八年级数学《三角形》导学案

第十一章 三角形—— 11.1与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边课题：11.1．1 三角形的边学习重点：1.知道三角形的定义，会按边角关系对三角形进行分类；2.三角形的三边关系；用三边关系判断三条线段能否组成三角形．学习难点：定理的应用及分类思想渗透学习过程：（一）复习：1. 线段的表示方法？线段公理：_________________________________．2. 假设一只小虫从点B 出发，沿三角形的边爬到点C ，有 路线，路线 最近，依据是： ．（二）新课1.三角形的有关定义 bac C BA（1） 的图形叫三角形（2）如图线段AB ，BC ，CA 是三角形的 ，点A ，B ，C 是三角形的 ，∠ A 、∠ B 、 ∠ C 是 ，叫做 ，简称（3）表示： 顶点是 的三角形，记作2. 三角形的分类（1）三角形按角可分为： 三角形 （2）三角形按边可分为 三角形讨论：三角形分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类，对吗？3. 三角形三边关系定理bac C BA在 ABC 中，AC+BC AB AB+BC AC AB+AC BCBC AB －AC BC AC －AB三角形三边关系定理:_______________________________________________________． 练习：下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？(1) 3、4、8 (2) 5、6、11 (3) 5、6、10 （三）典型例题例1 一个等腰三角形的周长为28cm.① 已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；② 已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.例2 长度为1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例3 （1）若三角形的三边长分别为2，5，x ﹣1，则x 的取值范围是 ．（2）若三角形的三边长分别为2，5﹣x ，x ﹣1，则x 的取值范围是 ．例4 已知a ，b ，c 是一个三角形的三条边长，化简：|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣a ﹣c|﹣|c ﹣a+b|．（四）课内练习1．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长是（）A． 6 B．7 C．8 D．92．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A． 1种B．2种C．3种D．4种3．若三角形的三边长分别为3，4，x﹣1，则x的取值范围是．4．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|．5．已知，在△ABC中，AB=8，且BC=2a+2，AC=22，（1）求a的取值范围；（2）若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长．6．在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示，问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．（五）课外巩固1．下列说法正确的是（1）等边三角形是等腰三角形（2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（3）三角形的两边之差大于第三边（4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形其中正确的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则这个三角形的周长是_________．4．已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边c的取值范围是_____________．5．如果三角形的三边分别是3cm，（1﹣2a）cm，8cm，那么a的取值范围是．6．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足+（b﹣4）2=0，则第三边c的取值范围是．7．已知三角形的两边长分别为3、5，且周长为整数，则这样的三角形共有个．8．若a、b、c为三角形的三边，试化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|c﹣b﹣a|．9．用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8的等腰三角形吗？如果不能围成，说明理由；如果可以围成，求围成的三角形的三边．10．把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两段长分别为x米和4米．（1）求x的取值范围；（2）若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值．11.1.2 三角形的高、中线与角平分线课题：11.1．2三角形的高、中线与角平分线学习重点：了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会画三角形的高、中线、角平分线． 学习难点：三角形的高学习过程：（一）复习：1. 你还记得 “过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗?（二）新课1.三角形的高（1）定义：从三角形的一个 向它的 所在的直线作 ， 和之间的线段，叫做三角形的高（2）几何语言（图1） AD 是△ABC 的高∴AD ⊥BC 于点D （或∠ =∠ =90º）逆向： AD ⊥BC 于点D （或∠ =∠ =90º） ∴AD 是△ABC 中BC 边上的高（3）请画出下列三角形的三条高A A AB C B C B C2.三角形的中线（1）定义：连结三角形一个 和它对边 的线段，叫做三角形的中线。

（2）几何语言（右图）AD 是△ABC 的中线 ∴=逆向：=∴AD 是△ABC 的中线 （3）画出下列三角形的中线（1）（2） （3） A B C D （1） （2） （3） 图1 A B C D Aa3. 三角形的角平分线（1）定义：三角形一个内角的 与它的 相交,这个角 与之间的线段，叫做三角形的角平分线（2）几何语言（右图）：AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠ =∠逆向：∠ =∠ ∴AD 是△ABC 的角平分线 （3）画出下列三角形的角平分线讨论：三角形的角平分线与一个角的角平分线有何异同？（三）典型例题例1如右图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，•且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ）A ．150°B ．130°C ．120°D ．100°例2 如图，在ΔABC 中，AD 是ΔABC 的高，AE 是ΔABC 的角平分线，已知∠BAC=820，∠C=400，求∠DAE 的大小．（1） （2） （3） 图3A B C D 1 2（四）课内练习1．三角形的高是（ ）A ．直线B ．射线C ．线段D ．垂线2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（ ）A ．锐角三角形有三条高B ．直角三角形只有一条高C ．任意三角形都有三条高D ．钝角三角形有两条高在三角形的外部4．如图。

在 △ABC 中， AD 是角平分线，AE 是中线，AF 是高，则（1）BE = = 21 . A （2）∠BAD = = 21 （3）∠AFB = = 90° B E D F C（4）△ABC 的面积 = ．5．如右图，BD=12BC ，则BC 边上的中线为______，△ 的面积=△____ _的面积．6．△ABC 中，高CD 、BE 、AF 相交于点O ，则△BOC•的三条高分别为线段____ ____．7．如图，在△ABC 中，AC=6，BC=8，AD ⊥BC 于D ，AD=5， BE ⊥AC 于E ，求BE 的长．AD EC B（五）课外巩固1．三角形的角平分线是（ ）A ．直线B ．射线C ．线段D ．垂线2．以下说法错误的是（ ）A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点3．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.4．如右图，,2,6==∆DE EC ABC AE 的中线，已是则BD 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 65．下列图形中，△ABC 中BC 边上的高正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在△ABC 中，AE 是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB 的度数．7．如图，AD 是△ABC 的边BC 的中线，已知AB=5cm ，AC=3cm ，求△ABD 与△ACD 的周长之差．A B CD E11.1.3三角形的稳定性课题：11.1.3三角形的稳定性学习重点：1．了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，2．理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用．学习难点：（一）复习：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条（如右图）为什么这样做呢？（二）新课活动：自主探究1．如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2．如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3．如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？（2）三角形木架形状改变，四边形木架形状改变，这就是说，三角形具有性，四边形不具有性；斜钉一根木条的四边形木架的形状改变，原因是四边形变成了两个三角形，这样就利用了三角形的；你知道课本图11.1-8和图11.1-9中的例子哪些是利用三角形的稳定性？哪些是利用四角形的不稳定性？你能再举一些例子吗？小结：__________________________________________________________．（三）典型例题例三角形具有稳定性，而其它多边形不具有稳定性，要使多边形也具有稳定性必须额外加一些线段，将其转化为几个三角形。

试探究要使四边形不变形，至少需要加条线段，五边形至少需要加条线段，六边形至少需要加条线段，n边形（n﹥3）最少需要条线段才具有稳定性．（四）巩固练习1．下列图形中具有稳定性的有（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．在建筑工地我们常可看见如右图所示，用木条EF 固定矩形门框ABCD的情形.这种做法根据( )A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.三角形的稳定性D.垂线段最短3．下列图形具有稳定性的有（）A.梯形B. 长方形C. 直角三角形D. 正方形4．如右图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是_____ ____．5．我们学校的大门是电动推拉门，这种门工作的原理是根据四边形的．第十一章 三角形—— 11.2与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角课题： 11.2.1 三角形的内角学习重点：1.理解三角形的内角和定理及两个推论,会初步应用；2.运用定理进行角的转换．学习难点：定理的运用 学习过程：（一）复习：1. 平行线有哪些性质？．2. 1平角= °；三角形的内角和等于 °．（二）新课1．三角形的内角和活动1：在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图1），并将它的内角剪下拼合在一起，看看得到什么结果？（图1） （图2）把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个平 角．说明在ABC ∆中， ．活动2：想一想，如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？已知： . 求证： . 证明：如右图，过点A 作直线DE//BCDE//BC ，∴∠B=∠ （ ）同理∠C=∠∠BAC 、∠DAB 、∠EAC 组成 角，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC= （ ）∴∠BAC + ∠B + ∠C= （ ）思考：在图2中，CM 与ABC ∆的边AB 有什么关系？你能从中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？小结：三角形内角和定理 .E DC BA2．直角三角形的两个定理性质定理: .判定定理： .（三）典型例题例1 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ） A ．118° B ．119° C ． 120° D ． 121°例2 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ） A ．110° B ． 140° C ．220° D ． 70°例3 如右下图，C 岛在A 岛的北偏东50方向， B 岛在A 岛的北偏东80方向，C 岛在B岛的北偏西40方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角ACB是多少度？例4 如图：在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC=132°， 则∠A 等于多少度？若∠BOC=a °时，∠A 又等于多少度呢？ABC O（四）课内练习1．在△ABC 中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=_ ___． 2．在△ABC 中,若∠A=80°,则∠B ＋∠C=__ __．3．在△ABC 中,若∠A=400，∠A=2∠B ，则∠C = ．4．如右图，在△ABC 中∠C=60°，∠B=50°，AD 是∠BAC 的平分线，则∠BAD= ， ∠DAC=__ _ ,∠ADB=__ __．CD B A5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ②∠A ﹕∠B ﹕∠C=1﹕2﹕3③∠A=∠B=∠C ④∠A=∠B=2∠C ⑤∠A=∠B=∠C 中，能确定△ABC 为直角三角形的条件有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ． 2个 6．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ， 则∠AEC= ．7．如图,在△ABC 中,∠ABC=700,∠C=650,BD ⊥AC 于D ， 求∠ABD,∠CBD 的度数．8．如图，已知△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线． （1）若∠B=20°，∠C=60°，求∠EAD 度数； （2）若∠B=α，∠C=β（β＞a ），则∠EAD= ．（用α、β的代数式表示）AB CD（五）课外巩固1．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠BDC等于（）A．42°B． 66°C． 69°D． 77°第1题图第2题图2．△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）A． 110°B． 115°C． 120°D． 130°3．在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A． 50°B． 45°C． 40°D． 30°4．已知△ABC的三个内角满足，∠B+∠C=2∠A，则∠A的度数为（）A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④3∠A=2∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个6．在△ABC中，∠ACB=68°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=°．第6题图第7题图7．在△ABC中，∠BPC=130°，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P，则∠A=．8．把图1的△ABC沿着DE折叠，得到图2，（1）填空：∠1+∠2∠B+∠C（填“＜”，“＞”或“=”）（2）当∠A=40°时，∠B+∠C+∠3+∠4=度．9．在△ABC中，∠B=63°，∠C=46°，AD和AE分别是它的高和角平分线，求∠DAE度数．11.2.2 三角形的外角课题：11.2.2 三角形的外角学习重点：1．探索并了解三角形的外角的性质；2. 能利用三角形的外角性质解决问题.学习难点：定理的运用（一）复习：1．三角形的内角和定理： .2．在△ABC 中，∠A=300，∠B=500， 则∠C ＝ ．3．在直角△ABC 中，其中一个锐角是500， 则另一个锐角等于 ．（二）新课 活动1: 把ABC ∆的一边AB 延长到D ，得ACD∠，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？定义：三角形的一边与 组成的角，叫做三角形的外角．三角形的外角有几个？ . 每顶点处有 个外角，但它们是 ． 活动2: 在图1中，ACD ∠与ABC ∆的内角有什么关系？ （1）∠ACD = + ；（2）∠ACD ∠A ， ∠ACD ∠B （填“<”、“=”“>”）。