苏教版八年级下册数学[矩形(基础)重点题型巩固练习]

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苏科版八下 9.4矩形、菱形、正方形同步课时训练(word版含答案)

9.4矩形、菱形、正方形同步课时训练一、单选题1．如图，已知矩形纸片ABCD 中，9cm,3cm AD AB ==，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（）A ．4cmB ．5cmC ．4cm 、D ．5cm 、 2．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，AE 是∠BAC 的外角平分线，ED ∥AB 交AC 于点G ．下列结论：①AD ⊥BC ；②AE ∥BC ；③AE ＝AG ；④AD 2＋AE 2＝4AG 2，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（）．A ．18B ．20C ．22D ．24 4．如图，将矩形ABCD 的四个角向内折叠铺平，恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH ，若EH ＝5，EF ＝12，则CD 长为（）A．13 B．12013C．12 D．175．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC ＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°6．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（）A．50或40或30 B．50或40 C．50 D．50或30或20 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE 8．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形9．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且18AC=，点P在正方形的边上，则满足PE PF+，则的点P的个数是（）A ．0B ．4C ．6D ．810．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC ＋BC ＝6，空白部分面积为10.5，则AB 的长为（）A ．B C ．D二、填空题 11．如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C 的最小值为_____．12．如图，在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，点E 在AB 上，且1AE =，点P Q 、分别是直线CD AD 、上的两个动点，将AEQ ∆沿EQ 翻折，使点A 落在矩形中的点F 处，连接PF PB 、，则PB PF +的最小值是__________．13．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为斜边AC 中点，8AC =，则BD =______． 14．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝7，点P 是直线BC 一动点，若将△ABP 沿AP 折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、PE．若P、E、D三点在一直线上，则BP ＝_________．15．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．16．如图，在菱形ABCD中，AB＝∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________．三、解答题17．如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD 相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．（1）线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：（2）若AB＝12，BC＝13，P从E沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①当t＝秒时，四边形EPCQ是矩形；②当t＝秒时，四边形EPCQ是菱形．18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA至点D，连结DC，过点B作BE⊥DC于点E，F为BC上一点，FC＝FE．连结AF，AE．（1）求证：F A ＝FE ．（2）若∠D ＝60°，BC ＝10，求△AEF 的周长．19．如图，四边形ABCD 中，∠B=60°，AC=BC ，点E 在AB 上，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得CF ，且点F 在AD 上．（1）求证：AF=BE ；（2）若AE=DF ，求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若BC=AFCE 的面积．20．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系（不要求证明）；（2）如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，在移动过程中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．参考答案1．B2．C3．C4．B5．C6．A7．B8．A9．D10．B1112．-1．13．414．或7﹣15．16．617．（1）BF ＝AE ，证明见解析；（2）①8，②13【详解】解：（1）BF ＝AE ．理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠AEB ，在△BCF 和△EBA ，BFC A CBF AEB BC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△EBA ，∴BF ＝EA ；（2）EP＝t，CQ＝t，在Rt△ABE中，AE5，∵EP＝CQ，EP∥CQ，∴四边形EPCQ为平行四边形，①当CP⊥AD时，∠CPE＝90°，则平行四边形EPCQ为矩形，此时AP＝BC＝13，即5+t＝13，解得t＝8，即当t＝8时，四边形EPCQ是矩形；②作CH⊥AD于H，如图，当CP＝CQ＝EP＝t，平行四边形EPCQ为菱形，而PH＝t+5﹣13＝t﹣8，在Rt△PCH中，122+（t﹣8）2＝t2，解得t＝13，即当t＝13，四边形EPCQ是菱形．故答案为：8，13．18．（1）见解析；（2）15【详解】（1）证明：∵BE⊥DC，∴∠EBC+∠ECB＝∠CEF+∠BEF＝90°，∵FC＝FE，∴∠ECB＝∠CEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝FE＝FC，在Rt△BAC中，AF是斜边BC上的中线，∴F A＝FE；（2）解：∵∠D＝60°，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ACD+∠ACB＝30°+45°＝75°，由（1）得：F A＝FE，AF是斜边BC上的中线，∴AF⊥BC，AF＝12BC＝5，∵FC＝FE，∴∠EFC＝180°﹣2∠ECF＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴△AEF的周长＝3AF＝3×5＝15．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AFCE的面积=．【详解】(1)证明:∵AC=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ACB=60°.∵∠ECF=60°,∴∠ACB=∠ECF, ∴∠ECB=∠ACF.在△BCE和△ACF中,,,,BC ACECB ACF EC FC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BCE≌△ACF(SAS),∴AF=BE.(2)证明:由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°, ∴AF∥BC.∵AF=BE,AE=DF,∴AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB=BC,∴▱ABCD 是菱形.(3)∵△BCE ≌△ACF,∴四边形AFCE 的面积=△AFC 的面积+△ACE 的面积 =△BEC 的面积+△ACE 的面积=△ABC 的面积,∵△ABC 是一个等边三角形且,∴四边形AFCE 的面积=12×20．（1） OA OB OC ==；（2）等腰直角三角形，见解析【详解】解：（1）点O 到ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系是B OA O OC ==．（2）OMN 的形状是等腰直角三角形．证明如下：在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点， OA OB OC ∴==，AO 平分BAC ∠，AO BC ⊥， 90AOB ∠=︒∴，45B C ∠=∠=︒，45BAO CAO ∠=∠=︒， CAO B ∠=∠．在BOM 和AON 中，AN BM =，CAO B ∠=∠，OA OB =，()BOM AON SAS ∴△≌△，OM ON ∴=，AON BOM ∠=∠．90AOB BOM AOM ∠=∠+∠=︒，90AON AOM ∴∠+∠=︒，即90MON ∠=︒，OMN ∴是等腰直角三形．。

【新课标-经典汇编】最新苏科版八年级数学下册第9章矩形、菱形、正方形3同步练习题及答案

（新课标）苏科版2017-2018学年八年级下册矩形、菱形、正方形(3)1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是( )A．12 cm2x B．24 cm2C．48 cm2D．96 cm23．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴对应的数分别为－4和1，则BC＝_______．4．若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是_______．5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB 的距离OH＝_______6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AD、CD 上的两点，且AE＝DF．那么△ABE与△DBF是否全等？为什么？7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是( ) A．菱形B．正方形C．矩形D．梯形8．如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为( )A．5 B．6 C．8 D．10 9．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_______．10．菱形的两条对角线的长分别是10 cm和24 cm，则菱形的周长是_______cm．11．如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩，当菱形的边长为18 cm，α＝120°时，A、B两点的距离为_______cm．12．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．13．如图：已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．14．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF．(1)求证：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，点E、F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF是等边三角形．参考答案6．△ABE≌△DBF．1．B 2．B 3．5 4．3 5．1257．A 8．A 9．5 10．52 11．54 12．(1)略(2)40°13．(1)略(2)5．14．略。

2024年苏科版八年级下册同步练习9.4矩形、菱形、正方形练习 (新版)苏含答案

2024年苏科版八年级下册同步练习9.4矩形、菱形、正方形练习（新版）苏矩形、菱形、正方形1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．下列判断中正确的是 ( )A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于_______．4．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F．若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为_______．5．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．6．（2013．铁岭）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE、BE．(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．7．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ( )A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD8．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．(2013．枣庄)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为 ( )A．3－1 B．3－5C．5＋1 D．5－110．(2013．钦州)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是_______．11．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_______．12．(2013．锦州)如图①，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连接EF．(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；(3)如图②．将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝12∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．参考答案1．C 2．D 3．204．105．2 6．略7．D 8．A 9．D 10．10 11．15°或 75° 12．(1) EF＝BE＋DF．(2)AM＝AB； (3)AM＝AB．三角形的中位线1．如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3 cm，则DE的长是 ( )A．2 cm B．1.5 cm C．1.2 cm D．1cm2．如图，小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是( )A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是_______cm．4．（2013．宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点C、D，量得CD＝20 m，则A、B之间的距离是_______m．5．将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C＝90°，BC＝8 cm，则折痕DE的长度是_______cm．6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，试说明△EFG 的形状．7．（2013．河池）一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 ( )A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．36 cm8．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是 ( )A．AB∥DC B．AB＝DCC．AC⊥BD D．AC＝BD9．（2013．北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为_______．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝_______cm．11．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为_______．12．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，求△ABC的周长．13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与CD不平行，H、G分别是两条对角线BD、AC的中点，求证：GH∥AD，且GH＝12(BC－AD)．14．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并说明你的理由．参考答案1．B 2．C 3．5 4．40 5．4 6．略7．C 8．C 9．20 10．5 11．3 12．25 13．14．四边形PQMN 为菱形．分式一选择1 下列运算正确的是（）A -40=1B （-3）-1=31C （-2m-n ）2=4m-nD （a+b ）-1=a -1+b -1 2 分式28,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（） A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（）A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -360004 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为（）A 2B -2C 2或-2D 2或35计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是（） A 1 B x+1 C x x 1+ D 11-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx 上述所列方程，正确的有（）个A 1B 2C 3D 47 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（） A 2 B 3 C 4 D 58 若分式方程xa x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（） A -1 B 0 C 1 D 29 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二填空1 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab ab a b a b a b ，其中第7个式子是第n 个式子是 2 7m =3,7n =5,则72m-n =3 ()2312008410-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-= 4 若2222,2ba b ab a b a ++-=则= 三化简1 ()d cd b a cab 234322222-•-÷ 2 111122----÷-a a a a a a3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x四解下列各题1 已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求的值2 若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求的值五（5）先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值六解方程1 12332-=-x x2 1412112-=-++x x x七 2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？分式(二)一、选择题：1．已知230.5x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（）A ．17 B.7 C.1 D.132．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需要的天数是（）A ．12 B.35 C.24 D.473．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2±二、填空题：4. 若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解，则m 的值为__________.5.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________． 6. 已知2242141x y y x y y +-=-+-，则的24y y x ++值为______. 三、解答题：7. 计算： ()3322232n m n m --⋅8. 计算（1）168422+--x x x x （2）mn n n m m m n n m -+-+--29. 先化简，后求值：222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-，其中2,33a b ==- 10. 解下列分式方程．1412112-=-++x x x11. 计算：（1）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x （2）4214121111xx x x ++++++-12．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有符合条件的x 的值．13．先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用()12-m 元，（m 为正整数，且12-m ＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用()12-m 元．设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是；②铅笔的零售价每支应为元；③批发价每支应为元．（用含x 、m 的代数式表示）．14． A 、B 两地相距20 km ，甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后，乙骑车自B 地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去，两车在距B 地12 km 的C 地相遇，求甲、乙两人的车速.分式(三)一、填空题1、在有理式22xy ，πx ，11+a ，y x +1，122-m 中属于分式的有 .2、分式33+-x x 的值为0，则x= .3、分式x x 2-和它的倒数都有意义，则x 的取值范围是 .4、当_____=x 时，x --11的值为负数；当x 、y 满足时，)(3)(2y x y x ++的值为32；5、若分式y x y -3的值为4，则x,y 都扩大两倍后，这个分式的值为6、当x= 时，分式11+x 与11-x 互为相反数.7、若分式方程=-1x m 1-x -11有增根，则m= .8、要使方程=-11x a x -2有正数解，则a 的取值范围是9、+++)2)(1(1 x x )3)(2(1++x x +)2007)(2006(1.....+++x x =_____________10、若=a 3b 4=c 5，则分式222c b a acbc ab +++-=____________二、选择题11、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数,|x|=2,则ab x x nm -++2的值为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、512. 下列式子:（1）y x y x y x -=--122；（2）c a ba a c ab --=--；（3）1-=--b a ab ；（4）y x yx y x yx +-=--+-中正确的是（）A 、1个B 、2 个C 、3 个D 、4 个13. 下列分式方程有解的是（）A 、++12x 13-x =162-x B 、012=+x x C 、0122=-x D 、111=-x14. 若分式m x x ++212不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（）A 、m ≥1B 、m ＞1C 、m ≤1D 、m ＜115、晓晓根据下表，作了三个推测：x 1 lO 100 1000 10000…3-x-1x 3 2.1 2．Ol 2.001 2.0001…①3-x-1x (x>0)的值随着x 的增大越来越小；②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2；③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2．则推测正确的有( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个16. 已知分式xyy x -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，则a 、b 关系（）A 、相等B 、互为相反数C 、互为倒数D 、乘积为－1三、解答题17、化简：[22222a b a ab b -+++2ab ÷(1a +1b )2]·2222a b ab-+.18、当21,23-==b a 时，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a ab b a b a ab b a ＋44的值.19、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a －1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.（1）那种玉米的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？四、探索题20、观察以下式子：1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，3354355555+→=+＞， 773722232+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.21、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算？22、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？分式（一）参考答案一 CACBC CBBA B二 1 -()n n n ab a b 137201,--， 2 9/5， 3 2， 4 53 三 1 ac 1 ， 2 1-a a ， 3 32+-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。

9.4矩形+复习课件-2023-2024学年苏科版数学八年级下册

7.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．
C
F
E
A
D
B
8.如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交
于点E、F、G、H，四边形EFGH是怎样的特殊四边形？证明你的结论。
A
D
H
E
G
F
B
C
三、小结【问题1】矩形有哪些性质？有哪几种判定方法？试填写下表
2、矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）（A）20° （B）40° （C）60° （D）80°
3、矩形具有而平行四边行不具有的的性质是（）
（A）对角相等
（B）对角线相等
（C）对角线互相平分（D）对边平行且相等
4、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且 AC＝2AB．（1）求证：△AOB是等边三角形．
矩形复习
一、矩形的定义及性质【问题1】怎样的平行四边形是矩形？
一、矩形的定义及性质【问题2】矩形有哪些性质？（注意书写）
2、矩形的性质
A
D边
矩形的对边平行且相等
B
C 角矩形的四个角都是直角
矩形的性质：
矩形的对角线相等且互
对角线相平分
对称性
矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
1、在矩形ABCD中AC与ＢＤ交于点Ｏ，图中有_______个直角三角形，有______个等腰三角形。
（× ）
选择题
4. 具备条件____的四边形是矩形．
A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角

苏科版数学八年级下册 9.4矩形菱形正方形大题综合练习(含答案解析)

苏科版数学八年级下册9.4矩形菱形正方形大题综合练习1.如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.（1）证明△BCM≌△CAN；（2）∠AEM=________°；（3）求证DE平分∠AEC；（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.【答案】（1）证明：如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠ADC=60°，∴△ACD，△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，在△BCM和△CAN中，{BC=AC∠B=∠ACNBM=CN，∴△BCM≌△CAN（2）60（3）证明：如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．∵∠AEM=60°，∴∠AEC=120°，∵∠DGE=∠H=90°，∴∠GEH+∠GDH=180°，∴∠GDH=∠ADC=60°，∴∠ADG=∠CDH ，在△DGA 和△DHC 中，{∠DGA =∠H =90∘∠ADG =∠CDH DA =DC，∴△DGA ≌△DHC ，∴DG=DH ，∵DG ⊥AN ，DH ⊥MC ，∴∠DEG=∠DEH ．∴DE 平分∠AEC ．（4）证明：结论：EA+EC=ED ．理由如下：如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，在Rt △DEG 中，∵∠EDG=30°，∴DE=2EG ，易知△DEG ≌△DEH ，∴EG=EH ，∴EA+EC=EG+AG+EH-CH ，∵△DGA ≌△DHC ，∴GA=CH ，∴EA+EC=2EG=DE ，∴EA+EC=ED.【解析】【解答】解：（2）如图1中，∵△BCM ≌△CAN ，∴∠BCM=∠CAN ，∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．故答案为60．【分析】(1)连接AC，因为∠ADC=60°，利用菱形四边相等的性质，可知△ADC为等边三角形，所以AC=BC ,又因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠ACN=60°=∠B，因为BM=CN，所以△BCM≌△CAN；（2）因为∠AEM=∠CEN，对顶角相等，由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=60°；（3）过点D做AE、CM两边的垂线，利用角角边可得到△DHC≌△DGA，可得DH=DG，再用角平分线的性质，到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；（4）由全等可知EA+EC=2EG，又因为在Rt△中30°的角所对的边等于斜边的一半，所以EA +EC=DE.2.综合：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．【答案】（1）C（2）解：如图2中，①证明：∵AD=5，S□ABCD=15，∴AE=3．又∵在图2中，EF=4，∴在Rt△AEF中，AF═5．∴AF=AD=5，又∵AF∥DF'，AF=DF，∴四边形AFF'D是平行四边形．∴四边形AFF'D是菱形．②解：连接AF'，DF，在Rt△DE'F中，∵E'F=E'E﹣EF=5﹣4=1，DE'=3，∴DF═√E′D2+E′F2= √10．在Rt△AEF'中，∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9，AE=3，∴AF'═√AE2+EF′2= √32+92=3 √10【解析】【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=CE′，∴AD∥EE′，AD=EE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，∵∠AEE′=90°，∴四边形AEE′D是矩形，故选C．【分析】（1）根据矩形的判定方法即可判定；（2）①通过计算证明AF=AD=5，证明四边形AFF′D是平行四边形即可；②连接AF'，DF，分别利用勾股定理计算即可；3.如图，正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点（P点不与C、D重合），过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP═x，△PBF 的面积为S1，△PDE的面积为S2．（1）求证：BP⊥DE．（2）求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时，S1﹣S2的值．【答案】（1）解：如图1中，延长BP交DE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，∵CP=CE，∴△BCP≌△DCE，∴∠BCP=∠CDE，∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，∴∠CDE+∠DPM=90°，∴∠DMP=90°，∴BP⊥DE．（2）解：由题意S1﹣S2= 12（4+x）•x﹣12•（4﹣x）•x=x2（0＜x＜4）．（3）解：①如图2中，当∠PBF=30°时，∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，∴∠PFD=∠DPF=45°，∴DF=DP，∵AD=CD，∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，∴△BAF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP=30°，∴x=PC=BC•tan30°= 4√3，3∴S1﹣S2=x2= 16．3②如图3中，当∠PBF=45°时，在CB上截取CN=CP，理解PN．由①可知△ABF≌△BCP，∴∠ABF=∠CBP，∵∠PBF=45°，∴∠CBP=22.5°，∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°，∴∠NBP=∠NPB=22.5°，∴BN=PN= √2x，∴√2x+x=4，∴x=4 √2﹣4，∴S1﹣S2=（4 √2﹣4）2=48﹣32 √2．【解析】【分析】（1）首先延长BP交DE于M．然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE，依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°；（2）根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE，然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可；（3）分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC 的长，最后再利用（2）中结论进行计算即可.4.如图，在矩形ABCD 中，BC ＞AB ，∠BAD 的平分线AF 与BD ，BC 分别交于点E ，F ，点O 是BD 的中点，直线OK ∥AF ，交AD 于点K ，交BC 于点G ．（1）求证：△DOK ≌△BOG ；（2）探究线段AB 、AK 、BG 三者之间的关系，并证明你的结论；（3）若KD=KG ，BC=2 √2 ﹣1，求KD 的长度．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠KDO=∠GBO ，∠DKO=BGO ．∵点O 是BD 的中点；∴DO=BO ．在△DOK 和△BOG 中， {∠KDO =∠GBO∠DKO =∠BGO DO =BO∴△DOK ≌△BOG （AAS ）．（2）解：AB+AK=BG ；证明如下：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=90°，AD ∥BC ．又∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠BFA=45°．∴AB=BF ．∵OK ∥AF ，AK ∥FG ，∴四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ．∵BG=BF+FG ；∴BG=AB+AK ．（3）解：∵四边形AFGK 是平行四边形．∴AK=FG ，AF=KG又∵△DOK ≌△BOG ，且KD=KG ，∴AF=KG=KD=BG ．设AB=a ，则AF=KG=KD=BG= √2 a ．∴AK=2 √2 ﹣1﹣ √2 a ，FG=BG ﹣BF= √2 a ﹣a ．∴2 √2﹣1﹣√2a= √2a﹣a．解得a=1．∴KD= √2a= √2．【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，得到∠KDO=∠GBO，∠DKO=BGO，DO=BO，得到△DOK≌△BOG（AAS）；（2）四边形ABCD是矩形，得到∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，又AF平分∠BAD，得到∠BAF=∠BFA=45°，AB=BF，由OK∥AF，AK∥FG，得到四边形AFGK 是平行四边形，得到AK=FG，BG=BF+FG，即BG=AB+AK；（3）四边形AFGK是平行四边形，得到AK=FG，AF=KG，又△DOK≌△BOG，且KD=KG，得到AF=KG=KD=BG，设AB=a，则AF=KG=KD=BG=√2a，得到AK=2√2﹣1-√2a，FG=BG﹣BF=√2a﹣a，解得a=1，得到KD=√2a=√2．5.综合题（1）感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．易知BE=DG．（2）探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（3）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为________ ．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，{CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG．（2）∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，∵∠A=∠F，∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD，即∠BCE=∠DCG，∴△BCE≌△DCG．，∴BE=DG．（3）20【解析】【解答】解：应用：∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=8，∴S△AEB+S△EDC=8，∵AE=3DE，∴S△AEB=3S△EDC，∴S△EDC=6，S△EDC=2，∵△BCE≌△DCG，∴S△DGC=S△EBC=8，∴S△ECG=8+2=10，∴菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20，故答案为20．【分析】感知：根据正方形的性质，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，得到∠BCE=∠DCG，得到△BCE≌△DCG，BE=DG；探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，得到BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，由∠A=∠F，得到∠BCE=∠DCG，△BCE≌△DCG，BE=DG；应用：由四边形ABCD是菱形，△EBC的面积为8，AE=3DE，得到S△AEB=3S△EDC，得到S△EDC=6，S△EDC=2，由△BCE≌△DCG，得到S△DGC=S△EBC=8，S△ECG=8+2=10，所以菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20.6.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE．点M是线段DE 数y=23上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．【答案】（1）解：y=23x+b中，令x=0，解得y=b，则D的坐标是（0，b），OD=b，∵OD=BE，∴BE=b，则E的坐标是（3，4﹣b），把E的坐标代入y=23x+b得4﹣b=﹣2+b，解得：b=3（2）解：S四边形OAED= 12（OD+AE）•OA= 12×（3+1）×3=6，∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，∴S△ODM=1.5．设M的横坐标是a，则12×3a=1.5，解得：a=1，把x=a=1代入y=﹣23x+3得y=﹣23× 43+3= 73．则M的坐标是（1，73）（3）解：当四边形OMDN是菱形时，如图（1），M的纵坐标是32，把y= 32代入y=﹣23x+3，得﹣23x+3= 32，解得：x= 94，则M的坐标是（94，32），则N的坐标是（﹣94，32）；当四边形OMND是菱形时，如图（2）OM=OD=3，设M的横坐标是m，则纵坐标是﹣23m+3，则m2+（﹣23m+3）2=9，解得：m= 3613或0（舍去）．则M的坐标是（3613，1513）．则DM的中点是（1813，2713）．则N的坐标是（3613，5413）．故N的坐标是（﹣94，32）或（3613，5413）．【解析】【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN 是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．7.如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．（1）若DG=6，求AE的长；（2）若DG=2，求证：四边形EFGH是正方形．【答案】（1）解：∵AD=6，AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中，HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE= =4（2）证明：∵AH=2，DG=2，∴AH=DG，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△DHG和Rt△AEH中，，∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根据菱形的性质，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后计算AE的长；（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形．8.如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=________，AP=________．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC等于．【答案】（1）8﹣2t；2+t（2）解：∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2（3）解：①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：∵NP⊥AD，QP=PK，∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，②要使四边形AQMK为正方形．∵∠ADC=90°，∴∠CAD=45°．∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，∵AD=8，∴CD=8，∴AC=8 √2．【解析】【解答】解：（1）如图1．∵DM=2t，∴AM=AD﹣DM=8﹣2t．∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，∴四边形CNPD为矩形，∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；故答案为：8﹣2t，2+t．【分析】（1）由DM=2t，根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6﹣t，则AP=AD﹣DP=2+t；（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6﹣t=8﹣（6﹣t），解方程即可；（3）①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），求解即可，②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．9.已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，①直线AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．②▱OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．（2）在点A 、C 移动的过程中，若点B 不在x 轴上，且当▱OABC 为正方形时，直接写出点C 的坐标．【答案】（1）解：①是，经过定点（3，0）．理由如下：如图1中，连接AC 交OB 于K ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴OK=KB ，BC ∥OA ，BC=OA ，∴∠CBF=∠AOD ，在△DOA 和△FBC 中，{∠ODA =∠CFB =90°∠AOD =∠CBF OA =BC，∴△DOA ≌△FBC ，∴OD=FB=2，∴OB=6，∵OK=KB ，∴OK=3，∴K （3，0），∴直线AC 经过定点K （3，0）．②可以．利用如下：当∠OCB=90°时，四边形OABC 是矩形，由（1）可知△DOA ≌△FBC ，∴OD=BF=2，∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠OCF=∠CBF，∵∠CFO=∠CFB，∴△CFO∽△BFC，∴CFBF = OFCF，∴CF2= 4CF，∴CF=2 √2，∴S矩形OABC=2•S△OBC=2× 12× 6×2√2=12 √2．③可以．理由如下：如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，∴AD=CF，∵DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，∴9x2=x2+4，∴x= √22，∴AE= 3√22，∴S菱形AECG=AE•DF= 3√22×2=3 √2（2）解：如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，∴OD=CF=2，∴点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．综上所述，点C坐标为（4，2）或（4，﹣2）【解析】【分析】（1）①是，经过定点（3，0）．如图1中，连接AC交OB于K，只要证明OD=FB=2，推出OB=6，即可解决问题．②当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得CFBF = OFCF，由此即可解决问题．③可以．如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= 12CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根据OE2=OD2+DE2，列出方程即可解决问题．（2）如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．10.如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6）、E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH为正方形（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标（3）如图2，点Q为对角线BO上一动点，D为边OA上一点，DQ⊥CQ，点Q从点B出发，沿BO方向移动．若移动的路径长为3，直接写出CD的中点M移动的路径长为________．【答案】（1）证明：如图1中，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴OE=AH=2，∵四边形ABCO是正方形，∴∠HAE=∠EOF=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴EH=EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，{AH=EOHE=EF，∴Rt△AHE≌△Rt△OEF，∴∠AEH=∠EFO，∵∠EFO+∠FEO=90°，∴∠AEH+∠FEO=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形（2）解：如图1中，连接GE、FH交于点K．∵F（﹣5，0），E（0，2），∴OF=5，OE=2，EA=4，∵HE=EF，∴52+22=42+AH2，∴AH= √13，∴H（﹣√13，6），∵四边形EFGH是菱形，∴HK=KF，KE=KG，设G（m，n），则有m+02= −5−√132，n+22= 6+02，∴m=﹣5﹣√13，n=4，∴G（﹣5﹣√13，4）（3）3√22【解析】【解答】（3）解：如图2中，如图2中，作MN⊥CO于M．∵MN∥OD，CM=MD，∴CN=ON，∴MN垂直平分线段CO，∴点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），∵QC=QD，∠CEQ=∠QFD，易证∠ECQ=∠FQD，∴△EQC≌△FDQ，∴EQ=DF=BE= 3√22，CE=OF=6﹣3√22，∴DO=6﹣3 √2，∵CM=DM，∠CMH=∠OMD，∠CHM=∠DOM，∴△HMC≌△OMD，∴OM=HM，CH=OD=6﹣3 √2，BH=3 √2，∵ON=NB，∴MN= 12BH= 3√22，∴点M的运动的路径的长为3√22．故答案为3√2．2【分析】（1）只要证明Rt△AHE≌△Rt△OEF，推出∠AEH=∠EFO，由∠EFO+∠FEO=90°，推出∠AEH+∠FEO=90°，推出∠HEF=90°，即可解决问题．（2）如图1中，连接GE、FH交于点K．首先求出点H的坐标，设G（m，n），根据中点坐标公式，列出方程组即可解决问题．（3）如图2中，作MN⊥CO于M．由MN∥OD，CM=MD，推出CN=ON，推出MN 垂直平分线段CO，推出点M在线段OC的垂直平分线上运动，如图3中，易知当点Q与B 重合时，点M与BD的中点N重合，当BQ=3时，作EQ⊥BC于E，延长EQ交OA于F，延长OM交BC于H，连接NM（线段MN的长即为点M的运动轨迹的长），想办法求出BH 的长，即可利用三角形的中位线定理解决问题．11.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.（1）求证:△PDQ是等腰直角三角形.（2）当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.【答案】（1）证明：连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直角三角形（2）解：当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:由(1)知△ABD为等腰直角三角形,当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,AB,∴四边形APDQ为正方形又∵DP=AP= 12【解析】【分析】连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ是等腰直角三角形；若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AB，得到P点是AB的中点．12.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．【答案】（1）解：在等边三角形ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.在等边三角形ABC中，CF＝AD.在等边三角形ADE中，AD＝EA.∴CF＝EA.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点，易求得∠DAC=30°，则∠CAE=∠DAE-∠DAC．先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.13.如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【答案】（1）解：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD=BD=AB，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形（2）解：∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形（3）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC ，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，A，D，E，F为顶点的四边形就不存在.14.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）证明：如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．【答案】（1）证明：如图2中，∵AM=ME．AD=DB，∴DM∥BE，∴∠GDN+∠DNE=180°，∵∠GDN=∠AEB，∴∠AEB+∠DNE=180°，∴AE∥DN，∴四边形DMEN是平行四边形，∵DM== BE，EM== AE，AE=BE，∴DM=EM，∴四边形DMEN是菱形（2）证明：如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．由（1）可知四边形EMDF是菱形，∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，∴∠GDN=∠AEB，∴∠MDF=∠GDN，∴∠MDG=∠FDN，∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM=ME，∴CM=ME，∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，∴∠DMG=∠DFN，∴△DMG≌△DFN，∴DG=DN【解析】【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME=MD 即可证明．（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可．15.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，分别延长OB，OD到点E，F，使BE=DF，顺次连接A、E、C、F各点．（1）求证：∠FAD=∠EAB．（2）若∠ADC=130°，要使四边形AECF是正方形，求∠FAD的度数．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AD=AB，∠ADB=∠ABD，∴∠ADF=∠ABE，在△FAD与△EAB中，∴△FAD≌△EAB（SAS），∴∠FAD=∠EAB；（2）解：∵四边形AECF对角线互相垂直平分，∴只要∠EAF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵∠ADC=130°，∴∠DAB=180°﹣130°=50°∴∠FAD+∠EAB=40°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠FAD= ×40°=20°【解析】【分析】（1）由题意易证∠ADF=∠ABE，又因为DF=EB，AD=AB，于是可△FAD≌△EAB，；（2）由已知可得四边形AECF对角线互相垂直平分，只要∠EAF=90°即得四边形AECF是正方形，由∠FAD=∠EAB，再证得∠DAB=50°，可得∠FAD+∠EAB=40°，于是∠FAD= 1×40°=20°．216.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________，②BC，DC，CF之间的数量关系为：________；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请直接写出GE的长．【答案】（1）垂直；BC=CF+CD（2）解：CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，{AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC ．（3）解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，如图3所示：∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，∴CD= 14 BC= √22 ，CH= 12 BC= √2 ，∴DH= 3√22 ，由（2）证得BC ⊥CF ，CF=BD= 5√22 ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD=DE ，∠ADE=90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE=CM ，EM=CN ，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM ，在△ADH 与△DEM 中， {∠ADH =∠DEM∠AHD =∠DMEAD =DE， ∴△ADH ≌△DEM （AAS ），∴EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，∴CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22 ，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG=BC=2 √2 ，∴GN=CG ﹣CN= √22 ， ∴EG= √GN 2+EN 2 = (√22)(3√22)= √5 ．【解析】【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF ，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF ，在△DAB 与△FAC 中， {AD =AF∠BAD =∠CAFAB =AC，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠B=∠ACF ，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC ⊥CF ；故答案为：垂直；②△DAB ≌△FAC ，∴CF=BD ，∵BC=BD+CD ，∴BC=CF+CD ；故答案为：BC=CF+CD ；【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质得到CF=BD ，∠ACF=∠ABD ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC= √2 AB=2 √2 ，AH= 12 BC= √2 ，求得DH= 3√22 ，根据正方形的性质得到AD=DE ，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM ，EM=CN ，由角的性质得到∠ADH=∠DEM ，根据全等三角形的性质得到EM=DH= 3√22 ，DM=AH= √2 ，等量代换得到CN=EM= 3√22 ，EN=CM= 3√22，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 √2 ，根据勾股定理即可得到结论．17.如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO=CO ，BO=DO ，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）DF ⊥AC ，若∠ADF ：∠FDC=3：2，则∠BDF 的度数是多少？【答案】（1）证明：∵AO=CO ，BO=DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，【解析】根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．18.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F．（1）求证：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=________度．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠EPC=90°（3）115°【解析】【解答】（3）∠EPC=115°，理由：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，{AB＝BC∠ABP＝∠CBPPB＝PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠DCP，∴∠PAE=∠PEA，∴∠CPB=∠AEP，∵∠AEP+∠PEB=180°，∴∠PEB+∠PCB=180°，∴∠ABC+∠EPC=180°．∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°【分析】（1）根据正方形的性质得到△ABP≌△CBP，得到对应边相等，得到PC=PE；（2）由（1）知△ABP≌△CBP，得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数；（3）根据菱形的性质，得到△ABP≌△CBP，得到得到对应边对应角相等，根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补，求出∠CPE的度数.19.实践探究，解决问题如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD．（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，则S阴影=________；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD 之间满足的关系式为________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间还满足（2）中的关系式吗？若满足，请予以证明，若不满足，说明理由．解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和（即S1+S2+S3+S4的值）．【答案】（1）16（2）S阴影=12S平行四边形ABCD（3）解：满足（2）中的关系式，理由如下：连接BD，由图1得S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC∴S四边形EBFD=S△EBD+S△BDF= 12S四边形ABCD（4）解：设四边形的空白区域分别为a，b，c，d 由上述性质可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，①+②+③+④得，a+S2+S3+c+S1+S4+b+S2+S1+d+S4+S3=S四边形ABCD⑤而S四边形ABCD=a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S阴影⑥所以联立⑤⑥得S1+S2+S3+S4=S阴影=20平方米．【解析】【解答】解：（1）∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，∴S阴影= 12×8×4=16，故答案为：16；（2）∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，∴S阴影= 12S平行四边形ABCD；故答案为：S阴影= 12S平行四边形ABCD；【分析】（1）由矩形的性质容易得出结果；（2）由平行四边形的性质容易得出结果；（3）连接BD，由题意得出S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC，即可得出结论；（4）设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，由（3）可以得出：a+S2+S3= 12S△ACD①，c+S1+S4= 12S△ACB②，b+S2+S1= 12S△ABD③，d+S4+S3= 12S△ACD④，进一步得出结论即可．20.如图，E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，如图所示：∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE= 12BC=5．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出对边平行且相等，结合已知，可证出AECF是平行四边形；（2）利用菱形的邻边相等的性质，可证出BE=AE=CE= 12BC=5.。

苏科版初中八年级数学下册期末矩形综合巩固训练题试卷

苏科版初中八年级数学下册期末矩形综合巩固训练题试卷一、单选题（共6小题）1．（2019春•江阴市期中）下列命题中错误的是A ．对角线相等的四边形是矩形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线相等D ．平行四边形的对边相等2．（2019春•常熟市期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为．已知，则的度数为A ．B ．C ．D ．3．（2019秋•罗湖区期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为A ．14 BC ．D ．154．（2019春•宝应县期末）如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若矩形和矩形的面积分别是、的大小关系是()ABCD AC BD O C CE BD ⊥E 4BCE DCE ∠=∠COE ∠()36︒45︒60︒67.5︒ABCD 12AB =16BC =ABCD EF B D EF ()252ABCD AEFC B EF ABCD AEFC 1S 2S ()A ．B ．C ．D ．5．（2019春•滨湖区期末）矩形与矩形如图放置，点、、共线，点、、共线，连接，取的中点，连接．若，，则ABC ．2D ． 6．（2019春•张家港市期末）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，点在边上，，将沿翻折得到，连接，，则的最小值为A ．B ．8C ．10D ．二、填空题（共5小题）7．（2019春•南京期末）若矩形两条对角线的夹角是，且较短的边长为3，则这个矩形的12S S >12S S =12S S <1232S S =ABCD CEFG B C E C D G AF AF H GH 3BC EF ==1CD CE ==(GH =)43ABCD 8AB =4BC =P Q AB AD E CD 2DE =DEQ ∆EQ FEQ ∆PF PC PF PC +()2260︒面积为．8．（2019春•东海县期末）如图，在矩形中，的平分线交与点，，，则．9．（2019春•滨湖区期末）如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交、于、两点，若，，则的长度为．10．（2019春•梁溪区期末）如图，矩形中，点、分别在、上，，交于点．若，，则图中两块阴影部分的面积之和为．11．（2019春•泗阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，一条动直线分别与、将于点、，且将矩形分为面积相等的两部分，则点到动直线的距离的最大值为．ABCD ABC ∠AD E 2AB =3BC =CE=ABCD AC BD O O BDAD BC EF AC =30DAO ∠=︒FB ABCD E F AB CD //EF BC EF BD G 5EG =2DF=OABC 6OA =2OC =l BC OA E F OABC Ol三、解答题（共2小题）12．（2019春•苏州期末）如图，在矩形中，点在上，平分．（1）是否为等腰三角形？为什么？（2）已知，，求的长．ABCD E AD EC BED ∠BEC ∆1AB =45ABE ∠=︒BC13．（2019春•江阴市期末）如图，在矩形中，，，点、点分别是边、上的动点，连结、．将与分别沿与折叠，点与点分别落在点，处．（1）当点运动到边的中点处时，点与点重合于点处，过点作于，求的长；（2）当点运动到某一时刻，若，，三点恰好在同一直线上，且，试求此时的长．ABCD 8AB =6BC =P E AB BC DP PE ADP ∆BPE ∆DP PE A B A 'B 'P AB A 'B 'F C CK EF ⊥K CK P P A 'B '4A B ''=AP。

专题. 矩形(培优篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题9.15矩形（培优篇）（专项练习）一、单选题1．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB ＝AD B ．OA ＝OBC ．AC ＝BD D ．DC ⊥BC 2．如图，在矩形ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，过点O 作线段EF 交AD 于F ，交BC 于E ，OB ＝EB ，点G 为BD 上一点，满足EG ⊥FG ，若∠DBC ＝30°，则∠OGE 的度数为（）A ．30°B ．36°C ．37.5°D ．45°3．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，ED CD =，连接BE 、CE ，过点C 作CH BE ⊥于点H ，G 为BE 上一点，连接CG ，=EG CG ．若4BC =，30EBC ∠=︒，则EH 的长为（）A ．4B ．8C ．D ．24．如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3, 4AB AD ==，那么()A ．125PE PF +=B ．121355PE PF <+<C ．5PE PF +=D ．34PE PF <+<5．把一张宽为1cm 的长方形纸片ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点A ，D 互相重合，中间空白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm ）为（）A ．7+B ．7+C ．8+D ．8+6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AB 的中点，将ACD 沿CD 翻折得到ECD ，连接AE ，BE ，则线段BE 的长等于（）A ．75B ．32C ．53D ．1457．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），B ()1,1-，C ()1,2--，D ()1,2-，把一根长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点D 处，并按D →A →B →C →D …的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．()1,1-D ．()1,2--8．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 、G 分别在BC AB 、上，将DCE △、BEG 分别沿DE EG 、翻折，翻折后点C 与点F 重合，点B 与点P 重合．当A 、P 、F 、E 四点在同一直线上时，线段GP 长为（）A 823B ．83C ．53D 5239．如图．每个小正方形的边长为1，格点线段ED 与CG 交于点A ，FH 与DG 交于点B ，连接AB ．有下列结论①CG ED ⊥；②ABD HBD ≅ ；③30CGH ∠=︒；④ 2.5AC =；⑤EAB EFB ∠=∠；⑥ABD △的面积为0.75．其中正确的结论有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．如图，在Rt ACB 中，2BC =，30BAC ∠=︒，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则23=OA C 、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB CO ⊥；④四边形AOBC 的面积为234．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，15BDE ∠=︒，则COE ∠的度数为_______．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为____．AC=，BE平分∠ABC交AD于点E，13．如图，在矩形ABCD中，3AB=，对角线5Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝______．14．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．15．如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____平方厘米．16．如图，在矩形ABCD中，AB BC＝1，将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最小值是_____．17．如图，在矩形ABCD 中，3CD =，对角线5=AC ，点G ，H 分别是线段AD ，AC 上的点，将ACD ∆沿直线GH 折叠，点C ，D 分别落在点E ，F 处．当点E 落在折线CAD 上，且1AE =时，CH 的长为______．18．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，532AB =，5CD =，那么C ∠=________．三、解答题19．已知：矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠，交AB 于点E ，15OCE ∠=︒，求BEO ∠的度数．20．如图，DE 是△ABC 的中位线，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F ．(1)求证：BC ＝DF ；(2)连接CD 、AF ，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是矩形，请说明理由．21．将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，点C 的坐标为点()(),00m m >，点(),1D m 在BC 上，将矩形OABC 沿AD 折叠压平，使点B 落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E ．(1)当3m =时，求点E 的坐标；(2)随着m 的变化，试探索：点E 能否恰好落在x 轴上？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，连接AE ，DE ．(1)如图1，若3AB =，5AD =，求AE 的长；(2)如图2，若点F 是DC 边上的一点，若CF BE =，连结AF 交DE 于G ，①猜想EAF ∠的度数，并说明理由；②若DG DF =，求DF AD 的值．23．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD 是AB 边上的中线，点E ，F 分别在AC ，BC 边上运动（点E 不与点A ，C 重合），且保持90EDF ∠=︒，连接DE ，DF ，EF ．(1)求证：ADE CDF ∆∆≌；(2)求四边形CEDF 的面积；(3)请直接写出三条线段AE ，BF ，ED 之间的数量的关系：_______．24．如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，点E 为边CD 上一动点，连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点F ，连接EF ，DF ，CF ，AF ，DF 与AE 交于点G ．(1)若DE =2，求证：AE //CF ．(2)如图2，连接AC ，BD ，若点F 在矩形ABCD 的对角线上，求所有满足条件的DE 的长．(3)如图3，连接BF ，当点F 到矩形ABCD 一个顶点的距离等于2时，请直接写出△BCF 的面积．参考答案1．A【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A 、AB ＝AD ，则▱ABCD 是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；B 、OA ＝OB ，根据平行四边形的对角线互相平分，AC ＝BD ，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD 是矩形，故本选项正确；C 、AC ＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D 、DC ⊥BC ，则∠BCD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得▱ABCD 是矩形，故本选项正确．故选：A ．【点拨】此题考察矩形的判定，熟记判定定理才可正确解答.2．C【分析】根据矩形和平行线的性质，得30DBC BDA ∠=∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得∠BOE ；根据全等三角形性质，通过证明OBE ODF △∽△，得OE OF =；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得OFG ∠，再根据余角的性质计算，即可得到答案．解：∵矩形ABCD∴//AD BC∴30DBC BDA ∠=∠=︒∵OB ＝EB ，∴180752DBC BOE BEO ︒-∠∠=∠==︒∴75FOG BOE ∠=∠=︒∵点O 为对角线BD 的中点，∴OB OD=OBE △和ODF △中30DBC BDA OB OD BOE DOF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴OBE ODF△∽△∴OE OF=∵EG ⊥FG ，即90EGF ∠=︒∴OE OF OG==∴18052.52FOG OFG OGF ︒-∠∠=∠==︒∴9037.5OGE OGF ∠=︒-∠=︒故选：C ．【点拨】本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．3．A【分析】先证得△CDE 是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC =∠CGB 得到CG =BC =EG =4,说明三角形BCG 为等腰三角形，进而说明GH =BH 、∠CHB =90°，再根据直角三角形的性质求得CH =12BC =2，进而求得GH =BHEH =GH +GE 求解即可．解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠CDA =90°，AD //BC∴∠CDE =90°，∠AEB =∠EBC =30°∵ED =CD∴△CDE 是等腰直角三角形∴∠DCE =∠DEC =45°∴∠CEB =45°-30°=15°∵EG =CG∴∠GCE =∠GEB =15°∴∠CGB =∠GCE +∠CEB =30°∴∠EBC =∠CGB∴CG =BC =4∴EG =4∵CH ⊥BE∴GH =BH ,∠CHB =90°∵∠EBC =30°∴CH =12BC =2,GH =BH ∴EH =GH +EG故选A ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．4．A【分析】设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD 的面积，根据面积关系即可求出答案.解：设AC 、BD 交于点O ，连接OP ，∵3, 4AB AD ==,∴BD=AC=5，∴OA=OD=2.5，∵1134344AOD ABCD S S ==⨯⨯= 矩形，∴3AOP DOP S S += ，∵PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，∴112.5 2.5322PE PF ⨯+⨯=，15()322PE PF ⨯+=，∴125PE PF +=，故选：A.【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD 的面积是解题的关键.5．D【分析】如图，过点M 作MH ⊥A'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A'W 于J ．想办法求出AR ，RM ，MN ，NW ，WD 即可解决问题．解：如图，过点M 作MH ⊥A'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A'W 于J ．由题意△EMN 是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=∵四边形EMHK 是矩形，∴EK=A'K=MH=1，KH=EM=2，∵△RMH 是等腰直角三角形，∴RH=MH=1，，同法可证，题意AR=R A'=A'W=WD=4，∴++4=8+故答案为：D.【点拨】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．6．D【分析】延长CD 交AE 于点H ，作CF AB ⊥，垂足为F ．首先证明DC 垂直平分线段AE ，ABE 是直角三角形，求出AE 的长，在Rt ABE △中，利用勾股定理即可解决问题．解：如图，延长CD 交AE 于点H ，作CF AB ⊥，垂足为F ．在Rt ABC △中，6BC =，8AC =，10AB ∴===．D 为AB 的中点，152AD BD DC AB ∴====．1122ABC S AC BC AB CF ∆=⋅=⋅ ，∴11681022CF 创=创，解得245CF =．由翻折的性质可知AC CE =，AD DE =，CH AE ∴⊥，AH HE ∴=．DC AD = ，1122ADC S AD CF DC AH =⋅=⋅ ，245HE CF ∴==．4825AE HE ∴==．根据折叠的性质有：AD DE =，AD DE BD ∴==，DAE DEA ∴∠=∠，DBE DEB ∠=∠，又180DAE DBE AEB ∠+∠+∠=︒，AEB DEA DEB ∠=∠+∠，90AEB ∴∠=︒，ABE ∴ 为直角三角形．145BE ∴=．故选：D ．【点拨】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．7．A【分析】先求出四边形ABCD 的周长为10，得到2022÷10的余数为2，由此即可解决问题．解：∵A （1，1），B （-1，1），C （-1，-2），D （1，-2），∴AB ∥x 轴，CD ∥x 轴，AD ∥y 轴，BC ∥y 轴，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°，∴四边形ABCD 是矩形，∵AB =1-(-1)=2，BC =1-(-2)=3，∴四边形ABCD 的周长为：2（AB +BC ）=10，∵2022÷10=202…2，且AD =3，∴细线另一端所在位置的点在D 处上面2个单位的位置，坐标为（1，0）．故选：A ．【点拨】本题主要考查了规律型：点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握矩形的周长公式，运用除法得到的余数确定点的位置．8．B【分析】根据矩形的性质得到6CD AB ==，10AD BC ==，90B C ∠=∠=︒，根据折叠的性质得到6DF CD ==，EF CE =，90DFE C DFA ∠=∠=∠=︒，根据勾股定理得到8AF =，设EF CE x ==，由勾股定理列方程得到108AE BE ==，，由折叠的性质得到PG BG =，90APG EPG B ∠=∠=∠=︒，8PE BE ==，求得2AP AE PE =-=，设PG BG y ==，则6AG y =-，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：在矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =，∴6CD AB ==，10AD BC ==，90B C ∠=∠=︒，∵将DCE △沿DE 翻折，翻折后点C 与点F 重合，∴6DF CD ==，EF CE =，90DFE C DFA ∠=∠=∠=︒，∴8AF =，设EF CE x ==，∴10BE x =-，8AE x =+，∵222AB BE AE +=，∴2226(10)(8)x x +-=+，解得：2x =，∴108AE BE ==，，∵将BEG 沿EG 翻折，翻折后点B 与点P 重合，∴PG BG =，90APG EPG B ∠=∠=∠=︒，8PE BE ==，∴2AP AE PE =-=，设PG BG y ==，则6AG y =-，∵222AG AP PG =+，∴222(6)2y y -=+，∴83y =，∴线段GP 长为83，故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．9．B【分析】先证明EFD GMC ≅ ，再逐个选项推理即可．解：如图，由图可得，43EF GM CM DF ====，，90EFD GMC ∠=∠=︒∴()SAS EFD GMC ≅ ，5ED CG ==∴DEF CGM∠=∠∵90CGE CGM ∠+∠=︒，∴90CGE DEF ∠+∠=︒，∴90EAG ∠=︒，∴CG ED ⊥，故①正确；∵1122EGD S DF EG DE AG =⋅=⋅ ，5ED EG ==∴3DF AG ==∴3DF AG CH ===∴()Rt Rt HL AGD HGD ≅ ，∴ADG HDG ∠=∠，1AD DH ==∴()SAS ABD HBD ≅ ，故②正确；∵Rt CGM △中，53CG CM ==，∴2CG CM ≠，∴30CGH ∠≠︒，故③错误；∵5CG =，3AG =，∴2AC CG AG =-=，故④错误；连接BE ，∵()SAS ABD HBD ≅ ∴AB BF =，∵1AD DH ==，5ED CG ==∴4AE EF ==，∵BE BE =，∴()SSS ABE FBE ≅ ∴EAB EFB ∠=∠，故⑤正确；∵矩形DFGH ，∴11313444DBH DFGH S S ==⨯⨯= 矩形，∵()SAS ABD HBD ≅ ，∴34DBH ABD S S == ，∴ABD △的面积为0.75，故⑥正确；综上所述，正确的有①②⑤⑥；故选：B ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．10．B解：在Rt ABC △中，2BC =，30BAC ∠=︒，∴4AB =，AC =，∴若C 、O 两点关于AB 对称，如图1，∴AB 为OC 的垂直平分线，∴OA AC ==，∴①正确；②如图1，取AB 的中点为E ，连接OE 、CE ．∵90AOB ACB ∠=∠=︒，∴122OE CE AB ===．当OC 经过点E 时，OC 最大且C 、O 两点距离的最大值为4，∴②正确；③如图2，当30ABO ∠=︒，90OBC AOB ACB ∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBC 是矩形，∴AB 与OC 相互平分，但AB 与OC 的夹角为60︒、120︒，不垂直，∴③不正确；④如图2，此时四边形AOBC 的面积，24S BC AC =⋅=⨯，∴④不正确．综上所述：正确的有①②，2个结论．故选B ．点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中．11．75【分析】先求出∠ADB，再说明三角形ODC是等边三角形，推出CD=OC，CE=CD，求出CE=OC，求出∠COE=∠OEC和∠OCB=30°即可解答．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC=45°，∵∠BDE=15°，∴∠ADB=∠ADE-∠BDE=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴OA=OD=OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴DC=OC，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴CE=DC∴CE=OC，∴∠COE=∠OEC，∵∠OCB=30°，∴∠COE=12（180°-∠OCE）=75°．故答案为75°．【点拨】本题考查了矩形的性质、、等边三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．12．10825【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，再根据勾股定理求出CF 的长度，进而即可求出S △ECF ．解：如图，连接BF ，，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴=，由折叠可知：BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=431255AB BE AE ∙⨯==，∴BF=245，∵EF=BE=CE ，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：185，S △ECF=12S △BCF=12×12×185×245=10825，故答案为：10825．【点拨】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形的面积公式，掌握知识点是解题关键．13．5【分析】过点Q 作QH BC ⊥于点H ，由矩形的性质并结合勾股定理确定4AD BC ==，再证明QCH PCD △≌△以及BQH 为等腰三角形，即可推导3CH DC ==，1DP QH BH ===，然后由AP AD DP =+计算AP 的长即可．解：过点Q 作QH BC ⊥于点H，如下图，∵四边形ABCD 为矩形，∴90ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒，AD BC =，3DC AB ==，∵3AB =，5AC =，∴4AD BC ====，∵QH BC ⊥，点P 在AD 的延长线上，∴90QHC PDC ∠=∠=︒，∵△PCQ 为等腰三角形，CP ⊥CQ ，∴QC PC =，90QCP BCD ∠=∠=︒，∴QCH QCD QCD PCD ∠+∠=∠+∠，∴QCH PCD ∠=∠，在QCH △和PCD 中，QCH PCD QHC PDC QC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()QCH PCD AAS △≌△，∴3CH DC ==，∴1BH BC CH AD CH =-=-=，∵BE 平分∠ABC ，∴1452QBH ABC ∠==︒，∵QH BC ⊥，∴9045BQH QBH ∠=︒-∠=︒，∴QBH BQH ∠=∠，∴1QH BH ==，∵QCH PCD △≌△，∴1DP QH ==，∴5AP AD DP =+=．故答案为：5．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．14【分析】延长GH 交AD 于M 点，由矩形的性质得出CD =CE =FG =1，BC =EF =CG =3，BE ∥AD ∥FG ，推出DG =CG -CD =2，∠HAM =∠HFG ，由ASA 证得△AMH ≌△FGH ，得出AM =FG =1，MH =GH ，则MD =AD -AM =2，在Rt △MDG 中，根据勾股定理得到GM ，即可得出结果．解：延长GH 交AD 于M点，如图所示：∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是矩形，∴CD =CE =FG =1，BC =EF =CG =3，BE ∥AD ∥FG ，∴DG =CG -CD =3-1=2，∠HAM =∠HFG ，∵AF 的中点H ，∴AH =FH ，在△AMH 和△FGH 中，HAM HFG AH FH AHM FHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMH ≌△FGH （ASA ）．∴AM =FG =1，MH =GH ，∴MD =AD -AM =3-1=2，在Rt △MDG 中，GM==∴GH =12GM．【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．48【分析】如下图，设矩形ABCD 的长为m ，宽为n ，过点F 作BC 、DC 的垂线，利用m 、n 表示出△BFD 的面积，从而得出mn 的大小，进而得出矩形ABCD 的面积．解：如下图，过点F 作BC 、CD 的垂线，分别交于点Q 、G ，设矩形ABCD 的长为m ，宽为n∵点E 是AD 的中点，点F 是EC 的中点，AD=m ，AB=n∴FQ=1122AB n =，FG=12ED =14m 111224BCF S m n mn == 111248DCF S n m mn == 1122BCD S m n mn == ∴168BFD BCD DCF BCF S S S S mn =--== ∴mn=48故答案为：48【点拨】本题考查三角形面积问题，解题关键是利用BFD BCD DCF BCF S S S S =-- 表示出△BFD 的面积，从而推导出mn 的大小．16【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD ＝2，即为B ′D ′的长，作点C 关于BD 的对称点G ，连接CG 交BD 于E ，连接D ′G ，如图，则有CD ′＝GD ′，CE ⊥BD ，CG ＝2CE ，利用三角形的面积可求得CG然后以B ′D ′，GD ′为邻边作平行四边形B ′D ′GH ，可得B ′H ＝D ′G ＝CD ′，于是当C ，B ′，H 在同一条直线上时，CB ′+B ′H 最短，且B 'C +D 'C 的最小值＝CH ，再根据勾股定理即可求出结果．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝1，∠A ＝90°，∴2BD ==，∵将△ABD 沿射线DB 平移得到△A 'B 'D '，∴B ′D ′＝BD ＝2，作点C 关于BD 的对称点G ，连接CG 交BD 于E ，连接D ′G ，如图，则CD ′＝GD ′，CE ⊥BD ，CG ＝2CE ，∵CE ＝13322BC CD BD ⋅⨯==CG 3以B ′D ′，GD ′为邻边作平行四边形B ′D ′GH ，则B ′H ＝D ′G ＝CD ′，∴当C ，B ′，H 在同一条直线上时，CB ′+B ′H 最短，则B 'C +D 'C 的最小值＝CH ，∵四边形B ′D ′GH 是平行四边形，∴HG ＝B ′D ′＝2，HG ∥B ′D ′，∴HG ⊥CG ，∴CH 227HG CG +=．7．【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质和勾股定理等知识，具有一定的难度，利用轴对称和平移的思想把所求B 'C +D 'C 的最小值转化为求CB ′+B ′H 的最小值是解题的关键．17．2或157【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．解：5AC = ，3CD =，222594AD AC CD ∴=--=，当点E 落在AC 上时，将ACD ∆沿直线GH 折叠，CH EH ∴=，1AE = ，4EC ∴=，2CH ∴=；当点E 落在AD 上时，如图2，连接EC ，过点E 作EN AC ⊥于N ，1122AEC S AE CD AC EN ∆=⨯⨯=⨯⨯ ，135EN ∴⨯=⨯，35EN ∴=，45AN ∴==，215NC ∴=，将ACD ∆沿直线GH 折叠，CH EH ∴=，222EN NH EH += ，∴22921()255HC HC +-=，157HC ∴=，综上所述：CH 的长为2或157．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．18．60︒或120︒##120︒或60︒【分析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得Rt DFC 的直角边和斜边的长，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到等边三角形，进而即可求解．解：∠C 存在两种情况：①当C ∠为锐角时，如图，过D 作DF BC ⊥，垂足为F ，取CD 的中点E ，连接EF ，AD //BC ，90A ∠=︒，180A B ∴∠+∠=︒，90B ∴∠=︒，∴四边形ABFD 是矩形，532DF AB ∴==，5CD = ，2225352522CF CD DF ⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎝⎭，∵90DFC ∠=︒，5CD =，∴12EF CE CD ==，∴EF CF CE ==，∴60C ∠=︒；②当C ∠为钝角时，如图，过C 作CF AD ⊥，垂足为F ，取CD 的中点E ，连接EF ，同理①可得60D ∠=︒，又∵//AD BC ，180BCD D ∴∠+∠=︒．∴120BCD ∠=︒综上，60BCD ∠=︒或120︒，故答案为60︒或120︒．【点拨】该题重点考查了直角三角形的性质和等边三角形判定和性质，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为直角三角形问题，从而即可求解.19．75°【分析】根据矩形的性质及CE 平分BCD ∠得到∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，得到BE=BC ，利用15OCE ∠=︒由此得到∠BAC=30°，根据矩形的性质证得△OBC 是等边三角形，得到BC=OB=BE ，由∠EBO=∠BAC=30°求出答案.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，OA=OB=OC=OD ，CD ∥AB ，∵CE 平分BCD ∠，∴∠BCE=∠DCE=45°，∵CD ∥AB ，∴∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，∴BC=BE ，∵15OCE ∠=︒,∴∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC=OB=BE ，∵∠EBO=∠BAC=30°，∴∠BEO=1(180)752EBO -∠= ,故答案为：75°.【点拨】此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，角平分线的性质，题中证得BE=OB 是解题的关键.20．(1)见分析(2)当BC ＝AC 时，四边形ADCF 是矩形，理由见分析．【分析】（1）用平行四边形的定义判定；（2）当BC ＝AC 时，四边形ADCF 是矩形．用DE 是三角形中位线证明BD =AD ，用四边形DBCF 是平行四边形得到CF ∥BD ，CF =BD ，得到AD =CF ，推出四边形ADCF 是平行四边形，根据AC =BC ，BC =DF ，得到AC =DF ，从而平行四边形ADCF 是矩形．解：（1）∵DE 是△ABC 的中位线，∴2DE ＝BC ，DE ∥BC ，∵CF ∥AB ，∴四边形DBCF 是平行四边形，∴BC=DF ；（2）当BC ＝AC 时，四边形ADCF 是矩形，理由如下：∵DE 是△ABC 的中位线，∴DB ＝AD ，∵四边形DBCF 是平行四边形，∴DB ＝CF ，∴AD ＝CF ，∵AB ∥CF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵BC ＝AC ，BC =CF ，∴AC =DF ，∴平行四边形ADCF 是矩形．【点拨】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．21．(1)()0,1．(2)点E 能恰好落在x 轴上．32m =【分析】（1）根据点A 、点D 、点C 的坐标和矩形的性质可以得到点B 和点E 的坐标；（2）由折叠的性质求得线段DE 和AE 的长，然后利用勾股定理得到有关m 的方程，求得m 的值即可．解：（1）当3m =时，点B 的坐标为()3,4，∴3AB BD ==，∴ABD △是等腰直角三角形，∴45BAD ∠=︒，则45DAE BAD ∠=∠=︒，∴90BAE DAE BAD ∠=∠+∠=︒，则E 在y 轴上，且3AE AB BD ===，∴1OE OA AE =-=，则点E 的坐标为()0,1．（2）点E 能恰好落在x 轴上．理由如下：∵四边形OABC 为矩形，∴4BC OA ==，=90AOC ︒∠，由折叠的性质可得：413DE BD OA CD ==-=-=，AE AB OC m ===．假设点E 恰好落在x 轴上，则90DCE ∠=︒，即EC ===则OE OC CE m =-=-在Rt AOE △中，即222OA OE AE +=，即(2224m m +-=，解得m =【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．22．(2)①45EAF ∠=︒，理由见分析；1-【分析】（1）由矩形的性质得3CD AB ==，5BC AD ==，90ADC B C ∠=∠=∠=︒，由角平分线的性质得出45CDE ADE ∠=∠=︒，则CDE 是等腰直角三角形，得出3CE CD ==，推出2BE BC CE =-=，由勾股定理得出AE =（2）①连接EF ，由（1）得CE CD AB ==，B C ∠=∠，由SAS 证得ABE ECF ≌ ，得出AE EF =，BAE CEF ∠=∠，证明AEF △是等腰直角三角形，即可得出结论；②根据矩形的性质得到90ADF Ð=°，求得90DAF DFA ∠+∠=︒，过D 作DM AF ⊥于M ，根据余角的性质得到DAF FDM ∠=∠，得到AE AG =，过A 作AN DE ⊥于N ，根据等腰三角形的性质得到EAN GAN ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AN AB =，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB ==，5BC AD ==，90ADC B C ∠=∠=∠=︒，∵DE 平分ADC ∠，∴45CDE ADE ∠=∠=︒，∴CDE 是等腰直角三角形，∴3CE CD ==，∴532BE BC CE =-=-=，∴AE ===（2）①45EAF ∠=︒，理由：连接EF ，如图所示：由（1）得：CE CD AB ==，B C ∠=∠，在ABE 和ECF △中，AB CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ECF ≌ ，∴,AE EF BAE CEF =∠=∠，∵90BAE BEA ∠+∠=︒，∴90CEF BEA ∠+∠=︒，∴1809090AEF ∠=︒-︒=︒，∴AEF △是等腰直角三角形，∴45EAF ∠=︒；②∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADF Ð=°，∴90DAF DFA ∠+∠=︒，过D 作DM AF ⊥于M ，∴90DMF DMG ∠=∠=︒，∴90FDM DFA ∠+∠=︒，∴DAF FDM ∠=∠，∵DG DF =，∴MDG MDF ∠=∠，由①知，45FDG EAG ∠=∠=︒，∵AGE DGF ∠=∠，∴AEG DFG ∠=∠，∴AEG AGE ∠=∠，∴AE AG =，过A 作AN DE ⊥于N，∴EAN GAN ∠=∠，∵90ANG DNG ∠=∠=︒，∴14522.52EAN GAN MDG FDM DAF ∠=∠=∠=∠=∠=⨯︒=︒，∴90322.522.5BAE ∠=︒-⨯︒=︒，∴BAE NAE ∠=∠，∵,ABE ANE AE AE ∠=∠=，∴(ASA)ABE ANE ≌ ，∴AN AB =，∵45ADN ∠=︒，∴2AN AB =，∴2AB AD =，由①知，ABE ECF ≌ ，∴22AB CE AD ===，(12BE CF BC CE BC ==-=-，∴(1221BC BC DF AB CF AD AD BC --===．【点拨】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．23．(1)证明见分析(2)4(3)2222AE BF ED+=【分析】（1）根据90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD 是AB 边上的中线，得到A DCF ∠=∠，DA DC =，再结合90EDF ∠=︒，得到ADE CDF ∠=∠，即可得到证明；（2）由ADE CDF ∆∆≌可得ADE CDF S S ∆∆=，即可得到四边形CEDF 的面积等于ADC ∆面积，根据中线即可得到答案；（3）由ADE CDF ∆∆≌可得DE DF =，AE CF =，即可得到BF CE =，在Rt DEF ∆用DE 表示EF ，在Rt EFG ∆即可得到答案．解：（1）证明：∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，CD 是AB 边上的中线，∴90ADC ∠=︒∠ADC ＝90°，1452ACD DCB ACB ∠=∠=∠=︒，45A ∠︒＝，CD AD =，∴ACD A ∠=∠，∵90EDF EDC CDF ∠=︒=∠+∠，90ADC EDC ADE ∠=︒=∠+∠，∴ADE CDF ∠=∠，在ADE ∆和CDF ∆中，A DCF DA DC ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ADE CDF ∆∆≌；（2）解：∵ADE CDF ∆∆≌，∴ADE CDF S S ∆∆=，∴ADCCEDF S S ∆=四边形12ABC S ∆=1122AC BC =⨯⨯⨯114422=⨯⨯⨯4=；（3）解：2222AE BF ED +=，理由如下，∵ADE CDF ∆∆≌，∴DE DF =，AE CF =，∵AC BC =，∴BF CE =，在Rt DEF ∆中根据勾股定理可得，EF ==，在Rt EFG ∆中，222EF EC CF =+，∴2222AE BF ED +=．【点拨】本题考查等腰三角形性质：底边上三线合一；直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半；三角形中线性质：分得两个三角形面积相等等于大三角形一半；三角形全等判定与性质及勾股定理．24．(1)证明见详解(2)32=DE 或94(3)3316或125或6-【分析】（1）由2DE =，可以得到E 为CD 中点，由于D 和F 关于AE 对称，可以得到G 为DF 中点，由此得到EG 为CDF ∆的中位线，即可证明；（2）因为点F 在矩形ABCD 的对角线，所以F 点可以落在AC 上，也可以在BD 上，根据题意画出图形，利用垂直平分线的性质，勾股定理，设出参数，列出方程，即可解决；（3）因为点F 到矩形ABCD 一个顶点的距离等于2，所以需要分四类讨论，即顶点分别为A ，B ，C ，D ，根据题意画出图形，利用勾股定理，面积法等知识即可解决．（1）证明：如图1，四边形ABCD 为矩形，4CD AB ∴==，2DE = ，2CE CD DE ∴=-=，2CE DE ∴==，D 和F 关于AE 对称，DG FG ∴=，EG ∴是DFC ∆的中位线，//AE CF ∴；（2）解：①如图2，当点F 在对角线AC 上时，D 和F 关于AE 对称，AE ∴垂直平分DF ，DE EF ∴=，3AD AF ==，设DE EF x ==，则4CE x =-，225AC AD CD += ，532CF AC AF ∴=-=-=，在Rt EFC ∆中，222EF CF CE +=，2222(4)x x ∴+=-，∴32x =，∴32=DE ，②如图3，当点F 在对角线BD 上时，四边形ABCD 为矩形，5BD AC \==， 1122ABD S BD AG AD AB ∆=⋅=⋅，125AG \=，∴2295DG AD AG =-=，设DE x =，GE y =，222DG GE DE += ，∴2229()5y x +=①， 1122ADE S AD DE AE DG ∆=⋅=⋅，∴9123()55x y =⨯+②，联立①②得，2229()59123()55y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得94x =，∴94DE =，∴32=DE 或94；（3）解：①当F 点到A 点距离为2时，32AF AD ==> ，∴此种情况不存在，②当F 点到B 点距离为2时，连接FB ，则2FB =，3AF AD ==，过F 作FH AB ⊥于H ，FQ BC ⊥于Q ，如图4，90FHB ABC BQF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形FHBQ 为矩形，FQ BH ∴=，设BH x =，则AH 4x =-，22222FH AF FH FB BH =-=- ，2249(4)x x ∴-=--，∴118x =，∴118FQ BH ==，133216BCF S BC FQ ∆∴=⋅=，③当点F 到C 点距离为2时，如图5，连接BF ，则2FC =，AF FC AC + ，又5AF FC +=，5AC =，AF FC AC ∴+=，A ∴，C ，F 三点共线，即F 在线段AC 上， 23BCF ABF S CF S AF ∆∆==，22112345525BCF ABC S S ∆∆∴==⨯⨯=；④当点F 到D 点距离为2时，如图6，连接BF ，则2DF =，1DG GF ∴==，2222AG AD DG ∴-=1122ADF S DF AG AD MF ∆=⋅=⋅ ，423MF ∴4243NF MN MF ∴=-=-，1622BCF S BC NF ∆∴=⋅=-即当点F 到矩形ABC 顶点B 的距离等于2时，BCF ∆的面积为3316，当点F 到矩形ABC 顶点C 的距离等于2时，BCF ∆的面积为125，当点F 到矩形ABC 顶点D 的距离等于2时，BCF ∆的面积为62-【点拨】本题是一道四边形综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，方程思想，面积法等知识，结合题意，画出合适的图形，是解决本题的突破口，同时要注意分类讨论思想．。

苏教版八年级数学下册第9章矩形、菱形、正方形同步练习题 (1)

第7课时矩形、菱形、正方形(2)1．下列说法中，正确的是( )A．有1个角是直角的四边形是矩形B．2条对角线相等的四边形是矩形．C．2条对角线互相垂直的四边形是矩形D．有3个角是直角的四边形是矩形2．下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分3．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD 的长度，然后看它们是否相等就可判断了．(1)当AC_______（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是___________________________________．4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝D C．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是_______（填上你认为正确的一个答案即可）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，则四边形ADCE的形状是_______．6．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．(1)四边形EFGH是矩形吗？请证明你的结论；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2 cm，求矩形ABCD的面积．7．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD8．下列说法正确的是( )A．两个角为直角的四边形是矩形B．有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形C．一组对边平行，一个角是直角的四边形是矩形D．两条对角线垂直且相等的四边形是矩形9．□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC 10．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC＝BD．②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有_______（填写序号）．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为_______度时，四边形ABFE为矩形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN于点E．求证：四边形ADCE为矩形．13．如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．(1)求证：△ABF≌△ECF．(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．参考答案1．D 2．D 3．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形4．∠A＝90°5．矩形6．(1)四边形EFGH是矩形．(2)16(cm2)7．B 8．B 9．A 10．①④11．60 12．略13．略考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

苏教版八年级下册数学[矩形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P 是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CB N，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PA N，由A D∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴D N=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【特殊的平行四边形（矩形）例7】【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝12AB ，DF ＝12CD. ∴AE∥CF 且AE ＝CF.∴四边形AECF 是平行四边形.∵CA＝CB ，E 是AB 的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF 是矩形.【总结升华】要证明△BEC 和△DFA 全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF 是矩形，先证明四边形AECF 是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】（2016·黄冈二模）在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF.（1）求证：△BDF ≌△CDE ；（2）若DE=12BC ，试判断四边形BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论.【答案】（1）证明：∵CE ∥BF∴∠CED=∠BFD ，∵D 是BC 边的中点∴BD=DC ．∴在△BDF 与△CDE 中，BFD CED BDF CDE BD DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BDF ≌△CDE （AAS ）；（2）四边形BFCE 为矩形．证明：∵△BDF ≌△CDE ，∴DE=DF ，又∵BD=DC ，∴四边形BFCE 是平行四边形，∵BD=DC ，DE=12BC, ∴BD=DC=ED ，∴∠BEC=90°，∴平行四边形BFCE 为矩形．3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝12AC，OP＝12BD，∴ AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．。

苏教版八年级下册数学[正方形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案】C．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥E F，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a ，在Rt△ADF 中，a 2+（a ﹣）2=4，解得a=，则a 2=2+，∴S 正方形ABCD =2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C ．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（）A．75° B．60° C．55° D．45°【答案】B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、（2016•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。

苏科版数学八年级下册第九章 9.4 矩形、菱形、正方形(选择、填空题)专练(详细答案)

9.4 矩形、菱形、正方形（选择、填空题）一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．43．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.27．如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN 的长为（） A ．B ．C ．﹣D ．2﹣8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE ，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP +PQ 的最小值为（） A ．2B ．C ．2D ．310．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1：S 2等于（）A ．1：B ．1：2C ．2：3D ．4：911．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（） A ．3B ．4C ．5D ．612．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或613．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD 上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对14．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．7515．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G 分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（）A．B．C．D．16．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：=13S ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH，其中结论正确的有（）△DHCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．19．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．20．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF 与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．21．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．23．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=．24．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为．25．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2021B2021C2021的顶点B2021的坐标是．27．如图，在平面内，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF：CE=．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．29．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．30．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．答案与解析一．选择题1．（2021•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱=是解此题的关键．形ABCD3．（2021•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．4．（2021•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．（2021•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．（2021•宜宾）如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2【分析】首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF 求得答案．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB•BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10， ∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24， ∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA•PE +OD•PF=×5×PE +×5×PF=（PE +PF ）=12，解得：PE +PF=4.8．故选：A ．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．（2021•资阳）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（）A．B．C．﹣ D．2﹣【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP=DP=CD=，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG=120°，∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，∴OG=GH•sin60°=2×=，由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM，∠MOG=∠MCG，∴PG==，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC=180°，∴∠MCG+∠OMC=180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM=CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM=OG=，根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴DN +CM=2PG=，∴DN=﹣；故选：C ．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．8．（2021•眉山）如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB 和△CMB 中，对应直角边不相等；③可证明∠CDE=∠DFE ；④可通过面积转化进行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD 中，O 为AC 中点，∴OB=OC ，∵∠COB=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，但BO≠BM，故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE =S△COF，∵S△COF =2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM，∴=，∴S△AOE ：S△BCM=2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．9．（2021•雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．C．2 D．3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD 的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..【解答】解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，故选D．【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．10．（2021•南宁）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．11．（2021•毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．12．（2021•徐州）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6【分析】根据题意列方程，即可得到结论．【解答】解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键．13．（2021•陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON ≌△M′ON′．由此即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．14．（2021•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．15．（2021•呼和浩特）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得=求出EF即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，∴BC=CD=2，∠B=∠C=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∴=，∵BF=，CF=，DF==，∴=，∴EF=，∴正方形EFGH的周长为．故选C．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．16．（2021•昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：=13S ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH，其中结论正确的有（）△DHCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；③同②证明△EHF≌△DHC即可；④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，则S△DHC=13S△DHC，故④正确；∴3S△EDH故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．二．填空题（共14小题）17．（2021•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．18．（2021•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为24．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．19．（2021•盐城）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【分析】延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=AF=0.7，FH=，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．20．（2021•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为3．【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根=BC•FG即可解决问题．据2•S△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，=BC•FG，∴2•S△ABC∴2××（6）2=6•FG，∴FG=3．故答案为3．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，属于中考常考题型．21．（2021•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=15度．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．22．（2021•包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=22.5度．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．23．（2021•黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= 2a．【分析】作FM⊥AD于M，则MF=DC=3a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．【解答】解：作FM⊥AD于M，如图所示：则MF=DC=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∵DC=3DE=3a，∴CE=2a，由折叠的性质得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，∴FP===2a；故答案为：2a．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE=30°是解决问题的关键．24．（2021•湖北襄阳）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为．【分析】先根据ASA判定△AFO≌△BEO，并根据勾股定理求得BE的长，再判定△BFM∽△BEO，最后根据对应边成比例，列出比例式求解即可．【解答】解：∵正方形ABCD∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM∴∠FAO=∠EBO在△AFO和△BEO中∴△AFO≌△BEO（ASA）∴FO=EO∵正方形ABCD的边长为2，E是OC的中点∴FO=EO=1=BF，BO=2∴直角三角形BOE中，BE==由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO∴，即∴FM=故答案为：【点评】本题主要考查了正方形，解决问题的关键的掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质．解题时注意：正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．25．（2021•南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．26．（2021•聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2021B2021C2021的顶点B2021的坐标是（21008，0）．【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．【解答】解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2021÷8=252∴B2021的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2021的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．27．（2021•安徽自主招生）如图，在平面内，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF：CE=1：：1．【分析】连接BD、BF，可证明△ABG∽△DBF，可求得AG：DF，连接CE，可证明△ABG≌△CBE，可求得AG=CE，可求得答案．【解答】解：连接BD、BF和CE，∵四边形ABCD和BEFG均为正方形，∴==，且∠ABD=∠GBF=45°，∴∠ABG+∠GBD=∠GBD+∠DBF，∴∠ABG=∠GBD，∴△ABG∽△DBF，∴，又∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠AGB+∠GBC=∠GBC+∠CBE，∴∠AGB=∠CBE，在△ABG和△CBE中∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE，∴AG：CE=1：1，∴AG：DF：CE=1：：1，故答案为：1：：1．【点评】本题主要考查相似三角形和全等三角形的判定和性质，构造全等或相似三角形是解题的关键．28．（2021•湖北校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE 的最小值为．【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【解答】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB===5，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC，∴CM的最小值==，∴线段DE的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．29．（2021•丹东）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质等，利用等角对等边是解答此题的关键．30．（2021•天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM。

2020—2021年最新苏科版八年级数学下册《矩形、菱形、正方形》解答题考点专项练习及答案.docx

（新课标）苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形（解答题）1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD 剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB 于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD 的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．6．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．8．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD （1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．11．如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．12．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为，∠ABC= °．（直接填写结果）13．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF ⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）14．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC 于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．16．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．19．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE ∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．22．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．23．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C 重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．24．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．25．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．（1）求证：△ABE≌△EGF；（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．27．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C 在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知EO=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．29．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．30．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC 的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．答案与解析1．（2016•安顺）如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE 为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE 为等边三角形．2．（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB 的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF ≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．3．（2016•荆州）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC ∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2016•淮安）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2016•苏州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．6．（2016•枣庄）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF=6，∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°．（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=5，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P′，P 之间运动，∴P′O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．7．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．8．（2016•抚顺）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．9．（2016•沈阳）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE ∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．10．（2016•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．【解答】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED．AF=CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABD．∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．11．（2016•德阳）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA，根据轴对称的性质得到AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根据菱形的判定定理证明结论；（2）根据菱形的性质得到OA=OC，OE=OF，根据三角形中位线定理求出OE，得到答案．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，∴CE=AB=EA，∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，∴AE=AF，CE=CF，∴CE=EA=AF=CF，∴四边形CFAE为菱形；（2）解：∵四边形CFAE为菱形；∴OA=OC，OE=OF，∴OE=BC=5，∴OF=5．【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键．12．（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC 于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是菱形；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为10，∠ABC= 120 °．（直接填写结果）【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，∵AB=10，∴AB=2BO，∵∠AOB=90°∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°．故答案为，120．【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（2016•贺州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC 的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．14．（2016•衢州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC 于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．15．（2016•扬州）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF 折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF ≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．16．（2016•遵义）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．（2016•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．18．（2016•岳阳）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF 与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．19．（2016•福州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M 是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH 最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF 最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．20．（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．21．（2016•南通）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．22．（2016•兰州）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．23．（2016•台州）如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．。

专题9-51矩形、菱形、正方形(最值问题)(专项练习)-八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题9.51 矩形、菱形、正方形（最值问题）（专项练习）一、单选题1．如图，在Rt ABC △中，=90B ∠︒，=4BC ，=5AC ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（）A ．3B ．6C ．8D ． 102．如图，矩形ABCD 中，点M 、N 分别为边AD 、BC 上两动点，且8AB =，10BC =，沿MN 翻折矩形，使得D 点恰好落在边AB （含端点）上，记作点G ，翻折后点C 对应点H ，则NH 的最小值为（）A ．32B C ．95D ．23．如图，平面内三点A 、B 、C ，6AB =，5AC =，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是（）A．6B ．11C ．D 4．如图所示，四边形OABC 是正方形，边长为6，点AC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 点的坐标为20（，），P 是OB 上一动点，则PA PD +的最小值为（）A ．5B ．C ．4D ．65．如图所示，正方形ABCD 的面积为9，ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A ．4.5B ．9C ．2.5D ．36．如图，矩形ABCD 中，8AB =，14BC =，M ，N 分别是直线BC ，AB 上的两个动点，2AE =，AEM △沿EM 翻折形成FEM △，连接NF ，ND ，则DN NF +的最小值为（）A ．14B ．16C ．18D ．207．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为对角线AC 上一动点，90EDP ∠=︒，DE DP =，当点E 从点A 运动到点C 的过程中，EPC ∆的周长的最小值为（）A．2B ．C ．4D ．38．如图，菱形ABCD 中，对角线6AC =，8BD =，M 、N 分别是BC 、CD 上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM PN+的最小值是（）A．125B．165C．245D．59．如图，矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E为BC上一点，且2BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．3B．3.5C．4D．4.510．如图，正方形ABCD中，4AB=，动点E在BC边上，以AE为直角边向上作正方形AEFG，连接DF，则E在运动过程中DF最小值为（）A B．C．D．二、填空题11．如图，在边长为2的等边ABC中，D是AC上一动点，连接BD，以BD、AD为邻边作平行四边形BDAE，则对角线DE的最小值为__________．12．如图，在周长为16的菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB AD 、上，1,3AE AF ==，P 为BD 上一动点，则线段EP FP +长度的最小值为____________．13．如图．在矩形ABCD 中，3AB =，BC =P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60︒到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为________．14．如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 的中点，120CBA ∠=︒，8AC =，点P 为AC 上一动点，求PE PB +的最小值______．15．如图，在矩形ABCD 中，6,10AB BC ==，将矩形沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB AD 、上（含端点），连接CF ，当AF 取得最小值时，折痕EF 的长为___________．16．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，且AE CF =，连接CE DF ，，则CE DF +的最小值为______．17．如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为__．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为正方形内部一点，连接,EA EB ，且ABE DAE ∠=∠，点F 是BC 边上一点，连接,FD FE ，则FD FE +长度的最小值为___________．19．如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF =，连接EF ，DE ，DF ，并将DEF 绕点D 逆时针旋转90︒得到DMN （点M ，N 分别为点E ，F 的对应点）．连接CN ，则线段CN 长度的最小值为_____________．20．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，4AB =，E ，F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE DF =，则AE AF +的最小值为______．三、解答题21．如图，正方形ABCD 中，6CD =，点E 在边CD 上，且3CD DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．(1) 求证：ABG AFG △△≌； (2) 求FGC △的面积；(3) 在3CD DE ≠的条件下，求CEF △周长的最小值．22．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在射线BC 上，且四边形DEFG 是正方形，连接CG ．(1) 求证：AE CG =． (2) ACG ∠=______．(3) 著AB =E 在AC 上移动时，22AE CE +是否有最小值？若有最小值，求出最小值．23．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF DE⊥交DE、DC分别于P、F点，连接PC．(1) 若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；PE=，PC=PF的长；(2)(3) 若正方形边长为4，直接写出PC的最小值________．24．【推理】如图1，在边长为10的正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G，BE与CG交于点M．(1)求证：CE DG=．【运用】CE=，求线段DH的长．(2)如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若6【拓展】(3) 如图3，在【推理】条件下，连结AM ．则线段AM 的最小值为．参考答案1．A【分析】根据点到直线垂线段最短及平行线间距离处处相等，结合勾股定理即可得到答案．解：∵=90B ∠︒，=4BC ，=5AC ，∵3AB ， ∵四边形ADCE 是平行四边形， ∵BC AE ∥，∵当DE BC ⊥时，DE 最小， ∵=90B ∠︒，∵四边形ABDE 是矩形， ∵3DE AB ==，故选A ．【点拨】本题考查矩形判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理及点到直线垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线垂线段最短．2．C【分析】连接NG ，ND ，GD ，由翻折可得∵CDN ∵∵HGN ，则NH ==要求NH 的最小值，即求GN 的最小值，以此得出当点G 与点B 重合时，GN 最小，设NC x =，则NH x =，10GN x =-根据勾股定理即可求解．解：连接NG ，ND ，GD ，以MN 翻折后，点D 与点G 重合，NH NC ∴=，90C H ∠=∠=︒，CD HG =，()CDN HGN SAS ∴△≌△，四边形ABCD 为矩形，8AB =， ∴NH当NH 的最小时，GN 最小，由图可知，当点G 与点B 重合时，GN 最小，设NC x =，则NH x =，10GN x =-，在Rt HNG 中，222GN NH GH =+， 22(10)64x x ∴-=+，解得：95x =，NH ∴的最小值为95．故选：C ．【点拨】本题主要考查折叠问题、勾股定理，解答本题的关键是能找到点G 与点B 重合时，NH 最小，这是解答本题的突破口．3．D【分析】如图将BDA △绕点D 顺时针旋转90︒得到CDM ．由旋转不变性可知：6AB CM ==，DA DM =．90ADM ∠=︒，得出ADM △是等腰直角三角形，推出AD AM =，当AM 的值最大时，AD 的值最大，根据三角形的三边关系求出AM 的最大值即可解决问题．解：如图，将BDA △绕点D 顺时针旋转90︒得到CDM ，由旋转不变性可知：6AB CM ==，DA DM =，90ADM ∠=︒，ADM ∴是等腰直角三角形，AD AM ∴=， ∴当AM 的值最大时，AD 的值最大，AM AC CM +，11AM ∴≤，AM ∴的最大值为11，AD ∴．故选：D ．【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．4．B【分析】要求PD PA +和的最小值，PD ，PA 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PD ，PA 的值，从而找出其最小值求解．解：连接CD ，交OB 于P ，则CD 就是PD PA +和的最小值，∵再直角OCD 中，90COD ∠=︒，2OD =，6OC =，∵CD ==∵PD PA PD PC CD +=+==∵PD PA +和的最小值是故选：B ．【点拨】本题考查了最短路径问题，涉及了正方形的性质、轴对称、勾股定理等知识，解题关键是对这些知识的理解与综合应用．5．D【分析】由于点B 与D 关于AC 对称，所以连接BE ，与AC 的交点即为P 点．此时PD PE BE +=最小，而BE 是等边ABE E 的边，BE AB =，由正方形ABCD 的面积为9，可求出AB 的长，从而得出结果．解：设BE 与AC 交于点P'，连接BD ，DP '，∵点B 与D 关于AC 对称，∵''P D P B =，∵''''P D P E P B P E BE +=+=最小．∵正方形ABCD 的面积为9，∵3AB =，又∵ABE 是等边三角形，∵3BE AB ==．故选：D【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，找到对称点，添加辅助线是关键．6．C【分析】如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接ND '，ED '，由DN ND '=，推出DN NF ND NF '+=+，又2EF EA ==是定值，即可推出当E 、F 、N 、D 共线时，DN NF '+定值最小，最小值ED EF '=-．解：如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接ND '，ED '．在Rt EDD '中，12DE =，16DD '=，20ED '∴．，DN ND '=，DN NF ND NF '∴+=+，2EF EA ==是定值，∴当E 、F 、N 、'D 共线时，NF ND '+定值最小，最小值20218=-=，DN NF ∴+的最小值为18，故选：C ．【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．7．A【分析】先证明△ADE ∵∵CDP （SAS ），求出AE ＝CP ，可得当DE ∵AC 时，△EPC 的周长有最小值，求出DE解：正方形ABCD 的边长为2，2AD CD ∴==，90ADC ADE EDC ∠=∠+∠=︒，AC ∴=DEP ∆中，90EDP CDP EDC ∠=∠+∠=︒，DE DP =，ADE CDP ∴∠=∠，在ADE ∆和CDP ∆中，AD CD ADE CDP DE DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADE CDP ∴∆≅∆（SAS ），AE CP ∴=，CE CP CE AE AC ∴+=+=，∵当DE AC ⊥时，DE 有最小值，此时EP 有最小值，EPC ∆的周长有最小值，又2AD CD ==，90ADC ∠=︒，12DE AC ∴= DEP ∆中，90EDP ∠=︒，DE DP ==2EP ∴=，EPC ∴∆周长的最小值2EP CE CP EP AE CE EP AC =++=++=+=+故选：A ．【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识．分析得出当DE ∵AC 时，△CEP 的周长最小是解题的关键．8．C【分析】根据勾股定理得到AB =5，过N 作NQ ∵AB 于Q 交BD 于P ，过P 作PM ∵BC 于M ，则PM +PN =PN +PQ =NQ 的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论．解：设AC 与BD 交于点O ，∵菱形ABCD 中，AC ∵BD ，6AC =，8BD =，∵OA =3，OB =4，∵AB ，过N 作NQ ∵AB 于Q 交BD 于P ，过P 作PM ∵BC 于M ，则PM +PN =PN +PQ =NQ 的值最小， ∵16852ABCD S NQ =⨯⨯=菱形， ∵NQ =245，即PM +PN 的最小值是245，故选：C ．【点拨】本题考查了轴对称-最短距离问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．9．B【分析】以EC 为边作等边ECH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，可证四边形MHNB 是矩形，可证BN MH =，证明()SAS FEH GEC ≌△△，可得FH GC =，当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，即可求解．解：如图，以EC 为边作等边ECH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，又∵90ABC ∠=︒，∵四边形MHNB 是矩形，∵MH BN =，∵2BE =，∵3EC =， ∵ECH 是等边三角形，HN BC ⊥，∵3EC EH ==， 1.5EN NC ==，60HEC ∠=︒，∵ 3.5BN MH ==，∵FGE △是等边三角形，∵=FE GE ，60FEG HEC ∠=︒=∠，∵FEH GEC ∠=∠，在FEH △和GEC 中，EF GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()SAS FEH GEC ≌△△， ∵FH GC =，∵当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∵点F 与点M 重合时， 3.5FH HM ==，故选：B ．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．B【分析】过点F 作FH BC ⊥，交BC 的延长线于点H ，根据题意，首先证出ABE EHF △△≌，得到FH BE =，EH AB BC ==，进而证出CHF 为等腰直角三角形，得到1452FCH DCH ∠=︒=∠，当E 在BC 上移动时，F 点在DCH ∠的角平分线上移动，当DF CF ⊥时，DF 最短．再证得DFC △为等腰直角三角形，解这个直角三角形得222DC DF =，进一步再求出DF 的最小值，从而得解．解：过点F 作FH BC ⊥，交BC 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是正方形∵90B BCD ∠=∠=︒∵90AEB EAB ∠+∠=︒∵四边形AEFG 是正方形，∵90AEF ∠=︒，AE EF =∵180AEB AEF FEH ∠+∠+∠=︒∵90AEB FEH ∠+∠=︒∵EAB FEH ∠=∠∵FH BC ⊥∵90FHE B ∠=∠=︒∵()ABE EHF AAS △△≌∵FH BE =，EH AB BC ==，∵EH CE BC CE -=-，∵CH BE =∵CHF 为等腰直角三角形∵45FCH ∠=︒∵90DCH ∠=︒ ∵1452FCH DCH ∠=︒=∠ ∵当E 在BC 上移动时，F 点在DCH ∠的角平分线上移动，当DF CF ⊥时，DF 最短 ∵45DCF ∠=︒∵DFC △为等腰直角三角形∵DF FC =∵222DF FC DC +=∵222DC DF =∵4AB =，AB DC =，∵DF ==故选：B ．【点拨】本题主要考查的是线段的最小值的问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握各种图形的性质与判定，确定点的运动轨迹是解本题的关键．11【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD AC ⊥时，线段DE 取最小值．解：如图，AB 与DE 相交于点O ，在ABC 中，60BAC ∠=︒，四边形ADBE 是平行四边形，OD OE ∴=，OA OB =．∴当OD 取最小值时，线段DE 最短，此时OD AC ⊥．点O 是AB 的中点，112OA AB ∴==， 90ODA ∠=︒，1OA =，60BAC ∠=︒，∴=OD2ED OD ∴=【点拨】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．12．4【分析】在DC 上截取DG FD =，连接EG ，则EG 与BD 的交点为P ，EG 的长就是EP FP +的最小值，据此即可求解．解：∵菱形ABCD 的周长为16，∵AB BC CD DA ====4，在DC 上截取DG FD =，连接EG ，则EG 与BD 的交点为P ．∵PF PG =，∵EP FP +PG PE EG =+=，即EG 的长就是EP FP +的最小值，431DG FD AD AF ∴==-=-=，∵1AE =，∵GD AE =，∵四边形AEGD 是平行四边形4EG AD ∴==．故答案为：4．【点拨】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．13．32【分析】以AB 为边向右作等边三角形ABF △，作射线FQ 交AD 于点E ，过点D 作DH QE ⊥于H ，连接PQ ，根据矩形的性质得90ABP BAD ∠=∠=︒，根据ABF △，APQ △都是等边三角形得60BAF PAQ ∠=∠=︒，BA FA =，PA QA =，可得BAP FAQ ∠=∠，用SAS 可证明BAP FAQ ≌，得90ABP AFQ ∠=∠=︒，根据30FAE ∠=︒得60AEF ∠=︒，根据3AB AF ==，30FAE ∠=︒，在Rt AFE 中，设FE x =，则2AE x =，根据勾股定理得，2223(2)x x +=，进行计算得FE =AE =Q 在射线FE 上运动，根据AD BC ==DE =DH EF ⊥，60DEH AEF ∠=∠=︒，得32DH =，根据垂线段最短，即可得当点Q 与点H 重合时，DQ 的值最小，最小值为32．解：如图所示，以AB 为边向右作等边三角形ABF △，作射线FQ 交AD 于点E ，过点D 作DH QE ⊥于H ，连接PQ ，∵四边形ABCD 是矩形，∵90ABP BAD ∠=∠=︒，∵ABF △，APQ △都是等边三角形，∵60BAF PAQ ∠=∠=︒，BA FA =，PA QA =，∵BAP FAQ ∠=∠，在BAP △和FAQ △中，BA FA BAP FAQ PA QA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵BAP FAQ ≌（SAS ），∵90ABP AFQ ∠=∠=︒，∵906030FAE BAD BAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵180180903060AEF AFQ FAE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵3AB AF ==，30FAE ∠=︒，∵在Rt AFE 中，设FE x =，则2AE x =，根据勾股定理得，2223(2)x x +=，239x =，23x =，1x =2x =∵FE =AE =∵点Q 在射线FE 上运动，∵AD BC ==∵DE AD AE =-==∵DH EF ⊥，60DEH AEF ∠=∠=︒，∵32DH =， ∵垂线段最短，∵当点Q 与点H 重合时，DQ 的值最小，最小值为32，故答案为：32．【点拨】本题考查了矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造全等三角形，添加辅助线，本题是中考选择题中的压轴题．14．4【分析】连接DE ，BD ，PD ，对角线相交于点O ，根据菱形的轴对称性可知AC 是BD 的垂直平分线，则PB PE PD PE +=+，故当点D 、E 、P 三点共线时，PD PE +的最小值为DE 的长，再根据等边三角形的判定和性质即可求解．解：连接DE ，BD ，PD ，对角线相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∵AC 是BD 的垂直平分线，AB AD =，AD BC ∥，∵PB PD =，∵PB PE PD PE +=+，∵当点D 、E 、P 三点共线时，PD PE +的最小值为DE 的长，∵AD BC ∥，∵18060DAB ABC ∠=︒-∠=︒，∵ABD △是等边三角形，∵点E 是AB 的中点，∵DE AB ⊥，∵DE 和OA 都是等边三角形ABD △的高， ∵142DE OA AC ===， ∵PD PE +的最小值为4，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，将PD PE +的最小值转化为DE 的长是解题的关键．15．【分析】由FG BC ⊥时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案．解：由折叠易知：AF FG =，∵当FG BC ⊥时，FG 的值最小，∵此时AF 能取得最小值，又∵当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，如图所示：∵四边形ABCD 为矩形，∵90ABC BAD ∠=∠=︒，∵90FGB ABG BAF ∠=∠=∠=︒，∵四边形AEGF 是矩形，根据折叠可知，AF FG =，∵四边形AEGF 是正方形，∵6AB AF ==，∵折痕EF =故答案为：【点拨】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．16．【分析】先连接BE ，将CE DF +转化为CE BE +，再利用将军饮马解决问题即可．解：如图，连接BE ，∵四边形ABCD 是矩形，∵AB CD =，90BAE DCF ∠=∠=︒，∵AE CF =，∵ABE CDF △≌△，∵BE DF =，∵CE DF CE BE +=+，如图，作点B 关于A 点的对称点’B ，连接’CB ，’CB 即为CE BE +的最小值，∵1AB =，2AD =，∵'2BB =，2BC =，∵CB =='，∵CE DF +的最小值为故答案为：【点拨】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将CE DF +转化为CE BE +是解题的关键．17．5【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．解：如图，以EC 为边作等边三角形ECH ，连接FH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，又90ABC ∠=︒，∴四边形MHNB 是矩形，MH BN ∴=，2BE =，4EC ∴=，EHC ∆是等边三角形，HN EC ⊥，4EC EH ==∴，2EN NC ==，60HEC ∠=︒，4BN MH ∴==，FGE ∆是等边三角形，FE GE ∴=，60FEG HEC ∠=︒=∠，FEH GEC ∴∠=∠，在FEH ∆和GEC ∆中，EF GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FEH GEC SAS ∴∆≅∆，FH GC ∴=，∴当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∴点F 与点M 重合时，5FH HM ==，故答案为5．【点拨】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键．18【分析】根据正方形的性质得到90BAC ∠=︒，推出90AEB ∠=︒，得到点E 在以AB 为直径的半圆上运动，设点O 为AB 的中点，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形BPMC ，则点D 的对称点为M ，连接MO ，交BC 于点F ，交半圆于E ，则线段MF 的长即为FD FE +的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD 是正方形，∵90BAC ∠=︒，∵90DAE BAE ∠+∠=︒，∵ABE DAE ∠=∠，∵90ABE BAE ∠+∠=︒，∵90AEB ∠=︒，∵点E 在以AB 为直径的半圆上运动，如图，设点O 为AB 的中点，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形BPMC ，则点D 的对称点为M ，连接MO ，交BC 于点F ，交半圆于E ，则线段MF 的长即为FD FE +的长度最小值，1OE =，∵90P ∠=︒，123,2OP OB PB PM =+=+==，∵OM =∵FD FE +【点拨】此题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决问题，多数情况要作点关于直线的对称点．19．3【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，由旋转的性质得到DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=︒，根据正方形的性质求出CE ，证明()AAS EDC DMP △≌△，得到6CD MP ==，3DP CE CP ===，利用勾股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 的最小值．解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=︒，在正方形ABCD 中，6AB =，E 为BC 中点， ∵132CE BC ==， ∵90EDM ∠=︒，∵90EDC CDM ∠+∠=︒，又90EDC DEC ∠+∠=︒，∵DEC CDM ∠=∠，在EDC △和DMP 中，DCE MPD DEC CDM DE DM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()AAS EDC DMP △≌△，∵6CD MP ==，3DP CE CP ===，∵CM =∵C ，M 位置固定，∵CN MN CM +≥，即3CN +≥∵3CN ≥，即CN的最小值为3，故答案为：3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出CM 的长，得到CN MN CM +≥．20．【分析】在BC 的下方作30CBT ∠=︒，在BT 上截取BT ，使得BT AD =，连接ET AT ，，证明()SAS ADF TBE ≌△△，推出AF ET =，AE AF AE ET +=+，根据AE ET AT +≥求解即可．解：如图，在BC 的下方作30CBT ∠=︒，在BT 上截取BT ，使得BT AD =，连接ET AT ，．∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∵60ADC ABC ∠=∠=︒，1302ADF ADC ∠=∠=︒，∵AD BT =，30ADF TBE ∠=∠=︒，DF BE =，∵()SAS ADF TBE ≌△△，∵AF ET =，∵603090ABT ABC CBT ∠=∠+∠=︒+︒=︒，4AB AD BT ===，∵AT ，∵AE AF AE ET +=+，∵AE ET AT +≥，∵AE AF +≥∵AE AF +的最小值为故答案为：【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．21．(1) 见分析 (2) 185(3) 【分析】（1）根据正方形性质证明690AB AD DC BC B BCD D ====∠=∠=∠=︒，，根据对折性质得到ADE AFE △≌△，从而证明90AB AF B AFG =∠=∠=︒，，根据“斜边，直角边”即可证明Rt Rt △≌△ABG AFG ；（2）先求出24DE EC ==，，进而得到2DE EF ==，设BG x =，则6CG x =-，根据Rt Rt △≌△ABG AFG 得到BG FG x ==，根据勾股定理求出3x =，从而得到3BG FG CG ===，即可得出5EG =，最后求出CGE 的面积，根据35FGC CEG SFG S EG ==即可求解；（3）根据DE EF =，可得CEF △的周长6CD CF CF =+=+，再根据当点A 、F 、C 三点共线是，CF 最小，根据勾股定理求出AC ，即可求解．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∵690AB AD DC BC B BCD D ====∠=∠=∠=︒，，∵ADE 沿AE 对折至AFE △，∵ADE AFE △≌△，∵90AD AF D AFE =∠=∠=︒，，∵90AB AF B AFG =∠=∠=︒，，∵AG AG =，∵()Rt Rt HL ABG AFG △≌△；（2）证明：∵3CD DE =，∵122433DE DC EC DC ====，， ∵ADE AFE △≌△，∵2DE EF ==，设BG x =，则6CG BC BG x =-=-，∵Rt Rt △≌△ABG AFG ，∵BG FG x ==，BGA FGA ∠=∠，∵2EG EF GF x =+=+，∵90ECG ∠=︒，∵()()222642x x -+=+，解得3x =，∵3BG FG CG ===， ∵1143622CEG S CE CG =⋅=⨯⨯=， ∵3FG =，5EG GF EF =+=， ∵35FGC CEG S FG S EG ==，即365FGC S =，解得：185FGC S =．（3）∵ADE 沿AE 对折至AFE △，∵ADE AFE △≌△，∵DE EF =，∵CEF △的周长6CE EF CF CE DE CF CD CF CF =++=++=+=+，∵当CF 最小时，CEF △的周长最小，如图：当点A 、F 、C三点共线是，CF 最小，根据勾股定理得：AC=∵6CF AC AF =-=，∵CEF △的周长最小值666CF =+=+=【点拨】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，熟知相关定理，根据已知条件灵活应用是解题关键．22．(1) 证明见分析 (2) 90° (3) 有最小值，最小值为8【分析】（1）证明()SAS ADE CDG ≅可得结论；（2）利用全等三角形的性质，正方形的性质解决问题；（3）有最小值．连接EG ，ECG 是直角三角形，AE CG =，推出22222AE EC EC CG EG +=+=，求出EG的最小值即可解决问题．解：（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD ，四边形DEFG 都是正方形，∵DA DC =，DE DG =，90ADC EDG ∠=∠=︒，∵ADE CDG ∠=∠，∵()SAS ADE CDG ≅，∵AE CG =；（2）90ACG ∠=︒；证明：∵四边形ABCD 是正方形，45DAC ACD ∴∠=∠=︒，ADE CDG ≅，45DAE DCG ∴∠=∠=︒，90ACG ACD DCG ∴∠=∠+∠=︒；（3）解：有最小值．连接EG ，ECG 是直角三角形，AE CG =，22222AE EC EC CG EG ∴+=+=，∵四边形DEFG 是正方形，EG ∴,DE ∴ 的值最小时，EG 的值最小，根据垂线段最短可知，当DE AC ⊥ ，11222DE AC ===时， 22AE EC + 的值最小，最小值为8．【点拨】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形．23．(1) 见分析 (2) 2 (3) 2【分析】（1）由ADF DCE ∆≅，推出DF CE =，由12EC BC =，BC DC =，推出12DF DC =，即可证明F 点为DC 的中点；（2）延长PE 到N ，使得EN PF =，连接CN ，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．（3）取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，由直角三角形的性质求出2PM =，由勾股定理求出CM =C 、P 、M 共线时，PC 的值最小，则可求出答案．（1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∵,90AD CD BC ADC C ︒==∠=∠=， ∵AF DE ⊥，∵90APD DPF ︒∠=∠=，∵90,90ADP DAF ADP EDC ︒︒∠+∠=∠+∠=， ∵DAF EDC ∠=∠，在ADF △和DCE △中，DAF EDC AD AD ADF DCE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∵()ASA ADF DCE ≌，∵DF CE =，∵点E 为BC 的中点， ∵12EC BC =， ∵BC DC =， ∵12DF DC =， ∵F 点为DC 的中点；（2）延长PE 到N ，使得EN PF =，连接CN ，∵AFD DEC ∠=∠，∵CEN CFP ∠=∠．∵点E 为BC 的中点，∵由（1）可知CE CF =，∵在CEN 和CFP 中，CE CF =，CEN CFP ∠=∠，EN PF =，∵()SAS CEN CFP ≌，∵CN CP =，ECN PCF ∠=∠，∵90PCF BCP ∠+∠=︒，∵90ECN BCP NCP ∠+∠=∠=︒，∵NCP 是等腰直角三角形，∵PN PE NE PE PF =+=+=，∵862PF PE -=-=；（3）取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，∵90APD EPF ︒∠=∠=， ∵122MP MD AD ===，∵CM =∵PM PC CM +≥，∵C 、P 、M 共线时，PC 的值最小，最小值为2．故答案为：2．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．24．(1) 见分析 (2) 143(3) 5 【分析】（1）利用ASA 证明BCE CDG △△≌，得CE DG =；（2）连接HE ，利用等角对等边证明HG HF =，设DH x =，则6GH HF x ==-，由勾股定理得，()2222664x x -+=+，解方程即可；（3）取BC 的中点O ，连接OM ，AO ，利用勾股定理求出AO ，直角三角形斜边上中线的性质得MO 的长，再利用三角形三边关系可得答案．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∵90ADC BCD ∠=∠=︒，DC BC =，∵90DCG BCM ∠+∠=︒，∵正方形ABCD 沿BE 折叠，∵=90BCM ∠︒，∵90CBM BCM =︒∠+∠，∵CBM DCG ∠=∠，∵()ASA BCE CDG △≌△，∵CE DG =；（2）解：连接HE ，∵正方形ABCD 沿BE 折叠，∵BCF BFC ∠=∠，6EF CE ==，∵AD BC ∥，∵HGF BCF ∠=∠，∵BFC HFC ∠=∠，∵HGF HFG ∠=∠，∵HG HF =，设DH x =，则6GH HF x ==-，由勾股定理得，()2222664x x -+=+，解得143x =， ∵143DH =；（3）解：取BC 的中点O ，连接OM ，AO ，则5BO =，AO =∵90BMC ∠=︒，O 为BC 的中点， ∵152MO BC ==， ∵AM AO OM ≥-，∵AM 的最小值为5AO OM -=，故答案为：5．【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．。

八年级数学下册第9章 9.4 矩形、菱形、正方形同步练习(含解析)苏科版(2021学年)

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第９章9.４矩形、菱形、正方形一、单选题（共１2题；共2４分)1、下面说法中，正确的是（)A、有一个角是直角的四边形是矩形ﻫB、两条对角线相等的四边形是矩形ﻫC、两条对角线互相垂直的四边形是矩形ﻫD、四个角都是直角的四边形是矩形２、在▱ABCD中增加下列条件中的一个,这个四边形就是矩形，则增加的条件是（）A、对角线互相平分ﻫB、AB=BCC、∠A+∠Ｃ＝1８０°D、ＡＢ= ＡC3、检查一个门框是矩形的方法是（)A、测量两条对角线是否相等ﻫB、测量有三个角是直角ﻫＣ、测量两条对角线是否互相平分D、测量两条对角线是否互相垂直4、在下列所给出的4个图形中,对角线一定互相垂直的是（)Ａ、长方形B、平行四边形C、菱形D、直角梯形5、如图，矩形ABCD对角线相交于点O, ∠AOB＝６0°，AB＝4，则AＣ的为( ）ﻫA、4B、8ﻫC、4D、106、如图,菱形ＡＢCD中,∠BAD＝120°．若△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( ）ﻫA、2５B、２0C、15ﻫD、1０7、如图,以正方形ABCＤ的一边向形外作等边△ABE,ＢD与EC交于点Ｆ，则∠AＦＤ等于( )ﻫA、60°ﻫB、50°ﻫC、45°ﻫＤ、40°8、如图,将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形,E、Ｆ、G、H分别在AD、AB、BC、ＣD边上,且都是某个小正方形的顶点,若四边形EFＧH的面积为1,则矩形AＢCＤ的面积为（）Ａ、2B、3C、ﻫD、9、如图,在矩形ABCD中,若ＡC=2AB,则∠AOＢ的大小是( ）A、３0°B、4５°C、６0°D、9０°１0、如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cｍ2, 对角线AＣ=２４ｃm,则四边形A ＢCD的周长为( )A、52cｍﻫB、40ｃmﻫC、39ｃmD、26ｃｍ11、在直线Ｌ上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、３，正放置的四个正方形的面积依次是S１、Ｓ2、Ｓ3、S4, 则S１+2Ｓ2+2S3+S4＝( ）A、5ﻫB、4ﻫC、6ﻫD、1012、八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为（)A、B、ｙ= x＋C、D、二、填空题(共6题;共7分)１3、如图,平行四边形ABCD的对角线ＡＣ，BD交于点O，△AＯD是正三角形,AD=4，则平行四边形ＡBCＤ的面积为________．1４、如图,两条宽度为1的带子，相交成∠α,那么重叠部分(阴影部分)的面积是_＿_＿___＿.15、如图,ＢF平行于正方形ＡBＣD的对角线AC,点E在BF上,且AE＝AC，CＦ∥AＥ,则∠ＢＣF的度数为____＿＿__.1６、在四边形AＢＣD中，∠Ａ=∠B=∠C=∠D,则四边形AＢCＤ是________．17、一组邻边相等的________是正方形,有一个角是_＿______角的菱形是正方形．18、如图,在菱形ＡBＣD中，对角线ＡC与BＤ相交于点O,OE⊥AＢ,垂足为E点,若∠ADC＝1３0°,ﻫ则∠AOE=_______＿.ﻫ三、解答题(共５题;共２５分)19、如图,△ＡBC中，∠C=90°，∠BＡC、∠AＢＣ的平分线相交于点Ｄ,DE⊥BC,DF⊥AC，垂足分别为Ｅ、F．问四边形ＣＦDE是正方形吗?请说明理由.20、如图所示，在Rt△ABC中,CF为直角的平分线,ＦＤ⊥CA于Ｄ，FE⊥BC于E,则四边形ＣDFE是怎样的四边形,为什么？21、如图所示，四边形EFGH是由矩形ＡＢCD的外角平分线围成的．求证：四边形ＥＦGH 是正方形.22、如图,在△AＢC中,AＢ＝AC，D为边BC上一点,以ＡB、BD为邻边作平行四边形ＡＢＤE，连接AD、EC . 若ＢD＝ＣD，求证:四边形AＤCＥ是矩形．ﻫ23、正方形的边长为2,建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．答案解析部分一、单选题１、【答案】D【考点】矩形的判定【解析】【解答】解:Ａ、有一个直角的平行四边形是矩形,故错误；B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误;ﻫC、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等,故错误;D、四个角都是直角的四边形是矩形,正确，ﻫ故选Ｄ.【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．２、【答案】C【考点】矩形的判定ﻫ【解析】【解答】解:根据矩形的判定(有一个角是直角的平行四边形是矩形) 可得∠Ａ+∠B=180°,∠A＋∠C=18０°故∠B=∠Ｃ＝９０°增加的条件是∠A+∠C=1８0°.故选C.【分析】根据矩形的判定(有一个角是直角的平行四边形是矩形）．３、【答案】B【考点】矩形的判定【解析】【解答】解:∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴检查一个门框是矩形的方法是：测量有三个角是直角.ﻫ∵对角线相等的平行四边形是矩形,ﻫ∴检查一个门框是矩形的另一个方法是:先测得门框的两组对边是否分别相等,再测其对角线的是否相等.故选Ｂ.ﻫ【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形,可求得答案．4、【答案】C【考点】平行四边形的性质，菱形的性质,矩形的性质,直角梯形【解析】【解答】解:菱形的对角线互相垂直,而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．故选：C.ﻫ【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．5、【答案】B【考点】等边三角形的判定与性质,矩形的性质ﻫ【解析】【解答】∵矩形ＡBCD,∴AC＝BD,AC=２OA=2OBﻫ∵∠ＡOB=60度,ﻫ∴△AOB是等边三角形，ﻫ∴OA=ＡＢ＝4，ﻫ则AC＝2ＯＡ=８.故选B。

2020-2021学年八年级数学苏科版下册第九章 9.4矩形菱形正方形同步基础培优训练题

2020-2021学年苏科版数学八年级下册第九章9.4矩形菱形正方形同步基础培优训练题一、单选题1．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③任意四边形；④对角线互相垂直的四边形A．①③B．②③C．③④D．②④2．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF，只选其中一个添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（）A．84524B．84512C．16912D．825134．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，恰好使的D落在边BC上的点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．如图，菱形ABCD 对角线AC ，BD 交于点O ，15ACB ∠=︒，过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．若菱形ABCD 的面积为4，则菱形的边长为（）A ．22B ．2C ．42D ．46．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若△AEF 是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（）A ．3B ．2+1C ．36+D ．62+ 7．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到矩形A B C D ''''的位置，旋转角为()090αα<<︒，若1110,∠=︒则α∠＝（）A ．10°B ．20°C ．25°D ．30°8．如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ，若7AB =，3AD =，则图中阴影部分的周长为（）A ．10B ．13C ．17D ．209．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BD 交AD 于点E ，已知AB =2，54DOE S=，则AE 的长为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．210．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上．将CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处．PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =．则AF 的长为（）A ．2B ．85C ．175D ．13511．如图，在矩形ABCD 中，在CD 上取点E ，连接AE ，在AE ，AB 上分别取点F ，G ，连接DF ，GF ，AG GF =，将ADF 沿FD 翻折，点A 落在BC 边的A '处，若//GF A D '，且3AB =，5AD =，AF 的长是（）A ．5B ．10C ．52D ．5212．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =5，AC =12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是（）A ．3013≤AM ＜6B ．125≤AM ＜12C ．3013≤AM ＜12D ．125≤AM ＜6二、填空题13．若菱形的一个内角为60°，周长为16，则其面积为_____．14．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A =45°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，直线MN 交AD 于点E ，连接CE ，则CE 的长为____________．15．如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC =8，AE=CF =2，则四边形BEDF 的周长是_____．16．边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．17．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若30,EAB ∠=则BOC ∠=______度．18．如图，矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，BC ＝6，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，G 为AB 上一动点，H 、F 是AD 边上的两动点（点F 在点H 的右边），连接GH 、EF ，若∠AGH ＝∠FED ＝α，将△AGH 沿GH 翻折得到△A'GH ，若GA'的延长线恰好经过点F ，且GF 的长度为5，连接CF 、CA'，则△A'CF 的面积S △A'CF ＝_____．三、解答题19．如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线．（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E、F．垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；=．（2）求证：BE BF=，20．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE AM=．过点E作EF AM⊥，垂足为F，求证：AB EF21．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．22．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且52EG，请计算四边形AODE的周长．23．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．24．如图，在菱形ABCD中，分别过点B作BC的垂线，过点D作CD的垂线交于点E．（1）如图1，若45ABC ∠=︒，连接AE BD ，，求证：AE BD =；（2）如图2，若60ABC ∠=︒，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF BG =．连接BF DG 、，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ．试猜想线段AH BH HD 、、的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，在AH 上取一点P ，使得2HP AP =，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ QP +最小时，直接写出QDCABCD S S △菱形的值．参考答案1．D解：顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形，若四边形的对角线互相垂直，则所得平行四边形为矩形，则满足条件的是②④， 2．C解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =CD ，AB //CD ，∴∠B =∠DCF ，①添加BE =CF ，在△BCE 和△CDF 中BE CFB DCF BC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），②添加CE ⊥AB ，DF ⊥BC ，则∠CEB =∠F =90°，在△BCE 和△CDF 中CEB FB DCF BC CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF （AAS ），③∵添加CE =DF ，不能确定△BCE ≌△CDF ；④添加∠BCE =∠CDF ，在△BCE 和△CDF 中B DCFBC CD BCE CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△CDF （ASA ），故选：C ．3．A解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEO ＝∠BFO ，∠EDO ＝∠FBO ，∵对角线BD 的垂直平分线分别与AD ，BC 边交于点E 、F ， ∴BO ＝DO ，EF ⊥BD ，∴△DEO ≌△BFO （AAS ），∴EO ＝FO ，∵BO ＝DO ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，∴平行四边形BEDF 是菱形，∴BE ＝DE ，∵AB ＝5，AD ＝12，∠A ＝90°，∴BD ＝13，设DE ＝x ，则AE ＝12﹣x ，在Rt △AEB 中，AB 2+AE 2＝BE 2，即52+（12﹣x ）2＝x 2，∴x 16924=，∴BE ＝DE 16924=，在Rt △BEO 中，OE 22221691365()()24224BE BO =-=-=，∴EF ＝2EO 6512=，∴菱形BEDF 的面积116584513221224BD EF =⋅⋅=⨯⨯=，4．B∵四边形ABCD 为矩形，∴90BAD ∠=︒，∵FAE 是由DAE △沿AE 折叠而来，且F 点恰好落在BC 上， ∴12FAE DAE DAF ∠=∠=∠，∵906030DAF BAD BAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴130152DAE ∠=⨯︒=︒．5．A解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD ＝2∠ACB ＝30°，∵CE ⊥AD ，∴∠CED ＝90°，∴CE ＝12DC ＝12AD ，∴菱形ABCD 的面积＝AD•CE ＝AD•12AD ＝12AD 2＝4，∴AD ＝22（负值舍去），即菱形的边长为22，6．D由题知：△AEF 是边长为2的等边三角形，∴∠EAF ＝60°，AE ＝AF ，∴∠BAE +∠DAF ＝30°，又AB ＝AD ，AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴∠BAE ＝∠DAF ＝15°，如图，作∠AEH ＝∠BAE ＝15°，交AB 于H ，∴∠BHE ＝30°，AH ＝HE ，∴HE ＝2BE ＝AH ，BH ＝3BE ，∴AB ＝（2+3）BE ， ∵AE 2＝BE 2+AB 2，∴4＝BE 2+（2+3）2×BE 2，∴BE ＝22(3﹣1）＝62-，∴AB ＝（2+3）BE ＝62+，7．B如图所示：根据旋转的性质知：∠D ′=∠D =90°，∠DAD ′=α，∵90B D '∠=∠=︒，∴23180∠+∠=︒．∴3180218011070∠=︒-∠=︒-︒=︒．∵∠DAD ′=α，∴903907020α=︒-∠=︒-︒=︒．8．D解：∵四边形ABCD 为矩形，∴B ′C =BC =AD ，∠B ′=∠B =∠D =90°，∵∠B ′EC =∠DEA ，在△AED 和△CEB ′中，DEA BE CD B AD B C∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，∴△AED ≌△CEB ′（AAS ）；∴阴影部分的周长为AD +DE +EA +EB ′+B ′C +EC=AD +DE +EC +EA +EB ′+B ′C=AD +DC +AB ′+B ′C=3+7+7+3=20，故选：D ．9．A解：连接BE ，如图所示：由题意可得，OE 为对角线BD 的垂直平分线，∴BE =DE ，S △BOE =S △DOE =54， ∴S △BDE =2S △BOE =52，∴12DE •AB =52，又∵AB =2，∴DE =52，∴BE =52，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE =22BE AB -=1.5，故选：A ．10．B∵四边形ABCD 是矩形∴90A B C ∠=∠=∠=︒，4CD AB ==，3AD BC ==根据折叠的性质，得：4DE CD ==，PE PC =， 90∠=∠=︒E C在PBO 与FEO 中POB FOE OP OF⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴()PBO FEO AAS ≅∴PB EF =，OB OE =∴PE OP OE OF OB BF =+=+=设AF x =，则4PE BF PC x ===-∴1PB EF BC PC x ==-=-∴4(1)5DF DE EF x x =-=--=-在Rt DAF △中，由勾股定理得： 2223(5)x x +=- 解得：85x =即85AF =故选：B11．A解：连接AA '由折叠得，∠5DAF DA F A F AF A D AD '''=∠===，，，∵//GF A D '∴∠GFA FA P DAE '=∠=∠∵AG GF =∴∠GAF GFA =∠∵∠90GAF DAF +∠=︒∴∠90GFA GFA '+∠=︒∴△AFA '是等腰直角三角形，∴2AF AA '= ∵∠9053A CD A D CD AB ''=︒===，，∴224A C A D CD ''=-=∴541A B BC A C ''=-=-=∴22223110AA AB A B ''=+=+=∴2105AF =⨯=故选：A ．12．A解：在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝12，∴BC ＝2251213+=，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴∠PEA ＝∠PFA ＝∠EAF ＝90°，∴四边形AEPF 是矩形，∵M 是EF 的中点，∴延长AM 经过点P ，∴EF ＝AP ，AM ＝12EF ＝12PA ，当PA ⊥CB 时，PA ＝512601313⨯=，∴AM 的最小值为3013，∵PA ＜AC ，∴PA ＜12，∴AM ＜6，∴3013≤AM ＜6，故选：A ．13．83解：如图，∵菱形的周长为16，∴边长AB ＝BC ＝16÷4＝4，∵一个内角∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则114222BE BC ==⨯=，根据勾股定理，22224223AE AB BE =-=-=，所以，菱形的面积为4×23＝83．故答案为：83．14．26解：连接BE ，如图：由题意可知，MN 垂直平分AB ，∴AE =BE ，∴45,EBA A ∠=∠=︒∴ ∠AEB =90°，在等腰直角三角形ABE 中，AB =4，由22224,AE BE AB +== ∴BE AE 22,==∵四边形ABCD 为菱形，∴//AD BC ，∴∠EBC =∠AEB =90°，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：()224222 6.CE =+=15．85．解：如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD =OB =OA =OC ，∵AE =CF =2，∴OA -AE =OC -CF ，即OE =OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ，∴四边形BEDF 为菱形，∴DE =DF =BE =BF ，∵AC =BD =8，OE =OF =842-=2，由勾股定理得：222242=25DE OD OE =+=+，∴四边形BEDF 的周长=4DE 55故答案为：516．2a 2解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积＝（2a ）2+a 2﹣12•2a•3a＝4a 2+a 2﹣3a 2＝2a 2．故答案为：2a 2．17．120解：∵四边形ABCD 是矩形∴AO BO =∵AE ⊥BD ，30EAB ∠=︒∴60ABE ∠=︒，∴ABO ∆是等边三角形，∴60BAO ∠=︒∴6060120BOC ABO BAO ∠=∠+∠=︒+︒=︒ 故答案为：120．18解：在矩形ABCD 中，ED 平分∠ADC∴∠EDC=45°∵∠DCE=90°∴∠DEC=45°∴△ECD 是等腰直角三角形∴EC=DC∵BC=2AB=2DC∴E 为BC 中点 ∴132EC DC BC ===∵△AGH 翻折到△A GH '∴△AGH A GH '≅∆∴∠A GH AGH α'=∠=∴AH A H '=∵∠HFA AGH '=∠AH A H '=∠FA H GAH '=∠∴△FA H GAH '≅∆∴△,AGH △,A GH '△A FH '全等， ∴∠AHG GHA FHA ''=∠=∠1180603=⨯︒=︒ ∴3532AF GF ==∴536FD =-∴2223FC DC FD =+=∴∠30FED AGH =∠=︒∴∠90FA C FCA ''+∠=︒，∴FC A F '⊥∴12A CF S A F FC '∆'=⋅⋅152322=⨯⨯352=．19．（1）解：如图所示：EF 即为所求；（2）证明：连接BE ，四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，ADB CBD ∴∠=∠． EF 垂直平分线段BD ，BO DO ∴=，90DOE BOF ==︒∠∠．在DEO ∆和BFO ∆中，ADB CBDDO BO DOE BOF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)DEO BFO ∴△≌△，OE OF ∴=，又BD EF ⊥，∴BD 垂直平分EF ，BE BF ∴=．20．证明：四边形ABCD 为正方形，90B ∴∠=︒，//AD BC ，EAF BMA ∴∠=∠，EF AM ⊥∵，90AFE B ∴∠=︒=∠，在ABM 和EFA △中，90EAF BMAAFE B AE AM∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABM EFA AAS ∴△≌△，AB EF ∴=．21．（1）证明：∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，∴BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，∵BE DFB D BC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF ，∴CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：∵ABCD 是菱形，∠B ＝80°，∴∠A ＝100°，∵AE ＝AF ， ∴180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒由（1）知CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CEF ＝60°，∴∠CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B ＝∠CEB ，∴BC ＝CE ．22．解：（1）四边形AODE 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90AOD ∠=︒．∵EA AO ⊥，DO OA ⊥，∴90EAO DOA ∠=∠=︒，∴四边形AODE 是矩形．（2）由（1）知，四边形AODE 是矩形，∴90AED ∠=︒．∵点G 是矩形AODE 对角线AD 的中点，∴1522EG AD ==， ∴5AD =．∵四边形AODE 的面积为12，∴12AO OD ⋅=．在Rt AOD △中，由勾股定理，得22225AO OD AD +==，∴222()2252449AO OD AO AO OD OD +=+⋅+=+=，∴7AO OD +=，即四边形AODE 的周长为14．23．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCF ＝90°，在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴CG ＝12FD ，同理，在Rt △DEF 中，EG ＝12FD ，∴CG ＝EG ．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG ＝CG ．证法：如图，连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点，在△DAG 与△DCG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△DAG ≌△DCG （SAS ），∴AG ＝CG ；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N，∵G为FD中点，∴FG=GD，∵MF∥CD，∴∠FMG=∠DCG，∠GDC=∠GFM，∴△CDG≌△MFG，∴CD＝FM，∵NF∥BC，∴∠NFH+∠NHF=∠EHB+∠EBH，又∵∠NHF=∠EBH，∴∠NFH =∠EBH ，∴∠EFM ＝∠EBC ，又∵BE =EF ，则△EFM ≌△EBC ，∠FEM ＝∠BEC ，EM ＝EC∵∠FEC +∠BEC ＝90°，∴∠FEC +∠FEM ＝90°，即∠MEC ＝90°，∴△MEC 是等腰直角三角形，∵G 为CM 中点，∴EG ＝CG ，EG ⊥CG ．24（1）如图，延长BA 交DE 于点M ．∵四边形ABCD 为菱形，45ABC ∠=︒，∴45MAD ADC ∠=∠=︒，∵DE CD ⊥，∴904545ADM CDM ADC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴180180454590AMD MAD ADM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，MA MD =．∵EB BC ⊥∴90904545EBM ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴45BEM ∠=︒，∴BM EM =．在BMD 和EMA 中，90BM EMBMD EMA MD MA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()BMD EMA SAS ≅． ∴BD AE =．（2）如图，连接BD ，取BF 上一点N ，使BN =DH ，连接AN ，EC ，作AO HN ⊥于点O ．在Rt EBC 和Rt EDC 中BC DC EC EC =⎧⎨=⎩， ∴()EBC EDC HL ≅，∴EB ED =，由题意可知1302ABD ADB ABC ∠=∠=∠=︒， ∵90EBC EDC ∠=∠=︒, ∴1302ABE ADE ABC ∠=∠=∠=︒， ∴60DBE BDE ∠=∠=︒，∴BDE 为等边三角形．∴EB BD ED ==，∴6060120BEF DBE BDE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，9030120DBG CBG CBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，即BEF DBG ∠=∠．在BEF 和DBG △中，EF BG BEF DBG BE DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DB BEF G SAS ≅．∴D EBF B G ∠=∠，∵30ABD ADB ABE ADE ∠=∠=∠=∠=︒，∴EBF ABE ADB BDG ∠+∠=∠+∠，即ABN ADH ∠=∠，在ABN 和ADH 中，AB AD ABN ADH BN DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AD ABN H SAS ≅．∴AN AH =，H NAB AD =∠∠，∵120BA HAD H ∠=∠+︒，∴120BA NAB H +∠=∠︒，∴30AHO ∠=︒，∴2AO AH =，32NH AO HO ==，∴32NH AH=，∴3BH BN AH +=， ∴3BH HD AH +=．（3）取P 关于DE 的对称点P '，连接BP '交DE 于点Q ，此时BQ +PQ 最小，即为BP '，∵90CDQ ∠=︒，∴12QDC S CD DQ =⨯，3ABCD S CD =菱形，又∵30QDA ∠=︒，2AP =HP∴点Q 为BA 延长线上的点，∴AQ DQ ⊥，∴33DQ AD ，∴1131222===233QDCABCDCD DQ CD CDSSCD CD CD CD⨯⨯⨯⨯菱形．。

苏科版八年级下册数学第九章矩形的性质拓展提升训练

矩形的性质一、选择题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2、下面说法中正确的是（）.A.平行四边形的两条对角线的长度相等.B.有一个角是直角的四边形是矩形.C.矩形的两条对角线互相垂直.D.矩形的对角线相等且互相平分.3、下列说法在确的有（）(1)矩形的四个角相等。

(2)矩形的两条对角线相等且互相垂菌平分。

(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。

(4)矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

A.1个B.2个C.3个D.4个4、如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，BC交AD于E，下列结论不一定成立的是（）A、AD=BCB、∠EBD=∠EDBC、∠BED=120°D、△ABE≌CDE二、填空题5、矩形是轴对称图形，对称轴是_____________________，又是中心对称图形，对称中心是_________________________。

6、矩形两对角线把矩形分成______________个等腰三角形。

7、若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交所成的锐角是_______。

8、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置，若∠EFB=60°，则∠AED'的度数为______。

9、如图，矩形ABCD中对角线AC、BD交于点0，∠B0C=2∠AOB，若AC=1. 8cm，则AB=_______。

10、如图，把两个完全相同的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC=_______，∠FCA=________。

11、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC于E。

则BE的长是_________。

12、矩形一个角的平分线分矩形的一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为_____cm2。

第4题第8题第9题第10题第11题第13题三、解答题13、如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点0，AE 平分∠BAD，若∠EA0=15°，求∠B0E 的度数。

苏科版八年级下册9.4矩形的判定课后训练

苏科版八年级下册9.4（2）矩形的判定课后训练（有答案）八下9.4（2）矩形的判定课后训练一、选择题1.下列几何体中，从正面看和从左面看都为矩形的是()A. B. C. D.2.下列判断正确的是()A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线互相平分的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.两条对角线互相垂直的四边形是矩形3.平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是()A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD4.四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，添加下列条件之一，不能使四边形ABCD是矩形的是()A.∠B=90°B.∠C=90°C.AB//CDD.AD=BC5.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，BF⊥CD交DC的延长线于点F，若BE=2，则四边形ABCD的面积为()A.2B.3C.4D.66.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面是某合作学习小组的4名同学设计的方案，其中正确的是()A.测量对角线是否互相平分C.测量其中三个角是否都为直角B.测量两组对边是否分别相等D.测量一组对角是否都为直角1/12C 7. 对于四边形 ABCD ，给出下列 4 组条件：①∠A = ∠B = ∠C = ∠D ；②∠B = ∠C = ∠D ；③∠A = ∠B ，∠C = ∠D ；④∠A = ∠B = ∠C = 90°，其中能得到“四边形 ABCD 是矩形”的条件有( ) A. 1 组B. 2 组C. 3 组D. 4 组8.如图，在△ ABC 中，AB = 3，AC = 4，BC = 5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥ AB 于 E ，PF ⊥ AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为()A. 5B. 4 5C.25 D. 36 5二、填空题9. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，OA = OC ，OB = OD ，添加一个条件使四边形 ABCD 是矩形，那么所添加的条件可以是______ (写出一个即可)． 10. 如图，已知MN//PQ ，EF 与 MN ，PQ 分别交于 A 、两点，过 A 、C 两点作两组内错角的平分线，分别交于点 B 、D ，则四边形 ABCD 是______ ．11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E ，使DE = AD ，连接 EB ，EC ，DB.请你添加一个条件________，使四边形 DBCE 是矩形．12. 命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是_______________________________________． 13. 已知：线段 AB ，BC ，∠ABC = 90°．求作：矩形 ABCD ．以下是甲、乙两同学的作业：甲：①以点 C 为圆心，AB 长为半径作弧；②以点 A 为圜心，BC 长为半径作弧；③两弧在 BC 上方交于点 D ，连接 AD ，CD ，四边形 ABCD 即为所求矩形．(如图1)乙：①连接 AC ，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M ；②连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D ，使MD = MB ，连接 AD ，CD ．苏科版八年级下册9.4（2）矩形的判定课后训练（有答案）四边形ABCD即为所求矩形．(如图2)老师说甲、乙同学的作图都正确甲的作图依据是：______；乙的作图依据是：______．14.木工师傅要做一个矩形桌面，做好后量得邻边分别为70cm、60cm，两条对角线都为100cm，则这个桌面______.(填“合格”或“不合格”)15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是______．三、解答题16.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．3/12C A 若， 17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F ，连接 BF ．(1)求证AB = CF ；(2)当 BC 与 AF 满足什么数量关系时，四边形 ABFC 是矩形，并说明理由．18. 如图，已知MN//PQ ，同旁内角的平分线 AB ，CB 相交于 B ，AD ，CD 相交于 D ，则四边形 ABCD 是矩形吗⊕为什么⊕19. 平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，若 E 、F 是线段 AC 上的两动点，分别从 A 、两点以1 cm/s 的速度向 C 、运动， BD= 12 cm AC = 16 cm ．(1)四边形 DEBF 是平行四边形吗？请说明理由； (2)当运动时间 t 为多少时，四边形 DEBF 是矩形．苏科版八年级下册9.4（2）矩形的判定课后训练（有答案）5/12答案和解析1.B解：选项A，从正面看和从左面看都为圆，故选项A不合题意；选项B，从正面看和从左面看都为矩形，故选项B符合题意；选项C，从正面看和从左面看都为三角形，故选项C不合题意；选项D，从正面看为矩形，从左面看为圆，故选项D不合题意．2.C解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形；故本选项错误；B、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形；故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误．3.B解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．4.A解：由矩形的判定定理可知：∠B=90 ∘不能使四边形ABCD是矩形．5.C6.C解：A.对角线是否相互平分，能判定平行四边形;B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形;C.一组对角是否都为直角，不能判定形状;苏科版八年级下册9.4（2）矩形的判定课后训练（有答案）D.其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．7.B解：①∠A=∠B=∠C=∠D能得到四个角都是直角，故①正确；②由∠B=∠C=∠D不可以得到矩形，故②错误；③邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误；④∠A=∠B=∠C=90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；∴正确的有2个，8.D解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=1EF=1AP．22因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于12，5∴AM的最小值是6．59.AC=BD或∠ABC=90°解：添加的条件是：AC=BD或∠ABC=90°；理由如下：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC=BD时，四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)；当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．10.矩形证明：∵MN//PQ，∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，∴∠BAC=1∠MAC、∠DCA=1∠ACQ，227/12又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA，∴AB//CD，∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，∴∠BCA=1∠ACP、∠DAC=1∠NAC，22又∵∠ACP=∠NAC，∴∠BCA=∠DAC，∴AD//CB，又∵AB//CD，∴四边形ABCD平行四边形，∵∠BAC=1∠MAC，∠ACB=1∠ACP，22又∵∠MAC+∠ACP=180°，∴∠BAC+∠ACP=90°，∴∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，11.EB=DC(答案不唯一)解：添加EB=DC.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴DE//BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是EB=DC(答案不唯一)．12.“四个角都是直角的四边形是矩形”解：甲的作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形；乙的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形；14.不合格解：∵702+602≠1002，∴长、宽、对角线不能组成直角三角形，∴这个桌面不合格．2 2苏科版八年级下册 9.4（2）矩形的判定课后训练（有答案）15.6 ≤ AM < 2 5解：连接 AP ，∵ PE ⊥ AB ，PF ⊥ AC ，∴ ∠AEP = ∠AFP = 90°，∵ ∠BAC = 90°，∴四边形 AEPF 是矩形，∴ AP = EF ，∵ ∠BAC = 90°，M 为 EF 中点，∴ AM = 1 EF = 1 AP ，2 2∵在Rt △ ABC 中，∠BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，∴ BC = √AB 2 + AC 2 = 5，当AP ⊥ BC 时，AP 值最小，此时△?? BAC = 1 × 3 × 4 = 1 × 5 × AP ，∴ AP = 12，即 AP 的范围是AP ≥ 12， 55∴ 2AM ≥ 12，5∴ AM 的范围是AM ≥ 6，5 ∵ AP < AC ，∴ AP < 4，∴ AM < 2，∴ 6 ≤ AM < 2．516.(1)证明：∵ AF//BC ，∴ ∠AFE = ∠DCE ，∵ E 是 AD 的中点，∴ AE = DE ，△在 AEF △和DEC 中，∠AFE = ∠DCE{∠AEF = ∠DEC ，AE = DE∴ ΔAEF ≅ ΔDEC ，9 / 12∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=DC，则D是BC的中点．(2)解：当AB=AC时，四边形AFBD是矩形，∵ΔAEF≅ΔDEC，∴AF=CD，∵AF=BD，∴CD=BD，∵AF//BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=DC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形．17.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB=EC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF；(2)解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形.理由：∵AB//CF，AB=CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC=AF，∴四边形ABFC是矩形．苏科版八年级下册9.4（2）矩形的判定课后训练（有答案）18.解：(1)设运动时间为t，由题意得：AE=CF=t．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∴EO=FO，∴四边形DEBF是平行四边形；(2)∵AO=CO=1AC=8cm，BO=DO=1BD=6cm，22∴当OE=OB时，即AO−AE=BO时，8−t=6，此时t=2，或如图2当OF=OB时，即t−8=6，此时t=14．∴当t=2s或14s时，四边形DEBF是矩形．19.解：四边形ABCD是矩形．理由：证明：∵MN//PQ，∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，∴∠BAC=1∠MAC、∠DCA=1∠ACQ，22又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA，∴AB//CD，∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，∴∠BCA=1∠ACP、∠DAC=1∠NAC，22又∵∠ACP=∠NAC，∴∠BCA=∠DAC，∴AD//CB，又∵AB//CD，∴四边形ABCD平行四边形，∵∠BAC=1∠MAC，∠ACB=1∠ACP，22又∵∠MAC+∠ACP=180°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°，11/12∴平行四边形ABCD是矩形．。

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苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1．（2016·攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（）.
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D. 矩形的对角线互相垂直且平分
2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．
A. 3.6cm
B. 7.2cm
C. 1.8cm
D. 14.4cm
3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．
A.14cm
B.28cm
C.20cm
D.22cm
4．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )
A. B. C. D.
5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小
组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角
6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点
E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）
A.23
B.33
C.4
D.43
二.填空题
7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．
8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，
折痕为EF，则DE＝__________cm.
10.（2016·湖北校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边
AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为________.
11.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则
AB的长为．
12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，
EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.
三.解答题
13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，
求∠ADB的度数和BD的长.
14.（2015秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边
CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．
15.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.
求证：四边形BCED是矩形．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B；
【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；
∵矩形的对角线相等且互相平分∴B正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直∴D不正确；
2.【答案】B；
【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.
3.【答案】B；
【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.
4.【答案】D；
【解析】∠2＞∠1.
5.【答案】D；
6.【答案】A；
【解析】先证△ADF≌△BEF，则DF为△ABC中位线，再证明四边形BCDE是矩形，BE3，
可求面积.
二.填空题
7．【答案】5，53；
【解析】可证△AOB为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO.
8．【答案】34 2；
【解析】由勾股定理算得斜边AB34CD＝1
2
AB
34
2
9.【答案】5.8；
【解析】设DE ＝x ，则AE ＝AB －BE ＝AB －DE ＝10－x .在Rt△ADE 中，由勾股定理可得
AD 2＋AE 2＝DE 2，即()2
22410x x +-=，解得x ＝5.8. 10.【答案】125；【解析】如图，连接CM ，
∵MD ⊥AC ，ME ⊥CB ，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME 是矩形， ∴DE=CM ，由勾股定理求得AB=5，
当CM ⊥AB 时，CM 最短，此时△ABC 的面积=
12AB ·CM=12
BC ·AC ， ∴CM 最小值=125BC AC AB ⋅=，∴线段DE 的最小值为125. 11.【答案】5；
【解析】∵矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，
∴AB=CD，BE=CE ，∠B=∠C=90°，
可证得△ABE≌△DCE（SAS ），
∴AE=DE ，
∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°，
∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴AB=BE=AD=×10=5．
12.【答案】12；
【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF ∥CG ，EG ∥CA ，求出∠BEG
＝∠B ，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG ＝AC ＋BC ，代入求出即可．
三.解答题
13.【解析】
解：由矩形的性质可知OD ＝OC.
又由OE∶BE＝1∶3可知E 是OD 的中点.
又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC ＝CD ，即OC ＝CD ＝OD ，
即△OC D 是等边三角形，故∠CDB＝60°.
所以∠ADB＝30°.
又因为CD ＝2OF ＝8，
即BD ＝2OD ＝2CD ＝16.
14.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，即DF ∥BE ，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC=90°，
∵CF=9，BF=12，
∴BC==15，
∴AD=BC=15，
∴AD=DF=15，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
15.【解析】
证明：在△ADB和△AEC中，
∵ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC．
∴△ADB≌△AEC，∴ BD＝CE．
又∵ DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形．
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC
即∠DAC＝∠BAE．
在△DAC和△EAB中，
∵ DA＝EA，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB．
∴△DAC≌△EAB，∴ DC＝EB．
∴四边形BCED是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．。