一元二次方程的解法及解题步骤
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法
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龙文教育个性化辅导教案提纲
教师:陈燕玲学生：年级九日期: 星期: 时
三、本次课后作业：
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教师签字：
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一元二次方程的解法的解题技巧总结
一元二次方程的解法的解题技巧总结一元二次方程是中学数学中的常见题型，求解方程的过程需要掌握一定的解题技巧。
下面将对一元二次方程的解题方法进行总结，希望对你的学习有所帮助。
一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 都是已知实数，且a ≠ 0。
二、求解一元二次方程的基本步骤求解一元二次方程的基本步骤如下：1. 将方程按照一般形式准确写出。
2. 判断一元二次方程是否可以因式分解，如果可以，进行因式分解得到两个一次方程，再求解这两个一次方程得到原方程的解。
3. 如果方程不可以因式分解，可以采用配方法，将方程转化为一个平方差的形式，再进行变量替换，进而求解得到方程的解。
4. 如果配方法不适用，可以采用求根公式，即二次方程的根公式，根据公式直接求解得到方程的解。
5. 对于复杂数字的解，应给出复数解的明确形式。
三、因式分解的技巧1. 一元二次方程的因式分解要找到两个整数 m、n，使得 a(m + n) + bn = 0。
2. 通过观察系数 a、b 的正负关系来判断 m 和 n 是否为整数。
3. 不断尝试不同的 m、n 值，直到找到满足条件的因式分解。
四、配方法的技巧1. 配方法是将一元二次方程转化为一个平方差的形式，即 a(x + m)²+ n = 0。
2. 通过观察系数 a、b、c 的关系来确定配方的具体步骤。
3. 根据配方法将方程转化为平方差的形式后，再进行变量替换，得到一个一次方程，从而求解得到方程的解。
五、求根公式的应用1. 一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
2. 公式中的 ±表示两个不同的解。
3. 当判别式 b² - 4ac 大于 0 时，方程有两个不相等的实数解。
4. 当判别式 b² - 4ac 等于 0 时，方程有一个实数解。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
一元二次方程及其解法
一元二次方程及其解法一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、公式法和完成平方法等。
本文将逐一介绍这些解法，并通过例子加深理解。
一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解的形式将方程解出。
具体步骤如下：1. 将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，得到(ax + m)(x + n) = 0的形式；2. 根据分解得到的(x + m)(x + n) = 0，可得到两个线性方程x + m = 0和x + n = 0；3. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -m和x = -n。
例如，解方程2x^2 + 5x + 3 = 0：1. 将方程因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0；2. 得到两个线性方程2x + 1 = 0和x + 3 = 0；3. 解得x = -1/2和x = -3。
二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以利用配方法将其转化为可因式分解的形式。
具体步骤如下：1. 对方程ax^2 + bx + c = 0，将b项的系数b拆分成两个数p和q，使得p + q = b且pq = ac；2. 将方程重写为ax^2 + px + qx + c = 0，并进行合并得到ax^2 +(p+q)x + c = 0；3. 将方程的前两项进行因式分解，并重写为a[x^2 + (p+q)x] + c = 0；4. 提取公因式，得到a[x(x + (p+q))] + c = 0；5. 将方程重新整理为a(x + p)(x + q) = 0的形式；6. 根据分解得到的(x + p)(x + q) = 0，可得到两个线性方程x + p = 0和x + q = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -p和x = -q。
例如，解方程2x^2 + 7x + 3 = 0：1. 将方程配成2x^2 + 6x + x + 3 = 0；2. 可以选择p = 3和q = 1，满足p + q = 7且pq = 6；3. 将方程重写为2x(x + 3) + (x + 3) = 0，并合并得到2x(x + 3) + (x +3) = 0；4. 提取公因式，得到(x + 3)(2x + 1) = 0；5. 因式分解后得到(x + 3)(2x + 1) = 0；6. 得到两个线性方程x + 3 = 0和2x + 1 = 0；7. 解两个线性方程，即可得到方程的解x = -3和x = -1/2。
一元二次方程的解法 有哪些简便解题步骤
一元二次方程怎么解呢，有哪些解题的步骤呢，下面小编为大家提供一元二次方程有哪些解题方法，仅供大家参考。
一元二次方程的解题方法有哪些1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解： 9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b^2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注：X^2是X的平方）解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2, b=-8, c=5b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2= .4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
一元二次方程的解法一元二次方程解题步骤韦达定理公式变形6个
一元二次方程的解法•一元二次方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解一元二次方程方程：求一元二次方程解的过程叫做解一元二次方程方程。
•韦达定理：一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）一般式：ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系：x1+x2= b/ax1·x2=c/a•一元二次方程的解法：1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程，根据平方根的定义可知，x+a 是b的平方根，当时，；当b<0时，方程没有实数根。
用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是b24ac≥0。
即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
•韦达定理公式变形：x1²+x2²=(x1+x2)²2x1x2，1/x1²+1/x2²=(x1²+x2²)/x1x2，x1³+x2³=(x1+x2)(x1²x1x2+x2²)等。
••与韦达定理有关的恒等变形••韦达定理公式•韦达定理：两根之和等于b/a,两根之差等于c/a. •x1*x2=c/a•x1+x2=b/a•韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
总结解一元二次方程的常用技巧
总结解一元二次方程的常用技巧解一元二次方程是数学中的基础知识之一，也是很多学生常常遇到的问题。
掌握解一元二次方程的常用技巧对于提高数学能力和解题速度具有重要意义。
本文将总结解一元二次方程的常用技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、一元二次方程的定义及基本形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。
二、求解一元二次方程的常用技巧1. 通过因式分解法求解当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过解这两个一次方程来求解原方程。
例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3，即原方程的解为x = 2或x = 3。
2. 利用配方法求解当一元二次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。
配方法的基本思路是通过添加合适的常数使得方程左边成为一个平方差的形式，从而方便求解。
具体步骤如下：a. 如果原方程为ax² + bx + c = 0，首先计算方程的判别式Δ = b² -4ac。
b. 如果Δ大于0，则可得到两个实根。
假设方程的根为x₁和x₂，则通过方程x₁ + x₂ = -b/a和x₁x₂ = c/a来求解。
c. 如果Δ等于0，则可得到两个相等的实根。
通过方程x = -b / 2a来求解。
d. 如果Δ小于0，则无实根，方程只有复数解。
举例说明：以方程x² - 4x + 4 = 0为例，使用配方法来求解：a. 计算Δ = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 0。
b. 由于Δ等于0，方程有两个相等的实根x = -(-4) / 2*1 = 2。
即原方程的解为x = 2。
3. 利用求根公式求解一元二次方程还可以通过求根公式来求解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
一元二次方程全部解法
一元二次方程全部解法一元二次方程是高中数学中常见的一个概念，它由形如ax^2+bx+c=0的方程组成，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、因式分解法等。
本文将以一元二次方程的全部解法为题，详细介绍这些解法的原理和步骤。
一、公式法解一元二次方程公式法是解一元二次方程最常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以使用以下公式求解：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)该公式中的±表示两个解，分别对应方程的两个根。
当b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b^2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b^2-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
解一元二次方程的步骤如下：1. 根据方程的系数a、b、c，计算出b^2-4ac的值；2. 判断b^2-4ac的正负情况，确定方程的解的性质；3. 使用上述公式计算方程的解。
二、配方法解一元二次方程配方法也是解一元二次方程常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
配方法的步骤如下：1. 将方程的常数项c拆分成两个数的乘积，使得这两个数的和等于方程的一次项系数b；2. 将方程的二次项系数a移到方程的一边，并在另一边配方；3. 将配方后的表达式转化为完全平方；4. 对方程两边同时开根号，得到方程的解。
三、因式分解法解一元二次方程对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法来求解。
这种方法适用于方程的二次项系数为1的情况。
因式分解法的步骤如下：1. 将方程移项，使方程等于0；2. 将方程分解为两个一次因式的乘积；3. 令每个一次因式等于0，解出方程的根。
四、其他方法解一元二次方程除了公式法、配方法和因式分解法外，还有一些其他的方法可以用来解一元二次方程。
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一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±配方法 :1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧 4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1.将方程右边化为0；2.将方程左边分解为两个一次式的积；3.令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
一元二次方程的解法-公式法
2
x
1 2
25
1 5 2
x
6 60 23
3 15 3
3 15 3
x1 2, x2 3.
x1
, x2
3 15 3
做一做
1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0
解: a 4, b 6, c 0 b 4ac 36 0 36 0
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 若 b2-4ac≥0 得
(a≠0)
求根公式 : X=
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写
出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= =
即
x1= - 3 ,
x2 =
④
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
1 6
即
x1 = -2 ,
x2 =
.
x1 1 6 , x2 1 6
做一做
1.用公式法解下列方程：
(2)x2+x-6=0
解: a 1, b 1, c 6 b 4ac 1 24 25 0
一元二次方程的解法步骤
一元二次方程的解法步骤一元二次方程是一种常见的数学问题，它可以表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的步骤如下：1. 判断方程的解的情况我们需要判断方程的解的情况。
根据一元二次方程的求解公式，当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解；当b²-4ac<0时，方程没有实数解，而是有两个共轭复数解。
2. 使用求根公式根据一元二次方程的求解公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，我们可以将已知的a、b、c带入公式中，求解出方程的根。
其中±表示两个解，一个为加号，一个为减号。
3. 计算方程的解根据求根公式，我们可以计算出方程的解。
首先，我们计算出b²-4ac的值，然后计算出√(b²-4ac)的值，最后带入公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到方程的解。
4. 检验解的正确性为了验证我们得到的解是否正确，我们可以将解代入原方程中进行检验。
将解代入方程中，计算出左边和右边的值，如果两边的值相等，则说明解是正确的；如果两边的值不相等，则说明解是错误的。
5. 注意特殊情况在解一元二次方程时，我们需要注意一些特殊情况。
当a=0时，方程就变成了一元一次方程，解的求解方法也会有所不同。
当b²-4ac=0时，方程只有一个解，即解的重根。
6. 总结解的形式根据方程的解的情况，我们可以总结出方程的解的形式。
当方程有两个实数解时，解的形式为x1和x2；当方程有两个相等的实数解时，解的形式为x；当方程有两个共轭复数解时，解的形式为a+bi 和a-bi，其中a和b都是实数。
解一元二次方程的步骤包括判断方程的解的情况、使用求根公式、计算方程的解、检验解的正确性、注意特殊情况和总结解的形式。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
初二数学一元二次方程解法步骤
初二数学一元二次方程解法步骤一元二次方程是初中数学中的重要概念，解一元二次方程是数学学习的基本技能之一。
在解一元二次方程时，可以根据系数的不同情况，选择不同的解法步骤。
本文将介绍解一元二次方程的常见步骤。
1. 标准形式的一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知实数，a ≠ 0，x 是未知数。
解一元二次方程的步骤如下：(1) 将方程化为标准形式，确保a ≠ 0。
(2) 判断方程的解的情况：- 若 b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解。
- 若 b^2 - 4ac = 0，则方程有两个相等的实数解。
- 若 b^2 - 4ac < 0，则方程无实数解。
(3) 根据情况，使用以下方法求解方程：- 若 b^2 - 4ac > 0，可以使用求根公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a) 求得实数解。
- 若 b^2 - 4ac = 0，可以使用求根公式 x = -b / (2a) 求得相等的实数解。
- 若 b^2 - 4ac < 0，此时方程无实数解。
2. 数字实例解法示范以方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 为例，演示解一元二次方程的步骤：(1) 确保方程已化为标准形式，即a ≠ 0。
方程已满足标准形式的要求。
(2) 计算 b^2 - 4ac 的值：5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49 > 0，表示方程有两个不相等的实数解。
(3) 使用求根公式计算方程的解：x = [-5 ± √(5^2 - 4 * 2 * (-3))] / (2 * 2)= [-5 ± √(49)] / 4= [-5 ± 7] / 4因此，方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 的解为 x = (-5 + 7) / 4 和 x = (-5 - 7) / 4，化简可得 x = 1/2 和 x = -3。
一元二次方程五大解法
一元二次方程五大解法
1、直接开平方法。
对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1=x2=a的形式，其他的都是比较简单。
2、配方法。
在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解。
3、公式法。
公式法是解一元二次方程的根本方法，没有使用条件，因此是必须掌握的。
用公式法的注意事项只有一个就是判断“△”的取值范围，只有当△≥0时，一元二次方程才有实数解。
4、因式分解法。
因式分解，在初二下学期的时候重点讲了，之前也有相关的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的还是挺多的，难度非常容易调节。
5、图像解法。
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。
当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。
当△=0时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）。
当△＜0时，则该函数与轴x相离（没有交点）。
一元二次方程的判别式。
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程ax+bx+c=0（a不等于0）的根与根的判别式有如下关系：△=b2-4ac。
①当△>0时，方程有两个不相等的实数根。
②当△=0时，方程有两个相等的实数根。
③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
一元二次方程的解法及常见练习题示例
一元二次方程的解法及常见练习题示例一元二次方程的解法一元二次方程是一种形式如下的方程：$$ax^2 + bx + c = 0$$其中，$a$、$b$、$c$ 是已知系数，$x$ 是未知数。
解一元二次方程的常用方法有以下两种：配方法和公式法。
配方法和公式法。
配方法对于一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式，从而易于求解。
步骤如下：1. 确保 $a$ 的系数为 1。
如果 $a \neq 1$，则可以通过除以$a$ 进行化简。
2. 将 $b$ 的系数的一半取出来，记作 $m$。
即 $m =\frac{b}{2}$。
3. 将一元二次方程转化为 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 的形式。
4. 将 $(x+m)^2 - m^2 + c = 0$ 分解成 $(x+m)^2 - m^2 = 0$。
5. 化简后得到 $(x+m)^2 = m^2 - c$。
6. 去掉平方，得到 $x+m = \pm\sqrt{m^2 - c}$。
7. 分别移项得到 $x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$。
公式法公式法是解一元二次方程的另一种常用方法，利用以下公式进行求解：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$其中，$\pm$ 的取值可以分别取 $+$ 和 $-$。
常见练题示例下面是一些常见的一元二次方程的练题示例：1. 解方程 $x^2 + 5x + 6 = 0$。
- 使用配方法：$a=1$，$b=5$，$c=6$。
根据配方法的步骤，我们可以得到 $m = \frac{5}{2}$。
将方程转化为 $(x+\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 6 = 0$。
化简后得到 $(x+\frac{5}{2})^2 =\frac{1}{4}$。
去掉平方后得到 $x+\frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}$。
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一元二次方程的解法及解题步骤
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式
ax²+bx+c=0（a≠0）。
1 一元二次方程介绍含义及特点
（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。
一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
（2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（△=b²-4ac）决定。
判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）可以判断方程的根的情况。
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式有如下关系：△=b²-
4ac
①当△>0 时，方程有两个不相等的实数根；
②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；
③当△上述结论反过来也成立。
1 一元二次方程求解方法方法一、公式法
先判断△=b²-4ac，
若△
若△=0，。