建立二次函数模型解题
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考点聚焦
考点1 二次函数求最值的应用 依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结 合方程、一次函数等知识解决实际问题． [注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次 函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特 殊要求，结合图象进行理解．
示例1
（P89 3）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示， 关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正
考点3 建立二次函数模型解决问题
利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这 些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上， 从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些 测量问题或其他问题．
[注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标 系是关键．(P25 11)
(P25 11) 方法点析
其余两个顶点分别在AB，AC上，若EF=x,矩形EGHF的
面积为y。问：
（1）EG=
（用x的代数形式表示）
（2）求y与x的函数关系式,写出自变量x的 取值范围.
E
KF
（3）当x取何值时，y有最大值？
最大值是多少？
G
H
方法点析
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的
运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互
总结升华
一、思想方法…… 二、谈谈自己的收获（疑惑）…… 三、作业布置 （1）复习P2511、12 、九上P50探究2及变式、九上P 52 5、6、7 （2）中考总复习指导 P89 10、11 （3）中考总复习指导 P26第十五讲
课堂反馈（小测）
1.已知直角三角形两直角边和为8，其中一条直角边为x，则直
思（路1）分商（析品2的）:售若价获为得利润不低（于用6x0的90代元数，形试式确表定示销）售单价的范围
（2）商品的件数为
（用x的代数形式表示）
（（34））每总总件利利商润品w润=的=利单润件为（利用润（x的用×代x的数件代形数数式形表式示表）示）
（5）x的取值范围为
。
（6）当x= 时，总利润最大为 元，
此时定价为 元
(1) (1400－50x)
P25 12
………………………………2分
（2）y＝x(－50x＋1400)－4800
…… ………4分
＝－50x2＋1400x－4800
解解题＝－题分50突析(x－破：14：)2＋x指50租00.出的车辆，则………………6分
∵日-收5没0益＜租0=出，每的∴辆当车车x辆＝日用1租4x时金的，×代每数日式租表出示车的辆数-每日各项支出 在0为≤x≤20范围；内，此y时有，最每大值辆5车00的0 日租…金………………7分
回归教材
示例3.如何定价利润最大
请注意与源题的 区别与联系
教材母题——人教版九上P50探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场
调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；
已知商品的进价为每件40元，设涨价，x元且获利不得高于60%。
问问：：（如1何）定如价何才定能价使才利能润使最利大润？最大？
归类探究
探究一 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最 大面积、最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
示例2（源题 九下书本P58 11）
如图，ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120,高
AD=80，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
练习1
如图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m， 水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
相转化．解决相似、全等、圆等问题，充分运用几何知识求
解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，
往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建
立函数关系，运用函数的性质求解.
练习2
已知如图，△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm，若点D在 BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形， 设BD=xcm，S□BDEF=ycm2．
角三角形面积y与x的函数关系式为
。
2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售 单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销 售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=x+140 。
问：
（1）每件商品的利润为
（用x的代数形式表示）
（2）总利润w=
（用x的代数形式表示）
∴当用每x日的租代出数14式辆表时，示租为赁公司日收益。最大，最大值为5000
元．
……………………………8分
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0. …………9分
即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2=4. ………10分
∵x＝24不合题意，舍去．
…………………11分
∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏. ……12分
（3）x的取值范围为
。
（4）销售单价定为多少时，总利润取最大值。
（5）选做：若获利不低于1200元，试确定销售
单价x的取值范围
3.选做：如图，已知平行四边形ABCD的周长为 8cm，∠B=30°，若边长AB为xcm． 请写出的面积y（cm2）与x的函数关系式，并 求自变量x的取值范围．
则y与x的函数关系式为
.
探究二 二次函数在实际问题中的应用 命题角度： 二次函数在实际问题中的应用．
方法点析 解决实际问题时的基本思路： （1）理解问题； （2）分析问题中的变量和常量； （3）用函数表达式表示出它们之间的关系； （4）利用二次函数的有关性质进行求解； （5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等． （P25 12）
确的是(
)．
AFra Baidu bibliotek有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
考点2 利用图象信息解决问题
两种常见题型： (1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象， 利用二次函数的性质求解； (2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． (P25 例1) [注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的 交点坐标等．
考点1 二次函数求最值的应用 依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结 合方程、一次函数等知识解决实际问题． [注意] 对二次函数的最大(小)值的确定，一定要注意二次 函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特 殊要求，结合图象进行理解．
示例1
（P89 3）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示， 关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正
考点3 建立二次函数模型解决问题
利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这 些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上， 从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些 测量问题或其他问题．
[注意] 构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标 系是关键．(P25 11)
(P25 11) 方法点析
其余两个顶点分别在AB，AC上，若EF=x,矩形EGHF的
面积为y。问：
（1）EG=
（用x的代数形式表示）
（2）求y与x的函数关系式,写出自变量x的 取值范围.
E
KF
（3）当x取何值时，y有最大值？
最大值是多少？
G
H
方法点析
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的
运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互
总结升华
一、思想方法…… 二、谈谈自己的收获（疑惑）…… 三、作业布置 （1）复习P2511、12 、九上P50探究2及变式、九上P 52 5、6、7 （2）中考总复习指导 P89 10、11 （3）中考总复习指导 P26第十五讲
课堂反馈（小测）
1.已知直角三角形两直角边和为8，其中一条直角边为x，则直
思（路1）分商（析品2的）:售若价获为得利润不低（于用6x0的90代元数，形试式确表定示销）售单价的范围
（2）商品的件数为
（用x的代数形式表示）
（（34））每总总件利利商润品w润=的=利单润件为（利用润（x的用×代x的数件代形数数式形表式示表）示）
（5）x的取值范围为
。
（6）当x= 时，总利润最大为 元，
此时定价为 元
(1) (1400－50x)
P25 12
………………………………2分
（2）y＝x(－50x＋1400)－4800
…… ………4分
＝－50x2＋1400x－4800
解解题＝－题分50突析(x－破：14：)2＋x指50租00.出的车辆，则………………6分
∵日-收5没0益＜租0=出，每的∴辆当车车x辆＝日用1租4x时金的，×代每数日式租表出示车的辆数-每日各项支出 在0为≤x≤20范围；内，此y时有，最每大值辆5车00的0 日租…金………………7分
回归教材
示例3.如何定价利润最大
请注意与源题的 区别与联系
教材母题——人教版九上P50探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场
调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；
已知商品的进价为每件40元，设涨价，x元且获利不得高于60%。
问问：：（如1何）定如价何才定能价使才利能润使最利大润？最大？
归类探究
探究一 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最 大面积、最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
示例2（源题 九下书本P58 11）
如图，ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120,高
AD=80，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
练习1
如图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m， 水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
相转化．解决相似、全等、圆等问题，充分运用几何知识求
解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，
往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建
立函数关系，运用函数的性质求解.
练习2
已知如图，△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm，若点D在 BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形， 设BD=xcm，S□BDEF=ycm2．
角三角形面积y与x的函数关系式为
。
2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售 单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销 售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=x+140 。
问：
（1）每件商品的利润为
（用x的代数形式表示）
（2）总利润w=
（用x的代数形式表示）
∴当用每x日的租代出数14式辆表时，示租为赁公司日收益。最大，最大值为5000
元．
……………………………8分
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0. …………9分
即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2=4. ………10分
∵x＝24不合题意，舍去．
…………………11分
∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏. ……12分
（3）x的取值范围为
。
（4）销售单价定为多少时，总利润取最大值。
（5）选做：若获利不低于1200元，试确定销售
单价x的取值范围
3.选做：如图，已知平行四边形ABCD的周长为 8cm，∠B=30°，若边长AB为xcm． 请写出的面积y（cm2）与x的函数关系式，并 求自变量x的取值范围．
则y与x的函数关系式为
.
探究二 二次函数在实际问题中的应用 命题角度： 二次函数在实际问题中的应用．
方法点析 解决实际问题时的基本思路： （1）理解问题； （2）分析问题中的变量和常量； （3）用函数表达式表示出它们之间的关系； （4）利用二次函数的有关性质进行求解； （5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等． （P25 12）
确的是(
)．
AFra Baidu bibliotek有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
考点2 利用图象信息解决问题
两种常见题型： (1)观察点的特征，验证满足二次函数的解析式及其图象， 利用二次函数的性质求解； (2)由图文提供的信息，建立二次函数模型解题． (P25 例1) [注意] 获取图象信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的 交点坐标等．