高中数学：函数的最大(小)值
高中数学选择性必修二 5 3 2-第2课时 函数的最大(小)值
间[0,3]上的最大值是4，最小值是− .
合作探究
例6中的结论可以从函数 =
−
+ 在区间[0,3]上的图象（左图）得
到直观验证.
合作探究
规律方法
一般地，求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数 y=f(x)在区间（a, b）上的极值；
所以，当 x>0时， − ≤
合作探究
例7 给定函数 = ( + ) .
（1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
（2）画出函数f(x)的大致图象；
（3）求出方程f(x)=a( ∈ ) 的解的个数.
解： （1）函数的定义域为 ∈ .
′ = + ′ + +
解得 a=-2或 a=0（舍）
∴ = −2 2 + 5
对称轴为 =
∴ =
5
4
5
25
时，有最大值
4
8
课堂练习
3 已知某生产厂家的年利润 y (单位：万元)与年产量 x (单位：万件)的函数关
系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
解：
√
A．13万件 B．11万件 C．9万件
y=f(x)在此区间上的所有函数值
新知讲解
函数的最大（小）值
上图是函数 y=f(x)， ∈ [, ]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？
提示：观察图象，可以发现，
1 ，f 3 ，(5 )是函数 y=f(x)的极小值，
2 ， 4 ，(6 )是函数 y=f(x)的极大值.
函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1
(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
第五页，共42页。
1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
第二十页，共42页。
2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
第三页，共42页。
2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
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3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
第二十八页，共42页。
②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
人教课标版高中数学选修1-1《函数的最大(小)值与导数》教案-新版
3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学目标 1．核心素养通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题． 2．学习目标（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。
（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。
（3）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。
3．学习重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 4．学习难点函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1结合函数2)(x x f =在]2,1[-上的图像，想一想：函数2)(x x f =在]2,1[-上的极小值是多少？函数2)(x x f =在]2,1[-上的最大值、最小值分别是多少？ 任务2预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．2．函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值是M ，最小值是m ，若M=m ，则)(x f '( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0． 3．函数x xe y -=在]4,2[∈x 上的最小值为 ．解：44e xx x x e x e xe e y -=-='1)(2，当]4,2[∈x 时，0<'y ，即函数xxe y -=在]4,2[∈x 上单调递减，故当4=x 时，函数有最小值为44e． 4．设b ax ax x f +-=236)(在区间]2,1[-上的最大值为3，最小值为29-，且0>a ，求a ，b 的值 ． 解：2=a)4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f ，令0)(='x f ，得0=x 或4=x ，则函数)(x f 在]2,1[-上的单调性及极值情况如下表所示： ∴3)0(==b f ，又∵3736)1(+-=+--=-a a a f ，3163248)2(+-=+-=a a a f)1(-<f ，∴29316)2(-=+-=a f ，∴2=a ．（二）课堂设计 1．知识回顾⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵求函数极值的方法和求解步骤. 2．问题探究问题探究一 函数最大（小）值与导数 ●活动一观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最大值、最小值吗？一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． ●活动二想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．问题探究二 函数的最大值与最小值的求解●活动一阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤．利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．●活动二 初步运用 求函数的最值例 1 已知函数4431)(3+-=x x x f ，⑴求曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程；⑵若]3,3[-∈x ，求函数)(x f 的最大值与最小值．【知识点：导数的几何意义、函数的最值；数学思想：数形结合】详解：⑴4)(2-='x x f ，所以曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线的斜率4)0(-='=f k ，故曲线)(x f y =在点)4,0(处的切线方程为44+-=x y ．⑵令0)(='x f 得2=x 或2-，列表如下：3)2()(=-=f x f 极大值，3)2()(-==f x f 极小值，又7)3(=-f ，1)3(=f ，∴)(x f 在]3,3[-的最大值是328，最小值是34-．点拨：⑴求函数最值时，若函数)(x f 的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值．⑵若)(x f 的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点． ⑶若)(x f 为单调函数，则端点就是最值点． ●活动三 对比提升 由函数的最值求参数例2 已知函数()ln f x ax x =-，当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．【知识点：根据函数最值求参数值；数学思想：分类讨论】详解：由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-,因为(]0,e x ∈，所以当1ea ≤时，()f x 在(]0,e x ∈是减函数，最小值为()e e 10f a =-≤，不满足题意；当1a e >时， ()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数，1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，所以最小值为211ln 3e f a a a ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，∴实数a 的值为2e .问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． ●活动一 初步运用例 3 已知函数x x x f ln )(=．⑴ 求()f x 的最小值；⑵若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．【知识点：求函数的最小值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】详解：⑴)(x f 的定义域为),0(+∞，x x f ln 1)(+='，令0)(>'x f ，解得ex 1>；令0)(<'x f ，解得e x 10<<，从而)(x f 在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e 上单调递增，∴当e x 1=时，)(x f 取得最小值e1-．⑵依题意，得1)(-≥ax x f 在),1[+∞上恒成立，即不等式xx a 1ln +≤对于),1[+∞∈x 恒成立．令x x x g 1ln )(+=，则)11(111)(2xx x x x g -=-='，当1>x 时，0)(>'x g ，故)(x g 在),1(+∞上是增函数，∴1)1()(min ==g x g ，∴实数a 的取值范围是]1,(-∞． ●活动二 对比提升例4 已知函数()()()()21ln ,22f x a x x g x f x ax a R ⎛⎫=-+=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当0a =时，求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若对()()1,,0x g x ∀∈+∞<恒成立，求a 的取值范围．【知识点：求函数最值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归、分类讨论】详解：（1）函数21()()ln 2f x a x x =-+的定义域为(0,)+∞，当0=a 时，21()ln 2f x x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-+-'=-+==；当11<<x e时，有()0f x '>；当e x <<1时，有()0f x '<，∴()f x 在区间[1e ，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又211()12f e e=--，2()12e f e =-，1(1),2f =- ∴2min ()()12e f x f e ==-，max 1()(1)2f x f ==-.（2）21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞.21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x --+---'=--+==. ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在)1,0(上有0)(>'x g ，在),1(2x 上有0)(<'x g ，在),(2+∞x 上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间),(2+∞x 上是增函数，并且在该区间上有),),(()(2+∞∈x g x g 不合题意；当112=≤x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间),1(+∞上，有()((1),),g x g ∈+∞也不合题意；②若12a ≤，则有012≤-a ，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间),1(+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足1(1)02g a =--≤12a ⇒≥-，由此求得a 的范围是11[,]22-.综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，对x ∀∈(1,)+∞，()0g x <恒成立.点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x 的表达式. 3．课堂总结 【知识梳理】 数学知识：⑴最值的存在性定理． ⑵最值的求解步骤．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． ⑶恒成立问题． 常见结论：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立⇔0)(min ≥x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立⇔0)(max ≤x f ；（3）不等式)()(x g x f >，),(b a x ∈恒成立⇔0)()()(>-=x g x f x F ，),(b a x ∈恒成立． 数学思想：分类讨论、化归与转化等思想． 【重难点突破】 求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间[]b a ,上图像连续不断，在开区间),(b a 上可导的函数．在闭区间[]b a ,上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间),(b a 上可导，才能用导数求解．（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值．因此，函数的极大值和极小值的判定是关键．（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数)(x f 在),(b a 内的全部极值，只能在)(x f 的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数)(x f 在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值．（4）当图像连续不断的函数)(x f 在),(b a 内只有一个可疑点时，若在这一点处函数)(x f 有极大（小）值，则可以判定函数)(x f 在该点处取到最大（小）值，这里),(b a 也可以是无穷区间． （5）当图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得． 4．随堂检测1．函数)(x f y =在],[b a 上（ ）A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值 【知识点：极值与最值的关系】 解：D2．函数x x x f cos 2)(-=在),(+∞-∞上（ ）A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值【知识点：单调函数的最值】 解：A3．函数343)(x x x f -=在]1,0[上的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．0D ．1- 【知识点：函数的最大值】解：A4．函数x x y -=sin 在区间]2,0[π上的最小值为（ ） A ．π- B ．21π-C ．0D ．π2- 【知识点：函数的最小值】 解：D5．设5221)(23+--=x x x x f ，当]2,1[-∈x 时，m x f <)(恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【知识点：不等式恒成立问题】 解：),7(+∞ （三）课后作业 基础型 自主突破1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．1(0,)2【知识点：函数最值与极值的关系；数学思想：转化与化归】解：B ∵f '(x )＝3x 2－3a ，令f '(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B ． 2．函数ln xy x=的最大值为( ) A ．1-e B ．e C ．e 2 D ．103【知识点：函数最大值】 解：A 令22(ln )'ln '1ln 'x x x x xy x x ⋅-⋅-==＝0(x ＞0)．解得x ＝e ．当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e时，y ′>0．y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e．3．函数241xy x =+在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 令2222224(1)4244'(1)(1)x x x x y x x +-⋅-+==++＝0，得x ＝±1．2． 4．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 【知识点：函数最值与零点关系；数学思想：转化与化归】 解：(－∞，2ln2－2]函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g '(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0,]2π上的最大值是________．【知识点：函数最大值】解：6π+y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝6π，比较0，6π，2π处的函数值，得y max ＝6π+6．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】 解：a ＝3；f (x )的最大值为3．f '(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f '(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f '(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为3． 能力型 师生共研7. 若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A．( B．[ C ．[2,1)- D．(2]- 【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C 由于函数()f x 在开区间2(,6)a a -有最小值，则函数()f x 的极小值点在2(,6)a a -内，且在2(,6)a a -内的单调性是先减再增. 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-,当11x -<<时，'()0f x <，当1x >，'()0f x >，所以()f x 得最小值为(1)f . ∴只需{216()(1)a a f a f <<-≥，得到21a -≤<，故选C.8. 设01a <≤，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的[]12,1,x x e ∈，都有12()()f xg x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：]1,2[-e 22222()1a x a f x x x-'=-=，当01a <≤，且[]1,x e ∈时，()0f x '≥，∴()f x 在[]1,e 上是增函数，21min ()(1)1f x f a ==+，又1()1(0)g x x x'=->，∴()g x 在[]1,e 上是增函数，2max ()()1g x g e e ==-．由条件知只需1min 2max ()()f x g x ≥．即211a e +≥-．∴22a e ≥-．即1a ≤≤．9. 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[－1,0]上的最大值． 【知识点：函数的最大值；数学思想：分类讨论】解：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥解析：令f '(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当2323a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在2[1,]3a -上单调递增；在2[,0]3a 上单调递减，则f (x )max ＝324()327f a a =-．综上所述：3max31,243(),02720,0.a a f x a a a ⎧---⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪⎪⎩≤，＜＜，≥10. 设函数12)(22-++=t x t tx x f (x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归、数形结合】 解：(1) h (t ) ＝－3t ＋t －1；(2) (1，＋∞) ．解析：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－3t ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－3t ＋t －1．(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－3t ＋3t －1－m ，由g '(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g '(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t ＝1时，g (t )max 恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞) ． 探究型 多维突破 11. 已知函数()()2ln 2=-∈a f x x x x a R . (Ⅰ)若不等式()0>f x 有解，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.【知识点：不等式有解与函数的最值的关系、函数的极值；数学思想：转化与化归、分类讨论】 解：（Ⅰ）2<a e；(Ⅱ)()1,∈+∞a 时，有0个极值点；1a =时，有0个极值点；()0,1a ∈时，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，有一个极值点解析：（Ⅰ）()0>f x 有解等价于2ln <x a x 有解，即max 2ln ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x a x ，设()2ln =xg x x ，则()()22ln 1'-=x g x x ，当()0,∈x e 时，()'0>g x ；当(),∈+∞x e 时，()'0<g x ，所以当x e =时，()max 2=g x e ，即2<a e. (2)令()'0=f x 得到ln 10x ax +-=，得到ln 1x a x +=，()()2ln 1ln ,'+-==x xh x h x x x,当()0,1x ∈时，()'0>h x ；当()1,∈+∞x 时，()'0<h x ，又()()0,,,0→→-∞→+∞→x h x x h x ，所以()1,∈+∞a 时，ln 1+=x a x无解，有0个极值点； 1a =时，ln 1+=x a x有一解，但不是极值点；()0,1∈a 时，ln 1+=x a x 有二解，有两个极值点；(],0∈-∞a 时，ln 1+=x a x有一解，有一个极值点.12. 已知函数()ln 2x m f x e x -=-. （1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.【知识点：函数的极值、不等式的证明、函数的最值；数学思想：转化与化归】 解：（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e -=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-，观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-．证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-， 令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x e x -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增， 所以02min 00()()ln 2x g x g x e x -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=，所以02000001ln ln2ln 2ln x e x x x x x -=⇒-=-⇒-=，所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x e x e x --==-=--001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>． （四）自助餐1. 函数()ln f x x x =-在区间(0,e]（e 为自然对数的底）上的最大值为（ ） A.1- B.0 C.1 D.1e - 【知识点：函数的最大值】解：A ()()''1110x f x f x x x-=-=∴>得1x <，所以增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，所以函数最大值为()11f =-． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值【知识点：函数的最值】解：D )(x f '＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，)(x f '<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D ． 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1 【知识点：函数的最大值】解：C 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C ．4．已知函数4)(23-+-=ax x x f 在2=x 处取得极值，若]1,1[,-∈n m ，则)()(n f m f '+的最小值是（ ）A ．13-B ．15-C ．10D ．15 【知识点：函数的极值、最小值】解：A 求导得ax x x f 23)(2+-='，由函数)(x f 在2=x 处取得极值知0)2(='f ，即02243=⨯+⨯-a ，∴3=a ．由此可得43)(23-+-=x x x f ，x x x f 63)(2+-='，已知)(x f 在)0,1(-上单调递减，在)1,0(上单调递增，∴当]1,1[-∈m 时，4)0()(min -==f m f ．又x x x f 63)(2+-='的图像开口向下，且对称轴为1=x ，∴当]1,1[-∈n 时，9)1()(min -=-'='f n f ，故)()(n f m f '+的最小值是13-．故选A ．5． 已知函数)(x f ，)(x g 均为],[b a 上连续且)()(x g x f '<'，则)()(x g x f -的最大值为（ ） A ．)()(a g a f - B ．)()(b g b f - C ．)()(b g a f - D ．)()(a g b f - 【知识点：单调函数的最大值】解：A ='-])()([x g x f 0)()(<'-'x g x f ，∴函数)()(x g x f -在],[b a 上单调递减，∴)()(x g x f -的最大值为)()(a g a f -．6．当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,5[--B ．]89,6[-- C ．]2,6[-- D ．]3,4[--【知识点：不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：C 当]1,0(∈x 时，得x x x a 1)1(4)1(323+--≥，令xt 1=，则),1[+∞∈t ，令t t t t g +--=2343)(，),1[+∞∈t ，则)19)(1(189)(2-+-=+--='t t t t t g ，显然在),1[+∞∈t 上，0)(<'t g ，)(t g 单调递减，∴6)1()(max -==g t g ，因此6-≥a ；同理，当)0,2[-∈x 时，的2-≤a ，当0=x 时对任意实数a 不等式也成立，故实数a 的取值范围是26-≤≤-a ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xax y +=22（a 为常数）过点1(-P ，)30-，则函数xax y +=22在区间]4,1[的最大值与最小值的和为________． 【知识点：函数的最值】解：64 曲线过点1(-P ，)30-，∴a -=-230，∴32=a ，∴xx y 3222+=，232324324xx x x y -=-='，令0='y 得2=x ，当1=x 时，34322=+=y ；当2=x 时，24168=+=y ；当4=x 时，40832=+=y ，∴最大值与最小值的和为64．8．函数x x x f cos sin )(+=在]2,2[ππ-∈x 时的最大、最小值分别是 ． 【知识点：函数的最值】解：2，1-． 0sin cos )(=-='x x x f ，即1tan =x ，)(4Z k k x ∈+=ππ．而]2,2[ππ-∈x ，当2π-＜x ＜4π时，0)(>'x f ，当4π＜x ＜2π时，)(x f '，∴)4(πf 是极小值．又)4(πf=，1)2(-=-πf ，∴1)2(=πf ．∴函数的最大值为2，最小值为1-．9．函数x exy =在[0，2]上的最大值为 ．【知识点：函数的最值】解：e 1． 函数x f y ==)(函数)(x f 单调递增；当x ∈（1，2]时，)(x f '＜0，此时函数)(x f 单调递减．∴当x =1时，函数)(x f 取得最大值，f )1(=10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 【知识点：函数的极值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：(1)39a b =⎧⎨=-⎩；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)f '(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴2133133a b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，∴39a b =⎧⎨=-⎩．(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f '(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f '(x )，f (x )随x 的变化如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18． ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．11．已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=，(1)若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处切线的斜率；(2)求)(x f 的单调区间；(3)设22)(2+-=x x x g ，若对任意∈1x (0，+∞)，均存在∈2x [0，1]，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．【知识点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式有解与最值的关系；数学思想：转化与化归、分类讨论】解：(1) 3；(2)当0≥a 时，)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递为3；的单调递增区间为(0，+∞)；(3)由题意知，转化为max max )()(x g x f < (其中∈1x (0，+∞)，∈2x [0，1])，由(2)知，当0≥a 时，12．已知函数()xf x e=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()h x 的最大值；（3）设()'()g x xf x =，其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，2()1g x e -<+. 【知识点：导数的几何意义、函数的最值、不等式证明；数学思想：转化与化归】解：（1）1y e=；（2）()h x 的最大值为22()1h e e --=+；（3）证明见解析．解析：（1）由ln 1()x x f x e +=，得1(1)f e =，1ln '()xx x xf x xe --=，所以'(1)0k f ==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y e=.（2）()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞.所以'()ln 2h x x =--.令'()0h x =得，2x e -=.因此当2(0,)x e -∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当2(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减.所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为22()1h e e --=+. （3）证明：因为()'()g x xf x =，所以1ln ()xx x xg x e--=,0x >，2()1g x e -<+等价于21ln (1)x x x x e e ---<+.由（2）知()h x 的最大值为22()1h e e --=+，故21ln 1.x x x e ---≤+只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.所以221ln 1(1)x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，2()1g x e -<+.。
新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时 函数的最大(小)值
第二课时函数的最大(小)值课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.素养要求通过学习求函数最大(小)值的方法，提升学生的数学抽象素养.1.思考函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？提示当x＝0时，f(x)的最小值为1.2.填空函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点；(3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.温馨提醒求函数最值的常用方法(1)图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.(2)运用已学函数的值域.(3)运用函数的单调性.(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.3.做一做函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A.－1，0B.0，2C.－1，2D.12，2答案 C题型一 图像法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解 作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 思维升华 图像法求函数最值的一般步骤训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域.解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图像如图所示，由图像知，函数y＝－|x＋1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].题型二利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5].(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2），因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3，5]上为增函数.(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)的最大值为f(5)＝47，f(x)的最小值为f(3)＝2 5.思维升华利用单调性求最值的步骤：(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值.训练2 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 解 设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[（x 2－1）－（x 1－1）]（x 1－1）（x 2－1）＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上是减函数. 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值， 即在x ＝2时取得最大值，最大值是2， 在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 题型三 二次函数的最值问题例3 (1)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值. 解 (1)∵函数图像的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2，4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 设f (x )在[2，4]上的最小值为g (a ).∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(2)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t ). 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4； 当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 综上，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.思维升华 二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ， y max ＝max{f (m )，f (n )}；(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论).训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3，若x ∈[0，2].求函数的最小值. 解 f (x )＝x 2－2ax －3的对称轴为x ＝a . ①当a ≤0时，f (x )在[0，2]上为增函数，∴f(x)min＝f(0)＝－3；②当0<a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－3；③当a>2时，f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝1－4a.综上所述，当a≤0时，最小值为－3；当0<a≤2时，最小值为－a2－3；当a>2时，最小值为1－4a.[课堂小结]1.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).一、基础达标1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3答案 B解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.2.(多选)下列说法中正确的有()A.若x 1，x 2∈I ，对任意的x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数B.函数y ＝x 2在R 上是增函数C.函数y ＝－1x 在定义域上是增函数D.y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案 AD解析 对于B ，在[0，＋∞)上是增函数；对于C ，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，故不正确. 3.函数y ＝x －1x 在[1，2]上的最大值为( ) A.0 B.32 C.2 D.3答案 B解析 函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1，2]上是增函数， 所以函数y ＝x －1x 在[1，2]上是增函数. 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32. 4.函数f (x )＝11－x （1－x ），x ∈[1，2]的最大值是( )A.54B.43C.1D.34答案 C解析 令g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，则g (x )在[1，2]上单调递增，所以g (x )∈[1，3]，所以13≤11－x （1－x ）≤1.故f (x )的最大值为1.5.函数f (x )＝x －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B.[－1，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 A解析 f (x )＝x －1x ＝1－1x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )为增函数，∴当x ＝12时，函数取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝1－2＝－1，当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为f (2)＝1－12＝12，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故选A.6.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案 －5 0解析 由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，函数y ＝x ＋1单调递增，∴当x ＝－3时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，函数y ＝－x －1单调递减，当x ＝4时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 7.函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 答案 12 解析 易知y ＝1x －1在[2，3]上递减， ∴y min ＝f (3)＝12.8.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________. 答案 －4 解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 9.已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2，4])，求函数f (x )的最大值和最小值.解 设x 1，x 2是[2，4]上任意两个实数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝6（1－x 2）－6（1－x 1）（1－x 1）（1－x 2）＝6（x 1－x 2）（1－x 1）（1－x 2），因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，1－x 1<0，1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2，4]上是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝1，f (x )的最小值为f (2)＝－3.10.已知函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b (a >0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2. (1)求a ，b 的值；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>－x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，又a >0，∴函数图像开口向上，对称轴x ＝2， ∴f (x )在[0，1]上是减函数，∴f (0)＝b ＝1，且f (1)＝b －3a ＝－2， ∴a ＝b ＝1.(2)f (x )>－x ＋m ⇔x 2－4x ＋1>－x ＋m即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1). 二、能力提升11.(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( ) A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D.f (x 1)>f (x 2) 答案 AB解析 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于选项C ，D ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C ，D 不正确.12.定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，设函数f (x )＝min{－x 2＋2x ＋5，x ＋3}，则f (1)＝________；f (x )的最大值为________. 答案 4 5解析 由－x 2＋2x ＋5<x ＋3， 得x <－1或x >2；由－x 2＋2x ＋5≥x ＋3，得－1≤x ≤2， 据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋5，x <－1或x >2，x ＋3，－1≤x ≤2，∴f (1)＝4，当x <－1或x >2时，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (x )<5； 当－1≤x ≤2时，2≤f (x )≤5，∴f (x )的最大值为5.13.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12x＝x ＋12x ＋2.设任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1－12x 1x 2 ＝2x 1x 2－12x 1x 2. 因为x 1≠x 2且x 1≥1，x 2≥1，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0，所以2x 1x 2－12x 1x 2>0，所以Δf Δx >0， 即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数.所以函数f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋12＋2＝72.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0在[1，＋∞)上恒成立， 所以x 2＋2x ＋a >0在[1，＋∞)上恒成立.记y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，所以y ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，y 取得最小值，最小值为3＋a .所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).三、创新拓展14.(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有()A.y＝2x＋x2B.y＝4x＋1 xC.y＝3x－1 xD.y＝x－1＋4 x＋1答案ACD解析A中，x≥1，y＝2x＋x2≥22x·x2＝2，当且仅当x＝2取得最小值2；B中，y＝4x＋1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为5；C中，y＝3x－1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为2；D中，y＝x－1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1－2≥2（x＋1）·4x＋1－2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2.故选ACD.。
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
高中函数最大值最小值的题型
高中函数最大值最小值的题型高中数学中的函数是一个非常重要的概念，在数学各个领域都有广泛的应用，本文就以函数的最大值最小值的为讨论的重点，来考虑如何解决函数最大值最小值的题型。
首先，让我们学习一些关于函数最大值最小值的基础知识：一个函数若满足一定条件，则它将可能具有一个最大值和一个最小值，分别称为函数的极大值和极小值。
极大值函数在定义域上的值大于等于其他点的值，极小值函数在定义域上的值小于等于其他点的值。
外，还有凸性函数和凹性函数，一个函数是凸的，就是在定义域的每一个不重叠的二分点的中间点上，函数的值都大于等于每一个分点上函数的值；而凹函数则相反，在定义域的每一个不重叠的二分点的中间点上，函数的值都小于等于每一个分点上函数的值。
其次，我们来考虑如何解决函数最大值最小值的问题：一是用微积分法来解决函数最大值最小值的问题：这是求解函数最大值最小值最常用的方法，它涉及到对函数凹凸性的判断，以及对函数的一阶导数和二阶导数的计算，并利用积分的定义和性质，对函数的极值点进行分析，最后确定函数最大值最小值的位置。
二是用函数图形法来解决函数最大值最小值的问题：函数图形法，即利用函数的图形特征，来推断函数的最大值最小值问题，其主要步骤包括先在x-y坐标轴上画出函数图形，观察函数图形的特征，比如函数是凸函数还是凹函数，然后根据变化范围确定函数最大值最小值的位置。
最后，我们来看一个关于函数最大值最小值的实际应用问题：已知函数f（x）=x2+2x-3，求该函数的极大值和极小值。
解：因为该函数是一个二次函数，其二阶导数f（x）=2，大于0，说明该函数是一个凸函数，所以f（x）的极大值在定义域内的极小值中，极小值在定义域内的极大值。
令f（x）=2x+2＝0，可得x=-1，此时函数f（x）=f（-1）=-2，故函数f（x）的极小值是-2，而f（x）的极大值可以继续用积分法求出，令f（x）的定积分为F（x），则F（x）=x3/3+x2-3x，此时F （1）=1/3+1-3= -2，故f（x）的极大值为-2。
高中数学《函数的最大(小)值第二课时》专题突破含解析
第二课时 函数的最大(小)值课标要求素养要求1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升学生的数学运算和直观想象素养.新知探究观察如图所示的函数y ＝f (x )，x ∈[－3，2]的图象，回忆函数最值的定义，回答下列问题：问题1 图中所示函数最值点与最值分别是什么？提示 最大值点是x ＝2，最大值是3；最小值点是x ＝0，最小值是－3.问题2 图中所示函数的极值点与极值分别是什么？提示 极大值点是x ＝－2，极大值是2；极小值点是x ＝0，极小值是－3.问题3 一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？提示 函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值.1.函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值 函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个(1)函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.拓展深化[微判断]1.函数的最大值不一定是函数的极大值.(√)2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(×)提示 也可能在极值点处取到.3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(×)提示 有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有最值.4.函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，则f (x )在区间[a ，b ]上一定有最值，但不一定有极值.(√)[微训练]1.连续函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( )A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值解析 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值.答案 D2.(多空题)函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋6在[－4，4]上的最大值为________，最小值为________.解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－1<x <3，故f (x )在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f (x )的极大值为f (－1)＝233，极小值为f (3)＝－3，又f (－4)＝－583，f (4)＝－23，故f (x )的最大值为f (－1)＝233，最小值为f (－4)＝－583.答案 233 －583[微思考]1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A ，则A 中的元素个数可能是多少？提示 可能为0，1，2.2.在开区间内的连续函数f (x )在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？提示 是.题型一 求函数的最值【例1】 求下列各函数的最值.(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π].解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0，∴f (x )在[－1，1]上为增函数.故当x ＝－1时，f (x )min ＝－12；当x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0，2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3，计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (2π3)＝π3＋32，f(4π3)＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.规律方法 求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.【训练1】 求下列函数的最值：(1)f (x )＝2x 3－6x 2＋3，x ∈[－2，4]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数.解 (1)f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2).令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表x －2(－2，0)0(0，2)2(2，4)4f ′(x )＋0－0＋f (x )－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x ＝4时，f (x )取最大值35.当x ＝－2时，f (x )取最小值－37.即f (x )的最大值为35，最小值为－37.(2)f ′(x )＝(1e x)′－(e x )′＝－1e x－e x ＝－1＋e 2xe x.当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在[0，a ]上是减函数.故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.即f (x )的最小值为e －a －e a ，最大值为0.题型二 含参数的函数的最值问题【例2】 已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴所求切线的斜率为f ′(2)＝12，切点为(2，2－ln 2)，∴所求切线的方程为y －(2－ln 2)＝12(x －2)，即x －2y ＋2－2ln 2＝0.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e )上单调递增，故f (x )min＝f(1a )＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.规律方法 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.【训练2】 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0，2]上的最大值.解 f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.(1)当2a 3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .(2)当2a 3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0，2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.(3)当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝{8－4a （0<a ≤2），0 （2<a <3），综上所述，f (x )max ＝{8－4a （a ≤2），0 （a >2）.题型三 由函数的最值求参数问题【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).(1)当a>0时，列表如下：x－1(－1，0)0(0，2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b b －16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.规律方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.【训练3】 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k 的取值范围.解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)h ′(x )＋0－0＋h (x )28－4当x ＝－3时，取极大值28；当x ＝1时，取极小值－4.而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则k ≤－3.所以k 的取值范围为(－∞，－3].一、素养落地1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养.2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论.二、素养训练1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.答案 D2.函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈[π2，π]时，y ′>0，则函数在区间[π2，π]上为增函数，所以y的最大值为y max＝π－sin π＝π，故选C.答案 C3.已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.答案 A4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.答案 －715.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________.解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.答案 －4基础达标一、选择题1.已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A.f (a )－g (a ) B.f (b )－g (b )C.f (a )－g (b )D.f (b )－g (a )解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).答案 A2.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A.[0，1) B.(0，1)C.(－1，1)D.(0，12)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B.答案 B3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A.－π2B.2C.π6＋ 3 D.π3＋1解析 f ′(x )＝1－2sin x ，因为x ∈[－π2，0]，所以sin x ∈[－1，0]，所以－2sin x ∈[0，2].所以f ′(x )＝1－2sin x ＞0在[－π2，0]上恒成立.所以f (x )在[－π2，0]上单调递增.所以f (x )min ＝－π2＋2cos (－π2)＝－π2.答案 A4.若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A.2B.1C.233D.0解析 ∵f (x )在x ＝π3处有最值，∴x ＝π3是函数f (x )的极值点.又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′(π3)＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2.答案 A5.关于函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.下列说法中：①它的极大值为283，极小值为－43；②当x ∈[3，4]时，它的最大值为283，最小值为－43；③它的单调减区间为[－2，2]；④它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)·(x ＋2).由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)>0，得x >2或x <－2，此时函数单调递增；由f ′(x )＝(x －2)(x ＋2)<0，得－2<x <2，此时函数单调递减，∴③正确；当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝283，当x ＝2时，函数f (x )取得极小值f (2)＝－43，∴①正确；x ∈[3，4]时，f (x )单调递增，它的最大值为f (4)＝433－4×4＋4＝283，最小值为f (3)＝333－4×3＋4＝1，∴②错误；f ′(0)＝－4，f (0)＝4，∴它在点(0，4)处的切线方程为y ＝－4x ＋4，∴④正确，故选C.答案 C二、填空题6.(多空题)设函数f (x )＝ln x x，x ∈[1，4]，则f (x )的最大值为________，最小值为________.解析 由f (x )＝ln x x 得f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ；令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e.∴函数f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，4]上单调递减，且f (1)＝0，f (4)＝ln 44>0，∴f (x )的最大值为f (e)＝ln e e ＝1e ，f (x )的最小值为f (1)＝0.答案 1e 07.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题意得m 2∈(－2，－1)，故m ∈(－4，－2).答案 (－4，－2)8.已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________.解析 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1).即15x －3y －2＝0.答案 15x －3y －2＝0三、解答题9.已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e ，e ]上的最大值.解 (1)f ′(x )＝a x－2bx (x >0).由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，得{f ′（1）＝0，f （1）＝－12，即{a －2b ＝0，－b ＝－12，解得{a ＝1，b ＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x .令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在[1e，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e ]上的最大值为f (1)＝－12.10.已知函数f (x )＝2e x (x ＋1).(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值.解 (1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值.(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上单调递减，在(－2，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)，∴f (x )min ＝{－2e －2，－3<t <－2，2e t （t ＋1），t ≥－2.能力提升11.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________.解析 由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f(1a )＝－ln a －1＝－1.解得a ＝1.答案 112.已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值.解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上是增加的.∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞).(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )是单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )是减少的，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )是增加的，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.③当a ≥e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e ≥2，与最小值是32相矛盾.综上所述，a 的值为 e.创新猜想13.(多选题)下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )A.f (x )>0的解集是{x |0<x <2}B.f (－2)是极小值，f (2)是极大值C.f (x )没有最小值，也没有最大值D.f (x )有最大值无最小值解析 由f (x )>0得0<x <2，故A 正确.f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，当x <－2或x >2时，f ′(x )<0，当－2<x <2时，f ′(x )>0，∴当x ＝－2时，f (x )取得极小值，当x ＝2时，f (x )取得极大值，故B 正确.当x →－∞时，f (x )<0，当x →＋∞时，f (x )<0，且f (2)>0，结合函数的单调性可知，函数f (x )有最大值无最小值，故C 不正确，D 正确.答案 ABD14.(多选题)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )存在两个不同的零点B.函数f (x )既存在极大值又存在极小值C.当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D.若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2解析 A.令f (x )＝0，解得x ＝－1±52，所以A 正确；B.f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝－（x ＋1）（x －2）e x ，当f ′(x )>0时，－1<x <2，当f ′(x )<0时，x <－1或x >2，(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，所以B 正确.C.当x →＋∞时，y →0，根据B 可知，函数的最小值是f (－1)＝－e ，再根据单调性可知 ，当－e<k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图象可知，t 的最大值是2，所以不正确.故选ABC.答案 ABC。
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值
2．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3. (1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值； (2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值； (3)(定轴动区间)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． 解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上． (1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数， 故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
上最低点的纵坐标．
【学透用活】 [典例 1] 已知函数 f(x)＝x3－－3x，2，xx∈∈[2－，15，]. 2]， (1)在直角坐标系内画出 f(x)的图象； (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域． [解] (1)图象如图所示．
(2)由图象可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]；单调递减区间为(0,2)， 值域为[－1,3]．
[方法技巧] 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 提醒：(1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错 误，求解时一定注意．
【对点练清】
已知函数 f(x)＝1－6 x＋3(x∈[2,4])，求函数 f(x)的最大值和最小值． 解：设 x1，x2 是[2,4]上任意两个实数，且 x1<x2， 所以 f(x1)－f(x2)＝1－6 x1＋3－1－6 x2＋3 ＝1－6x1－1－6 x2＝61－ 1－x2x1－16－1x－2x1＝1－6xx11－1x－2x2， 因为 2≤x1<x2≤4，所以 x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在[2,4]上是增函数， 所以 f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3.
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
新教材高中数学第三章函数的最大值最小值课件新人教B版必修第一册ppt
3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分； 当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分； 所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究 类型一 利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的 是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上 是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1） 所以Δf（Δxx） ＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1） ＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区 间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值． 【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值 【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大 值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .
2022年高中数学选择性必修第二册：函数的最大(小)值
2022年高中数学选择性必修第二册：第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一函数最大(小)值的概念及其求解1.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是()A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点2.(2020北京清华附中高二下期末)函数f(x)=x·e x的最小值是()A.-1B.-eC.-1eD.不存在3.(2020浙江杭州六校高二下期中)已知函数f(x)=x3-12x,x∈[-3,3],则f(x)的最大值为()A.-9B.-16C.16D.94.如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.5.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)求函数f(x)=x3-12x+6,x∈[-3,3]的单调区间,并求函数f(x)的最值.题组二 含参函数的最大(小)值问题6.若函数f(x)=asin x+13sin 3x 在x=π3处有最大(小)值,则a 等于( )A.2 B .1 C .2√33D.07.若函数f(x)=-x 3+mx 2+1(m ≠0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m 的取值范围是 ( ) A.(0,3) B.(-3,0) C.(-∞,-3) D.(3,+∞) 8.已知函数y=ax 2x -1(x>1)有最大值-4,则a 的值为( )A.1 B .-1 C.4 D .-49.(2020浙江杭州高二下期中)函数f(x)=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围为 .10.已知a 是实数,函数f(x)=x 2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.题组三利用函数的最大(小)值解决不等式问题11.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m≤0成立,则实数m的最小值是()A.2B.-2C.1D.-1在区间[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范12.已知函数f(x)=lna+lnxx围为.13.设函数f(x)=ln x-x+1.(1)求函数f(x)的极值;(2)证明:ln x≤x-1.14.已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的最小值;(2)若对任意x≥1,都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.题组四利用导数解决生活中的优化问题15.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x>0),要使利润最大,则该产品应生产()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台16.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,销量N(单位:吨)与零售价M(单位:元)有如下关系:N=8300-170M-M2,则该批材料零售价定为元时利润最大,利润的最大值为元.17.时下,网校教学越来越受广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种方式.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售+4(x-6)2,其中2<x<6,m为常数,已价格x(单位:元/套)满足关系式:y=mx-2知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元(只考虑售出的套题).试确定销售价格x为何值时,网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)18.将一块2m×6m的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求①至⑦全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为x m,容积为y m3.(1)写出y关于x的函数关系式;(2)当x取何值时,水箱的容积最大?能力提升练题组一函数最值问题的求解与应用1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=12ln x的图象分别交于点P、Q,当P、Q两点距离最近时,a=()A.√52B.√22C.1D.122.(2020重庆七校联盟高二上期末联考,)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:x-1045f(x)1221y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示:给出下列关于函数f(x)的命题:①函数y=f(x)是周期函数;②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.43.()已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.题组二含参函数的最大(小)值问题4.(2020广东揭阳高二下期末,)若函数f(x)=13x3+x2-1在区间(m,m+3)上存在最小值,则实数m的取值范围是()A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)5.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为√33,则a的值为()A.√3-1B.34C.43D.√3+16.(2019吉林高二期末,)函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则ab=.7.()已知函数f(x)=-2a2ln x+12x2+ax(a∈R).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a<0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.题组三 利用函数的最大(小)值解决不等式问题 8.()若对任意的x>0,恒有ln x ≤px-1(p>0),则p 的取值范围是( )A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞) 9.()已知f(x)=ln(x 2+1),g(x)=(12)x-m,若∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实数m 的取值范围是( ) A.[14,+∞) B.(-∞,14] C.[12,+∞) D.(-∞,-12] 10.(多选)()定义在R 上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b 为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是( )A.函数g(x)=-2是函数f(x)={lnx,x >0,1,x ≤0的一个承托函数B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x 的一个承托函数C.若函数g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]D.值域是R 的函数f(x)不存在承托函数 11.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=sin x-1,g(x)=a2ln x-x,若对任意x 1∈R 都存在x 2∈(1,e)使f(x 1)<g(x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .深度解析12.(2020北京西城高三第一学期期末,)已知函数f(x)=e x -ax+12x 2,其中a>-1.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(3)若f(x)≥12x 2+x+b 对任意x ∈R 恒成立,求b-a 的最大值.题组四 利用导数解决生活中的优化问题 13.()某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(x)={400x -12x 2,0≤x ≤400,80 000,x >400,则总利润最大时,年产量是( ) A.100万吨 B.150万吨 C.200万吨 D.300万吨14.()现有一个帐篷,它下部分的形状是高为1 m 的正六棱柱,上部分的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为( )A.1 mB.32 m C.2 m D.3 m15.()某厂生产x 件某种产品的总成本为c(x)=(1 200+275x 3)(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为 件时,总利润最大. 16.(2019山东泰安高三上期中,)如图,AOB 是一块半径为r 的扇形空地,∠BOG=π6,∠AOB=π2.某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE 及一矩形停车场EFGH,剩余的地方进行绿化.设∠AOD=θ. (1)记活动场地与停车场占地总面积为f(θ),求f(θ)的表达式; (2)当cos θ为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大?答案全解全析基础过关练1.C根据函数的极值与最值的概念知,选项A,B,D都不正确.故选C.2.C由题意得,f'(x)=e x+xe x=(1+x)e x.令f'(x)=0,得x=-1.当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因此f(x)在x=-1处取得极小值也是最小值,且最小值为f(-1)=-1.故选eC.3.C由题意得,f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x=±2,易知f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,又f(-2)=16,f(3)=-9,所以f(x)的最大值为16,故选C.4.解析由题图可知y=f(x)在x1,x3处取极小值,在x2处取极大值,所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).5.解析依题意得f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,列表如下:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3 f'(x)+0-0+f(x)15↗22↘-10↗-3所以函数f(x)在(-3,-2)和(2,3)上是增函数,在(-2,2)上是减函数,且函数f(x)的最大值是22,最小值是-10.6.A∵f(x)在x=π处有最大(小)值,3∴x=π3是函数f(x)的极值点.又∵f'(x)=acos x+cos 3x(x ∈R), ∴f'(π3)=acos π3+cos π=0,解得a=2.7.A 由题得f'(x)=-3x 2+2mx,令f'(x)=0,得x=2m 3或x=0(舍去),因为f(x)在区间(0,2)内的极大值为最大值,所以2m 3∈(0,2),即0<2m 3<2,所以0<m<3.8.B 依题意得y'=(ax 2x -1)'=2ax(x -1)-ax 2(x -1)2=ax 2-2ax(x -1)2=a [1−1(x -1)2],令y'=0,解得x=2或x=0(舍去).若函数在区间(1,+∞)上有最大值-4,则最大值必然在x=2处取得,所以4a1=-4,解得a=-1,此时y'=-x(x -2)(x -1)2,当1<x<2时,y'>0,当x>2时,y'<0,可以验证当x=2时y 取得最大值-4,故选B. 9.答案 (0,1)解析 由题意得, f'(x)=3x 2-3a, 令f'(x)=0,得x 2=a.∵x ∈(0,1),∴要使f(x)在(0,1)内有最小值,只需0<√a <1,即0<a<1. 当0<x<√a 时, f'(x)<0,当√a <x<1时,f'(x)>0,可以验证当x=√a 时f(x)取得最小值,故a 的取值范围是(0,1). 10.解析 由题意得, f'(x)=3x 2-2ax. 令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.①当2a 3≤0,即a ≤0时, f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max =f(2)=8-4a.②当2a3≥2,即a ≥3时, f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max =f(0)=0.③当0<2a 3<2,即0<a<3时, f(x)在0,2a 3上单调递减,在2a 3,2上单调递增,从而f(x)max ={8−4a(0<a ≤2),0(2<a <3).综上所述, f(x)max ={8−4a(a ≤2),0(a >2).11.C 由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-2x .令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍).当x ∈(0,1)时, f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1. 由题意知m ≥1,因此实数m 的最小值为1. 12.答案 [e,+∞) 解析 由题意得, f'(x)=1x·x -(lna+lnx)x 2=1−(lna+lnx)x 2.因为f(x)在[1,+∞)上为减函数,所以f'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即ln a ≥1-ln x 在[1,+∞)上恒成立,令g(x)=1-ln x,易知函数g(x)=1-ln x 在区间[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max =g(1)=1, 故ln a ≥1,即a ≥e.13.解析 (1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x -1=1−x x,令f'(x)=0,得x=1.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - f(x)↗极大值 ↘因此,当x=1时,函数f(x)有极大值,且极大值为f(1)=0.(2)证明:由(1)可知函数f(x)在x=1处取得最大值,且最大值为0. 即f(x)=ln x-x+1≤0,得 ln x ≤x-1.14.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x. 令f'(x)>0,解得x>1e,令f'(x)<0,解得0<x<1e.故f(x)的最小值为f (1e )=-1e.(2)依题意得, f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a ≤ln x+1x 对任意x ∈[1,+∞)恒成立. 令g(x)=ln x+1x ,则g'(x)=1x -1x2=x -1x 2.当x ≥1时,g'(x)≥0,故g(x)在[1,+∞)上是增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,因此a ≤g(x)min =g(1)=1, 故a 的取值范围为(-∞,1].15.A 设利润为y 万元,则y=y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=-2x 3+18x 2(x>0), ∴y'=-6x 2+36x=-6x(x-6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,∴应生产6千台该产品. 16.答案 30;23 000解析 设该商品的利润为y 元,由题意知, y=N(M-20)=-M 3-150M 2+11 700M-166 000, 则y'=-3M 2-300M+11 700, 令y'=0,得M=30或M=-130(舍去), 当M ∈(0,30)时,y'>0,当M ∈(30,+∞)时,y'<0,因此当M=30时,y 取得极大值,也是最大值,且y max =23 000. 17.解析 (1)由题意知当x=4时,y=21, 代入y=m x -2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)元. 由(1)可知,套题每日的销售量y=10x -2+4(x-6)2,2<x<6,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)[10x -2+4(x -6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6), 则f '(x)=12x 2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 令f '(x)=0,得x=6(舍去)或x=103.当x ∈(2,103)时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增;当x ∈(103,6)时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 18.解析 (1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为6−2x 2=(3-x)m.故水箱的容积y=(2-2x)(3-x)x =2x 3-8x 2+6x(0<x<1).(2)由(1)得y'=6x 2-16x+6,令y'=0, 解得x=4+√73(舍去)或x=4−√73, 所以y=2x 3-8x 2+6x(0<x<1)在(0,4−√73)内单调递增,在(4−√73,1)内单调递减,所以当x=4−√73时,水箱的容积最大.能力提升练1.D 由题意知|PQ|=a 2+1-12ln a.设h(x)=x 2+1-12ln x(x>0),则h'(x)=2x-12x=4x 2-12x,令h'(x)=0,得4x 2-1=0,解得x=12(负值舍去).当x 在(0,+∞)上变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表:x (0,12) 12 (12,+∞) h'(x) - 0 + h(x)↘极小值 ↗因此,当|PQ|最小时a 的值为12,故选D.2.A 由函数f(x)的定义域为[-1,5],知函数y=f(x)不是周期函数,故①错误;由题图知在[0,2]上f'(x)≤0,故f(x)在[0,2]上单调递减,故②正确;依题意可画出函数f(x)的大致图象如图所示:如果当x ∈[-1,t]时, f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为5,故③错误;当x=2时,f(2)的值不确定,故1<a<2时,函数y=f(x)-a 的零点个数不确定,故④错误.故选A.3.解析 (1)由题意得, f'(x)=-3x 2+6x+9. 令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 因为在(-1,3)上f'(x)>0, 所以f(x)在[-1,2]上单调递增. 又f(x)在[-2,-1]上单调递减,所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x 3+3x 2+9x-2, 因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.4.D 函数f(x)=13x 3+x 2-1的导函数为f'(x)=x 2+2x,令f'(x)=0,得x=-2或x=0,故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减, 则x=0为极小值点,x=-2为极大值点. 由f(x)在区间(m,m+3)上存在最小值, 可得m<0<m+3,解得-3<m<0,此时f(m)=13m 3+m 2-1=13m 2(m+3)-1>-1=f(0),因此实数m 的取值范围是(-3,0),故选D. 5.A 由f(x)=x x 2+a得, f'(x)=a -x 2(x 2+a)2,当a>1时,若x>√a ,则f'(x)<0, f(x)单调递减,若1<x<√a ,则f'(x)>0, f(x)单调递增,故当x=√a 时,函数f(x)有最大值2√a =√33,得a=34<1,不符合题意.当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=12,不符合题意.当0<a<1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减.此时最大值为f(1)=1a+1=√33,得a=√3-1,符合题意.故a 的值为√3-1.故选A. 6.答案 1解析 ∵函数f(x)=ax 4-4ax 3+b(a>0),x ∈[1,4],∴f'(x)=4ax 3-12ax 2, 令4ax 3-12ax 2=0,解得x=0或x=3, f(1)=b-3a, f(3)=b-27a, f(4)=b,且a>0, ∴b-27a<b-3a<b.∵f(x)的最大值为3,最小值为-6, ∴b=3,b-27a=-6,解得a=13,∴ab=13×3=1.7.解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时, f(x)=-2ln x+12x 2+x,则f'(x)=-2x +x+1=x 2+x -2x,∴f'(1)=0.又f(1)=32,∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=32. (2)f'(x)=-2a 2x+x+a=x 2+ax -2a 2x=(x -a)(x+2a)x (x>0).若a=0,则f'(x)=x>0, f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 若a<0,当x ∈(0,-2a)时, f'(x)<0,当x ∈(-2a,+∞)时, f'(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞). 若a>0,当x ∈(0,a)时, f'(x)<0,当x ∈(a,+∞)时, f'(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).(3)由(2)知,当a<0时, f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞).当-2a ≤1,即-12≤a<0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)min =f(1)=12+a;当1<-2a<e,即-e 2<a<-12时, f(x)在(1,-2a)上单调递减,在(-2a,e)上单调递增,则f(x)min =f(-2a)=-2a 2ln(-2a);当-2a ≥e,即a ≤-e2时, f(x)在[1,e]上单调递减,则f(x)min =f(e)=-2a 2+e22+ae.综上,f(x)min ={ 12+a,-12≤a <0,-2a 2ln(−2a),-e 2<a <−12,-2a 2+e 22+ae,a ≤−e 2. 8.D 原不等式可化为ln x-px+1≤0,令f(x)=ln x-px+1,则f(x)max ≤0.由f'(x)=1x -p 知, f(x)在(0,1p )上单调递增,在(1p ,+∞)上单调递减,故f(x)在x=1p 处取得极大值,也是最大值,故f(x)max =f (1p )=-ln p,则有-ln p ≤0,解得p ≥1.9.A 由题意得, f'(x)=2x x 2+1,易得f(x)在[0,3]上单调递增,所以f(x 1)∈[0,ln10];g'(x)=(12)x·ln 12,易得g(x)在[1,2]上单调递减,所以g(x 2)∈14-m,12-m .因为∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2), 所以只需0≥14-m ⇒m ≥14.故当m ≥14时,满足题意.10.BC ∵当x>0时, f(x)=ln x ∈(-∞,+∞),∴f(x)≥g(x)=-2对一切实数x 不一定都成立,故A 错误.令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1≥0恒成立, ∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x 的一个承托函数,故B 正确. 令h(x)=e x -ax,则h'(x)=e x -a, 若a=0,由题意知,结论成立.若a>0,令h'(x)=0,得x=ln a,∴函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数,∴当x=ln a 时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a,∵g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,∴a-aln a ≥0,∴ln a ≤1,∴0<a ≤e.若a<0,当x →-∞时,h(x)→-∞,故不成立.综上,当0≤a ≤e 时,函数g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,故C 正确.不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立,故g(x)=2x-1是f(x)=2x 的一个承托函数,故D 错误.故选BC.11.答案 (2e,+∞)解析 因为对任意x 1∈R 都存在x 2∈(1,e)使f(x 1)<g(x 2)成立, 所以f(x)max <g(x)max ,又f(x)=sin x-1,所以f(x)max =0,即存在x ∈(1,e),使a 2ln x-x>0,此时ln x>0, 所以a>0,因此问题可转化为存在x ∈(1,e),使2a <lnx x 成立,设h(x)=lnx x ,则2a<h(x)max , 对h(x)求导得h'(x)=1−lnxx 2,当x ∈(1,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)<h(e)=1e ,即2a <1e ,所以a>2e, 所以实数a 的取值范围是(2e,+∞).解题模板易错警示 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤:12.解析(1)当a=0时,f(x)=e x+1x2,则f'(x)=e x+x,所以f(0)=1,f'(0)=1.2所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y+1=0.x2,(2)当a=1时,f(x)=e x-x+12则f'(x)=e x-1+x.因为f'(0)=0,且f'(x)=e x-1+x在(-∞,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).(3)由f(x)≥1x2+x+b对任意x∈R恒成立,得e x-(a+1)x-b≥0对任意x∈R恒2成立.设g(x)=e x-(a+1)x-b,则g'(x)=e x-(a+1).令g'(x)=0,得x=ln(a+1)(a>-1).当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示:x(-∞,ln(a+1))ln(a+1)(ln(a+1),+∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.所以函数g(x)的最小值为g(ln(a+1))=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b.由题意,得g(ln(a+1))≥0,即 b-a ≤1-(a+1)ln(a+1).设h(x)=1-xln x(x>0),则h'(x)=-ln x-1.因为当0<x<1e 时,-ln x-1>0;当x>1e 时,-ln x-1<0, 所以h(x)在(0,1e )上单调递增,在1e,+∞上单调递减. 所以当x=1e 时,h(x)max =h (1e )=1+1e. 所以当a+1=1e ,b=a+1-(a+1)ln(a+1),即a=1e -1,b=2e 时,b-a 有最大值,最大值为1+1e . 13.D 当年产量为x 万吨时,总成本为(20 000+100x)元,总利润为f(x)元,∴总利润f(x)={400x -12x 2-20 000-100x,0≤x ≤400,80 000−20 000−100x,x >400,即f(x)={300x -12x 2-20 000,0≤x ≤400,60 000−100x,x >400,所以f'(x)={300−x,0≤x ≤400,-100,x >400,①当0≤x ≤400时,令f'(x)=0,得x=300,由f'(x)<0得300<x ≤400,此时f(x)是减函数,由f'(x)>0得0<x<300,此时f(x)是增函数,∴当0≤x ≤400时,f(x)max =300×300-12×3002-20 000=25 000; ②当x>400时,f(x)是减函数,∴f(x)<60 000-100×400=20 000,∴当x=300时,f(x)有最大值.故选D.14.C 设OO 1为x m,则1<x<4,设底面正六边形的面积为S m 2,帐篷的体积为V m 3.则由题设可得,正六棱锥底面边长为√32-(x -1)2=√8+2x -x 2(m), 于是S=6×√34(√8+2x -x 2)2=3√32(8+2x-x 2), 所以V=13×3√32(8+2x-x 2)(x-1)+3√32×(8+2x-x 2)=√32(8+2x-x 2)[(x-1)+3]=√32(16+12x -x 3)(1<x<4),则V'=√32(12-3x 2).令V'=0,解得x=2或x=-2(舍去).当1<x<2时,V'>0,V 单调递增;当2<x<4时,V'<0,V 单调递减.所以当x=2时,V 最大.故选C.15.答案 25解析 设产品的单价为p 万元,根据已知,可设p 2=k x ,其中k 为比例系数. 因为当x=100时,p=50,所以k=250 000,所以p 2=250 000x ,p=√x ,x>0.设总利润为y 万元,则y=√x ·x-1 200-275x 3=500√x -275x 3-1 200, 则y'=√x -225x 2.令y'=0,得x=25.故当0<x<25时,y'>0;当x>25时,y'<0.因此当x=25时,函数y 取得极大值,也是最大值.16.解析 (1)由题意得,在矩形OCDE 中,∠AOD=θ,∴OC=rcos θ,OE=rsin θ,∴矩形OCDE 的面积为S 矩形OCDE =OC ·OE=r 2sin θcos θ. 又∠BOG=π6,四边形EFGH 是矩形, ∴HG=rsin π6=r 2,OH=rcos π6=√3r 2, ∴HE=OH-OE=r (√32-sinθ), ∴矩形EFGH 的面积为S矩形EFGH =HG ·HE=r 22(√32-sinθ), ∴f(θ)=S 矩形OCDE +S 矩形EFGH=r 2sin θcos θ+r 22(√32-sinθ) =r 2(sinθcosθ-12sinθ+√34),θ∈(0,π3). (2)由(1)可得, f'(θ)=r 2cos 2θ-sin 2θ-12cos θ=r 22·(4cos 2θ-cos θ-2), 令f'(θ)=0,得4cos 2θ-cos θ-2=0,解得cos θ=1+√338或cos θ=1−√338(不合题意,舍去), 令cos θ0=1+√338,则θ0∈(0,π3). 当θ∈(0,θ0)时, f'(θ)>0, f(θ)单调递增;当θ∈(θ0,π3)时, f'(θ)<0, f(θ)单调递减,∴当θ=θ0时, f(θ)取得最大值,即cos θ=1+√338时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.。
高中数学必修一(人教版)3.2.1.2函数的最大(小)值
＝
x＋2，0≤x≤4， 10－x，x>4，
所以函数f(x)的图象如图中
的实线部分，解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y
＝6，故两图象交点为(4,6)．观察图象知，两图象
的交点即为f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)图象的
最高点，即f(x)的最大值为6.
答案：6
状元随笔 根据 min{a，b}可得到 f(x)为分段函数，画图象可求．
综上可得，g(t)＝t12，＋01≤，tt≤<01，， t2－2t＋2，t>1.
状元随笔 解答此类题目，画图是必不可少的，最好画出轴在区 间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧等情况，必要时还要画出轴在区 间中点的左侧和右侧两种情况．
跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)＝－x2＋2x＋4，则当 x∈[－2,2]时， f(x)的最小值为( )
反思与感悟：在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方 法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使 用以下结论：
a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max， a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
题型二 利用单调性求函数的最值——师生共研 例1 已知函数f(x)＝x－2 1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
解析：∀x1，x2∈[2,6]，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－2 1－x2－2 1＝2[xx21－－11－x2x－1－11] ＝x12－x12－xx2－1 1. 由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0， 于是f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)．
新人教版高中数学必修一函数的最大值最小值课件
本例的条件不变，试求函数 g(x)的最大值．
【解析】当 m≤1 时，g(x)max＝g(2) ＝－4m－11；
当 m>1 时 g(x)max＝g(0)＝－15. 综上所述，g(x)max＝－ －415m，－m11>，1. m≤1，
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为 x＝m 为例，区间为[a，b] ，则有
函数 f(x)＝－x2 的定义域为 R，存在实数 1，∀ x∈R，都有 f(x)≤1.那么 1 是函数 f(x)＝－x2 的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x20 ＝1.
1．任何函数都有最大值、最小值吗？ 2．如果函数有最大值，那么最大值是唯一的吗？
3．如果一个函数 f(x)是区间[a，b] 上的减函数，那么函数的最大值是 f(a) 还是
月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成 本＋利润)
【问题 1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？ 【问题 2】对于函数 R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？ 【问题 3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？
点拨：考查对称轴与区间的关系．
不含参数的最值问题 首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系， (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
含参数的最值问题 【典例】已知 g(x)＝x2－2mx－15，求函数 g(x)在 x∈[0，2]上的最小值．
2 3 ，当且仅当－x＝－3x ，x＝－ 3 时等号成立．所以函数 f(x)＝x＋x3 的值域为(－∞，－2 3]
2022年高中数学选择性必修第二册第五章 函数的最大(小)值
2022年高中数学选择性必修第二册第2课时函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．思考如图所示，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？答案函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．知识点二求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数的最大值不一定是函数的极大值．(√)2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(×)3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(×)4．函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．(√)一、不含参函数的最值问题 例1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－2,3]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．解 (1)因为f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－2,3]， 所以f ′(x )＝6x 2－12 ＝6(x ＋2)(x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－ 2 或x ＝ 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示．x －2 (－2，－2) － 2 (－2，2) 2 (2，3) 3 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )8↗82↘－82↗18因为f (－2)＝8，f (3)＝18， f (2)＝－82，f (－2)＝82， 所以当x ＝2时， f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时， f (x )取得最大值18.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]， 解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示．x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 (4π3，2π) 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗π3＋32↘2π3－32↗π因为f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32， f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 反思感悟 求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域．(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表． (4)求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝x －1e x； (2)f (x )＝x 2－x －ln x ，x ∈[1,3]． 解 (1)函数f (x )＝x －1e x 的定义域为R .f ′(x )＝1·e x －e x (x －1)(e x )2＝2－xe x ，当f ′(x )＝0时，x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示.∴f (x )在(－∞，2)上单调递增， 在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )无最小值，且当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝1e 2.(2)f ′(x )＝2x －1－1x ＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x ，∵x ∈[1,3]，∴f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立． ∴f (x )在[1,3]上单调递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝0，当x ＝3时，f (x )max ＝f (3)＝6－ln 3. 二、含参函数的最值问题例2 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x .求函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值． 解 f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝(3x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .①当a >0时，f (x )在[0，a )上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．所以f (x )min ＝f (a )＝－a 3. ②当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝0. ③当a <0时，f (x )在⎣⎡⎭⎫0，－a3上单调递减， 在⎣⎡⎭⎫－a3，＋∞上单调递增． 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝527a 3. 综上所述，当a >0时，f (x )的最小值为－a 3； 当a ＝0时，f (x )的最小值为0； 当a <0时，f (x )的最小值为527a 3.延伸探究当a >0时，求函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x 在[－a ,2a ]上的最值． 解 f ′(x )＝(3x ＋a )(x －a )(a >0)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3<x 2＝a .所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－a ，－a 3上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a3，a 上单调递减，在[a ,2a ]上单调递增． 因为f (－a )＝－a 3，f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝527a 3，f (a )＝－a 3， f (2a )＝2a 3.所以f (x )max ＝f (2a )＝2a 3. f (x )min ＝f (－a )＝f (a )＝－a 3.反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫13x －a ，求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 解 f ′(x )＝x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a . 令g (a )＝f (x )max ，①当2a ≤0，即a ≤0时， f (x )在[0,2]上单调递增， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (2)＝83－4a .②当2a ≥2，即a ≥1时， f (x )在[0,2]上单调递减， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (0)＝0. ③当0<2a <2，即0<a <1时，f (x )在 [0,2a ]上单调递减，在[2a ,2]上单调递增，从而g (a )＝⎩⎨⎧83－4a ，0<a ≤23，0，23<a <1，综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧83－4a ，a ≤23，0，a >23.三、由函数的最值求参数问题例3 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值． 解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常数函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)． ①当a >0，且当x 变化时， f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．跟踪训练3已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗28↘－4↗∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3]．四、导数在解决实际问题中的应用例4请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V ′(x )＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20. ∵当0<x <20时，V ′(x )>0； 当20<x <30时，V ′(x )<0.∴V (x )在x ＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值． ∴底面边长为2x ＝202(cm)， 高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12.反思感悟 解决最优问题应从以下几个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域．(2)在实际应用问题中，若函数f (x )在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设可知，隔热层厚度为x cm ， 每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8， 得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即2 400(3x ＋5)2＝6.解得x 1＝5，x 2＝－253(舍去)． 当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0， 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.即当隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，且最小值为70万元．1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是在x ＝a 和x ＝b 处取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值 答案 D解析 函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值． 2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0， 则函数在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递增， 所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A ．有最值，但无极值 B ．有最值，也有极值 C ．既无最值，也无极值 D ．无最值，但有极值 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减， 无最大值和最小值，也无极值．4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cm B.2033 cm C.1633 cm D.33cm答案 B解析 设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，则a 的值为______， f (x )在[－2,2]上的最大值为________． 答案 3 3解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 f (x )－40＋a↗极大值a↘－8＋a所以当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，所以a ＝3. 所以当x ＝0时，f (x )取得最大值3.1．知识清单： (1)函数最值的定义． (2)求函数最值的步骤． (3)函数最值的应用．2．方法归纳：方程思想、分类讨论．3．常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系．1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．小于0 C ．等于1 D ．不确定 答案 A解析 因为M ＝m ，所以f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0，故选A.2.已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( ) A ．f (a )－g (a ) B ．f (b )－g (b ) C ．f (a )－g (b ) D ．f (b )－g (a )答案 A解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )， ∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴F (x )在[a ，b ]上单调递减， ∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝±1.又f (－3)＝－27＋9＋1＝－17，f (0)＝1， f (－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]． 所以函数f (x )的最大值为3，最小值为－17.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销量为Q ，销量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元 答案 D解析 设毛利润为L (P )． 则L (P )＝PQ －20Q＝(8 300－170P －P 2)(P －20) ＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000， 所以L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，解得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 5．(多选)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的值可以为( ) A ．0 B.13 C.12D ．1答案 BC解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ， 且f ′(x )＝0有解，∴a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝x 3－3x 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m ＝________，n ＝________. 答案 18 －2 解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)．又因为x ∈[0,1)时，f ′(x )<0，x ∈(1,3]时，f ′(x )>0， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝－2. 又f (0)＝0，f (3)＝18，所以m ＝18，n ＝－2.7．设0<x <π，则函数y ＝2－cos xsin x 的最小值是________．答案3解析 y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x .因为0<x <π，所以当π3<x <π时，y ′>0；当0<x <π3时，y ′<0.所以当x ＝π3时，y min ＝ 3.8．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a >1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则a －b ＝________，f (x )的解析式为________________． 答案 13f (x )＝x 3－2x 2＋1解析 f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝a ，当x ∈[－1,0]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当x ∈(0,1]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝b ＝1， 因为f (－1)＝－32a ，f (1)＝2－32a ，所以f (x )min ＝f (－1)＝－32a ，所以－32a ＝－2，即a ＝43，所以a －b ＝43－1＝13，所以f (x )＝x 3－2x 2＋1. 9．求下列函数的最值：(1)f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2； (2)f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，x ∈[0,2]．解 (1)f ′(x )＝cos x －sin x . 令f ′(x )＝0，即tan x ＝1， 且x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 所以x ＝π4.又因为f ⎝⎛⎭⎫π4＝2， f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，函数的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π4＝2， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1. (2)f ′(x )＝11＋x －12x ，令11＋x －12x ＝0， 化简为x 2＋x －2＝0， 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝1.当0≤x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (1)＝ln 2－14为函数f (x )的极大值．又f (0)＝0，f (2)＝ln 3－1>0，f (1)>f (2)．所以f (0)＝0为函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的最小值，f (1)＝ln 2－14为函数在[0,2]上的最大值．10．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只考虑x＝a的情况．(1)若0<a<1，即0<a<1，则当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2a a.(如下表所示)x 0(0，a) a (a，1) 1f′(x)＋0－f(x)0↗2a a ↘3a－1(2)若a≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，当0<a<1，x＝a时，f(x)有最大值2a a，当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.11．已知函数f(x)＝e x－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]答案 A解析f′(x)＝e x－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.12．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的是()①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②答案 D解析由f(x)>0得0<x<2，故①正确．f′(x)＝(2－x2)e x，令f ′(x )＝0，得x ＝±2， 当x <－2或x >2时，f ′(x )<0， 当－2<x <2时，f ′(x )>0， ∴当x ＝－2时，f (x )取得极小值， 当x ＝2时，f (x )取得极大值，故②正确． 当x →－∞时，f (x )<0，当x →＋∞时，f (x )<0， 且f (2)>0，结合函数的单调性可知，函数f (x )有最大值无最小值， 故③不正确．13．函数f (x )＝4xx 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．答案 2 －2解析 f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.又f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85，∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为________ m 时，帐篷的体积最大．答案 2解析 设OO 1＝x m ，则1<x <4. 由题设可得正六棱锥底面边长为 32－(x －1)2＝8＋2x －x 2. 于是底面正六边形的面积为6·34·(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)⎣⎡⎦⎤13(x －1)＋1＝32(16＋12x －x 3)． 则V ′(x )＝32(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2. 当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )单调递增； 当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )单调递减． 综上，当x ＝2时，V (x )最大．15．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(a >1)，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为_________． 答案 4解析 由题意得，f ′(x )＝3ax 2－3，当a >1时，令f ′(x )＝3ax 2－3＝0，解得x ＝±a a ，±aa ∈[－1,1]． ①当－1<x <－aa时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； ②当－a a <x <aa时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； ③当aa<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以只需f ⎝⎛⎭⎫a a ≥0，且f (－1)≥0即可， 由f ⎝⎛⎭⎫a a ≥0，得a ·⎝⎛⎭⎫a a 3－3·a a ＋1≥0，解得a ≥4， 由f (－1)≥0，可得a ≤4，综上可得a ＝4. 16．已知函数f (x )＝ln x ＋ax.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解 函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾．综上所述，a 的值为 e.。
高中数学函数的最大值与最小值-3
延伸1:大设值32 为a1,最1 ,函小数值为f(x )6 x,3求2 3 常a数2x a,b b( . 1x1)的最
2
解:令 f(x)3x23a x0得x=0或a. 当x变化时, f (x),f(x)的变化情况如下表:
x -1
(-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1
f’(x)
+0-
0
令 f(x)0,解得
2 x10,x21,x32p.
在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,
f( 2 )4( p )2p, 2p 2p
故所求最大值是4( p )2 p .
2 p
四、实际应用
1.实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的
最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路.
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值.
(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 与端点的函数值进行比较.
函数的最大值与最 小值
一、复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是:
①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充
+
f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ -a3/2+b ↗ 1-3a/2+b
高中数学知识点：函数的最大(小)值
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：函数的最大（小）值
一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）；
②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x ，使0()f x 等于最值；
②对于定义域内的任意元素x ，都有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），“任意”两字不可省；
③使函数()f x 取得最值的自变量的值有时可能不止一个； ④函数()f x 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.。
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课时作业11 函数的最大(小)值
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (－3
2) B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
C ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，f (0) D ．f (0)，f (3)
解析：观察函数图象， f (x )最大值、最小值分别为f (0), f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，故选
B.
2．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( A ) A ．y ＝1
x ＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x 2
D ．y ＝1－x
解析：B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
3．函数y＝x＋x－2的值域是(B)
A．[0，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：函数y＝x＋x－2在[2，＋∞)上单调递增，所以其最小值为2.
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为(C)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是(B)
A．R B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．∅
解析：因为f(x)＝2x－3在R上是增函数，所以当x≥1时，f(x)≥f(1)＝2×1－3＝－1，故m≤－1.
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(B)
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析：设在甲地销售量为a，则在乙地销售量为15－a，设利润为y，
则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15)，
即y ＝－0.15a 2＋3.06a ＋30，可求y max ＝45.6. 二、填空题
7．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3. 解析：化简函数为y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x ≤2，
2x －1，x >2，
其图象如图所示，
所以函数的最小值为3.
8．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是(1,3]．
解析：如图可知f (x )在[1，a ]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.
9．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为6.
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．
由图象可知，函数f(x)的最大值为6.
三、解答题
10．画出函数
f (x )＝⎩⎨⎧
－2x
，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)
的图象，并写出
函数的单调区间及最小值．
解：f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.
11．已知函数f (x )＝2x
x ＋1，x ∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小
值．
解：设－3≤x 1<x 2≤－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2
x 2＋1
＝2x 1(x 2＋1)－2x 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).
由于－3≤x 1<x 2≤－2，
所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0.
所以f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)．
所以函数f(x)＝2x
，x∈[－3，－2]是增函数．
x＋1
又因为f(－2)＝4, f(－3)＝3，
所以函数的最大值是4，最小值是3.
——能力提升类——
12．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(C)
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：令f(x)＝－x2＋2x,0≤x≤2.
由函数f(x)的图象知0＝f(0)≤f(x)≤f(1)，
因此a<0，故选C.
13．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，求m的取值范围是(B)
A．[2，＋∞) B．[2,4]
C．(－∞，2] D．[0,2]
解析：f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值为1知m≥2.又最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.故选B.
14．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值M max＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为2.
解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，
则a2－4a＋6的下确界为2.
15．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．
解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又
∵f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎨
⎧
f (1)＝a ，
f (a )＝1，
即⎩⎨
⎧
1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1.
解
得a ＝2.
(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2， 又∵x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，
∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3.。