随机过程概论(经典)

i 1

P( A j B)
P( A j )P( B A j )
i 1
P ( Ai ) P ( B Ai )

, j 1,2,.
§,
其中B1,B2,…互不相容，由完全可加性有
1 P ( A1 ) P Bk P Ak Ak 1 0 k 1 k 1 收敛级数的余项极限为0,(as n ),即
P An P Ak Ak 1 0,
3.尽量阐述清楚基本概念及相应的背景; 4.尝试将各类随机过程与金融问题结合 （Black, Sholes,Merton）; 5.训练数学表述能力.
加 油
第一章 概率论概要
§1.1 概率空间
§1.2 随机变量及其分布
§1.3 随机变量的函数
§1.4 随机变量的数字特征 §1.5 特征函数 §1.6 收敛性与极限定理
随机过程 （新修版）
对外经济贸易大学金融学院
在我们的新培养方案中，有一些课程看上 去是“无用”的……但是，这些课不仅会 帮助你提高品位，帮助你理解人生，而且 还可能在未来的某个时候发挥意想不到的 结果。（钱颖一）
“学术无新旧之分，无中外之分， 无有用无用之分”。（王国维）
参考文献：




严加安，测度论讲义，科学出版社，2004。 （20元） 钱敏平，龚光鲁，应用随机过程，北京大学出 版社，1998。（20元） 伍海华，杨德平，随机过程—金融资产定价之 应用，中国金融出版社，2002。（18元） C.R.Rao, Stochastic Processes,（有中译本， 中国统计出版社）（？元）
通常称 F {, A, A,Ω}是最简单代数.
Ex.2 考察一只股票三个月的回报率情况. 基本事件为{x},样本空间为
Ω x : x R1 R1
令
A1 x : x 0 ={出现正回报} A2 x : x 0={出现负回报}
, A1 , A 2 ,Ω 为一个σ代数. 则F 注：对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,
k n
n 1

(as
n ) .
推论1： 若 A1 A2 , 且 An A, 则
lim P An P A .
n
推论2： 若 A1 A2 , 且 An A, 则
lim P An P A .
n

n 1
A 证：在推论1中 令 Bn An A, 则B1 B2 ,
(3) 若 Ai F i 1,2,, 则 Ai F i 1 （对可列并运算封闭） σ可加

称F为Ω的一个σ-代数, F 中的集 合称为事件.
F的定义给出了事件间类似于代数学中的代 数结构. Ex1：在编号为1,2，…,n 的 n只股票中取一只， 1. 考虑股票的编号，则全体基本事件为
P Ai i 1
k Ai

i 1
k λ eλ k!
k λ e λ P ( Ai ). k! i 1 i 1 k Ai
三、概率性质 设(Ω,F, P)是概率空间,则概率P 有如下性质: 1) P(φ)=0;
2)有限可加性: 若 Ai F i 1,2,, n,
Ex: 设某股票一天的成交笔数为m,基本事件 为{m},样本空间 Ω 0,1,2, , F是Ω的一切子集 组成的集族，则F是一个Ω代数. 定义P(φ)=0,并对A∈F 令
k! P为可测空间(Ω,F)上的概率测度.
k A
P A e
λ λ
k
,
λ
0
证明 证: 1)
P Ω e
其样本空间和代数的结构会不同.
定义(可测空间)：样本空间Ω和σ代数的二元体 (Ω,F) 称为可测空间.
可测空间有如下性质：
1. F
;
Ai F


2.对可列交运算封闭,若 Ai F (i 1,2,), 则有
i 1
证 因 Ai Ai ,
i 1 i 1
3) 概率的单调性
若 A1 A2 , 且 An ,
则
n
i 1
A1
An An+1
lim P ( An ) 0.
证：
An An An1 An1 An 2
Ak Ak 1 ˆ Bk ,
k n k n
A B A B F
二、概率的公理化定义
柯氏公理体系是现代概率论的基石.
定义(概率)：设(Ω,F)是一可测空间，对 A F 定义在F上的实值集函数P(A), 满足 1) 非负性：对 A F, 0 P A 1; 2) 规范性:P(Ω) = 1; 3) 完全可加性,对 Ai F i 1,2,, Ai A j , i j , 有 P A i P Ai i 1 i 1 称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A 的概率. 三元体(Ω,F, P)称为概率空间.
Ex. 10 张签中有三张幸运签,3人依次各抽一 张签,第一个人抽到幸运签,假若第二人也抽到, 问第三人抽到幸运签的概率.
解
设 Ai={第i 人抽到幸运签}, i=1,2,3.
记
2 PA1 P ( A1 ), 有 PA1 ( A2 ) P ( A2 A1 ) , 9
所求概率为
1 PA1 ( A3 A2 ) P ( A3 A1 A2 ) . 8
五、全概率公式与Bayes公式
定理：设 (Ω,F, P)是概率空间,若 1) A i∈F, 且 P(Ai)>0 ，(i=1,2, …); 2)
i 1
Ai Ω , Ai A j .

完备性 条件.
则对任意B∈F 有 1)
2)
P B P ( Ai ) P ( B Ai );
(as
作业：请自 n ) 己证明推论2
4）多除少补原理
设 Ai F, i 1,2,, n, 有
n n P A i P Ai i 1 i 1
n n1 P Ai Ak 1 P Ai . 1 i k n i 1
且 Bn An A
n 1
n 1


Bn= An - A
lim P Bn 0 P An P A P An A 0.
n
An A A A n 1
P An P A

Ai F Ai F
Ai F Ai F


3. 对有限并,有限交封闭：若 Ai F i 1,2,, n 则 n n Ai F, 或 Ai F
i 1 i 1
i 1
i 1
4.对差运算封闭,即若 A F, B F,则 A B F.
Ak k
k 1,2,, n
样本空间为
Ω 1,2,, n
构造如下事件: Ak , s Ak As
k, s 1,2,, n, Ai ,k , s Ai Ak As i , k , s 1,2,, n
……… Ai1 , i 2 ,, in 1 Ai1 Ai 2 Ai n1
对 A F, 有P( A B) 对应, 集函数P B 满足三 条公理: 定理：设(Ω,F,P)是概率空间,B∈F,且P(B)>0,则
1) A F, 0 P( A B) 1;
2) P(Ω B) 1;
3) Ai Fi 1,2,, 且 Ai Aj , (i j ),则
kΩ
λ λ
k
k!
e
λk λ k 0 k!

1
k λ λ 0, 2) 因 λ 0，对k 有 e k! k k λ λ λ λ 0 P ( A) e e 1; k ! kΩ k! k A
3) 设 Ai F, (i 1,2,), Ai A j , (i j ), 有
i1 , i2 ,, in 1 1,2,, n
可验证集族 {, , Ak , Ak , s ,, Ai1 ,i2 ,,in1 } 组成一个σ代数. 2. 仅考虑股票是深股或者沪股，则基本事件为 A1={取到深股}, A2={取到沪股}
则 F {, A1 , A2 ,Ω }为一个σ代数.
P A B i P Ai B . i 1 i 1
条件概率 是概率.
定义:记PB= P(· |B）,则PB 是可测空间(Ω,F)
上的概率,称(Ω,F,PB)是条件概率空间.
定理：设A是概率空间(Ω,F, P)上的正概率事件 ,B∈F, 且PA(B)>0, 则对任意C∈F 有
序
言
随机过程论：研究随机现象演变的概率规律性. 是近代数学的重要组成部分, 特点: 1.应用非常广泛,实际背景强; 2.数学基础要求较高; 3.建立随机分析的思维较难.
随机过程在金融中的应用
期权定价公式 动态资产定价 投资组合理论 。。。。。。

本课程教学中:
1.立足于基本理论的介绍; 2.力图帮助同学掌握随机分析的基本思想 和基本方法;
PA C B P(C A B)
P ( B C A) P ( B C ) A 证 PA C B PA ( B ) P ( B A)
P ( ABC ) P ( AB ) P ( ABC ) / P (C A B). P ( A) P ( A) P ( AB )