矩阵位移法练习题

结构力学自测题（第八单元）
矩阵位移法
姓名 学号
一、是 非 题（将 判 断 结 果 填 入 括 弧 ：以 O 表 示 正 确 ，以 X 表 示 错 误 ）
1、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵
作 坐 标 变 换。

(
)
2、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有
K ij = K ji ，这 可 由
位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。

() 3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 元 素 K EI l 113
24=/ 。

(
)
EI l
l
EI 212
x
y M , θ
附：
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡---
-----l EI l EI l EI l EI l
EI l EI l EI l EI l EA
l EA l EI l
EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l
EA l EA 460260612061200000260460
6120612000002
22323222323
4、在 任 意 荷 载 作 用 下 ，刚 架 中 任 一 单 元 由 于 杆 端 位
移 所 引 起 的 杆 端 力 计 算 公 式 为 ：{}
[][]{}F
T K e
e
e
=δ 。

(
)
二、选 择 题 （ 将 选 中 答 案 的 字 母 填 入 括 弧 内 ）
1、已 知 图 示 刚 架 各杆 EI = 常 数，当 只 考 虑 弯 曲 变 形 ，且
各 杆 单 元 类 型 相 同 时 ，采 用 先 处 理 法 进 行 结 点 位 移 编 号 ，其 正 确 编 号 是 ：
(0,1,2) (0,0,0) (0,0,0) (0,1,3) (0,0,0) (1,2,0) (0,0,0) (0,0,3)
(1,0,2)
(0,0,0) (0,0,0) (1,0,3) (0,0,0)
(0,1,2)
(0,0,0) (0,3,4)
A.
B.
C.
D.
2
1
3
4 1
2
3 4 1
2 3
4 1 2 3 4 x
y
M , θ ( ) 2、平 面 杆 件 结 构 一 般 情 况 下 的 单 元 刚 度 矩 阵 []k 66⨯，
就 其 性 质 而 言 ，是 ：
(
)
A ．非 对 称 、奇 异 矩 阵 ；
B ．对 称 、奇 异 矩 阵 ；
C ．对 称 、非 奇 异 矩 阵 ；
D ．非 对 称 、非 奇 异 矩 阵 。

3、单 元 i j 在 图 示 两 种 坐 标 系 中 的 刚 度 矩 阵 相 比 ：
A ． 完 全 相 同 ；
B ． 第 2、3、5、6 行 (列 ) 等 值 异 号 ；
C ． 第 2、5 行 (列 )等 值 异 号 ；
D ． 第 3、6 行 (列 ) 等 值 异 号 。

(
)
i
j
y
x
i
j
y
x M , θ
M , θ
4、矩 阵 位 移 法 中 ，结 构 的 原 始 刚 度 方 程 是 表 示 下 列
两 组 量 值 之 间 的 相 互 关 系 ：
(
)
A ．杆 端 力 与 结 点 位 移 ；
B ．杆 端 力 与 结 点 力 ；
C ．结 点 力 与 结 点 位 移 ；
D ．结 点 位 移 与 杆 端 力 。

5、单 元 刚 度 矩 阵 中 元 素 k ij 的 物 理 意 义 是 ：
A ．当 且 仅 当 δi =1 时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力 ；
B ．当 且 仅 当 δj =1时 引 起 的 与 δi 相 应 的 杆 端 力 ；
C ．当 δj =1时 引 起 的 δi 相 应 的 杆 端 力 ；
D ．当 δi =1时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力。

() 6、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁 时 ，结 点 3 的 综 合 结
点 荷 载 是 ：
A ．[]-ql ql 2 12
T
132
； B ．[]ql ql 2132
12T
-；
C ．[]--ql ql 2112 12T
； D ．[]ql ql 2112
12T。

(
)
123
l /2
l
l ql
2
q
4
ql
l /2
x
y
M , θ
7、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 结 构 时 ，已 求 得 1 端 由 杆 端
位 移 引 起 的 杆 端 力 为 {}[]
T
F 461--=，则 结 点 1 处 的 竖
向 反 力
Y 1 等 于 ：
A ．6-；
B ．-10；
C ．10 ；
D ．14 。

(
)
2m
4m
12
3
M 1
Y 20kN/m
1
x
y
M , θ
三、填 充 题 （ 将 答 案 写 在 空 格 内）
1、图 示 桁 架 结 构 刚 度 矩 阵 有 个 元 素 ，其 数 值
等 于。

2m
3m
3m A
B
C D
EA
EA
EA
x
y
M , θ
2、图 示 刚 架 用 两 种 方 式 进 行 结 点 编 号 ，结 构 刚 度 矩 阵
最 大 带 宽 较 小 的 是 图。

3
5
641
2
7
1
2345
6
7
(a)
(b)
3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 主 元 素
K K 1122== , 。

l
l
2EI EI 1
2
x
y M , θ
四、图 a 、b 所 示 两 结 构 ，各 杆 EI 、l 相 同 ，不 计 轴 向 变 形 ，
已 求 得 图 b 所 示 结 构 的 结 点 位 移 列 阵 为
{}∆=-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥ql EI ql REI ql EI 34396192192 T。

试 求 图 a 所 示 结 构 中 单 元 ① 的 杆 端 力 列 阵。

q
1
2
3
4(a)
ql
2
②
③
①
1
2
34
(b)
② ③
① x
y
M , θ
五、图 a 所 示 结 构 (整 体 坐 标 见 图 b )，图 中 圆 括 号 内 数
码 为 结 点 定 位 向 量 (力 和 位 移 均 按 水 平 、竖 直 、转 动
方 向 顺 序 排 列 )。

求 结 构 刚 度 矩 阵 []K 。

(不 考 虑 轴 向 变 形 )
6m
(0,0,0)
(1,0,3)
(1,0,2)6m
(a)
i i
x y
M , θ
①
② (b)
六、求 图 示 结 构 的 自 由 结 点 荷
载 列 阵 {}P 。

l
l
q
M
x
y
M , θ
七、图 a 所 示 结 构 ，整 体 坐 标 见 图 b ，图 中 圆 括 号 内 数
码 为 结 点 定 位 向 量 (力 和 位 移 均 按 水 平 、竖 直 、转 动
方 向 顺 序 排 列 )。

求 等 效 结 点 荷 载 列 阵 {}P E 。

( 不 考 虑 轴 向 变 形 )
kN m 384kN
(1,0,3)
m /m 14m
36(1,0,2)(b)
(a)
x
y M , θ①
②
八、已 知 图 示 连 续 梁 结 点 位 移 列 阵 {}θ如 下 所 示 ，试
用 矩 阵 位 移 法 求 出 杆 件 23 的 杆 端 弯 矩 并 画 出 连 续 梁
的 弯 矩 图 。

设 q = 20kN/m ，23 杆 的 i =⨯⋅10
106.kN cm 。

{}θ=--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭
⎪⎪⨯-365
714572286104
....rad
1
2
3
4
q i 6m
3m
3m x
y M , θ
九、已 知 图 示 桁 架 的 结 点 位 移 列 阵 为
{}[]∆=--017265
04007 0 2.5677 0.0415 1.0415 1.3673 1.6092 1.6408 0 1.2084 T
.. ，EA =1kN 。

试 求 杆 14 的 轴 力 。

1m
1kN
1m
1m
1
35
2
4
6x
y M , θ
1kN
十、试 用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁，绘 弯 矩 图 。

EI =
已 知 常 数 。

A B
C EI 2
D 10 k N/m
50 20 k N kN . m
6 m
4 m
2 m
EI x
y
M , θ
自测题（第八单元）矩阵位移法
答案
一、 1 O 2 X 3 X 4 X 二、 1 A 2 B 3 B 4 C 5 B
6 C
7 D
三、
1、 1 、 2EA/L
2、 b
3、 i EI l
K i K i === , , 1122124 四、
{}{}∆∆a ql EI ql EI ql EI =-=--⎡⎣⎢⎤⎦
⎥12816163
4
3
T
{}
F ql ql ql ql a
①
=---⎡⎣⎢⎤⎦⎥
341434222 T
(7分 )
五、
[]K i =--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥ 1 0 1 8 2 0 2 413/ (10分 )
六、
{}[]
T
/ql +m -/ql -P 12202
= (7分 )
七、
{}[] 2 3
422142
E T
1P =-- (7分 )
八、
M M 233242885140⎧⎨⎩⎫⎬⎭=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭.. 42.88
51.40
90
(kN m).M
( 7分)
九、
N 1400587=-.kN (7分 )
十、
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡4080212
13721θθEI EI EI EI ( 4 分 )； ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧6448121EI θθ ( 2 分 ) ()
()
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧40163462221121M M M M ( 3 分 )
62
16 40 34
45
kN m
.
M
M 图 （ 3 分 ）
本章小结
编码：
整体（结构）编码： 单元码①②③…
结点码ABCD…（1234…）
结点位移（力）码=总码1234… 局部（单元）编码： 杆端码 1 2
（局部坐标系）杆端位移（力）码=局部码
)6)...(2)(1(
（整体坐标系）杆端位移（力）码=局部码
)6)...(2)(1(
不同结点：固定端、铰支端、自由端、中间铰、 中间滑动
不同结构：刚架、忽略轴向变形矩形刚架、梁、 连续梁、桁架、组合结构
[]{}{}
P K =∆{}[]{}
e
e
F T F ={}[]{}{}e P
e
e
e
F k F +∆={}[]{}{}e
P e e e F k F +∆={}
[]{}e
e
T ∆=∆{}
{}{}e
e
∆⇓∆λ{}[]{}
P K 1-=∆{}
⇒
e
F 内力图
[][][][]
T k T k e T e ={}{}
=e P
F {}{}{}
J E P P P +={}[]{}
e
P T
e
P F T F ={}[]{}e E T
e E P T P ={}{}
e
P e
E
F P -={}{}e P
e E F P -={}{}{}E e
e
E P P λ⇓[]{}[]
K k e
e
λ⇓ 前处理法公式汇总：
[][]
=e
k
单元： 刚架单元[]
66⨯k
、梁单元
[]
44⨯k 、连续梁单元
[]
22⨯k 、桁架单元
[]
44⨯k
坐标系：
整体（结构）坐标系、局部（单元）坐标系
转换：
定位：
名称和意义：各矩阵、列阵（向量）、ij ij ij K k k。