第二章误差分布与精度指标

1 表示。 N
相关知识
一 、数学期望 1.随机变量 X 的数学期望定义为随机变量取值的概率平均值，记作 E(X)。 2.运算规则：
E (C ) 0 E (CX ) CE ( X ) E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
1
2
e ( X )
2
( 2 2 )
二、偶然误差规律性 （1）在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差， 其出现的概率为零； （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同；
i 0，偶然误差的理论平均值为零。 （4）偶然误差的数学期望为零，即 E 0 或 lim n n i 1 ( 2 )
中误差的大小可以反映精度的高低,故用中误差作为衡量精度的指标。
方差、中误差计算
方差、中误差的估值
i2 2 lim i 1 x n n 2 i i 1 lim x n
n
ˆ 2 i 1 n n 2 i i 1 ˆ n
二、方差 1.随机变量 X 的方差记作 (x)，其定义为
D( X ) E x E x
2.运算规则：
2
D(C ) 0 D(CX ) C 2 D( X ) D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )2 ] D( X Y ) D( X ) 2 xy D(Y )
P 63.8%, P 2 2 95.5%, P 3 3 99.7%.
极限误差定义：以三倍中误差作为偶然误差的极限值 4.相对误差 定义：中误差与观测值之比 表示方法：相对中误差是个无名数，在测量中一般将分子化为 1，即用 绝对误差 = 测量值 - 真值 相对误差 =（ 测量值 - 真值） / 真值 5.协方差是描述两随机变量 X、Y 的相关程度，记作σXY，定义为σXY=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 当 X 和 Y 的协方差σXY=0 时，表示这两个随机变量互不相关，如果σXY≠0，则表示他们 是相关的。 五、精度、准确度、精确度 精度：是指误差分布的密集或离散的程度，针对偶然误差； 准确度：衡量系统误差大小程度的指标，针对系统误差 精确度：反映了偶然误差和系统误差联合影响的大小程度，精确度的衡量指标为均方误差；
四、衡量精度的指标 观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。 观测误差较小，观测质量较好，精度高 观测误差较大，观测质量较差，精度低
1.
方差的定义
x2 E{x E x }
2


x E x f x dx
2
2 D E ( 2 ) 2 f ()d ()

n
2 i
2.平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。 E f d 相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
|
i 1
n
i
|
x
n
3.极限误差 中误差不代表个别误差的大小， 他表示误差分布的离散度大小。 中误差落在三个区间的概率：
n
（5） 三、真误差 观测值的真值 observations of true value
任何一个观测量， 客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。 这一数值就称为该观 测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望也就是它 的真值。
L L1 1 1 L L2 2 , L , 2 i Li Li L n 1 n 1 n 1 Ln Ln n
D ( X Y ) D ( X ) D (Y )
三、协方差 covariance
描述两随机变量 X、Y 的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
XY 0
XY 0
观测误差
平均误差 方差 极限误差 衡量精度的指标 随机变量的数字特征 协方差
相对误差 相关系数 绝对误差
一、正态分布 是具有两个参数μ和σ2 的连续型随机变量的分布,第一参数μ是遵从正态分布的随机变量 的均值,第二个参数σ2 是此随机变量的方差,所以正态分布记作。
N ( 2 )
f (X )
误差分布与精度指标
知识摘要
数学期望的传播规律 正态分布两个数字特征 方差的传播规律 偶然误差的特性
方差、中误差、平均误差、极限误差概念 绝对误差、相对误差 协方差、协方差阵 精度的概念、衡量精度的指标 精度、准确度、精确度描述对象
观测者 仪器 外界环境 随机误差 精度 系统误差 真误差 准确度 粗差 方差 中误差 数学期望 精确度 观测条件 误差