乘法公式复习总结

本节课你的收获是什么？
利用乘法公式可以简化计算。
有时需要进行变形，使变形后的式 子符合应用完全平方公式的条件， 即为“两数和(或差)的平方”，然后 应用公式计算。
课检
利用配方法,我们很容易导出下面形式优美的恒等式
a²+b²+c²-ab-bc-ca= 1 [(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
你学会了吗？
=12345678 –100 =12345578
例2 x+y=3 , xy= –12, 求x²+y²的值
方法1：从条件出发
解: (x+y)²=x²+y²+2xy 3²= x²+y²+2×(– 12)
93=3=xx²+²+yy²²–24 即x²+y²=33
方法2：从结论出发 解： x²+y²=(x+y)²–2xy
(2)
(a+
2 3
b)²－
(a-
2 3
b)²
(3)(x+y)²(x-y)²－(x²+y²)²
学一学
例1 （N+2004）²=12345678，求 (N+1994 )(N+2014) 的值 解： (N+1994 )(N+2014)
=[(N+2004)–10][(N+2004)+10]
= （N+2004）²–10²
a
b
图1—6
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2−2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 若 (a−b)2= [a+(−b)]2
是否可行？？
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
例2.运用完全平方公式计算:
(1) 10３2 ; (2)1992
解:(1) 10３2 =(100+３)2
=1002+2×100×３+３2
=10000+600+9=10609
(2) 1992 =(200-1)2
=2002-2×200×1+12 =40000-
400+1=39601
1、在下列各式中，计算正确的是（ D ） A、（2m-n）2=4m2-n2 B、 (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2 C、 (-a-1)2=-a2-2a-1 D、 (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2 2、无论x取何值，（x+a)2=x2-x+a2,则常数a 等于 （ D ） A 、2 B 、 -2 C、1/2 D、 -1/2
2
[2m+（- 3)] = (2m)2 + 2(2m)·（-3） + （-3）2
解：原式= (2m)2+ 2 ×2m ×（-3）+(-3)2
=4m2-12m+9
另解：原式（= 2m)2- 2 ×2m ×3 +32
=4m2-12m+9
(2)(2a+3b)2 (3)(-m+3n)2 (4)(-2m-1/2)2 (5)(a-b2)2
公式的结构特征：
（1）公式左边是两数和(差)的平方； （2）公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方 和加上（减去）左边两数积的两倍。
即：首平方，尾平方，二倍在中央。
完全平方公式的应用
例1：利用完全平方公式进行计算
(1)、( 2m - 3 )2 ;
(a + b) 2 = a2 + 2 a b +
b2
2
本式从左到右的变形,不仅保持了式子结构的结构性,还充分 体 现了数学和谐简洁的美.
(1)若a=2003,b=2004,c=2005,求a²+b²+c²-ab-bc-ca的值.
(2)若 a,b,c是△ABC的三边长,且a²+b²+c²=ab+bc+ca,判断此三角
形的形状.
解:1)a-b=-1,b-c=-1,c-a=2
活动与探究
已知：a+b=5,ab=2,求：a2+b2
解：a2+b2=(a+b)2-2ab =52-2×2 =21
解题思路：本题是 完全平方公式的灵 活运用，关键在于 公式的正确变形
动动脑
请出3个用乘法公式计算的题目. 要求: (1)可以直接使用乘法公式计算 (2)每个题目使用不同的乘法公式
复习乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²–b²
完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²
大家来填表：
(1) (3a+b)(3a–b)
(2) (3a+b)(a –3b) (3) (–3a–b)(–3a+b) (4) (3a+b)(–3a–b)
(3a+b)(3a-b) (3a+b)(-3a-b) (-3a-b)(-3a+b)
有错就改：
(1)(a–2b)²=a²–4b² a²–4ab+4b²
(2) (2a–3b)(2a+3b)=2a²–3b² 4a²–9b²
(3) (x+
1 2
y)²=x²+xy+ 1
4
y²
(4) (–x–3y)²=x²–6xy+9y² x²+6xy+9y²
你有一双 慧眼吗？
做一做
计算：
(1) 20042-2003×2005
解：a²+4a+4, a²-4a+4 a²+4-a², a²+4-4
1
16 aBaidu Nhomakorabea + a²+4
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
在解题过程中要正确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不能少乘2。
完全平方公式的灵活运用，应掌握公式的简单变形。
a-b=0,b-c=0,c-a=0 a=b=c，所以△ABC为等边三角形
=a2+2ab+ b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式
= a 2 + 2 a (−b) +(−b) 2
推证公式
= a2 − 2ab + b2.
完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
语言表述：两数和（差）的平方，等于它们 的平方和加上（减去）它们乘积的两倍。
做一做 一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将其边长增加 b 米。形成四块实验田，以种 植不同的新品种(如图1—6).
用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行比较.
b
ab
b2
探索: 你发现了什么?
a
方法一 ： （直接求）
总面积＝ (a+b)2；
a2
ab
方法二： （间接求）
总面积＝ a2+
ab+
ab+b2.
2) a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ca
= 1 [(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
2
=
1 2
[(-1)²+(-1)²+2²]
=
1 2
×6=3
a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
1
2 [(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
=3²–2×(–12) =9+24 =33
例3 x²+2x+y²–4y+5=0 求 xy 的值 解：x²+2x+y²–4y+5=0
x²+2x+1+y²–4y+4=0 (x+1)²+(y–2)²=0 得：x= –1 y=2 故 xy=(–1)²=1.
要使a²+4变成一个完全平方式， 你能加上多少个不同的单项式？
系数的变化
符号的变化 次数的变化
(6)(2a-3b)(3b-2a) (7)(x+y+z)2 (8)(x+y)2-(x-y)2
思维诊断：
（1）明确完全平方公式中的a,b分别 相当于题目中的哪些项。
（2）公式中的a,b可以是一个数，一 个字母，也可以是多项式。
（3）运用完全平方公式时，切勿把 “乘积项”2ab中的2丢掉，同时要注 意2ab前的正、负号。