建立二次函数模型解题
《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》
——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。
DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。
高中二次函数求解技巧
高中二次函数求解技巧高中数学中，二次函数是一个重要的概念，不仅在证明和推导中经常用到，而且在解决实际问题中也有广泛的应用。
在这篇文章中，我将介绍一些高中二次函数求解的技巧，希望能为学生提供一些帮助。
一、函数图像的特征在求解二次函数的问题中，首先要了解函数图像的特征。
对于一般的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\ eq0$，它的图像是一个抛物线。
其中，$a$决定了抛物线的开口方向，当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
而$b$和$c$决定了抛物线的位置。
其次，二次函数的图像与顶点有关。
顶点的横坐标为$x_0=-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y_0=f(x_0)$。
通过顶点可以判断抛物线的开口方向和顶点的位置。
二、求解二次方程当我们遇到一个二次方程时，可以通过因式分解、配方法或求根公式来求解。
1. 因式分解法对于形如$f(x)=ax^2+bx+c=0$的二次方程，如果可以因式分解成$(px+q)(rx+s)=0$的形式，那么方程的解可以直接得出。
要想因式分解，可以尝试将方程写成以下形式：$ax^2+bx+c=(dx+e)(fx+g)$$=dfx^2+(dg+ef)x+eg$通过比较系数，可以得到以下等式：$\\begin{cases}df=a\\\\dg+ef=b\\\\eg=c\\end{cases}$通过解这个方程组，可以得到因式分解后方程的解。
2. 配方法对于无法因式分解的二次方程，可以通过配方法来求解。
配方法的基本思路是将二次项进行分解，然后再进行因式分解。
对于形如$f(x)=ax^2+bx+c=0$的二次方程，通过配方法可以将方程变形为：$\\begin{aligned}f(x)&=ax^2+bx+c\\\\&=\\frac{a}{4a^2}x^2+\\frac{b}{2a}x+c\\\\&=\\left(\\frac{x}{2a}+\\frac{b}{4a^2}\\right)^2-\\left(\\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\right)\\end{aligned}$将左边化简为完全平方形式，右边的项即为常数项。
二次函数实际问题及解题方法
二次函数实际问题广泛存在于我们的日常生活中，例如物体的自由落体运动、桥梁的拱形设计、以及经济学中的成本收益问题等。
下面，我们将通过具体的例子，探讨二次函数实际问题的解题方法。
例题：一位农民有一块形状为直角三角形的土地，他计划将这块土地用于种植，需要围上篱笆。
已知直角三角形的两条直角边长度分别为a米和b米，假设篱笆的价格是每米p元，那么他需要花费多少元来围这块土地？
解题步骤如下：
根据题目，理解问题的背景和目标。
在这个问题中，我们需要找出农民围土地所需的总花费，这是我们的目标。
定义变量。
这里，直角三角形的两条直角边长度是已知的，分别为a米和b米，篱笆的价格也是已知的，为p元/米。
我们需要找出的是篱笆的总长度，我们设其为L米。
建立数学模型。
我们知道，直角三角形的周长等于其三条边的长度之和。
因此，篱笆的总长度L = a + b + 斜边长度。
而斜边的长度可以通过勾股定理求得，即斜边长度= √(a²+ b²)。
所以，L = a + b + √(a²+ b²)。
然后计算总的花费，即总价= Lp = p(a + b + √(a²+ b²))。
通过数学模型，我们得到了总价是p*(a + b + √(a²+ b²))元。
以上就是一个利用二次函数解决的实际问题。
需要注意的是，在解决这类问题时，首先要明确问题的目标，然后确定已知和未知的变量，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后求解数学模型，得出实际问题的答案。
二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版
二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
中考数学复习 第三单元 函数 第15课时 二次函数的实际应用数学课件
25 + 5 + = 0.5.
如图15-3记录了三次实验的数据.根据上述
= -0.2,
函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时
解得 = 1.5,
间为(
)
= -2,
A.3.50分钟
即 p=-0.2t2+1.5t-2,
[解析]设售价定为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元.
∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,
∴每天的销售量为200-20(x-4.1)÷0.1=-200x+1020(千克).
设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)
=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50.
图15-1
2.某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售
[答案] D
时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支 [解析]设每天的利润为w元,涨价x元.
涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最 由题意得,每天利润为:
大利润,其售价应定为(
)
w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40
A.11元
后 4 s 滑行 24 m.
7.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,
小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1
元,则每天少卖出20千克,则蔬菜售价定为
【名校课堂九级数学上册小专题六二次函数的实际应用(新版)新人教版-课件
二次函数的实际应用类型1 建立二次函数模型解决几何图形面积问题设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?类型2 建立二次函数模型解决体育运动中的问题从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t.已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？5．如图，足球场上守门员在O处发出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取43＝7)(3)运动员乙要抢到第二个落点D的足球，他应再向前跑多少米？(取26＝5)参考答案1.(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30.(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1<0，∴当x＝15时，y最大＝225.即当x是15 m时，种植菊花的面积＝20－12x.∴y ＝AB·BC＝32a ·x ＝32(20－12x)x ，即y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)． (2)∵y＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300.∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300平方米． 3.(1)连接AC ，BD.AC 与EH 交于点M.∵花坛为菱形，∴EH ∥BD ，EF ∥AC.∵∠ABC ＝60°，∴△ABC ，△BEF 是等边三角形．∴EF＝BE ＝AB －AE ＝4－x.在Rt △AEM 中，∠AEM ＝∠ABD＝30°，则EM ＝32x.∴EH ＝2EM ＝3x.又∵EF＝BE ＝4－x ，∴S ＝EH·EF＝3x ·(4－x)，即S ＝－3x 2＋43x.(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低．又∵S＝－3x 2＋43x ＝－3(x －2)2＋43，∴当x ＝2时，S 最大＝4 3.易得S 四边形ABCD ＝8 3.此时四个三角形的面积为83－43＝4 3.∴最低总费用为：20×43＋40×43＝2403(元)．答：当x ＝2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是2403元．4.(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516，c ＝0.5，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋0.5＝－2516(t －85)2＋4.5.∴足球飞行的时间是1.6秒时，足球离地面最高，最大高度是4.5米．(2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516×19625＋5×2.8＋0.5＝2.25.∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．5.(1)设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y ＝a(x －6)2＋4.由已知：当x ＝0时，y ＝1.即1＝36a＋4，∴a ＝－112.∴表达式为y ＝－112(x －6)2＋4. (2)令y ＝0，－112(x －6)2＋4＝0.∴(x－6)2＝48.解得x 1＝43＋6≈13，x 2＝－43＋6<0(舍去)．∴足球第一次落地点C 距守门员约13米．(3)第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD ＝EF(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)，∴2＝－112(x －6)2＋4.解得x 1＝6－26，x 2＝6＋2 6.∴CD ＝||x 1－x 2＝46≈10.∴BD＝13－6＋10＝17(米)．答：他应再向前跑17米．。
基于深度学习 建构“一题一课”——以“二次函数的最值问题”复习课为例
总的来说,教 师 在 开 展 “一 题 一 课 ”教 学 活 动 时,
要注重引导学生学会从数学视角来审视问题和解决
３ 一课贯通,素养升华
问题,做到真 正 把 握 数 学 问 题 的 本 质,推 动 知 识 面 拓
本课例中以 一 题 为 起 点,利 用 一 题 多 变、一 题 多
模式 ．
深度 学 习 需 要 教 师 结 合 自 身 经 验 设 置 问 题 串
(链)以触 发 学 生 的 深 度 思 考,落 实 数 学 核 心 素 养,真
引 例 如 图 ２,已 知 经 过 点
A (－１,
０),
B(
４,
０),
C(
０,
４)三 点
的抛物 线 的 解 析 式 为 y ＝ －x２ ＋
图３
△MBC 的面 积 和 线 段 MN 长 度 之 间 的 关 系,即
１
１
S△MBC ＝ 铅 垂 高 × 水 平 宽 ×
＝ MN ×OB ×
＝
２
２
１
MN ×４× ＝２MN ,从而可知 求 △MBC 面 积 的 最 大
２
值就是要求线段 MN 长度的最大值,让 学 生 充 分 体 会
转化思想在解决问题中的应用 ．
用求 MH 的 最 大 值 求 S△ MBC 的 最 大 值;方 法 三 如 图
提高深层次探究能力与技 巧,发 展 思 维 迁 移 能 力 与 观
１０,利用平移的方 法 找 到 与 BC 平 行 且 与 抛 物 线 相 切
的直线,这时切点就是到直线 BC 最远的点,进而求出
MH 的最大值 ．
念,体会转化 思 想、函 数 思 想、数 形 结 合 思 想、建 模 观
二次函数十大解题模型汇总(模型+例题+练习题)
角线 a 的关系．
2、已知：一等腰直角三角形的面积为 S，请写出 S 与其斜边长 a 的关系表达式，并分别求出 a=1，a= 2 ，
a=2 时三角形的面积．
1 3、在物理学内容中，如果某一物体质量为 m，它运动时的能量 E 与它的运动速度 v 之间的关系是 E= 2 mv2
（m 为定值）．（1）若物体质量为 1，填表表示物体在 v 取下列值时，E 的取值：
例 2、如果人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存， 到期支取时，银行将扣除利息的 20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和 y（元）与年利率 x 的 函数表达式．
例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服 装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表 达式．
二次函数十大解题模型汇总（模型+例题+练习题）
模型 1：根据二次函数的定义求字母的值
例 1：函数 y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 是二次函数，则 m=
．
对象：y=（m＋2）x m2−2 ＋2x－1 角度：二次函数的稀疏，次数
二次函数的定义压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题01 二次函数的定义压轴题四种模型全攻略考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项 考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．231y x =-C ．2y x =D ．323y x x =+-【答案】B【解析】【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【详解】解：A 、31y x =-，是一次函数，故此选项不符合题意；B 、231y x =-，是二次函数，故此选项符合题意；C 、2y x =，不是二次函数，故此选项不符合题意；D 、323y x x =+-，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式2y ax bx c =++(0a ≠)，是解题的关键．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数的定义判断即可．典型例题【详解】①26y x =是二次函数；②235y x =-+是二次函数；③2200400y x x =+是二次函数；④32y x x =-不是二次函数；⑤213y x x=-+不是二次函数； ⑥()22121y x x x =+-=+不是二次函数；这六个式子中二次函数有①②③故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．2．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①55y x =-；②231y x =-；③3243y x x =-；④2221y x x =-+；⑤21y x =．其中是二次函数的是____________． 【答案】②④##④②【解析】【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y =5x -5为一次函数；②y =3x 2-1为二次函数；③y =4x 3-3x 2自变量次数为3，不是二次函数；④y =2x 2-2x +1为二次函数；⑤y =21x 函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项作答．【详解】解：二次函数y =x 2－2x +3的一次项系数是－2；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a ，b ，c 分别是二次函数y ＝﹣x 2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ） A ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝0B ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝3C ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝3D ．a ＝1，b ＝0，c ＝3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y ＝﹣x 2+3的二次项系数是a ＝﹣1，一次项系数是b ＝0，常数项是c ＝3；故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．2．（2022·全国·九年级）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．【答案】 3 -5 1【解析】【分析】形如：()20y ax bx c a =++≠这样的函数是二次函数，其中二次项系数为,a 一次项系数为,b 常数项为,c 根据定义逐一作答即可．【详解】解：二次函数y ＝1﹣5x +3x 2，则二次项系数a ＝3，一次项系数b ＝﹣5，常数项c ＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．考点三 根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．【答案】-1【解析】【分析】若y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；【详解】 解：由题意得：21012m m -≠⎧⎨+=⎩， 解得：m =-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，那么m 的值____．【答案】2-【解析】 【分析】根据二次函数的定义，(2)m m x -中，未知数x 的指数为2，系数不为0，列式计算即可． 【详解】解：∵(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，∵2m =且20m -≠，∵2m =-．故答案为：2-．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于x 的函数()21m m y m x -=+是二次函数，则m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，求出m 的值即可解决问题．【详解】解：∵()21m m y m x -=+是关于x 的二次函数，∵m 2-m =2，m +1≠0，解得：m =2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．考点四 列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．【答案】233y x x =++【解析】【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，∵二月份的为()111x x +⨯=+三月份的为()()()2111x x x +⨯+=+第一季度的总产值为y （亿元），则()2211133y x x x x =++++=++ 故答案为：233y x x =++【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为【答案】2105607350y x x =-+-【解析】【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：()21x -元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：()21x -元，所以：()()2135010y x x =--2102103507350x x x =-++-2105607350x x =-+-故答案为：2105607350y x x =-+-【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键. 2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形ABCD 中，8cm AB =，6cm AD =，点M ，N 从A 点出发，点M 沿线段AB 运动，点N 沿线段AD 运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设cm AM AN x ==，阴影部分的面积为2cm y ，则y 与x 之间的关系式为______．【答案】y =-212x +48 【解析】【分析】先求出212AMN S x =，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：21122AMN S AM AN x =⋅=， ∵阴影部分的面积=6×8-212x ，即：y =-212x +48． 故答案是：y =-212x +48．本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．一、选择题1．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y =2x +1B ．22y x =-C ．y =-8xD ．3y x = 【答案】B【分析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：A 、该函数是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；B 、该函数是二次函数，故本选项正确；C 、该函数是反比例函数，故本选项错误；D 、该函数是三次函数，故本选项错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．2．（2020·北京房山·九年级期中）二次函数24+3y x x =-的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，4，3B ．0，4，3C ．1，-4，3D ．0，-4，3【答案】C【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如()2,,0y ax bx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数．其中x ，y 是变量，,,a b c 是常量， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项作答．【详解】解：解:二次函数24+3y x x =-的二次项系数是1，一次项系数是4-，常数项是3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏课后训练3．（2022·江苏·九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝100（1﹣x ）B ．y ＝100﹣x 2C ．y ＝100（1+x ）2D ．y ＝100（1﹣x ）2【答案】D【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【详解】解：根据题意知y ＝100（1﹣x ）2，故选：D ．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．4．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）若函数24(m 2)3m m y x mx +-=++-是关于x 的二次函数，则m 的取值为（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．3-或2 【答案】D【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当22042m m m +≠⎧⎨+-=⎩时，该函数是二次函数， ∵m =-3或m =2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．5．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，设直线x t =截此三角形所得的阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系式为（ ）A ．S t =B ．212S t =C ．2S t =D ．2112S t =- 【答案】B【分析】Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，可得45AOB A ∠=∠=︒；再由平行线的性质得出45OCD A ∠=∠=︒，即45COD OCD ∠=∠=︒，进而证明CD OD t ==，最后根据三角形的面积公式，求出S与t 之间的函数关系式．【详解】解：如图所示，∵Rt ABO 中，AB OB ⊥，且3AB OB ==，∵45AOB A ∠=∠=︒，∵CD OB ⊥，∵CD AB ∥，∵45OCD A ∠=∠=︒，∵45COD OCD ∠=∠=︒，∵CD OD t ==，∵12OCD S OD CD =⨯△ ()21032t t =<≤， 即：()21032S t t =<≤． 故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．二、填空题6．（2021·全国·九年级课前预习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】 23x - －16 12【解析】略7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ∵AB 于D ，BD ＝1，设BC ＝x ，AD ＝y ，当x ＞2时，y 关于x 的函数解析式为 _____．【答案】21122y x x【分析】由BD =1，AD =y ，可得AB =AC =y +1，在Rt ∵ACD 中，CD 2=AC 2-AD 2=2y +1，在Rt ∵BCD 中，CD 2=BC 2-BD 2=x 2-1，即得2y +1=x 2-1，可得答案．【详解】解：∵BD =1，AD =y ，∵AB =y +1，∵AB =AC ，∵AC =y +1，在Rt ∵ACD 中，CD 2=AC 2-AD 2=（y +1）2-y 2=2y +1，在Rt ∵BCD 中，CD 2=BC 2-BD 2=x 2-12=x 2-1，∵2y +1=x 2-1，∵2112y x =-． 故答案为：21122yx x ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD 2作等量，列出y 与x 的关系式．8．（2021·重庆·垫江第八中学校九年级阶段练习）若函数y ＝（a ＋1）x |a |＋1是二次函数，则a 的值是 ______ ．【答案】１【分析】根据二次函数的定义，列出关于a 的方程和不等式，即可求解．【详解】根据二次函数的定义可得：1210a a ⎧+=⎨+≠⎩，解得：a =1． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关键．9．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）已知2324m m ym x 是二次函数，则m 的值为___________．【答案】-1【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：∵2324m m y m x 是二次函数，∵2322m m --=且40m -≠，解得：1m =-．故答案为：-1【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；②3y x=-；③2431y x x =-+；④2(1)y m x bx c =-++；⑤y =(x -3)2-x 2 【答案】③【分析】根据二次函数的定义： 一般地,把形如y =ax ²+bx +c (a ≠0)(a 、b 、c 是常数)的函数叫做二次函数，据此判断即可．【详解】解：①2y ax bx c =++，必须满足a ≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；③2431y x x =-+是二次函数，故③是二次函数；④2(1)y m x bx c =-++，1m =时，该式不是二次函数；⑤2222(3)6969y x x x x x x =--=-+-=-+，该式不是二次函数；故答案为：③．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？（1）y ＝3x —1；（2）232y x =+ ；（3）3232y x x =+ ；（4）2221y x x =-+ ；（5）2()1y x x x =-+ ；（6）2y x x -=+【答案】（2）（4）是二次函数【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解∵（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（5）不是二次函数，因为原式整理后为y =－x ．（6）不是二次函数，因为x －2为分式，不是整式．故（2）（4）是二次函数．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 均为常数，且0a ≠）的函数关系称为二次函数是解题的关键．12．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y =（a +1） 21ax ++（a ﹣2）x （a 为常数），求a 的值：(1)函数为二次函数；(2)函数为一次函数．【答案】(1)a =1(2)a =0或﹣1【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a 2+1=2，a +1≠0得出即可；（2）利用一次函数的定义分别求出即可．(1) 当 21210a a ⎧+=⎨+≠⎩时，函数为二次函数， 解得：a =±1，a ≠-1，∵a =1；(2)当 211120a a a ⎧+=⎨++-≠⎩时，函数为一次函数， 解得：a =0，当a +1=0，即a =﹣1时，函数为一次函数，所以，当函数为二次函数时，a =1，当函数为一次函数时，a =0或﹣1．【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．（2022·全国·九年级课时练习）一个二次函数234(1)21kk y k x x -+=-+-．（1）求k 的值．（2）求当x =3时，y 的值？【答案】（1）k =2；（2）14【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k 所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x =3求解即可． 【详解】解：（1）依题意有234210k k k ⎧-+=⎨-≠⎩， 解得：k =2，∵k 的值为2；（2）把k =2代入函数解析式中得：221y x x =+-，当x =3时，y =14，∵y 的值为14．【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．14．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数y ＝（k 2﹣k ）x 2+kx +k +1（k 为常数）．（1）若这个函数是一次函数，求k 的值；（2）若这个函数是二次函数，则k 的值满足什么条件？【答案】（1）k ＝1；（2）k ≠0且k ≠1【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．【详解】解：（1）若这个函数是一次函数，则k 2﹣k ＝0且k ≠0，解得k ＝1；（2）若这个函数是二次函数，则k 2﹣k ≠0，解得k ≠0且k ≠1．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．15．（2022·浙江宁波·八年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x 的代数式表示）．(2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)()4010x +(2)21060400y x x =-++(3)24元/千克【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；（3）令y =480，求出x 的值，再根据题意对x 的值进行取舍即可．（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x ）千克，故答案为：（40+10x ）．（2）根据题意得，()()40102818y x x =+--整理得21060400y x x =-++（3）令480y =，代入函数得，21060400480x x -++=解方程，得14x =，22x =因为要尽可能地清空库存，所以2x =舍去取4x =此时荔枝定价为28424-=（元/千克）答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．。
二次函数与最大利润问题解题技巧
二次函数与最大利润问题解题技巧
1. 先了解二次函数的一般式和标准式。
2. 确定题目中涉及的自变量和因变量，并建立解题模型。
3. 求出二次函数的极值点，即最大或最小值点，这可以通过求导或配方法等方式得到。
4. 判断极值点是否为最大值点，如果是，则说明达到最大利润；如果不是，则需根据实际情况进行分析。
5. 最后通过代入数值验证答案是否正确。
举例：
某企业生产一种产品，售价为x元，该企业总成本为：
C(x)=10000+200x+0.02x²元，求该企业的最大利润及最大利润
的售价。
1. 一般式：y=ax²+bx+c；标准式：y=a(x-h)²+k。
2. 总利润P(x)=R(x)-C(x)，其中，R(x)为总收入，C(x)为总成本。
因此，P(x)=x(100-0.02x)-10000-200x-0.02x²=-(0.02x²-
80x+10000)。
3. 求P(x)的极值点：P'(x)=-0.04x+80=0，得到x=2000，表示产量在2000时利润最大。
4. 检查2000是否为最大值点，此处可以通过求P''(x)判断。
P''(x)=-0.04<0，说明x=2000时是P(x)的最大值点。
5. 最大利润为P(2000)=-(0.02×2000²-80×2000+10000)=96000元，最大利润的售价为200元。
二次函数的模型建立与解题技巧分享
二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。
在建立二次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。
本文将分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。
1. 二次函数模型建立二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的具体形式。
首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。
若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) =a(x - h)^2 + k。
通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。
其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。
已知条件可以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。
根据这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。
最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起具体的二次函数模型。
2. 解题技巧分享（1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数的极值点，从而确定函数的顶点。
具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，导数为f'(x) = 2ax + b。
将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即可求得顶点的坐标。
（2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。
对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程可以方便地确定函数的对称轴。
（3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。
而当y = 0时，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。
（4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平方式，将二次函数转化为完全平方的形式。
中考二次函数动点问题
中考二次函数动点问题一、背景介绍二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重要考点之一。
在中考数学中，二次函数往往与动点问题相结合，形成一种综合性较强的题目。
这种题目不仅需要学生掌握二次函数的性质和图像，还需要学生具备一定的数学思维和解决问题的能力。
因此，研究中考二次函数的动点问题对于提高学生的数学成绩和数学能力具有重要的意义。
二、问题建模1. 定义和公式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）。
其中，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标是（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）。
2. 动点问题动点问题是指在题目中有一个或多个点在运动，通过运动过程中点的位置变化来解决数学问题。
在二次函数中，动点问题通常涉及到点的坐标、函数的图像和图形的性质等方面。
三、解题思路1. 建立数学模型在解决二次函数动点问题时，首先需要建立数学模型。
通常情况下，建立数学模型的方法是根据题目中的条件和问题，选择适当的数学符号和公式来表示问题。
例如，在解决一个动点问题时，可以先根据题目条件建立方程，然后通过对方程进行分析和求解来解决问题。
2. 图像分析图像分析是解决二次函数动点问题的重要方法之一。
通过对图像进行分析，可以直观地了解点的运动轨迹、函数的增减性等问题。
在进行图像分析时，需要注意以下几点：（1）分析图像的开口方向：开口向上表示函数递增，开口向下表示函数递减。
（2）找出对称轴：对称轴是一条垂直于x轴的直线，它把图像分为两个对称的部分。
（3）找出顶点：顶点是图像的最低点或最高点，它代表着函数的最值。
（4）分析增减性：当x增加时，如果函数值也随之增加，则称函数是递增的；当x增加时，如果函数值随之减小，则称函数是递减的。
3. 分类讨论分类讨论是一种重要的数学思想方法，也是解决二次函数动点问题的重要手段之一。
在进行分类讨论时，需要根据题目条件对各种情况进行分类，然后分别进行讨论和求解。
二次函数的建模运用
二次函数的应用 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）A ．2.76米B ．6.76米C ．6米D ．7米考点：二次函数的应用．专题：应用题；压轴题．分析：根据已知，假设解析式为y=ax 2，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．解答：解：设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，代入解析式可得-4=a×102 ∴ 故此抛物线的解析式为：因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：此时水深6+4-3.24=6.76米即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B ．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解．2.林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−51-x 2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ）A ．3.2mB ．4mC ．4.5mD ．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x 的值，加上2.5即为所求的数值．2251-y x =251-a =米24.381251-y -=⨯=解答：解：由题意得：3.05=−51-x 2+3.5， x 2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，∴x=1.5， ∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m ，故选B ．点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．3.如图是江夏宁港灵山脚下古河道上一座已有了400年历史的古拱桥的截面图，这座拱桥桥洞上沿是抛物线形状，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，如果在桥洞两侧壁上各安装一盏距离水面4m 的景观灯，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ）A ．3mB ．4mC ．5mD ．6m 考点：二次函数的应用．分析：根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的左端点坐标为（0，1），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．解答：解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），设抛物线解析式为y=a （x-5）2+5，把点（0，1）代入得：1=a （0-5）2+5，即∴抛物线解析式为令y=4，得∴盏景观灯之间的水平距离是： 故选C ．点评：根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．4.如图，在“江夏杯”钓鱼比赛中，选手甲钓到了一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看作以A 为最高点的一条抛物线，已知鱼线AB 长6m ，鱼隐约在水面了，估计鱼离鱼竿支点有8m ，254-a =5)5(254-y 2+-=x 215x 1=m 525-215=25x 2=此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹脚α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为考点：二次函数的应用．分析：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，在RT△ABC 中，可求出AC 、BC ，然后根据OB=8米，可得出点A 的坐标，根据二次函数过原点及二次函数的顶点坐标即可确定二次函数解析式．解答：解：过点A 作AC⊥OB，交OB 于点C ，∵AB=6米，OB=8米，α=60°，∴AC=ABsin∠α=米BC=ACcos∠α=3米，∴OC=OB -BC=5米，故可得点A 的坐标为设函数解析式为y=a （x-5）2+ 又∵函数经过原点， ∴0=a （0-5）2 +解得：故函数解析为： 故答案为：点评：此题考查了二次函数的应用，关键是利用几何知识求出点A 的坐标，另外要掌握二次函数的一般式及顶点式的特点，有一定难度．33）（33,533332533-a =33)5(2533-y 2+-=x 33)5(2533-y 2+-=x5.如图，AB 是自动喷灌设备的水管，点A 在地面，点B 高出地面1.5米．在B 处有一自动旋转的喷水头，在每一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成45°角，水流的最高点C 与喷头B 高出2米，在如图的坐标系中，水流的落地点D 到点A 的距离是 米．考点：二次函数的应用．分析：根据所建坐标系，易知B 点坐标和顶点C 的坐标，设抛物线解析式为顶点式，可求表达式，求AD 长就是求y=0是x 的值．解答：解：如图，建立直角坐标系，过C 点作CE⊥y 轴于E ，过C 点作CF⊥x 轴于F ， ∴B（0，1.5），∴∠CBE=45°，∴EC=EB=2米，∵CF=AB+BE=2+1.5=3.5，∴C（2，3.5）设抛物线解析式为：y=a （x-2）2+3.5，又∵抛物线过点B ，∴1.5=a（0-2）2+3.5 ∴∴ ∴所求抛物线解析式为： ∵抛物线与x 轴相交时，y=0， ∴（舍去）727221-=+=x x∴点D 坐标为）（0,72+水流落点D 到A 点的距离为：米72+点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系的特点设合适的函数表达式形式进而求出二次函数解析式是解决问题的关键．6.我市某工艺厂设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（注：利润=销售总价-成本总价）销售单价x （元∕件） … 30 40 50 60 …21-a =23221-5.3)2(21-y 22++=+-=x x x 23221-y 2++=x x 23221-02++=x x每天销售量y（件）…500 400 300 200 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P元；①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元？②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P的取值范围．考点：二次函数的应用．分析：（1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）①根据利润=销售总价-成本总价=单件利润×销售量；②据①中表达式，运用性质求P的取值范围．解答：解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b30a+b＝500.........①40a+b＝400.........②解得：a＝−10 b＝800∴函数解析式为：y=-10x+800；（2）①由题意得出：P=yx=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x1=40，x2=60，∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P为8000元；②∵P=yx=（-10x+800）（x-20）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000，∴当x=50时，P=9000元，当x=35时，P=6750元，∴P的取值范围是：6750≤P≤9000．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据已知得出y与x的函数关系式是解题7.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？解答：解：（1）设y=kx+b，由题意得，55k+b＝450...........①60k+b＝400...........②解得：k＝−10 b＝1000则函数关系式为：y=-10x+1000；（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，∵-10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）∵由40（-10x+1000）≤10000解得x≥75∴当x=75时，利润最大，为8750元．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．8.如图，是江夏广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）考点：二次函数的应用．专题：压轴题． 分析：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax 2，又由点A 在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；（2）延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求；（3）首先根据题意求得点B 与D 的坐标，设直线BD 的函数解析式为y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线BD 的函数解析式，把x=0代入y=-x+4，即可求得点P 的坐标． 解答：解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax 2，由题意知点A 的坐标为（4，8）． ∵点A 在抛物线上，∴8=a×42， 解得:21=a 221y x =∴所求抛物线的函数解析式为：（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．（3）由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A的坐标为（4，8），∴点D的坐标为（-4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，2k+b＝2..........①−4k+b＝8........②解得：k=-1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=-x+4，把x=0代入y=-x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．。
第21章 21.4.2 二次函数在桥梁建筑等问题中的应用
解：由题意知抛物线顶点坐标为(5,2.5)、C(10,0)，设抛物线的函数关系式为 y＝a(x－5)2＋2.5, 把 C 代入得 0＝25a＋2.5，解得 a＝－110，∴y＝－110(x－ 5)2＋2.5.当 y＝4－2.4＝1.6 时，即 1.6＝－110(x－5)2＋2.5，解得 x1＝2(不合 题意，舍去)，x2＝8，即 10－8＝2(m)，故汽车右侧离隧道右壁至少 2m 才 不会碰到隧道顶部．
第第21章章二次函数与反比例函数214二次函数的应用2142二次函数在桥梁建筑等问题中的应用数学九年级上册?hk建立二次函数模型解决与建筑有关的问题在解决建筑桥梁等问题中的实际问题时可根据形体特征选择合适的原点建立坐标构建模型再结合条件进行相关计算解决相应问题
数学 九年级 上册•HK
第21章 二次函数与反比例函数
4．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门地面宽 AB＝4m， 顶部 C 离地面的高度为 4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶 部距地面 2.8m，装货宽度为 2.4m，请判断这辆汽车能否顺利通过大门？
解：以 AB 为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则可设抛物线表 达式为 y＝ax2＋4.4，把(2,0)代入得 0＝4a＋4.4，解得 a＝－1.1，∴有 y＝－ 1.1x2＋4.4，当 x＝1.2 时，y＝2.816＞2.8，∴这辆汽车能顺利通过大门．
(2)由题意，OC＝5m.令 y＝0，即－210x2＋5＝0，解得 x1＝10，x2＝－10.∴ 地毯的总长度为 AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．∴30×1.5×20＝900(元)∴ 购买地毯需要 900 元； (3)可设点 G 的坐标为(m，－210m2＋5)，其中 m＞0，则 EF＝2m，GF＝－210 m2＋5.由已知得：2(EF＋GF)＝27.5，即 2(2m－210m2＋5)＝27.5，解得：m1 ＝5，m2＝35(不合题意，舍去)．∴EF＝10(m)，GF＝－210×52＋5＝3.75(m)．
建立二次函数模型解题
B
H
C
某商场试销一种成本为每件60元的服装规定试销期间销售单价不低于成本单价且获利不得高于50经试销发现销售量y件与销售单价x元的关系符合一次函数yx1401每件商品的利润为用x的代数形式表示2总利润w用x的代数形式表示3x的取值范围为4销售单价定为多少时总利润取最大值
二次函数复习（第2课时）
授课教师：龙岩初级中学 吴芳蓉 授课班级：龙岩初级中学九（11）班
（2）分析问题中的变量和常量；
（3）用函数表达式表示出它们之间的关系； （4）利用二次函数的有关性质进行求解；
（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
（P25 12）
回 归 教 材
示例3.如何定价利润最大
请注意与源题的 区别与联系
教材母题——人教版九上P50探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场 调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件； 已知商品的进价为每件40元，设涨价，且获利不得高于 x元 60%。 问：（ 1）如何定价才能使利润最大？ 问：如何定价才能使利润最大？ （2）若获得利润不低于6090元，试确定销售单价的范围 思路分析 : （1）商品的售价为 （用x的代数形式表示） （2）商品的件数为 （用x的代数形式表示） （3）每件商品的利润为 （用x的代数形式表示） 总利润 （4）总利润 w= =单件利润×件数 （用x的代数形式表示） （5）x的取值范围为 。 （6）当x= 时，总利润最大为 元， 此时定价为 元
(1) (1400－50x)
………………………………2分
P25 12
（2）y＝x(－50x＋1400)－4800 …… ………4分 ＝－50x2＋1400x－4800 2＋5000. ＝－ 50(x － 14) ………………6分 解题分析： 解题突破：x指租出的车辆，则 ∵ -50 ＜0 x＝14x 时， 日收益 没租出的车辆用 =，∴当 每辆车日租金×每日租出车的辆数 的代数式表示 -每日各项支出 在0≤x≤20 y有最大值5000 …………………7分 为 范围内， ；此时，每辆车的日租金 ∴当每日租出 14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为 5000 用x的代数式表示为 。 元． ……………………………8分
人教版数学九年级上学期课时练习- 实际问题与二次函数(知识讲解)(人教版)
专题22.32 实际问题与二次函数（知识讲解）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．特别说明：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．特别说明：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.1．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ）．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)求所围矩形苗圃ABCD 的面积最大值；【答案】(1)y ＝﹣2x 2＋18x (2)812m 2 【分析】（1）设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-，根据矩形的面积公式求解即可；（2）根据顶点坐标公式计算即可求解(1)解：设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-，根据题意得：y ＝x （18﹣2x ）＝﹣2x 2＋18x ；(2)解：二次函数y ＝﹣2x 2＋18x （0＜x ＜9），∵a ＝﹣2＜0，∵二次函数图象开口向下，且当x ＝﹣182(2)⨯-＝92时，y 取得最大值， 最大值为y ＝92×（18﹣2×92）＝812（m 2）； 【点拨】本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出()182BC x =-是解题的关键． 举一反三：【变式1】 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形小花园ABCD ，小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）（1）2240y x x =-+.（7.520x ≤<）；（2）当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是2200m【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC =(40-2x )m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB =CD ，AD =BC ，∵AB =x m ，∵BC =(40-2x )m ，∵花园的面积为：y =AB •BC =x •(40-2x )=-2x 2+40x ，∵40-2x ≤25，x +x <40，∵x ≥7.5，x <20，∵7.5≤x <20，∵y 与x 之间的函数关系式为：y =-2x 2+40x （7.5≤x <20）；（2）∵ 22(10)200y x =--+，(7.520x ≤<)∵ 当10x =时，max 200y =．答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点拨】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．【变式2】 某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P ﹣ABC ，已知三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且棱PB 与PC 的和为6米，PB ＝2P A ．现要给该模型的三个侧面（即Rt ∵P AB ，Rt ∵PBC ，Rt ∵P AC ）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．（1）设P A 的长为x 米，三个侧面的面积之和为y 平方米，试求y （平方米）关于x （米）的函数关系式；（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．【分析】（1）先根据P A的长为x米，PB=2P A，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．解：（1）∵P A=x米，PB=2P A，PB+PC=6米，∵PB=2x米，PC=（6-2x）米，由题意，得：y=12P A•PB+12P A•PC+12PB•PC=12x•2x+12x（6-2x）+12×2x（6-2x）=x2+3x-x2+6x-2x2=-2x2+9x，∵y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-94）2+818，∵-2＜0，∵当x=94时，y有最大值，最大值818，当y取得最大值时，需要总费用为：818×（0.5×60+10）=405（元），∵405＜410，∵完成该模型的油漆工作不会超出预算．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．2．如图，Rt ∵ABC 中，∵C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，P 点沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，Q 点沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P 、Q 到达终点C 、B 时，运动停止，设运动时间为t （s ）．（1）∵当运动停止时，t 的值为 ；∵设P 、C 之间的距离为y ，则y 与t 满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设∵PCQ 的面积为S ．∵求S 的表达式（用含t 的式子表示）；∵求当t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？【答案】（1）∵2；∵一次函数；（2）∵2612S t t =-+；∵1t =，面积最大为6【分析】（1）∵根据P Q 、运动速度，以及AC 、BC 的长度，即可求解；∵求得y 与t 的关系式，即可求解；（2）∵求得线段PC 、CQ 的长度，即可求得S 的表达式；∵根据表达式可得S 与t 为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．解：（1）∵运动停止时，P Q 、分别到达终点C 点和B 点，632()t s =÷=故答案为2∵由题意可得：3AP t =，63PC AC AP t =-=-，即63y t =-，∵y 与t 满足一次函数的关系故答案为一次函数（2）∵由题意可得：3AP t =，4CQ t =63PC AC AP t =-=-∵PCQ 的面积2114(63)61222S PC CQ t t t t =⨯=⨯⨯-=-+ 故答案为：2612S t t =-+∵由二次函数的性质可得：60a =-<，开口向下，对称轴为1t =∵当1t =时，S 取得最大值，最大值为6【点拨】此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．举一反三：【变式1】 如图，在△ABC 中，△B =90°，AB =12cm ，BC =24cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，设运动时间为ts ，（1）BP =_________cm ；BQ =_________cm ；（2）t 为何值时△PBQ 的面积为32cm 2（3）t 为何值时△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）12-2t ，4t ；（2）当t =2秒或4秒时，∵PBQ 的面积是32cm 2；（3）当t 为3时∵PBQ的面积最大，最大面积是36cm 2．【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．解：（1）根据题意得：AP =2tcm ，BQ =4tcm ，所以BP =（12-2t ）cm ，故答案为：12-2t ，4t ；（2）∵PBQ 的面积S =12×BP ×BQ =12×（12-2t ）×4t =-4t 2+24t =32，解得：t =2或4，即当t =2秒或4秒时，∵PBQ 的面积是32cm 2；（3）由题意得：S =-4t 2+24t=-4（t -3）2+36，所以当t 为3时∵PBQ 的面积最大，最大面积是36cm 2．【点拨】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S 与x 的函数关系式是解此题的关键．【变式2】 如图（单位：m ），等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设s x 时，三角形与正方形重叠部分的面积为2m y ．（1）写出y 与x 的关系式；（2）当2x =，3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？【答案】（1）22y x =；（2）8，24.5；（3）当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s ．【分析】（1）根据题意可知，三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x ，据此可得出y 、x 的函数关系式；（2）可将x 的值，代入（1）的函数关系式中，即可求得y 的值；（3）将正方形的面积的一半代入（1）的函数关系式中，即可求得x 的值．（其实此时AB 与DC 重合，也就是说等腰三角形运动的距离正好是正方形的边长10m ，因此x =5）解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x ，所以y =12×2x ×2x =2x 2； （2）在y =2x 2中，当x =2时，y =8；当x =3.5时，y =24.5；（3）在y =2x 2中，因为当y =50时，2x 2=50，所以x 2=25，解得x =5s （负值舍去）．即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s ．【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移的性质以及函数关系式等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，求出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键．3、某涵洞的横断面呈拋物线形，现测得底部的宽 1.6m AB =，涵洞顶部到底面的最大高度为2.4m.在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式．【答案】2154y x =-． 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为2y ax =，根据 1.6AB m =，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，那么A 点坐标应该是()0.8, 2.4--，利用待定系数法即可求解．解：设此抛物线所对应的函数表达式为：2y ax =，1.6AB m =，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，A ∴点坐标应该是()0.8, 2.4--，把A 点代入得：22.4(0.8)a -=-⨯， 解得：154a =-， 故涵洞所在抛物线的函数表达式2154y x =-． 【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于结合题意列出式子求出解析式． 举一反三：【变式1】 如图∵，桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA ＝8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．(1)按如图∵所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；(2)一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】(1)y =-14x 2+2x （0≤x ≤8）；(2)不会碰到头，理由见分析 【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y =a （x -4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68比较即可．(1)解：如图∵，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），设二次函数的表达式为y =a （x -4）2+4，将点O （0，0）代入函数表达式，解得：a =-14， ∵二次函数的表达式为y =-14（x -4）2+4，即y=-14x2+2x（0≤x≤8）；(2)解：工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得：工人距O点距离为0.4+12×1.2=1，∵将x=1代入y=-14x2+2x，解得：y=74=1.75，∵1.75m＞1.68m，∵此时工人不会碰到头．【点拨】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．【变式2】漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？【答案】（1）y＝﹣0.01x2+0.6x；（2）16米【分析】（1）根据题意，可以设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值，再根据OE＝7米，即可得到桥拱最高点到水面的距离是多少米．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由题意可得，点B （﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30， ∵100107302a b b a-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得0.010.6a b =-⎧⎨=⎩， 即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y ＝﹣0.01x 2+0.6x ；（2）解：∵y ＝﹣0.01x 2+0.6x ＝﹣0.01（x ﹣30）2+9，∵当x ＝30时，y 取得最大值9，∵9+7＝16（米），∵桥拱最高点到水面的距离是16米．【点拨】此题考查二次函数的性质和最值问题，熟练掌握，即可解题.4、为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y （盒）与销售单价x （元/盒）满足如下关系式：201800y x =-+，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w （元）．(1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？(3)若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？【答案】(1)2203000108000w x x =-+-；(2)黑木耳的销售单价为65元；(3)每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元【分析】（1）根据题意，可以写出w 与x 之间的函数关系式；（2）根据“每天的销售利润为2500元”列出一元二次方程，求解即可；（3）根据题意，可以得到售价的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和二次函数的性质，可以得到每天销售黑木耳获得的最大利润．(1)解：由题意可得，w与x之间的函数关系式为：w=y（x-60）=（-20x+1800）（x-60）=-20x2+3000x-108000，即w与x之间的函数关系式是w=-20x2+3000x-108000；(2)解：令-20x2+3000x-108000=2500，解得x1=85，x2=65，∵要最大程度的减少库存，∵x=65．答：黑木耳的销售单价为65元；(3)解：∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240千克的销售任务，∵76240xy≥⎧⎨≥⎩，即76201800240xx≥⎧⎨-+≥⎩．解得76≤x≤78，由（1）得，w=-20x2+3000x-108000=-20（x-75）2+4500，∵当x=76时，w取得最大值，此时w=4480，答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．【点拨】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．举一反三：【变式1】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨价后的销专单价为x（元/千克），且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．(1)该商品的购进价格是每千克多少元？(2)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？(3)求该商店每天销售这种商品的最大利润．【答案】(1)该商品的进价为20元；(2)商店某天的利润为750元，求售价为25元；(3)x＝32时，W有最大值960元．【分析】（1）设进价为a元，根据题意列出一元一次方程，故可求解；（2）根据题意列出一元二次方程，故可求解；（3）根据题意列出二次函数，根据函数的性质即可求解．(1)解：设进价为a元，∵利润率为50%，∵a（1+50%）＝30，解得：a＝20，所以该商品的进价为20元；(2)解：∵物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．∵12≤x﹣20≤18∵x的取值为32≤x≤38根据题意得：[100﹣10（x-30）]（x﹣20）＝750∵（400﹣10x）（x﹣20）＝750，解得：x1＝35，x2＝25（不合题意，舍去），∵x＝35，∵商店某天的利润为750元，求售价为35元；(3)解：设每天的利润为W，则W＝（400﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∵12≤x﹣20≤18，∵32≤x≤38，∵-10＜0，抛物线开口向下，故x＞30时，y随x增大而减小，∵x＝32时，W有最大值960元．【点拨】此题主要考查二次函数、一元二次方程及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出函数或方程．【变式2】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）．(1)猪肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为元和元；(2)若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？(3)若x满足50≤x≤65，求商家每天的最大利润．【答案】(1)40；30(2)55元(3)1750元【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润×销售量＝1350列出方程，解方程即可；（3）列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．(1)解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，则8000600010a a=-，解得a＝40，经检验a＝40是方程的解，∵猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，故答案为：40，30；(2)解：∵每盒利润率不超过50%，∵40≤x≤60，由题意得，（x−40）[100−2（x−50）]＝1350，整理得，x2−140x＋4675＝0，解得x1＝85（舍去），x2＝55．答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元；(3)解：设商家的利润为y元，∵y＝x[100−2（x−50）]−40×[100−2（x−50）]＝−2x2＋280x−8000，配方得：y＝−2（x−70）2＋1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∵当x＝65时，y取最大值，最大值为1750．答：最大利润为1750元．【点拨】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．5、图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．根据相关信息解答下列问题．(1)求小球的飞行高度h （单位：m ）关于飞行时间t （单位：s ）的二次函数关系式；(2)小球从飞出到落地要用多少时间？(3)小球的飞行高度能否达到205m .？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．【答案】(1)2520h t t =-+(2)4s (3)不能，理由见分析【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）令h =0即可求解；（3）令20.5h =，得到方程无解即可判断．(1)解：由题意可设h 关于t 的二次函数关系式为2h at bt =+，因为当1t =，2时，15h =，20，∵152042a b a b =+⎧⎨=+⎩， 解得：520a b =-⎧⎨=⎩． ∵h 关于t 的二次函数关系式为2520h t t =-+．(2)解：当0h =，25200t t -+=，解得：10t =，24t =．∵小球从飞出到落地所用的时间为4s ．(3)解：小球的飞行高度不能达到205m .．理由如下：当20.5h =时，252020.5t t -+=，方程即为252020.50t t -+=，∵()2Δ204520.50=--⨯⨯<，∵此方程无实数根．即小球飞行的高度不能达到205m .． 【点拨】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答．举一反三：【变式1】 2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k 米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当4k =时，求这条抛物线的解析式．(2)当4k =时，求运动员落水点与点C 的距离．(3)图中92CE =米，5CF =米，若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水时才能达到训练要求，求k 的取值范围．【答案】(1)y =-（x -3）2+4(2)5米(3)2745k ≤≤【分析】（1）根据抛物线顶点坐标M （3，4），可设抛物线解析为：y =a （x -3）2+4，将点A （2，3）代入可得；（2）在（1）中函数解析式中令y =0，求出x 即可；（3）若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水达到训练要求，则在函数y =a （x -3）2+k ，中，当92x =米，y >0，当5x =时，y =0，解不等式，即可求解． (1)解：如图，根据题意得：抛物线顶点坐标M （3，4），A （2，3）可设抛物线解析为：y =a （x -3）2+4，∵3=a （2-3）2+4，解得：a =-1，∵抛物线解析式为：y =-（x -3）2+4；(2)解：由题意可得：当y =0时， 0=-（x -3）2+4，解得：x 1=1，x 2=5，∵抛物线与x 轴交点为：（5，0），∵当k =4时，运动员落水点与点C 的距离为5米；(3)解：根据题意，抛物线解析式为：y =a （x -3）2+k ，将点A （2，3）代入得：a +k =3，即a =3-k ，若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水， 当92x =时，29302y a k ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，即904a k +≥， ∵()9304k k -+≥，解得：275k ≤， 当5x =时，()2530y a k =-+≤，即40a k +≤，∵()430k k -+≤，解得：4k ≥，∵跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水时才能达到训练要求，k 的取值范围为2745k ≤≤． 【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．【变式2】 如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P （看作一点）从数轴上表示﹣8的点A 处弹出后，呈抛物线y ＝﹣x 2﹣8x 状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．(1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．(2)当弹球P 在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．【答案】(1)16(2)y ＝﹣（x ﹣）（x ﹣4）【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．(1)解：根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣8x ＝﹣（x ﹣4）2+16，∵函数最大值为16，∵弹球第一次弹出的最大高度为16；(2)解：当y ＝0时，则﹣x 2﹣8x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣8，∵第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y ＝﹣x （x ﹣b ），当x 2b =时，y ＝1612⨯=8，∵2b -⨯（2b -）＝8，解得b ＝或b ＝﹣（舍去），∵所求抛物线的解析式为y ＝﹣x （x ﹣，∵第二次相邻两落点之间的距离为设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣（x ﹣c ），当x 2c =时，y ＝16212⨯=4，解得c ＝4或c ＝4（舍去），∵所求抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣（x ﹣4），∵第三次相邻两落点之间的距离为4﹣＝4，∵相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣（x ﹣4）．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数关系式是解题的关键．6、如图，从某建筑物的窗口A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A 离地面的高度为6米，抛物线的最高点P 到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)求水落地离墙的最远距离OB ．【答案】(1)21(2)82y x =--+(2)6米 【分析】（1）根据题意可知该抛物线顶点坐标，且经过点A （0，6），即可设抛物线的解析式为2(2)8y a x =-+，再将A （0，6）代入，求出a 即可；（2）对于该抛物线解析式，令y =0，求出x 的值即可．(1)解：由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，8），且经过点A （0，6），∵设抛物线的解析式为2(2)8y a x =-+，把A （0，6）代入得486a +=， 解得：12a =-， ∵21(2)82y x =--+． (2)解：令0y =，得()212802x --+=， 解得：16x =，22x =-（舍去），∵水落地离墙的最远距离为6米．【点拨】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，利用待定系数法求出解析式是解答本题的关键．举一反三：【变式1】如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点15,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．请根据以上信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】(1)喷水装置OA 的高度为74米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是114米； (3)水池的半径至少要【分析】（1）将点B 、C 坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 列方程组求出b 、c 的值即可得解析式，令x ＝0可得y 的值，即喷水装置OA 的高度；（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；（3）令y ＝0可得对应x 的值． (1)解：根据题意，将点B （12，52），C （2，74）代入y ＝﹣x 2+bx +c ， 得：22115()2227224b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 解得：274b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣x 2+2x +74， 当x ＝0时，y ＝74， ∴喷水装置OA 的高度为74米； (2)解：∵y ＝﹣x 2+2x +74＝﹣（x ﹣1）2+114， ∴当x ＝1时，y 取得最大值114， 故喷出的水流距水面的最大高度是114米； (3)解：当y ＝0时，﹣x 2+2x +74＝0， 解得：x 1＝1﹣2x 2＝1+2 ∵x 1＝10，不合题意，舍去， ∴x 2＝答：水池的半径至少要【点拨】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x 轴交点、y 轴交点的实际意义是。
二次函数的定义五种模型全攻略(解析版)--初中数学专项训练
二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一 二次函数的识别】【考点二 二次函数中各项的系数】【考点三 利用二次函数的定义求参数】【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】【考点五 列二次函数的关系式】【过关检测】8【典型例题】【考点一二次函数的识别】1(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数中，是二次函数的是( )A.y=-3x+5B.y=2x2C.y=(x+1)2-x2D.y=3x2【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．函数是二次函数，故本选项符合题意；C．y=(x+1)2-x2=2x+1，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y=ax2+bx+ c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-2【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，进行判断．【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；B、由y=2x-12-4x2得到y=-4x+1，是一次函数，故本选项错误；C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D、由原函数解析式得到y=x2-3x+2，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．2(2022春·全国·九年级专题练习)下列函数中，不是二次函数的是()A.y=1-2x2B.y=2x+12-4C.y=12x-1x+4D.y=x-12-x2+1【答案】D【分析】将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断．【详解】A、y=1-2x2，是二次函数，故A不符合题意；B、y=2x+12-4，是二次函数，故B不符合题意；C、y=12x-1x+4=12x2+32x-2，是二次函数，故C不符合题意；D、y=x-12-x2+1=-2x+2，不是二次函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，正确识别二次函数是解题的关键．【考点二二次函数中各项的系数】1例题：(2023·全国·九年级假期作业)二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是( )A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数y=-x2-2x+1的二次项系数是-1．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：y=2x x-3=2x2-6x，∴二次项系数是2，一次项系数是-6，∴2-6=-4，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2(2022·全国·九年级假期作业)二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是．【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y=2x(x-1)=2x2-2x．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．【考点三利用二次函数的定义求参数】1例题：(2023·全国·九年级假期作业)若函数y=m+2x2+3mx+1是二次函数，则( )A.m≥-2B.m≠2C.m≠-2D.m=-2【答案】C【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得m+2≠0，解得m≠-2，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为1(2023·浙江·九年级假期作业)已知y=mx m-2()A.0B.1C.4D.0或4【答案】C【分析】利用二次函数定义可得：m-2=2，且m≠0，再解即可．【详解】由题意得：m-2=2，且m≠0，解得：m=4．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．2(2023春·四川内江·九年级校考阶段练习)y=m-1x m2+1是二次函数，则m的值是()A.m=0B.m=-1C.m=1D.m=±1【答案】B【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：y=m-1x m2+1是二次函数，∴m2+1=2，m-1≠0，解得m=±1，m≠1，∴m=-1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+ c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】1例题：(2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习)若抛物线y=ax2-2x+3经过点P(1,2)，则a的值为( )A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值．【详解】解：将P(1,2)代入y=ax2-2x+3中，得：2=a×12-2×1+3，解得：a=1，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．【变式训练】1(2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习)抛物线y=ax2+bx-3过点(2，4)，则代数式8a+4b的值为()A.14B.2C.-2D.-14【答案】A【分析】将点(2，4)的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．【详解】解：将点(2，4)代入抛物线y=ax2+bx-3得4a+2b-3=4，整理得8a+4b=14.故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2(2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习)若抛物线y=-x2+bx+c经过点-2,3，则2c-4b-7的值是()A.6B.7C.8D.20【答案】B【分析】先把点-2,3代入解析式，得到c-2b=7，然后化简2c-4b-7=2(c-4b)-7，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点-2,3代入y=-x2+bx+c，得：c-2b=7，∵2c-4b-7=2(c-2b)-7=2×7-7=7；故选择：B.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五列二次函数的关系式】1(2023春·河北保定·八年级统考期中)用长为10cm的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y cm2，一边长为xcm，用含有x的代数式表示y为______，自变量x的取值范围是_____．【答案】y=x5-x0<x<5【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为10cm,又因为一边长为xcm，所以另一边长为102-xcm,又∵长方形面积=长×宽，∴y=x×102-x，所以y=5x-x2．②∵102-x>0，∴x<5∴自变量x的取值范围是0<x<5．故答案为：①y=5x-x2；②0<x<5．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．【变式训练】1(2022秋·九年级单元测试)一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是x x>0，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为．【答案】y=501-x2【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是x x>0，两年后这台机器的价格为y万元，∴y与x之间的函数关系式为y=501-x2．故答案为：y=501-x2．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价×1-x2．2(2023·浙江·九年级假期作业)某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．【答案】(1)y=-2x+200(30≤x≤70)；(2)w=-2x2+260x-6450(30≤x≤70)【分析】(1)根据y与x写成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；(2)根据利润=单价×销售量列出w关于x的二次函数解析式即可．【详解】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b．∵x=60时，y=80，x=50时，y=100，∴60k+b=80 50k+b=100 ，解得k=-2b=200 ，∴y=-2x+200，根据部门规定，得30≤x≤70．(2)w=(x-30)y-450=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6000-450=-2x2+260x-6450(30≤x≤70)【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题1(2022秋·九年级单元测试)下列四个函数中，一定是二次函数的是()A.y=1x2-2x+1 B.y=ax2+bx+c C.833D.y=x+13x-1【答案】D【分析】根据二次函数的一般形式，即y=ax2+bx+c(a≠0，且a，b，c为常数)，即可一一判定．【详解】解：A.y=1x2-2x+1中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数；B.在y=ax2+bx+c中，当a=0时，不是二次函数，故该选项不符合题意；C.y=x2-x+72=-14x-49，不是二次函数，故该选项不符合题意；D.y=x+13x-1=3x2+2x-1，是二次函数，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键．2(2022春·全国·九年级专题练习)函数y=3x2-6x+1的一次项系数是()A.-6B.1C.3D.6【答案】A【分析】根据二次函数的相关概念即可得.【详解】解：函数y=3x2-6x+1的一次项系数是-6；故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键.3(2022·全国·九年级假期作业)在抛物线y=x2-4x-5上的一个点的坐标为()A.0,-4B.2,0C.1,0D.-1,0【答案】D【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上．【详解】A，(0,-4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A错误B，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B错误C，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C错误D，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，(-1)2-4×(-1)-5=0，D正确故选：D【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．4(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数关系中，是二次函数的是()A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.半圆面积S与半径R之间的关系【答案】D【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如y= ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．【详解】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；B、关系式为：t=sv，是反比例函数，不符合题意；C、关系式为：C=3a，是正比例函数，不符合题意；D、关系式为：S=πR2，是二次函数，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．5(2022秋·九年级单元测试)对于关于x的函数y=(m+1)x m2-m+3x，下列说法错误的是()A.当m=-1时，该函数为正比例函数B.当m2-m=1时，该函数为一次函数C.当该函数为二次函数时，m=2或m=-1D.当该函数为二次函数时，m=2【答案】C【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．【详解】A、当m=-1时，该函数y=3x为正比例函数，故不符合题意；B、当m2-m=1时，m=1±52，即m+4≠0，该函数为一次函数，故不符合题意；C、当m=-1时，该函数y=3x为正比例函数，故符合题意；D、当该函数为二次函数时，m=2，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．二、填空题6(2023秋·江西宜春·九年级统考期末)二次函数y=x2-2x-3中，当x=-1时，y的值是．【答案】0【分析】把x=-1代入y=x2-2x-3计算即可．【详解】解：当x=-1时，y=x2-2x-3=1+2-3=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把x=-1代入y=x2-2x-3计算．7(2022春·全国·九年级专题练习)把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax2+bx+c的形式，二次项为，一次项系数为，常数项为．【答案】-3x2-1612【解析】略8(2023秋·河南洛阳·九年级统考期末)已知函数y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数，则一次函数y=mx-m的图像不经过第象限．【答案】二【分析】先根据二次函数的定义得到m+1=2，m+1≠0，解得m=1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵函数y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二次函数，∴m +1=2且m+1≠0，解得：m=1，∴一次函数y=mx-m的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得m=1是解题的关键．9(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数①y=5x-5；②y=3x2-1；③y=4x3-3x2；④y=2x2-2x +1；⑤y=1．其中是二次函数的是．x2【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x2-1为二次函数；③y=4x3-3x3自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x2-2x+1为二次函数；⑤y=1x2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．10(2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试)如图，矩形绿地的长和宽分别为30m 和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是．(填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”)【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得y=30+x20+x=x2+50x+600，∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题11(2023·浙江·九年级假期作业)下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)y=-x+1；(2)y=-x22；(3)y=2x2+x-2；(4)y=13x2+2x-3；(5)y=ax2+bx+c；(6)y=m2x2+4x-3(m为常数)．【答案】(1)y=-x+1不是二次函数，是一次函数(2)y=-x22，是二次函数，二次项系数是-12、一次项系数是0，常数项是0(3)y =2x 2+x -2不是二次函数(4)y =13x 2+2x -3，是二次函数，二次项系数是13、一次项系数是2，常数项是-3(5)a =0时，y =ax 2+bx +c 不是二次函数(6)m =0时，y =m 2x 2+4x -3不是二次函数【分析】(1)观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；(2)根据二次函数的定义即可判断；(3)根据二次函数的定义即可判断；(4)根据二次函数的定义即可判断；(5)根据二次函数的定义即可判断；(6)根据二次函数的定义即可判断．【详解】(1)y =-x +1不是二次函数，是一次函数；(2)y =-x 22，是二次函数，二次项系数是-12、一次项系数是0，常数项是0；(3)y =2x 2+x -2不是二次函数；(4)y =13x 2+2x -3，是二次函数，二次项系数是13、一次项系数是2，常数项是-3；(5)a =0时，y =ax 2+bx +c 不是二次函数；(6)m =0时，y =m 2x 2+4x -3不是二次函数．【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．12(2023·浙江·九年级假期作业)若y =m -1 m 2+2m -1+3．(1)m 取什么值时，此函数是二次函数？(2)m 取什么值时，此函数是一次函数？【答案】(1)m =-3(2)m =-1+3或m =-1-3【分析】(1)根据二次函数的定义得出m -1≠0m 2+2m -1=2，进而即可求解；(2)根据一次函数的定义得出m -1≠0m 2+2m -1=1 ，进而即可求解．【详解】(1)解：(1)当y =m -1 m 2+2m -1+3是二次函数时，有m -1≠0m 2+2m -1=2，解得m =-3，∴当m =-3时，此函数是二次函数；(2)当y =m -1 m 2+2m -1+3是一次函数时，有m -1≠0m 2+2m -1=1，解得m =-1+3或m =-1-3，∴m =-1+3或m =-1-3时，此函数是一次函数．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．13(2022秋·浙江·九年级期末)荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝千克(用含x的代数式表示)．(2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)40+10x(2)y=-10x2+60x+400(3)24元/千克【分析】(1)根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；(2)利用利润=(售价-成本)×销售量可得出结论；(3)令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．【详解】(1)根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：(40+10x)千克，故答案为：(40+10x)．(2)根据题意得，y=40+10x28-18-x整理得y=-10x2+60x+400(3)令y=480，代入函数得，-10x2+60x+400=480解方程，得x1=4，x2=2因为要尽可能地清空库存，所以x=2舍去取x=4此时荔枝定价为28-4=24(元/千克)答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．14(2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末)在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm，E是AB边上一动点，以1cm/s的速度从点B出发，到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动．设动点运动的时间为t(s)，△DEF的面积为S(cm2)(1)求S关于t的函数表达式，并求自变量t的取值范围．(2)当△DEF是直角三角形时，求△DEF的面积．【答案】(1)S=-t2+12t,0<t≤6(2)333cm2或36cm24【分析】(1)先求出BE=tcm,BF=2tcm,AE=6-tcm，再根据S△DEF=cm,CF=12-2tS-S△AED-S△BEF-S△CDF解答即可；矩形ABCD(2)先求出EF2=BE2+BF2=5t2，DF2=CD2+CF2=4t2-48t+180，DE2=AD2+AE2=t2-12t+180，再分①当∠EDF 为直角时，②当∠DEF 为直角时，③当∠DFE 为直角时三种情况讨论，应用勾股定理求出t 的值，即可得答案．【详解】(1)解：∵BE =tcm ,BF =2tcm ,AE =6-t cm ,CF =12-2t cm ，∵S △DEF =S 矩形ABCD -S △AED -S △BEF -S △CDF ，∴S =12×6-12×12×6-t -12t ×2t -12×6×12-2t =-t 2+12t ，根据题意得t >06-t ≥012-2t ≥0，解得：0<t ≤6；(2)由勾股定理可得，EF 2=BE 2+BF 2=5t 2，DF 2=CD 2+CF 2=4t 2-48t +180，DE 2=AD 2+AE 2=t 2-12t +180，①当∠EDF 为直角时，EF 2=DE 2+DF 2，即5t 2=t 2-12t +180+4t 2-48t +180解得t =6，∴S =-62+12×6=36cm 2 ；②当∠DEF 为直角时，DF 2=DE 2+EF 2，即6t 2-12t +180=4t 2-48t +180，解得t =0或-18，∵0<t ≤6，∴都不符合；③当∠DFE 为直角时，DE 2=DF 2+EF 2，即5t 2+4t 2-48t +180=t 2-12t +180，解得t =0(舍)或t =92，∴S =-92 2+12×92=3334cm 2 ．【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是找到S △DEF =S 矩形ABCD -S △AED -S △BEF -S △CDF ．。
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（2）商品的件数为
（用x的代数形式表示）
（（34））每总总件利利商润品w润=的=利单润件为（利用润（x的用×代x的数件代形数数式形表式示表）示）
（5）x的取值范围为
。
（6）当x= 时，总利润最大为 最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
考点2 利用图象信息解决问题
两种常见题型： (1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象， 利用二次函数的性质求解； (2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． (P25 例1) [注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的 交点坐标等．
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
练习1
如图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m， 水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
角三角形面积y与x的函数关系式为
。
2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售 单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销 售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=x+140 。
问：
（1）每件商品的利润为
（用x的代数形式表示）
（2）总利润w=
（用x的代数形式表示）
此时定价为 元
(1) (1400－50x)
P25 12
………………………………2分
（2）y＝x(－50x＋1400)－4800
…… ………4分
＝－50x2＋1400x－4800
解解题＝－题分50突析(x－破：14：)2＋x指50租00.出的车辆，则………………6分
∵日-收5没0益＜租0=出，每的∴辆当车车x辆＝日用1租4x时金的，×代每数日式租表出示车的辆数-每日各项支出 在0为≤x≤20范围；内，此y时有，最每大值辆5车00的0 日租…金………………7分
则y与x的函数关系式为
.
探究二 二次函数在实际问题中的应用 命题角度： 二次函数在实际问题中的应用．
方法点析 解决实际问题时的基本思路： （1）理解问题； （2）分析问题中的变量和常量； （3）用函数表达式表示出它们之间的关系； （4）利用二次函数的有关性质进行求解； （5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等． （P25 12）
考点3 建立二次函数模型解决问题
利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这 些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上， 从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些 测量问题或其他问题．
[注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标 系是关键．(P25 11)
(P25 11) 方法点析
回归教材
示例3.如何定价利润最大
请注意与源题的 区别与联系
教材母题——人教版九上P50探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场
调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；
已知商品的进价为每件40元，设涨价，x元且获利不得高于60%。
问问：：（如1何）定如价何才定能价使才利能润使最利大润？最大？
∴当用每x日的租代出数14式辆表时，示租为赁公司日收益。最大，最大值为5000
元．
……………………………8分
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0. …………9分
即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2=4. ………10分
∵x＝24不合题意，舍去．
…………………11分
∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏. ……12分
相转化．解决相似、全等、圆等问题，充分运用几何知识求
解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，
往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建
立函数关系，运用函数的性质求解.
练习2
已知如图，△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm，若点D在 BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形， 设BD=xcm，S□BDEF=ycm2．
总结升华
一、思想方法…… 二、谈谈自己的收获（疑惑）…… 三、作业布置 （1）复习P2511、12 、九上P50探究2及变式、九上P 52 5、6、7 （2）中考总复习指导 P89 10、11 （3）中考总复习指导 P26第十五讲
课堂反馈（小测）
1.已知直角三角形两直角边和为8，其中一条直角边为x，则直
归类探究
探究一 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最 大面积、最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
示例2（源题 九下书本P58 11）
如图，ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120,高
AD=80，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，
其余两个顶点分别在AB，AC上，若EF=x,矩形EGHF的
面积为y。问：
（1）EG=
（用x的代数形式表示）
（2）求y与x的函数关系式,写出自变量x的 取值范围.
E
KF
（3）当x取何值时，y有最大值？
最大值是多少？
G
H
方法点析
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的
运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互
考点聚焦
考点1 二次函数求最值的应用 依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结 合方程、一次函数等知识解决实际问题． [注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次 函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特 殊要求，结合图象进行理解．
示例1
（P89 3）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示， 关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正
（3）x的取值范围为
。
（4）销售单价定为多少时，总利润取最大值。
（5）选做：若获利不低于1200元，试确定销售
单价x的取值范围
3.选做：如图，已知平行四边形ABCD的周长为 8cm，∠B=30°，若边长AB为xcm． 请写出的面积y（cm2）与x的函数关系式，并 求自变量x的取值范围．