专题：一次函数与三角形的面积
一次函数与反比例函数求三角形面积
一次函数与反比例函数求三角形面积一次函数与反比例函数求三角形面积摘要：本文将介绍如何使用一次函数和反比例函数来求解三角形的面积。
这两种函数都与直线相关，而直线在几何学中起着重要的作用。
通过将三角形分割成矩形、直角三角形和平行四边形，我们可以使用一次函数来计算三角形的面积。
另外，我们还可以使用反比例函数来求解含有直角三角形斜边的三角形面积。
本文将详细介绍如何使用这两种函数来计算三角形的面积，并且提供了详细的计算步骤和示例。
第1节：一次函数与三角形面积的关系我们知道，一次函数是指变量的最高次数为1的函数。
在平面几何中，一次函数通常表示直线，直线的方程可以用一次函数的形式表示。
因此，我们可以使用一次函数来描述三角形的边界。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个三角形ABC，其中顶点A的坐标为(x1, y1)，顶点B的坐标为(x2, y2)，而顶点C的坐标为(x3, y3)。
通过顶点A和顶点B，我们可以得到一条直线AB。
假设直线AB的方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。
接下来，我们可以使用直线AB的方程来计算三角形的面积。
三角形的面积可以通过底乘以高的方式计算，其中，底为两个顶点的横坐标之差，高为顶点A到直线AB的距离。
用数学公式表示，三角形ABC的面积为：S = 1/2 * (x2 - x1) * (y1 - (k * x1 + b))在这个公式中，我们已经通过直线AB的方程得到了斜率k和常数b。
通过代入底和高的数值，就可以计算出三角形的面积。
第2节：反比例函数与三角形面积的关系反比例函数是指函数的形式为y = k/x，其中k为常数。
在几何学中，我们可以使用反比例函数来描述平面上的角。
导出三角形的面积公式：假设有一个三角形ABC，其中角A的度数为x°，角的余弦值为y。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：cos(x) = y然后，我们可以通过求解cos(x) = y的方程，得到角A的度数x。
一次函数面积问题专题(含答案)
精心整理一次函数面积问题1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB 交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3）的图（（的面积是，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点A（2，06、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（29（1（210AB11（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积为6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
12、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分为两部分，（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值?（2）若△AOB被分成的两部分面积为1：5，求k和b的值13、直线y=-x+3交x，y坐标轴分别为点A、B，交直线y=2x-1于点P，直线y=2x-1交x14，0），15点分别是D和C?（1）求直线L l，L2的解析式???（2）求四边形ABCD的面积?（3）设直线L1，L2交于点P，求△PBC的面积答案：1、A（-4，5）?OA：y=-x2、C（-2，1）a：y=-x或C（-1，2）a：y=-2x3、（1）A（-n，0）B（m，0）P（，）（，）4、m=10-25、B6、a=4-7、P89、(1)A(，),(2)10、y=--x?11。
一次函数面积专题附答案
一次函数面积专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，5)，B (-3，-3)和C (7，2)，求△ABC 的面积．【答案】30 【解析】 【分析】解法1：延长AC 交x 轴于点D ，先求出直线AC 的解析式，从而得出点D 的坐标，再利用=+-ABCAEDBEFCFDSSSS即可．解法2：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，然后利用矩形=---ABCBEACFACBGBEFG SS SSS就可得到所求三角形的面积．解法3：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，据勾股定理求得45AB =同理可得35AC =55BC =由勾股定理逆定理和三角形的面积公式即可得出答案． 解法4：作AM//y 轴交BC 于M ，先得出直线BC 解析式为1322y x =-，然后得出点M (1，-1)，从而确定水平宽a =10，铅垂高h =6，再利用=+ABCABMACMS SS即可；【详解】解法1：如图2，延长AC 交x 轴于点D ． 因为A (1，5)，C (7，2)，所以直线AC 的解析式为11122y x =-+，所以点D 的坐标为D (11，0)．同理，可以求出点E 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，点F (3，0)，所以DE =252，EF =92，DF =8，所以1252783044ABCAEDBEFCFDSSSS=+-=+-=．解法2：如图3，分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ． 因为A (1，5)，B (-3，-3)，C (7，2)， 所以E (-3，5)，F (7，5)，G (7，-3)，所以BE =8，BG =10，AE =4，AF =6，CF =3，CG =5， 所以801692530ABCBEACFACBGBEFG SS SSS=---=---=矩形．解法3：如图4，在Rt △ABE 中，因为A (1，5)，B (-3，-3)，E (-3，5)， 所以根据勾股定理求得45AB = 同理可得35AC =55BC = 因为2224580125AC AB BC +=+==， 所以由勾股定理逆定理得90BAC ∠=︒． 所以1145353022ABCSAB AC =⋅=⨯=．解法4：如图5，由B (-3，-3)，C (7，2)容易得到水平宽a =10， 所以直线BC 解析式为1322y x =-． 作AM//y 轴交BC 于M ， 令x =1，代入1322y x =-得y =-1，则M (1，-1)． 此时，可以得到铅垂高h =5+1=6． 所以1211130222ABCABMACMSSSAM h AM h a h =+=⋅+⋅=⋅=．2．如图，已知直线AB 经过A (2，0)，B (0，1)两点，点P 的坐标为(-2，a )，且0<a <2．若△ABP 的面积是1，求a 的值．【答案】1 【解析】 【分析】方法1：先根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，再过点P 作QN x⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可；方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，利用P 、B 两点坐标求出直线PB 的解析式为112a y x -=+，进而求出Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可； 方法3：过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，由直线OP 与直线AB 平行，且过原点，得到直线OP 的解析式即可求解． 【详解】 方法1：如答图所示，过点P 作QN x ⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 则直线AB 的解析式为112y x =-+，令x =-2得y =2，则Q (-2，2)． 由42(2)1ABPAQNPNAPQBSSSSa a =--=---=，解得a =1．方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，直线PB 的解析式为y kx b =+．将P (-2，a)，B (0，1)两点坐标代入可得21k b ab -+=⎧⎨=⎩，解得121a k b -⎧=⎪⎨⎪=⎩． 则直线PB 的解析式为112ay x -=+．a =1时，显然成立； 1a ≠时，令y =0得x =2a 1-，则Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭．如图所示，121212212121ABPABQPQASSSa a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 解得a =1，又1a ≠，故此时a 不存在．综上得a =1．方法3：如答图所示，过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，连接AP ，BP ． 因为“平行线间的距离处处相等”，所以△ABP 与△AOB 同底等高，面积都是1． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的解析式为112y x =-+． 因为直线OP 与直线AB 平行，且过原点，所以直线OP 的解析式为12y x =-．令x =-2得a =1．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x b =-+的图象与正比例函数y kx =的图象都经过点()3,1B ．（1）求一次函数和正比例函数的解析式；（2）若点(),P x y 是线段AB 上一点，且在第一象限内，连接OP ，设APO ∆的面积为S ，求面积S 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）y =﹣x +4，13y x =；（2）S =2x （0＜x ≤3）． 【解析】 【分析】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 得1=﹣3+b ，1=3k ，解得：b =4，k 13=，∴y =﹣x +4，y 13=x ；（2）∵点P （x ，y ）是线段AB 上一点，∴S 12OA =•xP 142x =⋅⋅=2x （0＜x ≤3）．【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x m =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点()2,4C ．(1)求m 的值及2l 的解析式；(2)若点M 是直线12y x m =-+上的一个动点，连接OM ，当AOM 的面积是BOC 面积的2倍时，请求出符合条件的点M 的坐标；(3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【答案】(1)5m =，2l 的解析式为2y x =(2)()6,2M 或()142，(3)12k =-或2或1【解析】 【分析】（1）设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，即可求解；（2）设1(,5)2M a a -+，进而根据题意列出方程，解方程求解即可；（3）根据题意，则31l l ∥或32l l ∥，进而即可求得k 的值 (1)2l 与1l 交于点()2,4C ．设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，可得， 1422m =-⨯+，142k =，解得5m =，12k =，∴2l 的解析式为2y x = (2)设1(,5)2M a a -+，152y x =-+，令0x =，则5y =，令0y =，则10x =()0,5B ∴，()10,0A又()2,4C∴11111525,105522222BOCC AOMM M SBO x S OA y y a =⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯-+ AOM 的面积是BOC 面积的2倍，∴1552a ⨯-+2=⨯5即1522a -+=解得6a =或14∴()6,2M 或()142， (3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，∴31l l ∥或32l l ∥当3l 过点C （2,4）时,将点C 坐标代入y =kx ＋2并解得:k =l ,∴12k =-或2或1【点睛】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数332y x =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，过点B 作AB 的垂线，垂线与反比例函数()10my m x=≠交于C 、D 两点，且AB BC =．(1)求反比例函数()10my m x=≠的表达式，及经过点C 、D 的一次函数表达式()20y kx b k =+≠；(2)请直接写出使12y y >的x 取值范围； (3)求出ABD △的面积． 【答案】(1)110y x =，22433y x =- (2)3x <-或05x << (3)656【解析】 【分析】（1）由一次函数y ＝﹣32x +3求得A 、B 的坐标，然后通过证得△ABO ≌△BCF ，求得C（5，2），然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得D 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）利用三角形面积公式，根据S △ABD ＝S △ABE +S △ADE 求得即可． (1)解：∵332y x =-+ 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，∴A （0，3），B （2，0）， 如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，∵AB ⊥CD ，∴∠ABO +∠CBF ＝90°， ∵∠ABO +∠BAO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠CBF ， 在△ABO 和△BCF 中，BAO CBF AOB BFC AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ， ∴△ABO ≌△BCF （AAS ）， ∴BF ＝AO ＝3，CF ＝OB ＝2， ∴C （5，2）， ∵反比例函数y 1＝mx（m ≠0）过点C ， ∴m ＝5×2＝10， ∴反比例函数110y x=， 将B （2，0），C （5，2）代入y 2＝kx +b （k ≠0）得2052k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴经过点C 、D 的一次函数表达式为22433y x =- ； (2)由102433y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得52=⎧⎨=⎩x y 或3103x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴D 横坐标为﹣3．∴y 1＞y 2的x 取值范围：x ＜﹣3或0＜x ＜5； (3)ABD ADE ABE S S S =+△△△ 12D AE x =1·2B AE x + 656=． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．6．如图，已知一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点()1,6A 和()6,B m ，与x 轴交于点C ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)①观察图象，直接写出不等式21k k x b x+≥的解集；②请连接OA 、OB ，并计算△AOB 的面积；(3)是否存在坐标平面内的点P ，使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的表达式是：y ＝6x ，一次函数表达式是：y ＝﹣x +7 (2)①x ＜0或1≤x ≤6；352(3)存在点P 的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；（2）①利用函数图象结合其交点得出不等式k 1x +b ≥2k x的解集；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ，则2==32AOD BOE k S S =△△，再根据=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形进行求解即可；（3）利用平行四边形的性质结合当AP 为边和AP 为对角线两种情况分别得出答案即可．(1)解：∵点A （1，6）在反比例函数y ＝2k x 的图象上， ∴6＝21k ， 解得：k 2＝6，∴反比例函数的表达式是：y ＝6x； ∵B （6，m ）在反比例函数y ＝6x的图象上， ∴m ＝66＝1，∴B （6，1），将点A （1，6），B （6，1）代入y ＝k 1x +b ，可得： 11616k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：117k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数表达式是：y ＝﹣x +7；(2)解：①∵点A （1，6），B （6，1），∴不等式k 1x +b ≥2k x的解集是：x ＜0或1≤x ≤6； 故答案为：x ＜0或1≤x ≤6；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ， ∴2==32AOD BOE k S S =△△， ∵A （1，6），B （6，1），∴OD =1，AD =6，OE =6，BE =1，∴DE =5，∵=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形，∴()35===22AOB ADEB AD BE DE S S +⋅△梯形；(3)解：∵C是直线AB与x轴的交点，∴点C的坐标为（7，0），如图3-1所示：当AP为边时，∴AP∥OC，AP＝OC＝7，∵A（1，6），∴P点坐标为：（8，6）或（-6，6）；当AP为对角线时，如图3-2所示，∵AP与OC的中点坐标相同，∴1072260022PPxy++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，∴66PPxy=⎧⎨=-⎩，∴点P的坐标为（6，-6）；综上所述存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P 组成的四边形是平行四边形．【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．7．如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(−3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．(1)求一次函数的解析式；(2)若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A，B两点，且AC=2BC，求m的值．【答案】(1)一次函数的解析式为y=23x+2；(2)m的值为12．【解析】【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），得到-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，解方程即可得到结论；（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．根据相似三角形的性质得到AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．求得A（3n-3，2n），B（-3-32 n，-n），根据反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，列方程即可得到结论．(1)解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，∵k＞0，∴b＞0，∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴12×3×b=3，解得：b=2．把b=2代入①，解得：k=23，则函数的解析式是y=23x+2．故这个函数的解析式为y=23x+2；(2)解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE，∴AD ACBE BC=2，∴AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．∵直线AB的解析式为y=23x+2，∴A（3n-3，2n），B（-3-32n，-n），∵反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，∴（3n-3）•2n=（-3-32n）•（-n），解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），∴m=（3n-3）•2n=3×4=12．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．8．如图，反比例函数kyx=的图象与一次函数12y x=-的图象分别交于M，N两点，已知点M（－2，m）．(1)求反比例函数的表达式；(2)点P为y轴上的一点，当点P的坐标为(5时，求△MPN的面积．【答案】(1)2 yx =-(2)5【解析】【分析】（1）把M（-2，m）代入函数式y=-12x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=kx可求出函数解析式；（2）根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求得N的坐标，然后利用S△MPN=S△MOP+S△NOP求得即可．(1)解：∵点M（-2，m）在一次函数y=-12x的图象上，∴m=-12×（-2）=1．∴M（-2，1）．∵反比例函数y=kx的图象经过点M（-2，1），∴k=-2×1=-2．∴反比例函数的表达式为y=-2x；(2)解：∵反比例函数y=kx的图象与一次函数y=-12x的图象分别交于M，N两点，M（-2，1），∴N（2，-1），∵点P为y轴上的一点，点P的坐标为（0，5），∴OP=5，∴S△MPN=S△MOP+S△NOP=12×5×2+12×5×2=25．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，三角形的面积等知识．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数ymx（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；(2)△AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【解析】【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）△AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．(1)解：AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），∴△AOB的面积S12=⨯OM×（xA﹣xB）12=⨯2×（3+6）＝9；(3)解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；当AP＝PO时，同理可得：m258 =；综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．10．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OB，求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-12x；一次函数的解析式为y=-23x+2；(2)S△AOB=9；(3)存在．P点坐标为（-3，0）、（-173，0）．【解析】【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y =-12x；再利用反比例函数解析式确定B 点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； （2）先依据一次函数求得点C 的坐标，进而得到△AOB 的面积；（3）过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，可得P 1点的坐标为（-3，0）；再证明Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1，利用相似比计算出P 1P 2的长度，进而得到OP 2的长度，可得P 2点的坐标为（-173，0），于是得到满足条件的P 点坐标． (1)解：将A （-3，4）代入y =m x ，得m =-3×4=-12， ∴反比例函数的解析式为y =-12x ； 将B （6，n ）代入y =-12x，得6n =-12， 解得n =-2，∴B （6，-2）， 将A （-3，4）和B （6，-2）分别代入y =kx +b （k ≠0），得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； (2)解：当y =0时，-23x +2=0， 解得：x =3，∴C （3，0），∴S △AOC =12×3×4=6，S △BOC =12×3×2=3， ∴S △AOB =6+3=9；(3)解：存在．过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，如图，∴∠AP 1C =90°，∵A 点坐标为（-3，4），∴P 1点的坐标为（-3，0）；∵∠P 2AC =90°，∴∠P 2AP 1+∠P 1AC =90°，而∠AP 2P 1+∠P 2AP 1=90°，∴∠AP 2P 1=∠P 1AC ，∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1， ∴11211AP PP CP AP =，即12464PP =， ∴P 1P 2=83， ∴OP 2=3+83=173， ∴P 2点的坐标为（-173，0）， ∴满足条件的P 点坐标为（-3，0）、（-173，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．。
一次函数的图象与三角形面积专题【精品】
专题：一次函数的图象与三角形面积问题类型1 已知图象求三角形的面积例1.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 在第一象限内，AD ∥y 轴，点A 的坐标为(5，3)，已知直线l ：y ＝12x －2. (1)将直线l 向上平移m 个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A ，求m 的值；(2)在(1)的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC 交于点E ，求△ABE 的面积．解：(1)m ＝52. (2)∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，AD ∥y 轴，点A 的坐标为(5，3)，∴点E 的横坐标为5－2＝3.把x ＝3代入y ＝12x ＋12，得y ＝12×3＋12＝2， ∴点E 的坐标为(3，2)，∴BE ＝1，∴S △ABE ＝12×2×1＝1.针对练习：1.已知一次函数y ＝2x ＋4.(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；(2)y 的值随x 值的增大而 增大 ；(3)求图象与x 轴的交点A ，与y 轴的交点B 的坐标；(4)在(3)的条件下，求出△AOB 的面积．解：(1)函数图象如图所示．(3)A(－2，0)，B(0，4)．(4)由(3)可知，OA ＝2，OB ＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×2×4＝4.2.已知一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点(3，－3)，且与直线y ＝4x －3的交点在x 轴上．(1)求这个一次函数的解析式；(2)此函数的图象经过哪几个象限？(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．解：(1)对于直线y ＝4x －3，当y ＝0时，x ＝34. 即它与x 轴的交点坐标为(34，0)． 根据题意，直线y ＝kx ＋b 经过点(3，－3)，(34，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－3，34k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝1.∴此一次函数的解析式为y ＝－43x ＋1. (2)此函数的图象经过第一、二、四象限．(3)此函数的图象与y 轴的交点坐标为(0，1)，与x 轴的交点坐标为(34，0)， ∴此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×34×1＝38. 3．如图，已知直线y ＝－13x ＋1与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，点P(x ，y)为线段BC 上一个动点(点P 不与B ，C 重合)，设△OPA 的面积为S.(1)求点C 的坐标；(2)求S 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；(3)△OPA的面积能等于92吗？如果能，求出此时点P 坐标；如果不能，说明理由．解：(1)当x ＝0时，y ＝－13x ＋1＝1.∴点B 的坐标为(0，1)．当y ＝0时，－13x ＋1＝0，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)．过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠BAO ＋∠CAE ＝90°，AB ＝CA.又∵∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴∠ABO ＝∠CAE.在△ABO 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOB ＝∠CEA ，∠ABO ＝∠CAE ，AB ＝CA ，∴△ABO ≌△CAE(AAS)．∴AE ＝BO ＝1，CE ＝AO ＝3.∴OE ＝AO ＋AE ＝4.∴点C 的坐标为(4，3)．(2)过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将B(0，1)，C(4，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.∴直线BC 的解析式为y ＝12x ＋1. ∴S ＝12OA ·PF ＝12×3×(12x ＋1)＝34x ＋32(0＜x ＜4)． (3)不能．理由如下：当S ＝92时，34x ＋32＝92， 解得x ＝4.∵0＜x ＜4，∴△OPA 的面积不能等于92. 类型2 已知面积求一次函数的解析式例2.已知一次函数的图象过点(0，3)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则其解析式为( C )A ．y ＝1.5x ＋3B ．y ＝－1.5x ＋3C ．y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D ．y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3针对练习：4．已知一条直线与平面直角坐标系中两坐标轴交于点M(0，－3)和点N(a ，0)，且此直线与两坐标轴围成的三角形面积为12，则a 的值是 ±8 ．5．已知直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，且把△ABO 分为面积之比为2∶1的两部分，求直线l 的函数解析式．解：由题意可得，A(－3，0)，B(0，3)．当S △AOC ∶S △BOC ＝2∶1时，过点C 作CF ⊥OA 于点F ，CE ⊥OB 于点E ，易知S △AOB ＝92，则S △AOC ＝3，S △BOC ＝32. ∴12AO ·CF ＝3，即12×3CF ＝3. ∴CF ＝2.同理可得，CE ＝1，∴C(－1，2)．∴直线l 的函数解析式为y ＝－2x ；当S △AOC ∶S △BOC ＝1∶2时，同理可得，C(－2，1)．∴直线l 的函数解析式为y ＝－12x. 综上，直线l 的函数解析式为y ＝－2x 或y ＝－12x. 类型3 已知面积求点的坐标例3. 如图，直线y ＝kx ＋6(k ≠0)与x 轴、y 轴分别交于点E ，F ，点E 的坐标为(－8，0)，点A 的坐标为(－6，0)，点P (x ，y )是线段EF 上的一个动点．(1)求k 的值；(2)求点P 在运动过程中△OPA 的面积S 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)当△OPA 的面积为9时，求点P 的坐标．解：(1)∵直线y ＝kx ＋6过点E (－8，0)，∴0＝－8k ＋6，解得k ＝34. (2)由(1)得直线EF 的函数解析式为y ＝34x ＋6. ∵点P (x ，y )在直线y ＝34x ＋6上， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，34x ＋6. ∴S △OPA ＝12OA ×⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋6＝94x ＋18. ∵点P 是线段EF 上的一个动点，且O ，A ，P 可构成三角形， ∴－8＜x ≤0.(3)∵△OPA 的面积为9，∴9＝94x ＋18，解得x ＝－4. ∴y ＝34×(－4)＋6＝3.∴P (－4，3)．。
一次函数与三角形面积问题专题练习
一次函数与三角形面积问题专题练习思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。
规则图形 （公式法） 不规则图形 （切割法） 不含参数问题 含参数问题（用参数表示点坐标，转化成线段）注意：坐标的正负、线段的非负性。
求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。
1、求直线y = -2x +4，y = 2x -4及y 轴围成的三角形的面积。
2、已知正比例函数y = 2x 与一次函数y = x +2相交于点P ，则在x 上是否存在一点A ，使S △POA=4?若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。
3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于M 点，交x 轴于点N （-6，0），已知点M 在第二象限，其横坐标为-4，若S △NOM=15，求正比例函数的解析式。
x4、如图，直线1l 的解析表达式为y=-3x+3，且1l 与xB ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接写出点P 的坐标．图115、如图，直线L 的解析表达式为y = -x +2，且与x 轴、y 轴交于点A 、B ，在y 轴上有一21点C （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
（1）求A 、B 两点的坐标；（2）△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）当何值时△COM ≌△AOB ，并求出此时M 点的坐标。
x6、如图，直线的解析式为y=-x+4，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从l x y A B 、l m 原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两O x x y M N 、点，设运动时间为秒（0<t 《4）．t （1）求两点的坐标；（2）用含的代数式表示的面积；A B 、t MON △1S （3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，MN OMPN MPN △OAB △2S ①当2<t 《4时，试探究与之间的函数关系式；2S t ②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？m t2S OAB △516m7、如图，直线与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A.B 两点除4+-=x y 外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与的函数关系式并画出该函数的)40<<a a （a 图象．8、在中，现有两个动点P 、ABC ∆,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。
中考复习函数专题09 一次函数中的三角形问题(老师版)
专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，①OD＝AD＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO时，①ADC＝①AOB＝90°，AD＝OB＝2，①OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．综上所述，OD的长为31．故选：D．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（）A．4B．6C．D．12【答案】A【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
一次函数与坐标轴围成的三角形面积要计算一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，我们首先需要明确一次函数的图像和坐标轴之间的关系。
一次函数的图像是一条直线，而坐标轴是由两条垂直于彼此的直线组成的。
当一次函数与x轴相交时，我们可以找到与x轴相交的两个点，然后通过这两个点和与它们连结的线段来计算三角形的面积。
我们用y = mx + b来表示一次函数的一般形式。
其中，m是斜率，b是y轴截距。
当这个函数与x轴相交时，我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标。
假设我们找到了两个相交点(x1, 0)和(x2, 0)。
接下来，我们可以计算通过这两个点的线段的长度。
线段的长度可以通过两点之间的距离公式来计算，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)在我们的情况下，y1和y2都是零，所以这个式子简化为：d=√((x2-x1)²)这个线段的长度就是一次函数与x轴相交的两点之间的水平距离。
现在，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的形式是：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三条边的长度，而s是半周长，s=(a+b+c)/2在我们的情况下，三角形的两条边就是x轴和一次函数的图像，而我们已经计算出了这两条边的长度，记为d。
所以我们可以将这些值代入到海伦公式中来计算三角形的面积：A=√(s(s-d)(s-d)(s-d))由于两边的长度都是d，我们可以简化公式为：A=√((3d/2)(d/2)(d/2)(d/2))A=√((3d/2)(d/2)³)A=√((3d/2)*(d²/4)²)A=√((3d²/8)*d²)A=(d/2)*√(3d²/2)A=(d/2)*√(3)d因此，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是(d/2)*√(3)d。
让我们通过一个具体的例子来计算一下，假设一次函数是y=2x+3、我们可以将y设置为零，然后解方程来找到交点的x坐标：0=2x+32x=-3x=-3/2所以，我们找到了与x轴相交的两个点(-3/2,0)和(0,0)。
一次函数与三角形面积(基础)
1、求函数与x 轴、y 轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积2、如图14-2-3所示，一个正比例函数图象与一个一次函数图象交于点A （3，4），且OA=OB ．求：(1)这两个函数的解析式；（2）△AOB 的面积．3、已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-32X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n 的值、如图，已知一次函数的图象经过A （-2，-1），B （1，3）两点．（1）求该一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．5、一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点,且一次函数的图象与y 轴相交于点(1)求这两个函数的解析式. (2)在同一坐标系内,分别画出这两个函数的图象.(3)求出的面积.6、已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．8、.如下图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．9、如图，已知直线：与直线：的图象的交点在第四象限，且点到轴的距离为。
（1）求直线的解析式。
（2）求的面积。
（3）在第一象限的角平分线上是否存在点，使得的面积是的面积的倍？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由。
10、如图，直线y=ax+b(a≠0)与y=x+1交于y轴上的点C，与x轴交于点B(2,0).(1)求a，b的值；(2)设直线y=x+1与x轴的交点A，求△ABC的面积.11、如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．（1）求直线A′B′的解析式；（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．13、如图,一次函数y=-x+m的图象和y轴交于点B,与正比例函数图象交于点P(2,n). (Ⅰ)求m和n的值； (Ⅱ)求的面积.13、正比例函数与一次函数的图象如图－7－2所示，它们的交点坐标为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.(1)求正比例函数与一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积.14、已知一次函数的图象经过、两点,且与x轴相交于C点.(1)求直线的解析式;(2)求的面积.16、某自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准.居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,其图象如图所示 (1)当时,y与x的函数解析式 (2)当时,y与x的函数解析式; (3)若某用户居民该月用水3.5吨,问应交水费多少元?若该月交水费9元,则用水多少吨?17、某地出租车计费方法如图，（）表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象解答下列问题。
一次函数求坐标三角形面积问题
（0，8）
P
o
6
A
（8，0）x
能力训练
3、点P(x,y)在第一象限，且在直线y=8-x上， 点A(6，0)，设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式； （2）当点P横坐标为5时， 求△OPA的面积？ （3）当S=12时，求P点坐标?
考纲要求：C（掌握） 教学目标： 1.通过复习使学生熟悉直线与坐标轴的交 点坐标的求法，会求出两直线交点坐标， 进一步体会函数、坐标、几何图形之间的 相互转化，在解决函数相关问题中的重要 作用. 2.初步掌握由若干条直线所围成的图形的 面积的计算方法，体会一次函数的有关面 积问题的解决思路.
1、一次函数的图象是一条直线, 如何画出一次函数的 图象? 两点作图法
直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积是__8___.
B (2)直线经过点P(3，a)，求△OAP的面积?
P（3，1）
如何求△OBP
A
的面积?
二、由面积关系求点坐标
例2.已知直线y=kx+b与y轴交于点A（0，4），与x轴交于 点B,且△OAB的面积为4，求B点坐标。
解:∵直线与y轴交于点A（0，4）
y=2x-4
DA
O
2
x
EC
-4 B
这节课你学到了什么？
1、由一次函数解析式求面积
函数解析式
与坐标轴的 交点坐标
2、由面积关系求点的坐标
线段长
三角形面积
三角形面积 底或高 的长度
与坐标轴的 交点坐标
3.要掌握分类讨论，数形结合，转化的数学思想。
专题09 一次函数中的三角形问题(解析版)
1专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数3知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB=①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，5①OD ＝AD ＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO 时，①ADC ＝①AOB ＝90°，AD ＝OB ＝2，①OD ＝OA ＋AD ＝1＋2＝3． 综上所述，OD 的长为31． 故选：D ． 【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（ ） A ．4 B ．6C ．D ．12【答案】A 【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案． 【详解】解：设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y ＝3x 向左平移后所得直线解析式为：y ＝3（x+k ）＝3x+3k ．易求得新直线与坐标轴的交点为（﹣k ，0）、（0，3k ） 所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：12k •3k ＝24， 解得：k ＝4或﹣4（舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何变换，由题意正确得出平移后解析式是解题的关键． 7．已知一次函数的图象过点（0,3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ） A ．y=1.5x+3 B ．y=1.5x -3 C ．y=-1.5x+3 D ．y=-1.5x -3【答案】C 【分析】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0），根据三角形的面积公式即可求得a 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式． 【详解】设这个一次函数的表达式为y=kx+b （k≠0），与x 轴的交点是（a ，0）， ①一次函数y=kx+b （k≠0）图象过点（0，3）， ①b=3，①这个一次函数在第一象限与两坐标轴所围成的三角形面积为3， ①12×3×|a|=3， 解得：a=2，把（2，0）代入y=kx+3，解得：k=-1.5，则函数的解析式是y=-1.5x+3； 故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x 轴的交点坐标是解题的关键．8．如图，在直角坐标系中，一次函数25y x =-+的图象1l 与正比例函数的图象2l 交于点(,3)M m ，一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 能围成三角形，则在下列四个数中，k 的值能取的是（ ）7A ．﹣2B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得到M （1，3），求得l 2的解析式为y=3x ，根据l 1，l 2，l 3能围成三角形，l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3），于是得到结论． 【详解】解：把M （m ，3）代入一次函数y=-2x+5得，可得m=1， ①M （1，3），设l 2的解析式为y=ax ， 则3=a ， 解得a=3，①l 2的解析式为y=3x ， ①l 1，l 2，l 3能围成三角形，①l 1与l 3，l 3与l 2有交点且一次函数y=kx+2的图象不经过M （1，3）， ①k≠3，k≠-2，k≠1， ①k 的值能取的是2， 故选C ． 【点睛】本题考查了两直线平行或相交问题，一次函数图象及性质；熟练掌握函数解析式的求法，直线平行的条件是解题的关键．9．在平面直角坐标系中，一次函数26y x =-+与坐标轴围成的三角形面积是：（ ） A ．6 B ．9 C ．15 D ．18【答案】B 【分析】根据函数关系式求出图像与坐标轴的交点坐标，即可求出图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】根据题中的关系式，可画出函数图像当0x =时，6y =，所以点A 的坐标为()06， 当0y =时，3x =，所以点B 的坐标为()30，12OABS OB OA =⨯ 1362=⨯⨯ 9=故答案为B. 【点睛】解题的关键是能够根据函数关系式求出函数与坐标轴的交点坐标．10．如图，在Rt①ABO 中，AB①OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分 的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S=t (0＜t ≤3)B ．S=12t 2 (0＜t ≤3) C ．S=t 2 (0＜t ≤3) D ．S=12t 2 -1(0＜t ≤3)【答案】B 【分析】由AB 、OB 的长度求出点A 、点B 的坐标，进而求出OA 所在直线的解析式，令x =t ，求出y ，确定t 的范围，利用三角形面积公式表示出S 即可. 【详解】 ①AB =OB =3， ①A （3，3），①OA 所在直线解析式为y =x ， 当0＜t ≤3时，令x =t ，则y =t ， ①S =12t 2（0＜t ≤3）.故选B.9【点睛】本题为一次函数与几何综合题，主要考查一次函数解析式的求解. 二、填空题11．直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积为__________． 【答案】2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式可求出直线与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：当0x =时，4044y =⨯-=-，①直线44y x =-与y 轴的交点坐标为()0,4-； 当0y =时，440x -=，解得：1x =， ①直线44y x =-与x 轴的交点坐标为()1,0．①直线44y x =-与坐标轴所围成的三角形面积14122=⨯⨯=．故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是把求线段的长的问题转化为求函数的交点．12．已知点A （7，0），B （0，m ），且直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28，则m 的值是__________． 【答案】8± 【分析】先分别求出点A 、点B 到坐标轴的距离即OA 、OB ，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：①点A （7，0），B （0，m ）， ①OA =7，OB =｜m ｜，①直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于28， ①12×7×｜m ｜=28， 解得：m =±8， 故答案为：±8． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键．13．已知直线1l ：23y x =-+，和直线2l ：6y x =-，若直线3l ：2y kx =-与1l 、2l 不能围成三角形，则k =_________．【答案】2-或1或13-【分析】由题分析可得，平面直角坐标系中，三条直线123,,l l l 不能围成三角形，有三种情况：①l 1①l 3，①l 2①l 3，①三条直线交于同一点，由此展开讨论即可求得答案． 【详解】解：若l 1①l 3则2k =-； 若l 2①l 3，则1k =； 若三条直线交于一点，236y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩， 即1l 与2l 交于一点(3,3)-， 则3l 过该点，代入： 332k -=-，解得13k =-，综上所述，k 为2-或1或13-，故填：2-或1或13-．【点睛】本题考查一次函数图像和性质，两直线平行k 相等，一次函数与二元一次方程组，解题关键是理解和掌握一次函数图像与性质与求两一次函数交点的方法．14．已知一次函数4y kx =-的图像与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k 的值为________． 【答案】43±【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的周长列出方程求得k 即可． 【详解】解：令x ＝0，有y ＝0−4＝−4， 令y ＝0，有kx −4＝0，x ＝4k，①直线4y kx =-与坐标轴的交点坐标为（0，−4）和（4k，0），①一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的周长等于12，①|−4|+|4 k①k＝43±，经检验：k＝43±是方程的解，故答案是：43±．【点睛】本题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点坐标，根据三角形的周长列出方程是解答此题的关键．15．将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与,x y轴分别交于点,,A B那么ABO为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数142y x=-+的坐标轴三角形的面积是_____．【答案】16【分析】求出点A，点B坐标，根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：对于142y x=-+，当x=0时，y=4，当y=0时，x=8①A（8，0）B（0，4），所以OA=8，OB=4，①S①AOB＝12×8×4＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了一次函数问题，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础．三、解答题1116．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的各顶点坐标分别()2,0A -，()2,0B ，(0,C ，直线l 过点B ，且与x 轴的正半轴成60︒角，将ABC 绕点B 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．解答下列问题：（1）填空：ABC 为________三角形（选择“等腰”或“等边”一种），直线l 的函数表达式为_______；（2）若0180α<<︒，在ABC 的旋转过程中，当ABC 的一边与直线l 互相垂直时，记A 点的对应点为A '，求点A '的坐标；（3）当210α︒=时，记旋转后顶点A ，C 的对应点分别为M ，N PQ 在直线l 上移动，连结MQ ，NP ，试求四边形MQPN 周长的最小值．【答案】（1）等边，y -（2）A ´（2-2）或（2，4）或（2）；（3）．【分析】（1）利用点的坐标，求出OA =OB =2，OC ，利用勾股定理得出边长即可；设l ：y =kx +b ，把B 、E 点的坐标代入即可；（2）分'A B l ⊥，''A C l ⊥，'BC l ⊥三种情况分别画出符合的图形，然后再分别求解即可；（3）由题意先确定出点N 坐标，在四边形MQPN 中，MN=4，则只需要MQ +PN 的值最小即可，如图，过点M 作MH //BE ，然后取MF =PQ 作出点M 、F 关于直线l 的对称点M ′，F ′，再分别过点M ′、F ′作x 轴、y 轴的垂线，两垂线交于点G ，连接NF ′，则NF ′的长就是MQ +PN 长的最小值，求出NF ′的长即可． 【详解】（1）①x 轴①y 轴，13①OC ①AB ，又①A （-2，0），B （2，0），C （0，）， ①OA =OB =2，OC， ①OC 是AB 的垂直平分线， ①BC =BA ，在Rt OBC 中，BC4= ， AB =OA +OB ， ①AB =BC =AC =4， ①ABC 为等边三角形；设直线l 与y 轴的交点为E ，在Rt OBE 中，①OBE =60°，OB =2 ①OE. ①E （0，-， 设l ：y=kx +b ，代入B (2，0)，E （0，-，① 20k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，①y-(2)如图，当'A B l ⊥时，过点'A 作'A F x ⊥轴于点F ，①'90A BE ∠=︒，'90A FB ∠=︒， ① ①OBE =60°，①α=①A′BF =90°-60°=30°， ①A′F =1'22A B =，BF=， ①OF =BF -OB =A´B -OB-2，①A ´（2-2）；如图，当''A C l ⊥时，垂足为F ，①1'''302A BF A BC ∠=∠=︒，'90A FB ∠=︒，① ①OBE =60°，①α=①A′BA =180°-30°-60°=90°， ①'A B AB ⊥，即'A B x ⊥轴， ①A ´（2，4）；如图，当'BC l ⊥时，''A C 交x 轴于点F ，①'90EBC ∠=︒， ① ①OBE =60°，①①FBC ′=180°-90°-60°=30°，①①A′BF =①A′BC ′-①FBC ′=60°-30°=30°， ①α=①A′BA =180°-30°=150°，①A′FB =90°， ①''A C AB ⊥，即''A C x ⊥轴，①A′F =2，BF =①OF=OB+BF①A´（2）；综上，A′的坐标为：（2-2）或（2，4）或（2）；（3）α=210°时，①ABM=360°-210°=150°，①①ABN=①ABM-①MBN=90°，①N（2，-4）在四边形MQPN中，MN=4，MQ+PN的值最小即可，如图，过点M作MH//BE，然后取MF=PQ分别作出点M、F关于直线l的对称点M′，F′，再分别过点M′、F′作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点G，连接NF′，则NF′的长就是MQ+PN长的最小值，①''M F=由对称性可知点①M′BA=30°，又（1）可知M′（2-2），在①M′F′G中，1'''2F G M F==3'4M G=，①3'224F⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，即5'24F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，①'F N①15【点睛】本题考查了旋转，一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：43y x =与直线2l ：y kx b =+相交于点A ，点A 的横坐标为3，直线2l 交y 轴负半轴于点B ，且OB OA =． （1）求点B 的坐标及直线2l 的函数表达式；（2）过点B 作31//l l 交x 轴于点C ，连接AC ，求ABC 的面积．【答案】（1）35y x =-；（2）758【分析】（1）利用直线1l 的解析式求出点A 的坐标，再根据勾股定理求出OA 的长度，从而可以得到OB 的长度，根据图象求出点B 的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线2l 的函数表达式；（2）根据题意易求得直线3l 为453y x =-，即可求得15(4C ，0)，根据直线2l 的解析式求得与x 轴的交点D 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】解：（1）点A 的横坐标为3， ①将x ＝3代入43y x =，得：4343y =⨯=，∴点A 的坐标是(3,4)，5OA ∴=，OA OB =，5OB OA ∴==，17∴点B 的坐标是(0,5)-，把A 、B 的坐标代入y kx b =+得：345k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得35k b =⎧⎨=-⎩，∴直线2l 的函数表达式是35y x =-；（2）①31//l l 且点B 的坐标是(0,5)-，∴直线3l 为453y x =-， 令0y =，则154x =， 15(4C ∴，0)，设直线2l 与x 轴的交点为D ， 将y ＝0代入35y x =-，得：53x =，5(3D ∴，0)，155254312CD ∴=-=， ABC ∴的面积12575(45)2128=⨯⨯+=．【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键．18．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．（1）如图1，已知ABC ，请用尺规作出ABC 的一条面积等分线．（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上、OC 在y 轴的正半轴上，6,4OA OC ==． ①请判断直线4833y x =-是否为矩形OABC 的面积等分线，并说明理由； ①若矩形OABC 的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．（3）如图3，在ABC 中，点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3，点C 的坐标为()2,0，点D 的坐标()0,2-，求过点D 的一条ABC 的面积等分线的解析式．（4）在ABC 中点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()0,1，直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线，请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线；①y =2x −4或y =29x +43；（3）22y x =-；（4）01b ＜＜ 【分析】（1）作出线段BC 的垂直平分线，找到BC 中点D ，连接AD ，AD 即所求的ABC 的一条面积等分线．（2）①连接AC ，OB 交于点M ，根据6,4OA OC ==求出点M 的坐标，然后由矩形性质可知形OABC 的面积等分线必过点M ，将M 点的坐标代入4833y x =-判断M 点不在一次函数图像上，即可判断出直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①先设出矩形面积等分线的解析式，利用和坐标轴围城的三角形面积是4建立方程求解即可； （3）根据题意设出三角形面积等分线的解析式，求出直线AB 的解析式，然后两条直线联立表示出交点坐标，根据三角形面积的一半列出方程求解即可； （4）根据图像结合面积等分线的性质即可求出b 的取值范围．19【详解】解：（1）如图1所示，作出BC 的垂直平分线交BC 于点D ，连接AD ， ①AD 是三角形ABC 的中线，①AC 所在直线即要求的ABC 的一条面积等分线．（2）①如图2所示，连接AC ，OB 交于点M ．①OA =6，OC =4， ①()6,0A ，()0,4C ， ①()3,2M ，①四边形OABC 是矩形，①矩形OABC 的面积等分线必过点M ， 将x =3代入4833y x =-中，得： 48432333y =⨯-=≠，①直线4833y x =-不过点M ， ①直线4833y x =-不是矩形OABC 的面积等分线； ①如图所示，由①知，矩形OABC的面积等分线必过点M(3,2)，设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E，与y轴相交于F，①3k+b=2，①b=2−3k，①矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2−3k，令x=0，y=2−3k，①F(0，2−3k)，①OF=|2−3k|，令y=0，①x=32kk-，①E(32kk-，0)，①OE=32kk-，①矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，①142OE OF•=，①OE①OF=8，①|2−3k|①|32kk-|=8，①k=2或k=29，①矩形OABC的面积等分线函数表达式为y=2x−4或y=29x+43．（3）如图所示，设三角形ABC面积的等分线的表达式为y kx b=+，交x轴于点F，交AB 于点E．21①三角形ABC 面积的等分线y kx b =+过点D ， ①将D ()0,2-代入表达式得：b =-2， ①表达式为2y kx =-．将y =0代入2y kx =-得：x =2k ，①F 20k ⎛⎫⎪⎝⎭，． ①AF =22k+． ①点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()4,3， 利用待定系数法可得AB 的表达式为112y x =+， ①DE 和AB 交于点E ， ①联立表达式得：1122y x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：6216221x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩．①14362ACB S =⨯⨯=△，①132AEF ACB S S ==△△， ①132E AF y ⨯⨯=， 代入得：126223221k k k ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 整理得：24720k k --=，解得：12124k k ==-，（舍去），①三角形ABC 面积的等分线的表达式为22y x =-． （4）如图所示，①直线()0y ax b a =+>是ABC 的一条面积等分线， 由图像可知，当1b ≥或0b ≤时，无论a 取何值，直线()0y ax b a =+>都不能把ABC 的面积平分， ①01b ＜＜． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，三角形中线的性质，基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是设出直线表达式，根据三角形面积列出方程求解．19．在如图所示的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2）且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴正半轴交于点C ． （1）求直线n 的函数表达式；（2）若①ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若①ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC ，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝423x -；（2）C （0，4）；（3）y ＝463x -+．【分析】（1）用待定系数法求直线n 的函数解析式；23（2）根据①ABC 的面积为9可求得AC 的长，可得出结论；（3）过点B 作BD ①y 轴于点D ，则CD ＝AD ＝4，得C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ，将B ，C 代入即可． 【详解】解：（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，①直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2），点B （3，2），①232b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ①直线n 的函数解析式为：y ＝423x -； （2）①若①ABC 的面积为9， ①9＝132AC ， ①AC ＝6， ①OA ＝2，①点C 在y 轴正半轴， ①C （0，4）；（3）当AB ＝BC 时，过点B 作BD ①y 轴于点D ，①CD ＝AD ＝4， ①C （0，6），设直线l 的解析式为：y ＝kx +b ， 将B （3，2），C （0，6）代入得：326k b b +=⎧⎨=⎩， 解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，①直线l 的解析式为：y ＝463x -+．【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题． 20．如图，直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点，连接OA 、OB ．（1）求m 、n 、k 的值； （2）求AOB 的面积；（3）直接写出12y y <时，x 的取值范围．【答案】（1）11,,33m n k ==-=；（2）356；（3）02x << 或13x <-【分析】（1）根据题意可先出m ，n ，可得()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，再代入反比例函数解析式求出即可；（2）先求出直线与y 轴的交点坐标，可得AOB 的面积AODBODSS=+，即可求解；（3）观察一次函数图象在反比例函数图象下方时的x 的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）①直线135y x =-与反比例函数21k y x-=的图象交于点()2,A m 、(),6B n -两点， ①当2x = 时，2351m =⨯-= ，当6y =- 时，635n -=- ，解得：13n =- ，①()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ，将()2,1A 代入反比例函数21k y x -=，得：112k -=， 解得：3k = ，（2）设直线AB 与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ，25当0x = ，15y =- ， ①()0,5D - ， 即OD =5， ①AOB 的面积1112223AODBODSSOD OD =+=⨯⨯+⨯⨯ 111352552236=⨯⨯+⨯⨯= ； （3）①直线135y x =-与反比例函数21k y x -=的图象交于点()2,1A 、1,63⎛⎫⎪⎝--⎭B ， ①由图象可知，当12y y <时，02x << 或13x <- ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，利用反比例函数与一次函数的交点解答是解题的关键． 21．如图直线l 1＝kx +5与y 轴交于点A 直线l2＝﹣x +1与直线l 1交于B ，与y 轴交于C ，已知点B 的纵坐标为2．（1）确定直线l 1的解析式；（2）直线l 1、l 2与y 轴所围成的三角形的面积为 ；（3）垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1、l 2分别交于M 、N ，若线段MN 的长为2，求a 的值．【答案】（1）35y x ==；（2）2；（3）12a =-或32a =-【分析】（1）根据B 点的纵坐标为2且B 是两直线的交点，先把B 纵坐标代入l 2求出B 点坐标，然后代入l 1解析式即可求解；（2）分别求出A 、C 两点的坐标，然后求解面积即可得到答案；（3）把x a =代入两直线解析式分别求出M 、N 的坐标，然后根据MN =2求解即可得到答案. 【详解】解：（1）解：把2y =代入1y x =-+中 得1x =-①B 点坐标为（-1，2）把1x =-时2y =代入5y kx =+中 得25k =-+3k =直线l 1的解析式为35y x =+（2）①直线l 1的解析式为35y x =+ 与y 轴交于A 点 ①A （0，5）①直线l 2的解析式为1y x =-+ 与y 轴交于C 点 ①C （0，1）27①两直线与y 轴围成的面积=14122⨯⨯=（3）把x a =分别代入21y x =-+，和135y x =+中 得21y a =-+ 135y a =+①M （a ，3a +5），N （a ，-a +1） ①1352a a -+--= 112a +=①12a =-或32a =-【点睛】本题主要考查了两一次函数的交点问题，与坐标轴围成的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识点.22．如图，一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象与反比例函数12y x=-的图象交于A 、B 两点，且与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求①AOB 的面积．【答案】（1）y＝-x-1；（2）7 2【分析】（1）根据题意得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出一次函数解析式；（2）求出一次函数与x轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：（1）把x＝3代入12yx=-，得y＝-4，故A（3，-4），把y＝3代入12yx=-，得x＝-4，故B（-4，3），把A，B点代入y＝kx+b得：34 43k bk b+=-⎧⎨-+=⎩，解得：11kb=-⎧⎨=-⎩，故直线解析式为：y＝-x-1；（2）由（1）知：当y＝0时，x＝-1，故C点坐标为：（-1，0），则①AOB的面积为：12×1×3+12×1×4＝72．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出A，B点坐标是解题关键．23．已知直线L1为y1＝x+1，直线L2为y2＝ax+b（a≠0），两条直线如图所示，这两个图象的交点在y轴上，直线L2与x轴的交点B的坐标为（2，0）．（1）求a、b的值．（2）求使y1、y2的值都大于0的x的取值范围．（3）求这两条直线与x轴所围成的①ABC的面积．【答案】（1）a＝12-，b=1；（2）-1＜x＜2；（3）32【分析】（1）首先根据直线l1的解析式可求得C点的坐标，进而可由B、C的坐标，利用待定系数法确定a、b的值．（2）根据两个函数的图象以及A、B点的坐标进行解答即可．（也可通过解不等式来求得）（3）根据（1）得到的直线l1的解析式，可求得点A的坐标，以AB为底、OC为高即可求得①ABC的面积．【详解】解：（1）由直线l1的解析式为y1=x+1，可求得C（0，1）；则依题意可得：201a bb+=⎧⎨=⎩，解得：a＝12-，b=1；（2）由（1）知，直线l2：112y x=-+，①y1=x+1＞0，①x＞-1；①y2＝112x-+＞0，①x＜2；①-1＜x＜2．（3）由题意知A（-1，0），则AB=3，且OC=1；①S①ABC=12AB•OC=12×3×1＝32．【点睛】此题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与一元一次不等式的联系以及三角形面积29的计算方法，难度适中．。
一次函数与三角形面积
一次函数与三角形面积作者：凌营来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第04期提到求三角形的面积，我们首先想到的会是直接使用面积公式：三角形面积=底×高÷2.但在函数问题中，经常会碰到一些底或高不容易求的三角形（这样的三角形我们不妨称之为“不规则三角形”），这时直接用面积公式并不会奏效，对此，我们要有意识地去运用一种新的求面积的方法——割补法.其实，不论是直接法（公式法）还是间接法（割补法），其中的关键都在于找出或构造出有关的三角形的底和高，一次函数与三角形的面积相结合，考查方式主要有以下两类.一、根据条件求不规则三角形的面积常用的解题方法是“割补法”，即先将所给的三角形分割成两个（或更多个）三角形，再利用公式分别求出小三角形的面积，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面补上一个特殊的几何图形，然后用该几何图形的面积减掉其他补出的小三角形的面积.规则三角形的面积可直接运用公式求出，我们不再赘述.例1 如图1，一次函数y=的图象过点A（4，3），且与x轴交于点B.设C（3，1），求△ABC的面积.分析：该三角形是不规则三角形，其面积用公式不好直接求，所以使用间接法，可将△ABC分割成两个三角形.如过点C作y轴的平行线，构造出同底的两个三角形，然后再结合A，B，C三点的横坐标即可求出面积，解：过点C作CD//y轴，交直线AB于点D，如图2.将A（4，3）代入一次函数解析式中，可解得点评：当然，也可以过C点作x轴的平行线，将△ABC分成上下两个三角形，如图3.这种割的方法与例1中的方法本质上是相同的，就是让分割出来的三角形的底和高与坐标轴平行，另外，我们也可以将该不规则三角形通过“补”的方法放在一个规则的几何图形中，然后用大几何图形减去多出的几个小几何图形来求出面积，如图4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D，所以三、根据三角形的面积求坐标或解析式在这种考查方式下，将面积表示出来是解题的关键.至于是用公式法还是用割补法，可根据条件具体分析.需要注意的是，所求点的坐标或直线的解析式往往不止一个，因此要有分类讨论的意识.例2 如图5，点A（1，6），B（m，1）在一次函数y=kx+7的图象上.AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C.在x轴上是否存在一点E.使△ABE的面积为57若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.分析：这类求点的坐标的题目，往往需要分类讨论，因为所求的点可能会不止一个.本题中，虽然点E在x轴上并且△ABE的面积一定，但是如果点E相对于其他已知点的位置不同，那么面积的表达形式就会不同，解：将A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.∴一次函数的解析式为y=-x+7.将B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.设E（n.0）.一次函数的图象与x轴交于M点，则M（7，0）.（1）当点E在点D，M之间时，如图6.解得n=5，故E（5，0）.（2）当点E在点D左侧时，如图7.解得n=5，故E（5，0）.但这与题设矛盾，故点E不可能在点D的左侧.（3）当点E在点M右侧时，如图8.解得n=9，故E（9，0）.综上，点E的坐标为（5，0）或（9，0）.点评：本题中△ABE的面积的表示，还是采用了间接法，只不过不是“割补法”，而是“大减小”，即利用现有图形，求出一个大图形的面积，然后减掉其他几个小图形的面积.这种解法同学们也一定要掌握，侧3 已知直线y=x+3与x轴和y轴交于A，B两点.直线2经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分.求直线f的解析式，解：由题意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.点评：当我们不能确定两个图形的面积谁大谁小时，一定要想到分类讨论.练习：1.一次函数y=x+3的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A.6B.3C.9D. 4.52.已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象交于点A，并与y轴交于点B（O，-4）.点O为坐标原点.若△AOB的面积为6.则一次函数的解析式为______.3.如图11所示.一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B.求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积.4.一次函数V=kx +b的图象经过A（2，3），B（-3，一2）两点.若P是y轴上的一点，且使△ABP的面积是5.求OP的长.5.一次函数v-kx-k的图象经过点A（2，2）.设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P点的坐标.参考答案：1.D2.y=-x-4或（提示：以OB为底，则高为3.点A的横坐标为±3）3.1（提示：先根据正比例函数的解析式确定出点B的坐标为（-1，1），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式）.4.1或3（提示：先求出一次函数的解析式，设该一次函数的图象与y轴的交点为C，将△ABP的面积分解为△ACP的面积与△BCP的面积之和，求出P点的坐标.注意分类讨论，还有一点需要注意，就是求出点P的坐标后，不要习惯性地以为就结束了，要写出OP的长才可以）.5.（3，0）或（-1，0）（提示：将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形进行计算）.。
一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积问题专题复习【精品】
专题：一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积问题类型1 已知图象求三角形的面积例1.【教材母题】点P(x，y)在第一象限，且x＋y＝8，点A的坐标为(6，0)．设△OPA的面积为S.(1)用含x的式子表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；(2)当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？(3)△OPA的面积能大于24吗？为什么？解：(1)∵点A和点P的坐标分别是(6，0)，(x，y)，∴S＝12×6×y＝3y.∵x＋y＝8，∴y＝8－x.∴S＝3(8－x)＝24－3x.∴S＝－3x＋24.∵点P在第一象限，∴x＞0，y＞0，即x＞0，8－x＞0.∴0＜x＜8. 图象如图所示．(2)当x＝5时，S＝－3×5＋24＝9.(3)不能．理由：令S＞24，则－3x＋24＞24.解得x＜0.∵由(1)，得0＜x＜8，∴△OPA的面积不能大于24.针对练习：1．如图，直线l 1在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B(－3，3)也在直线l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上．(1)求点C 的坐标和直线l 1的解析式；(2)已知直线l 2：y ＝x ＋b 经过点B ，与y 轴交于点E ，求△ABE 的面积．解：(1)由题意，得点C 的坐标为(－2，1)．设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋c ，∵点B(－3，3)，C(－2，1)在直线l 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋c ＝3，－2k ＋c ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，c ＝－3.∴直线l 1的解析式为y ＝－2x －3.(2)把点B 的坐标代入y ＝x ＋b ，得3＝－3＋b ，解得b ＝6.∴y ＝x ＋6.∴点E 的坐标为(0，6)．∵直线y ＝－2x －3与y 轴交于点A ，∴A 的坐标为(0，－3)．∴AE ＝6＋3＝9.∵B(－3，3)，∴S △ABE ＝12×9×|－3|＝13.5.2．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，4)在y 轴上，点B (－8，0)在x 轴上．(1)求直线AB 的函数解析式；(2)若x 轴上有一点P 使得∠APO ＝2∠ABO ，求△ABP 的面积．解：(1)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (0，4)，B (－8，0)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－8k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝4，∴直线AB 的函数解析式为y ＝12x ＋4. 设点P 的坐标为(t ，0)，分两种情况考虑，如图所示．①点P 在x 轴上原点的左侧．当PB ＝AP 时，∠APO ＝2∠ABO .在Rt △APO 中，AP＝BP＝t－(－8)＝t＋8，AO＝4，PO＝－t，∵AP2＝AO2＋PO2，即(t＋8)2＝42＋(－t)2，解得t＝－3，∴BP＝8－3＝5.∴S△ABP＝12BP·AO＝12×5×4＝10.②点P在x轴上原点的右侧．由对称性，可得点P′的坐标为(3，0)，此时，BP′＝8＋3＝11，∴S△ABP′＝12BP′·AO＝12×11×4＝22.综上，△ABP的面积为10或22.3．如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(1，0)，直线y＝12x－3与y轴交于点C、与x轴交于点D.(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，求直线AB与CD交点E的坐标；(2)四边形OBEC的面积是4．解：把A(0，2)，B(1，0)代入y＝kx＋b，得。
一次函数与面积综合运用(原卷版)
专题07 一次函数与面积综合运用（三大题型）【题型1 常规三角形面积】【题型2 铅垂法求面积】【题型3 等底转化】【题型1 常规三角形面积】【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。
【典例1】（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求A，B两点的坐标；（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-1】（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB 的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；【变式1-2】（2023春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2交x轴、y轴分别于点C（﹣6，0），D（0，6），直线l2与直线l1交于点E，连接BC．（1）求直线l2的解析式；（2）求△BCE的面积；（3）连结OE，若点P是x轴上一动点，连结PE，当△POE为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【变式1-3】（2023春•兰陵县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝，b＝，n＝；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．【变式1-4】（2023春•连城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y ＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB ＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-5】（2023春•文登区期中）如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的表达式；（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．【变式1-6】（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．【题型2 铅垂法求面积】【解题技巧】对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。
八年级数学一次函数中的三角形面积问题专项练习题
一次函数中的三角形面积问题专项练习题1．如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点， 使得与的面积相等，请求．出点的坐标．2、已知直线y=2x+b 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且△AOB 的面积是9，求b 的值.3、已知直线y=kx-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且△AOB 的面积是9，求k 的值.4、已知直线l 1： y=2x-6和直线l 2： y =k x +b 交于点（2，-2）,两直线与x 轴围成的三角形的面积2,求直线l 2的解析式.5.已知点A （3,0）B （0,2）在直线y=x 上是否存在点P ，使△OAP 的面积等于△OAB 面积的一半面积6.已知点A （3,0）B （0,2）在直线y=x 上是否存在点P ，使△OBP 的面积等于△OAB 面积的1/37.已知点A （3,0）B （0,2）在直线y=x 上是否存在点P ，使△ABP 的面积等于△OAB 面积的2倍。
8.已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点1l 33y x =-+1l x D 2l A B ，1l 2l C D 2l ADC △2l C P ADP △ADC △P (3,0)(0,2)B A o(3,0)(0,2)B A o(3,0)(0,2)B A ol 1 l 2 xyD O 3 BC A （4，0） 图11C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．9.已知直线l 1: y=2x-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线 l 2: y=kx+b 过（2，-2）将△ABO 的面积分为2：7，求:直线l 2的解析式.10.已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ∆分成两部分（1）若AOB ∆被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值（2）若AOB ∆被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值11.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C 的坐标;(2)求△ABC 的面积. (3)在直线BC 上能否找到点P,使得S △APC =6，若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由。
第四章一次函数培优专题一次函数中的面积问题训练北师大版2024—2025学年八年级上册
第四章一次函数培优专题一次函数中的面积问题训练北师大版2024—2025学年八年级上册一、直线与两标轴所成三角形面积例1.已知一次函数4=xy与x轴，y轴分别交于A，B两点，求三角形AOB的2-面积变式1.一次函数过点（2，1）和点（3，0）求它与坐标轴围成的三角形的面积.变式2.如图，一次函数的图象经过点A（2，3），交y轴于点B，交x轴于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）在x轴上一动点P，使P A+PB最小时，求点P的坐标；（3）在条件（2）下，求△ABP的面积．二、利用解析式求三角形面积或已知面积求解析式例2.直线b kx y +=过点A （－1，5）和点)5,(-m B 且平行于直线x y -=，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积.变式1.求直线y =2x －7，直线1122y x =-+与y 轴所围成三角形的面积．变式2.如图，所示，一次函数b kx y +=的图像经过A ，B 两点，与x 轴交于C 求：（1）一次函数的解析式；（2）AOC ∆的面积变式3直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9,求b变式4.已知直线2+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线 b kx y +=)0(≠k 经过点)0,1(C ，且把AOB ∆分成两部分（1）若AOB ∆被分成的两部分面积相等，则k 和b 的值（2）若AOB ∆被分成的两部分面积比为1：5，则k 和b 的值三、已知三角形面积求点的坐标例3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点C（m，4）．（1）求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标．变式1.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CE与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D，与y轴相交于点E（0，﹣1），点P是x轴上一动点．（1）求直线CE的表达式；（2）求△BCE的面积；（3）当△CDP的面积等于△BCE面积的一半时，请求出点P的坐标．变式2.设一次函数y ＝kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象过A （1，3），B （﹣5，﹣3）两点．（1）求该函数表达式；（2）若点C （a +2，2a +1）在该函数图象上，求a 的值；（3）设点P 在y 轴上，若S △ABP ＝15，求点P 的坐标．变式3.如图，点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（2，0），过点C （﹣2，0）作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且使△ADE 和△DCO 的面积相等．（1）求△AOB 的面积．（2）求直线l 的函数解析式．变式4.如图，直线与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，点C 是OA 的中点．（1）求出点B 、点C 的坐标及b 的值；（2）在y 轴上存在点D ，使得S △BCD ＝S △ABC ，求点D 的坐标；变式5.如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线l2的函数表达式；（3）若E为x轴正半轴上一点，△ABE的面积等于△ABC的面积，求E点坐标；变式6.如图，一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，6），B（0，3），与x轴相交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）求点O到直线AC的距离；（3）若直线l与直线AC平行，与y轴交于点P，且△APC的面积等于△AOC 的面积（点P与点O不重合），求直线l所对应的函数表达式．变式7.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（8，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）如图（1），点G是线段BC上一动点，当G点距离y轴3个单位时，求△ACG的面积；变式8.已知直线l1：y＝kx﹣4（k＞0）分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：与y轴交于点C，与直线l1交于点D．（1）如图1，点D的横坐标为4，若点E是l1：y＝kx﹣4（k＞0）上一动点，①求直线l1的函数表达式；②连接CE，若△ECD的面积为4，求E的坐标；变式9.如图1，已知直线l与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B（0，b），且a，b满足，以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC，其中上∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）求直线l的解析式和点C的坐标；（2）如图2，点M是BC的中点，点P是直线l上一动点，连接PM、PC，求PM+PC的最小值，并求出当PM+PC取最小值时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式10.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y 轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D．（1）求A、B两点的坐标；（2）若在直线AB上有一点M，使得△OBM的面积为9，求点M的坐标；变式11.如图1，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y 轴上，连接AB．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，点P为直线AB上一动点，若S△APC ＝S△AOC，求点P的坐标；（3）如图3，点Q为直线AB上一动点，当∠BCQ＝∠BAO时，求点Q的坐标．、变式12.如图，已知直线AB：y＝kx+b与x轴交于点，与y轴交于点C（0，3），且与直线y＝x相交于点A．（1）求直线AB的表达式和点A的坐标．（2）如图1，点D在直线y＝x上，且横坐标为2，点Q为射线BC上一动点，若，请求出点Q的坐标．。
专题：一次函数与坐标轴围成的三角形的面积【精品】
2.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3，－3)，且 与直线y＝4x－3的交点在x轴上． (1)求这个一次函数的解析式； (2)此函数的图象经过哪几个象限？ (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
类型2 已知面积求一次函数的解析式
例2.已知一次函数的图象过点(0，3)，且与两坐标轴所围成的三 角形的面积为3，则其解析式为( C ) A．y＝1.5x＋3 B．y＝－1.5x＋3 C．y＝1.5x＋3或y＝－1.5x＋3 D．y＝1.5x－3或y＝－1.5x－3
类型1 已知图象求三角形的面积
例1.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内， AD∥y轴，点A的坐标为(5，3)，已知直线l：y＝ 1x－2.
2
(1)将直线l向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A，求m
的值；
(2)在(1)的条件下，平移后的直线与正方与平面直角坐标系中两坐标轴交于点M(0，－3)和 点N(a，0)，且此直线与两坐标轴围成的三角形面积为12，则a的值 是 ±8 ． 4．已知直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l经过原点， 与线段AB交于点C，且把△ABO分为面积之比为2∶1的两部分，求直 线l的函数解析式．
类型3 已知面积求点的坐标
例3. 如图，直线y＝kx＋6(k≠0)与x轴、y轴分别交于点E，F，点E的 坐标为(－8，0)，点A的坐标为(－6，0)，点P(x，y)是线段EF上的一
个动点．
(1)求k的值； (2)求点P在运动过程中△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； (3)当△OPA的面积为9时，求点P的坐标．
的面积．
针对练习：
1.已知一次函数y＝2x＋4. (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)y的值随x值的增大而 增大 ； (3)求图象与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标； (4)在(3)的条件下，求出△AOB的面积．
专题：一次函数与三角形的面积
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专题：一次函数与三角形的面积（一）一、 两条边在坐标轴上1、已知直线y=2x-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求△AOB 的面积.二、一条边做坐标轴上2、求直线y=2x —6和直线y =-2x +2与x 轴围成的三角形的面积.变式1：求直线y=2x —6和直线y =—2x +2与y 轴围成的三角形的面积.三、没有边坐标轴上3、如图,直线经过点A （-2，m ），B (1，3)．（1)求k ，m 的值:（2)求△AOB 的面积．4、如图，直线经过点A （1，m ）,B （4,n ），点C（2，5）,求△ABC 的面积．53y kx =+112y x =+四、求多边形的面积5、如图,直线y =kx —2与x 轴交于点B ，直线y =x +1与y 轴交于点C ，这两条直线交于点A （2，a ）,求四边形ABOC 的面积．综合运用1、若y=（m —2）+m —1是一次函数.求（1)m 的值(2)函数解析式（3）直线与两坐标围成的三角形面积2．如图，直线l 1：y =—2x +4与x 轴、y 轴分别交于A ，B两点，直线l 2:与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点．（1)求四边形ABCD 的面积；（2）设直线l 1，l 2交于点P ，求△PAD 的面积．专题：一次函数与三角形的面积(二）一、求解析式1、一次函数y =k x +b 的图象过点A （3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9,求该一次函数的解析式.变式1：一次函数y =k x +b 的图象过点A （0，3)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式。
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专题：一次函数与三角形的面积（一）
一、两条边在坐标轴上
1、已知直线y=2x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，求△AOB的面积.
二、一条边做坐标轴上
2、求直线y=2x-6和直线y=-2x+2与x轴围成的三角形的面积.
变式1：求直线y=2x-6和直线y=-2x+2与y轴围成的三角形的面积.三、没有边坐标轴上
3、如图，直线
5
3
y kx
=+经过点A（-2，m），B（1，3）．（1）求k，m的值：（2）求△AOB的面积．
4、如图，直线
1
1
2
y x
=+经过点A（1，m），B（4，n），点C（2，5），求△ABC的面积．
四、求多边形的面积
5、如图，直线y=kx-2与x轴交于点B，直线y=1
2
x+1与y轴交于点C，这两条直线交于点A（2，a），
求四边形ABOC的面积．
综合运用
1、若y=（m-2）+m-1是一次函数。
求（1）m的值（2）函数解析式（3）直线与两坐标围成的三角形面积
2．如图，直线l1：y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B
两点，直线l2：
1
3
2
y x
=--与x轴、y轴分别交于C，D
两点．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）设直线l1，l2交于点P，求△P AD的面积．
y
x
C
B
A
O
y
x
C
B
A
O
l2
l1
O
A
B
y
x
P
D
C
专题：一次函数与三角形的面积（二）
一、求解析式
1、一次函数y=k x+b的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式.
变式1：一次函数y=k x+b的图象过点A（0，3）且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式.
变式2：已知直线y=2x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，且△AOB的面积是9，求b的值.
变式3：已知直线y=kx-6与x轴、y轴分别交于点A、B，且△AOB的面积是9，求k的值.
2、已知直线l1：y=2x-6和直线l2：y=k x+b交于点（-2，2）,两直线与x轴围成的三角形的面积2,求直线l2的解析式.
变式1：已知直线l1: y=2x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2: y=kx+b过（2，-2）将△ABO 的面积分为2：7，求:直线l2的解析式.
二、动点问题
3、已知点A(8,0)及在第一象限的动点P(x,y)，且x+y=10,设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数关系式.
（2）求x的取值范围.
（3）画出函数S关于x的图象.
（4）当P点在什么位置时，S=12.
变式1：.动点P(x,y)在第四象限时，完成问题3中的4个问题.
4.
如图，直线1
y x
=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果点P是直线
1
2
y=上的动点，当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标．。