB=90°，∴∠ABE+∠PAB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上，圆心为点J，由题意，点P的运动轨迹是AT，当点P运动到点T时，且点M在KT上时，DM+MP=KM+MP 的值最小，最小值为KT的长．在Rt△THK中，TH=2，HK=6，∴TK=TH2+KH2=22+62=210，∴DM+MP的最小值为210，所以答案是：210．11.如图，在锐角三角形ABC中，BC=8，sin A=45，BN⊥AC于点N，CM⊥AB于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是　28825　．试题分析：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，利用定角对定边可知点A在优弧BC上运动，当A'O⊥BC时，△A'BC的面积最大，求出△ABC的最大面积，再利用三角函数求出AM的长度，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．答案详解：解：画出△ABC的外接圆⊙O，连接OB，∵BC=8，sin A=45，∴点A 在优弧BC 上运动，当A 'O ⊥BC 时，△A 'BC 的面积最大，∴BH =4，∵∠BOH =∠BAC ，∴BO =5，OH =3，∴AH =8，cos ∠BOH =35，∴S △ABC 最大为12×8×8=32，∵CM ⊥AB ，∴cos ∠MAC =AMAC=35，∵AB =AC ，AM =AN ，∠MAN =∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴S △AMN S △ABC =AM AB2，∴S △AMN 32=925，∴S △AMN =28825，所以答案是：28825．12.在△ABC 中，AB =4，∠C =45°，则2AC +BC 的最大值为410　．试题分析：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则△BCD 为等腰直角三角形，设BD =CD =a ，延长AC 至点F ，使得CF =a ，则可求出tan ∠AFB ，作△ABF 的外接圆⊙O ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE =12AB =2，∠AOE =∠AFB ，则可利用tan ∠AOE 求出OE 、OA ，最后利用三角形三边关系即可求出2AC +BC 的最大值为2(OA +OF )，计算即可．答案详解：解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵∠C =45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD =CD ，设BD =CD =a ，延长AC 至点F ，使得CF =a ，∵tan ∠AFB =a 2a =12，作△ABF 的外接圆⊙O ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE =12AB =2，∠AOE =∠AFB ，∴tan ∠AOE =12，∴OE =4，OA =22+42=25，∴2AC+BC=2AC+22BC=2(AC+CF)=2AF≤2(OA+OF)，∴2AC+BC的最大值为2×45=410．所以答案是：410．13.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=15°，BD=3AB，则∠BDC=45°．试题分析：过点A作AM⊥BD于M．分别求出∠ADC，∠ADB，可得结论．答案详解：解：过点A作AM⊥BD于M．∵AB=AC=AD，∴∠CAD=2∠CBD=30°，∴∠ADC=∠ACD=75°，∵AB=AD，AM⊥BD，∴BM=DM，∵BD=3AB，∴BMAB =32，∴cos∠ABM=32，∴∠ABM=∠ADB=30°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°．所以答案是：45°．14.如图，等边△ABC中，AB=6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为23　．试题分析：首先证明∠AFB=120°，推出点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动(∠AOB=120°，OA=23)，连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小．答案详解：解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°，∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)∴∠BAD=∠CBE，又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC，∴∠AFE=60°，∴∠AFB =120°，∴点F 的运动轨迹是O 为圆心，OA 为半径的弧上运动(∠AOB =120°，OA =23)，连接OC 交⊙O 于N ，当点F 与N 重合时，CF 的值最小，最小值=OC -ON =43-23=23．所以答案是23．15.如图，正方形ABCD 中，AB =2，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD +MP 的最小值为　10　．试题分析：首先作出点D 关于BC 的对称点D ′从而可知当点P 、M 、D ′在一条直线上时，路径最短，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD ′均最短，即PD ′最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG =1，GD ′=3，最后由勾股定理即可求得PD ′的长，从而可求得MD +MP 的最小值．答案详解：解：如图作点D 关于BC 的对称点D ′，连接PD ′，由轴对称的性质可知：MD =D ′M ，CD =CD ′=2∴PM +DM =PM +MD ′=PD ′过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，易证AF ⊥BE ，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PG 和GD ′均最短，∴此时，PD ′最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴PG =12AD =1，GC =12DC =1．∴GD ′=3．在Rt △PGD ′中，由勾股定理得：PD ′=PG 2+GD '2=12+32=10．所以答案是：10．16.如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =60°，AB =4，点P 是BC 边上的动点，过点C 作直线AP 的垂线，垂足为Q ，当点P 从点C 运动到点B 时，点Q 的运动路径长为　23π　．试题分析：由AQ⊥CQ，推出∠AQC=90°，可知当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，延长即可解决问题．答案详解：解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC=90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB=4，∠B=30°，∴AC=12AB=2，∴点Q的运动路径长为120⋅π⋅1180=23π17.如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点(C始终在第一象限)，且tan∠BAC=12．则当点A从A0(0，10)滑动到O(0，0)，B从O(0，0)滑动到B0(10，0)的过程中，点C运动的路径长为20-65　．试题分析：如图1中，作射线OC．首先证明点C在射线OC上运动，∠COB=∠CAB=定值，求出三种特殊位置OC的值即可解决问题；答案详解：解：如图1中，作射线OC．∵tan∠BAC=12，∴∠CAB是定值，∵∠COB=∠CAB，∴∠COB是定值，∴点C在射线OC上运动．如图2中，当线段AB在y轴上时，设OC1=k，A1C1=2k，则有：k2+4k2=102，∴k=25∴OC1=25，如图2中，四边形A2OB2C2是矩形时，OC2=AB=10，此时OC2的值最大，当线段AB在x轴上时，同法可得OC3=45，观察图形可知，点C的运动轨迹是C1→C2→C3，∴点C的运动路径为：(10-25)+(10-45)=20-65，所以答案是20-65．18.如图，等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，P为直线BC上方的一个动点，且满足∠PAD=∠PDB，则线段CP长的最大值为　37+332．试题分析：首先证明点P在以AD为直径的⊙O上，连接OC，延长CO交⊙O于点P，此时PC最大，利用勾股定理求出OC即可解决问题．答案详解：解：∵等边△ABC的边长为6，D为BC边上的中点，∴∠ADB=90°，∴∠ADP+∠PDB=90°，∵∠PAD=∠PDB∴∠DAP+∠ADP=90°，∴∠APD=90°，∴点P在以AD为直径的⊙O上，连接OC，延长CO交⊙O于点P，此时PC最大，在Rt△CDO中，∵∠ODC=90°，DC=12BC=3，OD=12AD=332，∴OC=OD2+CD2=372，∴PC=OC+OP=372+332=37+332．∴CP长的最大值为37+332．所以答案是37+332．19.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为　5-2　．试题分析：根据∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB=OA=2，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE=BE=1，由勾股定理可求得OC的长为5，最后CD最小值为OC-OD=5-2．答案详解：解：如图所示．∵∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O(因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧)，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO=BO=sin45°×AB=2．∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBE=45°，作OE⊥BC于点E，∴△OBE为等腰直角三角形．∴OE=BE=sin45°•OB=1，∴CE=BC-BE=3-1=2，在Rt△OEC中，OC=OE2+CE2=1+4=5．当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=5-2．所以答案是：5-2．20.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为　3-π3　．试题分析：由矩形的性质求出∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，根据S阴影部分=S四边形ABQD-S扇形ABQ=2S△ABD-S扇形ABQ可求出答案．答案详解：解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ=PA，∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，∵矩形ABCD中，AB=1，AD=3，∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°．∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°，∴∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，S△ABD=S△BQD，∴S阴影部分=S四边形ABQD-S扇形ABQ=2S△ABD-S扇形ABQ，=S矩形ABCD -S扇形ABQ=1×3-120π×12360=3-π3．所以答案是：3-π3．三．解答题(共3小题)21.圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB=35°．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．(2)已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．试题分析：(1)利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．答案详解：(1)以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，∵∠AOB=70°，∴∠ACB=35°，所以答案是35°．(2)连接PB，PE，如图，，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．∴AC=4，∠BAC=60°，BC=23．∵P为Rt△ABC斜边AC中点，∴BP=12AC=2，线段AC平移到DF之后，AB=AD=PE=2，BP=AE=2，∴四边形ABPE为菱形，∵∠BAC=60°，∴∠BEA=30°，∵CF∥BD，且∠ABC=90°，∴四边形BDFC为直角梯形，∴S=12(BD+CF)×BC=12×6×23=63，(3)如图所示，当AC边沿BC方向平移2个单位至DF时，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大，此时直角梯形ABFD的最大面积为，S=12×(BF+AQ)×AB=12×(23+2+2)×2=4+23．22.阅读下列材料，回答问题．材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”．解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变．从而找到动点所在的隐藏圆，进而转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值．解决问题：(1)如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件点B在线段AO上时，AB有最小值为2．(2)如图②，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到BC的距离最小值为2．(3)如图③，OA⊥OB，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，C是线段PQ的中点，且PQ=4，则在线段PQ滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由．(4)如图④，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E是AB中点，点F是BC上一点，把△BEF沿着EF翻折，点B落在点B'处，求DB'的最小值，并说明理由．(5)如图⑤，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，求PQ长的最小值，并说明理由．试题分析：(1)如图①，连接OA，OB，OA，由三角形的三边关系可得AB≤AO-BO，则当点B在线段AO上时，AB有最小值=3-1=2；(2)如图②中，过点A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此时点P到BC的距离最小．(3)利用直角三角形斜边中线的性质，的长OC=2，再利用弧长公式求解即可．(4)如图④中，连接DE，DB′．利用勾股定理求出DE，根据DB′≥DE-EB′，可得DB′≥217-2，由此可得结论．(5)当O、Q、P三点共线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，分别利用三角形中位线定理可求得OD和OP的长，则可求得PQ的最小值．答案详解：解：(1)如图①，连接OA，OB，OA，在△ABO中，AB≤AO-BO，当点B在线段AO上时，AB有最小值=3-1=2，所以答案是：点B在线段AO上，2．(2)如图②中，过点A作AH⊥BC于H，交⊙A于P，此时点P到BC的距离最小．∵AB=AC=5，AH⊥BC，BC=3，∴BH=CH=12∴AH=AB2-BH2=52-32=4，∵PA=2，∴PH=AH-AP=2，∴圆上动点P到BC的距离最小值为2，所以答案是：2．(3)如图③中，连接OC．∵∠POQ=90°，PQ=4，PC=CQ，PQ=2，∴OC=12∴点C的运动轨迹是圆弧，运动路径的长=90⋅π⋅2=π．180(4)如图④中，连接DE，DB′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AE=EB=2，AD=8，∴DE=AE2+AD2=22+82=217，∵BE=EB′=2，∴DB′≥DE-EB′，∴DB′≥217-2，∴DB′的最小值为217-2．(5)当O、Q、P三点共线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图⑤中，∵AC为圆的切线，∴OD⊥AC，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴OD ∥BC ，且O 为AB 中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD =12BC =3，同理可得PO =12AC =4，∴PQ =OP -OQ =4-3=1，∴PQ 的最小值为1．23.在矩形ABCD 中，BC =3CD ，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，且AE =CF ，连接EF ，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．(1)如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE =PF ；(2)如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M ，求证：点M 在线段EF 的垂直平分线上；(3)当AB =5时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．试题分析：(1)欲证明PE =PF ，只要证明∠PEF =∠PFE ．(2)连接AC 交EF 于O ，连接PM ，PO ．首先证明P ，M ，O 共线，再利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．(3)如图3中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图中弧BC ．利用弧长公式，解决问题即可．答案详解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF =∠EFB ，由翻折变换可知，∠DEF =∠PEF ，∴∠PEF =∠PFE ，∴PE =PF ．(2)证明：如图2中，连接AC 交EF 于O ，连接PM ，PO ．∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO ，∵AE =CF ，∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO (AAS )，∴OE =OF ，∵PE =PF ，∴PO 平分∠EPF ，∵AD =BC ，AE =FC ，∴ED =BF ，由折叠的性质可知ED =EH ，所以BF =EH ，∴PE -EH =PF -BF ，∴PB =PH ，∵∠PHM =∠PBM =90°，PM =PM ，∴Rt △PMH ≌Rt △PMB (HL )，∴PM 平分∠EPF ，∴P ．M ，O 共线，∵PO ⊥EF ，OE =OF ，∴点M 在线段EF 的垂直平分线上．(3)如图3中，由题意，点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，点G 运动的路径是图中弧BC ．在Rt △BCD 中，tan ∠CBD =CD BC=33，∴∠CBD =30°，∴∠ABO =∠OAB =60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA =OD =OB =OC =AB =5，∠BOC =120°，∴点G 运动的路径的长=120⋅π⋅5180=103π．所以答案是：103π．。

备考2024年中考数学专题突破(全国通用) 八种隐圆类最值问题(解析版)

知识点梳理题型一定点定长得圆
2023 年湖北省鄂州市中考数学真题 2023·邵阳市中考真题 2023·广西南宁市二模 2022·辽宁抚顺·中考真题 2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径 2023·菏泽市中考真题 2022·通辽·中考真题 2023·汕头市金平区一模 2023·广州市天河区三模 2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆 2023 年·广元市一模题型四定弦定角得圆 2023·成都市新都区二模 2023·成都市金牛区二模 2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值 2023·随州市中考真题 2022·江苏无锡·中考真题 2022 扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考
问题解决
资料整理
证明：在直线 l 上任取一点 Q（不与 P 点重合），连接 AQ、BQ，∠AQB 即为圆 O 的圆外角 ∴∠APB＞∠AQB，∠APB 最大 ∴当圆与直线 l 相切时，∠APB 最大
资料整理
题型一定点定长得圆
1．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝3，BC＝4，点 P 是 BC 边上一动点（点 P 不与 B，C 重合），连接 AP，作点 B 关于直线 AP 的对称点 M，则线段 MC 的最小值为（）
六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线 BC 外一点 A，A 到直线 BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。则 △ABC 的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。
A
O B DC
问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形 ABC 的外接圆的大小，也就是半径，是会随着 A 点的运动而发生变化的。从而弦 BC 的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高 AD 是定值，因此三角形 ABC 的面积就有一个最小值。

隐形圆模型的最值问题-含答案

隐形圆模型的最值问题【母题示例】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息．【母题剖析】先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可．【母题解读】隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决.模型一直角模型【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．【基本图形】基本图形BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明以AB为直径的圆上【核心突破】1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( )A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________．模型二定角模型【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．【基本图形】基本图形说明点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边在正方形ABCD 内作等边△ABM，点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上基本图形说明点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等腰Rt△AOB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上【模型突破】1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝23，点P是矩形ABCD内(含边界)上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．模型三折叠、旋转模型【模型解读】折叠、旋转模型是在几何图形中，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算．【基本图形】基本图形沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则点D′说明在以A为圆心，AD为半径的圆弧上基本图形△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹为以A 说明为圆心，AF为半径的圆【模型突破】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．。

隐形圆模型的最值问题含答案

隐形圆模型的最值问题【母题示例】如图示意，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息．【母题剖析】先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再据勾股定理确定CD′的最小值即可．【母题解读】隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决.模型一直角模型【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．【基本图形】基本图形BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明以AB为直径的圆上【核心突破】1.如图示意，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH 长度的最小值为( )A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________．模型二定角模型【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．【基本图形】基本图形说明点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边在正方形ABCD内作等边△ABM ，点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上基本图形说明点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等腰Rt△AOB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上【模型突破】1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝23，点P是矩形ABCD内(含边界)上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．2．如图示意，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B 在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．模型三折叠、旋转模型【模型解读】折叠、旋转模型是在几何图形中，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算．【基本图形】基本图形沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则点D′说明在以A为圆心，AD为半径的圆弧上基本图形△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹为以A 说明为圆心，AF为半径的圆【模型突破】1．如图示意，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．2．如图示意，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形(∠ACB＝∠DCE＝90°)．保持△ABC固定不动，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，连接AD、AE、BD，直线AE与BD相交于点H.点P、M、N分别是AD、AB、DE的中点．若AC＝4，CD＝2，则在旋转过程中，△PMN的面积的最大值为________．参考答案【核心母题剖析】25－2 【点拨】∵将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，∴AD′＝AD，∴点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，连接AC交⊙A于D′，此时CD′取得最小值．∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∴由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝25，∴CD′的最小值为AC－AD＝25－2.【核心归纳突破】模型一、直角模型1．A 【点拨】∵DE＝CF，∴AE＝DF，在Rt△ABE和Rt△DAF中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DA ，∠BAE＝∠ADF，AE ＝DF ，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE＋∠BAH＝90°，∴AH⊥BE，点H 的轨迹是以AB 为直径的⊙P，如解图所示，连接DP ，交⊙P 于点H ，此时DH 的长度最小，∵AB＝AD ＝6，∴AP＝3，∴DP＝AD 2＋AP 2＝62＋32＝35，∴DH＝DP －PH ＝35－3.2．2 【点拨】∵AP⊥BP，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∵A(－3，0)，B(3，0)，∴AB 的中点为O ，如解图所示，连接OM 交⊙O 于P ，此时MP 最小，∵点M 的坐标为(3，4)，∴OM＝5，∴MP 的最小值为MO －OP ＝5－3＝2.模型二、定角模型1.19－2 【点拨】如解图，以AB 为边在矩形ABCD 内作等边△ABM，设△ABM 的外接圆圆心为O ，连接AO ，OC ，OM ，延长MO 交AB 于N ，过点O 作OE⊥BC 于E ，则AN ＝BN ＝3，易得∠AON＝60°，∴ON＝1，AO ＝2，∴CE＝BC －BE ＝BC －ON ＝4，在Rt△COE 中，由勾股定理得OC ＝OE 2＋CE 2＝19，∵∠APB ＝60°＝∠AMB，∴点P 在⊙O 在矩形内部分的弧上，∴当CO 交⊙O 于P 时，CP 最小，最小值为19－2.2．解：∵AB＝4，点E 是AB 的中点，∴AE＝BE ＝2，如解图，过点E 作EF⊥y 轴于F ，则四边形AEFO 是正方形，以F 为圆心，FE 为半径画圆，在优弧EO 上取点P ，连接OP ，EP ，则∠EPO＝12∠EFO＝45°. 连接CF 交⊙F 于P ，则此时CP 最小．设BC 交y 轴于G ，则CG ＝OD ＝1，FG ＝2，∴由勾股定理得FC ＝5，∴CP 的最小值为CF －FP ＝5－2.模型三、折叠、旋转模型1.1255【点拨】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD＝BD ＝3，而AC＝4，由勾股定理得：AD ＝5，而FD ＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH⊥BC 于H ，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF＝125，DH ＝95，∴BH＝245，∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255. 2.92【点拨】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD＝90°，∴AC＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB＋∠BCE＝∠BCE＋∠ECD，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD ，∠CAE＝∠CBD，∴∠HBA＋∠HAB＝∠HBC＋∠CBA＋∠HAB＝∠CBA＋∠CAB＝90°，∴BD⊥AE.∵P，M 分别是AD ，AB 的中点，∴PM∥BD，且PM ＝12BD ，同理，PN∥AE，且PN ＝12AE ，∴PM⊥PN，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.。

圆的最值模型之隐圆模型(原卷版)(北师大版)

专题09圆的最值模型之隐圆模型
一、模型说明
1、动点定长模型
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
2、直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
3、四点共圆模型
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
二、例题精讲
A．23B．3+1
例5．（综合1）正方形ABCD中，AE相交于点G.以AG为斜边在
三、课后训练
6．如图，在Rt ABC中，∠转过程中始终保持点M为BD 是．
7．如图，在矩形ABCD中，
11．问题背景如图（1），△
两点分别向直线l作垂线
转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）尝试应用如图（2），△ABC
∠AEC＝60°．△ABD可以由△
拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若。

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B
y C
x
A
O 隐圆及几何最值训练题
一、利用“直径是最长的弦”求最值
1.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为（）．
2.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D 为AC 的中点，过点D 作DE ⊥DF ，DE 、DF 分别交射线AB 、AC 于点E 、F ，则EF 的最小值为 .
二、利用“定点定长存隐圆”求最值
3．（2012年武汉市中考）在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．
4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.
5．正方形ABCD 中，BC=4，E ，F 分别为射线BC ，CD 上两个动点，且满足BE=CF ，设AE ，BF 交于G ，则DG 的最小值为（）。

D F
G C
D
E
6.（2013年武汉市中考）如图，
E 、
F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点
G ，连接BE 交AG 于点
H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是
7.（2015年武汉中考）如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，
直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（）
8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是. 9.（2013年武汉中考）如图，圆A 与圆B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 分别是圆的切线，C 、D 、E 是切
点，若∠CDE ＝x °,∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则弧DE 的长度是( ) A.90
)90(R
x -π B.
90
)90(R
y -π C.
180
)180(R
x -π D.
180
)180(R
y -π
10.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ’D ’F ’，若直线AE ’与直线BF ’相交于点P. （1）求∠PAO 的最大值（2）点P 运动的路径长
M F
E
G
D C A
B E
C
A
B
D
P
x
y P
F'
D'D
E
G
A
o
F E'
第16题图
N
M
A'
D C
B A
三、利用“对角互补存隐圆”求最值
11.如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，求PM 长度的最大值
四、利用“定弦定角存隐圆”求最值
12.（2014年武汉市元调）．如图，扇形AOD 中，∠AOD ＝90°，OA ＝6，点P 为弧AD 上任意一点（不与点A 和D 重合），PQ ⊥OD 于Q ，点I 为△OPQ 的内心，过O ，I 和D 三点的圆的半径为r . 则当点P 在弧AD 上运动时，r 的值满足（）
A ．0＜r ＜3
B ．r=3
C ．3＜r ＜3 2
D ．r=3 2
13.如图, 边长为3的等边△ABC , D 、E 分别为边BC 、AC 上的点, 且BD ＝CE , AD 、BE 交于
P 点, 则CP 的最小值为
14.如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB=30°的点P 有个；
（2）若点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；
（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时 ∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．
I
O
A
D
P
x y 51o A B
五、利用“两边和差”求最值
15.如图, 已知边长为2的正△ABC, 两顶点A 、B 分别在直角∠MON 的两边上滑动, 点C 在∠MON 内部, 则OC 的长的最大值为 .
16.（2013年武汉市四调）如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).
A ．3
B ．6
C ．
33
D ．33
17．△ABC 中，∠ACB=900，AC=4，BC=2，当点A 在x 轴上运动时，C 点也在y 轴上随之运动，求OB 的最大值
18．△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC= 5 ，BP= 2 ，将CP 绕C 点顺时针旋转900得到线段CD ，当
P 点绕B 点旋转一周时，D 点也随之运动，求BD
19．△ABC 中，∠ACB=900， BC=6，AC=12，D 在AC 上，AD=8，把线段AD 绕A 点旋转到AD ’位置，
设F 为BD ’的中点，，求CF 的最大值
x y B
C
O A
D A P F C
A
B
D D'
20．如图，PA=2，PB=4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，求PD的最大值
D
C
A
21.△ABC中，AB=2，BC=4，以AC为边作等边三角形ACD，当∠ABC大小变化时，求BD的最大值。

A
六、利用“同侧差最大，异侧和最小”求最值
22.如图，已知⊙O的半径为R，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP＋PD的最小值是（）
A．2R B．3R C．2R D．R
23.正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，且CE=1，长为 2 的线段MN在AC上滑动，求四边形BMNE的周长最小值
D
M
N
C
24.如图，∠AOB=600,点P为∠AOB内一点，P到∠AOB两边距离PM=1，PN=5，C为∠AOB的边OA上一点，D为∠AOB的边OB上一点，则PC+CD最小值=________
25. 如图，∠BOA=30°，M、N分别为OA、OB上的两个点，OM=1，ON=3，P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值
七、利用“两点之间线段短”求最值
26.等腰直角△ABC中，∠CAB=900，AC=AB=2，P为三角形内一点，求PA+PB+PC的最小值
八、利用“二次函数模型”求最值
27.如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x=时，PD•CD的值最大，且最大值是为.
、
A
O
28.如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ). A.4 B. C. D. 2
九、利用“垂线段最短”求最值
29.（2014年武汉市四调）如图，P 为的⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点．若⊙O 的半径长为3，OP ＝3，则弦BC 的最大值为（） A ．23． B ．3． C ．6． D ．32．
30.△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=600，AC=3 2 ，以C 为圆心1为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一个动点，求S △ABP 最大值或最小值。

31．A 到直线l 的距离为5，以A 为圆心3为半径作圆，Q 为圆上一个动点，过Q 作PQ ⊥AQ 交直线于P ，求PQ 的最小值
C
P
l
Q
A
D
B O
C A 32.如图，∠XOY=45°,一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB=10，求点O 到顶点A 的距离的最大值
十、其他方法求最值
33.（2013年武汉市元调）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.
34.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是.
35.如图所示，已知直线l ：y ＝2kx ＋2－4k （k 为实数），直线l 与x 轴正半轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则△AOB 面积的最小值是___________
x y A B
o P C X O Y
A。