浙江省杭州市高一上学期期末数学试卷
浙江省杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若角的终边经过点，则 α()()3,0P a a ≠A ． B ．C ．D ．sin 0α>sin 0α<cos 0α>cos 0α<【答案】C【解析】根据三角函数定义可得判断符号即可.sin α=cos α=【详解】解：由三角函数的定义可知，，sin αcos 0α=>故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点，则； α(,)P x y sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠（2）角终边任意一点，则. α(,)P x y sin tan (0)yx xααα===≠2．“a ＞b 2”是”的（ ） b >A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若，而不能推出，0,1a b ==-b >201a b=<=b >2a b >当，当 ，所以当时，有2a b >0b ≥b >0b <b b >->2a b >，b >所以“a ＞b 2”是”的充分不必要条件， b >故选：A3．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） 16cm 2rad A ． B ． C ． D ．212cm 214cm 216cm 218cm 【答案】C【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案. R 2216R R +=4R =【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得； R 2216R R +=4R =扇形的面积.2124162S =⨯⨯=故选：C4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．B ．C ．D ．0.5v t =()20.51v t =-0.5log v t =2log v t =【答案】D【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D 最能反映之间的函数关系. 2log v t =,t v 故选：D.5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ） ()f x R (2)()f x f x +=-(2022)f =A ． B ．0 C ．1 D ．20222022-【答案】B【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案. (0)0f =【详解】因为，所以， (2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以的周期为4，()f x 函数是定义在上的奇函数，所以， ()f x R (0)0f =所以，(2)(0)0f f =-=.(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==故选：B. 6．函数的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（ ）()ay x b x c =--A ．，，B ．，， a<00b >0c =0a >0b >0c =C ．，，D ．，，a<00b =0c >a<00b =0c =【答案】A【分析】分、两种情况讨论即可. 0,0b c =>0,0b c >=【详解】函数的定义域为()ay x b x c =--{},x x b x c ≠≠①当时，， 0,0b c =>ay x x c=-当时，与同号，当时，与同号， ()0,x c ∈y a (),x c ∈+∞y a 与图中信息矛盾； ②当时，，0,0b c >=()ay x b x =-由图可得，当时，，所以， ()x b ∈+∞,0y <a<0然后可验证当，时，图中信息都满足， 0,0b c >=a<0故选：A7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 3log 2a =11log 5b =lg 4c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c<a<b c b a <<a c b <<【答案】B【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=因为，所以，即，2=233=23332log 2log 33<=23<a因为，即，，4=2310=232lg 4lg103<=23c <因为， 3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>所以，即， a c >c<a<b 故选：B【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．已知函数，若关于的方程（）有三个不()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩x ()()202f x a f x ++=+a R ∈相等的实数根,且，则的值为（ ）123,,x x x 123x x x <<()()()()()()2123222f x f x f x +++A ． B ．C ．D ．42()22a +2a +【答案】A【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实()f x t =()()202f x a f x ++=+a R ∈数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由123,,x x x ()22220t a t a ++++=10t <205t <<，利用韦达定理求解.()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222tt =++【详解】因为函数图像如下： ()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩令，则有两个不等的实数根，，()f x t =()22220t a t a ++++=10t <205t <<由韦达定理知：, 122t t a +=--1222t t a =+则，， ()11f x t =()()232f x f x t ==所以，()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++， ()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++. ()2224244a a =+--+=故选：A二、多选题9．若，则下列不等式恒成立的有（ ） 0,0,2a b a b >>+=A ．B 1ab ≤≤C ．D ．222a b +≥212a b+>【答案】ACD【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，则，故A 正确； 2a b =+≥1ab ≤对于B ，令不成立，故B 错误； 1,1a b ==>≤对于C ，由A 选项得，所以，故C 正确；1ab ≤222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，故D 正确； 312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅= ⎪⎭>⎝故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．已知非零实数a ，b ，若，为定义在上的周期函数，则（ ） ()f x ()g x R A ．函数必为周期函数 B ．函数必为周期函数 ()f ax b +()af x b +C ．函数必为周期函数 D ．函数必为周期函数()()f g x ()()f x g x +【答案】ABC【分析】是周期为的函数，A 正确，是周期为的函数，B 正确，是()f ax b +ma()af x b +m (())f g x 周期为的函数，C 正确，当周期为周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.n ()f x π,()g x【详解】设周期为周期为，，()f x ,()m g x ,0n m ≠0n ≠对选项A ：，故是周期为的函数，正确；()()m f ax b f ax b m f a x b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f ax b +ma 对选项B ：则，所以是周期为的函数，正确； ()()af xb af x m b +=++()af x b +m 对选项C ：，所以是周期为的函数，正确；(())(())f g x f g x n =+(())f g x n 对选项D ： 当周期为周期为1时，若是周期函数，设周期为 ，则()f x π,()g x ()()f x g x +T ，是无理数，所以上式无解，所以此时不是周期函π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠π()()f x g x +数，错误. 故选：ABC11．已知函数为偶函数，点，是图象()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x ()1,1A x -()2,1B x -()f x 上的两点，若的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） 12x x -A ． B ． C ． D ．在上单π2=ωπ2ϕ=()11f =-()f x ()111,1x x -+调递增 【答案】AC【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由，得，即，的最小值为()1f x =-()4sin 11ωϕ+-=-x ()sin 0x ωϕ+=12x x - 2，,即，即，则，故选项A 正确；22T ∴=4T =2π4ω=π2=ω对于B ，为偶函数，，，时，时，故()f x ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k πϕ≤ 0k ∴=π2ϕ=1k =-π2ϕ=-选项B 错误；对于C ，综上或者，()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f ()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x 则，故选项C 正确；()11f =-对于D ，，，，即，即是函数的零()1,1- A x ()2,1B x -14cos 11π2-=-x 10π2cos =x 1x πcos 2y x =点，的区间长度为2，是半个周期，则函数在上不具备单调性，故选项()111,1-+ x x ()111,1x x -+D 错误. 故选：AC.12．设函数若存在，使得()()4,,f x x t g x x=+=-[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，则t 的值可能是（ ）121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4【答案】BCD【分析】根据题意可得，令112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ()，结合对勾函数的性质可得函数的单调性，则4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈()F x ，进而有，结合4()5t F x t +≤≤+(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在使得*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 成立，112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 令，， 4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 4y x x=+(1,2)(2,4)所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()F x (1,2)(2,4)由，得，(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+4()5t F x t +≤≤+即，*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤所以， (4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-又，4()()5n n t f x g x t +≤-≤+则，即，4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩因为， N ,3n n *∈≥951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得. 64t -≤≤-故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数，则此函数的定义域为________． 3y x αα=-【答案】.()(),00,∞-+∞U 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.13a =-y =【详解】由幂函数，可得，解得，即3y x αα=-31α-=13a =-13y x -==则满足，即幂函数的定义域为. 0x ≠3y x αα=-()(),00,∞-+∞U 故答案为：.()(),00,∞-+∞U 14．已知是第二象限角，，则________． θ()3cos π25θ+=tan θ=【答案】2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得或tan 2θ=，再根据是第二象限角即可得.tan 2θ=-θtan 2θ=-【详解】由诱导公式可得，所以；()3cos π2cos 25θθ+=-=3cos 25θ=-根据二倍角公式可得， 222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++解得或，tan 2θ=tan 2θ=-又因为是第二象限角，所以. θtan 2θ=-故答案为：2-15．如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀110m 120m 速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面30min 5min 的高度为________m ．【答案】##37.5752【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据h t ()sin h A t k ωϕ=++条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为， h t ()sin h A t k ωϕ=++因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，110m 120m 所以，解得，12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩55,65A k ==因为每转一圈，所以，， 30min 2π30T ω==15πω=当时，，所以，所以可取，0=t 10h =sin 1ϕ=-π2ϕ=-所以，ππ55sin 65152h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当时，5t =π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．设.若当时，恒有，则的取值范围是____. ,a b ∈R ||1x ≤2|()|1x a b -+≤a b +【答案】[【分析】构造函数，则将题目转化为当时，2()()f x x a =-||1x ≤恒有，分，，，讨论，即可得到结果. 1()1b f x b ---≤≤1a ≤-1a ≥10a -<≤01a <<【详解】设函数，则当时，恒有. 2()()f x x a =-||1x ≤1()1b f x b ---≤≤当时，在上递增，1a ≤-()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =--≤2(1)(1)1f a b -=----≥从而，则，于是，矛盾；22222a a b a a ----≤≤22222a a a a ----≤12a ≥-同理，当，在上递减，1a ≥()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =-≥--2(1)(1)1f a b -=--≤-从而，则，于是，矛盾； 22222a a b a a -+---≤≤22222a a a a -+-≤--12a ≤当，,则， 10a -<≤212b a a --≤≤22110a a a -≥-⇒≤≤10b -≤≤当，，则， 01a <<212b a a ---≤≤22110a a a --≥-⇒≤≤10b -≤≤由此得，的取值范围是.a b +[当且仅当时，时，. 1a =1b =-a b +=0a b ==0a b +=故答案为:[四、解答题 17．已知.sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，(1)求的值;tan α(2)若，求角.()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，β【答案】(1) tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可sin ,cos αα()cos αβ-()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦得解.【详解】（1）解：因为，sin cos 3sin cos αααα+=-所以，解得；tan 13tan 1αα+=-tan 2α=（2）解：因为，，tan 2α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， 22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩解得， sin αα==又，所以，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因()sin αβ-=()cos αβ-==则 ()sin sin βααβ=--==⎡⎤⎣⎦所以.4πβ=18．已知集合，集合，集合{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x AB ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以，23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……又因为，所以，{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，x A B ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；B =∅121m m +>-2m <当时，解得，B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………23m ……综上所述：.3m …19．已知函数，其中常数．()()2sin f x x ω=0ω>(1)若在上单调递增，求的取值范围； ()y f x =π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω(2)令，将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来2ω=()y f x =π6的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象．若在区间12()y g x =()y g x =[],a b 上至少含有30个零点，求的最小值． b a -【答案】(1) 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 43π6 【分析】（1）求条件可得，，由此可求的取值范围， π2πππ,[2π,2π]4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ω（2）由函数图象变换结论求函数的解析式，要使最小，则，研究()y g x =b a -130,a x b x ==的零点进而可以求出结果． 1sin 2t =-【详解】（1）由题设，∴，∴， 2ππ11ππ34122T ω+=≤=1211ω≤304ω<≤当时，，则，，解得，． π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈3034k ω<≤+Z k ∈综上，的取值范围为． ω30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）由题设，将函数的图象向左平移个单位得()2sin 2f x x =()f x π6ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则． 12()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令得， ()0g x =π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，设在区间上的30个零点分别为， π43t x =+()y g x =[],a b 1230,,,x x x 则，在上有30个零点， 113030ππ4,,433t x t x =+=+ 1sin 2t =-ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦要使最小，则，b a -130,a x b x ==因为在每个周期内各有两个函数值为，所以15个周期里面有30个零点， sin y t =12-则最小时，若，则b a -113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，即的最小值为． 30143π6x x -=b a -43π620．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群S S %x 0100x <<体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：x 40（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ x （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．S ()g x ()g x 【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. ()45100x ，∈【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，30100x <<， ()180029040f x x x=+->即，2659000x x -+>解得或，20x <45x >∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ()45100x ∈，（2）当时，030x <≤； ()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-当时，30100x <<； ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭∴； ()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩当时，单调递减；032.5x <<()g x 当时，单调递增；32.5100x <<()g x 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；S 32.5%有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；32.5%当自驾人数为时，人均通勤时间最少．32.5%【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．已知函数，． ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R a ∈(1)若方程，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦(2)设，若对任意，当，时，满足，求实数a 的取0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x []2,1x b b ∈+()()12ln 4f x f x -≤值范围．【答案】(1)． {}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于02(3)(4)10a x a x -+--=即可求解；（2）易知函数为定义域上为减函数，将问题转化成 1()ln()f x a x =+，即对任意成立，再构造()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由得； []1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭2(3)(4)10a x a x -+--=即[(3)1](1)0a x x --+=当时，，经检验，满足题意；3a ==1x -当时，，经检验，满足题意；2a =121x x ==-当且时，， 2a ≠3a ≠12121,1,3x x x x a ==-≠-若是原方程的解，当且仅当，即， 1x 11230a a x +=->32a >若是原方程的解，当且仅当，即，2x 2110a a x +=-+>1a >故当是原方程的解，不是方程的解，则 ，无解， 1x 2x 32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且当是原方程的解，不是方程的解，则，解得 2x 1x 32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的． 31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦综上，的取值范围为． a {}31,2,32⎛⎤ ⎝⎦（2）不妨令，则， 121b x x b ≤≤≤+1211a a x x +>+由于单调递增，单调递减， ln y x =1y a x =+所以函数在,上为减函数；，， ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[b 1]b +()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭因为当，,，满足，1x 2[x b ∈1]b +12|()()|ln4f x f x -≤故只需， 11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即对任意成立， 233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以函数为开口向上的二次函数，且对称轴为 ， 0a >()233(1)1g b ab a b =++-102a a+-<故在上单调递增，当时，有最小值， ()g x 1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦14b =y 33151(1)1164164a a a ++-=-由，得，故的取值范围为． 1510164a -≥415a ≥a 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦。
2023届浙江省杭州市示范名校高一数学第一学期期末质量检测试题含解析
解得： ，
即函数 的单调递减区间为： ， ；
Ⅱ 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，
得 ，
又 ，即 ，
由 ， ，
得： ， ，
由诱导公式可得 ，
所以 ，
所以 ，
【点睛】本题考查了三角函数的单调性及三角函数图象的平移变换，涉及到诱导公式的应用及三角函数求值问题，属于中档题
17．（1）已知 ，求 的值.
（2）已知 ， 是第四象限角， ， ，求 .
18．已知
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值
19．求函数 在区间 上的最大值和最小值.
20．已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象对应的函数为 ，且当 ， 时， ，求 的值
【详解】由题知， ，
则 恒成立，即 ， ，
又定义域应关于原点对称，则 ，解得 ，
因此 ， ，易知函数 单增，
故 等价于
即 ，解得
故答案为：
14、23
【解析】利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.
【详解】由题设， ， ，
所以 ， .
故平均数与方差的和是23.
故答案为：23.
【详解】解： ，
弧长 cm
故选：D
2、B
【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解
【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“ ， 是4的倍数”的否定为“ ， 不是4的倍数”
故选：B
3、A
【解析】显然这个问题需要求交集.
【详解】对于： ， ；
对于： ， ；
故答案为：A.
浙江省杭州市高一上学期数学期末考试试卷
浙江省杭州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，且l1∥l2 ，则m=（）A .B .C . 3D . -32. （2分）函数的定义域为（）A . {x|1＜x≤4}B . {x|1＜x≤4，且x≠2}C . {x|1≤x≤4，且x≠2}D . {x|x≥4}3. （2分） (2016高一上·舟山期末) 若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A . α内的所有直线都与a异面B . α内的直线都与a相交C . α内不存在与a平行的直线D . 直线a与平面α有公共点4. （2分） (2016高二上·成都期中) 已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A .B . 2C .D . 35. （2分）已知实数a=ln（lnπ），b=lnπ，c=2lnπ ，则a，b，c的大小关系为（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . b＜a＜cD . c＜a＜b6. （2分） (2016高二上·温州期中) 函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，fn+1（x）=f（fn（x）），已知函数g（x）=fm（x）﹣x有8个零点，则m的值为（）A . 8B . 4C . 3D . 27. （2分）函数y=lg（x2﹣2x+a）的值域不可能是（）A . （﹣∞，0]B . [0，+∞）C . [1，+∞）D . R8. （2分）三个数大小的顺序是（）A .B .C .D .9. （2分）已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A . 15πB .C .D . 6π10. （2分）(2017·陆川模拟) 如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 8B .C . 16D . 3211. （2分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x＞0），则{x|f（x﹣1）＞0}等于（）A . {x|x＞3}B . {x|﹣1＜x＜1}C . {x|﹣1＜x＜1或x＞3}D . {x|x＜﹣1}12. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠ 时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A . 2B . 4C . 5D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知集合A={x| ∈N* ，x∈Z}，用列举法表示为________．14. （1分） (2018高二下·定远期末) 已知幂函数，若，则的取值范围为________．15. （1分）过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.16. （1分） (2018高一下·唐山期末) 公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列，则数列的前7项和为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一上·杭州期中) 已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．18. （10分） (2016高一上·叶县期中) 化简求值：（1）（7+4 ）﹣81 +32 ﹣2×（） + ×（4 ）﹣1（2）（log62）2+（log63）2+3log62×（log6 ﹣ log62）．19. （5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．20. （5分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，2），B（2，1），C（1，0）．（Ⅰ）判定三角形ABC形状；（Ⅱ）求过点A且在x轴和在y轴上截距互为倒数的直线方程；（Ⅲ）已知l是过点A的直线，点C到直线l的距离为2，求直线l的方程．21. （15分） (2018高三下·滨海模拟) 如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面 .（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.22. （5分） (2017高一下·正定期中) 已知函数（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，mf（x）≤2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、。
2022-2023学年浙江省杭州地区数学高一上期末达标检测试题含解析
A.甲比乙的极差大 B.乙的中位数是 18 C.甲的平均数比乙的大 D.乙的众数是 21
时，
.则
（）
A.2
B.1
C.-1
D.-2
9． sin2 75 cos2 75 的值是 ( )
A. 1
B. 3
2
2
C. 1 2
D. 3 2
10．若 tan 3， tan 5，则 tan 的值为 ( )
A. 1 8
B. 4 7
1
C.
D. 1
2
7
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断 A；找出乙中间的两位数即可判断 B；分 别求出甲、乙的平均数判断 C；观察乙中数据即可判断 D；
【详解】对于 A，由茎叶图可知，甲的极差为 37 8 29 ，乙的极差为 23 9 14 ，故 A 正确；
对于 B，乙中间两位数为18,19 ，故中位数为 18 19 18.5 ，故 B 错误； 2
对于 C，甲的平均数为 8 12 13 20 22 24 25 26 27 37 21.4 ， 10
乙的平均数为 9 1113 14 18 19 20 21 21 23 16.9 ，故 C 正确； 10
杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷(共五套)
2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（一）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y =B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ）A ．20B ．40C ．60D ．807．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．22．已知函数2()21x x af x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1013M =-，，，，{}13N =-，，则集合M N ⋂中元素的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】{}1013M =-，，，，{}13N =-，{}1M N ∴⋂= 故选：B2．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x =C ．cos y x =D ．||y ln x =【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．3．已知函数,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()1f f =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -【答案】B 【解析】0((1))(0)1f f f e ===，故选：B4.已知lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数1()log bg x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】lg lg 0,lg 0a b ab +=∴=，即1ab =.∵函数()f x 为指数函数且()f x 的定义域为R ，函数()g x 为对数函数且()g x 的定义域为()0,∞+，A 中，没有函数的定义域为()0,∞+，∴A 错误；B 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递增，即01b <<，ab 可能为1，∴B 正确；C 中，由图象知指数函数()f x 单调递减，即01a <<，()g x 单调递增，即01b <<，ab 不可能为1，∴C 错误；D 中，由图象知指数函数()f x 单调递增，即1a >，()g x 单调递减，即1b >，ab 不可能为1，∴D 错误． 故选：B.5．已知函数()1x f x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1D ．1⎡+⎣【答案】C 【解析】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得11b <<+故选：C.6．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为2200m 的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要多少米？（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．80【答案】B 【解析】设此矩形面向河的一边的边长为x ，相邻的一边设为y ， 由题意得200xy =， 设围栏总长为l 米，则240l x y =+≥=， 当且仅当2x y =时取等号， 此时20,10x y ==； 则围栏总长最小需要40米； 故选：B.7．已知函数()||f x x x =，当[,2]x t t ∈+时，恒有不等式(2)4()f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】||y x =为偶函数，y x =为奇函数 ()||f x x x ∴=奇函数当0x 时，2()f x x =为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数()f x 在R 上增函数又不等式(2)4()f x t f x +>可化为(2)|2|4||2|2|(2)x t x t x x x x f x ++>== 故当[,2]x t t ∈+时，不等式(2)4()f x t f x +>恒成立， 即当[,2]x t t ∈+时，不等式22x t x +>恒成立 即2x t <恒成立 即22t t +< 解得2t >故实数t 的取值范围是(2,)+∞ 故选：A8． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】∵1log log log log a b a a b a b b+=+，又1,1a b >>，∴log 0a b >，即1log 2log a a b b +≥=当且仅当a b =时等号成立，而11,28a b ==时有110log log log 2log 3a b aa b a b b +=+=>，显然1,1a b >>不一定成立；综上，所以有1,1a b >>是log log 2a b b a +≥充分不必要条件. 故选：A9．定义集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，已知集合{2,4,6}S =，|1,2k T x x k S ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合S T T ⋃中的元素个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】∵集合的商集运算为|,,A m x x m A n B B n ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭， 集合{2,4,6}S =，|1,{0,1,2}2k T x x k S ⎧⎫==-∈=⎨⎬⎩⎭， ∴{}1,2,3,4,6ST =， ∴{}0,1,2,3,4,6ST T=. ∴集合STT ⋃元素的个数为6个.故选：B.10．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．50,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D由t π=，可得2=2ππωω=⇒因为3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数所以sin 23x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是奇函数，即,3k k z πϕπ-=∈又因为()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()2sin sin 3k k ππππ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭所以k 是奇数，取k=1，此时43πϕ=所以函数()5sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，此时2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭所以此时432,332t πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦解得511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选D.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数232,1,(),1,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 则函数()()2g x f x =-的零点个数为______． 【答案】2()g x 的零点即为()0g x =的解．当1x ≤时，令322x -=，解得12x =，符合；当1x >，令22x =，解得x ()g x 的零点个数为2． 13．已知tan()24πα-=，则sin(2)4πα-的值等于__________．【答案】10【解析】由tan 1tan()241tan πααα--==+，解得tan 3α=-，因为22sin(2)(sin 2cos 2)(2sin cos cos sin )422πααααααα-=-=-+2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα-+-+==++222(3)1(3)1(3)⨯--+-==+-． 14．里氏震级M 的计算公式为：M=lgA ﹣lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A 0为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6，10000 【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA ﹣lgA 0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴62101000010x y ==． 故答案耿：6，10000．15．已知34a =，2log 3b =，则ab =________；4b =________． 【答案】2 9 【解析】因为34a =，所以3log 4a =，又2log 3b =， 因此32lg 4lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⋅=⋅=；222log 32log 3log 944229b ====. 故答案为：2；9.16．（设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-17．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=________，tan2α=________． 【答案】35247【解析】由已知得3cos 5α==-，所以445tan 335α==--，242243tan 27413α⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：35；247． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．计算下列各式的值：（1）()22230327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）941451log log 3log 5log 272⋅--+. 【答案】（1）3；（2）174. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则，可得()2223327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222333333(24441399)1[()]22--⎛⎫=--+ -⎪⎝-+⎭==.（2）根据对数的运算法则，可得941451log log 3log 5log 272⋅--+ 325211111log 2log log 5log 2414224341722=-⨯+-+=-+-+=.19．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．()1判断()f x 的奇偶性并予以证明； ()2若1a >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()0,1． 【解析】()1要使函数有意义，则{1010x x +>->，即{11x x >-<，即11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，则()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a f x x x x x f x ⎡⎤-=-+-+=-+--=-⎣⎦， 则函数()f x 是奇函数．()2若1a >，则由()0.f x >得()()log 1log 10a a x x +-->，即()()log 1log 1a a x x +>-， 即11x x +>-，则0x >， 定义域为()1,1-，01x ∴<<，即不等式的解集为()0,1．20．（1）已知角α的终边经过点(,6)P x ，且5cos 13α=-，求sin α和tan α的值. （2）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求角β. 【答案】（1）12sin 13α=，12tan 5α=-（2）3πβ=【解析】 （1）55cos 132x α==-⇒=-， ∴5,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12sin 13α==，612tan 552α==--； （2）由1cos 7α=，02πα<<，得sin 7α=， 由13cos()14αβ-=,02πβα<<<，得02παβ<-<，得sin()αβ-=所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-11317142=⨯+=，又02πβ<<，∴3πβ=.21．已知函数2()cos cos f x x x x =-.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调区间； （2）求函数()f x 的零点．【答案】（1）T π=；单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈；单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈； （2）6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈.【解析】（1）2()cos cos f x x x x =-cos 21222x x +=-1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 因为sin y x =的单调增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k xk ππππ，k Z ∈.因为sin y x =的单调减区间为32,222k k ππππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ-++≤≤， 解得536k x k ππππ++≤≤，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ，k Z ∈.（2）函数1()sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，令1sin(2)062x π--=，即1sin(2)62x π-=.2266x k πππ-=+或52266x k πππ-=+，k Z ∈ 解得6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈所以()f x 的零点为6x k ππ=+或2x k π=+π，k Z ∈22．已知函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，其中a 为实数． （1）求实数a 的值；（2）若0a >时，不等式()(())20xf f x f t +⋅<在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）±1；（2）1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由函数2()21x xaf x a -=⋅+为奇函数，可得()()f x f x -=-， 代入可得：222121x x x x a aa a ----=⋅+⋅++，整理可得：2222(2)1(2)x a a x -=-，所以21a =， 解得：1a =±；（2）若0a >，由（1）知1a =，所以212()12121x x x f x -==-++，由2x 为增函数，21x u =+为增函数且210x u =+>，又因为2u 为减函数，所以2u-为增函数，所以()f x 为增函数， 又因为()f x 为奇函数，由()(())20xf f x f t +⋅<可得：()20x f x t +⋅<，即21+2021x x x t -⋅<+在[1,1]x ∈-上恒成立， 若0t ≥，1x =时不成立，故0t <，令2x s =，则1(,2)2s ∈，整理可得：2(1)10t s t s ⋅++-<， 令2()(1)1g s t s t s =⋅++-，若1122t t +-≤或122t t +-≥ 需131()0242g t =-<，(2)610g t =+<，可得1156t -≤<-或12t ≤-，若11222t t +<-<，需1()02t g t+-<， 解得1125t -<<-， 综上可得：实数t 的取值范围为1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（二）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1-B ．1C ．5-D ．53．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5.函数的单调递增区间是( ) A ． B ． C ． D ．6．已知，，则等于（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan αA.B. 或C.或 D.7．设sin 5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35± B ．35C ．35D ．以上都不对10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为34-34-43-344335()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<___________．14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域； （2）求函数在上的单调递增区间. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式；（2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-【答案】B 【解析】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA {|12}x x -≤≤.故选：B2．设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1- B ．1 C ．5- D ．5【答案】A 【解析】2(3)3359351f =--=--=，1(1)121f =-=-，即()3(1)1f f f ==-⎡⎤⎣⎦. 故选：A.3．下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴23x x <，A 错；(0,1)x ∈时，lg 0x <，lg3lg 20>>，因此11lg 2lg 3>，∴lg lg lg 2lg 3x x<，即23log log x x <，B 正确；13x =时，13112⎛⎫< ⎪⎝⎭，131log 13=，即131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，C 错； 10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112x⎛⎫< ⎪⎝⎭，11331log log 13x >=，∴131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭，D 错误． 故选：B ．4．函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，15()cos 215xxf x x -=-⋅+， 15()cos(2)15x xf x x ---∴-=-⋅-=+51cos 2()51x x x f x --⋅=-+，则函数()f x 为奇函数，排除AC ；又33152cos 03315f ππππ-⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭+，排除B. 故选：D. 5.函数的单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增， 故选：A6．已知，，则等于（ ） A. B. 或 C. 或D.【答案】A 【解析】∵，， ∴平方可得，即， ∴，，∵可得：，解得：，或（舍去）， ∴，可得：． 故选：A ． 7．设sin5a π=，b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）12()log (2)f x x =-(,2)-∞(,0)-∞(2,)+∞(0,)+∞20x ->2x <2t x =-2t x =-(,2)-∞12log y t =(0,)+∞12()log (2)f x x =-(,2)-∞2παπ<<1sin cos 5αα+=tan α34-34-43-3443352παπ<<1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 025αα=-<sin 0α<cos 0α>22sin cos 1αα+=221cos cos 15αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭4cos 5α=35-143sin 555α=-=-3tan 4α=-A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c a b <<. 故选：C.8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即. 本题选择C 选项.9．已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos2α的值等于（ ）A ．35±B ．35C ．35D ．以上都不对【答案】A()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<【解析】α在第二象限内，sin 0α∴>，cos 0α<， 由225sinsin 240αα+-=得：()()25sin 24sin 10αα-+=，解得：24sin 25α=，7cos 25α∴==-，即272cos 1225α-=-，29cos 225α∴=， α在第二象限内，2α∴为第一或第三象限角，3cos25α∴=±. 故选：A .10．关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】函数()()()()221sin 1sin 2cos cos 2cos cos 11f x x x x x x x =-++=+=+-，()()()()22cos 2cos cos 2cos x x f x f x x x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，①正确； 令cos t x =在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，()()22211y f t t t t ==+=+-在[]1,1t ∈-上递增，根据复合函数单调性可知()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数，②正确；()()211y f t t ==+-，[]1,1t ∈-，则1t =-时，最小值为-1，1t =时，最大值为3，④正确；令()()2110f t t =+-=得0t =或2t =-（舍去），即cos 0t x ==，则2()2x k k Z ππ=+∈，()f x 有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.故选：C.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．函数lg(2)y x =-的定义域是______． 【答案】(,2)-∞ 【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞．12．已知函数()()3,0,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.【答案】12【解析】由对数函数性质知333log 1log 2log 3<<，即30log 21<<，则3log 20-<故()()()331log 2log 21331log 2log 23322f f ---=-====. 故答案为：12. 13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．【答案】37[2,2],44k k k Z ++∈【解析】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈，故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈14．设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 【答案】34 725【解析】∵α是第一象限角，3sin 5α=，∴4cos 5α==，∴sin 35tan cos 4534ααα===. ∴2237cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：34，725.15．某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t bωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C；图中曲线对应的函数解析式是________.【答案】20 310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 【解析】由图可知，这段时间的最大温差是30°C -10°C=20°C ；图中从6~14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，得1(3010)102A =-=，1(3010)202b =+=，因为121462πω⋅=-，所以8πω=，从而得10sin 208y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将6x =，10y =代入，得10sin 620108ϕπ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于2ϕπ<<π，可得34πϕ=. 故所求解析式为310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 故答案为：20；310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[6,14]x ∈. 16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336b a ==，则12a b+=____，2=ab _____．【答案】 【解析】由题意知2log 6,336ba ==，可得33log 362log 6b ==，所以66231121log 2,log 3log 6log 6a b ====， 所以66612log 2log 3log (23)1a b +=+=⨯=，又由2223log 61log 3log 2log 62a b ===，所以log 22ab ==故答案为：1.17．设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】1 [0] 【解析】当a =1时，当0x ≤时，2()(1)1f x x =-≥，当0x >时，1()f x x x =+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立.所以()f x 的最小值为1.当0x ≤时，2()f x a ≥，即22()x a a -≥，即(2)0x x a -≥恒成立，所以2x a -0≤恒成立，即2a x ≥恒成立，所以20a ≥，即0a ≥. 当0x >时，2()f x a ≥，即21x a x +≥恒成立，因为1x x+2≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以22a ≤，所以a ≤≤综上所述：a的取值范围是. 故答案为：1；三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知，() （1）当时，若和均为真命题，求的取值范围： （2）若和的充分不必要条件，求的取值范围．:p 1<:q 2221x x a -<-0a >2a =p q x p q a【答案】（1）；（2）． 【解析】对于命题，所以，解得， 对于命题因为，所以解得， （1）当时，因为和均为真命题，所以，解得，故的取值范围为； （2）因为是的充分不必要条件，所以 ，即，解得，故的取值范围为.结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．19.已知函数，先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）当时，求函数的值域；（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）单调递增区间为和. 【解析】（1）当时，，，[2,3)[2,)+∞:p 1<20log (1)1x ≤-<23x ≤<:q 2221x x a -<-22210x x a -+-<11a x a -<<+2a =:13q x -<<p q 2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩23x ≤<x [2,3)p q [2,3)(1,1)a a -+1213a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥a [2,)+∞p q q p p q p q p q p q p q q p ()4sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 12π()g x 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x [0,2]π4⎡⎤-⎣⎦70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦583,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 332x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.（2）由题意得，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到.令，，解得，，函数的单调递增区间为. 又，故所求单调递增区间为和. 20.已知函数. （1）求函数的单调增区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意，函数，令，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由，可得， 因为，可得，所以， ()[f x ∴∈-()f x 12π4sin 31212f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()4sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭32222122k x k πππππ-+-+k ∈Z 5474183183k k xππππ-++k ∈Z ∴()g x 5474,()183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z [0,2]x π70,18π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1931,1818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()2sin cos 2f x x x x =+()f x ()035f x =0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈410()2sin cos 2f x x x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π222,232k x k k ππ-+π≤+≤+π∈Z 5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈()035f x =0π3sin 235x 0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦022,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦04cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭21．已知是定义在上的奇函数，且当时，（为常数）.（1）当时，求的解析式； （2）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1），；（2）. 【解析】 （1）是定义在上的奇函数，且当时，，，解得，当时，. 则当时，，， ，. （2）由（1）知，当时，， 可化为， 整理得.令，根据指数函数的单调性可得，在是增函数. ，又关于x 的方程在上有解，故实数m 的取值范围是.22．已知函数，．（Ⅰ）解不等式；00cos 2cos 233x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦00cos 2cos sin 2sin 3333x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43xxf x a =+⋅a [3,0)x ∈-()f x 1()23xxf x m --=⋅+[2,1]--11()34x x f x =-[3,0)x ∈-17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x [3,3]-[0,3]x ∈()43x x f x a =+⋅00(0)4310f a a ∴=+⋅=+=1a =-[0,3]x ∈()43xxf x =-[3,0)x ∈-(0,3]x -∈11()43()43x x x x f x f x --∴-=-=-=-11()34x xf x ∴=-[3,0)x ∈-[2,1]x ∈--11()34x xf x =-1()23x x f x m --∴=⋅+1112334x xx xm ---=⋅+12223xxm ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12()223xxg x ⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x [2,1]--17()52g x ∴-≤≤-1()23x x f x m --=⋅+[2,1]--17,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()22f x x x =+()24g x ax a =+()()f x g x ≥（Ⅱ）用表示，中的较大值，当时，求函数的最小值．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值为0． 【解析】（Ⅰ）由，得，即．当时，解不等式可得：或；当时，不等式可化为，显然恒成立，所以解集为； 当时，解不等式可得：或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当或时，是开口向上的二次函数，且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以；当时，． 综上，的最小值为0．2021——2022学年杭州市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（三）第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选{}max ,p a p q 0a >()()(){}max ,H x f x g x =()()f x g x ≥()22240x a x a +--≥()()220x x a +-≥1a <-2x a ≤2x ≥-1a =-()220x +≥R 1a >-2x -≤2x a ≥1a <-(][),22,a -∞⋃-+∞1a =-R 1a >-(][),22,a -∞-⋃+∞()(][)()22,,22,24,2,2x x x a H x ax a x a ⎧+∈-∞-⋃+∞⎪=⎨+∈-⎪⎩2x -≤2x a ≥()22H x x x =+1x =-()22H x x x =+(],2-∞-[)2,a +∞()20H -=()()2244410H a a a a a =+=+>()min 0H x =22x a -<<()()24220H x ax a a x =+=+>()H x项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,12．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．4．设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<5．已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．50-B．50C．50-D．506．函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,47．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法：①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8B ．6C ．4D ．29．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）．A ．[]3,3-B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞ D ．(][),44,-∞-⋃+∞第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.12．设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示） 13．某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________．14．设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______．15．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.16．已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.17．已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．函数是奇函数． 求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．()22xx af x =-()1()f x ()2()0,x ∈+∞()24x f x m ->⋅+19．已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.20．已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值.22．设函数()()21x xa t f x a --=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）． A ．{}1,2 B ．{}0 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．若偶函数在区间上是增函数，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数为偶函数,则.又函数在区间上是增函数. 则，即 ()f x (]1-∞-，3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭()f x ()()22f f =-()f x (]1-∞-，()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭。
浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
浙江杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设全集，集合，则（ ） {}0,1,2,3,4U ={}12A x U x =∈-<U A =ðA ． B ．C ．D ．{}13x x -<<{}13x x -≤≤{}3,4{}0,1,2【答案】C【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解 A 【详解】由可得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<因为全集，所以， {}0,1,2,3,4U ={}{}12{|13}0,1,2A x U x x U x =∈-<=∈-<<=所以. {}3,4U A =ð故选：C.2．命题“，”的否定是（ ） 0x ∀>2230x x ++>A ．， B ．， 0x ∀>2230x x ++<0x ∃>2230x x ++≤C ．， D ．，0x ∃<2230x x ++<0x ∀>2230x x ++≤【答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定即可得到结果.【详解】因为命题为全称命题，则其否定为: ，. 0x ∃>2230x x ++≤故选:B3．不等式的解集为（ ）2210x x +-<A ．B ．或C ．D ．或112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12x x ⎧<-⎨⎩}1x >112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{1x x <-12x ⎫>⎬⎭【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由， 2210x x +-<即，得， ()()2110x x -+<112x -<<所以不等式的解集为. 2210x x +-<112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：C.4．已知，，则（ ）π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭2sin 2cos 21αα=+tan α=A ．B ．C ．D 131214【答案】B【分析】根据题意，由二倍角公式化简，即可得到结果.【详解】因为，则，且，则，2sin 2cos 21αα=+24sin cos 2cos ααα=π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭cos 0α≠12sin cos tan 2ααα=⇒=故选:B5．已知幂函数在上是减函数，则n 的值为（ ）()()22222nnf x n n x-=+-⋅()0,∞+A ． B ．1C ．3D ．1或3-3-【答案】B【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的3n =-1n =()0,∞+条件.【详解】因为函数是幂函数，则， ()f x 2221+-=n n 所以或.3n =-1n =当时，在上是增函数，不合题意.3n =-()15f x x =()0,∞+当时在上是减函数，成立.1n =()1f x x -=()0,∞+故选：B.6．若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ） ()f x ()0,∞+()30f -=()0xf x <A ． B ． C ． D ．()()3,01,-+∞ ()(),30,3-∞-⋃()(),33,-∞-+∞ ()()3,00,3- 【答案】D【分析】先根据函数为奇函数求得且在上是增函数，进而根据得()30f =()f x (),0∞-()0x f x ⋅<出且或且，最后取并集． 0x <()0f x >0x >()0f x <【详解】解：函数为奇函数， ()f x ，，()()330f f ∴-=-=()30f ∴=函数在上是增函数，函数在上是增函数，()0,∞+∴(),0∞-所以当或时，当或时，3x >30x -<<()0f x >3x <-03x <<()0f x <对于，∴()0x f x ⋅<则或，()00x f x <⎧⎨>⎩()00x f x >⎧⎨<⎩解得或30x -<<03x <<的取值范围是．x ∴()()3,00,3- 故选：D ．7．已知函数关于对称，当时，恒成立，设()f x 1x =121x x <<()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3c f =A ． B ．C ．D ．b ac <<c b a <<b<c<a a b c <<【答案】A【分析】由条件关于对称可得，再判断函数的单调性，利用单调性比较()f x 1x =1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小即可.【详解】因为函数关于对称， ()f x 1x =所以函数的图象关于对称， ()1f x +0x =即函数为偶函数， ()1f x +所以，()()11f x f x +=-+所以，1522f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为当时，恒成立， 121x x <<()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦所以函数在上单调递增， ()f x ()1+∞，又，所以， 35322<<()35322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， b a c <<故选：A.8．若，，且，则的最小值为（ ） 0x >0y >11112x x y+=++42x y +A ．4B ．C ．D ．1+4+【答案】C【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再1,2x a x y b +=+=111a b+=()411a b a -+-+结合基本不等式可求最小值.【详解】设，则，且，1,2x a x y b +=+=1,21x a y b a =-=-+0,0a b >>题目转化为已知，求的最小值， 111a b+=()411a b a -+-+即，()4241133x y a b a a b +=-+-+=+-而， ()11333444a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当，即时等式成立. 3a b b a =1a b ==所以. 4233431x y a b +=+-≥+-=+故选：C.二、多选题9．将函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数的图象，若函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x ()g x 为奇函数，则φ的可能值为（ ） A ． B ．C ．D ．12π-6π512π23π【答案】AC【分析】先由平移变换得到，再根据函数为奇函数，由()226g x x πϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()g x 求解.2,Z 6k k πϕπ--=∈【详解】解：函数图象向右平移φ个单位长度后得到函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，()()22266g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数为奇函数， ()g x 所以，解得， 2,Z 6k k πϕπ--=∈,Z 212k k ππϕ=--∈所以φ的可能值为或， 12π-512π故选：AC10．已知实数a ，b 满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） 1a b >>A ． B ．C ．D ．23ab b >11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭log 1b a >【答案】ABD【分析】A.利用不等式的基本性质判断；B.利用作差法判断；C.利用在上递减判12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞断；D.利用对数函数的单调性判断.【详解】对于A ，因为实数a ，b 满足， 1a b >>所以，则，故A 正确； 21b >23ab b >对于B ，由可得，所以，故B 正确； 1a b >>1ab >()11110a b a b a b ab ⎛⎫+--=--> ⎪⎝⎭对于C ，由在上递减，所以，故C 错误；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，由在上递增，所以，故D 正确， log b y x =()0,∞+log log 1b b a b >=故选：ABD11．狄里克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于1837年提出函数是x 与y 之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄里克雷函数”为，下列叙述中正确的是（ ）()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数A ．是偶函数B ．C ．D ．()D x ()()2D x D x +=(()D x D x =()()1D D x =【答案】ABD【分析】A. 分x 是有理数和x 是无理数讨论求解判断；B. 分x 是有理数和x 是无理数讨论求解判断；C.由 D. 分x 是有理数和无理数讨论求解判断.x =【详解】A. 当x 是有理数，则-x 是有理数，当x 是无理数，则-x 是无理数，所以，()()D x D x -=则是偶函数，故正确；()D x B. 当x 是有理数，则x +2有理数，当x 是无理数，则x +2是无理数，所以，故正()()2D x D x +=确；C.当 ， ，故错误；x =(()01D x D +==()(0D x D ==D. 当x 是有理数时，，当x 是无理数时，，故正确， ()()()11D D x D ==()()()01D D x D ==故选：ABD12．已知函数，若关于x 的方程有5个不同的224,0()21,0x x x x f x x -⎧+<=⎨-≥⎩()()244230f x a f x a -⋅++=实根，则实数a 的取值可以为（ ）A ．B ．C ．D ． 76-1712-54-3730-【答案】ABCD【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根()f x ()f x 的分布列出不等式求解即可．【详解】作出函数的图象如下：224,0()21,0x x x xf x x -⎧+<=⎨-≥⎩因为关于的方程有5个不同的实根， x 24()4()230f x a f x a -⋅++=令，则方程有2个不同的实根， ()t f x =244230t at a -++=12,t t 则，解得或， 21616(23)0a a ∆=-+>1a <-3a >若，则或， 12t t <12210t t -<≤-<<1210t t -<<=令，2()4423g t t at a =-++或， ()()()21910017600230g a g a g a ⎧-=+>⎪∴-=+≤⎨⎪=+>⎩230a +=解得，得；()()()21910017600230g a g a g a ⎧-=+>⎪-=+≤⎨⎪=+>⎩3726a -<≤-当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去； 230a +=32a =-2460t t +=20t =132t =-综上可得. 3726a -<≤-故选：ABCD.三、填空题13．已知，则的最小值是______________．0x >14x x+【答案】4【分析】利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为，0x >所以，144x x +≥=当且仅当，即时等号成立，14x x =12x =所以的最小值为，14x x+4故答案为：. 414______________．=【答案】4-【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.. ()2sin 10302sin 20411sin 20sin 2022︒-︒-︒===-︒︒故答案为：.4-15．若，则函数在上的值域是______________．()221x f x x =+[]0,1x ∈【答案】[]0,1【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.[]0,1【详解】， ()()()()222141222214111x x x f x x x x x +-++===++-+++任取，，且，1x []20,1x ∈12x x <则， ()()()()()()221212121222111222201111x x x x x x x x f x x x x x f x -++-=<+-+=++所以，()()12f x f x <所以函数在上单调递增， ()f x []0,1则，， ()()min 00f x f ==()()max 11f x f ==所以函数在上的值域是. []0,1x ∈[]0,1故答案为：.[]0,116．定义在R 上的单调函数满足：，若()f u ()()()f u v f u f v +=+在上有零点，则a 的取值范围是______________()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-()π,0-【答案】4a ≤-【分析】利用是奇函数且在R 上的单调，转化为在上有解，()f u 2sin sin cos 3a u u u =--+()π,0-再进行参数分离求解即可.【详解】令,则,则； 0u v ==(0)2(0)f f =(0)0f =再令,则有v u =-，且定义域为R . ()()()0f u u f u f u -=+-=()f x 是奇函数.()f x ∴在上有零点.()()()2sin sin cos 3F u f a u f u u =++-()π,0-在上有解；()()2sin sin cos 30f a u f u u ∴++-=()π,0-在上有解； ()()()22sin sin cos 3sin cos 3f a u f u u f u u ∴=-+-=--+()π,0-又∵函数是R 上的单调函数,()f x 在上有解. 2sin sin cos 3a u u u ∴=--+()π,0-，；()π,0u ∈- sin 0;u ∴≠；22sin cos 3sin sin 22sin 1sin sin sin u u u u a u u u u --+-++∴===+-令, [)sin ,1,0t u t =∈-则； 21a t t=+-在上单调递减, 2y t t=+[)1,0-，.3y ∴≤-4a ≤-故答案为：.4a ≤-四、解答题 17．计算：(1))()10211610.259-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)．25lg 42lg 5log 5log 8lg10++⨯+【答案】(1)23-(2) 6【分析】（1）利用有理数指数幂运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可.【详解】（1）原式 4214333=--+=-（2）原式2lg 5lg8lg 4lg 51lg 2lg 5=++⨯+3222log 813log 26=++=+=18．已知．()2ππ22sin 1224f x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的周期；()f x (2)求在区间上的最小值；()f x 3π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1) π(2) 3-【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再结合周期的公式求解即可； ()f x （2）利用三角函数的图象及性质求解即可.【详解】（1），()2ππππ22sin 2cos 2112241212f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，()πππ2sin 212sin 211264f x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由，3π3π,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，所以，3π3π2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π7π5π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当，[]π24sin 1,1x ⎛⎫- ⎪⎝∈-⎭则，[]π2sin 213,14x ⎛⎫---∈- ⎪⎝⎭即在区间上的最小值为.()f x 3π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3-19．已知集合，．{}2340A x x x =--<{}2B x a x a =<<+(1)若时，求，；2a =-A B ⋃()U A B ⋂ð(2)若是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． x B ∈x A ∈【答案】(1)；； {}24A B x x ⋃=-<<(){}R 21A B x x ⋂=-<≤-ð(2) []1,2-【分析】（1）解二次不等式化简集合A ，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即得； 2a =-B （2）由题设条件得到是A 的真子集，列不等式组即可求得结果. B 【详解】（1）因为，所以，2a =-{}{}220B x a x a x x =<<+=-<<又因为，{}{}234014A x x x x x =--<=-<<所以，或， {}24A B x x ⋃=-<<{R 1A x x =≤-ð}4x ≥故；(){}R 21A B x x ⋂=-<≤-ð（2）因为是的充分不必要条件，所以是A 的真子集， x B ∈x A ∈B 因为，{}2B x a x a =<<+≠∅所以或，124a a ≥-⎧⎨+<⎩124a a >-⎧⎨+≤⎩解得， 12a -≤≤所以.[]1,2a ∈-20．如图所示，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．(1)试确定点P 距离地面的高度h （单位：m ）关于旋转时间t （单位：min ）的函数关系式； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70m ？【答案】(1)π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)min 43【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min 内转过的角度为，OP t π2t 再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，可得，即可求得结果. π5040cos 702h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>()2244Z 33k t k k -++∈<<【详解】（1）建立如题所示的平面直角坐标系，根据题意可得在 min 内转过的角度为， OP t 2ππ42t t =设为点在时间内转过的角度，所以； αP t π2t α=以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为， x 1OP 1OP ππ22t +因此点的纵坐标为， 1P ππ40sin 22t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为， ππ5040sin 22h t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭化简得 π5040cos 2h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）当时， π5040cos 702h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>解得， ()2244Z 33k t k k -++∈<<又在一圈内，所以符合题意i 的时间段为或， 04t ≤≤203t ≤<1043t <≤即在摩天轮转动一圈内，有min 点距离地面超过70m. 43P 21．已知是偶函数，是奇函数．()()ln e 1x f x mx =++()e e x x g x n -=-(1)求，的值；m n (2)用定义证明的在上单调递增；()g x (),-∞+∞(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．()()()g f x g a x >-[)1,+∞a【答案】(1)， 12m =-1n =(2)证明见解析(3) ()1ln 1e 2⎪-+⎛⎫ ⎝∞+⎭,【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；m n （2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数()()()g f x g a x >-[)1,+∞a 的取值范围．【详解】（1）解：因为是偶函数，()()ln e 1x f x mx =++所以，即，()()f x f x -=()()0f x f x --=则，即，()()ln e 1ln e 10x x mx mx -+--+-=()()ln e 12ln e 10x x x mx +---+=所以，即，解得． ()210m x --=210m --=12m =-若是奇函数，()e e x x g x n -=-又定义域为，则，即，解得；()e e x x g x n -=-(),-∞+∞()00g =10n -=1n =此时，则，符合题意； ()e e x x g x -=-()()()e e e e x x x x g x g x ---=-=--=-（2）设任意的且，12,R x x ∈12x x <则 ()()()1122112212e e e e e e e e x x x x x x x x g x g x -----=----+=- 12121e e e1e x x x x +--= ()1212e e e 1e 1x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝-⎭= ()211212e e e e e ex x x x x x --=-， ()()1212121212e e e e e e e e e 11e 1x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭+⎝--⎭+因为，所以，所以，则，12x x <120e e x x <<12e e 0x x -<()()120g x g x -<所以，()()12g x g x <即的在上单调递增.()g x (),-∞+∞（3）解：由（2）知单调递增，()g x 则不等式在上恒成立，()()()g f x g a x >-[)1,+∞等价于在上恒成立，()f x a x >-[)1,∞＋即在上恒成立， ()1ln e 12x x a x +->-[)1,+∞则， ()1ln e 12x a x <++设，，因为、、在定义域上单调递增， ()()1ln e 12x m x x =++[)1,x ∞∈+e 1x y =+ln y x =12y x =所以在上单调递增，()m x [)1,+∞∴， ()()()11ln 1e 2m x m ≥=++则， ()1ln 1e 2a <++所以实数的取值范围是． a ()1ln 1e 2⎪-+⎛⎫ ⎝∞+⎭,22．如图，已知△ABC 中，，，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做10AB AC ==16BC =BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为（如图阴影部分），设，的面积为，ΩBP x =Ω()S xΩ的周长为．()L x(1)求和的解析式；()S x ()L x (2)记，求的最大值．()()()S x F x L x =()F x 【答案】(1)，； ()223,08831248,8168x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩()3,08312,8162x x L x x x <≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩(2)的最大值为．()F x 12-【分析】（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长； 08x <≤816x <≤（2）求出，分，两种情况，求出每种情况下的最大值即可.()F x 08x <≤816x <≤【详解】（1）设垂线l 与相交于点，,AB AC M 作△ABC 的高AD ，，，则，10AB AC ==16BC =6AD =当，，所以，，，08x <≤~ABD MBP A A 54MB x =3=4PM x 21133()2248S x BP MP x x x =⋅=⋅=. 35()++344L x x x x x ==当，，所以，816x <≤~ADC MPC A A 3=(16)4PM x -510(16)4AM x =--， 2213()616(1683824218)S x x x x -==⨯---⨯+； 533()1010(16)(16)12442x L x x x x ⎡⎤=++--+-=+⎢⎥⎣⎦所以， ()223,08831248,8168x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩； ()3,08312,8162x x L x x x <≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）当时，，的最大值． 08x <≤()1()1()8S x F x x L x ==≤()F x 1当时，， 816x <≤22()3963821296432128(4))3(S x x x x x F L x x x x +-+-+-==+-= ()()222488888448131281()44x x x x F x x x ++++=-⨯=--+-+⨯()()1481448()84812484F x x x ⎣-⎡⎤=-++≤-=⎥+-⎢⎦当且仅当时等号成立；有最大值，8x =()Fx 12-又，121->故的最大值为．()F x 12-。
杭州市高一上学期数学期末考试试卷(I)卷(考试)
杭州市高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）对于函数f（x）=asinx+bx3+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f （﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A . 4和6B . 3和2C . 2和4D . 3和52. （2分）(2020·淮南模拟) 函数零点的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）已知，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高三上·广东月考) 若集合，，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·石嘴山期中) 设函数满足对任意的都有且，则（）A . 2011B . 2010C . 4020D . 40226. （2分） (2019高一上·长春期中) 已知幂函数的图象过点，则此幂函数（）A . 过点B . 是奇函数C . 过点D . 在上单调递增7. （2分） (2019高一上·哈尔滨期中) 对于，下列说法中，正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则8. （2分） (2016高一上·金台期中) 设a=log36，a=log510，a=log714，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . c＞a＞bD . c＞b＞a9. （2分）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为（）A . (－∞，－2]∪(0,2]B . [－2,0]∪[2，＋∞)C . (－∞，－2]∪[2，＋∞)D . [－2,0)∪(0,2]10. （2分）若α=﹣3 rad，则它是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角11. （2分） (2019高一上·哈尔滨期中) 已知函数 ,则方程的实数根的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 512. （2分） (2018高二下·鸡西期末) 若函数恰有三个零点,则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一上·重庆期末) 计算：log3 +lg4+lg25+（﹣）0=________．14. （2分） (2019高一上·丹东月考) 若且，则 ________，；则________．15. （1分） (2016高一上·沭阳期中) 已知函数f（x）= ，则f[f（1）]=________16. （1分）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=， x＞2}，则∁UP=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2019高一上·武功月考) 已知集合，集合 ,求：（1） ;（2）（3）．18. （5分）若指数函数f（x）的图象经过点（﹣1，3），求满足不等式1≤f（x）≤27的x的取值范围．19. （5分） (2017高一上·保定期末) 化简．20. （10分） (2018高一上·黑龙江期末) 已知角的终边经过点 .（1）求的值；（2）求的值.21. （10分） (2018高二上·海口期中) 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；22. （15分） (2017高一上·中山月考) 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略18-1、19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）1.设全集，集合，则（ ）{}1,2,3U ={}1,2A =U A =ðA. B.C.D.3{}3{}0,3{}0,1【答案】B 【解析】【分析】根据补集的定义可求出集合.U A ð【详解】全集，集合，.{}1,2,3U ={}1,2A ={}3U A ∴=ð故选：B.【点睛】本题考查补集的计算，熟悉补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2.（）sin 240︒=A. B.D.1212-【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式可直接求得结果.【详解】()sin 240sin 18060sin 60=+=-= 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.3.函数（且）的图象过定点（ ）()12x f x a -=+0a >1a ≠A.B.C.D.()1,3()0,3()1,2()0,2【答案】A 【解析】【分析】令指数为零，求出的值，再将的值代入函数解析式，即可求出定点的坐标.x x 【详解】令，得，，故所求定点坐标为.10x -=1x =()0123f a =+= ()1,3故选：A.【点睛】本题考查指数型函数图象过定点问题，一般利用指数为零来求得，考查计算能力，属于基础题.4.已知a ＞1，函数y =a x 与y =log a （-x ）的图象只可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据是增函数，函数的定义域为，且在定义域内为减函数，利x y a =()log a y x =-(),0-∞用排除法即可得结果．【详解】因为，所以函数是增函数，排除选项； 1a >xy a =,C D 而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，排除，()log a y x =-(),0-∞A 故选B ．【点睛】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A.B. C. D.2log y x=3y x x=+3xy =1y x=-【答案】B 【解析】【分析】逐一判断各选项中函数的奇偶性及单调性，可得出结论.【详解】对于A 选项，令，定义域为，()2log f x x={}0x x ≠，该函数为偶函数，当时，，()()22log log f x x x f x -=-==0x >()2log f x x=所以，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；()2log f x x=()0,∞+(),0-∞对于B 选项，令，定义域为，，()3g x x x=+R ()()()()33g x x x x x g x -=-+-=--=-该函数为奇函数，由于函数和均为上的增函数，31y x =2y x =R 所以，函数为上的增函数；()3g x x x=+R 对于C 选项，函数为非奇非偶函数，且在上为增函数；3xy =R 对于D 选项，函数是定义域为，该函数为奇函数，且在定义域上不单调.1y x =-{}0x x ≠故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性和奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.6.已知∈（0，π），tan =-2，则cos =（ ）αααB.D.【答案】B 【解析】【分析】根据的范围，且tan 的值小于0，得到为钝角，利用可求出cosααα2211tan cos αα+=的值．α【详解】因为∈（0，π），tan =-2，所以为钝角，ααα而，2222222sin sin cos 11tan 1cos cos cos ααααααα++=+==所以cos =．α=故选：B ．【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．7.对于函数，的图象、有如下结论：①向右平移个单位后sin y x =cos y x =-1C 2C 1C 2π与重合；②、关于直线对称；③、关于直线对称.则正确的结2C 1C 2C 4x π=1C 2C 4πx =-论是（ ）A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】【分析】根据图象平移变换可判断命题①的正误；根据两函数图象的对称性与解析式之间的关系可判断命题②③的正误.进而可得出结论.【详解】因为，所以，向右平移个单位后与重合，①正确；sin cos 2x xπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1C 2π2C 图象关于直线对称的图象对应的函数的解析式为1:sin C y x =4x π=2C ，②错误；sin cos 2y x xπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于直线对称的图象对应的函数的解析式为1:sin C y x =4πx =-2C，③正确.sin sin cos 22y x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象平移变换，同时也考查了两个函数之间的对称性与解析式之间的关系，考查推理能力，属于中等题.8.函数的定义域是（）y =A. B.5522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭55,1212x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C.D.2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意得出，然后利用余弦函数的图象解此不等式即可.1cos 22x ≥-【详解】由题意可得12cos 210cos 22x x +≥⇒≥-，()2222233k x k k Z ππππ⇒-≤≤+∈解得.()33k x k k Z ππππ-≤≤+∈故选：D.【点睛】本题考查三角函数定义域的求解，解题时要熟悉三角函数图象，考查计算能力，属于中等题.9.三个数、、的大小关系是（ ）log 0.3π3log π0.3π-A.B.0.33log 0.3log πππ-<<0.33log 0.3log πππ-<<C.D.0.33log 0.3log πππ-<<0.33log log 0.3πππ-<<【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较题干中三个数与和的大小关系，进而可得出这三01个数的大小关系.【详解】对数函数为增函数，所以，；log y x π=log 0.3log 10ππ<=对数函数为增函数，所以，；3log y x =33log log 31π>=指数函数为增函数，所以，.x y π=0.3001ππ-<<=因此，.0.33log 0.3log πππ-<<故选：A.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般要利用指数函数和对数函数的单调性并结合中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.10.函数的零点个数是( )2()2x f x x =-A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】令，得出，将函数的零点个数转化为函数与函数()0f x =22x x =()y f x =2x y =图象的交点个数，利用数形结合思想可得解.2y x =【详解】令，得出，()0f x =22x x =则函数的零点个数转等于函数与函数图象的交点个数，()y f x =2x y =2y x =如下图所示：函数与函数的图象有个交点，因此，函数的零点个数是.2x y =2y x =3()22x f x x =-3故选：C.【点睛】本题考查函数零点个数的求解，常用代数法与图象法来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）128A. B. C. 或 D. 或141424【答案】C 【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则r l 121282l r S lr +===，，∴解得 或28r l ==，44r l ==，41lr α==或，故选C ．12.已知，，则（用p ，q 表示）等于（ ）4log 3p =3log 25q =lg5A. B. C. D. pq p q+p q pq+1pq p q++1pq pq+【答案】D 【解析】,4333311log 3,log 4log 2,log 25log 522q p q p p =∴=⇒==⇒= 则()3333333log 5log 5log 52lg51log 10log 25log 2log 5122q pqq pq p =====⨯+++选D13.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若()sin 2f x x =(02πϕϕ<<()g x 对满足的，，有，则（ ）12()()2f xg x -=ϕ=A. B. C. D. 512π3π4π6π【答案】D 【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.14.已知，在函数图象上存在一点，使()()2514f x x k x =+++sin y x =()00,x y ，则实数的取值范围是（ ）()()00f f y y =kA. B. C.D.3,3k k ≤-≥k k ≤≥135,44k k ≤-≥99,44k k ≤-≥【答案】D 【解析】【分析】由题意知，分两种情况讨论：（1）；（2）.利用参变量[]01,1y ∈-()00f y y ≠()00f y y =分离法转化为两个函数图象有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.k 【详解】在函数图象上存在一点，使，则.sin y x =()00,x y ()()00f f y y =[]01,1y ∈-①若，则关于的方程在上无解，()00f y y ≠x ()2514x k x x +++=[]1,1x ∈-即关于的方程在上无解.x 2504x kx ++=[]1,1x ∈-显然不满足方程，由，得，0x =2504x kx ++=2504x kx ++=54k x x -=+作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：y k =-54y x x =+[)(]1,00,1-由图象可知，当时，即当时，方程在上9944k -<-<9944k -<<2504x kx ++=[]1,1x ∈-无解.设，由可得，即，()01f y y =()()00f f y y =()()0110fy y f y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()20012110514514y k y y y k y y ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩两式相减得，()()()()()010101011y y y y k y y y y -+++-=--，所以，，即，01y y ≠ 0120y y k +++=()()200091104y y k y +++++=显然，不满足等式，01y =-()()200091104y y k y +++++=当时，参变量分离得，令，(]01,1y ∈-()()009141k y y -=+++(]010,2t y =+∈则函数与函数在上的图象有交点，如下图所示：y k =-94y t t =+(]0,2如上图所示，当时，即当时，3k -≥3k ≤-此时，函数与函数在上的图象有交点.y k =-94y t t =+(]0,2由于，这样的实数不存在；9944k -<<k ②若，则成立，()00f y y =()()()000f f y f y y ==所以，关于的方程在上有解，x 2504x kx ++=[]1,1x ∈-显然不满足方程，由，得，0x =2504x kx ++=2504x kx ++=54k x x -=+作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：y k =-54y x x =+[)(]1,00,1-由图象可知，当或时，即当或时，方程在94k -≤-94k -≥94k ≤-94k ≥2504x kx ++=上有解.[]1,1x ∈-综上所述，或.94k ≤-94k ≥故选：D.【点睛】本题考查二阶不动点的问题，分析出是解题的关键，考查了分类讨论思()00f y y =想与数形结合思想的应用，属于难题.15.________弧度，它是第________象限角.135-=【答案】 (1). (2). 三34π-【解析】【分析】利用角度与弧度的换算公式可将化为弧度，找到角在范围内终边相同135-135-0360的角，即可判断出该角所在的象限.【详解】弧度，，且角为第三象限31351351804ππ-=-⨯=-135215360-=- 215 角，故角为第三象限角.135-故答案为：；三.34π-【点睛】本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了角的象限的判断，考查推理能力与计算能力，属于基础题.16.方程的解集是________；不等式的解集是________.3x x =3x x >【答案】 (1). (2). {}1,0,1-()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】将方程变形为，即可得出方程的解集，将不等式变3x x =()()110x x x -+=3x x =3x x >形为，分和两种情况解不等式，即可得出()()110x x x -+<0x <0x >()()110x x x -+<不等式的解集.3x x >【详解】由得，解此方程得或，3x x =()()3110x x x x x -=-+=0x =±1因此，方程的解集是；3x x ={}1,0,1-由得.3x x >()()110x x x -+<若，则，解得或，此时，；0x <()()110x x -+>1x <-1x >1x <-若，则，解得，此时.0x >()()110x x -+<11x -<<01x <<综上所述，不等式的解集为.3x x >()(),10,1-∞-⋃故答案为：；.{}1,0,1-()(),10,1-∞-⋃【点睛】本题考查三次方程与不等式的求解，解题的关键就是对代数式因式分解，考查运算求解能力，属于基础题.17.已知集合，，则________；{}2430M x x x =-+<{}2,N y y x x M ==-∈N =________.M N = 【答案】 (1). (2). [)0,1∅【解析】【分析】求出集合，根据绝对值函数的性质可得出集合，再利用交集的定义可求出集合M N .M N ⋂【详解】，当时，，则{}()24301,3M x x x =-+<= ()1,3x ∈121x -<-<，[)20,1y x =-∈则，所以，.[)0,1N =M N ⋂=∅故答案为：；.[)0,1∅【点睛】本题考查交集的计算，同时也涉及了一元二次不等式与绝对值函数值域的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前年n ()f n n m 的平均产量最高的________.m =【答案】9【解析】【分析】由题意知，前年的年平均产量为，它表示的是点与原点连线m ()f m m ()(),M m f m ()0,0的斜率，观察图象，选择斜率最大的直线对应的值即为所求.m 【详解】由题意知，前年的年平均产量为，它表示的是点与原点m ()f m m ()(),M m f m 连线的斜率，由图象可知，当时，最大.()0,09m =()99f 故答案为：.9【点睛】本题考查函数图象的应用，将问题转化为直线的斜率是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19.已知函数，则满足不等式的范围是()()2212ln log 1f x x x =-+13log 1f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭x ________.【答案】()10,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 【解析】【分析】分析出函数是定义域为的偶函数，且在区间()()2212ln log 1f x x x =-+{}0x x ≠上为增函数，由得出，可得出，解此()0,∞+13log 1f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭()13log 1f x f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭13log 1x >不等式即可得出结果.【详解】函数的定义域为，()()2212ln log 1f x x x =-+{}0x x ≠，该函数为偶函数，()()()()()22221122ln log 1ln log 1f x x x x x f x ⎡⎤-=---+=-+=⎣⎦因为函数在区间上为增函数，函数在区间上为21ln y x =()0,∞+()212log 1y x =+()0,∞+减函数，所以，函数在区间上为增函数，且，()()2212ln log 1f x x x =-+()0,∞+()11f =若，即，即，可得，13log 1f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭()13log 1f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()13log 1f x f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭13log 1x >可得或者，解得或.13log 1x >13log 1x <-103x <<3x >故答案为：.()10,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，同时也考查了对数不等式的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.已知正实数、满足，（是自然对数的底数），则αβ3e e αα=()2ln 1e ββ+=e ________.αβ=【答案】2e 【解析】【分析】解法一：构造函数，，可知该函数在区间上为增函数，将题干中()xf x xe =0x >()0,∞+的等式变形为，可得出，由此可求出的值；()()ln f f e αβ=ln e αβ=αβ解法二：构造函数，，可知该函数在区间上为增函数，将题()ln f x x x=+0x >()0,∞+干中的等式变形为，可得出，由此可求出的值.()()ln f f e αβ=ln e αβ=αβ【详解】解法一：（指数式单调性）由题可知，+3e e αα=，()23ln 1ln e e e e ββββ+=⇒=构造函数，其中，任取，则，则，()xf x xe =0x >120x x >>120x x e e >>1212x x x e x e >所以，，则函数在区间上单调递增，()()12f x f x >()xf x xe =()0,∞+则，可得，故；()()ln f f e αβ=ln e αβ=2ln e e αβββ==解法二：（对数式单调性）在等式两边取自然对数得，+3e e αα=ln 3αα+=在等式两边取然对数得，则()2ln 1e ββ+=()ln ln ln 12ββ++=，()()ln 1ln ln 13ββ+++=构造函数，其中，由于函数和函数在区间上都()ln f x x x=+0x >1y x =2ln y x =()0,∞+是增函数，所以，函数在区间上单调递增，()ln f x x x=+()0,∞+则，可得，故.()()ln f f e αβ=ln e αβ=2ln e e αβββ==故答案为：.2e 【点睛】本题考查指对同构基本思想的应用，根据等式结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.对于函数.()()221xf x a a R =-∈+（1）证明：函数在区间上是增函数；()f x (),-∞+∞（2）是否存在实数使函数为奇函数？a ()f x 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且.1a =【解析】【分析】（1）设，然后通过作差判断和的大小关系即可；12x x <()1f x ()2f x （2）假设存在，利用奇函数的定义得出，求出实数的值，即可得出结()()0f x f x +-=a 论．【详解】（1）设、且，则1x 2x R ∈12x x <()()1212222121x x f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()1221122222221212121x x x x x x -=-=++++，，，，，即，12x x < 1222x x ∴<1210x +>2210x +>()()120f x f x ∴-<()()12f x f x <所以，函数在区间上是增函数；()y f x =(),-∞+∞（2）函数的定义域为，关于原点对称，()y f x =R 由于该函数为奇函数，则()()222121x xf x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得，()11122222220212121221x x x x x xa a a --⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+=-+=-= ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦1a =故当时，函数为奇函数.1a =()y f x =【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查增函数的定义，以及利用定义证明函数单调性的过程，考查推理能力，属于中等题.22.一种电器设备的电网每接通分钟后就断开分钟，如此循环往复.当电闸接通时用表示，111断开时用表示，于是电闸的状态是时间的函数，记为.0()y f x =（1）设时电闸接通，画出函数在上的图象，并写出它的解析式；[)0,1x ∈()y f x =[)0,6（2）写一个与（1）形式不同的函数的解析式.()y f x =【答案】（1），，图象见解析；（2）答案不唯一，见()[)[)1,2,210,21,22x k k f x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩k ∈N 解析.【解析】【分析】（1）根据题意可知当时，，当时，，且该函数是周期[)0,1x ∈()1f x =[)1,2x ∈()0f x =为的周期函数，据此可作出函数在上的图象，并得出该函数的解析式；2()y f x =[)0,6（2）根据函数解析式的特点可得出函数的其它不同形式的解析式.()y f x =()y f x =【详解】（1）题意可知当时，，当时，，且该函数是周[)0,1x ∈()1f x =[)1,2x ∈()0f x =期为的周期函数，函数在上的图象如下图所示：2()y f x =[)0,6函数的解析式为，；()y f x =()[)[)1,2,210,21,22x k k f x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩k ∈N （2），，其中表示不超过的最大整数；()()[]112x f x +-=0x ≥[]x x或者，，其中表示不超过的最大整数.()[]()1cos 2x f x π+=0x ≥[]x x 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，根据实际情况得出函数的解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.23.已知函数的部分图象如图所示.()()()cos 0,0,0f x A x Aωϕωϕπ=+>><<（1）求函数的解析式；()f x （2）设函数，且，()2log g x a x b =+()[]{}(),2,4,0,2y y g x x y y f x x π⎧⎫⎡⎤=∈==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭实数、的值.a b 【答案】（1）；（2）或.()22cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭35a b =⎧⎨=-⎩34a b =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）根据图象的最低点得出的值，计算出该函数的最小正周期，利用周期公式可计算A T 出的值，再将点代入函数的解析式，结合求出的值，由此ω()0,1-()y f x =0ϕπ<<ϕ可得出函数的解析式；()y f x =（2）求出函数在区间上的值域为，分、和三种情()y f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1-0a =0a <0a >况讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出函数的最大值和最()y g x =[]2,4()y g x =小值，由此可得出关于实数与的方程组，解出即可.a b【详解】（1）设函数的最小正周期为，由图象可知，，得，()y f x =T 2A ==44T πT π=，此时，，22T πω∴==()()2cos 2f x x ϕ=+将点代入函数的解析式得，得，()0,1-()y f x =()02cos 1f ϕ==-1cos 2ϕ=-，得，因此，；0ϕπ<< 23ϕπ=2()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）当时，，则，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2252,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦211cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以，函数在区间上的值域为.2()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1-①当时，，则；0a =()g x b =()[]{}(),2,4,0,2y y g x x y y f x x π⎧⎫⎡⎤=∈≠=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭②当时，函数在区间上单调递减，0a <()2log g x a x b=+[]2,4则，解得；()()()()min max 42221g x g a b g x g a b ⎧==+=-⎪⎨==+=⎪⎩34a b =-⎧⎨=⎩③当时，函数在区间上单调递增，0a >()2log g x a x b=+[]2,4则，解得.()()()()min max 22421g x g a b g x g a b ⎧==+=-⎪⎨==+=⎪⎩35a b =⎧⎨=-⎩综上所述，或.35a b =⎧⎨=-⎩34a b =-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，同时也考查了利用对数型函数的值域求参数，涉及余弦型函数在区间上值域的求解，解题的关键就是对实数的符号进行分类讨论，考查a 分析问题和解决问题的能力，属于中等题.24.设二次函数，，在区间上是增函数，()()2,f x x bx c b c =++∈R ()10f =()f x [)3,+∞且在区间上都有.[]1,5()0f x ≤（1）求、的值；b c（2）若，且，求的取值范围.()()f m f n =m n <m n +【答案】（1）；；（2）.6b =-5c =(]2,6【解析】【分析】（1）根据题意得出，即可解出实数、的值；()()103250f b f ⎧=⎪⎪-≤⎨⎪≤⎪⎩b c （2）作出函数的图象，可知，分和两种情况讨论，去()y f x =1m <()0f n ≥()0f n <绝对值，结合作差法与三角换元法可求出的取值范围.m n +【详解】（1）由题意可得，解得，；()()1103255250f b c b f b c ⎧=++=⎪⎪-≤⎨⎪=++≤⎪⎩6b =-5c =（2）由（1）知，作出函数的图象如下图所示：()()226534f x x x x =-+=--()y f x =由于，且，则.()()f m f n =m n <1m <①若，则，即，()0f n ≥()()f m f n =()()223434m n --=--即，解得；()()()()223360m n m n m n ---=-+-=6m n +=②若，则，整理得，()0f n <()()223443m n --=--()()22338m n -+-=设，可得，33m n θθ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩33m n θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩设，由于，得，得，02θπ≤<151n m <<⎧⎨<⎩13531θθ⎧<+<⎪⎨+<⎪⎩sin cos θθ⎧<<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得，此时，，3544ππθ<<)6sin cos 64sin 4m n πθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，则，所以，，3544ππθ<< 342πππθ<+<1sin 04πθ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭此时.26m n <+<综上，.(]2,6m n +∈【点睛】本题考查利用二次函数的基本性质求二次函数的解析式，同时也考查了利用二次函数值相等求参数的取值范围，涉及三角换元基本思想的应用，考查化归与转化思想的应用以及分类讨论思想，属于中等题.。
2019-2020年浙江省杭州市高一上册期末数学试卷(有答案)【精品版】
浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）4．（3分）函数f（）=log3+﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（）=|﹣a|，若对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N=，∁U M=．16．（3分）（）+（）=；log412﹣log43=．17．（3分）函数f（）=tan（2﹣）的最小正周期是；不等式f（）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（）和奇函数g（）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f（）•g（）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（）=+，g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（）=α（α∈R），且．（1）求函数f（）的解析式；（2）证明函数f（）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（）=2sin（ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（）的单调递增区间；（2）若关于的方程f（）+log2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4） C．（0，4） D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={∈R|2﹣4＜0}={|0＜＜4}，B={∈R|2＜8}={|＜3}，∴A∩B={|0＜＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（）=log3+﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（）=log3+﹣3，定义域为：＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3﹣2）≥0，即0＜3﹣2≤1，得＜≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2）+2是偶函数，∴设g（）=f（2）+2，则g（﹣）=f（﹣2）﹣2=g（）=f（2）+2，即f（﹣2）=f（2）+4，当=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣）=|sin（﹣）+cos（﹣）|+|sin（﹣）﹣cos（﹣）|=|﹣sin+cos|+|﹣sin ﹣cos|=|si+cos|+|sin﹣cos|=f（），则函数f（）是偶函数，∵f（+）=|sin（+）+cos（+）|+|sin（+）﹣cos（+）|=|cos﹣sin|+|cos+sin|=|sin+cos|+|sin﹣cos|=f（），∴函数f（）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2﹣）=cos（﹣2）=sin（2+）=sin[2（+）]，∴将函数y=sin2的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（）=，当f（）=时，当≥3或≤1时，由3﹣|﹣3|=，得|﹣3|=，即C=或G=，当f（）=时，当1＜＜3时，由2﹣3+3=，得E=，由图象知若f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为E﹣C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f（）=|﹣a|，若对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（0）≥m⇔m≤f（）ma，∈[1，4]．令u（）=﹣a，∵a＞0，∴函数u（）在∈[1，4]单调递减，∴u（）ma=u（1）=4﹣a，u（）min=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（）ma=4a﹣1≥15．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（）ma={4﹣a，4a﹣1}ma＞3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（）ma=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5} ，∁U M={1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）=3；log412﹣log43=1．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（）=tan（2﹣）的最小正周期是；不等式f（）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（）＞1得tan（2﹣）＞1，得+π＜2﹣＜+π，得+＜＜+，∈，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（）和奇函数g（）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f（）•g（）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（）=f（）g（），则h（﹣）=f（﹣）g（﹣）=﹣f（）g（）=﹣h（），∴h（）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜＜﹣2时，f（）＞0，g（）＜0，即h（）＞0，当0＜＜2时，f（）＜0，g（）＞0，即h（）＜0，∴h（）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1．【解答】解：∵∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜＜1﹣a时，y=ln（+a）＜0，当＞1﹣a时，y=ln（+a）＞0，又（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=a+2与y=ln（+a）均为定义域上的增函数，在∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2ln）≤0对∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（+a）的曲线与方程为y=a+2的直线相交于点A，即满足时，（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f（）=+，g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]的值为16．【解答】解：∵令t=f（），则y=g（）=f2（）﹣af（）+2a=t2﹣at+2a，∵g（）=f2（）﹣af（）+2a有四个不同的零点1，2，3，4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（1），f（2），f（3），f（4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（1）=f（2）=t1，f（3）=f（4）=t2，则[2﹣f（1）]•[2﹣f（2）]•[2﹣f（3）]•[2﹣f（4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（）=α（α∈R），且．（1）求函数f（）的解析式；（2）证明函数f（）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的2＞1≥0，则，∵，∴f（2）＞f（1），函数f（）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（）=2sin（ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（）的单调递增区间；（2）若关于的方程f（）+log2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，∈所以函数y=f（）的单调递增区间是得（∈），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2=﹣f（）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 m．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（）=1得或（2 分）解得=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（）=1得：（﹣1）|+1|﹣（﹣1）=0（﹣1）（|+1|﹣1）=0（3分）∴得=1或|+1|=1∴=1或=0或=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当≥a时，令2﹣（a+2）﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜1＜2，故当≥a时，f（）存在两个零点．（2分）当＜a时，令﹣2+a﹣3a=0，即2﹣a+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断3＜a＜4，故＜a时，f（）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴1+2+3∈（0，2）．（2分）。
2023-2024学年浙江省杭州市八县区高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州市八县区高一上册期末数学试题一、单选题1．集合{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4A B ==，则A B =ð（）A ．1,5,6B ．2,3,4C ．{}1,5,6D ．{}2,3,4【正确答案】C【分析】根据补集的知识求得正确答案.【详解】依题意A B =ð{}1,5,6.故选：C2．若,a b ∈R ，则“0a b >>”是“22a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】由不等式性质知0a b >>时，22a b >成立，充分性满足，但2,1a b =-=-时满足22a b >，不满足0a b >>，不必要．因此应为充分不必要条件．故选：A ．3．已知1cos 3α=-，3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A ．23B ．23-C ．3D ．3-【正确答案】D【分析】根据角的范围，确定sin α的符号.然后根据正余弦的关系，即可求出答案.【详解】因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α<.又1cos 3α=-，所以sin 3α=-.故选：D.4．函数y =）A ．[)1,+∞B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎤ ⎝⎦【正确答案】C【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.【详解】解：函数y =()0.534304log 4301x x x x ⎧->⎧>⎪⇒⎨⎨-≥⎩⎪≤⎩，解得314x <≤，故函数定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C.5．三个数112223,3,log 3-的大小关系是（）A ．1122233log 3-<<B ．112223log 33-<<C ．112223log 33-<<D ．11222log 333-<<【正确答案】B【分析】根据指数、对数的知识求得正确答案.【详解】111122221213133--===<<，由于5832<，所以8532<8522281log 2log 3log 2 1.65=<<==所以112223log 33-<<.故选：B6．某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2kg 的草莓，服务员先将1kg 的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A 使天平平衡；再将1kg 的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B 使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（）A ．等于2kgB ．小于2kgC ．大于2kgD ．不确定【正确答案】C【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案.【详解】设天平左臂长1x ，右臂长2x ，且12x x ≠，设草莓A 有1a kg ，草莓B 有2a 千克，所以11212211x a x x a x ⨯=⨯⎧⎨⨯=⨯⎩，所以121212122121,,2x x x x a a a a x x x x ==+=+>=.故选：C7．函数()()2f x x x a =-，若()()230f f ⋅<，则()()()1,2,3f f f -的大小关系是（）A ．()()()123f f f -<<B ．()()()213f f f <-<C ．()()()231f f f <<-D ．()()()321f f f <<-【正确答案】A【分析】根据零点的存在性定理可得23a <<，求出(1),(2),(3)f f f -，进而得(3)0f >，(1)0,(2)0f f -<<，利用作差法可得(1)(2)f f -<，即可求解.【详解】令2()()0f x x x a =-=，解得0x =或x a =，即函数的零点为0和a ，又(2)(3)0<f f ，由零点的存在性定理，得23a <<，(1)1,(2)84,(3)279f a f a f a -=--=-=-，所以(3)0f >，(1)0,(2)0f f -<<，又(1)(2)1(84)3100f f a a a --=----=-<，得(1)(2)f f -<，所以(1)(2)(3)-<<f f f .故选：A.8．定义在R 上函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，当0x >时，()2xf x x =⋅，则不等式()()2120f x f x ++-≥的解集是（）A ．[]1,3-B ．[]0,3C ．[]1,9D ．[]0,9【正确答案】D【分析】先根据定义判断()f x 在()0,∞+上单调递增以及函数为奇函数.则原不等式可化为()()221f x f x +≥-.进而根据函数的单调性，即可列出不等式221x x +≥-，求解不等式即可得出答案.【详解】12,0x x ∀>，且12x x <.则()()()()12112121212222222x x x x xf x f x x x x x x -=⋅-⋅=-⋅+⋅-，因为12x x <，20x >，所以1222x x <，所以12220x x -<，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.又()()0f x f x -+=，所以()f x 为奇函数.又0x >时，有()()00f x f >=，所以，0x <时，有()0f x <.由()()2120f x f x ++-≥可得，()()()21221f x f x f x +≥--=-.因为)22111x +=+≥，所以由()()221f x f x +≥-可得，221x x +≥-，整理可得30x -≤，即)130+≤，10>30≤，解得09x ≤≤.所以，不等式的解集为[]0,9.故选：D.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1B ．若α是第二象限角，则2α是第一象限角C ．x ∀∈R ，2450x x -+≥D ．命题：0x ∀>，ln 1x x ≤-的否定是：00x ∃>，00ln 1x x >-【正确答案】CD【分析】根据题意求出扇形的面积，即可判断A 项；由第二象限角的范围得出2α的范围，即可判断B 项；由()2245210x x x -+=-+≥可得C 项正确；写出全称量词命题的否定，即可判断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，扇形面积211222S =⨯⨯=，故A 项错误；对于B 项，由已知可得90360180360k k α+⋅<<+⋅ ，k ∈Z ，所以45180901802k k α+⋅<<+⋅，k ∈Z .当k 为偶数时，设2,k n n =∈Z ，则45360903602n n α+⋅<<+⋅o oo o ，n ∈Z ，则2α为第一象限角；当k 为奇数时，设21,k n n =+∈Z ，则2253602703602n n α+⋅<<+⋅o oo o ，n ∈Z ，则2α为第三象限角.综上所述，2α是第一象限角或第三象限角，故B 错误；对于C 项，因为()2245210x x x -+=-+≥在R 上恒成立，故C 项正确；对于D 项，命题：0x ∀>，ln 1x x ≤-的否定是：00x ∃>，00ln 1x x >-，故D 项正确.故选：CD.10．已知函数()sin cos f x x x =-，则（）A ．()f x 的值域为⎡⎣B ．点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心C ．()f x 在区间π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．若()f x 在区间[],a a -上是增函数，则a 的最大值为π4【正确答案】ABD【分析】由辅助公式得()π)4f x x =-，根据正弦函数的值域判断A ；用代入法验证B ；由π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得[]π0,π4x -∈，根据正弦函数的单调区间判断C ；由正弦函数在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得()f x 在π3π[,44-上单调递增，从而判断D.【详解】解：因为()πsin cos )4f x x x x =-=-，所以函数的值域为⎡⎣，故A 正确；又因为πππ)0444f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点π,04⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，故B 正确；当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]π0,π4x -∈，由正弦函数的性质可知函数在[]0,π不单调，故C 错误；由正弦函数的性质可知函数在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以由πππ242x -≤-≤，可得π3π44x -≤≤，即函数()π4f x x =-在π3π[,]44-上单调递增，又因为()f x 在区间[],a a -上是增函数，所以π4a ≤，即a 的最大值为π4，故D 正确.故选：ABD.11．已知函数()()()3222,log 2,2x f x x g x x x h x x x =+-=+-=+-的零点分别为,,a b c ，则有（）A ．1,0,1c a b =>>B ．b c a >>C ．2,1a b c +==D ．2,1a b c +<=【正确答案】ABC【分析】根据函数的单调性、零点存在性定理、对称性求得正确答案.【详解】()f x 在R 上递增，()()01,11f f =-=，所以01a <<.()g x 在()0,∞+上递增，()()11,21g g =-=，所以12b <<.()h x 在R 上递增，()10h =，所以1c =，则b c a >>，AB 选项正确.由()220xf x x =+-=得22x x =-+；由()2log 20g x x x =+-=得2log 2x x =-+；由2y x y x =⎧⎨=-+⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，由于2x y =与2log y x =关于直线y x =对称，y x =与2y x =-+相互垂直，所以212a b +=⨯=，C 选项正确，D 选项错误.故选：ABC12．已知()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，则（）A ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图象关于点()1,1中心对称B ．函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于y 轴对称C ．若()()1g x g x +=-，则函数()g x 是周期函数，其中一个周期2T =D ．若方程()()0x g f x -=有实数解，则()()f g x 不可能是21x x ++【正确答案】ACD【分析】根据函数的对称性、周期性、方程的根、图象变换等知识确定正确答案.【详解】A 选项，由()()112f x f x ++-=，得()()11110f x f x +-+-+-=，设()()11F x f x =+-，则()()0F x F x +-=，所以()F x 是奇函数，图象关于()0,0对称，所以根据函数图象变换的知识可知()f x 的图象关于点()1,1中心对称，A 选项正确.B 选项，()y f x =与()y f x =-的图象关于y 轴对称，所以()1y f x =-与()()()11y f x f x =--=-的图象关于直线1x =对称，B 选项错误.C 选项，()()()()2111g x g x g x g x +=++=-+=，所以()g x 是周期函数，其中一个周期2T =，C 选项正确.D 选项，设0x 是方程()()0x g f x -=的一个解，则()()000x g f x -=，所以()()00x g f x =，所以()()()()00f x f g f x =，令()0t f x =，则()()t f g t =，即方程()()x f g x =有解，当()()21f g x x x =++时，方程221,10x x x x =+++=无解，所以D 选项正确.故选：ACD三、填空题13．若函数()22,01,0x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则()()1f f -=__________．【正确答案】2【分析】根据解析式可得()11f -=，再求(1)f 即可.【详解】由题意知，(1)121f -=-+=，2(1)112f =+=，所以((1))2f f -=.故2.14．写出一个定义域为R 值域为[]0,1的函数_______.【正确答案】sin y x =（答案不唯一）【分析】本题为开放型题目，答案有多个，但定义域为R ，值域为[]0,1的函数容易联想到定义域为R ，值域为[]1,1-三角函数，而值域可以通过加绝对值来处理，由此可以得到答案.【详解】令sin y x =，则易知其定义域为R ，而由1sin 1x -≤≤得0sin 1x ≤≤，即sin y x =的值域为[]0,1，故sin y x =满足题意.显然cos y x =也满足题意，即答案不唯一，这里以sin y x =为代表.故答案为.sin y x=15．若()()()24sin 2,R,0,πf x x kx x k ϕϕ=-++∈∈是偶函数，则k ϕ+=__________．【正确答案】π2##12π【分析】根据函数的奇偶性求得,k ϕ，从而求得正确答案.【详解】依题意，()f x 是偶函数，所以()()()224sin 24sin 2f x x kx x x kx x ϕϕ-=++-+=-++，()()2sin 2sin 2kx x x ϕϕ=++-，22sin 2cos ,sin 2cos kx x kx x ϕϕ=⨯=⨯，所以0,cos 0k ϕ==，而()0,πϕ∈，所以π2ϕ=，所以π2k ϕ+=.故π216．在平面直角坐标系中，半径为1的圆C 与x 轴相切于原点O ，圆C 上有一定点P ，坐标是()1,1．假设圆C 以π5（单位长度）/秒的速度沿x 轴正方向匀速滚动，那么当圆C 滚动t 秒时，点P 的横坐标x =__________．（用t 表示）【正确答案】ππcos 55t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】将P 点的运动分解为沿x 轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动，易求匀速运动部分的横坐标；顺时针转动部分，先求出P 的角速度，再求出横坐标即可.【详解】将P 点的运动分解为沿x 轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动.匀速运动部分：与圆的速度相等，π5v =匀，得π5x v t t ==匀；顺时针转动部分：以圆心为参照系，P 点的运动为半径不变的顺时针转动，初始P 与圆心的连线与x 轴的夹角为θ，当P 转动π2的角度时，圆向前滚动了14个圆周，即1π2π1=42⨯⨯长度，此时过了π52π25=秒，故P 在52秒内转动π2的角度，所以P 每秒转动π5角度，横坐标为()ππcos 1cos cos 55r θ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，所以t 秒后P 转动5t π角度，横坐标为πcos 5t ⎛⎫⎪⎝⎭，综上，P 运动的横坐标为ππcos 55t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为.ππcos 55t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题17．求解下列问题：(1)求值：()27π3227log 42⋅；(2)已知tan 3α=，求()()()()sin πcos πcos 2πsin αααα-++---的值．【正确答案】(1)27(2)12【分析】（1）根据指数、根式、对数运算求得正确答案.（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】（1）()27π3227log 42⋅()()2314π323π4log 2+=+-+()()234π14π27=+-++=；（2）()()()()sin πcos πcos 2πsin αααα-++---sin cos tan 1311cos sin 1tan 132αααααα---====+++.18．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O ，始边均为x 轴的非负半轴．若点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转4π后与角β的终边OQ 重合．(1)直接写出β与α的关系式；(2)求()cos αβ+的值．【正确答案】(1)π4βα=+(2)50-【分析】（1）根据题意即可得到角β与α的关系.（2）首先根据题意得到3cos 5α=，4sin 5α=，再利用二倍角和两角和余弦公式求解即可.【详解】（1）由题意可得π4βα=+；（2）∵34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=.∵π4βα=+，∴πππcos()cos 2cos 2cos sin 2sin 444⎛⎫+=+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭αβααα7242525=--=.19．已知函数()4f x x x=+．(1)用定义证明()f x 在区间(]0,2上是减函数；(2)设()0,απ∈，求函数()sin f α的最小值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)5.【分析】(1)直接利用定义法即可证明函数在(0,2]上是减函数；(2)利用换元法可得4()f t t t=+(01t <≤)，结合对勾函数的性质即可求解.【详解】（1）12,(0,2]x x ∀∈，且12x x <，121212121212()(4)44()()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+-+=，又12120,04x x x x -<<<，得12440x x -<-<，所以121212()(4)0x x x x x x -->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在(0,2]上是减函数；（2）由0απ<<，得0sin 1α<≤，令sin t α=，则01t <≤，4(sin )sin sin f ααα=+可转化为4()f t t t =+，由(1)知，函数4()f t t t=+在(]0,1上单调递减，所以当1t =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为()5f =5，即函数(sin )f α的最小值为5.20．已知函数()()cos 2(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=++>><<的最小值为1，最小正周期为π，且()f x 的图象关于直线π3x =对称．(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的单调递减区间．【正确答案】(1)()πcos 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)ππππZ 44k k ,k 轾-++Î犏犏臌，【分析】（1）根据最值可求1A =，根据周期可求2ω=，根据对称可得π3ϕ=，即可求解解析式，（2）根据平移和诱导公式得()sin 22g x x =-+，进而根据整体法即可求解单调区间.【详解】（1）有题意可知21A -+=,所以1A =，又2ππ2ωω=⇒=，此时()()cos 22f x x ϕ=++，由()f x 的图象关于直线π3x =对称可知π2φπ,Z 3k k ´+=Î，所以2πφπ,Z 3k k =-Î，由于0πϕ<<，故取1k =，则π3ϕ=，故()πcos 223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()ππ=cos 22=sin 22122y g x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ2π22π,Z 22k x k k -+≤≤+∈,解得ππππ,Z 44k x k k -+≤≤+∈，故()y g x =的单调递减区间为ππππZ 44k k ,k 轾-++Î犏犏臌，21．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 的之间的函数关系；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【正确答案】(1)0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)0.6【分析】（1）利用函数图象经过点()0.1,1，分段讨论即可得出结论；（2）利用指数函数的单调性解不等式0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭．【详解】（1）解：依题意，当00.1x ≤≤时，可设y kx =，且10.1k =，解得10k =又由0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）解：令0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即20.21144a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，得20.21a ->，解得0.6x >，即至少需要经过0.6h 后，学生才能回到教室．22．已知函数()()2log 22a f x x =-，()()2log a g x x t =+，其中0a >且1a ≠．(1)当1t =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；(2)若函数()()()()221681f x F x at x t x t =+-+-++在区间(]2,5上有零点，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析；(2)43t t ≤-≥或【分析】（1）代入1t =，分为01a <<以及1a >两种情况，根据对数函数的单调性即可得出答案；（2）求出2()(68)1F x t x x x =-++-.根据0t ≠，分离参数可得13141x t x -=-+--.换元求出3341414x x ≤-+-≤-，即可得出104t<≤-或3104t ≤<-，即可求出t 的范围.【详解】（1）当1t =时，不等式可化为2log (22)2log (1)a a x x -≤+，当01a <<时，得()22222010221x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≥+⎪⎩，解得3x ≥；当1a >时，得()22222010221x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≤+⎪⎩，解得13x <≤.综上，当01a <<时，不等式的解集为[)3,∞+；当1a >时，不等式的解集为(]1,3.（2）由题意可得，函数()()()221681681F x tx t x t t x x x =+-+-=-++-.令2(68)10t x x x -++-=，因为(]2,5x ∈，所以(]11,4x -∈，则有0t ≠，故216831411x x x t x x -+-==-+---.令1m x =-，则14m <≤.因为()34k m m m =+-在(上单调递减，在4⎤⎦上单调递增.所以，当m ()k m有最小值4k =，又()11340k =+-=，()3344444k =+-=，所以当4m =时，()k m 有最大值()344k =.所以33444m m ≤+-≤，即3341414x x ≤-+-≤-.又0t ≠，所以140t ≤-<或1304t <-≤.即104t<≤-3104t ≤<-，解得t 的取值范围为4232t t +≤-≥或.关键点点睛：已知函数2()(68)1F x t x x x =-++-在区间上有零点，求参数范围.推出0t ≠，可分离参数得出13141x t x -=-+--，然后只需求出函数3141y x x =-+--在(]2,5上的值域，即可得出参数范围.。
浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷
浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B．C．D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁U M= ．16．（3分）（）+（）= ；log412﹣log43= ．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f （x）＞1的解集是．18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是．19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f （x4）]的值为．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f （x）所有零点之和的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}，B={x∈R|2x＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={x∈R|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（x）=log3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log3x+x﹣3，定义域为：x＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（3x﹣2）≥0，即0＜3x﹣2≤1，得＜x≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（x）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2x）+2x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2x）+2x是偶函数，∴设g（x）=f（2x）+2x，则g（﹣x）=f（﹣2x）﹣2x=g（x）=f（2x）+2x，即f（﹣2x）=f（2x）+4x，当x=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（x）=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣x）=|sin（﹣x）+cos（﹣x）|+|sin（﹣x）﹣cos（﹣x）|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），则函数f（x）是偶函数，∵f（x+）=|sin（x+）+cos（x+）|+|sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f（x），∴函数f（x）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2x﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（x）=min{x2﹣3x+3，﹣|x﹣3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（x）=，当f（x）=时，当x≥3或x≤1时，由3﹣|x﹣3|=，得|x﹣3|=，即x C=或x G=，当f（x）=时，当1＜x＜3时，由x2﹣3x+3=，得x E=，由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为x E﹣x C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f（x）=|﹣ax|，若对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a，总存在x0∈[1，4]，使得f（x0）≥m⇔m≤f （x）max，x∈[1，4]．令u（x）=﹣ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，∴u（x）max=u（1）=4﹣a，u（x）min=1﹣4a．①a≥4时，0≥4﹣a＞1﹣4a，则f（x）max=4a﹣1≥15．②4＞a＞1时，4﹣a＞0＞1﹣4a，则f（x）max={4﹣a，4a﹣1}max＞3．③a≤1时，4﹣a＞1﹣4a≥0，则f（x）max=4﹣a≥3．综上①②③可得：m≤3．∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．故选：D．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= {2，3，4，5} ，∁U M= {1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N={2，3，4，5}；∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）= 3 ；log412﹣log43= 1 ．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（x）=tan（2x﹣）的最小正周期是；不等式f（x）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（x）＞1得tan（2x﹣）＞1，得+kπ＜2x﹣＜+kπ，得+＜x＜+，k∈Z，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）•g（x）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f （x）g（x）=﹣h（x），∴h（x）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜x＜﹣2时，f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＞0，当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，∴h（x）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1 ．【解答】解：∵x∈（﹣a，+∞），∴当﹣a＜x＜1﹣a时，y=ln（x+a）＜0，当x＞1﹣a时，y=ln（x+a）＞0，又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，在x∈（﹣a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；∴a＜0．作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，即满足时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（﹣a，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f（x）=x+，g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]的值为16 ．【解答】解：∵令t=f（x），则y=g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a=t2﹣at+2a，∵g（x）=f2（x）﹣af（x）+2a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，故t2﹣at+2a=0有两个根t1，t2，且t1+t2=a，t1t2=2a，且f（x1），f（x2），f（x3），f（x4）恰两两相等，为t2﹣at+2a=0的两根，不妨令f（x1）=f（x2）=t1，f（x3）=f（x4）=t2，则[2﹣f（x1）]•[2﹣f（x2）]•[2﹣f（x3）]•[2﹣f（x4）]=（2﹣t1）•（2﹣t1）•（2﹣t2）•（2﹣t2）=[（2﹣t1）•（2﹣t2）]2=[4﹣2（t1+t2）+t1t2]2=16．故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（10分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的x2＞x1≥0，则，∵，∴f（x2）＞f（x1），函数f（x）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取k=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，k∈Z所以函数y=f（x）的单调递增区间是得（k∈Z），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log2k=﹣f（x）∈[﹣1，2]，得．（3分）23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 km．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（km）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f （x）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（x）=1得或（2 分）解得x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．（2分）。
杭高第一学期期末考试高一数学试卷
杭高第一学期期末考试高一数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中） 1. 设集合{}2|230A x x x =+->，R 为实数集，Z 为整数集()RA Z =（ ）A. {}|31x x -<<B. {}|31x x -<≤C. {}2,1,0--D. {}3,2,1,0,1---2. 给定集合|,4k M k Z πθθ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，{}|cos20N x x ==，{}|sin 21P αα==，则下列关系中成立的是（ ）A. P N M⊆⊆ B. P N M =⊆ C. P N M ⊆= D. P N M ==3. 点P 从()1,0-出发，沿单位圆顺时针方向运动73π弧长到达Q 点，则Q 点坐标（ ）A. 12⎛- ⎝⎭B.12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.1,2⎛- ⎝⎭D.12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭4. 已知幂函数()()223m m f x x m Z --=∈为奇函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则（ ）A. 2y x =B. y x =C. 3y x -=D. 2y x -=5. 已知tan sin 0θθ⋅<，且sin cos 1θθ+<，则角θ是（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 给出下列说法：①函数2tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭；②函数()2tan 24f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭；③函数2tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是()|12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；④函数tan 1y x =+在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1，最小值为0.其中正确说法有几个（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 关于函数()13122x x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和实数m，n 的下列结论中正确的是（ ） A. 若3m n -≤<，则()()f m f n < B. 若0m n <≤，则()()f m f n < C. 若()()f m f n <，则22m n <D. 若()()f m f n <，则33m n <8. 若函数()()20f x ax b x c a =++≠有四个单调区间，则实数a ，b ，c 满足（ ） A. 240b ac ->，0a >B. 240b ac ->C.02ba-> D.02ba-<9. 已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()()1g x f x f ax a =->，则（ ） A. ()sgn sgn g x x ⎡⎤=⎣⎦ B.()sgn sgn g x x ⎡⎤=-⎣⎦C. ()()sgn sgn g x f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦D.()()sgn sgn g x f x ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦10. 直线5y =与1y =-在区间40,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截曲线()sin 0,02y m x n m n ω=+>>所得弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） A. 35,22m n ≤=B. 3,2m n ≤=C.32m >D. 3,2m n >=二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上） 11. cos660︒=____________12. 将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上的所有点向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得的图像的解析式为____________13. 求函数()2lg sin 2cos 2y x x =++在2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值____________，最小值____________14. 已知函数()545422xx x x f x ---+=-，则()f x 的单调增区间为____________，()f x 的解集为____________15. 设函数()2f x ax x =+，已知()()34f f <，当8n ≥，*n N ∈时，()()1f n f n >+恒成立，则实数a 的取值范围是____________16. 已知()()202f x ax bx c a b =++<<，对任意x R∈，()0f x ≥恒成立，则()()()101f f f --的最小值____________三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分12分）已知0x π<<，且满足7sin cos 13x x +=，求：（1）sin cos x x -； （2）5sin 4cos 15sin 7cos x x x x+-；18. （本题满分12分）已知函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示，图像过点(，A 为图像的最高点，B ，C 为图像与x 轴的交点，且ABC ∆为高为三角形.（1）求A ，ω，ϕ的值（2）当24,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（3）将()y f x =的图像所有点向左平行移动()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图像，若()y g x =的图像的一个对称中心为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值19.（本题满分12分）已知函数()1f x x x=+（1）求解不等式()2f x x ≥； （2）()22120x mf x x++≥在[]1,2x ∈上恒成立，求m 的取值范围；（3）设函数()()223g x x c x c =+-++，若方程()()0g f x =有6个实根，求c 的取值范围20. （本题满分10分）已知函数()ln f x x =，设12x x ≠且()()21f x f x = （1）求()()1212111x x x x ---的值；（2）若()()1212x x f x f x M +++>对任意满足条件的1x ，2x 恒成立，求实数M 的最大值.。
浙江省杭州市八区县2022-2023学年高一上学期期末学业水平测试数学试题及答案全
高一数学试题卷第1页(共4页)考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷内填写学校、班级、姓名、座位号和准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效.4.考试结束,只需上交答题卷.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合A={1,2,3,4,5,6},B={2,3,4},则A B =(▲)A.1,5,6B.2,3,4C.{1,5,6}D.{2,3,4}2.若a ,b ∈R ,则a>b >0是a 2>b 2的(▲)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知cos α=-13,α∈(π,3π2),则sin α的值为(▲)A.23 B.-23 C.22√3 D.-22√34.函数y =log 0.5(4x -3)√的定义域为(▲)A.[1,+∞)B.[34,1]C.(34,1]D.(0,34]5.三个数3-12,312,log 23的大小关系是(▲)A.3-12<312<log 23B.3-12<log 23<312C.312<log 23<3-12D.log 23<3-12<3126.某观光种植园开设草莓自摘活动,使用一架两臂不等长的天平称重.一顾客欲购买2kg 的草莓,服务员先将1kg 的砝码放在天平左盘中,在天平右盘中放置草莓A 使天平平衡;再将1kg 的砝码放在天平右盘中,在天平左盘中放置草莓B 使天平平衡;最后将两次称得的草莓交给顾客.你认为顾客购得的草莓是(▲)A.等于2kg B.小于2kg C.大于2kg D.不确定7.函数f (x )=x 2(x-a ),若f (2)·f (3)<0,则f (-1),f (2),f (3)的大小关系是(▲)A.f (-1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (-1)<f (3)C.f (2)<f (3)<f (-1)D.f (3)<f (2)<f (-1)8.定义在R 上函数y =f (x )满足f (-x )+f (x )=0,当x >0时,f (x )=x ·2x ,则不等式f (x +2x √+2)+f (1-2x )≥0的解集是(▲)A.[-1,3]B.[0,3]C.[1,9]D.[0,9]2022学年第一学期期末学业水平测试高一数学试题卷高一数学试题卷第2页(共4页)二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法中正确的是(▲)A.半径为2,圆心角为1弧度的扇形面积为1B.若α是第二象限角,则α2是第一象限角C.∀x ∈R ,x 2-4x +5≥0D.命题:∀x >0,ln x ≤x -1的否定是:∃x 0>1,ln x 0>x 0-110.已知函数f (x )=sin x -cos x ,则(▲)A.f (x )的值域为[-2√,2√]B.点(π4,0)是函数y=f (x )图象的一个对称中心C.f (x )在区间[π4,5π4]上是增函数D.若f (x )在区间[-a ,a ]上是增函数,则a 的最大值为π411.已知函数f (x )=2x +x -2,g (x )=log 2x+x -2,h (x )=x 3+x -2的零点分别为a ,b ,c ,则有(▲)A.c =1,a >0,b >1B.b>c>aC.a+b =2,c =1D.a+b <2,c =112.已知f (x )和g (x )都是定义在R 上的函数,则(▲)A.若f (x +1)+f (1-x )=2,则f (x )的图象关于点(1,1)中心对称B.函数y=f (x -1)与y=f (1-x )的图象关于y 轴对称C.若g (x+1)=-g (x ),则函数g (x )是周期函数,其中一个周期T=2D.若方程x-g [f (x )]=0有实数解,则f [g (x )]·不·可·能是x 2+x +1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=x +2,x <0,x 2+1,x ≥0.{则f (f (-1))=▲.14.写出一个定义域为R,值域为[0,1]的函数解析式▲.15.若f (x )=4x 2-kx +sin(2x+φ),k ∈R ,φ∈(0,π)是偶函数,则k+φ=▲.16.在平面直角坐标系中,半径为1的圆C 与x 轴相切于原点O ,圆C 上有一定点P ,坐标是(1,1).假设圆C 以π5(单位长度)/秒的速度沿x 轴正方向匀速滚动,那么当圆C 滚动t 秒时,点P 的横坐标x=▲.(用t 表示)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)(1)求值:2723+(π-4)2√+log 2(47·2π);(2)已知tan α=3,求sin(π-α)+cos(π+α)cos(2π-α)-sin(-α)的值.18.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,角α与β的顶点均为坐标原点O,始边均为x轴的非负半轴.若点P(35,45)在角α的终边上,将OP绕原点O按逆时针方向旋转π4后与角β的终边OQ重合.(1)直接写出β与α的关系式;(2)求cos(α+β)的值.19.(本题满分12分)已知函数f(x)=x+4x.(1)用定义证明f(x)在区间(0,2]上是减函数;(2)设α∈(0,π),求函数f(sinα)的最小值.20.(本题满分12分)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小值为1,最小正周期为π,且f(x)的图象关于直线x=π3对称.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到函数y=g(x),求函数y=g(x)的单调递减区间.高一数学试题卷第3页(共4页)21.(本题满分12分)为了预防新型流感,某学校对教室进行药熏消毒.室内每立方米空气中的含药量y (单位:毫克)随时间x (单位:h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中,y 与x 成正比例关系;药物释放完毕后,y 与x 的函数关系式为y =(116)x-a ,(a 为常数),根据图中提供的信息,请回答下列问题:(1)写出从药物释放开始,y 与x 之间的函数解析式;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?22.(本题满分12分)已知函数f (x )=log a (2x 2-2),g (x )=2log a (x+t ),其中a >0且a ≠1.(1)当t =1时,求不等式f (x )≤g (x )的解集;(2)若函数F (x )=a f (x )+(t -2)x 2+(1-6t )x +8t +1在区间(2,5]上有零点,求实数t 的取值范围.高一数学试题卷第4页(共4页)2022学年第一学期期末质量检测高一 数学参考答案及评分标准5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．CD 10．ABD 11．ABC 12．ACD 三、填空题（每空5分，满分20分）13．2． 14．|sin |y x =(答案不唯一)． 15．2π． 16．cos 55t t ππ+．四、解答题（满分70分）17．解：（1）原式23143234log 2ππ+=+−+（）941427ππ=+−++=． ……5分（2）原式=sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα−−==++ ……5分18．解：(1) )(42Z k k ∈++=παπβ ……5分（2）由定义知，.54sin ,53cos ==αα所以cos()cos(22)cos(2)4k ππαβπαα+=++=+22cos 2cos sin 2sin (cos sin 2sin cos )442ππαααααα=−=−−50=− ……7分 19．解：（1）证明：设任意的1212,(0,2],x x x x ∈<且，则1221212121214)44()()()()()x x f x f x x x x x x x x x −−=−+−=−+（2112124x x x x x x −=−（）…（*） 1212,(0,2],x x x x ∈<且 ∴122104,0x x x x <<−>， 1240x x ∴−<, 于是（*）210,()()f x f x <<即,所以，()f x 在区间(0,2]上是减函数. ……7分 （2）令sin t α=， (0,),(0,1]t απ∈∴∈，则4(sin )()f f t t tα==+，由（1）知()f t 在区间(0,1]上是减函数，所以，当1t =时， ()f t 有最小值5，即当2πα=，函数(sin )f α的最小值是5. ……5分20．解：（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==−πωπ212A ，解得2,1==ωA ,又)(x f 的图象关于直线3π=x 对称等价于当3π=x 时，)(x f 取到最值，则有πϕπk =+⨯32，即πϕππϕ<<−=0,32k ，得3πϕ=，所以，2)32cos()(++=πx x f . ……7分（2）()()cos(2)2122g x f x x ππ=+=++，由2222k x k ππππ≤+≤+得44k x k ππππ−≤≤+，所以，函数)(x g y =的单调递减区间是)](4,4[Z k k k ∈+−ππππ．……5分21．解：（1）由图知点(0.1,1)在函数图象上，当00.1x ≤≤时，设y kx =，则10.1,10k k =∴=，即10y x =当0.1x ≥时，0.111(),1()1616x a a y −−=∴=，得0.1a =，0.11()16x y −=综上得，0.110,00.11(),0.116x x x y x −≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ……7分（2）由题意得11011(),164x −< 即20.211(),20.2144x x −<∴−>，得0.6x >（小时） 答：至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室. ……5分22．解：（1）当1t =时，不等式可化为2log (22)2log (1)a a x x −≤+，当10<<a 时，得22222010221x x x x ⎧−>⎪+>⎨⎪−≥+⎩（），解得3x ≥；当1>a 时，得22222010221x x x x ⎧−>⎪+>⎨⎪−≤+⎩（），解得13x <≤. ……6分综上，当10<<a 时，不等式的解集为[)3+∞，；当1>a 时，不等式的解集为(]13， . （2）函数22()16)81(68)1F x tx t x t t x x x =+−+−=−++−（，令2(68)10t x x x −++−=，因为(]25x ∈，，所以(]11,4x −∈，则有0t ≠，故216833(1)44,00]114x x x t x x −+−==−+−∈−⋃−−）（，，得1310404t t<≤−≤<或-，解得t的取值范围为4232t t ≤−≥或. ……6分。
2019-2020年浙江省杭州市高一上册期末数学试题(有答案)
浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）+﹣3的零点所在的区间是（）4．（3分）函数f（）=log3A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．38．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．29．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤513．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．14．（3分）设函数f（）=|﹣a|，若对任意的正实数a，总存在0∈[1，4]，使得f（）≥m，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M∪N= ，∁UM= ．16．（3分）（）+（）= ；log 412﹣log 43= ．17．（3分）函数f （）=tan （2﹣）的最小正周期是 ；不等式f （）＞1的解集是 ．18．（4分）已知偶函数f （）和奇函数g （）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f （）•g（）＜0的解集是 ．19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a ）≤0对∈（﹣a ，+∞）恒成立，则a 的值为 ． 20．（4分）已知函数f （）=+，g （）=f 2（）﹣af （）+2a 有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f （1）]•[2﹣f （2）]•[2﹣f （3）]•[2﹣f （4）]的值为 ．三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（10分）已知幂函数f （）=α（α∈R ），且．（1）求函数f （）的解析式；（2）证明函数f （）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f （）=2sin （ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f （）的单调递增区间； （2）若关于的方程f （）+log 2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围．23．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示． （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m ，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s （m ）与时间t （h ）的函数解析式，并作出相应的图象．24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内）1．（3分）sin120°的值为（）A．B． C． D．﹣【解答】解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°=．故选C．2．（3分）已知sinα=，α为第二象限角，则cosα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sinα=，且α为第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣．故选：D．3．（3分）已知集合A={∈R|2﹣4＜0}，B={∈R|2＜8}，则A∩B=（）A．（0，3）B．（3，4）C．（0，4）D．（﹣∞，3）【解答】解：∵集合A={∈R|2﹣4＜0}={|0＜＜4}，B={∈R|2＜8}={|＜3}，∴A∩B={|0＜＜3}=（0，3）．故选：A．4．（3分）函数f（）=log3+﹣3的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（）=log3+﹣3，定义域为：＞0；函数是连续函数，∴f（2）=log32+2﹣3＜0，f（3）=log33+3﹣3=1＞0，∴f（2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理，故选：C．5．（3分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1] D．（，1]（3﹣2）≥0，【解答】解：要使函数有意义，则log0.5即0＜3﹣2≤1，得＜≤1，即函数的定义域为（，1]，故选：D6．（3分）一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，则函数的图象应呈下降趋势，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则函数的图象应一直呈上升趋势，但上升部分的图象比下降的图象要缓，排除AB，根据正常人的心率约为65，可排除D，只有C符合，故选：C7．（3分）已知函数f（）=，则f（5）的值为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=2．故选：C．8．（3分）已知函数y=f（2）+2是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵函数y=f（2）+2是偶函数，∴设g（）=f（2）+2，则g（﹣）=f（﹣2）﹣2=g（）=f（2）+2，即f（﹣2）=f（2）+4，当=1时，f（﹣2）=f（2）+4=1+4=5，故选：A9．（3分）函数f（）=|sin+cos|+|sin﹣cos|是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【解答】解：f（﹣）=|sin（﹣）+cos（﹣）|+|sin（﹣）﹣cos（﹣）|=|﹣sin+cos|+|﹣sin﹣cos|=|si+cos|+|sin﹣cos|=f（），则函数f（）是偶函数，∵f（+）=|sin（+）+cos（+）|+|sin（+）﹣cos（+）|=|cos﹣sin|+|cos+sin|=|sin+cos|+|sin﹣cos|=f（），∴函数f（）的周期是，故选：D10．（3分）记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：如图所示，∵＞π﹣2＞1＞0，∴sin2=sin（π﹣2）＞sin1，∵，∴sin1=sin（π﹣1）＞sin3．综上可得：sin2＞sin1＞sin3．故选B．11．（3分）要得到函数y=cos（2﹣）的图象，只需将函数y=sin2的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2﹣）=cos（﹣2）=sin（2+）=sin[2（+）]，∴将函数y=sin2的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos（2﹣）的图象．故选：B．12．（3分）已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．1＜a＜3 B．1＜a≤3 C．＜a＜5 D．＜a≤5【解答】解：函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得：，解得：1＜a≤3．故选：B．13．（3分）定义min{a，b}=，若函数f（）=min{2﹣3+3，﹣|﹣3|+3}，且f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据定义作出函数f（）的图象如图：（蓝色曲线），其中A（1，1），B（3，3），即f（）=，当f（）=时，当≥3或≤1时，由3﹣|﹣3|=，得|﹣3|=，即C =或G=，当f（）=时，当1＜＜3时，由2﹣3+3=，得E=，由图象知若f（）在区间[m，n]上的值域为[，]，则区间[m，n]长度的最大值为E ﹣C=﹣=，故选：B．14．（3分）设函数f （）=|﹣a|，若对任意的正实数a ，总存在0∈[1，4]，使得f （0）≥m ，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，3]【解答】解：对任意的正实数a ，总存在0∈[1，4]，使得f （0）≥m ⇔m ≤f （）ma ，∈[1，4]． 令u （）=﹣a ，∵a ＞0，∴函数u （）在∈[1，4]单调递减， ∴u （）ma =u （1）=4﹣a ，u （）min =1﹣4a ．①a ≥4时，0≥4﹣a ＞1﹣4a ，则f （）ma =4a ﹣1≥15．②4＞a ＞1时，4﹣a ＞0＞1﹣4a ，则f （）ma ={4﹣a ，4a ﹣1}ma ＞3． ③a ≤1时，4﹣a ＞1﹣4a ≥0，则f （）ma =4﹣a ≥3． 综上①②③可得：m ≤3．∴实数m 的取值范围为（﹣∞，3]． 故选：D ．二、填空题（本大题有6小题，15～17题每空3分，18～20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．（3分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M ∪N= {2，3，4，5} ，∁U M= {1，5，6} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则M ∪N={2，3，4，5}； ∁U M={1，5，6}，故答案为：{2，3，4，5}，{1，5，6}16．（3分）（）+（）= 3 ；log 412﹣log 43= 1 ．【解答】解：（）+（）==；log412﹣log43=．故答案为：3，1．17．（3分）函数f（）=tan（2﹣）的最小正周期是；不等式f（）＞1的解集是．【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的周期T=；由f（）＞1得tan（2﹣）＞1，得+π＜2﹣＜+π，得+＜＜+，∈，即不等式的解集为；故答案为：，；18．（4分）已知偶函数f（）和奇函数g（）的定义域都是（﹣4，4），且在（﹣4，0]上的图象如图所示，则关于的不等式f（）•g（）＜0的解集是（﹣4，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：设h（）=f（）g（），则h（﹣）=f（﹣）g（﹣）=﹣f（）g（）=﹣h（），∴h（）是奇函数，由图象可知：当﹣4＜＜﹣2时，f（）＞0，g（）＜0，即h（）＞0，当0＜＜2时，f（）＜0，g（）＞0，即h（）＜0，∴h（）＜0的解为（﹣4，﹣2）∪（0，2）．故答案为（﹣4，﹣2）∪（0，2）19．（4分）已知不等式（a+2）•ln（+a）≤0对∈（﹣a，+∞）恒成立，则a的值为﹣1 ．【解答】解：∵∈（﹣a ，+∞）， ∴当﹣a ＜＜1﹣a 时，y=ln （+a ）＜0， 当＞1﹣a 时，y=ln （+a ）＞0，又（a+2）•ln（+a ）≤0对∈（﹣a ，+∞）恒成立， ①若a ＞0，y=a+2与y=ln （+a ）均为定义域上的增函数， 在∈（﹣a ，+∞）上，可均大于0，不满足题意；②若a=0，则2ln ）≤0对∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意； ∴a ＜0． 作图如下：由图可知，当且仅当方程为y=ln （+a ）的曲线与方程为y=a+2的直线相交于点A ，即满足时，（a+2）•ln（+a ）≤0对∈（﹣a ，+∞）恒成立，解方程得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．20．（4分）已知函数f （）=+，g （）=f 2（）﹣af （）+2a 有四个不同的零点1，2，3，4，则[2﹣f （1）]•[2﹣f （2）]•[2﹣f （3）]•[2﹣f （4）]的值为 16 ． 【解答】解：∵令t=f （），则y=g （）=f 2（）﹣af （）+2a=t 2﹣at+2a ， ∵g （）=f 2（）﹣af （）+2a 有四个不同的零点1，2，3，4， 故t 2﹣at+2a=0有两个根t 1，t 2，且t 1+t 2=a ，t 1t 2=2a ，且f （1），f （2），f （3），f （4）恰两两相等，为t 2﹣at+2a=0的两根， 不妨令f （1）=f （2）=t 1，f （3）=f （4）=t 2，则[2﹣f （1）]•[2﹣f （2）]•[2﹣f （3）]•[2﹣f （4）] =（2﹣t 1）•（2﹣t 1）•（2﹣t 2）•（2﹣t 2）=[（2﹣t 1）•（2﹣t 2）]2=[4﹣2（t 1+t 2）+t 1t 2]2=16． 故答案为：16三、解答题：（本大题有4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（10分）已知幂函数f （）=α（α∈R ），且．（1）求函数f （）的解析式；（2）证明函数f （）在定义域上是增函数． 【解答】（1）解：由得，，所以；（2）证明：定义域是[0，+∞），设任意的2＞1≥0，则，∵，∴f （2）＞f （1），函数f （）在定义域上是增函数．22．（12分）已知函数f （）=2sin （ω+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f （）的单调递增区间； （2）若关于的方程f （）+log 2=0在区间上总有实数解，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）周期T=π，所以ω=2，当时，，（2分）得，又﹣π＜φ＜0，所以取=﹣1，得（2分）所以，（1分）由，得，∈所以函数y=f（）的单调递增区间是得（∈），（2分）（2）当时，，所以，（2分）所以log=﹣f（）∈[﹣1，2]，得．（3分）223．（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：50+70+90+60=270，表示汽车在4小时内行驶的路程为270 m．（4分）（2）∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018m，汽车在行驶这段路程时里程表读数s（m）与时间t （h）的函数解析式为：（4分）图象如下图：（4分）24．（13分）已知函数f（）=（﹣1）|﹣a|﹣﹣2a（∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（）=1的解集；（2）若，试判断函数y=f（）在R上的零点个数，并求此时y=f（）所有零点之和的取值范围．【解答】解：（1）方法一：当a=﹣1时，（2 分）由f（）=1得或（2 分）解得 =0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}．（2分）方法二：当a=﹣1时，由f（）=1得：（﹣1）|+1|﹣（﹣1）=0（﹣1）（|+1|﹣1）=0（3分）∴得=1或|+1|=1∴=1或=0或=﹣2即解集为{0，1，﹣2}．（3分）（2）当≥a时，令2﹣（a+2）﹣a=0，∵，∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0得，（2分）且先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜1＜2，故当≥a时，f（）存在两个零点．（2分）当＜a时，令﹣2+a﹣3a=0，即2﹣a+3a=0得∵，∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0得，同上可判断3＜a＜4，故＜a时，f（）存在一个零点．（2分）综上可知当时，f（）存在三个不同零点．且设，易知g（a）在上单调递增，故g（a）∈（0，2）∴1+2+3∈（0，2）．（ 2分）。
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浙江省杭州市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高一上·丰台期中) 已知集合M={1，3，5，7}，集合N={2，5}，则M∩N=（）
A . {1，2，3，5，7}
B . {2}
C . {5}
D . {2，5}
2. （2分）定义两种运算：，则函数（）
A . 是奇函数
B . 是偶函数
C . 既是奇函数又是偶函数
D . 既不是奇函数又不是偶函数
3. （2分） (2017高一上·鸡西期末) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A . （1，10）
B . （5，6）
C . （10，12）
D . （20，24）
4. （2分） (2020高一下·林州月考) 已知，则（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高一上·漳州期末) 若函数f（x）满足对任意的两个不相等的正数x1 ， x2 ，下列三个
式子：f（x1﹣x2）+f（x2﹣x1）=0，（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，f（）＞都恒成立，则f（x）可能是（）
A . f（x）=
B . f（x）=﹣x2
C . f（x）=﹣tanx
D . f（x）=|sinx|
6. （2分）对于函数)中任意的有如下结论：
①；
②；
③；
④；
⑤.
当时，上述结论中正确结论的个数是（）
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个
7. （2分） (2017高二下·红桥期末) 下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）
A . y=2x﹣1
B . y=
C . y=﹣（x﹣1）2
D . y=log （x﹣1）
8. （2分） (2017高三下·银川模拟) 若函数f（x）=sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（）
A . [0， ]与[ ， ]
B . [ ， ]
C . [0， ]与[ ，π]
D . [0， ]与[ ， ]
9. （2分） (2017高三上·綦江期末) 已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0且a≠1）对∀x∈（0， ]恒成立，则实数a的取值范围是（）
A . （0， ]
B . [ ，1）
C . （0， ]
D . [ ，]∪（1，+∞）
10. （2分）若α，β为锐角，tan（α+β）=3，，则α的值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）设f（x）为定义于（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小顺序是（）
A . f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）
B . f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）
C . f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）
D . f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）
12. （2分）已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x ＞0）的零点个数为（）
A . 0
B . 1
C . 0或1
D . 无数个
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一下·定州开学考) 若A={x|2≤2x≤8}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=________．
14. （1分） (2016高一下·湖南期中) 已知函数f（x）=3sin（2x+ ）的图象为C，关于函数f（x）及其图象的判断如下：
①图象C关于点（，0）对称；
②图象C关于直线x= 对称；
③由图象C向右平移个单位长度可以得到y=3sin2x的图象；
④函数f（x）在区间（﹣，）内是减函数；
⑤函数|f（x）+1|的最小正周期为．
其中正确的结论序号是________．（把你认为正确的结论序号都填上）
15. （1分） (2019高一上·汤原月考) 若函数的定义域是R ，则实数的取值范围是________.
16. （1分）定义运算，若，则2sin2θ+sinθcosθ的值是________．
三、解答题 (共6题；共45分)
17. （5分）已知向量=（1，sinα），=（2，cosα），且∥，计算：．
18. （10分）已知函数y=x2﹣2|x|：（1）判断它的奇偶性；
【答案】解：由于该函数的定义域是R，
f（﹣x）=（﹣x）2﹣2|﹣x|═x2﹣2|x|=f（x），
故该函数是偶函数；
（1）画出函数的图象
（2）根据图象写出单调递增区间
19. （5分）(2017高三上·泰安期中) 在平面直角坐标系中，O为原点，
sinβ），0＜β＜α＜π．
（I）若 |；
（Ⅱ）设，求α，β的值．
20. （10分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|，x∈R．
（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）写出该函数在R上的单调区间．
21. （5分）设a＞0为常数，已知函数f（x）=cos2（x﹣）+sin2（x﹣）+asin cos 的最大值为3，求a的值．
22. （10分）(2016·江苏) 已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）
设a=2,b= .
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）
若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、20-2、
21-1、22-1、
22-2、
第11 页共11 页。