数学分析期末考试题

数学分析期末考试题

一、叙述题：(每小题5分，共10分）

1、 叙述反常积分

a dx x f b

a

,)(⎰

为奇点收敛的cauchy 收敛原理

2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21

2111(

lim n

n n n +++++∞

→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()

sin (π∈⎩

⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积

3、求⎰∞+∞-++dx x x cpv 211)

(

4、求幂级数∑∞

=-12

)1(n n

n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y

x

xy f u =， 求y x u ∂∂∂2

三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

1、y

x y x y x f +-=2

),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为

什么？

2、讨论反常积分

⎰

∞

+0

arctan dx x

x

p

的敛散性。 3、讨论∑∞

=-+1

33))1(2(n n

n

n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分）

1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰

b

a

dx x f

2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu

参考答案

一、1、,0.0>∃>∀δε使得δδδ<<<∀210，成立

εδδ<⎰

--2

1

)(a a dx x f

2、设2R D ⊂为点集，m

R

D f →:为映射，,0.0>∃>∀δε使得

D x x x x ∈<-∀2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f

二、1、由于

x

+11

在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21

2111(

lim n

n n n +++++∞

→ =2ln 11)11211111(

1lim 10=+=+++++⎰∞→dx x n

n n n n n （6分）

2、 、所求的面积为：220

23)cos 1(a dx x a ππ

=-⎰

（8分）

3、 解：π=++=++⎰⎰-+∞→∞

+∞-A A A dx x x dx x x

cpv 2

211lim 11)

( (3分） 4、解：11

lim 2=∞

→n

n x

，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）

5、解： y u ∂∂=221y x f x f -（3分）3

22112212y

x

f xy f y f f y x u -++=∂∂∂（5分） 三、1、解、

0lim lim lim ,1lim lim lim 2

02000200==+-==+-→→→→→→y

y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k

+11

所以重极限不存在（5分） 2、解：⎰⎰⎰∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对⎰10arctan dx x x

p

，由于

)0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时⎰10arctan dx x x p 收敛（4分）；⎰∞+1arctan dx x x p

，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π

（4分）故p >1⎰∞+1arctan dx x

x p 收敛，综上所述1

23])1(2[lim

3<+=-++∞

→n

n n n n 所以级数收敛（10分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在

包含x 0的区间],[],[b a d c ⊂，有0)(>x f （4分），0)()(>≥⎰⎰

d

c

b

a

dx x f dx x f （4分）

2、证明：以二元函数为例

ugradv

vgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）