阿波罗尼斯问题详细解答

说明： 这里实际上解决了另一个问题：如何过圆 O1 外一点 O2 作圆 O1 的切线 O2D、O2E。
②两圆内公切线的具体作法：如下图 ⑥ 作圆 M，其半径为两圆圆心所确定的线段的一半， ⑦ 作内公切线时，以大圆的圆心为圆心、R＋r 为半径作圆 O； ⑧ 设圆 O 与圆 M 的交点为 D、E，连接 DO2、EO2； ⑨ 设射线 O1D 和圆 O1 交于点 F，以 DF、DO2 为两条边作平行四边形 FDO2H，则 直线 FH 为两圆的一条内公切线， ⑩ 同理，可作出另一条内公切线 GI
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③两圆内切时，其外公切线可以仿照作出，不赘述。
说明：①两圆内含（但不内切）时，没有公切线； ②两圆内切时，只有一条外公切线； ③两圆相交时，只有两条外公切线。 ④两圆外切时，有一条内公切线，两条外公切线，共 3 条； ⑤两圆相离时，有外公切线两条、内公切线两条，共 4 条。
第 08 个问题： 什么叫反演变换？ 中文名称：反演；英文名称：inversion 二维平面上的反演以一个特定的反演圆为基础：圆心 O 为反演中心，圆半径为常数 k,
第 06 个问题： 怎样过圆上一点作该圆的切线？ 如下图：连接圆心 O 和圆上该点 A，于是问题转化为：过点 A 作线段 OA 的垂线。
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第 07 个问题： 怎样作两个圆的公切线？
①两圆外公切线的具体作法：如上图 ① 作圆 M，其半径为两圆圆心所确定的线段 O1O2 的一半，或者这么说：以线段 O1O2 为直径作一个圆。 ② 作外公切线时，以大圆的圆心为圆心、R－r 为半径作圆 O； ③ 设圆 O 与圆 M 的交点为 D、E，连接 DO2、EO2； ④ 设射线 O1D 和圆 O1 交于点 G，以 DG、DO2 为两条边作平行四边形 GDO2F，则 直线 GF 为两圆的一条外公切线， ⑤ 同理，可作出另一条外公切线 HI
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③直线与反演圆相交：过反演极 O 和两个交点 A、B 的一个圆
第 12 个问题： 怎样作一个圆的反演图形？ ①通过反演极的圆周：它的反形是一条直线，如下图：
作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、O 两点；作 出点 A 的反演点 A`；过点 A`作一条直线 L 垂直于直线 OI，直线 L 就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。
怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？
怎样作线段 a、b 的比例中项 c？
什么叫源自文库的幂？怎样作出圆的幂？
什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？
什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？
什么叫相（位）似中心？怎样作出相（位）似中心？
什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？
什么叫两圆周的共同幂？
什么叫相似轴？怎样作出相似轴？
阿波罗尼斯问题之一：点点点
阿波罗尼斯问题之二：线线线
阿波罗尼斯问题之三：点线线
阿波罗尼斯问题之四：点点线
阿波罗尼斯问题之五：点点圆
阿波罗尼斯问题之六：点圆圆
阿波罗尼斯问题之七：点线圆
阿波罗尼斯问题之八：线圆圆
阿波罗尼斯问题之九：线线圆
阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆
米勒问题和米勒定理
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第 05 个问题： 怎样过线段上一点作该线段的垂线？ 如下图：先作射线 AB，再以点 B 为圆心、BA 为半径作圆 B，圆 B 交射线 AB 于点 A`， 则问题转化为作线段 AA`的垂直平分线。 那么，我们可以按 01 的作法，作出这条垂直平分线；相类似地，我们可以作出过点 A 并且垂直于线段 AB 的直线。
什么是阿波罗尼斯问题？
阿波罗尼斯问题有多少个子问题？
怎样作一条线段的垂直平分线？
怎样过线段上一点作该线段的垂线？
怎样过圆上一点作该圆的切线？
怎样作两个圆的公切线？
什么叫反演变换？
怎样作反演圆内一点的反演点？
怎样作反演圆外一点的反演点？
怎样作一条直线的反演图形？
怎样作一个圆的反演图形？
怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？
③不通过反演极并且与反演圆相切的圆周：其反形为圆 O 内的一个圆，如下图：
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作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、B 两点；作 出点 A 的反演点 A`，点 A`和点 A 重合；作出点 B 的反演点 B`；以线段 A`B`为直径作圆 I`， 则圆 I`就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。
把点 P 反演为点 P'就是使得 OP×OP' = k2 (即 k 为 OP 和 OP'的几何平均). 如点 P 在圆上，反演后仍是它自身。
第 09 个问题： 怎样作反演圆内一点的反演点？ 如点 P 在圆内:连结 OP,过点 P 作直线垂直于 OP,直线与圆的交点处的切线的交点就
是点 P'. 第 10 个问题： 怎样作反演圆外一点的反演点？ 如点 P 在圆外可这样作:过点 P 作圆的切线(两条),两个切点相连与 OP 连线交点就
其中，垂直于 OP 的弦 AB 被称作过点 P 的最小弦。 第 17 个问题： 什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？ 所谓圆的根轴就是到两定圆的幂相等的动点的轨迹，可以证明该轨迹为一条直线，所以 称之为两定圆的根轴或等幂轴。 请注意，根轴是与两个圆相关联的概念，一个圆无所谓根轴。 怎样作出圆的根轴？ ①若两圆相离，则我们可以作出它的四条公切线，这四条公切线的中点到这两个圆的幂 都相等，又已知根轴是一条直线，所以取其中两个的中点就可以作出这条根轴。
怎样作出三个圆的根心？ 如果三个圆存在根心，则运用前面第 17 个问题的方法，先作出三条根轴，再作出其交 点即可；当然，实际操作时，只需作出两条根轴。 第 19 个问题： 什么叫相似中心？怎样作出相似中心？ 设选定一点 S 和一个数 k，将任一点 M 与点 S 连成直线，在此直线上沿 SM 的方向或 相反的方向截取一线段 SM`，使得 SM`/SM=k，则所得的点 M`为点 M 的位似点，点 S 称为 位．似．中．心．或．相．似．中．心．，数 k 称为位似比或相似系数，若 SM 与 SM`同向，则位似称为正的。 若 SM 与 SM`反向，则位似称为反的。如下图：
②不通过反演极并且与反演圆相离的圆周：其反形为在圆 O 内的一个圆，如下图：
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作法：过反演极 O 和圆 I 的圆心 I 作一条直线 OI，直线 OI 交圆 I 于点 A、B 两点；作 出点 A 的反演点 A`，作出点 B 的反演点 B`；以线段 A`B`为直径作圆 I`，则圆 I`就是圆 I 关于反演圆 O 的反形。
――――――阿波罗尼斯问题详细解答
湖南省沅江市第一中学 王习波
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序号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 附录
目
录
内
容
阿波罗尼斯是一个什么样的人？
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第 16 个问题： 什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？ 所谓圆的幂，具体是指一个点相对于一个圆的幂。设Γ是平面上一个圆心为 O、半径为 r 的圆，对于平面上任一点 P，令ρ（P）=PO2－r2，则称ρ（P）为点 P 对于圆Γ的幂。
① 若点 P 在圆 O 之外，则过点 P 作圆 O 的切线，记切点为 Q，则 PQ2=ρ（P）=PO2 －r2,如下图：
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又由于根轴总是垂直于两圆的连心线，所以只要作出一条外公切线即可作出两圆的根轴 如下图：
②若两圆相外切，则我们可以作出它的三条公切线，内公切线和外公切线的交点（即两 外公切线段的中点）就确定了这两个圆的根轴。
③若两圆相交，则两个交点所确定的直线就是这两个圆的根轴。 ④若两圆相内切，则唯一的这条外公切线就是这两个圆的根轴。 ⑤若两圆内含，则根轴在大圆外，如下图：
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第 01 个问题： 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 阿波罗尼斯，Apollonius，有时也翻译为“阿波罗尼奥斯”，古希腊大数学家，生活在公 元前 260 年到公元前 190 年，著有《论相切》和《圆锥曲线》。中国的学生知道这个人往往 是从阿波罗尼奥斯圆开始的。 第 02 个问题： 什么是阿波罗尼斯问题？ 作一个圆，使得它与三个已知圆相切。因为是圆与圆相碰触，所以人们把它形象地称为 “圆之吻”。 第 03 个问题： 阿波罗尼斯问题有多少个子问题？ 由于点和直线可以分别看作圆的极限状态：半径为无穷小的圆和半径为无穷大的圆，所 以它一共有 10 个子问题，按构成元素（点、线、圆）的不同，我们将它分成三类： Ⅰ、三元相同的一类：点点点、线线线、圆圆圆； Ⅱ、一异两同的一类：①点线线，点圆圆；
反演圆的交占满）不动，其它的点都变动了位置。 (2)不通过反演极的直线：分两类情况 ①直线与反演圆相离： 过反演极 O 作直线 L 的垂线，设垂足为 A，作出点 A 关于圆周 O 的反点 A`,则直线 L
的反形为一个圆，一个以线段 OA`为直径的圆；具体见下图：
②直线与反演圆相切：以反演极 O 和切点 A 为直径的一个圆
④不通过反演极并且与反演圆相交的圆周：其反形为与圆 O 相交的一个圆，作法类似 于前：
⑤不通过反演极在反演圆内的圆周：其反形为在圆 O 外的一个圆，作法类似于前，其 图类似②图。
第 13 个问题： 怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？ 在直线 L 上取一点 O，以它为圆心任作一圆，这样以圆 O 为反演圆的反演变换将直线 L 变成自身。 第 14 个问题： 怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？ 在圆 O 上任取一点 A，作直线 AB 垂直 OA，在 AB 上任取一点 P 作圆心，PA 为半径 作圆，则以圆 P 为反演圆的变换将圆 O 变成自身。 第 15 个问题： 怎样作线段 a、b 的比例中项 c？
②若点 P 在圆 O 之上，ρ（P）= PO2－r2 ＝0，依然是切线段 PQ 的平方(正因为是切 线段长度的平方，所以叫幂)，只不过线段 PQ 已经退化为一个点，线段长变为零。 ③若点 P 在圆 O 之内，则过点 P 作圆 O 的弦 AB，使得 OP 垂直于弦 AB，则 AP2= BP2= ρ（P）= r2－PO2,其大小是垂直于 OP 的弦的一半的平方，如下图：
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是点 P'. 另法：以点 P 为圆心、PO 为半径作圆 P，设圆 P 交圆 O 于 A、B 两点，分别以 A、
B 两点，以 OA、OB 为半径作圆，圆 A 和圆 B 交于点 O 和另一点，该点就是 P`。 图形省略了，请您自己画图体验。 第 11 个问题： 怎样作一条直线的反演图形？ (1)通过反演极的直线：经过反演变换后与原直线生命，但直线上只有两个点（直线与
②线点点，线圆圆； ③圆点点，圆线线； Ⅲ、三元各异：点线圆。 在作图时，要求所作出的圆与已知的圆、线、点都相切，只是由于点是退化了的圆或直 线，所以看上去就是所作圆经过该点，或者说该点在所作圆上。 说明： ①也有人只把“圆圆圆”这种情况叫作阿波罗尼斯问题。 ②我们只讨论退化的情况，不讨论重合的情况(圆与圆重合、线与线重合、点与点重合)。 ③本文所提到的“圆”都是指“圆周”，不指圆面。 第 04 个问题： 怎样作一条线段的垂直平分线？ 如下图：
具体作法：任作一圆 O，使之与圆 O1 和 O2 都相交，则两条公共弦 AA`和 BB`的交点 P 对于两圆 O1 和 O2 的幂必定相等，再过点 P 作直线 PQ 垂直于直线 O1O2，垂足为点 Q，则 直线 PQ 为圆 O1 和 O2 的根轴。
证明：过点 P 任作圆 O1 的一条割线 PCC`，则 PC×PC`=PA×PA`；同样地，过点 P 任 作圆 O2 的一条割线 PDD`，则 PD×PD`=PB×PB`；而 PA×PA`=PB×PB`；所以 PD×PD`=PC ×PC`＝ρ（P）；即点 P 到圆 O1 和 O2 的切线段的长是一样的。所以点 P 在两圆的根轴上，
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又 PQ 垂直于两圆的连心线，从而可知直线 PQ 就是所求作根轴。 说明：此法可运用到所有两圆（直线、点）的情况。 ⑥两同心圆无根轴。 第 18 个问题： 什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？ 所谓圆的根心，是相对三个圆来说的。给定平面上三个圆，如果其中任意两个圆都有一
条根轴，则容易证明，这三条根轴交于一点或相互平行。当三条根轴交于一点 P 时，点 P 称为这三个圆的根心或等幂心（点 P 对于三个圆的幂都相等）。因而，上述事实称为根心定 理。