随机过程概论(经典)

Ex: 设某股票一天的成交笔数为m,基本事件 为{m},样本空间 Ω 0,1,2, , F是Ω的一切子集 组成的集族，则F是一个Ω代数. 定义P(φ)=0,并对A∈F 令
k! P为可测空间(Ω,F)上的概率测度.
k A
P A e
λ λ
k
,
λ
0
证明 证: 1)
P Ω e
n 1,2,
其中B1,B2,…互不相容，由完全可加性有
1 P ( A1 ) P Bk P Ak Ak 1 0 k 1 k 1 收敛级数的余项极限为0,(as n ),即
P An P Ak Ak 1 0,
五、全概率公式与Bayes公式
定理：设 (Ω,F, P)是概率空间,若 1) A i∈F, 且 P(Ai)>0 ，(i=1,2, …); 2)
i 1
Ai Ω , Ai A j .

完备性 条件.
则对任意B∈F 有 1)
2)
P B P ( Ai ) P ( B Ai );
Ak k
k 1,2,, n
样本空间为
Ω 1,2,, n
构造如下事件: Ak , s Ak As
k, s 1,2,, n, Ai ,k , s Ai Ak As i , k , s 1,2,, n
……… Ai1 , i 2 ,, in 1 Ai1 Ai 2 Ai n1
A B A B F
二、概率的公理化定义
柯氏公理体系是现代概率论的基石.
定义(概率)：设(Ω,F)是一可测空间，对 A F 定义在F上的实值集函数P(A), 满足 1) 非负性：对 A F, 0 P A 1; 2) 规范性:P(Ω) = 1; 3) 完全可加性,对 Ai F i 1,2,, Ai A j , i j , 有 P A i P Ai i 1 i 1 称P是(Ω,F)上的概率(测度),P(A)是事件A 的概率. 三元体(Ω,F, P)称为概率空间.
对 A F, 有P( A B) 对应, 集函数P B 满足三 条公理: 定理：设(Ω,F,P)是概率空间,B∈F,且P(B)>0,则
1) A F, 0 P( A B) 1;
2) P(Ω B) 1;
3) Ai Fi 1,2,, 且 Ai Aj , (i j ),则
§1.1 概率空间
一、随机事件的公理化定义
回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率 等定义，有如下问题： 对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的每一个 子集(事件)都能确定概率?
定义(σ代数)：设随机试验E 的样本空间
为Ω,F 是Ω的子集组成的集族，满足 (1) Ω∈F ;
(2)若A∈F,则 A F .（对余运算封闭）
PA C B P(C A B)
P ( B C A) P ( B C ) A 证 PA C B PA ( B ) P ( B A)
P ( ABC ) P ( AB ) P ( ABC ) / P (C A B). P ( A) P ( A) P ( AB )

Ai F Ai F
Ai F Ai F


3. 对有限并,有限交封闭：若 Ai F i 1,2,, n 则 n n Ai F, 或 Ai F
i 1 i 1
i 1
i 1
4.对差运算封闭,即若 A F, B F,则 A B F.
推论：概率具有次可加性
n n P A i P Ai . i 1 i 1
四、条件概率 定义：设(Ω,F, P)是概率空间，A, B∈F， 且P(B)>0
P AB P A B ˆ P B
称为已知事件B发生的条件下，事件A 发生的 条件概率.
3.尽量阐述清楚基本概念及相应的背景; 4.尝试将各类随机过程与金融问题结合 （Black, Sholes,Merton）; 5.训练数学表述能力.
加 油
第一章 概率论概要
§1.1 概率空间
§1.2 随机变量及其分布
§1.3 随机变量的函数
§1.4 随机变量的数字特征 §1.5 特征函数 §1.6 收敛性与极限定理
(as
作业：请自 n ) 己证明推论2
4）多除少补原理
设 Ai F, i 1,2,, n, 有
n n P A i P Ai i 1 i 1
n n1 P Ai Ak 1 P Ai . 1 i k n i 1
通常称 F {, A, A,Ω}是最简单代数.
Ex.2 考察一只股票三个月的回报率情况. 基本事件为{x},样本空间为
Ω x : x R1 R1
令
A1 x : x 0 ={出现正回报} A2 x : x 0={出现负回报}
, A1 , A 2 ,Ω 为一个σ代数. 则F 注：对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,
P Ai i 1
k Ai

i 1
k λ eλ k!
k λ e λ P ( Ai ). k! i 1 i 1 k Ai
三、概率性质 设(Ω,F, P)是概率空间,则概率P 有如下性质: 1) P(φ)=0;
2)有限可加性: 若 Ai F i 1,2,, n,
Ex. 10 张签中有三张幸运签,3人依次各抽一 张签,第一个人抽到幸运签,假若第二人也抽到, 问第三人抽到幸运签的概率.
解
设 Ai={第i 人抽到幸运签}, i=1,2,3.
记
2 PA1 P ( A1 ), 有 PA1 ( A2 ) P ( A2 A1 ) , 9
所求概率为
1 PA1 ( A3 A2 ) P ( A3 A1 A2 ) . 8
其样本空间和代数的结构会不同.
定义(可测空间)：样本空间Ω和σ代数的二元体 (Ω,F) 称为可测空间.
可测空间有如下性质：
1. F
;
Ai F


2.对可列交运算封闭,若 Ai F (i 1,2,), 则有
i 1
证 因 Ai Ai ,
i 1 i 1
随机过程 （新修版）
对外经济贸易大学金融学院
在我们的新培养方案中，有一些课程看上 去是“无用”的……但是，这些课不仅会 帮助你提高品位，帮助你理解人生，而且 还可能在未来的某个时候发挥意想不到的 结果。（钱颖一）
“学术无新旧之分，无中外之分， 无有用无用之分”。（王国维）
参考文献：




严加安，测度论讲义，科学出版社，2004。 （20元） 钱敏平，龚光鲁，应用随机过程，北京大学出 版社，1998。（20元） 伍海华，杨德平，随机过程—金融资产定价之 应用，中国金融出版社，2002。（18元） C.R.Rao, Stochastic Processes,（有中译本， 中国统计出版社）（？元）
且 Bn An A
n 1
n 1


Bn= An - A
lim P Bn 0 P An P A P An A 0.
n
An A A A n 1
P An P A
i1 , i2 ,, in 1 1,2,, n
可验证集族 {, , Ak , Ak , s ,, Ai1 ,i2 ,,in1 } 组成一个σ代数. 2. 仅考虑股票是深股或者沪股，则基本事件为 A1={取到深股}, A2={取到沪股}
则 F {, A1 , A2 ,Ω }为一个σ代数.
参考文献（二）


E. P.C. Kao，An Introduction to Stochastic Processes, Wadsworth Publishing Company,1997(有影印本，机械工业出版社) （49元） STOCHASTIC METHODS IN ECONOMICS AND FINANCE with a Foreword and Contributions by W..A. Brock, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland, seventh reprint 1995. （有中译本，上海人民 出版社，陈守东等翻译）（26元）
序
言
随机过程论：研究随机现象演变的概率规律性. 是近代数学的重要组成部分, 特点: 1.应用非常广泛,实际背景强; 2.数学基础要求较高; 3.建立随机分析的思维较难.
随机过程在金融中的应用
期权定价公式 动态资产定价 投资组合理论 。。。。。。

本课程教学中:
1.立足于基本理论的介绍; 2.力图帮助同学掌握随机分析的基本思想 和基本方法;
k n
n 1

(as
n ) .
推论1： 若 A1 A2 , 且 An A, 则
lim P An P A .
n
推论2： 若 A1 A2 , 且 An A, 则
lim P An P A .
n

n 1
A 证：在推论1中 令 Bn An A, 则B1 B2 ,
P A B i P Ai B . i 1 i 1
条件概率 是概率.
定义:记PB= P(· |B）,则PB 是可测空间(Ω,F)
上的概率,称(Ω,F,PB)是条件概率空间.
定理：设A是概率空间(Ω,F, P)上的正概率事件 ,B∈F, 且PA(B)>0, 则对任意C∈F 有
Ai Aj , (i j )
n n 则 P Ai P ( Ai ); i 1 i 1 推论1: P A P A 1;
推论2 (单调性):若 B A ，则 P(A－B)=P(A)－P(B) 且 P A P B ,
i 1

P( A j B)
P( A j )P( B A j )
i 1
P ( Ai ) P ( B Ai )

, j 1,2,.
§1.2 随机变量及其分布
(3) 若 Ai F i 1,2,, 则 Ai F i 1 （对可列并运算封闭） σ可加

称F为Ω的一个σ-代数, F 中的集 合称为事件.
F的定义给出了事件间类似于代数学中的代 数结构. Ex1：在编号为1,2，…,n 的 n只股票中取一只， 1. 考虑股票的编号，则全体基本事件为
3) 概率的单调性
若 A1 A2 , 且 An ,
则
n
i 1
A1
An An+1
lim P ( An ) 0.
证：
An An An1 An1 An 2
Ak Ak 1 ˆ Bk ,
k n k n
kΩ
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λ λ
k
k!
e
λk λ k 0 k!

1
k λ λ 0, 2) 因 λ 0，对k 有 e k! k k λ λ λ λ 0 P ( A) e e 1; k ! kΩ k! k A
3) 设 Ai F, (i 1,2,), Ai A j , (i j ), 有