第15章光的衍射

第15章光的衍射基本要求1、了解惠更斯--菲涅尔原理。

2、掌握单缝夫琅和费衍射，能计算单缝衍射的暗纹条纹分布，能分析缝宽及波长对条纹分布的影响。

3、了解圆孔夫琅和费衍射的一般特性和光学仪器的分辨本领。

4、理解光栅衍射,能确定光栅衍射谱线的分布，会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。

5、了解X射线衍射。

内容提要1．惠更斯-菲涅尔原理从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。

利用这一原理可以计算出衍射图样中的光强分布，但计算过程复杂，在大学物理教材中通常采用菲涅尔提出的半波带法来解释衍射现象。

2．单缝夫琅禾费衍射（1）单缝衍射条纹的主要特点①中央明条纹（零级明纹）最亮，同时也最宽（约为其它明条纹宽度的两倍）；②各级明条纹的光强随级数增大而减小；③当白光入射时，中央明条纹仍为白色，其两侧的各级明纹呈现彩色，并按波长排列最靠近中央的为紫色，最远离的为红色，各单色光会产生重叠交错。

④ 条纹级数有限。

（2） 屏单色光垂直入射时，屏幕干涉条纹位置暗纹中心位置 sin a k ϕλ=± 1,2,3,k =明纹中心位置 sin (21)2a k λϕ=±+ 1,2,3,k = 中央明纹范围 sin a λϕλ-<<（3）条纹间距中央明纹线宽度 02l f a λ=⋅其它各级明纹线宽度（相邻两暗纹中心间距） 0l f a λ=式中a 为单缝宽度，f 为缝屏间所置透镜的焦距。

应该注意，屏上条纹位置与衍射角之间有对应关系tan x f θ=。

当θ比较小时，有sin tan θθ≈，此时sin tan x f f θθ=≈；当θ较大时，则要先求出θ值，再代入tan x f θ=中计算。

若用圆孔代替狭缝，则为圆孔夫琅禾费衍射，其衍射图样为明暗相间的同心圆环状条纹，中央明纹是圆形亮斑（爱里斑），它集中了入射光束中光强大约84%，其对透镜光心的张角2 2.44D λθ=其中D 为圆孔直径。

3． 光学仪器的分辨率 两发光点刚好能被圆孔光学仪器分辨，则它们对透镜光心所张的角叫最小分辨角。

由瑞利判据知，它等于爱里斑的半角度 1.22D λθ=。

光学仪器的最小分辨角的倒数，称为该仪器的分辨率。

所以提高光学仪器分辨率的途径之一是增大透光孔径D ，如大型天文望远镜；二是减小入射光波的波长λ。

如用电子显微镜等。

4．光栅衍射光栅衍射图样的特点是明条纹细且亮，两明纹之间存在很宽的暗区，这种衍射图样是单缝衍射和多缝干涉的综合结果。

（1） 光栅方程当平行光束垂直入射到光栅上，屏幕上主极大条纹的位置为()sin 0,1,2,a b k k ϕλ+=±=式中()a b +为光栅常数，k 称为条纹级数。

上式表明，相邻两单缝衍射的光波列到达屏上某点（衍射角ϕ处）时，若光程差恰好是波长的整数倍，则叠加后相互加强，形成明条纹。

（2）缺级现象：当ϕ角同时满足单缝衍射的暗纹公式和光栅方程时，将出现所谓缺级现象。

缺级条件为a b k a k +='式中k 为光栅明纹主极大级次，k '单缝衍射的暗条纹级次。

（3）光栅光谱当白光入射光栅上时，与单缝衍射类似，除中央主极大仍为白色，其它为各级主极大都将呈现彩色。

形成由紫到红的彩色光带，这些光带的整体称为衍射光谱。

由sin k a b λϕ=+，对于同一级k ，衍射角ϕ的大小正比于入射光的波长λ，所以光谱中紫光靠近中央主级大，而红光则远离中央主极大。

当级数较高时，第k 级光谱中的长波明纹将与第1k +级短波明纹位置重合，光谱发生了重叠，级数愈高，重叠愈多，愈难分辨。

5．X 射线衍射利用天然晶体的空间点阵为三维衍射光栅，观察到X 射线的衍射图样—劳厄斑点。

设晶体中各原子层间的距离为d （晶格常数），平行相干的X 射线以掠射角ϕ投射到晶体表面上，满足2sin 1,2,d k k ϕλ==时，反射光波加强形成亮点，上式称为布喇格公式。

重点、难点分析1． 半波带法如前所述，用半波带解释单缝衍射条纹的分布，可避免复杂的计算，单缝AB 上各点发出的子波在ϕ方向的最大光程差sin AC a ϕ=，作k 个平行于BC 的平面，把AC 分割为半波长2λ的k 个相等部分。

同时，这些平面将把单缝处的波阵面AB 分割成k 个半波带。

这样，相邻两半波带上对应点向ϕ方向发出的子波其光程差总是2λ，到达P 点时则相互干涉抵消。

所以当单缝处的波阵面恰好分成偶数个半波带时，所有波带上各点发出的光振动都将在P 点一一抵消，使P 点形成暗条纹；当缝AB 波阵面正好分成奇数个半波带，则成对的半波带抵消后，还剩下一个半波带未被抵消，将使P 点成为明条纹。

若ϕ角不同，单缝处的波阵面分割成的半波带数目也不同，ϕ角愈大，半波带数目也愈多，每个半波带透过的光通量（或能量）愈小，对应的明条纹亮度愈弱。

若单缝处的波阵面AB 不能分成整数个半波带时，光屏上P 点总会有一些光线到达，但其亮度比明条纹要小，这就使得单缝衍射的明条纹有一定宽度。

所以在用单缝衍射测量光波波长时，一般测量暗条纹的位置。

这里应该注意：图15-1中引入的BC 平面与AC 线（及沿ϕ方向的各衍射线）垂直，是借用了光线在各向同性介质中波线与波面垂直，且平行光经透镜后不产生附加光程差的原理，使单缝处波阵面上各点向ϕ方向发出的光波从BC 面开始一直到P 点，走过的光程都一样，相互间均没有附加光程差。

因此，这些沿ϕ方向的衍射光线之间若有光程差就应该是在AB 面之后与BC 之前的这一段，其最大光程差sin AC a ϕ=。

但这里的BC 平面上各点之间已有位相差，从B 到C 位相依次落后，所以它们在到达屏幕时才会形成明（或暗）的干涉条纹。

不然，若BC 平面是ϕ方向衍射线的波面，之后又没有附加光程差，那么屏幕上将永远只能是明的。

图15-12．光栅衍射的缺级现象若屏幕上某处满足光栅公式主极大条件：()sin a b k ϕλ+=同时也满足单缝衍射的暗纹条件：sin a k ϕλ'=则因从每个单缝射出的衍射光已各自满足暗条纹条件，也就不会出现缝与缝之间的干涉加强作用了，这种现象称为缺级。

将上述两式相比可知缺级条件为 1,2,3,a bk k k a +''==一般只要为整数比时，则对应的k 级明条纹位置一定出现缺级现象。

3．光栅衍射时屏上最多见到的条纹级数分析当平行光垂直入射到光栅上，由()s i n a b k ϕλ+= ()sin a b k ϕλ+=±式中取90ϕ=︒，计算出对应的k 值，若k 为非整数，则不大于k 的最大整数值就是所能看到的该光栅的最高衍射级数max k ；若k 为整数，则max 1k k =-，因为90ϕ=︒时条纹在光栅的延长线上，实际观察不到。

此外，还要考虑到有无缺级的问题。

解题示例例15 -1 单缝宽0.50mm ，透镜焦距为1=f cm ，用500=λnm 的绿光垂直照射单缝．求：(1)位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的角宽度；(2)中央明条纹的线宽度；（3）第一级与第二级暗纹之间的距离；（4）如果在屏幕上离中央亮纹中心为3.5mm 处的P 点为一亮纹，试求P 处亮纹的级数；（5）从P 处看，对该光波而言，狭缝处的波面可分割成几个半波带？解 （1）中央明纹的角宽度为3360102105.0105.022---⨯=⨯⨯⨯==∆m m a λθrad (2) 中央明纹的线宽度为300102-⨯=∆≈∆θf x m(3) 第一级暗纹与第二级暗纹之间的距离3332110110102(1)2(---⨯=-⨯⨯=-≈∆a a f x λλ m （4） 由明纹公式2)12(sin λθ+=k a以及明纹坐标θθsin tan f f x ≈=求得该条纹级次321=-=f ax k λ （5）当3=k 时，衍射光中的最大光程差为272)12(sin λλθ⨯=+=k a因此，狭缝处波阵面可分成七个半波带。

例15 -2 用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm 的单缝，缝后凸透镜的焦距0.40=f cm ，观察屏幕上形成的衍射条纹．若屏上离中央明条纹中心1.40mm 处的P 点为一明条纹；求：(1)入射光的波长；(2)P 点处条纹的级数；(3)从P 点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个半波带?解 (1)由于P 点是明纹，故有2)12(sin λϕ+=k a ，⋅⋅⋅=3,2,1k 由 ϕϕsin tan 105.34004.13≈=⨯==-f x 故 3105.3126.0212sin 2-⨯⨯+⨯=+=k k a ϕλ3102.4121-⨯⨯+=k mm当 3=k ，得6003=λnm4=k ，得4704=λnm(2)若 6003=λnm ，则P 点是第3级明纹；4704=λnm ，则P 点是第4级明纹．(3)由2)12(sin λϕ+=k a 可知，当3=k 时，单缝处的波面可分成712=+k 个半波带；当4=k 时，单缝处的波面可分成912=+k 个半波带．例15 -3 波长为500nm 的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距为60cm ．求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法线成30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少?解 光栅常数3100.52001-⨯==+b a mm =6100.5-⨯m (1)由光栅衍射明纹公式λϕk b a =+sin )(，因1=k ,又fx ==ϕϕtan sin ，所以有 λ=+fx b a 1)(即 62101100.51060105000---⨯⨯⨯⨯=+=b a fx λ2100.6-⨯=m 6= cm (2)对应中央明纹，有0=k正入射时 0sin )(=+ϕb a ，所以 0sin =≈ϕϕ斜入射时 0)sin )(sin (=±+θϕb a ，即 0sin sin =±θϕ因︒=30θ ∴21tan sin ±==≈f x ϕϕ 故 22103010602121--⨯=⨯⨯==f x m 30=cm 这就是中央明条纹的位移值．例15 -4 波长600=λnm 的单色光垂直入射到一光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在20.0sin =ϕ与30.0sin =ϕ处，第四级缺级．求：(1)光栅常数；(2)光栅上狭缝的宽度；(3)在90°＞ϕ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数．解 (1)由光栅常数方程λϕk b a =+sin )(对应于20.0sin 1=ϕ与30.0sin 2=ϕ处满足101060002)(20.0-⨯⨯=+b a101060003)(30.0-⨯⨯=+b a得 6100.6-⨯=+b a m(2)因第四级缺级，故此须同时满足光栅方程以及单缝衍射暗纹的条件，有λϕk b a =+sin )(λϕk a '=sin解得 k k b a a '⨯='+=-6105.14取1='k ，得光栅狭缝的最小宽度为6105.1-⨯m（1） 由光栅常数方程λϕk b a =+sin )(得 λϕsin )(b a k +=当2πϕ=，对应max k k =，则有 10106000100.6106max =⨯⨯=+=--λba k 因4±，8±缺级，所以在︒︒<<-9090ϕ范围内实际呈现的全部级数为9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k 共15条明条纹(10±=k 在︒±=90k 处看不到)．例15 -5 一双缝，两缝间距为0.1mm ，每缝宽为0.02mm ，用波长为480nm 的平行单色光垂直入射双缝，双缝后放一焦距为50cm 的透镜．试求：(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽度；(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹?解 (1)中央明纹宽度为02.01050104802260⨯⨯⨯⨯==-f a l λmm 4.2=cm (2)由于缺级，故此须同时满足光栅方程以及单缝衍射暗纹的条件，有λϕk a '=sinλϕk b a =+sin )(知k k a b a k k '='=+'=502.01.0 ⋅⋅⋅=',2,1k 即⋅⋅⋅=,15,10,5k 缺级．中央明纹的边缘对应1='k ，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有4,3,2,1,0±±±±=k 共9条双缝衍射明条纹．例15 -6 用590=λnm 的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明条纹?解 由光栅常数方程5001=+b a mm 3100.2-⨯=mm 由光栅常数方程知 λϕk b a =+sin )(最多见到的条纹级数max k 对应的2πϕ=所以有 39.35900100.24max ≈⨯=+=λba k 即实际见到的最高级次为3max =k .例15 -7 在夫琅禾费圆孔衍射中，设圆孔半径为0.10mm ，透镜焦距为50cm ，所用单色光波长为5000oA ，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径．解 由爱里斑的半角宽度 47105.302.010500022.122.1--⨯=⨯⨯==D λθ 爱里斑半径5.1105.30500tan 24=⨯⨯=≈=-θθf f d mm 例15 -8 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10-6rad ，它们都发出波长为5500oA 的光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星?解 由最小分辨角公式 D λθ22.1= 分辨出这两颗星望远镜的口径至少为86.131084.4105.522.122.165=⨯⨯⨯==--θλD cm。