多重线性回归模型
第三章 多元线性回归模型
即
Y Xb U
X 称为数据矩阵或设计矩阵。
6
二、古典假定
假定1：零均值假定 E(ui ) 0 (i 1,2,...,n)
1 E ( 1 ) E ( ) 2 2 E (μ) E 0 n E ( n )
写成矩阵形式：
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 2 Yn 1 X 2 n X 31 X k 1 b 1 u1 X 32 X k 2 b 2 u 2 X 3 n X kn b k un
或
ei 1 X 21 X e 1 X 22 2i i X ki ei 1 X 2 n X 31 X k 1 e1 X 32 X k 2 e2 X e 0 X 3 n X kn en
9
当总体观测值难于得到时，回归系数向 量 b 是未知的，这时可以由样本观测值进行 估计，可表示为
ˆ ˆ Xb Y
但实际观测值与计算值有偏差，记为：
ˆ e Y Y
于是
ˆ e Y Xb
称为多元样本回归函数。
10
ˆ b 1 ˆ b2 ˆ b ˆ b k
同理
ˆ x x b ˆ x 2 x3 i yi b 2 2i 3i 3 3i
x2 i yi x x3 i yi x2 i x3 i ˆ b2 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
2 3i
x3 i yi x x2 i yi x2 i x3 i ˆ b3 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
多元线性回归模型
Cov( X ji , i ) 0
j 1,2, k
假设4，随机项满足正态分布
i ~ N (0, 2 )
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，n(k+1)维矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，
即X满秩。
回忆线性代数中关于满秩、线性无关!
假设2，
E (μ)
E
1
E (1 )
0
n E( n )
X ki ) ) X 1i ) X 2i
Yi Yi X 1i Yi X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
解该（ k+1）个方程组成的线性代数方程组，即
可得到(k+1) 个待估参数的估计值
$ j
,
j
0,1,2, ,
k
。
□正规方程组的矩阵形式
en
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不 相关（无多重共线性）。
假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关 性。
E(i ) 0
i j i, j 1,2,, n
Var
(i
)
E
(
2 i
)
2
Cov(i , j ) E(i j ) 0
假设3，解释变量与随机项不相关
这里利用了假设: E(X’)=0
等于0，因为解释变 量与随机扰动项不相 关。
3、有效性（最小方差性）
ˆ 的方差-协方差矩阵为
Co（v ˆ） E{[ˆ E（ˆ）][ˆ E（ˆ）]}
E[(ˆ )(ˆ )]
E{（[ X X）-1X ]（[ X X）-1X ]}
多重线性回归模型注意事项
多重线性回归模型注意事项多重线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量对一个连续因变量的影响。
在应用多重线性回归模型时，需要注意以下几点：1. 数据的合理性检验：使用多重线性回归模型前，需要对数据进行可靠性的检验。
包括检查数据是否存在异常值、缺失值，并采取相应的处理方法。
此外，还需要检验数据是否满足多重线性回归的基本假设，如自变量之间的线性关系、误差项的独立性、误差的均值为零等。
2. 自变量的选择：在建立多重线性回归模型时，需要选择合适的自变量。
一般来说，选择自变量应基于相关性分析、领域知识和理论依据。
同时，要注意避免自变量之间存在多重共线性的情况，多重共线性会导致模型结果不稳定且难以解释。
3. 模型的拟合度评估：对多重线性回归模型进行拟合度评估是非常重要的。
通常使用确定系数R-squared、调整R-squared和F检验等指标来评估模型的拟合优度。
较高的确定系数和显著的F检验结果表明模型比较合适。
4. 异常值和离群值的处理：多重线性回归模型对异常值和离群值非常敏感。
异常值和离群值可能会对估计参数造成较大影响，使模型结果失真。
因此，在建模过程中，需要检查和处理异常值和离群值。
可以采用剔除异常值、转换变量等方法来应对。
5. 模型假设的检验：多重线性回归模型建立时依赖于多个假设，包括线性关系、独立性、正态性和同方差性等。
为了验证这些假设是否成立，可以进行残差的正态性检验、残差的独立性检验和残差的同方差性检验。
若假设不成立，需要采取相应的修正方法或使用其他模型。
6. 变量的标准化与比较：在多重线性回归模型中，自变量的量纲可能不同，可能会对模型的结果产生偏差。
为了解决这个问题，可以对自变量进行标准化处理，将其转化为无量纲的变量，在模型构建和结果解释中更具可比性。
7. 多重共线性的诊断与解决：多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况。
多重共线性会导致模型不稳定、参数估计不准确，降低模型的解释力。
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
多元线性回归模型原理
多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。
多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。
残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。
为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。
R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。
标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。
在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。
线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。
异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。
自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。
当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。
解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。
数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。
岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。
《医学统计学》之多元(重)线性回归
多元(重)线性回归模型的假设
1 线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以用自变量的线性组合来表示。
2 独立性
假设误差项之间相互独立，即每个观测值的误差项不受其他观测值的影响。
3 常数方差
假设误差项具有常数方差，即各个观测值的误差方差相同。
多元(重)线性回归模型的估计方法
最小二乘法
多元(重)线性回归模型的模型选择方法
前向选择法
从不包含自变量的空模型开 始，逐步添加自变量，选择 最佳的组合。
后向消除法
从包含所有自变量的全模型 开始，逐步删除自变量，选 择最简单且最有效的模型。
逐步回归法
结合前向选择法和后向消除 法，逐步调整自变量，找到 最优的模型。
多元(重)线性回归模型的实际应用
医学研究
用于分析多个影响因素对疾病发生、病程进展和治 疗效果的影响。
市场分析
用于预测市场需求和销售量，并确定最佳的市场推 广策略。
财务预测
社会科学
用于预测企业的财务状况，并制定相应的经营决策。
用于研究社会现象和群体行为，解释和预测社会现 象的变化。
通过方差膨胀因子等指标，判断自变量之间是否存在高度相关性，以避免估计结果的不 准确性。
多元(重)线性回归模型的模型检验
1
残差分析
通过观察残差的分布和模式，检验回归模型是否符合基本假设。
2
拟合优度检验
通过比较拟合优度指标（如决定系数R²）和假设分布，评估回归模型的拟合程度。
3
异常值检验
通过检测异常值对回归分析结果的影响，判断数据中是否存在异常观测值。
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在医学统计学中，多元(重)线性回归是一种强大的数据分析方法，可用于探索 和建立多个自变量与因变量之间的关系。
多元线性回归模型常见问题及解决方法
上述即为加权最小二乘法，其中权数 为1 。
f ( X ji )
普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权数恒 取1的一种特例，加权最小二乘法具有比普通 最小二乘法更普遍的意义。
加权最小二乘法也称为广义最小二乘法 (Generalized Least Squares, GLS)。
加权最小二乘法的关键是寻找适当的权，或者
nR2~χ2
在大样本下，对统计量nR2进行相应的χ2检验。
若存在异方差性，表明 e%i2与解释变量的某种 组合有显著的相关性，这时往往有较大的可决 系数R2，并且某一参数的t检验值较大。
加权最小二乘法(WLS)
加权最小二乘法(Weighted Least Squares, WLS) 是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异 方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计 其参数。
2
L k
f
1 (X
ji )
X ki
f
1 (X
ji
)
i
f
1 (X
ji )
X 2i
在新模型中，
2
Var
f
1 (X
ji
)
i
1
f (X ji )
Var(i )
1 f (X ji )
f (X ji ) 2
2
即满足同方差性，可用普通最小二乘法估计其 参数，得到参数β0,β1,…,βk的无偏、有效估计量。
序列相关性产生的原因
经济变量故有的惯性（物价指数，消费） 模型设定的偏误 数据的编造 （由已知数据生成）
(一)经济变量故有的惯性
消费函数模型：
线性模型(3)——多重线性回归模型
前面介绍了简单线性回归模型，接下来讲多重线性回归模型。
简单线性回归是针对一个因变量和一个自变量之间的线性回归关系，而多重线性回归是指一个因变量和多个自变量之间的线性回归关系。
相对于简单线性回归，多重线性回归更具有实际意义，因为在实际生活中，多因素相互作用非常普遍，同时对因变量造成影响的往往不止一个自变量。
多重线性回归主要解决的问题是1.估计自变量与因变量之间的线性关系（估计回归方程）2.确定哪些自变量对因变量有影响（影响因素分析）3.确定哪个自变量对因变量最影响最大，哪个最小（自变量重要性分析）4.使用自变量预测因变量，或在控制某些自变量的前提下，进行预测（预测分析）多重线性回归方程的基本模型为上式中：β0和b0为常数项βk和b k为偏回归系数，表示在其他自变量固定的情况下，某个自变量变化一个单位，相应Y的变换值μ和e为误差项，即Y变化中不能由现有自变量解释的部分===============================================偏回归系数偏回归系数是多重线性回归和简单线性回归最主要的区别，若要考察一个自变量对因变量的影响，就必须假设其他自变量保持不变。
偏回归系数的标准化：偏回归系数是有量纲的，由于各自变量的单位量纲不同，导致他们的偏回归系数无法直接比较，如果我们想综合评价各自变量对因变量Y的贡献大小，就需要对偏标准化系数进行标准化，标准化之后的偏回归系数没有单位，系数越大，说明该自变量对Y的影响幅度越大。
偏标准化系数的计算方法为：=====================================================多重线性回归的适用条件1.线性：因变量与各自变量之间具有线性关系，可通过散点图矩阵来加以判断2.无自相关性：任意两个xi、xj对应的随机误差μi，μj之间是独立不相关的3.随机误差服从均值为0，方差为一定值的正态分布4.在x一定条件下，残差的方差相等(为一常数)，也就是方差齐性以上四点适用条件和简单线性回归类似，需要通过残差图进行判断，如果不满足，需要作出相应的改变，不满足线性条件需要修改模型或使用曲线拟合，不满足2、3点要进行变量转换，不满足第4点不要采用最小二乘法估计回归参数。
医学统计学多重线性回归分析
医学统计学多重线性回归分析多重线性回归分析是一种用于确定多个自变量与一个因变量之间关系的统计方法。
在医学研究中，多重线性回归可以用于探讨多个潜在因素对人体健康和疾病发生的影响。
在多重线性回归中，因变量是要被预测或解释的变量，而自变量是可以用来预测或解释因变量的变量。
医学研究中可能存在多个自变量，因为人体健康和疾病发生是受多个因素综合影响的。
多重线性回归分析可以帮助我们确定每个自变量对因变量的相对重要性，并估计它们的效应。
多重线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是模型的回归系数，ε是误差项。
多重线性回归分析的目标是通过估计回归系数来确定自变量对因变量的影响。
回归系数表示自变量单位变化对因变量的影响程度。
通过检验回归系数的显著性，可以判断自变量是否对因变量有统计上显著的影响。
此外，回归系数的符号可以指示自变量与因变量之间的正向或负向关系。
多重线性回归分析的步骤如下：1.收集数据：收集包括因变量和自变量的数据，通常需要足够的样本量来保证结果的可靠性。
2.数据清洗：对数据进行初步的清洗和整理，包括处理缺失值、异常值和离群值等。
3.模型构建：根据研究目的和理论背景选择自变量，并构建多重线性回归模型。
4.模型估计：通过最小二乘法估计回归系数。
最小二乘法通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定回归系数。
5.模型诊断：对模型进行诊断检验，包括检验残差的正态性、线性性、同方差性等。
如果模型不符合假设条件，需要进行适当的修正。
6.结果解释：通过回归系数的显著性和效应大小来解释结果，确定自变量的影响和重要性。
多重线性回归分析常用的统计指标包括回归系数、标准误、P值和决定系数。
回归系数表示自变量单位变化对因变量的平均影响。
标准误表示回归系数的估计精度。
P值表示回归系数是否统计显著，一般认为P值小于0.05为显著。
应用统计学多重线性回归模型
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
22:17:50
模型的进一步诊断与修正
强影响点的识别
2.强影响点统计量：
在 SPSS 中 ， 可 以 通 过 Save 子 对 话 框 中 的 Influence
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
22:17:50
模型的进一步诊断与修正
强影响点的处理 ⑴ 考虑是否录入错误，如果是，予以改正；否则予以删 除强影响点记录； ⑵ 进行稳健回归，如最小一乘法和加权最小二乘法；
⑶ 进行非参数回归及变量变换等。
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
变量间有大量的信息重叠。
条件指数ki=SQRT（ λ m / λ i ）：≥10，表明存在
共线性。
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
22:17:50
模型的进一步诊断与修正
多重共线性的识别（例2分析结果）
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
22:17:50
模型的进一步诊断与修正
年龄对血压的影响比体重指数对血压的影响大。
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
22:17:50
逐步回归
例2 仍以例1的资料为例，试作逐步回归分
析。数据文件见mreg2.sav。
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
22:17:50
逐步回归
2013年11月30日星期六
重庆交通大学管理学院
Y ＝54.798 +1.379x1 +4.513x2
第三章多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数2R ：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了2R 随解释变量的增加而增大的缺陷，与2R 的关系为2211(1)1n R R n k -=----。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组：采用OLS 方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为ˆX X X Y β''=。
5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。
二、单项选择题1、C ：F 统计量的意义2、A ：F 统计量的定义3、B ：随机误差项方差的估计值1ˆ22--=∑k n e iσ4、A ：书上P92和P93公式5、C ：A 参看导论部分内容；B 在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D 在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99，比较F 统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ：A 截距项可以不管它；B 不考虑beta0；C 相关关系与因果关系的辨析 9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、D ：AB 不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD ：概念性3、BCD ：总体显著，则至少一个参数不为04、BC ：参考可决系数和F 统计量的公式5、AD ：考虑极端情况，ESS=0，可发现CE 错四、判断题、 1、√2、√3、×4、×：调整的可决系数5、√五、简答题 1、 答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。
多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。
在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。
【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。
它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。
多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。
【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。
2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。
3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。
4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。
【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。
3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。
4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。
5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
THANKS
感谢观看
模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
多元线性回归模型
多元线性回归模型引言：多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与一个连续型因变量之间的线性关系。
它是简单线性回归模型的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并分析各个自变量对因变量的影响程度。
本文旨在介绍多元线性回归模型的原理、假设条件和应用。
一、多元线性回归模型的原理多元线性回归模型基于以下假设：1）自变量与因变量之间的关系是线性的；2）自变量之间相互独立；3）残差项服从正态分布。
多元线性回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1，X2，...，Xn代表自变量，β0，β1，β2，...，βn为待估计的回归系数，ε为随机误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法为了确定回归系数的最佳估计值，常采用最小二乘法进行估计。
最小二乘法的原理是使残差平方和最小化，从而得到回归系数的估计值。
具体求解过程包括对模型进行估计、解释回归系数、进行显著性检验和评价模型拟合度等步骤。
三、多元线性回归模型的假设条件为了保证多元线性回归模型的准确性和可靠性，需要满足一定的假设条件。
主要包括线性关系、多元正态分布、自变量之间的独立性、无多重共线性、残差项的独立性和同方差性等。
在实际应用中，我们需要对这些假设条件进行检验，并根据检验结果进行相应的修正。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型广泛应用于各个领域的研究和实践中。
在经济学中，可以用于预测国内生产总值和通货膨胀率等经济指标；在市场营销中，可以用于预测销售额和用户满意度等关键指标；在医学研究中，可以用于评估疾病风险因素和预测治疗效果等。
多元线性回归模型的应用可以为决策提供科学依据，并帮助解释变量对因变量的影响程度。
五、多元线性回归模型的优缺点多元线性回归模型具有以下优点：1）能够解释各个自变量对因变量的相对影响；2）提供了一种可靠的预测方法；3）可用于控制变量的效果。
然而，多元线性回归模型也存在一些缺点：1）对于非线性关系无法准确预测；2）对异常值和离群点敏感；3）要求满足一定的假设条件。
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编号
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
医用多元统计分析方法
身高(cm) x1
135.1 163.6 156.2 167.8 145.0 165.5 153.3 160.5 147.6 155.1 143.0 160.8 158.2 144.5 156.5
体重(kg) x2 32.0 46.2 37.1 41.5 33.0 49.5 41.0 47.2 40.5 44.7 31.5 40.4 37.5 34.7 32.0
n
n
Q
yi yˆ i 2
yi b0 b1 x1 b2 x2 bm xm 2
i 1
i 1
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
最小二乘法(least square, LS) 基本思想
残差平方和(sum of squares for residuals)最小
医用多元统计分析方法
xm2
xmn
n( m
1)
B
b1 bm (
m
E
1)1
e2
en
n1
Y XB E＝Yˆ E
Yˆ XB
yˆ a b1 x1 b2 x2 bm xm
医用多元统计分析方法
回归方程的矩阵形式
1.75
2.00
Y
2.75
1.75
1
1
X
1
1
135.1 139.9 163.6
156.5
32.0
30.4
46.2
0.5657 B 0.005017
32.0
0.05406
31
Y XB E
1.75 0.5657 0.005017135.1 0.05406 32.0 0.0920 2.00 0.5657 0.005017139.9 0.05406 30.4 0.2204
➢ ei ～ N(0, 2)，即正态性(Normality)； ➢ Var(ei)= 2，即方差齐性(Equal variance)；
LINE
医用多元统计分析方法
回归模型的应用条件
Y 成年后的身高(英寸)
71
69
67
65
63
30
32
34
36
38
40
ห้องสมุดไป่ตู้
X 两岁时的身高(英寸)
2岁身高X与成年后身高Y的散点图
多重线性回归模型
Multiple Linear Regression Model
主要内容
1 多重线性回归模型简介 2 偏回归系数的估计 3 方程的假设检验 4 偏回归系数的假设检验 5 决定系数与剩余标准差 6 回归与t检验、方差分析的关系 7 标准偏回归系数与自变量的贡献
医用多元统计分析方法
某地13岁男童身高，体重，肺活量的实测数据(部分)
-------------------------------------------------------------------------
y|
Coef. Std. Err.
t P>|t|
[95% Conf. Interval]
--------+----------------------------------------------------------------
2 偏回归系数的估计
正规方程及矩阵计算法
nb0 x1ib0 x2ib0
x1ib1
x12i b1
x1i x2ib1
x2ib2 x1i x2ib2 x22ib2
xmi bm x1i xmi bm x2i xmi bm
yi x1i yi x2i yi
医用多元统计分析方法
1 多重线性回归模型简介
小结：
yi yˆi ei b0 b1x1i b2 x2i L bm xmi ei
医用多元统计分析方法
主要内容
1 多重线性回归模型简介 2 偏回归系数的估计 3 方程的假设检验 4 偏回归系数的假设检验 5 决定系数与剩余标准差 6 回归与t检验、方差分析的关系 7 标准偏回归系数与自变量的贡献
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
最小二乘法(least square, LS) 基本思想
残差平方和(sum of squares for residuals)最小！
医用多元统计分析方法
成都市男中小学生12个年龄组的平均身高
紫外光对新生小鼠背皮ATP酶阳性的郎格汉斯细胞(LC)照 射不同时间的细胞密度(个/mm3)
当x1=150，x2=32时，yˆ =1.9168， 表示对所有身高为150cm，体重为32kg的13 岁男童，估计平均肺活量为1.9168(L)。
医用多元统计分析方法
回归模型
包含误差项的回归模型 回归模型的应用条件 回归模型的矩阵形式
医用多元统计分析方法
包含误差的回归模型
yˆ a b1x1 b2 x2 L bm xm
y|
Coef. Std. Err.
t P>|t|
[95% Conf. Interval]
--------+----------------------------------------------------------------
x1 | .0299623 .0101372
2.96 0.011
.0080622 .0518624
医用多元统计分析方法
问题：
身高、体重两者与肺活量有无线性关系？ 用身高和体重同时预测肺活量有多高的精度？ 身高的贡献大，还是体重的贡献大？
医用多元统计分析方法
单变量分析的局限性：
复杂性疾病致病机制 遗传因素？ 环境暴露？ 交互作用？
医用多元统计分析方法
主要内容
1 多重线性回归模型简介 2 偏回归系数的估计 3 方程的假设检验 4 偏回归系数的假设检验 5 决定系数与剩余标准差 6 回归与t检验、方差分析的关系 7 标准偏回归系数与自变量的贡献
156.5
32.0 30.4
46.2
32.0
1
1
1
X ' 135.1 139.9 163.6
32.0 30.4 46.2
医用多元统计分析方法
1 156.5
32.0
2 偏回归系数的估计
29.00 4424.70 1076.70 X X 4424.70 677060.37 165239.80
免疫球蛋白A(IgA,g)与火箭电泳高度(Y,mm)的关系
建湖县1978～1985年疟疾逐月发病数
月 发 病 人 数
月份
2 偏回归系数的估计
直线回归方程：残差(residual)
Y 体重增量(g)
190 180 170 160 150 140 130 120 110
600
医用多元统计分析方法
Yˆ 23.9472 0.2305X
肺活量(L) y
1.75 2.75 2.75 2.75 2.50 3.00 2.75 2.25 2.00 2.75 1.75 2.75 2.00 2.25 1.75
身高与肺活量的关系
3
2.5
y
2
1.5 130
医用多元统计分析方法
140
150
160
170
身高(x1)
身高与肺活量的关系
. reg y x1
2
1.5 30
医用多元统计分析方法
35
40
45
50
体重(x2)
体重与肺活量的关系
. reg y x2
Source |
SS
df
MS
-------------+------------------------------
Model | 1.28270887
1 1.28270887
Residual | 1.45062446 13 .111586497
yi yˆi ei b0 b1x1i b2 x2i L bm xmi ei
实测值
预测值
残差
医用多元统计分析方法
回归模型的应用条件
yi yˆi ei b0 b1x1i b2 x2i L bm xmi ei
ei 称为残差:
➢ 自变量与因变量的关系是线性的(Linear)； ➢ Cov(ei,ej)=0，即独立性(Independence)；
xmi b0 x1i xmi b1 x2i xmi b2 xm2 i bm xmi yi
XXB XY
B ( X X )1 X Y
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
正规方程及矩阵计算法
1.75 2.00
Y
2.75
1.75
1
1
X
1
1
135.1 139.9 163.6
700
800
900
X 进食量(g)
1000
2 偏回归系数的估计
6.5
Yˆ l2
6.0
5.5
Yˆ l1
Yˆ a bX
Y Y
5.0
11
12
13
14
15
16
点到回归直线的纵向距离平方和为最小！
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
最小二乘法(least square, LS) 基本思想
残差平方和(sum of squares for residuals)最小
-------------+------------------------------
Total | 2.73333333 14 .195238095