概率论与数理统计 第六章 辅导

这就是随机调查游客人数不少于385人，就有不 小于0.95的把握，使得用调查所得 x 的去估计 平均消费额的真相 ，其绝对误差小于50 元。 5．某商店为了解用户对某种商品的需求量，调 查了100个用户，得出每户每月平均需要该商 品 10 公 斤 。 根 据 经 验 得 知 用 户 需 求 量 方 2 0 90 公斤。如果这个商店供应一万户， 差
2 0
2 2 S0 比 S 有效。
4．假定到某地旅游的一个游客的消费额服 X 从正 ) 态分布 N (, 2，且 500, 未知。要对平均消费 额 的进行估计，使这个估计的绝对误差小于 50元，且为使置信度不小于0.95，问至少需要 随机调查多少个游客？ [分析] 本题是求样本容量的最小值，因此，不妨 设 X1 , X 2 ,, X n 是取自该总体的样本。
第六章 参数估计 一、主要内容
1． 理解参数点估计的概念，掌握求参数点估计
的两种方法：矩估计和最大似然估计方法； 2．了解估计量的优良性准则（无偏性、有效性、 最小方差无偏估计，相合估计），并掌握验证 估计量的无偏性方法；
3．理解区间估计的概念，会求一个正态总体的均
值与方差的置信区间和两个正态总体均值差与方 差比的置信区间。
1


1
12 E( X ) x dx 2 2 1 E ( X ) 1
2 2 2 1
第二步
Eˆ X ) x (
第三步 将 Eˆ X ) x 代入2 的公式，得到。 (
ˆ x 是 的矩估计。 得到 2 2 x 1
2．已知总体
X
P
（参数未知）。是来 x1 , x2 ,, xn 自该总体的 样本值。求 的最大似然估计。
X
的分布列为
1 2
2 (1 )
3
(1 ) 2

2
[解]
X ~ f ( x; ) P( X x 1) C2x (1 )x 2x , x 0,1,2
Xi ~ f ( xi ; ) P( Xi xi 1) C2xi (1 )xi 2xi , xi 0,1,2.i 1,2,, n
n
L f ( xi ;1 , 2 ) 21 x
2
i 1 i 1
(2 1) i

n n2 2 1
xi (12 )
i 1
n
又 ln L n ln n ln (1 ) ln x 2 2 1 2 i
i 1
n
得似然函数
又由题意要满足
X P u0.01 0.99 3/10
可得 的0.99的置信区间为 10 2.33 3 , [9.301, )
10
可知对一万户最少需要准备93010公斤这种商品，才能以 0.99的概率满足需要。
三、练习与答案
)) X (D ,) X ( E ( N
X ~ N (0,1) 可作为枢轴变量，于是， 3 / 100
有
X P u u 1 2 3 /10 2 可得 的置信度 (1 ) 0.99 为置信区间为
3 3 X u , X u 2 10 2 10
就用户对这种商品的平均需求量 进行区间估 计(1 ) 0.99 。并依此求至少需准备多少公斤此 种商品才能以0.99的概率满足用户需要？ [分析] 本题不是正态分布。由于样本容量较大， 可用大样本方法求未知参数的区间估计，即由 独立同分布的中心极限定律得知，总体近似服 从 且由条件可知 E( X ) , D( X ) 9 [解] 设对该商品的需求量为 X ，由于 n 100 较大， 仅 X 似近服从正态分布 N ( ,32 ) 。 随机变量
1．设总体 在 [0, ]( 0未知) 上服从均匀分布，从该 总体中任取六个样品，测得样本值为：（1.9， 0.5，1.7，2.2，0.3，1.1）。分别矩估计法和最 大似然估计法求总体均值 E( X )和方差 D( X ) 的估 计量。 2．设总体 服从正态分布 N (, 2 ) ，参数 和未 0 知 ， ( x1, x2 ,, xn ) 是取自该总体的样本值。求 标准差 和二阶原点矩 E ( X 2 ) 的最大似然估计。
n 2 4 (Xi X ) 4 2 4 D( S 2 ) D i 1 2 2(n 1) 2 2 (n 1) (n 1) (n 1)
2 4 2 4 故有， D(S ) D( S 2 于是 ) n n 1
k

i 1
i 1
i
5．从一批炮弹中随机抽取9发作炮口速度试验， 2 *2 得修正样本方差 S9 11 （米/秒）。假设炮口 速度服从正态分布 N (, 2 ) 。求炮口速度的标准 差和方差的置信度为0.90的置信区间。
参考答案
1 n 1. E ( X ) x 1.28, D( X ) ( x i x ) 2 0.5014 n i 1 ˆ 2. 1 n 2 2 ˆ 2 ˆ2 ( x i x ) 0.5014 , E ( X ) X n i 1

ˆ X 样本均值为 X ，且已知 ，依题意，即可 由 P X 50 0.95去求最小样本容量。 [解] 设 n 至少需要随机调查的游客人数 要 P X 50 0.95 即
50 X P 0.95 / n / n
2为未知常数， 1 , X 2 ,, X n 是来自该总体的 X
1 n 2 样本。S n 1 ( X i X ) i 1
2
1 n 和 S ( X i )2 n i 1
2 0
都是 2 的估计量，比较它们的有效性。
2 的无偏估计量。比较 [分析] 容易验证S 和 S 都是
（x1 , x2 ,, xn）的似然函数为
L f ( xi ; ) C (1 )
i 1 i 1 xi 2
n
n
n
xi
2 xi
C (1 ) i1
i 1 xi 2
n
xi
( 2 xi )
i 1
n
又
ln L ln C xi ln(1 ) (2 xi )ln
( X i )2
i 1 n
2
~ 2 (n 1)
由定理知
(n 1) S
2
2
所以

( X i X )2
i 1
n
2
~ 2 (n 1)
4 n 4 2 4 D(S02 ) 2 D( ( X i )2 / 2 2 2n n i1 n n
二、典型例题
1．设总体的分布函数为
1 2 1 , x 1 ; 其中参数1 0已知 F ( x;1 , 2 ) x 0，x , 1未知 1 2
是来自该总体的样本值。求未知参数的最大似然 估计和矩估计。
（1）样本值
n
x1 , x2 ,, xn 的似然函数为
X u ~ N (0,1)
因为
/ n百度文库
由
P u u 1 0.95，其中 2
2
0.05 得
2
50 1.96 1.96 1.96 500 u 0.05 n n 384.16 50 / n 50 50 2
已知 x 10, 故 的置信区间是：为
3 3 10 2.58 10 ,10 2.58 10 9.226,10.774
由题意可知一万户对该商品的平均需求量的0.99的置信区 间是
[10000 9.226,10000 10.774] 92260,107740
n d ln L n n 1 ln xi 0 d 2 2 i 1
解得
ˆ 2 n
ln x
i 1
n
i
n ln 1

n
(ln x
i 1
n
i
ln 1 )
是唯一驻点。又因为
d 2 ln L n， 2 0 2 (d 2 ) 2
ˆ 所以2是 2最大似然估计。 （2）第一步 E( X ) x212 x(2 1) dx
ˆ ˆ 3. p 0.09, R 0.1 2( n 1) 4.k

5． 2 的0.90置信区间为[5.675，32.199] 的0.90置信区间为[2.382，5.674]
2
它们的有效性就是比较它们的方差大小。 2 2 [解] 已知， E(S )
1 n 1 n 2 E ( S ) E ( X i ) D( X i ) 2 n i 1 n i 1
2 0
2 0
2 故 S 2 和 S0 都是 2 的无偏估计量。
2由分布定义知 又
X
X
3．袋中装有黑、白两种颜色而大小、形状相同 的球。每次从中任取一球，确定黑、白颜色后 再放回，连取100次。发现其中9次取的是黑球， 91次取的是白球。求袋中黑球所占的比例 p 和 黑球与白球之比 R 的最大似然估计。 4．设样本 ( X1 , X 2 ,, X n ) 是取自正态总体，求常 n 1 数 k 使得 1 X X 为 的无偏估计量。 ˆ
i 1 xi 2 i 1 i 1
n
n
n
得似燃方程
n d ln L i 1 i 1 (2n xi ) 0 d 1 i 1
x
n
n
解得
ˆ
2n xi
i 1
是唯一驻点
2n
1
1 x 2
所以 ˆ 是 的最大似然估计 2 3．设总体 X ~ N (,，其中 为已知常数， )