一种分段曲线拟合方法研究
一种新的基于最小二乘法的分段直线拟合方法
ｉ ＝１ ｌ ＝ｌ ｌ ＝１
９
１ ０ １ １
一ｌ ９ ． ６ ９ ２ １
－ ２ ２ ． ５ ７ ９ ｌ － ２ ３ ． ２ ８ ８ ３
－３ ０ ． ０ ０ ７ ９
－ ２ ７ ． １ １ ３ ３ － ２ ５ ． ７ ７ ０ ３
，
就 分段 方法 进 行 了探 讨 ，提 出 了新 的
由上 面的实例说 明，采用所 给出 的方法进行分段直线拟合 ， 计 算量少 ， 误差 小 ， 拟合效果也很好 ， 从 而证 明了
点都进行拟合 ，这样就得到全部的分 段直线 的方程。
本 方法 的 可 行 性。 Ｉ ｉ ｉ
作者单位 ： 集 宁 师 范 学 院 数 学 系
第 一步 ，取 实验数 据两个点 （ ｘ ． ，
Ｙ ） （ ｉ ＝ ｌ ， ２ ） ， 利用最小二乘法求 出拟合 直线 的数学模 型ｖ ＝ ａ ｘ ＋ ｂ ，再 取一个新
的点 （ Ｘ ３ Ｙ ， ） 计 算 这 个 新 的 点 与 拟 合 直
ｌ ， Ｉ
对每组数据再进 行线 性拟合 ，得到了 基于最小 二乘法 的分段 直线拟 合 ； 但 它没有给出数据 分段 方法。有人利用 拟合直线 的初始 点Ａ、 终 点Ｂ 和下一 个
１ ２ ： ｙ ＝－０． ３ ８６ ５ｘ 一３ ８． １ ９２ ５； １ ３ ： ｙ ＝－Ｏ． ８ ６９ ７ｘ － ４６． ５ ０ ６８；
２
难以取 得较好 的拟合效果 ，如何改进 最小二乘法 的曲线拟合就成 为研究 焦
点。 有 人 提 出 把 数 据分 成若 干 组 ， 然 后
分段直线的基本 思路是
ｎ
１
１ ３． ３ ６ ７ ０
分段曲线拟合与离散度加权的数据误差处理方法
， 并可根据实 际 需 要， 实现大 频 率 测 量， 从而得到能基本 反 映 被 测 对 象 的 一 条“ 曲 线” 。但是， 由于技术条件的 限 制， 在测试中不可避免地 会产生噪音干扰， 甚至会串入些大的随机冲击干扰， 对测试结果的分 析 产 生 一 定 的 影 响。 因 此， 在分析 前需要对这些数据进行必要的剔除误差处理。当被 测对象具有良好的 连 续 曲 线 特 征， 其数值变化的速 率相对于测量频率 具 有 “缓 变 性” 时， 采用分段曲线 拟合与离散度加权 的 数 据 误 差 处 理 方 法， 可以获得 较好的精度效果。 所谓分段曲线拟合与离散度加权的数据误差处 理方法， 实际上是在分段曲线拟合的基础上， 对每个 测量数据的离散度 进 行 加 权 处 理， 当整个数据拟合 完毕后， 根据各点 的 离 散 度 来 判 断 该 点 是 否 真 的 离 散， 并进行相应 的 数 据 还 原 处 理。 假 设 测 得 一 组 数 （ " ! "， …， ， 规定每个数据点的 据： （ !" ， #" ） #， $， %， $） 离散度 % " 均为 " ， 具体步骤如下： （#） 对数据进行多项式最小二乘法分段拟合， 拟 （ ! ）! ’ " & ’ # ! & … & ’ ( ! ( ， 对 ) 个数据 合函数 & ! 进行拟合， 其中 ) 一般取 ’ 或 ( ， （ !） ( ! $， "#； ! （ !" ） （ " ! "， （$） 求得每段的拟合函数 # " ! & " ! #， …， ， 并计算出对应 ! " 的 # " 拟 合 值 # " ! ， $， $ ) ) & #） 如果 * # " ! ) # " * + * （ * 为事先给定的判断精度） ， 则 该点的离散度加 # ， 否则加 " ； （%） 每拟合完一段后， 数据段向后移动一个数 据 点， 作为下一拟合 段， 并 重 复 上 述 操 作， 直到所有数 据拟合完毕； （,） 接 着 对 各 点 的 离 散 度 进 行 判 断， 当离散度 （ ) & #） （ " ! ,， …， ， 认为 该 点 +$ 时 ’， -， $ ) ,） %" + ! 真离异， 这样， 整个数据中的绝大部分的离散点可以 被判断出来。 而前 ) ) # 这里只 对 # ) ) # 到 # $ ) ) & # 进 行 判 断， 个数据和最后 ) ) # 个数据由于没有参加 ) 次拟合， 故其对应的离 散 度 % " 值 并 不 能 说 明 这 些 点 是 否 离 散。 经上述方法处 理 后， 便可以知道哪些数据为离 散数据， 即可利用 一 定 的 数 学 规 则 对 离 散 点 进 行 必 要的处理， 对其真值进行估算。估算的方法很多， 可 以根据实际测量的具体情况选择适当的数学估算模 型。在这里， 介绍一 种 很 简 便 且 很 实 用 的 估 算 方 法 ［’］ 根据连续曲线特征， 其局部很小一段 — — —中值法 ： 可近视为一小直线段， 当精度要求不是很高时， 采用 这种方法， 可以取得较好的 效 果。具 体 步 骤： 从第 ) 个数据开始， 找出第一个 % " . （ ) & #） 的 点 作 为估 +$ 算起始点， 对其后 % " + !（ ) & # ） 采取 + $ 的 数 据 点，
三次多项式曲线分段拟合
三次多项式曲线分段拟合三次多项式曲线分段拟合第1篇在数学和科学领域，曲线拟合是一种常用的方法，用于找到一个接近实际数据的函数曲线。
其中一种常用的拟合方法是三次多项式曲线分段拟合。
这种方法可以将数据集分成多个区间，并对每个区间进行独立的拟合，从而得到更准确的结果。
三次多项式曲线是指由三次项和常数项组成的多项式函数，其形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
这种曲线可以通过四个控制点来确定，分别是起始点(x0, y0)、终止点(xn, yn)以及两个中间点(x1,y1)和(x2, y2)。
通过调整这些控制点的位置，我们可以得到不同形状的曲线。
在三次多项式曲线分段拟合中，我们将数据集分成若干个区间，并在每个区间内进行独立的拟合。
首先，我们选择一种拟合算法，例如最小二乘法。
然后，对于每个区间，我们选择适当的控制点，并使用拟合算法计算出相应的曲线参数。
拟合算法通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的误差来确定最佳拟合结果。
误差通常使用平方误差或其他合适的度量方式进行计算。
通过调整控制点的位置，我们可以使误差最小化，从而得到最准确的拟合曲线。
三次多项式曲线分段拟合在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，我们经常需要对信号进行平滑处理。
通过将信号分成多个区间，并对每个区间进行三次多项式曲线拟合，可以有效地去除噪声和杂波。
此外，三次多项式曲线分段拟合还可以应用于图像处理和计算机图形学中。
通过将图像分成多个区域，并对每个区域进行拟合，可以实现图像的平滑和修复。
这种方法在数字图像处理中非常常见。
总之，三次多项式曲线分段拟合是一种常用的数据拟合方法，可以用于各种科学和工程领域。
通过将数据集分成多个区间，并对每个区间进行独立的拟合，可以得到更准确的结果。
这种方法在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
第2篇三次多项式曲线分段拟合是一种常用的数学方法，用于拟合实际数据并得到近似的曲线。
曲线分段 matlab
曲线分段 matlab介绍在数学和计算机科学的领域中，曲线分段是一种常见的技术。
在matlab中，我们可以使用不同的方法来实现曲线分段。
本文将介绍曲线分段的概念、matlab中的实现方法以及一些实际应用。
概念曲线分段是将一个连续的曲线分割成多个段的过程。
每个段都可以用一个简单的函数或模型来表示。
这种分段的方法可以使得对复杂曲线的处理更加简单和高效。
matlab中的实现方法在matlab中，有几种常见的方法可以实现曲线分段。
下面将介绍其中的几种方法。
1. 多项式拟合多项式拟合是一种常见的曲线拟合方法。
在matlab中，可以使用polyfit函数来进行多项式拟合。
通过选择适当的多项式阶数，可以将曲线拟合成多个段的形式。
2. 样条插值样条插值是一种通过一系列节点来近似曲线的方法。
在matlab中，可以使用interp1函数进行样条插值。
通过选择适当的节点和插值方法，可以将曲线分割成多个段。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种简单而有效的曲线分段方法。
在matlab中，可以使用interp1函数的'linear'方法进行分段线性插值。
通过选择适当的节点，可以将曲线分割成多个线性段。
实际应用曲线分段在许多领域中都有广泛的应用。
下面将介绍几个实际应用的例子。
1. 图像处理在图像处理中，曲线分段可以用于图像的边缘检测和分割。
通过将图像中的曲线分割成多个段，可以更好地提取出图像中的边缘信息。
2. 机器学习在机器学习中，曲线分段可以用于特征提取和模式识别。
通过将复杂的曲线分割成多个简单的段，可以更好地表示和处理数据。
3. 金融分析在金融分析中，曲线分段可以用于股票价格的预测和趋势分析。
通过将股票价格曲线分割成多个段，可以更好地捕捉股票市场的波动和趋势。
总结曲线分段是一种常见的技术，可以将复杂的曲线分割成多个简单的段。
在matlab 中，可以使用多项式拟合、样条插值和分段线性插值等方法来实现曲线分段。
分段曲线拟合
分段曲线拟合分段曲线拟合是一种将一条曲线分成若干段，然后对每一段分别进行拟合的方法。
这种方法可以有效地处理非线性数据，提高拟合精度。
本文将从以下几个方面介绍分段曲线拟合的原理、方法和应用。
一、分段曲线拟合的原理分段曲线拟合的基本原理是将一条复杂的曲线分成若干段，然后对每一段分别进行线性或非线性拟合。
这样做的目的是将一个复杂的问题简化为多个简单的问题，从而提高拟合的精度和效率。
二、分段曲线拟合的方法1. 数据预处理在进行分段曲线拟合之前，首先需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、去噪、归一化等操作。
数据预处理的目的是消除数据中的噪声和异常值，提高拟合的准确性。
2. 确定分段点确定分段点是分段曲线拟合的关键步骤。
分段点的选择直接影响到拟合的效果。
常用的确定分段点的方法有：基于经验的方法、基于统计的方法和基于优化的方法。
（1）基于经验的方法：根据实际问题的经验，人为地确定分段点。
这种方法简单易行，但可能不适用于复杂的非线性数据。
（2）基于统计的方法：通过统计方法，如聚类分析、主成分分析等，确定分段点。
这种方法可以较好地处理非线性数据，但计算复杂度较高。
（3）基于优化的方法：通过优化算法，如遗传算法、粒子群优化算法等，寻找最优的分段点。
这种方法可以自动地确定分段点，但计算复杂度较高。
3. 分段拟合确定了分段点后，就可以对每一段分别进行拟合。
常用的拟合方法有：线性拟合、多项式拟合、样条拟合等。
这些方法可以根据实际问题的需求，选择合适的拟合方法。
4. 合并结果将每一段的拟合结果合并起来，得到最终的分段曲线拟合结果。
合并方法可以是简单的加权平均，也可以是更复杂的融合方法，如平滑融合、插值融合等。
三、分段曲线拟合的应用分段曲线拟合在许多领域都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、机器学习等。
以下是一些具体的应用实例：1. 信号处理：在信号处理中，经常需要对非线性信号进行拟合。
分段曲线拟合可以将非线性信号分解成若干个线性信号，从而提高拟合的精度。
基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法研究
同样 ， ５ 式中可知偶函数拟合 的方差为 ： 从（ ）
． ｓ ＝∑Ａ（ 一 ＝ ）
（ ０２＋２ 口＋ｃ一 ） ＋（ 口一 ） （ １ 口＋４ ２ ｃ一 ）
（） ７
数 ＝ｂ ＋ ｔ和偶函数 ＝口＋ ｔ。 ｔ ｄ ｃ 下面应用最小 二乘法的基本原理求三次拟合曲线的系数 。 ］
以取得较好 的拟合效果 。针对传统分段 曲线拟合方 法中对数据 点分段 时经验 成分较 多的不足 ， 出 了一种 基于 最小二乘 法 提
原理 的分段 三次 曲线拟合方 法。建立 了三次拟合 曲线方程 ， 通过实 际数据 的检验 ， 验证 了该方法 的拟合效果 。
关键词 数据拟合 多项 式曲线 分段 曲线 最小二乘法
１２ 拟合步骤 ．
因此 Ｓ ＝０ 即奇 函数 的拟合方差为 ０ 达到最 奇 ， ，
佳逼近。
为说明具体 的方 法 ， 令某段数据 的三次拟合曲
线 函数为 ： ＝口＋ｂ ＋ ｔ ＋ ｔ ｔ＝一 ， ，， ， Ｗ ｔ ｃ ｄ（ ２ 一１０ １ ２ 。 以将 此 曲线 函数分解为奇偶 两个 函数 ： ）可 奇函
面的不利 。因此 ， Ｊ 如果只采用一种 多项式 曲线 函
数拟合较多的数据点 ， 以取得较好的拟合精度和 难
效果。为有效地解决上述问题 ， 般采用分段 曲线
的检验， 证明了拟合效果较好 。
拟合。
以往的分 段 曲线拟合 方法主要是针对 在 自然 科学领域中测量的数据而使用 的拟合方法 ， 这些数 据的变化一般都遵循一定 的物理规律。因此 ， 在对
１ １ 基本 方法 ．
这些测量数据拟合 时， 传统 的分段曲线拟合方法一
般 是 先 根 据 主 观 经 验 对 数 据 分 段 ， 后 进 行 然
基于最小二乘法的自动分段多项式曲线拟合方法研究
第 ３期
２ ０ １ ４年 １ 月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ ｏ １ ． １ ４ Ｎｏ ． ３ Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ４
１ ６ ７ ｌ 一１ ８ １ ５ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ － ０ ０ ５ ５ — ０ ４
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
值和拟合值的误差平方和最小的为最优经验函数这 方法 ， 可 能存 在 这 样 的 问题 ： 误 差 平 方 和最 小 ， 但
一
误差 波动 较大 ， 即一 些 点误差 很小 ， 一些 点误 差相 对
较大 。针 对这 种情 况 ， 本 文 提 出一 种新 的确 定 经 验
函数 的方 法 ， 用 几种 不 同的 函数进行 拟合 ， 从 中选取 最优 的经 验 函数 ， 最 优经 验 函数确定 的条 件如 下 ： １ ） 历史 数 据 点误 差 为 正 和 误 差 为 负 的个 数 之 差小 于适 应性参 数 ， 在 本 文 试 验 中选 用 的适 应 性参
⑥
２ ０ １ ４ Ｓ ｃ ｉ ． Ｔ ｅ ｃ ｈ ． Ｅ ｎ ｇ ｒ ｇ ．
基 于 最 小 二 乘 法 的 自动 分 段 多项 式 曲线拟合方法研究
刘 霞 王 运锋
（ 四川大学计算机学院 ； 国家空管 自动化系统技术重点实验室 ， 成都 ６ １ ０ ０ ６ ５ ）
摘
要
针对传统 的分段 曲线拟合 方法在选择拟合 函数和 确定分 段 区间时经验 成分较 多 的不足 ， 提 出一种 自动分 段多项 式
曲线拟合方法 ， 根据误差方差和误差均值 ， 自动确定经验 函数和分段 区间。通过实 际数据 的检验 ， 验证 了该方法 的拟合效果。
时序预测中的分段线性回归模型介绍(四)
时序预测中的分段线性回归模型介绍时序数据分析是一种用来研究时间序列的变化规律和趋势的方法。
在实际生活和工作中，时序预测是非常重要的。
例如，股票价格的预测、气温的预测、销售量的预测等都需要时序预测的方法。
分段线性回归模型是一种常用的时序预测方法，它将时间序列分成若干个区间，然后在每个区间内使用线性回归模型对数据进行拟合。
本文将介绍分段线性回归模型的基本原理和应用。
1. 分段线性回归模型的基本原理分段线性回归模型是一种利用线性回归模型对时间序列进行分段拟合的方法。
假设我们有一个包含n个数据点的时间序列，我们希望找到一条直线来拟合这个时间序列。
传统的线性回归模型假设整个时间序列满足线性关系，但是在实际情况中，很多时间序列并不是完全的线性关系。
分段线性回归模型通过将时间序列分成若干个区间，然后在每个区间内使用线性回归模型来拟合数据，从而更好地捕捉时间序列的非线性特征。
2. 分段线性回归模型的应用分段线性回归模型在时序预测中有着广泛的应用。
例如，在股票价格的预测中，股票价格往往会呈现出明显的上涨和下跌的走势，这种非线性特征可以通过分段线性回归模型来更好地拟合。
又如在气温的预测中，气温随着季节的变化呈现出不同的趋势，分段线性回归模型可以更好地捕捉这种季节性变化。
总的来说，分段线性回归模型适用于任何有明显非线性特征的时间序列数据。
3. 分段线性回归模型的优缺点分段线性回归模型有着自身的优缺点。
其优点在于能够更好地捕捉时间序列的非线性特征，适用性广泛。
另外，分段线性回归模型的参数估计通常比较简单，计算速度较快。
然而，分段线性回归模型也存在一些局限性，例如需要提前确定分段点，这在实际应用中可能比较困难。
另外，分段线性回归模型在区间边界处可能存在不连续的拟合问题。
4. 分段线性回归模型的改进为了克服分段线性回归模型的局限性，研究者们提出了一些改进的方法。
例如，可以使用基于惩罚项的方法来确定分段点，这样可以避免提前确定分段点的问题。
一种基于电压积分法计算伏秒特性曲线的分段拟合方法[发明专利]
![一种基于电压积分法计算伏秒特性曲线的分段拟合方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/f6f208f9a76e58fafab003f4.png)
专利名称：一种基于电压积分法计算伏秒特性曲线的分段拟合方法
专利类型：发明专利
发明人：刘刚,周露,梁嘉浩
申请号：CN201510546672.7
申请日：20150831
公开号：CN105184070A
公开日：
20151223
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种基于电压积分法计算伏秒特性曲线的分段拟合方法，该方法采用电压积分法作为绝缘子闪络判据，并结合数值分析的方法来分段计算非标准波形下的绝缘子串伏秒特性曲线，并进行连续性修正。
这样得到的绝缘子串雷电冲击伏秒特性理论计算曲线与实际实验雷电冲击实验数据拟合的伏秒特性曲线相关性最强。
绝缘子串的闪络特性决定了输电线路的耐雷水平，不考虑雷电波形变化对绝缘子间隙50％放电电压的影响，将会导致实际的线路闪络率与理论计算数据不相符。
所以通过选取电压积分法作为闪络判据，结合数值分析方法，可以得到实际雷电波形作用下的绝缘子串的闪络电压，为电力部门准确评估线路的耐雷水平提供理论参考。
申请人：华南理工大学,南方电网科学研究院有限责任公司
地址：510640 广东省广州市天河区五山路381号
国籍：CN
代理机构：广州市华学知识产权代理有限公司
代理人：罗观祥
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一种SOC-OCV分段拟合方法[发明专利]
![一种SOC-OCV分段拟合方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/2e05335f65ce050877321361.png)
专利名称：一种SOC-OCV分段拟合方法
专利类型：发明专利
发明人：王春燕,何鹏,张自宇,颜伸翔,吴刚,王一松,吴子涵,施帅朋,冯健,胡犇,鲁广超,王衍圣,钱兴国
申请号：CN202010289519.1
申请日：20200414
公开号：CN111638462A
公开日：
20200908
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种SOC‑OCV分段拟合方法，首先，选定某动力电池然后该动力电池进行恒温脉冲充放电实验，记录实验数据，其中包括静置前的电池的正极温度T、电池体中间表面的温度T和电池的负极温度T；接着，基于常规的OCV‑SOC模型确定分段点，再进行分段拟合；然后，进行变环境温度高倍率、长时间连续充放电，拟合出电芯温度和T、T、T的关系模型，再进行考虑电芯温度的SOC‑OCV分段曲线拟合。
本发明给出了两种分段曲线模型可供于不同的工况进行SOC估计，能够提高精度。
申请人：南京航空航天大学
地址：210016 江苏省南京市秦淮区御道街29号
国籍：CN
代理机构：江苏圣典律师事务所
代理人：韩天宇
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ntc 分段曲线拟合法
NTC 分段曲线拟合法简介NTC（Negative Temperature Coefficient）是一种负温度系数热敏电阻，其阻值随温度的变化而变化。
在许多应用中，需要对NTC的温度-阻值曲线进行拟合，以获得准确的温度测量结果。
本文将介绍一种常用的方法——NTC 分段曲线拟合法。
原理NTC 分段曲线拟合法是一种将 NTC 温度-阻值曲线分为多个线性段进行拟合的方法。
该方法的基本思想是，在不同的温度范围内，NTC 的阻值与温度之间存在近似线性的关系。
因此，通过在每个线性段上进行线性拟合，可以得到整个温度范围内的拟合曲线。
步骤NTC 分段曲线拟合法的步骤如下：1. 数据采集首先，需要采集一组 NTC 的温度-阻值数据。
可以使用温度计测量温度，并记录NTC 的阻值。
为了获得更准确的拟合结果，建议在不同的温度下进行多次测量，并计算平均值。
2. 数据处理对于每组温度-阻值数据，需要计算对数温度和对数阻值。
对数温度和对数阻值的计算公式如下：logT = ln(T)logR = ln(R)其中，T 是温度，R 是阻值，ln 表示自然对数。
3. 分段拟合将对数温度和对数阻值数据分为多个线性段。
可以根据实际情况选择分段的数量和分段的温度范围。
每个线性段的拟合可以使用最小二乘法进行。
最小二乘法的基本思想是找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
对于每个线性段，可以使用以下公式进行拟合：logR = a * logT + b其中，a 和 b 是拟合曲线的参数。
4. 拟合结果评估拟合完成后，可以通过计算拟合曲线与原始数据的残差来评估拟合结果的好坏。
残差是指拟合曲线与原始数据之间的差值。
较小的残差表示拟合结果较好。
5. 温度测量使用拟合曲线可以将 NTC 的阻值转换为温度。
根据测得的 NTC 阻值，使用拟合曲线计算对应的温度值。
优缺点NTC 分段曲线拟合法的优点包括：•可以适应不同温度范围内 NTC 的非线性特性。
一种一阶连续分段曲线拟合方法
一种一阶连续分段曲线拟合方法
一阶连续分段曲线拟合是一种拟合技术，它可以用来拟合一组数据，使其可以更好地反映数据的趋势。
它的基本思想是将数据分成几段，每段数据用一条直线来拟合，使得拟合的曲线尽可能地接近原始数据。
首先，我们需要确定拟合曲线的段数，即将数据分成几段。
一般来说，段数越多，拟合的曲线就越精确，但是段数过多会导致拟合的曲线变得复杂，不利于理解数据的趋势。
因此，我们需要根据实际情况来确定段数。
接下来，我们需要确定每段的起点和终点，即确定每段数据的范围。
一般来说，每段数据的范围应该尽可能小，以便拟合的曲线更加精确。
最后，我们需要确定每段数据的拟合直线，即确定每段数据的斜率和截距。
这可以通过最小二乘法来实现，即求解下式：
$$\min \sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2$$
其中，$a$和$b$分别为斜率和截距，$x_i$和$y_i$分别为第
$i$个数据点的横纵坐标。
最后，将每段数据的拟合直线连接起来，就可以得到一阶连续分段曲线拟合的结果。
这种拟合方法可以有效地拟合一组数据，
使得拟合的曲线尽可能地接近原始数据，从而更好地反映数据的趋势。
分段贝塞尔曲线
分段贝塞尔曲线分段贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和计算机图形学中的绘制技术。
它将一条曲线分成许多小段，并使用贝塞尔曲线将这些小段连接起来，从而创造出平滑的曲线效果。
下面我们将详细介绍分段贝塞尔曲线的定义、优点、应用以及其它相关知识点。
1. 定义分段贝塞尔曲线是一种采用贝塞尔曲线将线段连接起来的方法，用于创建更为平滑的曲线。
其基本原理是将一条曲线分成多个小段，直至每个小段都能被充分描述为一个贝塞尔曲线。
通过这种方式，可以减少曲线的复杂度，提高图形显示效果，实现更具美感和精度的图形绘制。
2. 优点相较于其他曲线算法，分段贝塞尔曲线具有许多优点。
首先，它能够制造出一条非常光滑的曲线，因此在视觉上更加舒适。
其次，这种算法允许我们在任何尺寸的屏幕上绘制曲线，从而为我们的图形设计提供了巨大的灵活性。
另外，分段贝塞尔曲线的算法也相对较简单，可以在计算机内存消耗较小的情况下进行处理。
3. 应用分段贝塞尔曲线在计算机图形学领域具有广泛的应用。
它能够用于创建平滑的图形渐变、图形填充、边框以及多种变换操作（如旋转、缩放等等）。
此外，分段贝塞尔曲线还被广泛用于Web设计、移动应用和桌面应用界面的开发中，因为它能够产生非常精美的视觉效果。
4. 相关知识点除了分段贝塞尔曲线，还有许多与之相关的知识点。
例如，由贝塞尔曲线组成的“贝塞尔曲面”也是一种非常有用的图形绘制技术，能够用于创建三维图形、建筑模型等等。
另外，许多计算机图形学程序包（如MATLAB、Python等）也提供了贝塞尔曲线的绘制函数，因此对这些程序包的使用和了解也是分段贝塞尔曲线应用的重要一环。
总之，分段贝塞尔曲线是一种非常有用的图形绘制算法，它允许我们在计算机上轻松绘制平滑和精确的曲线，同时也为计算机图形学的研究和实践提供了一个非常有意思的领域。
u型关联 拆成分段函数建模
u型关联拆成分段函数建模在数学建模中，我们经常会遇到需要对数据进行拟合和预测的问题。
而分段函数是一种常用的建模工具，它可以将数据分成不同的区间，并在每个区间内使用不同的函数来描述数据的变化规律。
本文将以u型关联的方式，探讨如何将数据拆分成分段函数进行建模。
一、什么是分段函数建模分段函数建模是指将数据拆分成不同的区间，并在每个区间内使用不同的函数来描述数据的变化规律。
在实际问题中，数据往往不是呈现出一种简单的线性或指数增长的趋势，而是有着明显的波动和曲线特征。
因此，使用分段函数来建模能够更好地拟合数据的变化规律，提高预测的准确性。
二、u型关联的分段函数建模在分段函数建模中，常常会遇到一些特殊的数据形态，如u型关联。
所谓u型关联，是指在一定范围内，数据的变化趋势呈现出先增后减的特点。
这种数据形态在现实生活中非常常见，比如市场需求的变化、人口增长的规律等。
为了更好地描述u型关联的数据，我们可以将其拆解为两个分段函数。
首先，我们需要找到拐点，即数据从增长转为下降的点。
然后，在拐点两侧分别使用不同的函数来描述数据的变化。
通常情况下，我们可以使用线性函数或二次函数来拟合数据的变化趋势。
三、分段函数建模的步骤下面，我们将介绍一种常用的分段函数建模的步骤，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
1. 数据的整理和观察：首先，我们需要整理和观察待建模的数据。
对于u型关联的数据，我们要注意观察数据的变化趋势，找到可能的拐点。
2. 拟合函数的选择：根据观察到的数据形态，选择合适的拟合函数。
对于u型关联的数据，我们可以选择线性函数或二次函数来拟合。
3. 拆分数据和建立模型：根据拐点的位置，将数据拆分成两个区间，分别使用不同的函数进行拟合。
在每个区间内，使用最小二乘法等方法确定函数的参数，得到拟合模型。
4. 模型的验证和优化：建立模型后，我们需要对其进行验证和优化。
可以使用残差分析等方法来评估模型的拟合效果，并根据需要进行调整和修正。
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一种分段曲线拟合方法研究摘要：分段曲线拟合是一种常用的数据处理方法，但在分段点处往往不能满足连续与光滑.针对这一问题，本文给出了一种能使分段点处连续的方法.该方法首先利用分段曲线拟合对数据进行处理；然后在相邻两段曲线采用两点三次Hermite插值的方法，构造一条连结两条分段曲线的插值曲线，从而使分段点处满足一阶连续.最后通过几个实例表明该方法简单、实用、效果较好.关键词：分段曲线拟合Hermite插值分段点连续Study on A Method of Sub-Curve FittingAbstract：Sub-curve fitting is a commonly used processing method of data, but at sub-points it often does not meet the continuation and smooth, in allusion to to solve this problem, this paper presents a way for making sub-point method continuous. Firstly, this method of sub-curve fitting deals with the data; and then uses the way of t wo points’ cubic Hermite interpolation in the adjacent, structures a interpolation curve that links the two sub-curves, so the sub-point meets first-order continuation; lastly, gives several examples shows that this method is simple, practical and effective.Key words:sub-curve fitting Hermite interpolation sub-point continuous前言数据拟合是一种重要的数据处理方法,其中最常用的是多项式曲线拟合.然而当数据点较多时,多项式阶数太低,拟合精度和效果不太理想，要提高拟合精度和效果就需要提高曲线阶数,但阶数太高又带来计算上的复杂性及其他方面的不利.因此,如果只采用一种多项式曲线函数拟合较多的数据点,难以取得较好的拟合精度和效果.为有效地解决上述问题,一般采用分段曲线拟合.以往的分段曲线拟合方法主要是针对在自然科学领域中测量的数据而使用的拟合方法,这些数据的变化一般都遵循一定的规律.因此,在对这些测量数据拟合时,传统的分段曲线拟合方法一般是先根据主观经验对数据分段, 然后进行拟合.但是对于有些实际问题的数据,比如社会、经济生活中的大量统计数据,这些数据变化的机理一般非常复杂,往往不像物理定律那样有着严格的规律,所以变化的不确定性很强.因此,传统的分段曲线拟合根据主观经验对数据进行分段的做法就显现出明显地不足.针对这种不足,国内外许多文献也讨论过，文献[1]研究的是最小二乘法在曲线拟合中的实现，给出了最小二乘法在多元正交基函数拟合中的计算机实现方法，以常见的二次曲线拟合为例说明了程序编制的要点，在实验的数据处理中具有实用价值；文献[2]讨论分段最小二乘曲线拟合方法，本文在一般最小二乘的基础上提出分段最小二乘曲线拟合的方案，讨论了连接分段拟合曲线的方法，并且给出分段最小二乘多项式拟合的计算方法；文献[4]主要介绍基于最小二乘原理的分段曲线拟合法，在最小二乘的基础上，运用实测数据点的分段曲线拟合法，探讨相应的模型以及用不同类型的曲线拟合同时拟合数据点的具体应用，对一实例,应用MATLAB编程设计，完成模型的求解、显著性检验等，可以得到拟合精度比较高的拟合曲线，该方法原理简便，其模型易用MATLAB编程求解；文献[5]研究的是基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法研究，多项式曲线拟合是一种较常用的数据处理方法，但当数据点较多时，只采用一种多项式曲线函数拟合所有数据点难以得到较好的拟合效果，针对传统分段曲线拟合方法中对数据点分段时经验成分较多的不足，提出了一种基于最小二乘法原理的分段三次曲线拟合方法，建立三次拟合曲线方程，通过实际数据的检验，验证了该方法的拟合效果；文献[6,7,8]主要研究基于分段三次曲线拟合的广州周发案量预测，随着城市化进程的不断加快，城市人口不断增多，广州市未来治安形势预警，支持政府部门和政法部门关于治安工作的决策，首先需要对未来时期的发案量做出比较精确的预测，由于目前广州市方案量统计数据比较少，且发案量受农历春节影响较明显，针对传统时间序列预测方法在此情况下应用不足，提出了基于分段三次曲线拟合的周发案量预测模型，并给出了具体的建模、计算步骤，最后通过实际数据的检验，证明了方法预测效果较好；文献[9]提出了分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用，在分析复杂实验数据时，采用分段曲线拟合方法，利用此方法在段内可以实现最佳逼近，但在段边界上却可能不满足连续性与可导性.为了克服这种现象，本文主要研究一种能使段边界连续的方法，具有一定的理论和实际意义.在前人的基础上，本文总结分段曲线拟合的方法与步骤，介绍了分段三次曲线的拟合方法和两点三次Hermite插值，然后讨论如何利用Hermite插值方法使得分段拟合曲线在连接点处满足连续方法，最后通过一些实例应用，表明本文所介绍的方法具有一定的应用价值.1 最小二乘曲线拟合1.1 最小二乘法[1]令待求的未知量为12,,,t a a a ，它们可由()n n t ≥个直接测量12,,,n y y y 通过下列函数关系求得：11122212331212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)t t t n n t y f a a a y f a a a y f a a a y f a a a ====若j a 为真值，由上述已知函数求出真值j y ，若其测量值为*j y ，则对应的误差为*,(1,2,)j j j y y j n σ=-=.最小二乘法可定量表示为：21min njj σ==∑ （1.1.1）对不等精度的测量，应加上各测量值的权重因子j p ，即：21min nj jj p σ==∑ （1.1.2）最小二乘法是在随机误差为正态分布时，由最大似然法推出的这个结论.它可使测量误差的平方和最小，因此被视为从一组测量值中求出一组未知量的最可信赖的方法.1.2 最小二乘多项式曲线拟合的基本原理[2]1.2.1 线性拟合原理将拟合函数取线性函数是一种简单的数据拟合方法，将数据点1122(,()),(,()),,(,())m m x f x x f x x f x确定线性拟合函数()x a bx ϕ=+ （1.2.1.1） 称为对数据的线性拟合。
对于线性拟合问题，需要求函数2(,)1[()]ma b k k k S a bx y ==+-∑ （1.2.1.2）的最小值点，该问题的几何背景是寻求一条直线，使该直线与数据表所确定的平面散点的纵向距离的平方和最小,如图1.2.1-1所示.（图1.2.1-1）由函数对两个变量求导得：12[()],mk k k Sa bx y a =∂=+-∂∑ （1.2.1.3） 12[()],mk k k k Sa bx y xb =∂=+-∂∑ （1.2.1.4） 其余等于零，得正规方程组112111,m mk k k k m m mk k k k k k k ma x b y x a x b x y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ （1.2.1.5） 也可将其矩阵形式写出来即：112111mm k k k k m m m i k k k k k k m x y a b x x x y =====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑ 解得,a b 的值，将其代入（1.2.1.1）即可得到拟合线性函数. 1.2.2 多项式拟合原理为了确定数据拟合问题，选用幂函数2{1,,,}n x x x 作为函数类，则2012()n n x a a x a x a x ϕ=++++ (1)n m +< （1.2.2.1）这就是多项式拟合函数.为了确定拟合函数2012()n n x a a x a x a x ϕ=++++的系数，需要求解正规方程组011112101111112011111m m mnk k n kk k k m m m mn k k k n k k k k k k m m m mn n n n k k k n k kk k k k ma x a x a y x a x a x a x y x a x a x a x y ===+====+====⎧+++=⎪⎪⎪+++=⎪⎨⎪⎪⎪+++=⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （1.2.2.2） 也可以用矩阵形式表示为11102111111121111m mm n k k k k k k m m m m n k k k k k k k k k n m m mm n n n n k k k k k k k k k m x x y a x x x x y a a x x x x y ===+====+====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 解得01,,,n a a a 即可，将其代入（1.2.2.1）即可得到拟合多项式.2 分段曲线拟合2.1 分段曲线拟合的基本原理[3]先根据实测数据分布的特点，确定分段数目以及相应拟合曲线类型.拟合函数一般可选为多项式函数，因为在一定范围内，连续函数可用多项式任意逼近，然后再应用最小二乘法原理求得各分段拟合方程的系数.基本步骤为：第一步：将数据点分段，确定基函数01(),(),,()n x x x ϕϕϕ， 第二步：根据题目要求，建立正规方程组， 第三步：解正规方程组，求出待定系数， 第四步：写出拟合函数.下面以分段线性拟合与分段三次曲线拟合为例讨论分段拟合的基本过程. 2.1.1 分段线性拟合我们把给出的数据点分成k 组12,,,k N N N ，即1122***1111121211***2121222222***1122(,),(,),,(,)(,),(,),,(,)(,),(,),(,)k kN N N N k k k k kN kN x y x y x y x y x y x y x y x y xy其中12,,,k N N N 为每组数据的个数.首先考虑线性拟合这种简单的情形，对k 组数据点分别应用最小二乘线性拟合，得到各组数据点所对应的近似线性函数，111()g x a b x =+ 1111()N x x x ≤<222()g x a b x =+ 1212()N N x x x ≤<()k k k g x a b x =+ 11()k k k N kN x x x --≤≤而在整个考虑的拟合区间上就得到了1k -条直线段，现在就这1k -条直线段所在各区间的左端点定义1()()i i i iN i iN g x g x +=，该函数就成为整个区间上的数据拟合函数.这就是分段最小二乘线性拟合问题.然而有些数据组并不是每段都呈线性关系，如数据(,)1,2,,i i x y i n =，根据其散点图却发现其前m 个点较接近直线，后n m -个点呈现非线性关系，则可分两段拟合.分别以一次多项式1Y 和n 次多项式2Y 进行拟合，即1Y kx b =+ （2.1.1.1） 为了说明具体的方法，不妨选2Y 的阶数为2，即22012Y a x a x a =++ （2.1.1.2）要保证在边界点(,)m m x y 连续光滑，所以存在两个约束条件2012m m m kx b a x a x a +=++和012m k a x a =+，因此，式（2.1.1.1）和（2.1.1.2）的系数是相关的.解得220m b a a x =-，故式（2.1.1.1）为210102(2)m m Y a x a x a x a =+-+令S 为最小二乘估计量，则2222012001211[(2)]()mnm i mi i i i i i m S a x a x a a x y a xa x a y ==+=++--+++-∑∑通过模型0iSa ∂=∂；0,1,2i =，可求得最小方差S 的012,,a a a 的值，从而确定出式（2.1.1.1）与（2.1.1.2）中的回归系数.最后，通过r =和F 检验值22(2)1n r F r -=-，对回归方程进行显著性检验，式中11ni i y y n ==∑；210102(2)i m i mY a x a x a x a =+-+；22012i i Y a x a x a =++. 当然，根据不同的数据，可分三段进行拟合，或根据不同的数据特点，采用多次曲线拟合方式.2.1.2 分段三次曲线拟合[4,5]设有N 个数据123,,,N Z Z Z Z .因为四个数据点可确定一条三次曲线，但在选取分段点时，必须考虑分段后相邻曲线必须连续，即边界点连续，因此用五个数据点拟合一条三次曲线.拟合方法：首先对数据进行一定的分段，将第一到第五数据分为第一段，再将第五到第九个数据分为第二段，将第九到第十三个数据分为第三段，依次类推进行分组，即前一段末尾的数据为下一段数据的首位，这样便保证了数据分段的连续性.然后再对个分段数据进行三次曲线拟合即可.令某段数据的三次拟合曲线函数为：23(2,1,0,1,2)t w a bt ct dt t =+++=--可以将此曲线函数分解为奇偶两个函数：奇函数3t v bt dt =+和偶函数2t u a ct =+.下面应用最小二乘法的基本原理求三次拟合曲线的系数[6]，由于在每段数据中第一点和最后一点均两次参与拟合，因此，在求一段曲线的拟合方差时需要加权.按照平均分配的原则[7]，求方差的权值2212λλ-==，1011λλλ-===，得到该段曲线拟合的方差2222()t t t t S w Z λ=-=-∑ （2.1.2.1）曲线表示为奇偶函数的形式如下,,t t t t t t t w u v u u v v --=+==- （2.1.2.2） 由（2.1.2.2）可以推导出下式11(),()22t t t t t t u w w v w w --=+=- （2.1.2.3）令,,t t t t t t t Z x y x x y y --=+==-则11(),()22t t t t t t x Z Z y Z Z --=+=- （2.1.2.4）因此拟合方差为222222222222222()() ()() t t t t t t t t t t t t t t t t t t S w Z u v x y u x v y S S λλλλ=-=-=-=-=-=+--=-+-=+∑∑∑∑奇偶（2.1.2.5）即t w 对t Z 的平滑可以看作是奇函数和偶函数分别平滑的叠加.从（2.1.2.5）式中可知奇函数拟合的方差.222223212212() 2() 2()(28)t t t t tt t S x y bt dty b d y b d y λλ=-=-=-=--=+-++-∑∑奇（2.1.2.6）令120280b d y b d y +-=⎧⎨+-=⎩, 解出2112(2)(8)6b y y d y y =-⎧⎨=-⎩. 因此0S =奇，即奇函数的拟合方差为0，达到最佳逼近.同样，从（2.1.2.5）式中可知偶函数拟合方差为2222220122()()2()(4)t t t t Su x a x a c x a c x λ=-=-=-++-++-∑偶（2.1.2.7）由（2.1.2.3）式得知在边界点上2221()42u w w a c -=+=+.考虑到边界点连续这一约束条件，令4e a c =+ （2.3.2.8）因此由式（2.3.2.7）可令2222212012201(4)()2()31()2()44S S a c x a x a c x a x a e x =-+-=-++-=-++-偶 （2.1.2.9） 解令210S a ∂=∂，有01312()3()044a x a e x -++-=,得 10(1283)17a x x e =+- （2.1.2.10）从（2.1.2.10）式可知三次曲线函数的系数,a c 的取值与边界点值有关，将（2.1.2.10）式代入（2.1.2.9）式中可得222222122011(4)()(34)17S S a c x S e x x e x =-+-=--=+-偶偶 .所以得出2222011()(34)17S e x x e x =-++-偶，再令20S e ∂=∂偶，有 20122()(34)017e x x e x -++-=,解得102431718x x x e -+=. （2.1.2.11）联立式（2.1.2.8）、式（2.1.2.10）、式（2.1.2.11），解得012(34)6a x x x =+-012(325)18c x x x =--+最后得到三次拟合曲线表达式为230120122112(34)(325)(2)(8)66186t x x x x x x y y y y w t t t+---+--=+++.3 基于两点三次Hermite 插值的分段曲线拟合3.1 插值的定义定义3.1.1[9] 设函数()y f x =在区间[,]a b 上有定义，且已知在点012n a x x x x b ≤<<<<≤处的函数值(),(0,1,2,,)j j y f x j n ==，若存在n 次多项式 2012()n n n p x a a x a x a x =++++ （3.1.1）使得(),(0,1,2,,)n j j p x y j n == （3.1.2） 成立，则称()n p x 为()f x 的插值多项式，012,,,,n x x x x 为插值结点，()f x 为插值函数.3.2 Hermite 插值方法Hermite 插值方法可以处理插值条件中合导数值的插值问题，即知道插值结点处的函数值以及导数值，求插值多项式的插值问题. 3.2.1 三次Hermite 插值考虑两个插值结点的情形，设01a x x b ≤<≤，函数()[,]f x c a b '∈且已知00110011(),(),(),()f x y f x y f x m f x m ''====， 在区间[,]a b 上求三次插值函数230123()H x a a x a x a x =+++ （3.2.1.1） 使其满足插值条件(),(),(0,1)j j j j H x y H x m j '===. （3.2.1.2）定理3.2.1.1[9] 满足插值条件（3.2.1.2）的三次Hermite 插值多项式是存在且唯一的. 证明：由插值条件得线性方程组2300000231111122000231111101230123a y x x x a y x x x a m x x a m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3.2.1.3）考虑系数矩阵行列式，利用行列式的拉普拉斯展开定理，可得230002341111020021111()01230123x x x x x x x x x x x x =-- （3.2.1.4） 故系数矩阵非奇异，线性方程组（3.1.2.3）有唯一解，从而三次多项式存在且唯一.例 1 求满足插值条件0011()1,()0,()0,()0x x x x αααα''====的三次插值多项式()x α，以及满足插值条件0101()0,()0,()1,()0x x x x ββββ''====的三次插值多项式()x β.解：由于1x 是三次多项式()x α的二重零点，故可设2121)()()(x c x x x c α+-=由插值条件00)1,()0(x x αα'==得210201)()1(x c x x c +-=， 210110201()2()()0x x c x c x x c -++-=求解得012323010101221,()()()x c x x x x x x c =-=+--- 代入2121)()()(x c x x x c α+-=整理得2011010)()()(12x x x x x x x x x α----=+ 现求()x β，由于1x 是三次多项式()x β的二重零点，0x 是一重零点，故可设201)()()(x x x c x x β-=-由插值条件0()1x β='得2010001)2()()]1[(x x x x x c x -+--=求解得2101()x x c -=所以21010)()()(x x x x x x x β--=- 注：例题中的两个特殊的插值函数实际上是两点Hermite 插值的基函数.定理3.2.1.2[9] 两点Hermite 插值函数可以用基函数的方法表示为00110011()()()()()x y x m x m x H x y ααββ+++=，01,][x x x ∈ （3.2.1.5） 其中2010101020111010210010201110()(12)()()(12)()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αββα--=+----=+---=---=--注：定理3.2.1.2中的0101(),(),(),()x x x x αββα为Hermite 插值基函数，其中1 () ()00 i j i j i jx x i j αβ=⎧==⎨≠⎩；1 () ()00i j i j i jx x i j βα=⎧''==⎨≠⎩例2 给定(1)0,(1)4,(1)2,(1)0f f f f ''-==-==，求Hermite 插值多项式. 解：30101()0()4()2()0()H x h x h x g x g x =+++. 显然本题不必计算01(),()h x g x .221(1)(1)()12(2)(1)111(1)x x h x x x ⎛⎫---⎛⎫=+=-+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 2201()((1))(1)(1)411x g x x x x -⎛⎫=--=+- ⎪--⎝⎭310()4()2()H x h x g x =+2231()(2)(1)(1)(1)2H x x x x x =-+++-3.3 基于Hermite 插值的分段曲线拟合基本原理的主要步骤第一步：根据给出的数据做出其散点图，第二步：分析散点图的特点，通过拟合试验确定分段拟合函数， 第三步：采用MATLAB 编程求得分段拟合函数的表达式， 第四步：利用Hermite 插值求出分段边界点的插值多项式， 第五步：将插值多项式与分段拟合函数连接成连续的拟合曲线.4 实例应用例3 在农业生产试验研究中，对某地区土豆的产量与化肥的关系做了一实验， 得到磷肥的施肥量与土豆产量的对应关系如表4-1所示.根据上表的数据给出土豆产量与磷肥的关系做出其散点图，如图4-1所示.土豆产量(公斤)051015202530354045050100150200250300350400土豆产量(公斤)图4-1磷肥的施肥量与土豆产量对应关系的散点图从图可看出从 0 到 98、从 98 到 342 之间分别呈明显的线性关系， 由此可选取所求拟合函数为一分段的线性函数作拟合试验，换言之，用前 5 点作一线性拟合函数，再用后 5个点也作一线性拟合函数.采用MATLAB 编程（见附录1）求得，对磷肥的分段拟合函数0.084432.07710.009039.1303x y x +⎧=⎨+⎩分段拟合图如图4-2所示.图4-2磷肥的施肥量与土豆产量分段拟合曲线图考虑到边界点不连续，采用两点三次Hermite 插值使边界点连续的方法，由于(98)40.3483,(147)40.4533,(98)0.0844,(147)0.0090y y y y ''====，故可以设其Hermite 插值多项式为30101()40.3483()40.4533()0.0844()0.0090()H x h x h x g x g x =+++经计算得2232240.3483(147)(2147)40.4533(98)(3432)()1176490.0844(147)(98)0.0090(98)(147)2401x x x x H x x x x x --+--=--+--+即323()0.00003711550.0144093294 1.839257142936.444499972H x x x x =-+-将插值多项式与分段边界点连接便可以得到连续的拟合曲线图，达到较好的拟合效果. 拟合曲线图如图4-3所示（程序见附录2）.图4-3磷肥的施肥量与土豆产量的Hermite 插值分段拟合曲线图例4 弹簧受力F 的作用伸长x ,F 与x 在一定范围内服从虎克定律：F kx =（x 为弹性系数），呈线性关系；但当F 增加到一定值后，不再服从虎克定律.一次试验测得的数据如表4-2所示，其散点图如图4-4所示.x (cm)1 3 5 7 9 11 12 14 16 18 F (N)1.95.38.612.115.716.819.220.721.421.8(N)051015202502468101214161820(N)图4-4弹簧受力与伸长量的关系的散点图通过散点图先拟合试验，得出前5个点可用线性拟合，后5个点可作二次函数拟合；同样采用分段拟合的方法，方法同例3（可设211221202,y kx b y a a x a x =+=++）.运行程序（见附录3）可得0120.1350; 4.5518;16.5508; 1.7200;0.1200a a a k b =-==-==.同样将拟合函数的边界点采用两点三次Hermite 插值.由(9)15.6000,(11)17.1840,(9) 1.7200,(11) 1.5818y y y y ''====，采用MATLAB 编程（见附录4）求得插值多项式为3230.429449999999999712.91805000000000129.8885499999999 420.1039499999994H x x x=-+-再用插值多项式连接分段拟合曲线的边界点便可得到较好的拟合图形，拟合曲线如图4-5所示（程序见附录5）.图4-5弹簧受力与伸长量的Hermite 插值分段拟合曲线图例5 在油页高温分解的过程中，一种苯有机分解成沥青及其他物质，要了解沥青在一定温度下随时间t （分钟）变化的相对浓度y （%）之间的关系.试验如表4-3所示，散点图如图4-6所示.图4-6沥青的相对浓度与时间变化的关系的散点图同样通过散点图先作拟合试验，得出前5个点可采用三次多项式拟合，后5个点可采用二次多项式拟合，可设分段拟合函数为32211121314212223,y a x a x a x a y b x b x b =+++=++ 运行程序（见附录6）得出12341230.0002;0.0285; 1.5456;7.44910.0013;0.1747;16.2750a a a ab b b ==-==-=-== 再将拟合函数的边界点采用两点三次Hermite 插值，由(65)20.4974,(80)22.2531,(65)0.3756,(80)0.3827y y y y ''====采用MATLAB 编程（见附录7）计算求得插值多项式为3230.0023298074074074070.506496444444444036.68982888888888 864.2173592592588H x x x=-+-将插值多项式连接分段拟合曲线的边界点后得到的拟合曲线图，拟合曲线见图4-7（程序见附录8）.图4-7沥青的相对浓度与时间变化的关系的Hermite插值分段拟合图5 结束语本文介绍最小二乘多项式曲线拟合的基本原理，在具体介绍线性拟合、多项式拟合的基本及方法的基础上，给出了分段曲线拟合的方法与步骤.分段曲线拟合是一种常用的数据处理方法，但是在分段点处往往不能满足连续与光滑，针对这一问题，本文进一步给出了Hermite插值的基本原理，并采用两点三次Hermite插值连接分段曲线，从而使分段点处满足一阶连续，最后通过三个实例表明该方法的拟合效果较好.另外，本文仅讨论了使用Hermite插值连接分段线性、分段多项式曲线拟合的方法，对其他种类的曲线未作讨论.事实上，两点三次Hermite插值的方法连接其他种类的拟合曲线同样适用.参考文献[1] 聂翔, 张瑞林. 最小二乘法在曲线拟合中的实现[J]. 陕西工学院学报, 2000, 3: 79-82.[2] 张东林. 分段最小二乘曲线拟合[J]. 沈阳大学学报(自然科学版), 1994, 2: 80-83.[3] 刘晓莉, 陈春梅. 基于最小二乘原理的分段曲线拟合法[J]. 伊犁教育学院学报, 2004, 17(3):131-136.[4] 蔡山, 张浩, 陈洪辉, 等. 基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法研究[J]. 科学技术与工程,2007, 7(3): 352-355.[5] 张浩, 任义广, 沙基昌. 基于分段三次曲线拟合的广州周发案量预测[J]. 计算机仿真, 2008, 25(6):257-260.[6] Roychowdhury S. Fuzzy curve fitting using least square principles[J]. IEEE International Conferenceon Systems, Man and Cybemetics, 1998, 4: 4022-4027.[7] 高伟, 姜水生. 分段曲线拟合与离散度加权的数据误差处理方法[J]. 中国测试技术, 2005, 11:55-56.[8] 张兴元. 分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用[J]. 西南民族大学学报(自然科学版),2007, 33(3): 486-490.[9] 钟尔杰, 黄延祝. 数值分析(第四版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.[10] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005.[11] 刘卫国. MA TLAB程序设计与应用(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.致谢经过几个月的努力和忙碌，本次毕业论文即将完成，对为一个本科生的毕业论文，由于经验不足，难免有许多地方考虑不全面，如果没有指导老师的督促与辛勤的指导，以及一起学习的同学们的帮助与支持，想顺利的完成这篇论文比较难.值此论文完成之际，首先对指导老师李军成老师表示最诚挚的感谢与崇高的敬意.李老师严谨的治学态度，深厚渊博的学术素养，敏锐的思维，积极进去的精神，严以律己，宽以待人的崇高品质，乐观向上的人生态度，谦逊和蔼的为人品德，平等的师生关系，尤其是认真负责的工作态度均给我留下了不可磨灭的印象，相信对我今后的学习、工作以及生活都会有着深远的影响.感谢陈国华主任、杨笃庆书记、谭本远主任等数学系领导们，你们认真负责的治学态度和高速度、高效率的办事方式深深的感染了我们，让我们能够时时刻刻提醒自己要认真负责对待每件事情、每一个环节，感谢梁经珑老师、杨涤尘老师、余星老师、李军成老师、邓华老师、钟月娥老师、孙红果老师、李兵老师、龙承星老师等数学系的老师们，你们的授课方式与渊博的知识深化了我们的知识面，拓广了我们的视野，使我们对数学有了更浓厚的兴趣与体会.感谢杜鹃老师、郑丽峰老师，你们热忱的帮助使我们有一个很好的学习氛围来完成论文.在本文的写作过程中，李军成老师，石小芳、彭迪、方其斌等同学提出了许多宝贵的意见，此论文的完成离不开他们的指导，特别是李军成老师；他们渊博的学识与敏锐的头脑让我受益匪浅.再次对帮助我的人表示衷心的感谢.附录1 磷肥的施肥量与土豆产量的分段拟合函数程序x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.26,42.17,40.36,42.73];plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),1)xx1=0:98; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=147:342; yy2=a2(1)*xx2+a2(2);plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2)附录2 磷肥的施肥量与土豆产量的Hermite插值的分段拟合曲线图程序x=[0,24,49,73,98,147,196,245,294,342];y=[33.46,32.47,36.06,37.96,41.04,40.09,41.26,42.17,40.36,42.73];plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),1)xx1=0:0.01:98; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=147:0.01:342; yy2=a2(1)*xx2+a2(2);xx3=98:0.01:147;yy3=0.0000371155*xx3.^3-0.0144093294*xx3.^2+1.83925 71429*xx3-36.444499972;plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2,xx3,yy3)附录3 弹簧受力与伸长量的关系的分段拟合函数程序x=[1,3,5,7,9,11,12,14,16,18];y=[1.9,5.3,8.6,12.1,15.7,16.8,19.2,20.7,21.4,21.8];plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),2)xx1=1:0.01:9; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=11:0.01:18; yy2=a2(1)*xx2.^2+a2(2)*xx2+a2(3);plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2)附录4 弹簧受力与伸长量的关系的两点三次Hermite插值多项式程序format long eclf,clear,x0=9;x1=11;y0=15.6000;y1=17.1840;m0=1.7200;m1=1.5818;x=linspace(9,11,100);y=linspace(15.6000,17.1840,100);m=2*(y0-y1)+(m0+m1)*(x1-x0);n=3*(x0+x1)*y1-3*(x0+x1)*y0-(2*x1+x0)*m0*(x1-x0)-(2*x0+x1)*(x1-x0)*m1;k=6*x0*x1*(y0-y1)+(x1-x0)*((m0*x1.^2+m1*x0.^2)+2*x1*x0*(m0+m1));q=x1.^2*(x1-3*x0)*y0+x0.^2*(3*x1-x0)*y1-x0*x1*(x1-x0)*(x1*m0+x0*m1);p=(x1-x0).^3;a=m/pb=n/pc=k/pd=q/py=a*x.^3+b*x.^2+c*x+d;plot(x,y,'r-')附录5 弹簧受力与伸长量的Hermite插值的分段拟合曲线图程序x=[1,3,5,7,9,11,12,14,16,18];y=[1.9,5.3,8.6,12.1,15.7,16.8,19.2,20.7,21.4,21.8];plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),1)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),2)xx1=1:0.01:9; yy1=a1(1)*xx1+a1(2);xx2=11:0.01:18; yy2=a2(1)*xx2.^2+a2(2)*xx2+a2(3);xx3=9:0.01:11;yy3=0.4294499999999997*xx3.^3-12.91805000000000*xx3.^2+129.8885499999999*xx3-420.1039499999994;plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2,xx3,yy3)附录6 沥青的相对浓度与时间变化的关系分段拟合函数程序x=[5,15,20,50,65,80,100,120,160,180];y=[0,8.0,15.1,20.1,20.5,22.0,20.9,18.2,11.5,5.5];plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),3)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),2)xx1=5:0.01:65; yy1=a1(1)*xx1.^3+a1(2)*xx1.^2+a1(3)*xx1+a1(4);xx2=80:0.01:180; yy2=a2(1)*xx2.^2+a2(2)*xx2+a2(3);plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2)附录7 沥青的相对浓度与时间变化的两点三次Hermite插值多项式程序format long eclf,clear,x0=65;x1=80;y0=20.4974;y1=22.2531;m0=0.3756;m1=0.3827;x=linspace(65,80,100);y=linspace(20.4974,22.2531,100);m=2*(y0-y1)+(m0+m1)*(x1-x0);n=3*(x0+x1)*y1-3*(x0+x1)*y0-(2*x1+x0)*m0*(x1-x0)-(2*x0+x1)*(x1-x0) *m1;k=6*x0*x1*(y0-y1)+(x1-x0)*((m0*x1.^2+m1*x0.^2)+2*x1*x0*(m0+m1));q=x1.^2*(x1-3*x0)*y0+x0.^2*(3*x1-x0)*y1-x0*x1*(x1-x0)*(x1*m0+x0*m1 );p=(x1-x0).^3;a=m/pb=n/pc=k/pd=q/py=a*x.^3+b*x.^2+c*x+d;plot(x,y,'r-')附录8 沥青的相对浓度与时间变化的Hermite插值的分段拟合曲线图程序x=[5,15,20,50,65,80,100,120,160,180];y=[0,8.0,15.1,20.1,20.5,22.0,20.9,18.2,11.5,5.5];plot(x,y,'r+')a1=polyfit(x(1:5),y(1:5),3)a2=polyfit(x(6:10),y(6:10),2)xx1=5:0.01:65;yy1=a1(1)*xx1.^3+a1(2)*xx1.^2+a1(3)*xx1+a1(4);xx2=80:0.01:180;yy2=a2(1)*xx2.^2+a2(2)*xx2+a2(3);xx3=65:0.01:80;yy3=0.002329807407407407*xx3.^3-0.5064964444444440 *xx3.^2+ 36.68982888888888*xx3-864.2173592592588;plot(x,y,'r+',xx1,yy1,xx2,yy2,xx3,yy3)。