五年级容斥原理.ppt
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容斥问题
容—包括 斥—排除
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
原理1
设A、B是两类有重叠部分的量，如图，A
与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类的
总量可以用下面的方法计算：总量=A+B-ab
ab
A
B
求总数
例1：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知
会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其
中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有
多少人？
弹电
拉手 风琴 的人 数： 24人
两种 都会 弹的 人数： 8人
子琴 的人 数： 17人
？人
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功 课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学 优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年 级一共有多少人？
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少 有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优， 求只有语文一门得优的人数。
原理二
总量=A+B+C-AB-BC-AC+ABC
例1、
如图，三个圆的面积均为30，A与B、B与C、A 与C重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这 三个圆覆盖的部分的面积为2，请问： 这三个圆所覆盖的面积是多少？
操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18 名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳 的女生有多少名？
例4： 1、罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明 和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳 和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
2、甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人， 丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？
中一种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两 种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
5、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学 获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人 语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？
6、少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名 不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年 乐团中五六年级以外的学生共有多少人？
C
58 2
A6B
练一练
1、光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法 三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人。 同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加 体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组 和书法小组的有10人，三组都参加的有2人。光明 小学五年级参加课外活动的一共有多少人？
20＋16－3=33 （个） 5的倍数的个数；
100－33=67 （个）
6的倍数的个数； 30的倍数的个数
答：有67个。
练习：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参
加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组 的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加 的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参 加的有多少人？
2、五年级一班每人都至少参加了一科竞 赛。有32人参加数学竞赛，有27人参加 英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中 参加数学和英语两科的有12人，参加英 语和语文两科的有14人，参加数学和语 文的有10人，三科都参加的有3人。那么 五年级一班总共有多少人？
3、某校五年级共有100人，参加语文、数学、英
83+86-25=169-25=144（人） 250-144=106（人）
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人， 会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒 乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球 的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都 订的有多少人？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 数学
都优 优秀
秀的 的人
人数： 数：
30
87人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
？人
练习：
1、五年级学生参加了数学和语文考试，其中语文 得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得 100分的有26人，两门都得100分的有8人，求这个 班共有多少人？
2、一个班的52人都在做语文和数学作业，有 32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业， 这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
3、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
4、某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语
语三科活动小组，每人至少参加一组，已知参加语 文小组的有52人，参加英语小组的有61人，参加 数学小组的有63人，同时参加语文和数学小组的 有30人，同时参加语文和英语小组的有28人，同 时参加数学和英语小组的有19人。那么三组都参 加的有多少人？
例3：
有50个学生，他们穿的裤子是白色或黑色的，上 衣是蓝色的或红色的。若有14人穿的是蓝色上衣、白 裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上 衣、黑裤子的学生有多少人？
2、有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方 形。如 图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面 积？
求重合部分
例2：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完
了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做 完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问： “谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有 人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是 多少个？
37＋42－48=31（人）
练习：
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至 少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的 有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的 有多少人？
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
练习
某班有50名学生，在一次测试中有26人满分， 在第二次测试中有21人满分。如果两次测试都 没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试 都获满分的有多少人？
例4、在100个外语教师中，懂得英语的75人， 懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语 的老师，问：只懂英语的教师有多少人？
75+45=120（人） 120-100=20（人） 75-20=55（人）
答：只懂英语的教师有55人。
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有 21人，问：只做对第一题的有多少人？
练习：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
例3：在1到100的全部自然数中，既不是5Βιβλιοθήκη Baidu倍数，也不
是6的倍数有多少个？
100÷5=20（个）
不是5的倍数； 不是6的倍数；
100÷6=16 （个） ……4 不是30的倍数
100÷30=3 （个） ……10
容—包括 斥—排除
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
原理1
设A、B是两类有重叠部分的量，如图，A
与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类的
总量可以用下面的方法计算：总量=A+B-ab
ab
A
B
求总数
例1：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知
会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其
中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有
多少人？
弹电
拉手 风琴 的人 数： 24人
两种 都会 弹的 人数： 8人
子琴 的人 数： 17人
？人
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功 课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学 优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年 级一共有多少人？
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少 有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优， 求只有语文一门得优的人数。
原理二
总量=A+B+C-AB-BC-AC+ABC
例1、
如图，三个圆的面积均为30，A与B、B与C、A 与C重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这 三个圆覆盖的部分的面积为2，请问： 这三个圆所覆盖的面积是多少？
操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18 名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳 的女生有多少名？
例4： 1、罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明 和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳 和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
2、甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人， 丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？
中一种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两 种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
5、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学 获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人 语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？
6、少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名 不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年 乐团中五六年级以外的学生共有多少人？
C
58 2
A6B
练一练
1、光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法 三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人。 同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加 体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组 和书法小组的有10人，三组都参加的有2人。光明 小学五年级参加课外活动的一共有多少人？
20＋16－3=33 （个） 5的倍数的个数；
100－33=67 （个）
6的倍数的个数； 30的倍数的个数
答：有67个。
练习：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参
加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组 的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加 的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参 加的有多少人？
2、五年级一班每人都至少参加了一科竞 赛。有32人参加数学竞赛，有27人参加 英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中 参加数学和英语两科的有12人，参加英 语和语文两科的有14人，参加数学和语 文的有10人，三科都参加的有3人。那么 五年级一班总共有多少人？
3、某校五年级共有100人，参加语文、数学、英
83+86-25=169-25=144（人） 250-144=106（人）
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人， 会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒 乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球 的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都 订的有多少人？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 数学
都优 优秀
秀的 的人
人数： 数：
30
87人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
？人
练习：
1、五年级学生参加了数学和语文考试，其中语文 得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得 100分的有26人，两门都得100分的有8人，求这个 班共有多少人？
2、一个班的52人都在做语文和数学作业，有 32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业， 这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
3、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
4、某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语
语三科活动小组，每人至少参加一组，已知参加语 文小组的有52人，参加英语小组的有61人，参加 数学小组的有63人，同时参加语文和数学小组的 有30人，同时参加语文和英语小组的有28人，同 时参加数学和英语小组的有19人。那么三组都参 加的有多少人？
例3：
有50个学生，他们穿的裤子是白色或黑色的，上 衣是蓝色的或红色的。若有14人穿的是蓝色上衣、白 裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上 衣、黑裤子的学生有多少人？
2、有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方 形。如 图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面 积？
求重合部分
例2：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完
了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做 完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问： “谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有 人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是 多少个？
37＋42－48=31（人）
练习：
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至 少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的 有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的 有多少人？
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
练习
某班有50名学生，在一次测试中有26人满分， 在第二次测试中有21人满分。如果两次测试都 没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试 都获满分的有多少人？
例4、在100个外语教师中，懂得英语的75人， 懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语 的老师，问：只懂英语的教师有多少人？
75+45=120（人） 120-100=20（人） 75-20=55（人）
答：只懂英语的教师有55人。
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中 的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有 21人，问：只做对第一题的有多少人？
练习：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
例3：在1到100的全部自然数中，既不是5Βιβλιοθήκη Baidu倍数，也不
是6的倍数有多少个？
100÷5=20（个）
不是5的倍数； 不是6的倍数；
100÷6=16 （个） ……4 不是30的倍数
100÷30=3 （个） ……10