离散数学(3.7复合关系与逆关系)
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离散数学-3-7复合关系和逆关系
复合关系与逆关系的应用
通过实例说明了复合关系和逆关系在离散数学中的应用，如用于描述图的连通性、判断 关系的传递性等。
对未来研究的展望
• 深入研究复合关系和逆关系的性质：尽管我们已经对复合关系和逆关系有了一 定的了解，但仍有许多性质值得进一步探讨。例如，对于某些特殊类型的关系 （如等价关系、偏序关系等），其复合关系和逆关系可能具有独特的性质。
逆关系在计算机科学中用于反向操作或撤销操作，如撤 销一个已执行的命令或操作。
计算机科学中的许多概念和技术，如函数复合、逆函数 、算法设计等，都与复合关系和逆关系密切相关。
在其他领域的应用
在物理学中，复合关系和逆关系用于描述物理现象之 间的相互作用和转化，如力学中的合成与分解、热力
学中的可逆过程等。
复合关系与逆关系的联系与区别
联系
复合关系和逆关系都是二元关系的基本 运算，它们可以相互转化和组合，形成 更复杂的关系。
VS
区别
复合关系是两个关系的“串联”，而逆关 系是一个关系的“反向”；复合关系的结 果仍是一个二元关系，而逆关系的结果是 一个与原关系方向相反的关系。
04
复合关系与逆关系的应用
Chapter
02
逆关系概述
Chapter
定义与性质
01
02
定义：设 $R$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个 关系，则 $R$ 的逆关系 $R^{-1}$ 是从集合 $B$ 到集合 $A$ 的一个关系 ，且 $R^{-1} = {(b, a) | (a, b) in R}$。
性质
03
04
05
逆关系的逆关系是原关 系，即 $(R^{-1})^{-1} = R$。
在逻辑推理中的应用
通过实例说明了复合关系和逆关系在离散数学中的应用，如用于描述图的连通性、判断 关系的传递性等。
对未来研究的展望
• 深入研究复合关系和逆关系的性质：尽管我们已经对复合关系和逆关系有了一 定的了解，但仍有许多性质值得进一步探讨。例如，对于某些特殊类型的关系 （如等价关系、偏序关系等），其复合关系和逆关系可能具有独特的性质。
逆关系在计算机科学中用于反向操作或撤销操作，如撤 销一个已执行的命令或操作。
计算机科学中的许多概念和技术，如函数复合、逆函数 、算法设计等，都与复合关系和逆关系密切相关。
在其他领域的应用
在物理学中，复合关系和逆关系用于描述物理现象之 间的相互作用和转化，如力学中的合成与分解、热力
学中的可逆过程等。
复合关系与逆关系的联系与区别
联系
复合关系和逆关系都是二元关系的基本 运算，它们可以相互转化和组合，形成 更复杂的关系。
VS
区别
复合关系是两个关系的“串联”，而逆关 系是一个关系的“反向”；复合关系的结 果仍是一个二元关系，而逆关系的结果是 一个与原关系方向相反的关系。
04
复合关系与逆关系的应用
Chapter
02
逆关系概述
Chapter
定义与性质
01
02
定义：设 $R$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个 关系，则 $R$ 的逆关系 $R^{-1}$ 是从集合 $B$ 到集合 $A$ 的一个关系 ，且 $R^{-1} = {(b, a) | (a, b) in R}$。
性质
03
04
05
逆关系的逆关系是原关 系，即 $(R^{-1})^{-1} = R$。
在逻辑推理中的应用
离散数学函数的复合与反函数
但当f 和g 看作是函数时f 和 g合成后的函数称为复合函数，
记为g ∘ f 。
定理 设F, G是函数, 则F∘G也是函数, 且满足 (1) dom(F∘G)={ x | x∈domF F(x)∈domG} (2) x∈dom(F∘G) 有 F∘G(x) = F(G(x))
推论1 设 f：A→B, g：B→C, 则 f ∘g：A→C, 且
得到逆关系 R~ ； ~
但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到 f 却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系 ~f
才是函数。
二、反函数(函数的逆)
对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序，就能得
其逆关系 R~ ；
但对于函数 f , 交换f 的所有有序对得到的逆关系f 1是二元关 系却不一定是函数。 如：F={<a,b>,<c,b>}， F 1={<b,a>,<b,c>}
证 (1) c ∈C, 由 g：B→C 的满射性, b ∈B 使得 g(b)=c. 对这个b, 由 f：A→B 的满射性，a ∈A 使得 f(a)=b. 由合成定理有 g ∘ f (a)=g(f(a))=g(b)=c 从而证明了 f ∘g：A→C是满射的.
二、函数的逆（反函数）
对于二元关系R，只要交换所有的有序对，就能
(f ∘g)∘h(x)=(f ∘g)∘ (1+x3)=2+ (1+x3)2 f ∘(g∘h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2
思考： 设 f ：R→R, g ：R→R
x2 f (x)
2
x3 x3
g(x) x 2
求 f g, g f. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数.
记为g ∘ f 。
定理 设F, G是函数, 则F∘G也是函数, 且满足 (1) dom(F∘G)={ x | x∈domF F(x)∈domG} (2) x∈dom(F∘G) 有 F∘G(x) = F(G(x))
推论1 设 f：A→B, g：B→C, 则 f ∘g：A→C, 且
得到逆关系 R~ ； ~
但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到 f 却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系 ~f
才是函数。
二、反函数(函数的逆)
对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序，就能得
其逆关系 R~ ；
但对于函数 f , 交换f 的所有有序对得到的逆关系f 1是二元关 系却不一定是函数。 如：F={<a,b>,<c,b>}， F 1={<b,a>,<b,c>}
证 (1) c ∈C, 由 g：B→C 的满射性, b ∈B 使得 g(b)=c. 对这个b, 由 f：A→B 的满射性，a ∈A 使得 f(a)=b. 由合成定理有 g ∘ f (a)=g(f(a))=g(b)=c 从而证明了 f ∘g：A→C是满射的.
二、函数的逆（反函数）
对于二元关系R，只要交换所有的有序对，就能
(f ∘g)∘h(x)=(f ∘g)∘ (1+x3)=2+ (1+x3)2 f ∘(g∘h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2
思考： 设 f ：R→R, g ：R→R
x2 f (x)
2
x3 x3
g(x) x 2
求 f g, g f. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数.
复合关系、逆关系ppt课件
R在A上是自反的 (x)( xA xRx) R在A上是非自反的 (x)( xA <x,x>R)。 定理： R是自反的 IA R MR主对角线上的元素全为1 GR的每个顶点处均有自环。
6
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
自反性(举例)： 恒等关系、全域关系 • 实数：
R在A上是反自反的 (x)(xA <x,x>R )。 R在A上是非反自反的 (x)( xA xRx) 定理： R是反自反的 IAR= MR主对角线上的元素全为0 GR的每个顶点处均无自回路（无环）。
8
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
反自反性(举例)： 空关系 • 实数：
• 关系：序偶的集合
• 定义域、值域、域
3-5. 2 一些特殊关系
• 空关系、恒等关系、全域关系
• 关系的交并补差还是关系
3-5. 3 关系的表示
• 序偶集合形式
• 关系矩阵MR
• 关系图GR
2
第二部分 集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-10 等价关系与等价类
3-2 集合的运算
1
第一部分 数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、 满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
3-11 相容关系
6
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
自反性(举例)： 恒等关系、全域关系 • 实数：
R在A上是反自反的 (x)(xA <x,x>R )。 R在A上是非反自反的 (x)( xA xRx) 定理： R是反自反的 IAR= MR主对角线上的元素全为0 GR的每个顶点处均无自回路（无环）。
8
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
反自反性(举例)： 空关系 • 实数：
• 关系：序偶的集合
• 定义域、值域、域
3-5. 2 一些特殊关系
• 空关系、恒等关系、全域关系
• 关系的交并补差还是关系
3-5. 3 关系的表示
• 序偶集合形式
• 关系矩阵MR
• 关系图GR
2
第二部分 集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-10 等价关系与等价类
3-2 集合的运算
1
第一部分 数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、 满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
3-11 相容关系
3-7复合关系和逆关系
解：RoS={<4,1>,<1,4>,<3,2>,<2,3>}={<x,y>x+y=5} SoR={<0,3>,<1,2>,<2,1>,<3,0>}={<x,y>x+y=3} RoR={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}={<x,y>x-y=0} SoS={<0,2>,<1,3>,<2,4>}={<x,y>y-x=2} (RoS)oR={<4,3>,<1,0>,<3,2>,<2,1>}={<x,y>x-y=1} Ro(SoR)={<4,3>,<3,2>,<2,1>,<1,0>}={<x,y>x-y=1}
由1)和2)可得 (RoS)c = ScoRc
19
例：A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上关系，S是A到B的关 系。R={<a,a>，<a,c>，<b,b>，<c,b>，<c,c>} S={<a,1>，<a,4>，<b,2>，<c,4>，<c,5>}，验证定理6。
则
RoS={<a,1>,<a,4>,<a,5>,<b,2>,<c,2>,<c,4>,<c,5>}
说明：关系的复合不满足交换律。 R是A到B的关系，S是B到C的关系，RoS是可以的， 而SoR根本不能复合； 若A=C，则RoS是A上的关系，SoR是B上的关系， 根本不可能相等； 若A=B=C，则R、S均为A上的关系，RoS和SoR也 是A上的关系，但一般地RoSSoR，从例子中可以 看出。
由1)和2)可得 (RoS)c = ScoRc
19
例：A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上关系，S是A到B的关 系。R={<a,a>，<a,c>，<b,b>，<c,b>，<c,c>} S={<a,1>，<a,4>，<b,2>，<c,4>，<c,5>}，验证定理6。
则
RoS={<a,1>,<a,4>,<a,5>,<b,2>,<c,2>,<c,4>,<c,5>}
说明：关系的复合不满足交换律。 R是A到B的关系，S是B到C的关系，RoS是可以的， 而SoR根本不能复合； 若A=C，则RoS是A上的关系，SoR是B上的关系， 根本不可能相等； 若A=B=C，则R、S均为A上的关系，RoS和SoR也 是A上的关系，但一般地RoSSoR，从例子中可以 看出。
左孝凌离散数学3.7-复合关系和逆关系PPT课件
算应改为布尔加和布尔乘。
例6
设
M
1和
M
是两个关系矩阵
2
1 0 0
M
1
0
0
0 1
1
0
1 0 0
M 2 0
1
0
1
0
0
1 0 1
1 0 0
则
M
1
M
2
1 0
0 1
1
0
2021/1/17
1
-ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
19
• 复合关系的关系矩阵
定理3.5.5 设A、B、C均是有限集， R 1 是一由A 到B的关系, R 2 是一由B到C的关系，它们的关系
R 1 R 2 { 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 3 ,2 , 4 , 1 }
234
123
12 3
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
M
R1
2 3
0
0
0 1
1
0
M R 2 3 0 4 1
1 0
0 1
M R1 R2
2 1 3 0
0 1
1
0
4
1
0
0
矩阵分别为 M R1 和 M R2 ，则复合关系 R1 R2 的
关系矩阵
MR1R2 MR1MR2
2021/1/17
-
20
例7 设有集合A{1,2,3,4，} B{2，,3,4} C{1,2,3}
A到B的关系 B到C的关系 则
R 1 { 1 ,2 ,2 ,4 ,3 ,3 ,4 ,2 }
R 2 { 2 ,1 ,3 ,2 ,4 ,1 ,4 ,3 }
离散数学3.7-8
15
复合关系和逆关系
S1=S, {<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}, S2=SοS={<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}, {<a,d>,<b,e>,<c,f>}, S3=SοSοS=S2οS={<a,d>,<b,e>,<c,f>}, {<a,e>,<b,f>}, S4=S3οS={<a,e>,<b,f>}, S5=S4οS={<a,f>}, {<a,f>}, S 6 = S 5 ο S =Φ , S 7=Φ, …, , (n>5). Sn=Φ (n>5).
20
关系的闭包运算
首先R 是自反的, 证:1. 首先 ∪ IA是自反的,且R R ∪ IA, 若又有自反关系R'满足 若又有自反关系 满足R R',则因为 满足 ,则因为R' 是自反的有I 是自反的有 A R',即有 R' ∧ IA R', ,即有R , 从而有R ∪ IA R',命题得证. 从而有 ,命题得证.
19
关系的闭包运算
下面介绍由给定关系R,求其各种闭包的方法. 下面介绍由给定关系R,求其各种闭包的方法. R,求其各种闭包的方法
定理 设R是集合A上的二元关系,则: 是集合A上的二元关系, r(R)= 1. r(R)=R∪IA. s(R)= 2. s(R)=R∪RC. 3. t(R)=t(R) = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ .... t(R)= .
8
复合关系和逆关系
复合关系和逆关系
S1=S, {<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}, S2=SοS={<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}, {<a,d>,<b,e>,<c,f>}, S3=SοSοS=S2οS={<a,d>,<b,e>,<c,f>}, {<a,e>,<b,f>}, S4=S3οS={<a,e>,<b,f>}, S5=S4οS={<a,f>}, {<a,f>}, S 6 = S 5 ο S =Φ , S 7=Φ, …, , (n>5). Sn=Φ (n>5).
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关系的闭包运算
首先R 是自反的, 证:1. 首先 ∪ IA是自反的,且R R ∪ IA, 若又有自反关系R'满足 若又有自反关系 满足R R',则因为 满足 ,则因为R' 是自反的有I 是自反的有 A R',即有 R' ∧ IA R', ,即有R , 从而有R ∪ IA R',命题得证. 从而有 ,命题得证.
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关系的闭包运算
下面介绍由给定关系R,求其各种闭包的方法. 下面介绍由给定关系R,求其各种闭包的方法. R,求其各种闭包的方法
定理 设R是集合A上的二元关系,则: 是集合A上的二元关系, r(R)= 1. r(R)=R∪IA. s(R)= 2. s(R)=R∪RC. 3. t(R)=t(R) = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ .... t(R)= .
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复合关系和逆关系
离散数学30.复合关系
学情分析
学生已经掌握了关系的表示方法及关系的简单运算。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上课程视频，网络微课教学
教学过程：
一、关系的复合
1、定义3-7.1设R是从集合X到集合Y的二元关系，S是从集合Y到集合Z的二元关系，则R◦S称为R和S的复合关系，表示为
例2设R1、R2是N上的关系，其定义为：
R1={<x,y>| x,y∈N∧y=x2}；
R2={<x,y>| x,y∈N∧y=x+1}。
求R1◦R2和R1◦R2
解R1◦R2={ <x,y>| x,y∈N∧y=x2+1 }
R2◦R1={ <x,y>| x,y∈N∧y=(x+1)2}
2.复合关系的性质
1)设R1是X到Y的关系，R2是Y到Z的关系,则
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
复合关系
授课章节
§3.7复合关系和逆关系
授课对象
数学与应用法。
教学方式
启发式
教学内容
复合关系的概念和计算。
教学重点
复合关系的计算方法
教学难点
复合关系的计算
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，首先说明复合关系的概念，并通过例题展示集合法和关系图法求复合关系得过程；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
<x,y>∈R∧<y ,y>∈IX
<x,y>∈RIX
故RIX= R,同理可证IXR=R
3）设R是X到Y的关系，S是Y到Z的关系，P是Z到W的关系,那么(RS)P=R(SP)，即结合律成立.
学生已经掌握了关系的表示方法及关系的简单运算。
教学评价
师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。
课程资源
参考书目，网上课程视频，网络微课教学
教学过程：
一、关系的复合
1、定义3-7.1设R是从集合X到集合Y的二元关系，S是从集合Y到集合Z的二元关系，则R◦S称为R和S的复合关系，表示为
例2设R1、R2是N上的关系，其定义为：
R1={<x,y>| x,y∈N∧y=x2}；
R2={<x,y>| x,y∈N∧y=x+1}。
求R1◦R2和R1◦R2
解R1◦R2={ <x,y>| x,y∈N∧y=x2+1 }
R2◦R1={ <x,y>| x,y∈N∧y=(x+1)2}
2.复合关系的性质
1)设R1是X到Y的关系，R2是Y到Z的关系,则
教学设计
课程名称
《离散数学》
教师姓名
授课题目
复合关系
授课章节
§3.7复合关系和逆关系
授课对象
数学与应用法。
教学方式
启发式
教学内容
复合关系的概念和计算。
教学重点
复合关系的计算方法
教学难点
复合关系的计算
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，首先说明复合关系的概念，并通过例题展示集合法和关系图法求复合关系得过程；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
<x,y>∈R∧<y ,y>∈IX
<x,y>∈RIX
故RIX= R,同理可证IXR=R
3）设R是X到Y的关系，S是Y到Z的关系，P是Z到W的关系,那么(RS)P=R(SP)，即结合律成立.
离散数学 3-7 复合关系和逆关系3-8 关系的闭包
(x)(y)(xXyX<x,y>R<y,x>Rx=y)
例如，平面上三角形的相似关系是对称的。 例： R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} R2={<1，1>，<3，3>}
R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>} R4={<2，2>，<2，3>，<3，1>} 注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。
R在X上反自反(x)(xX<x，x>R)
例如，在实数集合中，””是自反的，因为对于任意实 数xx成立。 平面上三角形的全等关系是自反的。 例：X={a，b，c}， R1={<a，a>，<b，b>，<c，c>，<a，b>，<c，a>} R2={<a，b>，<b，c>，<c，a>} R3={<a，a>，<b，c>} 注意：R不是自反的，未必一定是反自反的。一个关系可 能既不是自反的，也不是反自反的。
间至多有一条弧。
三、传递性
1、定义：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意 x，y，zX，每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，
z>R，则称R是传递的。 R在X上传递 (x)(y)(z)(xXyXzX<x,y>R<y,z>R <x,z>R) 例： R1={<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递的，
二、对称性和反对称性
1、对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于 每一个x，yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R， 则称R是对称的。 R在X上对称
离散(关系的运算)
t ( R ) R i =R∪R2∪R3
i 1
={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c> }
定理3.8.5 设A是含有n个元素的集合, R是 A上的二元关系,
则存在一个正整数k≤n，使得
t(R)=R∪R2∪R3∪…∪Rk
n
wij ( rik skj )
k 1
式中∧代表逻辑乘,满足0∧0=0 , 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1. ∨代表逻辑加,满足0∨0=0 , 0∨1=1, 1∨0=1, 1∨1=1.
例4. 设集合A={ 1, 2, 3, 4 }, B={ 2, 3, 4}, C={ 1, 2, 3 }
离散数学(Discrete Mathematics)
3-7 关系的运算
一、 复合关系 (Compound Relations)
定义3.7.1 设 R 是由X 到Y 的关系, S 是由Y 到Z 的关系, 则 RS 称为R 和 S 复合关系, 表示为 RS ={ <x,z> | xX∧zZ∧(y)(yY∧xRy∧ySz) } 两个关系的合成运算可以推广到多个. 例如: RSP、 R S P Q 等. 且合成运算满足结合律.即: ( P R )Q= P( RQ ) 关系R自身合成n次可以记为: RR ‥‥R=R(n)
1 0 0
RS={< 1, 1 >, < 2,1 >, < 2, 3 > ,< 3, 2 >,<4,1> }
四、复合关系和逆关系
xA, yB <x,y>∈(R∪S)c ⇔<y,x> ∈(R∪S) ⇔<y,x>∈R∨<y,x>∈S ⇔<x,y>∈Rc∨<x,y>∈S c ⇔<x,y>∈ R c∪S c
th3
定理3 设R是X上的二元关系，则: a）R是对称的，当且仅当R=Rc b）R是反对称的，当且仅当R ∩ R
例题 给定集合A={1,2,3,4,5},在集合A上定义两个关系R={<1,2>,<3,4>, <2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},求RS和SR矩阵。
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 × 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
MRS ＝
=
复合运算对∪,∩的分配律 设R是从集合A到B的关系, 证明:(1)对xA, zC 设<x,z>∈R·(S∪T) S和T均为B到C的关系， W是C到D的关系,则 (1)R·(S∪T)=R·S∪R·T (2)R·(S∩T)= R·S∩R·T (3)(S∪T)·W=S·W∪T·W (4)(S∩T)·W =S·W∩T·W
th3
b) R是反对称的，当且仅当R ∩ R c Ix 必要性 若R是反对称的 对x, yX ,设<x,y>∈R∩Rc 则： <x,y>∈R∩Rc <x,y>∈R∧<x,y>∈Rc <x,y>∈R∧<y,x>∈R x = y（R是反对称的） <x,y>∈Ix ∴R ∩ R c Ix 充分性 若R ∩ R c Ix 对x, y X,设<x,y>∈R且<y,x>∈R，则 <x,y>∈R ∧ <y,x>∈R <x,y>∈R∧ <x,y>∈R c <x,y>∈R∩Rc <x,y>∈ Ix （ R ∩ R c Ix ） 作业：P119(2)a、(5) x=y ∴ R是反对称的
th3
定理3 设R是X上的二元关系，则: a）R是对称的，当且仅当R=Rc b）R是反对称的，当且仅当R ∩ R
例题 给定集合A={1,2,3,4,5},在集合A上定义两个关系R={<1,2>,<3,4>, <2,2>},S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},求RS和SR矩阵。
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 × 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
MRS ＝
=
复合运算对∪,∩的分配律 设R是从集合A到B的关系, 证明:(1)对xA, zC 设<x,z>∈R·(S∪T) S和T均为B到C的关系， W是C到D的关系,则 (1)R·(S∪T)=R·S∪R·T (2)R·(S∩T)= R·S∩R·T (3)(S∪T)·W=S·W∪T·W (4)(S∩T)·W =S·W∩T·W
th3
b) R是反对称的，当且仅当R ∩ R c Ix 必要性 若R是反对称的 对x, yX ,设<x,y>∈R∩Rc 则： <x,y>∈R∩Rc <x,y>∈R∧<x,y>∈Rc <x,y>∈R∧<y,x>∈R x = y（R是反对称的） <x,y>∈Ix ∴R ∩ R c Ix 充分性 若R ∩ R c Ix 对x, y X,设<x,y>∈R且<y,x>∈R，则 <x,y>∈R ∧ <y,x>∈R <x,y>∈R∧ <x,y>∈R c <x,y>∈R∩Rc <x,y>∈ Ix （ R ∩ R c Ix ） 作业：P119(2)a、(5) x=y ∴ R是反对称的
复合关系和逆关系集合与关系离散数学PPT精品文档
A IA
R A
B
1。 1。
。a
2。 2。 。b
3。
3。
。c
。d
从这两个图看出它们的复合都等于R。
第17页
二、关系的乘幂
令R是A上关系，由于复合运算可结合，所以关系的 复合可以写成乘幂形式。即
R ◦ R=R2， R2 ◦ R=R ◦ R2 =R3，…
Rn+1＝Rn ◦ R
R0＝{<x,x>|x∈A}＝IA
RS=k∨inj==(1Ri1(∧RiSk∧1j)S∨kj()Ri2∧(1S≤2ij≤)∨m,...1∨≤(jR≤ti)n∧Snj)
第8页
（3）矩阵法（续）
R ={<1,b>,<2,c>,<2,d>,<3,a>} S={<a,y>,<b,x>,<b,z>,<c,s>,<d,y>,<d,t>}
0100 0011 1000
复合关系和逆关系
第1页
本节讲述关系的运算 二元关系是以序偶为元素的集合，除了可进行集
合并、交、补等运算外，还可以进行一些新的运 算。 知识点： 复合运算： 定义 计算方法 证明 逆运算 定义 计算方法 证明
第2页
关系的定义域与值域
定义域(domain) ：关系R中所有序偶<x,y>的第一元素 x组成的集合，称为R的定义域，记作dom R， 即 dom R={x|(y)(<x,y>R)}
S={<x,y>| y=2x+3}
R x
x2+3x
S 2(x2+3x)+3 = 2x2+6x+3
复合关系与逆关系
§５
等价关系与集合的划分
• 等价类 先注意一个事实： <m, n> ~ <dm, dn> 任何一个对子都与一个互素对等价 反之，若m, n互素，<k, l> ~ <m, n>， kn = lm, n | lm, n | l, k/m=l/n=d, <k, l> = d<m, n> 结论：每个互素对生成一个等价类
§６
偏序关系与偏序集
• 设P为一集合，如果在P上定义了一个偏序关系≤，则称 P在偏序关系≤下构成一偏序集，记为〈P，≤〉．在不 引起混乱的情况下，也简记为P． • 定义２ 设〈P，≤〉是一个偏序集，若a，b∈P满足a ＜b，且不存在c使a＜c＜b，则称b盖住a, 或称b是a的 直接前辈，a是b的直接后辈. • Hasse图 • 例４ 设Sn表示n的所有正因子构成的集合．“|”表示 Sn上的整除关系，画出 〈S75，| 〉，〈S30，| 〉的Hasse图．
§６
偏序关系与偏序集
• 定理３ 设〈P，≤〉是有限偏序集，若P 中存在唯一极大（小）元a，则a必为最 大（小）元． • 定义7 设〈P，≤〉是偏序集，A P， a∈P，如果x∈A，都有x≤a，称a为A的 上界．如果x∈A，都有a≤x，称a为A的 下界．
§６
偏序关系与偏序集
• 定义８ 设〈P，≤〉是偏序集，A P，若a是 A的上界，且对A的任意上界b，有a≤b，则称a 为A的最小上界（上确界），若a是A的下界， 且对A的任意下界b，有b≤a，则称a为A的最大 下界（下确界）．A的最小上界和A的最大下界 分别用supA和infA表示． • 定理4 设A是偏序集〈P，≤〉的子集，若A的 最小上界（最大下界）存在，则必唯一．
复合关系、逆关系ppt课件
设R是X到Y的二元关系，则从Y到X的二元关系Rc (R-1)定 义为：
R6={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<a,a>},
R7 =
反自反，对称，反对称 ，传递
17
第二部分 集合论
定义
自反性
xA,有 <x,x>R
反自反性
xA,有 <x,x>R
集合 关系 矩阵
IAR
主对角线 元素全是1
R∩IA= 主对角线元 素全是0
关系 图 每个顶点
都有环
每个顶点都 没有环
对称性
二元关系元关系r复合运算运算rr复合关系复合关系逆关系逆关系矩阵与图矩阵与图23b离散数学高等数学大学物理大学英语体育课c吃饭睡觉打豆豆变成豆豆a周一上午周二下午周三下午周四上午周五下午rs周一上午吃饭周二下午睡觉周三下午打豆豆周四上午睡觉周四上午打豆豆r周一上午大学英语周二下午离散数学周三下体育课周四上午离散数学周四上午大学物理s大学英语吃饭离散数学睡觉体育课打豆豆大学物理打豆豆高等数学变成豆豆复合关系复合关系逆关系逆关系运算性质运算性质矩阵与图矩阵与图24社交的六度分割原理
1
第一部分 数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、 满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
D={<x,y>|xNyNx|y} (整除关系)
R6={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<a,a>},
R7 =
反自反，对称，反对称 ，传递
17
第二部分 集合论
定义
自反性
xA,有 <x,x>R
反自反性
xA,有 <x,x>R
集合 关系 矩阵
IAR
主对角线 元素全是1
R∩IA= 主对角线元 素全是0
关系 图 每个顶点
都有环
每个顶点都 没有环
对称性
二元关系元关系r复合运算运算rr复合关系复合关系逆关系逆关系矩阵与图矩阵与图23b离散数学高等数学大学物理大学英语体育课c吃饭睡觉打豆豆变成豆豆a周一上午周二下午周三下午周四上午周五下午rs周一上午吃饭周二下午睡觉周三下午打豆豆周四上午睡觉周四上午打豆豆r周一上午大学英语周二下午离散数学周三下体育课周四上午离散数学周四上午大学物理s大学英语吃饭离散数学睡觉体育课打豆豆大学物理打豆豆高等数学变成豆豆复合关系复合关系逆关系逆关系运算性质运算性质矩阵与图矩阵与图24社交的六度分割原理
1
第一部分 数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、 满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
D={<x,y>|xNyNx|y} (整除关系)
离散数学.复合函数与逆函数
证明： a).设 f:X→Y, g:W→Z为,令z为Z的任意一个元素，因g是满设，
故必有某个元素yY使得g(y)=z，又因为f是满设，故必有某个元素 xX使得f(x)=y，故
gf(x)=g(f(x))=g(y)=z
因此，Rgf =Z， gf是满设的。
b).设令x1、x2为X的元素，假定x1≠x2 ，因为f是入射的,故 f(x1)≠f(x2) 。又因为g是入射的,故g(f(x1))≠g(f(x2)), 于是x1≠x2 gf(x1) ≠ gf(x2) ，因此，gf是入射的。
:Z→X。
dom (f-1 g–1) = dom (g f)–1 = Z b). 对任意zZ 存在唯一yY,使得g(y)=z存在唯一xX,使得
f(x)=y,故 (f-1 g–1)(z)= f-1 ( g–1(z))= f-1 (y)=x
但 (g f)(x)=g(f(x)) =g(y)=z 故 (g f)–1(z)=x 因此对任意zZ有： (g f)–1(z)= (f-1 g–1)(z) 由a).和b).得(f-1 g–1)=(g f)–1 。定理证毕。
若f: x→f(x)则 f-1(f(x)) =x,由a).和b).得f-1 f=Ix。故xX (f1f)(x)=f-1(f(x)) =x。定理证毕。
例题3见P-155页
第18页，此课件共22页哦
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定理4-2.6 若f:X→Y是可逆的，则(f -1) -1= f 。
证明：
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第9页，此课件共22页哦
定理4-2.1 设f:X→Y是一个双射函数，那么fc为Y到X的双射函数， 即有fc :Y→X 。
证明：a). 先证fc是一个函数（需要证存在性和唯一性）
故必有某个元素yY使得g(y)=z，又因为f是满设，故必有某个元素 xX使得f(x)=y，故
gf(x)=g(f(x))=g(y)=z
因此，Rgf =Z， gf是满设的。
b).设令x1、x2为X的元素，假定x1≠x2 ，因为f是入射的,故 f(x1)≠f(x2) 。又因为g是入射的,故g(f(x1))≠g(f(x2)), 于是x1≠x2 gf(x1) ≠ gf(x2) ，因此，gf是入射的。
:Z→X。
dom (f-1 g–1) = dom (g f)–1 = Z b). 对任意zZ 存在唯一yY,使得g(y)=z存在唯一xX,使得
f(x)=y,故 (f-1 g–1)(z)= f-1 ( g–1(z))= f-1 (y)=x
但 (g f)(x)=g(f(x)) =g(y)=z 故 (g f)–1(z)=x 因此对任意zZ有： (g f)–1(z)= (f-1 g–1)(z) 由a).和b).得(f-1 g–1)=(g f)–1 。定理证毕。
若f: x→f(x)则 f-1(f(x)) =x,由a).和b).得f-1 f=Ix。故xX (f1f)(x)=f-1(f(x)) =x。定理证毕。
例题3见P-155页
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定理4-2.6 若f:X→Y是可逆的，则(f -1) -1= f 。
证明：
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第9页，此课件共22页哦
定理4-2.1 设f:X→Y是一个双射函数，那么fc为Y到X的双射函数， 即有fc :Y→X 。
证明：a). 先证fc是一个函数（需要证存在性和唯一性）
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离散数学(Discrete Mathematics)
张捷
1
第三章
集合与关系
（Sets and Relations)
3.1 集合及其运算(Sets & Operations with sets) 3.2 序偶与笛卡尔积(Ordered Pairs & Cartesian Product) 3.3 关系 (Relations) 3.4 关系的性质(The Propeties of Relations) 3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations & Inverse Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations)
3 0 0 1 0 4 1 2 1 0 0 M 3 1 4 1 0 0
2
2 1 1 2 0 M 1 3 0 4 1
2 3
0 0 1 0 M 1 2 0 1
1 1 1 2 1 3 0 4 1
2 3 0 0 0 1 1 0 0 0
n 经 过 长 为 n 的 路 能 够 到 达 的 结 点 ， 这 些 结 点 在
的关系图构造出 的关系图： 的 关系 图 中 的 每 一 结 ，找出 a点 ai从 i 指向它们。
的关系图中，边必须由 ai
例10 试利用构造 2和 3。
n （3）利用关系图求复合关系
设 是有限集A上的关系，则复合关系 2 也是A上的关 系，由复合关系的定义，对于任意的 ai , a j A ，当且仅 当 ak A 存在，使得 ai ak ， ak a j 时，有 a 2a 。 反映在关系图上，这意味着，当且仅当在 的关系图 ak 中有某一结点 ak 存在，使得有边由 a i 指向 ak ，且有 2 j 边由 指向 时，在 的关系图中有边从 aa ai 指 a j a k j 向 。 2
(1)
则必存在 x A, z C , 使x1 2 z ， 从而 y B,
使
x1 y, y2 z, 故 y ran1 ,且 y dom2 , 2 ，这就与 所以 y ran1 dom ran1 dom2 矛盾。
定理3.5.4
(1) 设
0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
根据定理3.5.5
0 1 M M 0 0
1 0 0 0
0 1 1 0
M 2
因此
2 {a, a, a, c, b, b, b, c, b, d , c, c, c, d }
（1）根据复合关系的定义求复合关系 例5中求复合关系采用的就是这种方法。
又例如 下面的关系图给出了从集合A到B的关系 1 和从B到C的关系 2 2
1 2 {2,2, 2,3, 3,1}
（2）运用关系矩阵的运算求复合关系 •布尔运算
其加法和乘法运算定义如下
00+0=0 0 , 00+1=1+0=1+1=1
{ 1,3 , 2,4 , 4,2 }
1 2 { 1,2 , 2,4 , 3,3 , 1,3 , 4,2 }. 1 2 { 2,4 }. 1 2 { 1,2 , 3,3 }. 1 2 {1,2, 3,3, 1,3, 4,2}.
3.5.2 复合关系 (Compound Relations)
3 {2,4, 1,5, 2,6, 3,6} 1 2 {2,3, 2,2, 4,1}
到 A3 的关系，…， n 是一由 An 到An1 的关系，则不
2 是由A 一般地，若 1 是一由 A 到 A 的关系， 2 2 1
加括号的表达式 1 2 n ， 唯一地表示一由A1
设 C到D的关系
则A到C的关系
因此
因此 所以
( 1 2 ) 3 {2,6, 2,4, 4,5} 2 3 {2,5, 3,4, 3,6, 4,6} 1 ( 2 3 ) {2,6, 2,4, 4,5} ( 1 2 ) 3 1 ( 2 3 )
3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations &
Inverse Relations) 3.5.1 关系的并、交、补及对称差运算 3.5.2 逆关系(Inverse Relations) 3.5.3 复合关系 (Compound A B Relations)
AB
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
I A IB
例4
以例2中的关系
从关系图，可得
I A 1 1 , 1 I B 1
定理3.5.3 设 1 是由A到B的关系， 2 是由B到C的关系，
则有
证:
dom( 1 2 ) dom1 (2) ran( 1 2 ) ran2 (3) 若ran1 dom2 , 则1 2 (3)反设 1 2 ,
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
因此
3 {a, b, a, c, a, d , b, a, b, c, b, d , c, c, c, d }
到 A 的关系，在计算这一关系时，可以运用结合 n1
律将其中任意两个相邻的关系先结合。
特别,当A A A A ， 1 2 n 1 2 n1
时，复合关系 简记作 n ，它也是集 A
上的一个关系。
3. 求复合关系的几种方法
3.5.1 关系的并、交、补及对称差运算
定理 3.5.1 若 R 与 S 都是集合 A 到集合 B 的关 系，则 R∪S,R∩S,R-S,R, R S 均为 A
到 B的关系。 1 2 {( 2,4)}
例1
则
11 {21, 2{( ,1 2 ,4 , 33 ,3 2 设 ,2 ), ( ,3 )}}，
系的复合运算。 由定义可知:
1 2 { a, c (a A) (c C) b((b B) (a1b) (b2c))}
例2 2 关系。
设 1 是由A {1,2,3,4, } 到 B {2,3,4} 是由 B 到 C {3,5,6} 的关系。
( 1 2 ) 3 ( 1 3 ) ( 2 3 )
例5
A {1,2,3,4} ， B {2,3,4} ， C {1,2,3} , D {4,5,6} . A到B的关系 1 {2,4, 2,3, 4,2} B到C的关系 2 { 2,1, 3,2, 4,3}
11 1
例如
1 1 1 , 0 1 1 0 0 0 0
(1 0 0) (0 1) (111) (0 0 0) (11) 1
• 关系矩阵的乘积
对两个关系矩阵求其乘积时，其运算法则与一般 矩阵的乘法是相同的，但其中的加法运算和乘法运 算应改为布尔加和布尔乘。 例6 设 M 1 和 M 2是两个关系矩阵
与例6比较得
M 1 2 M 1 M 2
例8
设 A {a, b, c, d } ，A上的关系
{a, b, b, a, c, c, c, d , b, c} 2 3 试求 和 。 解 作出的关系矩阵 a b c d
a 0 b 1 M c 0 d 0
的
分别定义为：
1 { a, b | a b 6} { 2,4 , 3,3 , 4,2 }
2 { b, c | b整除c} { 2,6 , 3,3 , 3,6 }
于是复合关系
1 2 { 3,3 , 3,6 , 4,6 }
例3
设 A B C 是所有人的集合
1 是由A到B的关系， 2 是由B到C的关系，
3是由C到D的关系，则有
(2)设
( 1 2 ) 3 1 ( 2 3 ) 1 是由A到B的关系， 2 , 3 是由B到C的关系，
2 是由A到B的关系， 3 是由B到C的关系，
则有
(3)设 1 , 则有
1 ( 2 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 )
1 { a, b | a, b A, a是b的兄弟 }
2 { b, c | b, c A, b是c的父亲 }
于是复合关系
} 1 2 { a, c | a, c A, a是c的叔伯
2. 关系复合运算的性质
定理3.5.2 设
是由集合A到B的关系，则
1 为例， 1 { 2,4 , 3,3 , 4,2 }
1 是由A到B的关系， 2 是由B到C的 关系，则 1和 2 的复合关系是一个由 A到C的关系， 用 1 2表示，定义为：当且仅当存在元素 b B，
定义3.5.1 设 使得 a b ， b
1
1. 复合关系的定义
时，有a( 1 2 )c 。 c 2
这种由 1 和 2 求复合关系 1 2 的运算称为关
i
j
ai
ai
ak
aj
aj
类似地，对于任意正整数n，当且仅当在 的 关系图中存在n-1个结点 ak , ak ,, ak ,使得有 1 2 n1
边由 ai
时，在
指向 ak
n
1
,由 ak
1
指向 ak
2
，…a 由 k
的关系图中，有边由结点
n
a i 指向a j 。
n1
指向 a
j
根据 对 于
张捷
1
第三章
集合与关系
（Sets and Relations)
3.1 集合及其运算(Sets & Operations with sets) 3.2 序偶与笛卡尔积(Ordered Pairs & Cartesian Product) 3.3 关系 (Relations) 3.4 关系的性质(The Propeties of Relations) 3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations & Inverse Relations) 3.6 关系的闭包运算(Closure Operations)
3 0 0 1 0 4 1 2 1 0 0 M 3 1 4 1 0 0
2
2 1 1 2 0 M 1 3 0 4 1
2 3
0 0 1 0 M 1 2 0 1
1 1 1 2 1 3 0 4 1
2 3 0 0 0 1 1 0 0 0
n 经 过 长 为 n 的 路 能 够 到 达 的 结 点 ， 这 些 结 点 在
的关系图构造出 的关系图： 的 关系 图 中 的 每 一 结 ，找出 a点 ai从 i 指向它们。
的关系图中，边必须由 ai
例10 试利用构造 2和 3。
n （3）利用关系图求复合关系
设 是有限集A上的关系，则复合关系 2 也是A上的关 系，由复合关系的定义，对于任意的 ai , a j A ，当且仅 当 ak A 存在，使得 ai ak ， ak a j 时，有 a 2a 。 反映在关系图上，这意味着，当且仅当在 的关系图 ak 中有某一结点 ak 存在，使得有边由 a i 指向 ak ，且有 2 j 边由 指向 时，在 的关系图中有边从 aa ai 指 a j a k j 向 。 2
(1)
则必存在 x A, z C , 使x1 2 z ， 从而 y B,
使
x1 y, y2 z, 故 y ran1 ,且 y dom2 , 2 ，这就与 所以 y ran1 dom ran1 dom2 矛盾。
定理3.5.4
(1) 设
0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
根据定理3.5.5
0 1 M M 0 0
1 0 0 0
0 1 1 0
M 2
因此
2 {a, a, a, c, b, b, b, c, b, d , c, c, c, d }
（1）根据复合关系的定义求复合关系 例5中求复合关系采用的就是这种方法。
又例如 下面的关系图给出了从集合A到B的关系 1 和从B到C的关系 2 2
1 2 {2,2, 2,3, 3,1}
（2）运用关系矩阵的运算求复合关系 •布尔运算
其加法和乘法运算定义如下
00+0=0 0 , 00+1=1+0=1+1=1
{ 1,3 , 2,4 , 4,2 }
1 2 { 1,2 , 2,4 , 3,3 , 1,3 , 4,2 }. 1 2 { 2,4 }. 1 2 { 1,2 , 3,3 }. 1 2 {1,2, 3,3, 1,3, 4,2}.
3.5.2 复合关系 (Compound Relations)
3 {2,4, 1,5, 2,6, 3,6} 1 2 {2,3, 2,2, 4,1}
到 A3 的关系，…， n 是一由 An 到An1 的关系，则不
2 是由A 一般地，若 1 是一由 A 到 A 的关系， 2 2 1
加括号的表达式 1 2 n ， 唯一地表示一由A1
设 C到D的关系
则A到C的关系
因此
因此 所以
( 1 2 ) 3 {2,6, 2,4, 4,5} 2 3 {2,5, 3,4, 3,6, 4,6} 1 ( 2 3 ) {2,6, 2,4, 4,5} ( 1 2 ) 3 1 ( 2 3 )
3.5 复合关系与逆关系(Compound Relations &
Inverse Relations) 3.5.1 关系的并、交、补及对称差运算 3.5.2 逆关系(Inverse Relations) 3.5.3 复合关系 (Compound A B Relations)
AB
第三章 集合与关系(Sets & Relations)
I A IB
例4
以例2中的关系
从关系图，可得
I A 1 1 , 1 I B 1
定理3.5.3 设 1 是由A到B的关系， 2 是由B到C的关系，
则有
证:
dom( 1 2 ) dom1 (2) ran( 1 2 ) ran2 (3) 若ran1 dom2 , 则1 2 (3)反设 1 2 ,
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
因此
3 {a, b, a, c, a, d , b, a, b, c, b, d , c, c, c, d }
到 A 的关系，在计算这一关系时，可以运用结合 n1
律将其中任意两个相邻的关系先结合。
特别,当A A A A ， 1 2 n 1 2 n1
时，复合关系 简记作 n ，它也是集 A
上的一个关系。
3. 求复合关系的几种方法
3.5.1 关系的并、交、补及对称差运算
定理 3.5.1 若 R 与 S 都是集合 A 到集合 B 的关 系，则 R∪S,R∩S,R-S,R, R S 均为 A
到 B的关系。 1 2 {( 2,4)}
例1
则
11 {21, 2{( ,1 2 ,4 , 33 ,3 2 设 ,2 ), ( ,3 )}}，
系的复合运算。 由定义可知:
1 2 { a, c (a A) (c C) b((b B) (a1b) (b2c))}
例2 2 关系。
设 1 是由A {1,2,3,4, } 到 B {2,3,4} 是由 B 到 C {3,5,6} 的关系。
( 1 2 ) 3 ( 1 3 ) ( 2 3 )
例5
A {1,2,3,4} ， B {2,3,4} ， C {1,2,3} , D {4,5,6} . A到B的关系 1 {2,4, 2,3, 4,2} B到C的关系 2 { 2,1, 3,2, 4,3}
11 1
例如
1 1 1 , 0 1 1 0 0 0 0
(1 0 0) (0 1) (111) (0 0 0) (11) 1
• 关系矩阵的乘积
对两个关系矩阵求其乘积时，其运算法则与一般 矩阵的乘法是相同的，但其中的加法运算和乘法运 算应改为布尔加和布尔乘。 例6 设 M 1 和 M 2是两个关系矩阵
与例6比较得
M 1 2 M 1 M 2
例8
设 A {a, b, c, d } ，A上的关系
{a, b, b, a, c, c, c, d , b, c} 2 3 试求 和 。 解 作出的关系矩阵 a b c d
a 0 b 1 M c 0 d 0
的
分别定义为：
1 { a, b | a b 6} { 2,4 , 3,3 , 4,2 }
2 { b, c | b整除c} { 2,6 , 3,3 , 3,6 }
于是复合关系
1 2 { 3,3 , 3,6 , 4,6 }
例3
设 A B C 是所有人的集合
1 是由A到B的关系， 2 是由B到C的关系，
3是由C到D的关系，则有
(2)设
( 1 2 ) 3 1 ( 2 3 ) 1 是由A到B的关系， 2 , 3 是由B到C的关系，
2 是由A到B的关系， 3 是由B到C的关系，
则有
(3)设 1 , 则有
1 ( 2 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 )
1 { a, b | a, b A, a是b的兄弟 }
2 { b, c | b, c A, b是c的父亲 }
于是复合关系
} 1 2 { a, c | a, c A, a是c的叔伯
2. 关系复合运算的性质
定理3.5.2 设
是由集合A到B的关系，则
1 为例， 1 { 2,4 , 3,3 , 4,2 }
1 是由A到B的关系， 2 是由B到C的 关系，则 1和 2 的复合关系是一个由 A到C的关系， 用 1 2表示，定义为：当且仅当存在元素 b B，
定义3.5.1 设 使得 a b ， b
1
1. 复合关系的定义
时，有a( 1 2 )c 。 c 2
这种由 1 和 2 求复合关系 1 2 的运算称为关
i
j
ai
ai
ak
aj
aj
类似地，对于任意正整数n，当且仅当在 的 关系图中存在n-1个结点 ak , ak ,, ak ,使得有 1 2 n1
边由 ai
时，在
指向 ak
n
1
,由 ak
1
指向 ak
2
，…a 由 k
的关系图中，有边由结点
n
a i 指向a j 。
n1
指向 a
j
根据 对 于