计算方法-插值方法共34页

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地统计内插方法克里金插值(Kriging)共45页

event falls within a certain range • The elevation in an area
8.1 Introduction
Some common summary statistics: –Measurements of location: mean, median –Measurements of spread: variance, standard deviation, coefficient of variation –Measurements of shape: coefficient of skewness
•What are the elevation values in an unmeasured location? •How to infer elevation values from other measurements in the same and other locations?
8.1 Introduction
8.1 Introduction
Review of Probability
•Frequency table records how often (in terms of percentage) observed values fall within certain intervals or classes.
8.2 Random Field
8.1 Introduction
Probability density function (PDF): p(u)– Discrete PDF: assigns a probability to each event • The outcome of flipping a coin • The number of road in an area Continuous PDF: determines the probability that an

三次埃尔米特插值

《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。

由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。

为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。

为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。

在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。

通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。

分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。

一维插值

Ln ( x) an x an1 x
n
n 1
a1 x a0 (1)
a n x 0n a n1 x 0n1 a1 x 0 a 0 y 0 a n x1n a n1 x1n1 a1 x1 a 0 y1 n n a n x n a n 1 x n 1 a 1 x n a 0 y n
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拉格朗日(Lagrange)多项式插值
已知三点（x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), 求过这三点的多项式。
L2 ( x ) a 2 x 2 a1 x a 0
则
2 a 2 x 0 a1 x 0 a 0 y 0 2 a 2 x 1 a1 x 1 a 0 y1 a x 2 a x a y 1 2 0 2 2 2
称为拉格朗日插值基函数。
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拉格朗日(Lagrange)多项式插值
例将[0,/2] n等分，在g(x)=cos(x)上取n+1个节点，作Pn(x)（取n=1,2) ,计算 Pn(/6),与 cos(/6)比较, 观察误差。解: n=1, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0), x x0 x x1 L0 , L1 x 0 x1 x1 x 0 1 P1(x)=y0L0+y1L1=1-2x/, P1(/6)=0.6667
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三次样条插值
三次样条函数 S(x), x∈[a, b] , 满足: 1) S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数； 2) 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 y

数值分析迭代加速牛顿法及弦截法

以上两式相除得
xk1 xk1
C C
xk xk
C C
2 .
据此反复递推有
xk xk
C C
x0 x0
2k
C C
.
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(4.6)
记
q x0 C x0 C
整理(4.6)式，得
q2k xk C 2 C 1 q2k .
对任意初值x0>0，总有|q|<1，故由上式推知，当 k→∞时xk C ，即迭代过程恒收敛.
值x0, x1△，那么当邻域△充分小时，弦截法(5.2)将按阶
p 1 5 1.618. 2
收敛到x*. 这里p是方程λ2-λ-1=0的正根. 定理证明可见P116.
第26页/共34页
因为(5.2)式用到前两点xk-1和xk的值，故此方法又称为双点割线法.
如果把(5.2)式中的xk-1改为x0，即迭代公式为
比较困难，为此可以利用已求函数值 f(xk),f(xk-1),来
回避导数值 f(xk)的计算. 这类方法是建立在插值原理
基础上的，下面介绍弦截法与抛物线法.
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3.5.1 弦截(割线)法
设 xk, xk-1是 f(x)=0的近似根，我们利用 f(xk), f(xk-1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x)=0 的根作为方程 f(x)=0 的新的近似根 xk+1，由于
x*
x
(4.2)的计算结果.
y=f(x)
xk+2xk+1xk
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牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法的迭代函数为
(x) x f (x)
f ( x)
设x*是 f(x) 的一个单根，即 f(x*)=0，f(x*)≠0, 有

逐次线性插值法PPT课件

式为
I0,1,l ( x)
I0,1( x)
I0,l ( x) xl
I0,1( x) ( x x1
x1 )
计算时可由k=0到k=n-1逐次求得所需的插值多项式。计
算过程如下
x0 f (x0) I0
x பைடு நூலகம்x0
x1 f ( x1 ) I1 I0,1
x x1
x2
f (x2) I2
I I 0,2
I I 2,3
1,2,3
I 0 ,1, 2 , 3
x3 x0
x4
f (x4) I4
I I I 3,4
2,3,4
1,2,3,4
x x I0,1,2,3,4
4
0
第6页/共9页
从表上看每增加一个节点就计算一行，斜线上是 1次到4次插值多项式的值，如精度不满足要求，再增加一个节点，前面计算完全有效，这个算法适用于计算机上计算，且具有自动选节点并逐步比较精度的特点，程序也比较简单。
I0,1,,k ( x)
I0,1,,k1,l ( x) I0,1,,k ( x) ( x xl xk
xk
)
(**)
上式是关于x的插值多项式，显然
I0,1,,k,l ( xi ) I0,1,,k ( xi ) f ( xi )
i=0，1，2 ,…, k-1时
第3页/共9页
而 x xk时，I0,1,,k ( xk ) I0,1,,k,l ( xk ) f ( xk )
插值结果
0.00 0.000 0
0.20 0.20134 0.23154
0.30 0.30452 0.233465 0.232118
0.50 0.52110 0.239706 0.232358

计算方法_课后习题答案

L3 x 的最高次项系数是 6，试确定 y1 。
解： l0 (x)

x x1 x0 x1

x x2 x0 x2

x x3 x0 x3

x 0.5 0 0.5
x 1 0 1
x2 02
= x3

7 2
x2

7 2
x 1
l1 ( x)

x x0 x1 x0
(2 2e1 4e0.5 )x2 (4e0.5 e1 3)x 1
2)根据Lagrange余项定理，其误差为
| R2 (x) ||
f
(3) ( 3!
)
21
(
x)
||
1 6
e
x(
x

1)(
x

0.5)
|
1 max | x(x 1)(x 0.5) |, (0,1) 6 0x1
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)

x x0 x1 x0

x x2 x1 x2

x x3 x1 x3

x0 1 0

x2 1 2
x4 1 4
=
x3
6x2 3
8x
l2 (x)

x x0 x2 x0

i j
而当 k 1时有
n
x jl j
j0
x

n

n
j0 i0 i j
x xi x j xi

x
j

公务员考试资料分析解题技巧

D.丁行业
当前38页，共75页，星期一。
总结
1.四舍五入(凑整)
2.除法同大同小、乘法一大一小 3.题型：计算型、比较型
当前39页，共75页，星期一。
速算技巧之直除法
一、比较型：
比较分数大小时，若其量级相当，首位最大(小 )数为最大（小）数。
二、计算型：
计算分数大小时，若选项首位不同，通过计算
当前19页，共75页，星期一。
【例2】表格材料1 2001至2005年国内生产总值居世界前10位国家比较(亿美元)
2001年
位次国家和地国内生产总占世界的比国家和
区
值
重(％)
地区
世界总计 315750
世界总 100
计
1
美国
100759
31.9
美国
2
日本
41624
13.2
日本
3
德国
18913
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速算技巧之估算法
“估算法”是资料分析中的速算第一法
①：在所有计算进行之前必须考虑能否先行估算
②：很多方法都是以“估算法”作为前提
当前32页，共75页，星期一。
估算常用形式：
1.四舍五入(凑整) 2.除法同大同小；乘法一大一小；
当前33页，共75页，星期一。
估算法
【例1】706.38÷24.75=( )
饼图
标题注释时间单位
关键标点、关键词、具段落主旨、结构 30-60秒体
横标目、纵标目 15-30秒数据横轴、纵轴、图示 10-25秒
类别名称、图示 10-20秒
当前15页，共75页，星期一。
【例1】

4 材料单价计算-插值法

主材单价插值法计算表
工程名称：珠海长隆横琴湾酒店机电安装工程—给排水施工图新增项目合同编号：ZHCL11110353
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
编号：给排水施工图新增01 项目名称及规格单位
m m m m m m 个个个个个个个个个个个个个个 1,979.60 975.10 373.80 299.88 1,979.60 2,312.80 1,979.60 2,312.80 114.00 85.24 42.49 76.19 355.30 158.40
31.26
水补价-31 给水表 DN15 第316项水表 DN25 第318项水表 DN20 水换价-15 缓闭式消声止回阀 DN150 1.6Mpa 第95项第97项球墨铸铁缓闭式消声止回阀 DN100 PN=1.0MPa 球墨铸铁缓闭式消声止回阀 DN125 PN=1.6MPa 1.6Mpa
编号：给排水施工图新增01 项目名称及规格单位
个个个个 1.6Mpa 个个个个个个个个个个个个 212.76 109.22 201.58 143.81 201.58 300.00 2,822.40 1,646.40 3,851.40 8,330.00
项目编码
单价
472.36
774.20
水补价-40 Y型过滤器 DN80 第158项 Y型过滤器价插值法计算表
工程名称：珠海长隆横琴湾酒店机电安装工程—给排水施工图新增项目合同编号：ZHCL11110353
序号
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

数值计算方法第一章

数值计算方法第一章(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第一章绪论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§ 引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。

由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法．这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法；(3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显着特点之一是“近似”．之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差．如 +++=!21!111e 的计算是无穷过程，当用!1!21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差e e n -．3当用计算机计算n e 时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到n e 的近似值*e ，也就是说最终用*e 近似e ，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显着特点．可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题．对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算．在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性．收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大．对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法．如我国南宋时期着名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式0111a x a x a x a n n n n ++++-- 值的如下快速算法n a s =；k n a t -=；t sx s += ),,2,1(n k =它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值．再如幂函数64x 可以通过如下快速算法计算出其值x s =；s s s ⋅=；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)．事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法．也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．4§ 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义用*x 作为量x 的近似，则称)(:**x e x x =-为近似值*x 的绝对误差．由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界ε，即有ε≤-=x x x e **)( 称正数ε为近似值*x 的绝对误差限，简称误差．这样得到不等式εε+≤≤-**x x x工程中常用ε±=*x x表示近似值*x 的精度或真值x 所在的范围．误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度．如量m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±= 为此，我们需要引入相对误差定义用0*≠x 作为量x 的近似，称)(:**x e xx x r =-为近似值*x 的相对误差．当*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差***)(x x x x e r -=显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化．如式中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值*x 的相对误差限)(*x r ε，它是相对误差绝对值的较小上界．结合式和，*x 相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即***)()(x x x r εε= 为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义设量x 的近似值*x 有如下标准形式 p n m a a a a x 21*.010⨯±=()p m p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝其中}9,,1,0{}{1 ⊂=p i i a 且01≠a ，m 为近似值的量级．如果使不等式5n m x x -⨯≤-1021* 成立的最大整数为n ，则称近似值*x 具有n 位有效数字，它们分别是1a 、2a 、… 和 n a ．特别地，如果有p n =，即最后一位数字也是有效数字，则称*x 是有效数．从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限．利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数．对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数．注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例设量π=x ，其近似值141.3*1=x ，142.3*2=x ，722*3=x ．试回答这三个近似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗解这三个近似值的量级1=m ，因为有312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x 413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x 571428571428.3*3=x312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x 所以*1x 和*3x 都有3位有效数字，但不是有效数． *2x 具有4位有效数字，是有效数．二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差．对于函数),,,(21n x x x f y =有近似值),,,(**2*1*n x x x f y =，利用在点),,,(**2*1n x x x 处的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到)(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x x f y y y e -≈-=∑= )(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x x f ∑==其中ii x ff ∂∂=:，*i x 是i x 的近似值，)(*i x e 是*i x 的绝对误差),,2,1(n i =．式表明函数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值．从式也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式6)(),,,()(***1**2*1*i r i ni ni r x e y x x x x f y e ∑=≈对于一元函数)(x f y =，从式和可得到如下初值误差传播近似计算公式)()()(***x e x f y e '≈)()()(*****x e yx x f y e r r '≈式表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例试建立函数n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的绝对误差(限)、相对误差的近似传播公式，以及{}ni i x 1*0=>时的相对误差限传播公式．解由公式和可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下∑∑==≈ni i ini ni x e x e x x x f y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝进而有∑∑∑===≤≤≈ni in i in i ix x e x e y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni i x y 1**)()(εε当{}ni i x 1*0=>时，由式推得相对误差限的近似传播公式)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x y x x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑例使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值8.704*=b mm (数据的最后一位均为估计值)．试求桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限．解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限5.0)(*=a εmm ，5.0)(*=b εmm面积ab S =，由式得到近似值***b a S =的绝对误差近似为)()()(*****b e a a e b S e +≈7进而有绝对误差限55.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε mm 2 相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§ 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项．算例表达式)1(1111+=+-x x x x ，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位．机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈×10－16，能够表示的数的绝对值在区间×10－308，×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字．其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 111)(1+-=x x x y 和算法2： )1(1)(2+=x x x y 的误差时，精确解用双精度的计算结果代替．我们选取点集301}{=i i π中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．从图可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1．这是因为，当x 很大时，x 1和11+x 是相近数，用算法1进行计算时出现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大．这一事实也可以从误差传播公式分析出．鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图中我们给出了当x 接近1-时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为{}3011=--i i π．从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为710-，因而二者的精度相当．8图算例中两种算法的相对误差图（+∞→x ）图算例中两种算法的精度比较)1(-→x算例试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的1x 的系数为零，这时可解出2x ；其次将2x 带入第一个方程，进而求得1x (在第三章中称该方法为高斯消元法)．当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ．9算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)．当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为...25000187.01=x ，...49999874.02=x ，用不同的算法计算出的结果见表．对于算例，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似．这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以00001.0/2－加至第二个方程，从而削去第二个方程中1x 的系数，但在计算2x 的系数时需做如下运算661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－对上式用4位尾数进行计算，其结果为6104.0⨯－．因为舍入误差，给相对较大的数加以相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象．计算右端项时，需做如下运算661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－同样出现了大数吃小数现象，其结果为6102.0⨯－．这样，得到的变形方程组⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解．该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算00001.0/2－，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数除以绝对值较小的数．其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误．例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果．因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的．10当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．算例计算积分⎰+=1055dx x x I n 有递推公式),2,1(511 =-=-n I nI n n ，已知56ln 0=I ．采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算30I 的近似值．算法1 取0I 的近似值为6793950.18232155*0=I ，按递推公式*1*51--=n n I nI 计算*30I算法2 因为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x ，取39I 的近似值为3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ，按递推公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I 计算*30I算法1和算法2 的计算结果见表．误差绝对值的对数图见图．图算例用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈-----成立．对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法．对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用．而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有m m n m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈-成立．绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法．算法1和算法2的误差对数示意图见图．这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法习题一1 已知有效数105.3*1-=x ，4*210125.0⨯=x ，010.0*3=x ．试给出各个近似值的绝对误差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值*x 是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式x x x -*和**x x x -相差一个和2*⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 同阶的无穷小量．3 设x 的近似值*x 具有如式的表示形式，试证明 1) 若*x 具有n 位有效数字，则相对误差n r a x e -⨯≤11*1021)(； 2) 若相对误差n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(，则*x 至少具有n 位有效数字． 4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) *3*2*1*1x x x y +=； 2) 3*2*2x y =； 3) *3*2*3/x x y = 6 若例题中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值8.704*=b mm ．试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限． 7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确． 1) 0,cos 1≠-x xx 且1<<x 2) 1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算1-e 近似值算法的可靠性．算法1 ∑=--≈m n nn e 01!)1(；算法2 101!1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑m n n e ；算法3 101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e ；9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式72.280=y ，251-=-n n y y ， ,2,1=n 在计算时2取为具有5位有效数字的有效数*c ．试分析近似计算公式**1*5c y y n n -=-的绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗。

图形学光照及明暗处理

➢ 中间点的颜色C, 由下式得到：
A
C
B
distanceof AC
distanceof AB
Color(C) (1) Color(A) Color(B)
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28
➢ 确定被多边形覆盖的一个像素点的颜色
A
D
E
F
B
C
➢ D的颜色由A和B确定 ➢ E的颜色由 A和C确定
➢ F点的颜色由D和E确定
大，亮度越高。
➢ cos = r • v
➢ 光的衰减的建模与漫反射相同。
第11页/共74页
11
1.2
cos
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.2
1.2
cos50
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.2
1.2
cos4
第36页/共74页
36
➢ 在另一个法向被指定前，一个法向一直保持有效。
//Draw a cylinder glBegin( GL_QUAD_STRIP);
t = 0.; dt = (360. / nslice) * 3.1416 / 180.; for (j = 0; j <= nslice; ++j) {
glNormal3f( cos( t), 0., sin( t));
glVertex3f( cos( t), 0., sin( t));

数值计算方法三次样条插值演示文稿

第14页，共68页。
三次样条插值
对于待定系数a j ,bj , c j .d j j 1,2,...n,即4n个未知系数，而插值条件为4n 2个，还缺两个，因此须给出两个条件称为边界条件，有以下三类：第一类已知两端点的一阶导数
s( s(
x0 xn
) )
f (x0 ) m0 f (xn ) mn
第12页，共68页。
4.4.2 三次样条插值
定义设函数f (x)是区间[a,b]上的二次连续可微函数，在区间[a，b]上给出一个划分
：a x0 x1 ... xn1 xn b 如果函数s( x)满足条件
（1）s(x j ) f (x j ) ( j 0,1,2,...n); (2) 在每个小区间[x j1, x j ]( j 1,2,..., n)上s(x)是不超过
Mi 2!
( xi 1
xi )2
M i1 3!
Mi
( xi 1
xi )2
解得
s(xi )
yi1 yi xi1 xi
(
1 6
M
i 1
2 6
M
i
)( xi 1
xi
)
(1)
第18页，共68页。
三次样条插值
同理在[xi1, xi ]上讨论得
s(xi )
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6 M i1)(xi
第21页，共68页。
三次样条插值
第一类边界条件：s(x0 ) f (x0 ) s(xn ) f (xn )
(1) 式中令i 0得
s(x0 )
y1 x1
y0 x0
(1 6

三次样条插值

三次样条插值0 引⾔三次样条插值以构造简单，使⽤⽅便，拟合准确，具有“保凸”的重要性质等特点成为了常⽤的插值⽅法。

⼀般三次样条插值解算过程中通过追赶法求解三弯矩阵，但使⽤计算机求解时会表现出解的精度不⾼的问题，导致其计算结果⽆法应⽤到⼯程实践之中。

因此需要找出⼀种提⾼解精度的⽅法。

1 基本概念三次样条函数的定义：在区间内对于给定的函数值，其中，如果函数满⾜条件：（1）在每个⼦区间，上都是不⾼于三次的多项式；（2）、、在上都连续；（3），。

则称为函数关于节点的三次样条函数。

想要求解三次样条插值函数，只需在每个⼦区间上确定⼀个三次多项式共有4个系数，确定它们需要 4n 个条件，因此要完全确定共需 4n 个条件。

由所满⾜的条件（1）、（2）、（3），可确定个条件，仍然缺少两个条件。

这两个条件通常由实际问题对三次样条插值函数在端点的状态要求给出，也称之为边界条件，常见的边界条件有：1）夹持边界条件（Clamped Spline）：给定两端点的⼀阶导数值，即，；2）⾃然边界条件（Natural Spline）：使两端点的⼆阶导数值为零，即；3）⾮扭结边界条件（Not-A-Knot Spline）：强制第⼀个插值点的三阶导数值等于第⼆个点的三阶导数值，最后第⼀个点的三阶导数值等于最后第⼆个点的三阶导数值，即，。

2 计算⽅法设三次样条函数，（0），，，由三次样条函数定义（1）（2）（3）可得：，（1）如下构造式（1）矩阵：（2）由式（1）可知：，，，，（3）1）在夹持边界条件时，，，，；，，，；2）在⾃然边界条件时，，，，；，，，；3）在⾮扭结边界条件时，，，，；，，，；由n个未知数的⾮齐次⽅程组有惟⼀解的充分必要条件是，可知矩阵⽅程（2）在以上三种情况下都有惟⼀解。

对矩阵⽅程（2）采⽤⾼斯列主元消去法即可求解得出。

最后，代⼊式（0）可以得出：，，，，3 应⽤算例有点集，在⾮扭结边界条件下进⾏插值。

同时使⽤Matlab R2010a和⽂章所述⽅法进⾏插值计算，对⽐计算结果。

1-引论

<0
2
0.2500 0.1250
<0
3
0.1250 0.0625
>0
4 0.0625
0.0937
<0
5
0.0937 0.0781
>0
6 0.0781
0.0859
>0
7 0.0859
0.0898
2020/1/23
数值计算方法——引论
26
误差：
例3：用中心差商公式求f(x ) x
在x 2的导数值
个交点。
3、公式法
x2+x1+2b=0
x3+x2+2b=0 从而有x1=x3 ,与假设矛盾，
故原方程至多有两个不相等的实根。
x1,2 b b2 c
2020/1/23
数值计算方法——引论
15
算法的描述：开始
输入b,c
< d=b2-c<0
=
>=
d=0
x1=x2=-b
2020/1/23
2020/1/23
数值计算方法——引论
23
方程求根的二分法：例：用二分法求方程x3-x-
开始
1=0在区间【1，1.5】内
的一个实根。要求误差不
输入a,b,ε
超过0.005.
y0=f(a)
x=(a+b)/2 y=f(x)
误差估计式：
x * xk

1 2k 1
(b

a)
Y b=x
y0y<=0
N a=x
A： y1' a1 y1 a3 y2 y3 B： y2' a1 y1 a3 y2 y3 a2 y22