反函数专题练试卷及解析

反函数专题练习试卷及解析

1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题

已知函数101

(),R 101

x x

g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数． 求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D

2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数()1,(0x a

f x a

a -=+>且1)a ≠恒过定点(2,2)．

(1)求实数a ；

(2)在(1)的条件下，将函数()f x 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函

数()g x ，设函数()g x 的反函数为()h x ，求的()h x 解析式；

(3)对于定义在(1,4]上的函数()y h x =，若在其定义域内，不等式22[()2]()()6h x h x h x m +≤++恒成立，求m 的取值范围．

3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数()()lg 1f x x =+.

(1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围;

(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数

()[]()1,2y g x x =∈的反函数.

4.2014年华约自主招生数学试题第3题 （1）求证：(())y f g x =的反函数是1

1

(())y g f

x --=．

（2）()()F x f x =-，1

()()G x f

x -=-，若1()()F x G x -=，求证()f x 为奇函数．

5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题

设1()1x

x

a f x a +=- （0a > 且 1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.

（Ⅰ）求()g x ； （Ⅱ）当1

02

a <≤

时，恒有2()log (1)(7)a t g x x x >-- 成立，求t 的取值范围；

（Ⅲ）当 1

02

a <≤

时，试比较f (1)+f (2)+…+f (n )与4n + 的大小，并说明理由. 6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 已知()lg(1)f x x =+．

(1)若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；

(2)若是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x = [](1,2)x ∈的反函数．

7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 已知函数()lg(1)f x x =+．

(1) 若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；

(2) 若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =([1,2])x ∈的反函数．

8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题

设常数0a ≥，函数2()2x x a

f x a

+=-．

(1)若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；

(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．

9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题

设常数0a ≥，函数2()2x x a

f x a

+=-．

(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；

(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．

答案和解析

1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 答案：见解析

分析：(1)∵1012

()1,R 101101

x x

x g x x -==-∈++ ()1g x ∴<，

.又1011x

+>，22

11110101

x

∴-

>-=-++. 1()1g x ∴-<<.

由101101

x x y -=+，可解得1110,lg 11x

y y x y y ++==--. 1()lg

1x

f x x

+∴=-，(1,1)D =-. 2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 答案：(1)2 分析：(1)由已知2122a

a

a -+=∴=．

(2)∵2()21()2x x f x g x -=+∴=2()log (0)h x x x ∴=> (3)要使不等式有意义：则有14x <≤且214x <≤，12x ∴<≤

据题有22

222(log 2)log log 6x x m x +≤++在(1,2]恒成立．

∴设2log (12)t x x =<≤ 01t ∴<≤

2(2)26t t tm ∴+≤++在(0,1]时恒成立.

即：2222

2t t m t t t

+-≥

=-+在[0,1]时恒成立 设2

2y t t

=-

+，(0,1]t ∈单调递增 1t ∴=时，有max 1y =1m ∴≥.

3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题

答案：(1)2133

x -

<< 分析：(1)由22010

x x ->??+>?得11x -<<. 由220lg(22)lg(1)lg 11x

x x x -<--+=<+

得221101

x

x -<

<+ 因为10x +>,所以211221010,33x x x x +<-<+-<<. 由11

21

3

3x x -<

?-<

33

x -

<< (2)当 [1,2]x ∈时 ,2[0,1]x -∈因

此 ()(2)(2)(2)lg(3)y g x g x g x f x x ==-=-=-=-

由单调性可得[0,lg 2]y ∈. 因为310y

x =-,所以所求反函数是310,[0,lg 2]x

y x =-∈

4.2014年华约自主招生数学试题第3题 答案：答案见解析

分析：（1）由(())y f g x =得1

()()g x f y -=，11(())x g f y --=，

故所求反函数是1

1

(())y g f x --=．

（2）由1

()()G x f

x -=-得1()()G x f x -=-，

事实上，设()y G x =和1

()y f

x -=-，

由()y G x =得反函数1

()y G x -=；由1

()y f

x -=-得反函数()y f x =-；

于是由1

()()F x G x -=有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数． 5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 答案：答案见解析 分析：(1)由题意得：101x

y a y -=

>+ 故 1

()log 1

a x g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-?+∞ . (2) 由 21log log 1(1)(7)a

a x t x x x ->+--得①当a >1时， 2101(1)(7)

x t

x x x ->>+--又因

为[2,6]x ∈，所以

20(1)(7)t x x <<-- 令232()(1)(7)9157,[2,6]h x x x x x x x =--=-+-+∈ 则 2()318153(1)(5)h x x x x x '=-+-=--- 列表如下：

所以()5h x = ，

所以0

x t

x x x -<

<+--又因为[2,6]x ∈,所以2(1)(7)0t x x >-->令

232()(1)(7)9157,[2,6]h x x x x x x x =--=-+-+∈由①知()32,[2,6]h x x =∈所以t ="">32综上，

当a >1时，032)设1

1a p

=

+ ，则 1p ≥当 1n =时, 2

(1)135f p

=+

≤< 当2n ≥ 时设 *

2,k k N ≥∈时则

1

22122()111(1)1k k k k k

k k k a f k a p C p C p C p +==+=+-+-++

+ 所以

1

22444

()1+

=1+1+(1)1

k k f k C C k k k k ≤=-+++ 从而44

(2)(3)()1121

f f f n n n n ++?+≤-+-<++

所

以

(1)(2)(3)()(1)14

f f f f n f n n +++?+<++≤+ 综上，总有

(1)(2)(3)()4f f f f n n +++?+<+.

6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析 分析：(1) 由 220,

10

x x ->??

+>? 得11x -<<．

由()()220lg 22lg 1lg

11x x x x -<--+=<+， 得221101

x

x -<<+ 因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，21

33

x ∴-<<．

由 11,

21

3

3x x -<

?-<

因此()(2)(2)(2)lg(3)y g x g x g x f x x ==-=-=-=- 由单调性可得[0,lg 2]y ∈．

因为310y

x =-，所以所求反函数是310y

x =-，[0,lg 2]x ∈．

7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：见解析 分析：(1) 由220

10

x x ->??

+>?，得11x -<<，

由()()220lg 22lg 1lg

11x x x x -<--+=<+得221101

x

x -<<+， 因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，21

33

x -<<，

由11

21

3

3x x -<

?-<

()()()()()222lg 3y g x g x g x f x x ==-=-=-=-，

由单调性可得[]0,lg2y ∈，

因为310y

x =-，所以所求反函数是310x

y =-，[]0,lg2x ∈．

8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) 1

2

44

()log 1

x y f

x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-?+∞；(2) 见解析

分析：(1)∵4a =，∴24()24

x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244

log 1y x y +=-，

∴1

2

44

()log 1

x y f

x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-?+∞． (2) 若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x

x a a

a a

--++=--， 整理得(22)0x

x

a --=，∴0a =，此时为偶函数

若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a a

a a

--++=---， 整理得2

10a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数． 当(0,1)(1,)a ∈?+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数． 9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案：(1) 1

2

1

()2log ,1

x f

x x -+=+- ()(),11,x ∈-∞-?+∞ (2) 见解析 分析：(1) 因为2424

x x y +=-，所以()4121x

y y +=-，得1y <-或1y >，且212log 1y x y +=+-．

因此，所求反函数为1

2

1

()2log ,1

x f

x x -+=+-()(),11,x ∈-∞-?+∞． (2) ①当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ②当1a =时，21

()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞?+∞，

2121

()()2121

x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数；

③当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞?+∞关于原点不对称， 故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数． 综上可知，①当0a =时，故函数()y f x =是偶函数； ②当1a =时，函数()y f x =为奇函数；

③当0a >且1a ≠时，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．