陕西省西安市莲湖区2020-2021学年第一学期期中考试高一数学试题(无答案)
陕西省西安市第一中学2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
市一中大学区2020学年度第一学期期中考试高一数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B =U （ ）．A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}2,3,4D ．{}1,3,4【答案】A【解析】本题主要考查集合之间的关系． 根据集合之间的关系，{}1,2,3,4A B =U ． 故选A ．2．有一组数据，如表所示：）．A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数【答案】C【解析】随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的，故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律． 故选C ．3．已知全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|4B x x =-≤，12C x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≥，则集合C =（ ）．A ．AB IB ．()U A B U ðC ．()U A B I ðD ．A B U【解析】解:∵全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|4B x x =-≤，∴12A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭U ，∴1()2U A B x x C ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ð≥．故选B ．4．已知4m <-，点1(1,)m y -，2(,)m y ，3(1,)m y +都在二次函数61y x x 2=+-的图像上，则（ ）．A ．123y y y <<B ． 213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<【答案】D【解析】解：∵2m <-， ∴111m m m -<<+<-，即三点都在二次函数对称轴的左侧，又二次函数22y x x =-在对称轴的左侧是单调减函数， ∴321y y y <<． 故选D ．5．已知12()3f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（ ）．A ．11()()f a f b f f a b ⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11()()f f f b f a a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11()()f a f b f f b a ⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11()()f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】解：因为函数12()f x x =在(0,)+∞上是增函数， 又110a b b a<<<<．6．若函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）．A ．2log xB ．22x -C ．12log xD ．1x -【答案】A【解析】本题主要考查反函数． 由()y f x =是x y a =的反函数，可知()log a f x x =，再由(2)1f =，可知log 21a =， 所以2a =，2()log f x x =． 故选A ．7．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ）．A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】本题主要考查函数的概念与性质．首先考虑函数的定义域，2280x x -->，解得2x <-或4x >， 且函数2()28g x x x =--在(,2)-∞-上单调递减， 在(4,)+∞上单调递增，而ln y x =是单调递增函数，根据复合函数性质，函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间为(4,)+∞． 故选D ．8．设3log 2a =，5log 2a =，2log πc =，则（ ）．A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==，而22log 3log 21c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以2211log 5log 3<， 即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选C ．【考点】比较对数大小．9．设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0f <，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则方程的根落在的区间是（ ）．A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定【答案】B【解析】方程3380x x +-=的解等价于()338x f x x =+-的零点． 由于()f x 在R 上连续且单调递增，(1.25)(1.5)0f f ⋅<． 所以()f x 在(1.25,1.5)内有零点且唯一， 所以方程3380x x +-=的根落在区间(1.25,1.5)． 故选B ．10．函数1()ln(1)f x x =++ ）．A ．[)(]2,00,2-UB ．(](1,0)0,2-UC ．[2,2]-D ．(]1,2-【答案】B【解析】解：要使函数有意义，必须：2401011x x x ⎧-⎪+>⎨⎪+≠⎩≥，所以(](1,0)0,2x ∈-U ．所以函数的定义域为：(](1,0)0,2-U ． 故选B ．11．已知函数()log x a f x a x =+（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +，则a 的值为（ ）．A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】C【解析】解：因为函数()log x a f x a x =+（0a >且1a ≠）， 所以函数()f x 在1a >时递增，最大值为22(2)log f a a =+； 最小值为11(1)log f a a =+， 函数()f x 在01a <<时递减，最大值为11(1)log f a a =+，最小值为22(2)log f a a =+；故最大值和最小值的和为：22112(1)(2)log log log 6f f a a a a a +=+++=+． ∴2602a a a +-=⇒=，3a =-（舍）． 故选C ．12．函数2x y =与2y x =图像的交点个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】解：函数2x y =与2y x =的图象的交点个数即函数2()2x f x x =-的零点的个数． 显然，2x =和4x =是函数()f x 的两个零点． 再由11(1)1022f -=-=-<，(0)101f =-=， 可得(1)(0)0f f -<，故函数在区间(1,0)-上有一个零点．故函数2x y =与2y x =的图象的交点个数为3．故选D ．二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分） 13．若1005a =，102b =，则2a b +=__________． 【答案】1【解析】解：∵1005a =，102b =， ∴2lg51lg5lg102a ==，lg2b =， ∴2lg2lg51a b +=+=， 因此，本题正确答案是1．14．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B =I ，则B =__________．【答案】{}1,3【解析】本题主要考查集合的运算． 因为{}1A B =I ，所以1x =为方程240x x m -+=的解， 则140m -+=，解得3m =，所以2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，集合{}1,3B =．15．若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是__________． 【答案】(0,2)【解析】本题主要考查指数与指数函数． 因为可知当02b <<时，函数|22|x y =-与函数y b =的图象有两个交点， 即实数b 的取值范围是(0,2)． 故本题正确答案为(0,2)．16．设函数lg ,0,()10,0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤则((2))f f -=__________．【答案】2-【解析】本题主要考查分段函数和复合函数． 由题意可得2(2)10f --=，所以22((2))(10)lg102f f f ---===-．17．已知函数()f x 的定义域是1,82⎛⎤⎥⎝⎦，则(2)x f 的定义域是__________．【答案】(]1,3-【解析】解：己知()f x 的定义域是1,82⎛⎤⎥⎝⎦，由12128232x =-<=≤，得13x -<≤， 所以(2)f x 的定义域为(]1,3-． 故答案为：(]1,3-．三、解答题：（本大题4小题共44分．要求写出必要的推理过程） 18．（本小题满分10分）已知二次函数的图像经过点(1,6)A -，(1,2)B ，(2,3)C ，求该二次函数的解析式． 【答案】见解析．【解析】解：设二次函数解析式为2y ax bx c =++，0a ≠， ∵二次函数的图象经过点(1,6)A --、(1,2)B -、(2,3)C ， ∴ 62423a b c a b c a b c -+=-++=-++=， 解得：1a =，2b =，5c =-，∴该二次函数的解析式是：225y x x =+-． 故答案为：225y x x =+-．19．（本小题满分10分）已知0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >，求证：log log log a b a NN b=． 【答案】见解析．【解析】lg()lg log ()log ()lg()lg m n na m ab n b nb b a m a m===．20．（本小题满分12分）已知函数()y f x =的定义域为R ，且()()f x f x -=-，当(0,1)x ∈时，2()41x x f x =+．（1）求()f x 在(1,0)-上的解析式． （2）求证：()f x 在(0,1)上是减函数． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵()()f x f x -=-，(0,1)x ∈时，2()41xx f x =+，∴当(1,0)x ∈-时，2()()41xx f x f x =--=-+．（2）证明：设1201x x <<<， 则12121222()()4141x x x x f x f x -=-++， 1221122(41)2(41)(41)(41)x x x x x x +-+=++，122112122(22)(22)(41)(41)x x x x x x x x +-+-=++，121212(22)(12)(41)(41)x x x x x x +--=++，∵1201x x <<<，∴12220x x -<，12120x x +-<，1410x +>，2410x +>， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， ∴()f x 在(0,1)是减函数．21．（本小题满分12分）设函数2(41)84, 1.()log , 1.a x a x a x f x x x ⎧-+-+<⎪=⎨⎪⎩≥（1）当12a =时，求函数()f x 的值域． （2）若函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）12a =时，2123,1()log ,1x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥，当1x <时，2()3f x x x =-是减函数，所以()(1)2f x f >=-，即1x <时，()f x 的值域是(2,)-+∞． 当1x ≥时，12()log f x x=是减函数，所以()(1)0f x f =≤，即1x ≥时，()f x 的值域是(],0-∞．于是函数()f x 的值域是(],0(2,)-∞-+∞=R U ．（2）若函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立： ①当1x <， 2()(41)84f x x a x a =-+-+是减函数， 于是4112a +≥，则14a ≥． ②1x ≥时，12()log f x x=是减函数，则01a <<．③21(41)1840a a -+⋅-+≥，则13a ≤．于是实数a 的取值范围是11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
2020-2021西安市高一数学上期中一模试题(附答案)
2020-2021西安市高一数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．24．函数()log a x xf x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,77．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．18．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201910．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．已知函数()x x f x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______. 16．设，则________17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．18．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）20．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 三、解答题21．已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数． （1）求b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．23．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．24．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值;(2)若A B B =I ，求实数a 的范围. 25．计算下列各式的值：（1）()11102327102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg52lg2lg5lg2-++++⋅．26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5．故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞ 【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.15．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.16．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．18．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1） 故答案为（，1）． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=，设t天后体积变为原来的13，即13ktV a e a-=⋅=，即13kte-=，则1ln3kt-=两式相除可得2ln2531ln3kkt-=-，即2lg25lg2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg3t--===≈--，所以68t≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t的方程，求解t的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4【解析】【分析】当0x>时，令()2ln20f x x x x=-+=，即2ln2x x x=-，作y ln x=和22y x x=-的图象，判断交点个数即可，当0x<时，令()210f x x=+-=，可解得零点，从而得解.【详解】方法一：当0x>时，令()2ln20f x x x x=-+=，即2ln2x x x=-.作y ln x=和22y x x=-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x<时，令()210f x x=+-=，可得1x=-或3-.综上函数的零点有4个.方法二：当0x>时，()2ln2f x x x x=-+，()21221'22x xf x xx x-++=-+=，令()'0f x=可得()2'2210f x x x=-++=，()'01f=，()'230f=-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．三、解答题21．(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可． （2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可． 【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数， 所以(0)0f =，即102ba-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数． （2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x xf x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，∵函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <， ∴12220x x -<，又()()1221210xx++>，∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， ∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--，由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212x k x -<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-． 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题． 22．（1）2；（2）{|35}m m m -或 【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}， B={x|m ﹣2≤x≤m+2}． （1）∵A ∩B=[0，3] ∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2} ∵A ⊆C R B ，∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m ＞5，或m ＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．23．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}． 【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 24．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【解析】 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围. 【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；（2）∵A={x|x 2+4x=0，x ∈R} ∴A={0，﹣4}，∵B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ； ②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B ⊆A ；当a ＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；综上所述a=1或a ≤﹣1； 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 25．（1）9512；（2）3. 【解析】 【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）．（2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=．【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
2020-2021西安北大新世纪学校高中必修一数学上期中一模试卷带答案
令 ,则 ，所以
即 .
【点睛】
本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.
9．D
解析：D
【解析】
依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ选D.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据函数f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，即可求出a，b，从而得出f（x）的解析式，进而求出f（a）+f（b）的值．
20．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与
解析：
【解析】
由题意得： 当 时， 恒成立，即 ；当 时， 恒成立，即 ；当 时， ，即 .综上，x的取值范围是 .
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
解析：－8
【解析】∵f(x)定义域为[3＋a，5]，且为奇函数，
∴3＋a＝－5，∴a＝－8.
点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
2020-2021学年陕西省西安市碑林区高一上学期期中数学试卷 及答案解析
2020-2021学年陕西省西安市碑林区高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 已知集合A ={1,3,√m}，B ={1,m }，B ⊆A ，则m =( )．A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或32. 已知函数f(x)=ax 2a+1+b +1是幂函数，则a +b =( )A. 2B. 1C. 12D. 03. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A. f(x)=e x −e −x2B. f(x)=x −3C. f(x)=x 45D. f(x)=−x 134. 在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A. (1.5,2)B. (1.8,2)C. (1,1.5)D. (1,1.2)5. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在(−∞,0)上是增函数，则f(a 2−a +1)与f(34)的大小关系为( )A. f(a 2−a +1)<f(34)B. f(a 2−a +1)>f(34) C. f(a 2−a +1)≤f(34) D. f(a 2−a +1)≥f(34) 6. 设A ={x|x 2−x −2<0}，B ={y|y =3x }，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. (0,2)C. (−1,0)D. (−1,2)7. 已知集合A ={a,b}，B ={0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )A. B.C. D.8. 在同一直角坐标系中，函数y =1a x ，y =log a (x +12)(a >0且a ≠1)的图象可能是( ) A. B.C. D.9. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1，x 2∈R 有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)−1，则( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是奇函数C. f(x)−1是偶函数D. f(x)−1是奇函数10. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )．A. p+q 2B. (1+p )(1+q )−12C. √pqD. √(1+p )(1+q )−111. 定义运算x⨂y ={x , x ≥y y , x <y，例如3⨂4=4，则下列等式不成立的是( ) A. x⨂y =y⨂xB. ( x⨂y) ⨂z =x⨂(y⨂z)C. (x⨂y)2=x 2⨂y 2D. m(x⨂y)=(mx) ⨂(my)(其中m 为正常数)12. 用min{a,b}表示a ，b 两个数中的最小值．设f(x)=min{2x ,6−x}，则f(x)的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 函数f(x)=lg(1−x)的定义域为______．14. 已知f(x)={x 2−4x +3, x ≤0−x 2−2x +3, x >0，若关于x 的不等式f(x +a)≥f(2a −x)在[a,a +1]上恒成立，则实数a 的最大值是______ ．15.函数f(x)={x 2−2,x≤0,2x−6+lnx,x>0的零点个数是______．16.当0<x<1时，f(x)=x2，g(x)=x 12，ℎ(x)=x−2，则f(x)，g(x)，ℎ(x)的大小关系是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17.(1)已知a，b，N都是正数，a≠1，b≠1，证明对数换底公式：log a N=log b Nlog b a;(2)写出对数换底公式的三个性质(不用证明)，并举例应用这三个性质．18.计算：①√259−(827)13−(π+e)0+(14)−12；②2lg5+lg4+ln√e．19.已知函数f(x)=x2+ax+2在[−5,5]上为单调函数，求实数a的取值范围．20.已知定义在R上的函数f(x)=b−2x2x+a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的单调性，且对任意的t∈R，不等式f(t−2t2)+f(−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．21.经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系为T(x)=Bx2+ACx，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费．某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元．(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的关系、集合元素的互异性，属于基础题．由B⊆A，得m=3或m=√m，验证m=3，满足B⊆A，m=√m，解得m=0或m=1，验证m=0，满足B⊆A，m=1，不满足集合中元素的互异性，可得m．解：因为B⊆A，所以m=3或m=√m．若m=3，则A={1,3,√3}，B={1,3}，满足B⊆A．若m=√m，解得m=0或m=1．①若m=0，则A={1,3，0}，B={1,0}，满足B⊆A；②若m=1，则A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．综上，m=0或m=3．故选B．2.答案：D解析：本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．根据幂函数的定义，列出方程求a、b的值，即可得解a+b．解：因为函数f(x)=ax2a+1+b+1是幂函数，所以a=1，b+1=0，则a+b=0．故选D．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=e x−e−x2，有f(−x)=−f(x)，为奇函数，但其导数f′(x)=ex+e−x2>0，在R上为增函数，不符合题意；对于B，f(x)=x−3，为幂函数，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，f(x)=x45，为幂函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，f(x)=−x13，即是奇函数又是减函数，符合题意．故选：D．4.答案：A解析：本题考查二分法求方程的近似解，属于基础题．构造函数f(x)=x3−2x−1，把x=1，2，32代入函数解析式，分析函数值的符号是否异号即可．解：由已知令f(x)=x3−2x−1，所以f(1)=−2，f(2)=3；由二分法知计算f(1.5)=−0.625<0，故由f(1)<0，f(2)>0；所以方程的根位于区间(1.5,2)内．故选A．5.答案：C解析：解：a2−a+1=(a−12)2+34≥34．偶函数f(x)的定义域为R，且在(−∞,0)上是增函数，在(0,+∞)是减函数；则f(a2−a+1)≤f(34).故选：C．判断两个函数自变量的值的大小，利用函数的单调性求解即可．本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力．6.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题． 可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|−1<x <2}，B ={y|y >0}；∴A ∩B =(0,2)．故选：B ．7.答案：C解析：按照映射的定义，C 选项不正确．8.答案：D解析：本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；解：由函数y =1a x ，y =1og a (x +12)，当a >1时，可得y =1a x 是递减函数，图象恒过(0,1)点，函数y =1og a (x +12)，是递增函数，图象恒过(12,0)；当1>a >0时，可得y =1a x 是递增函数，图象恒过(0,1)点，函数y =1og a (x +12)，是递减函数，图象恒过(12,0)；∴满足要求的图象为：D故选D ． 9.答案：D解析：解：根据题意，对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−1，令x1=x2=0可得：f(0)=2f(0)−1，解可得f(0)=1，再令x1=−x，x2=x，则有f(0)=f(x)+f(−x)−1，变形可得f(x)+f(−x)=2，不是偶函数也是奇函数，A、B错误；对于f(x)+f(−x)=2，进而变形可得[f(x)−1]+[f(−x)−1]=0，则f(x)−1是奇函数不是偶函数，C错误；D正确；故选：D．根据题意，用特殊值法分析：令x1=x2=0可得f(0)的值，再令x1=−x，x2=x，则有f(0)=f(x)+ f(−x)−1，变形可得f(x)+f(−x)=2以及[f(x)−1]+[f(−x)−1]=0，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及抽象函数的解析式，属于基础题．10.答案：D解析：本题考查函数模型的应用，设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得(1+p)(1+q)=(1+x)2，解出即可．解：设年平均增长率为x，则有(1+p)(1+q)=(1+x)2，解得x=√−1．故选D．11.答案：C解析：本题主要考查与函数有关的新定义，根据(x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z)的定义是解决本题的关键．根据x⊗y的定义分别进行判断即可得到结论．解：A.根据x⊗y的定义可知，x⊗y为取最大值函数，则x⊗y=y⊗x成立，故A正确;B.根据x⊗y的定义可知，x⊗y为取最大值函数，则x,y,z三个数的最大值是确定的，则(x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z)，故B正确;C.举出反例，若x=−1,y=0，则(x⊗y)2=(0)2=0，而x2⊗y2=1⊗0=1，则(x⊗y)2=x2⊗y2不成立，故C错误;D.当m>0时，m⋅(x⊗y)=(m⋅x)⊗(m⋅y)成立，故D正确．故选C．12.答案：A解析：解：f(x)=min{2x,6−x}如图所示，则f(x)的最大值为y=2x与y=6−x交点的纵坐标，即当x=2时，y=4．故选：A．利用新定义，画出函数图象即可得出．正确理解新定义和画出图象是解题的关键．13.答案：(−∞,1)解析：解：由函数f(x)=lg(1−x)可得1−x>0，解得x<1，故函数f(x)=lg(1−x)的定义域为(−∞,1)，故答案为(−∞,1)．由函数的解析式可得1−x>0，解得x<1，从而得到函数的定义域．本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题．14.答案：−2解析：解：当x≤0时，f(x)=(x−2)2−1在(−∞,0]递减，当x>0时，f(x)=−(x+1)2+4在(0,+∞)递减，且f(0)=3，即x>0和x≤0的两段图象连续，则f(x)在R上递减．关于x的不等式f(x+a)≥f(2a−x)在[a,a+1]上恒成立，即为x+a≤2a−x在[a,a+1]上恒成立，即有a≥2x在[a,a+1]上恒成立，即a≥2(a+1)，解得a≤−2．则a的最大值为−2．故答案为：−2．讨论分段函数各段的单调性，再由函数的连续性和单调性的定义，可得f(x)在R上递减，由条件可得x+a≤2a−x在[a,a+1]上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的最大值，解a的不等式，即可得到a的最大值．本题主要考查分段函数的单调性的运用，同时考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离，属于中档题和易错题．15.答案：2解析：本题考查函数的零点，零点存在性定理的应用．令x2−2=0，解得x，当x>0时，利用导数求得单调区间，再由零点存在性定理，可得结果．解：令x2−2x=0，解得x=−√2或√2(舍)，当x>0时，f(x)=2x−6+lnx，>0，即f(x)在(0,+∞)单增，则f′(x)=2+1x由f(1)=−4，f(3)=ln3>0，所以只有一个零点，综上函数f(x)的零点个数是2．故答案为2．16.答案：ℎ(x)>g(x)>f(x)解析：解：∵当0<x<1时，f(x)=x2<g(x)=x 12<1，ℎ(x)=x−2>1．∴ℎ(x)>g(x)>f(x)．故答案为：ℎ(x)>g(x)>f(x)．利用幂函数的单调性即可得出．本题考查了幂函数的单调性，属于基础题．17.答案：解：(1)方法一：设log a N=x，则N=a x．两边同时取以b为底的对数，得log b N=log b a x．由对数运算性质，得log b N=xlog b a.因为a≠1，所以log b a≠0，所以x=log b Nlog b a ，所以log a N=log b Nlog b a．方法二：因为a log a N=N，两边同时取以b为底的对数，得由对数运算性质，得log a N⋅log b a=log b N.因为a≠1，所以log b a≠0，所以log a N=log b Nlog b a．(2)对数换底公式性质(i):log a N⋅log b a=log b N.例如log38⋅log23=log28=3．对数换底公式性质(ii):log a b⋅log b a=1．例如log45⋅log54=lg5lg4⋅lg4lg5=1．对数换底公式性质例如解析：本题考查对数的换底公式的证明和性质，属于基础题．(1)方法一：设log a N=x，则N=a x.两边同时取以b为底的对数，由对数运算性质，可求得x=log b Nlog b a，进而证得；方法二：由a log a N=N，两边同时取以b为底的对数，并结合对数运算性质即可得证；(2)对数换底公式性质举出三个例子，分别用这些公式化简或求值即可．18.答案：解：①√259−(827)13−(π+e)0+(14)−12；=53−23−1+2=2；②2lg5+lg4+ln√e=lg25+lg4+1 2=2+1 2=52．解析：本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．19.答案：解：∵函数的对称轴是x=−a2，开口向上，若f(x)在[−5,5]递增，则−a2≤−5，即a≥10，若f(x)在[−5,5]递减，则−a2≥−5，即a≤−10，∴a的范围是(−∞,−10]∪[10,+∞)．解析：先求出函数的对称轴，结合函数的单调性，从而得到a 的范围．本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题．20.答案：解：(1)∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)=b−1a+1=0，解得b =1，∴f(x)=1−2x a+2x ，∴f(−x)=1−2−x a+2−x =2x −1a⋅2x +1=−f(x)=2x −1a+2x ，∴a ⋅2x +1=a +2x ，即a(2x −1)=2x −1对一切实数x 都成立，∴a =1，故a =b =1．(2)∵a =b =1，∴f(x)=1−2x1+2x =21+2x −1，f(x)在R 上是减函数． 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2,则f(x 1)−f(x 2)=21+2x 1−21+2x 2=−2(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)，∵x 1<x 2，∴2x 2>2x 1，1+2x 1>0，1+2x 2>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在R 上是减函数，∵不等式f(t −2t 2)+f(−k)>0，∴f(t −2t 2)>−f(−k)，∴f(t −2t 2)>f(k)，∵f(x)是R 上的减函数，∴t −2t 2<k ，∴k >t −2t 2=−2(t −14)2+18对t ∈R 恒成立，∴k >18．解析：本题考查函数恒成立问题的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．(1)由f(x)是定义在R 上的奇函数，知f(0)=b−1a+1=0，故b =1，f(x)=1−2x a+2x ，f(−x)=1−2−x a+2−x =2x −1a⋅2x +1=−f(x)=2x −1a+2x ，由此能求出a =b =1．(2)f(x)=1−2x 1+2x =21+2x −1，f(x)在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=21+2x 1−21+2x 2=−2(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)，由此能够证明f(x)在R 上是减函数．不等式f(t −2t 2)+f(−k)>0，等价于f(t −2t 2)>f(k)，由f(x)是R 上的减函数，知t −2t 2<k ，由此能求出实数k 的取值范围． 21.答案：解：(1)由题意，A =6000，B =120，C =2500，则T(x)=120x 2+6000×2500x =60x +15000000x ；T(300)=60×300+150********=68000； (2)T(x)=60x +15000000x ≥2√60x ⋅15000000x =60000．当且仅当60x=15000000，即x=500时，T min=60000．x故每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元．解析：(1)由已知可得A，B，C的值，代入已知函数关系式化简即可；(2)直接利用基本不等式求最值．本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。
2020-2021西安市高一数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021西安市高一数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>5．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 6．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③7．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)28．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.15．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．17．函数的定义域为___．18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).19．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log 3lg25lg4log (log 16)+-（Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+23．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．24．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？25．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得32239b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内6．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．7．B解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）e 2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.8．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力解析：10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1．【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．15．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.16．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-17．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主 解析：①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误.【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29a a =∴=-， 则：()22124a --=-=. 20．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）19t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤<即实数t 的取值范围是19t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23．a ≤－1或a ＝1.【解析】【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.24．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 . 【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> . （2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).25．（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【解析】【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2min (31)x x -+，2min (31)m x x <-+即可.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立.设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
陕西省西安市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
西安市第一中学2020-2021学年度第一学期期中高一数学试题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）. 1. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，且A ∩B ＝A ，则集合B 可以是 A.{x|2x>1} B.{x|x 2>1} C.{x|x>5} D.{1，2，3} 2.若函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则 A.m>12 B.m<12 C.m>－12 D.m<－123.下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是A.f(x)＝x －1，g(x)＝211x x -+B.f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝x 1x 1x 1x 1+≥⎧⎨--<-⎩，，.C.f(x)＝1，g(x)＝(x ＋1)0D.f(x)g(x)＝)2 4.函数f(x)A.(－2，＋∞)B.[－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，－2) 5. 函数y x a =+与函数log a y x =的图象可能是（ ）A.B.C.D.6.已知函数f(x)＝ax 2－2ax －3(a>0)，则下列选项错误的是A.f(－3)>f(3)B.f(－2)<f(3)C.f(4)＝f(－2)D.f(4)>f(3) 7.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 8. 幂函数，当a 取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线如图，设点，，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么A. 0B. 1C.D. 29. 已知f(x)＝(x －a)(x －b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是（ ）A. a<α<β<bB. a<α<b<βC. α<a<b<βD. α<a<β<b10. 函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间的（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. (),3eD. (),e +∞11. 已知函数在区间上的值域是，则n 的取值范围是A.B.C.D.12.已知函数满足对任意，都有成立，则实数a 的取值范围是A.B.C. D.二．填空题(每小题4分，共16分)13. 方程4x ＋2x －2＝0的解是 。
2020-2021学年陕西省西安市长安一中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年陕西省西安市长安一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共14小题）.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x＞2}，下图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）设f：A→B是从集合A到集合B的映射，其中A＝B＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）→（x+y，x﹣y）那么B中元素（1，5）的原像是（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．＝﹣x2+1D．y＝2|x|4．（5分）函数f（x）＝（﹣6≤x≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．5．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）6．（5分）已知函数，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）7．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）＜f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．f（x1）与f（x2）大小不确定8．（5分）设函数，则f（﹣2）+f（log26）＝（）A．3B．6C．9D．129．（5分）函数y＝ln|x|﹣x2的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＝log20.5，b＝20.2，c＝0.20.5，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a11．（5分）直线y＝1与函数f（x）＝x2﹣|x|+a的图象有4个交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．C．D．12．（5分）设函数，则满足f（2x+1）＜f（3x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）13．（5分）已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（60）＝（）A．﹣50B．0C．2D．6014．（5分）已知函数f（x）＝，则函数F（x）＝f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（共6小题）.15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x4+x，则f（1）＝．16．（5分）式子log24+lg2+lg5的值是．17．（5分）函数y＝a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象过一个定点，该定点的坐标为．18．（5分）一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为．19．（5分）函数f（x）＝4x|log0.5x|﹣1的零点个数为．20．（5分）对于函数y＝f（x），若存在x0，使f（x0）+f（﹣x0）＝0，则称点（x0，f（x0））是曲线f（x）的“优美点”．已知，则曲线f（x）的“优美点”个数为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）21．（12分）设A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2+2x﹣8＝0}．（1）若A∪B＝A∩B，求实数a的值；（2）若A∩B≠∅，且A∩C＝∅，求实数a的值．22．（12分）若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．23．（12分）已知函数f（x）＝4x+（m﹣3）2x+m．（1）若m＝1，函数是否有零点，如果有请求出零点．（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围．24．（14分）已知（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1﹣log a n，1﹣log a m]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由．参考答案一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x＞2}，下图中阴影部分所表示的集合为（）A．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵B＝{x∈R|x＞2}，∴∁U B＝{x∈R|x≤2}，即A∩（∁U B）＝{1，2}故选：C．2．（5分）设f：A→B是从集合A到集合B的映射，其中A＝B＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）→（x+y，x﹣y）那么B中元素（1，5）的原像是（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）解：由题意设元素（1，5）的原象为（x，y），则x+y＝1且x﹣y＝5，解得x＝3，y＝﹣2，所以原象为（3，﹣2），故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．＝﹣x2+1D．y＝2|x|解：对于A，y＝x3是奇函数，不满足条件．B．y＝|x|+1是偶函数，当x＞0时，y＝x+1为增函数，不满足条件．C．y＝﹣x2+1是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，满足条件．D．y＝2|x|是偶函数，当x＞0时，y＝2x为增函数，不满足条件．故选：C．4．（5分）函数f（x）＝（﹣6≤x≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．解：令t＝（3﹣x）（x+6）＝﹣，（且﹣6≤x≤3），则f（x）＝．利用二次函数的性质可得，当x＝﹣时，函数t取得最大值为，f（x）的最大值为，故选：B．5．（5分）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）解：由x2﹣2x﹣8＞0，解得x＜﹣2或x＞4．∴函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．令t＝x2﹣2x﹣8，则函数t＝x2﹣2x﹣8在（﹣∞，﹣2）上为减函数，而y＝lnt为增函数，∴函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）．故选：A．6．（5分）已知函数，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）解：函数是单调减函数，f（2）＝2﹣1＝1＞0，f（4）＝1﹣2＝﹣1＜0，所以，f（2）f（4）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，4）．故选：C．7．（5分）设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）＜f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．f（x1）与f（x2）大小不确定解：f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．若x1＞0，且x1+x2＜0，则x2＜﹣x1＜0，∴f（x2）＞f（﹣x1）＝f（x1），故选：B．8．（5分）设函数，则f（﹣2）+f（log26）＝（）A．3B．6C．9D．12解：∵函数，∴f（﹣2）＝1+log24＝3，f（log26）＝＝6÷2＝3，∴f（﹣2）+f（log26）＝3+3＝6．故选：B．9．（5分）函数y＝ln|x|﹣x2的图象大致为（）A．B．C．D．解：令y＝f（x）＝ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），因为f（﹣x）＝ln|x|﹣x2＝f（x），所以函数y＝ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣x2，所以f′（x）＝﹣2x＝，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，故排除C，方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C，故选：A．10．（5分）已知a＝log20.5，b＝20.2，c＝0.20.5，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a解：∵a＝log20.5＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.5＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：B．11．（5分）直线y＝1与函数f（x）＝x2﹣|x|+a的图象有4个交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．C．D．解：原问题等价于函数与函数y＝1﹣a有4个交点，绘制函数图象如图所示，由于函数在处取得最小值，故，解得：．故选：B．12．（5分）设函数，则满足f（2x+1）＜f（3x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）解：函数，当x≤0时，f（x）＝，函数是减函数，x＞0，函数是常函数，f（2x+1）＜f（3x），可得，解得x＜0，则f（2x+1）＜f（3x）的解集为（﹣∞，0），故选：D．13．（5分）已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（60）＝（）A．﹣50B．0C．2D．60解：根据题意，f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），且f （0）＝0；又由f（1﹣x）＝f（1+x）即有f（x+2）＝f（﹣x），则f（x+2）＝﹣f（x），进而得到f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）＝2，可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（60）＝15×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0；故选：B．14．（5分）已知函数f（x）＝，则函数F（x）＝f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7解：令t＝f（x），F（x）＝0，则f（t）﹣2t﹣＝0，分别作出y＝f（x）和直线y＝2x+，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1＝0，1＜t2＜2，即有f（x）＝0有一根；1＜f（x）＜2时，t2＝f（x）有3个不等实根，综上可得F（x）＝0的实根个数为4，即函数F（x）＝f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是4．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题卡相应的位置）15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x4+x，则f（1）＝﹣1．解：根据题意，x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x4+x，则f（﹣1）＝2﹣1＝1，又由f（x）为定义在R上的奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣1，故答案为：﹣1．16．（5分）式子log24+lg2+lg5的值是﹣3．解：log24+lg2+lg5＝+lg10＝﹣4+1＝﹣3．故答案为：﹣3．17．（5分）函数y＝a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象过一个定点，该定点的坐标为（1，3）．解：令x﹣1＝0，解得x＝1，则x＝1时，函数f（1）＝a0+2＝3，即函数图象恒过一个定点（1，3）．故答案为：（1，3）．18．（5分）一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为2500m2．解：设每个小矩形的高为am，则长为b＝（200﹣4a），记面积为Sm2则S＝3ab＝a•（200﹣4a）＝﹣4a2+200a（0＜a＜50）∴当a＝25时，S max＝2500（m2）∴所围矩形面积的最大值为2500m2故答案为：2500m219．（5分）函数f（x）＝4x|log0.5x|﹣1的零点个数为2．解：函数的零点满足，则零点的个数即函数y＝|log0.5x|与交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数零点的个数为2．故答案为：2．20．（5分）对于函数y＝f（x），若存在x0，使f（x0）+f（﹣x0）＝0，则称点（x0，f（x0））是曲线f（x）的“优美点”．已知，则曲线f（x）的“优美点”个数为4．解：由x＜0时，可得f（x）＝x2+2x，关于原点对称的函数f（x）＝﹣x2+2x，（x＞0），联立，解得x＝1或x＝2，则存在点（1，1）和（2，0）为“优美点”，同理，点（﹣1，﹣1）和（﹣2，0）为“优美点”，故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）21．（12分）设A＝{x|x2﹣ax+a2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{x|x2+2x﹣8＝0}．（1）若A∪B＝A∩B，求实数a的值；（2）若A∩B≠∅，且A∩C＝∅，求实数a的值．解：（1）因为A∪B＝A∩B，所以A＝B，又因为B＝{2，3}，则a＝5且a2﹣19＝6同时成立，所以a＝5．（2）因为B＝{2，3}，C＝{﹣4，2}，且A∩B≠∅，A∩C＝∅，则只有3∈A，即a2﹣3a ﹣10＝0，即a＝5或a＝﹣2，由（1）可知，当a＝5时，A＝B＝{2，3}，此时A∩C≠∅，与已知矛盾，所以a＝5舍去，故a＝﹣2．22．（12分）若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由f（0）＝1，∴c＝1，∴f（x）＝ax2+bx+1∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴2ax+a+b＝2x，∴∴f（x）＝x2﹣x+1（5分）（2）由题意：x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立，即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立其对称轴为，∴g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，∴g（x）min＝g（1）＝1﹣3+1﹣m＞0，∴m＜﹣1（10分）．23．（12分）已知函数f（x）＝4x+（m﹣3）2x+m．（1）若m＝1，函数是否有零点，如果有请求出零点．（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围．解：（1）设2x＝t（t＞0），当m＝1时，则原函数对应的方程为t2﹣2t+1＝0，方程可得唯一解t＝1，当t＝1时x＝0，原函数有唯一零点为0．（2）设2x＝t（t＞0），则原函数对应的方程为t2+（m﹣3）t+m＝0，原函数有两个零点，等价于方程t2+（m﹣3）t+m＝0有两个不相等的正根，则有，解得0＜m＜1．24．（14分）已知（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）若a＞1，用单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（3）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1﹣log a n，1﹣log a m]，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由．解：（1）由得：x＜﹣1或x＞1．所以，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．又∵∴f（x）为奇函数．（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则x1﹣x2＜0．因为所以，又因为a＞1，所以，故f（x1）＞f（x2），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．（3）假设存在实数a满足题目条件．由题意得：m＞0，n＞0，又∵[m，n]⊆（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∴1＜m＜n又∵1﹣log a n＜1﹣log a m，∴log a m＜log a n，解得a＞1．由（2）得：函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．所以，函数f（x）在区间[m，n]上单调递减．故，，所以，所以，∴m，n是方程x2+（1﹣a）x+a＝0的两个不同的实根．故，方程x2+（1﹣a）x+a＝0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根．则，解得：．又∵a＞1，所以，所以，满足题目条件的实数a存在，实数a的取值范围是．。
2020-2021西安市高中必修一数学上期中试卷带答案
2020-2021西安市高中必修一数学上期中试卷带答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)74．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D ．28．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．9．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a10．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 11．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.14．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．15．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 16．函数的定义域为___．17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .19．函数2()log 1f x x =-________． 20．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.22．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.23．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?24．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．25．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 26．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p +3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.4．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.6．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.7．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x aa x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =，所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C11．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属 解析：±1. 【解析】 【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f xg x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.15．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.16．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：.【点睛】 该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m --->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 18．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则； 因为0x ≥时，，则 若时，令 若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则； 19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.【详解】因为()())()()2222f x f x ln 1x 1ln 1x 1ln 122x x x x +-=+++++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<， ∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．22．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.23．（1）232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【解析】【分析】（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．【详解】（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x x x x x =---=-+-，当20x >时，260100160y x x =--=-，故232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）； （2）当020x <≤时，()223210016156y x x x =-+-=--+，当16x =时，156max y =，而当20x >时，160140x -<，故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元.【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题. 24．a ≤－1或a ＝1.【解析】【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.25．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【解析】【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+.所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增，所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.26．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x|0≤x≤}，∴A∩B={x|2＜x≤}；（2）当A∩B=B时，可得B⊆A；当时，令2p-1＞p+3，解得p＞4，满足题意；当时，应满足解得；即综上，实数p的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．。
陕西省西安市莲湖区2020-2021学年高一上学期期中数学试题
陕西省西安市莲湖区2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|02}M x x =，{|22}N x x =+>，则(MN = ) A ．{|0}x xB ．{|02}x xC ．{|0}x x >D ．{|02}x x < 2．函数()f x =） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,1D ．(]0,1 3．函数()ln 25f x x x =+-的零点所在区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 4．若函数()1f x x ，且()8f a =，则a =（ ） A ．9 B ．11 C ．10 D ．85．下列函数中与函数y x =值域相同的是（ ）A ．3log y x =B ．2x y =C ．1y x= D ．244y x x =-+ 6．若函数2()5f x x mx =++在区间[1,5]上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣2,+∞)B ．(﹣∞,﹣2]C ．[﹣10,+∞)D ．(﹣∞,﹣10] 7．已知 14a e -=，b ＝ln0.9，c ＝ln π，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c 8．已知全集为U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，{}1,3,5,7B =，{}7C =，则下列Venn 图中阴影部分表示集合C 的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()(0x m f x a n a -=+>，且1a ≠，m ，n 为常数）的图象恒过点(3,2)，则(m n += )A ．5B ．4C ．3D ．210．若函数(1)f x +的定义域[]1,1-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．[﹣1,1]B ．[﹣2,0]C ．[0,2]D ．[]22-,11．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[0,2] C ．[1,3]D ．[0,3] 12．已知函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是（ ）A ．[)[)1,23,-+∞B ．[)[)1,23,+∞C ．[)()1,22,⋃+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．设集合{}2,2A a a =，{}1,B a b =+，若{}1A B ⋂=-，则实数b ＝_____．14．已知幂函数()f x 的图象经过点()2,8，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭________. 15．已知偶函数()f x 在)0,⎡+∞⎣上单调递增，()43f =，则满足()13f x +<的x 的取值范围是______.16．已知函数51()1x f x x e =++在[](),0n n n ->上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________.三、解答题17．已知全集U =R ，{}14A x x =-≤≤，{}22B x x =-≤≤， {|0P x x =≤或7}2x ≥.（1）求A B ，A B ； （2）求()U B P ，()U B P ⋃.18．（1）计算1ln3481lg 200lg 2e ++-；（2）若2332log (log )log (log )2x y ==，求y x -的值．19．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-．（1）求()()2f f -的值；（2）求函数()f x 在R 上的解析式．20．已知二次函数()f x 的图象经过()()()0,3,2,3,1,1A B C --三点.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()g x f x mx =+在(3,8)上有最小值，求实数m 的取值范围．21．已知集合{}|40A x x =->，集合{}|3210B x x x x =-≤≤-，集合{}23C x m x m =<<-．（1）求()A B R ；（2）若A ∪C=A ，求实数m 的取值范围.22．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()12x f x g x ++=.（1）求()f x ，()g x 的解析式，并判断()f x 的单调性；（2）已知0m >，且1m ≠，不等式()()()log 2120m f f g +-+<成立，求m 的取值范围.参考答案1．A【分析】解不等式，根据集合的运算求出M ，N 的并集即可．【详解】解：由{|02}M x x =，{|22}{|0}N x x x x =+>=>，则[0M N =，)+∞，故选：A ．2．C【分析】由函数解析式可得010x x >⎧⎨->⎩，解出即可. 【详解】 要使函数()f x = 则010x x >⎧⎨->⎩，解得01x <<， 故()f x =的定义域为()0,1. 故选：C.3．C【分析】根据根的存在性定理结合单调性讨论函数零点所在区间.【详解】由题：()ln 25f x x x =+-在其定义域内单调递增，()2ln245ln210f =+-=-<，()3ln365ln310f =+-=+>，所以函数在()2,3一定存在零点，由于函数单调递增，所以零点唯一，且属于区间()2,3.故选：C【点睛】此题考查根据根的存在性定理确定函数零点所在区间，关键在于准确得出区间端点函数值的正负，结合单调性说明函数零点唯一.4．A【分析】转化条件为()18f a a =-=，即可得解.【详解】因为()1f x x ，所以()18f a a =-=，解得9a =.故选：A.5．D【分析】依次求出选项中函数的值域，即可判断.【详解】 0y x =≥，y x ∴=的值域为[)0,+∞，对于A ，3log y x =的值域为R ，故A 错误；对于B ，20x y =>，2x y ∴=的值域为()0,∞+，故B 错误；对于C ，1y x =的值域为{}0x x ≠，故C 错误； 对于D ，()224420y x x x =-=-≥+，∴值域是[)0,+∞，故D 正确. 故选：D.6．A【分析】 由二次函数的性质结合函数在区间上的单调性可得12m -≤，即可得解. 【详解】 由题意，函数2()5f x x mx =++的图象为开口朝上的抛物线，且对称轴2m x =-， 因为函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，所以12m -≤，解得2m ≥-，所以m 的取值范围为[)2,-+∞.故选：A.7．D【分析】由指数函数、对数函数的性质可得01b a c <<<<，即可得解.【详解】 由题意，14010e a e -<<==，ln0.9ln10b =<=，ln ln 1c e π=>=，所以01b a c <<<<.故选：D.8．B【分析】分析7与集合A 、B 的关系，可将集合C 表示出来，进而可得出结论.【详解】已知全集为U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，{}1,3,5,7B =，{}7C =，所以，7A ∉，7B ∈，7U A ∴∈，所以，()U C A B =，故选：B.9．B【分析】结合题意得到关于m ，n 的方程组，求出m ，n 的值，求出答案即可．【详解】解：由题意得：32m a n -=+， 则3012m n -=⎧⎨+=⎩，解得：31m n =⎧⎨=⎩， 故4m n +=，故选：B ．10．C【分析】由复合函数的定义域运算即可得解.【详解】因为函数(1)f x +的定义域[]1,1-，当[]1,1x ∈-时，[]10,2x +∈，所以函数()f x 的定义域为[]0,2.故选：C.11．D【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解.【详解】 由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈， 所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解. 12．A【分析】分别求出函数223y x x =--和()ln 1y x =-的零点，然后作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象，结合函数()f x 恰有两个零点，可得出实数λ的取值范围.【详解】解方程2230x x --=，解得11x =-，23x =，解方程()ln 10x -=，解得2x =.作出函数223y x x =--与函数()ln 1y x =-的图象如下图所示：要使得函数()()223,ln 1,x x x f x x x λλ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩恰有两个零点，则12λ-≤<或3λ≥. 因此，实数λ的取值范围是[)[)1,23,-+∞.故选：A.【点睛】 方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.13．0【分析】由交集的定义可得{}21,2a a-∈，{}11,a b -∈+，运算即可得解. 【详解】因为{}1A B ⋂=-，所以{}21,2a a-∈，{}11,a b -∈+由220a ≥可得1a =-，又1a b +=-，所以0b =.故答案为：0.14．18【分析】 设幂函数()a f x x ，由函数过点()2,8，求出参数a ，即可求出函数解析式，再代入计算可得；【详解】解：设幂函数()a f x x ，因为()f x 的图象经过点()2,8，所以28a =，解得3a =， 所以3()f x x =，所以3111228f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：18 15．()5,3-【分析】由偶函数的性质可将()13f x +<变形为()()14f x f +<，利用函数()f x 在)0,⎡+∞⎣上的单调性得出14x +<，解此不等式即可得解.【详解】因为()f x 为偶函数且在)0,⎡+∞⎣上单调递增，且()43f =，由()13f x +<可得()()14f x f +<，所以，14x +<，即414x -<+<，解得53x -<<. 因此，满足()13f x +<的x 的取值范围是()5,3-. 故答案为：()5,3-.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.【分析】根据函数()f x 关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，进而求解即可【详解】 因为55111()()()11111xx x x x e e e e f x f x x x e -+-=+++-+++++==，则函数()f x 关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以1M m +=. 故答案为：117．（1）{}24A B x x ⋃=-≤≤，{}12A B x x ⋂=-≤≤； （2）(){U |2B P x x ⋂=<-或7}2x ≥，(){U |0B P x x ⋃=≤或}2x >. 【分析】（1）根据集合交集、并集的概念进行计算即可；（2）先计算集合B 的补集，然后分别计算()U B P ，()U B P ⋃. 【详解】解：（1）∵{}14A x x =-≤≤，{}22B x x =-≤≤， ∴{}24A B x x ⋃=-≤≤，{}12A B x x ⋂=-≤≤. （2）{U |2B x x =<-或}2x >，(){U |2B P x x ⋂=<-或7}2x ≥， (){U |0B P x x ⋃=≤或}2x >.【点睛】本题考查集合间的综合运算，较简单，解答时注意端点的取值.18．（1）8；（2）431.【分析】（1）由对数的运算法则运算即可得解；（2）由指数运算与对数运算的关系可得3log 4x =，2log 9y =，进而可得x ，y ，即可得【详解】（1）由题意，()11ln3444200lg 33lg10081lg 6202820lg 233e ++-=++=++=+=； （2）因为2332log (log )log (log )2x y ==，所以3log 4x =，2log 9y =，所以4381x ==，92512y ==，所以51281431y x -=-=. 19．（1）()()20f f -=；（2）()2,00,02,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩. 【分析】（1）由奇函数的定义可得出()00f =，根据奇函数的定义由内到外可计算得出()()2ff -的值；（2）设0x <，计算出()f x -的表达式，利用奇函数的性质可求得()f x 在0x <时的表达式，综合可得出函数()f x 在R 上的解析式．【详解】（1）已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，当0x >时，()2f x x =-，则()()220f f -=-=，因此，()()()200f f f -==；（2）设0x <，则0x ->，则()2f x x -=--，()()2f x f x x ∴=--=+.因此，()2,00,02,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩. 20．（1）2()3f x x x =+-；（2）177m -<<-.【分析】（1）设()2(),0f x ax bx c a =++≠，代入运算即可得解；（2）易得函数()g x 图象的对称轴，进而可得1382m +<-<，即可得解. 【详解】（1）设()2(),0f x ax bx c a =++≠， 由题意得(0)3(2)423(1)1f c f a b c f a b c ==-⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得113a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以2()3f x x x =+-；（2）由（1）得()22()313g x x x mx x m x =+-+=++-， 所以函数()g x 图象的对称轴为12m x +=-， 因为函数()g x 在(3,8)上有最小值，所以1382m +<-<， 所以177m -<<-.21．（1）{}|14x x ≤≤；（2）3m ≤或4m ≥.【分析】（1）求出集合,A B ，再由交集、补集的定义运算即可得解；（2）转化条件为C A ⊆，按照C =∅、C ≠∅讨论，即可得解.【详解】（1）由题意，{}{}|40|4A x x x x =->=>，{}{}|3210|15B x x x x x x =-≤≤-=≤≤，所以{}R |4x A x =≤，所以(){}R |14x x A B =≤≤；（2）因为A C A ⋃=，则C A ⊆，当C =∅时，23m m ≥-，解得3m ≤，符合题意；当C ≠∅时，则234m m m <-⎧⎨≥⎩，解得4m ≥； 综上，实数m 的取值范围为3m ≤或4m ≥.22．（1）()22x x f x -=-，()22x xg x -=+，单调递增；（2）()()0,12,⋃+∞. 【分析】（1）由()()12x f x g x ++=可得()()12x f x g x -+-+-=，然后结合奇偶性可解出()f x ，()g x 的解析式，然后判断出()f x 的单调性即可； （2）由()()()log 2120m f f g +-+<可得()()log 21m f f <，然后可得log 21log m m m <=，然后分01m <<、1m 两种情况讨论即可.【详解】（1）由题可得()()12x f x g x -+-+-=，则()()12x f x g x -+-+= 又()()12x f x g x ++=，所以()22x x f x -=-，()22x x g x -=+ 因为2x y =在R 上单调递增，2x y -=在R 上单调递减所以函数()f x 在R 上单调递增（2）()()()log 2120m f f g +-+<等价于()()log 21m f f < 因为函数()f x 单调递增，则log 21log m m m <= 当01m <<时，上式等价于2m >，即01m << 当1m 时，上式等价于2m <，即2m >综上可知，()()0,12,m ∈⋃+∞。
2020-2021西安市高一数学上期中第一次模拟试题(带答案)
2020-2021西安市高一数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．25．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>6．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<7．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)78．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．19．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D ．212．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 14．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．15．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.16．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________．18．若4log 3a =，则22a a -+= ．19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________.20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .三、解答题21．已知函数()1ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.22．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.23．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．24．已知定义域为R 的函数()122x x bf x a++=+－ 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围． 25．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．A解析：A【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.5．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得32239b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．A【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.9．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11． C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠， 所以121()222f ==，所以211(())(2)log 222f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D二、填空题13．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.14．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-15．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.17．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.18．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433 【解析】【分析】【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴24223333a -+=+=. 考点：对数的计算 19．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的图象经过点(02)∴∴∴==∴=解析：()2log 1,1x x ->【解析】∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),∴3a b +=,∵反函数()1f x -的图象经过点(2,0),∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2),∴12b +=.∴2, 1.a b ==∴()f x =x a b +=2 1.x +∴()1f x -=()2log 1, 1.x x ->20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；解析：【解析】试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则； 因为0x ≥时，，则 若时，令 若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（1）[1,0]- ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论．试题解析：（1）令101x x+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0- （2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.22．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围.【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =.因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增， 所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩ （2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-.因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x +-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k x x ≤-+. 令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当12t =时，()max 14h t =， 所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】 本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.23．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．24．（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）16k <-【解析】【分析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a =（Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311()2236k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案.【详解】 （Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x b f x a++=+是奇函数 则()100,12b f b a-+===+ ()-2114f a+=+，()12-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数（Ⅱ）12111()22221x x x f x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11()221x f x =-++为减函数 22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－即22222t t t k ->-+ 所以223311()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min3111()2366k t ⎡⎤<--=-⎢⎥⎣⎦ 当13t =时，有最小值16- 故k 的取值范围是16k <-【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.25．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m << 综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭26．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。
2020-2021学年陕西省西安市莲湖十中片区七年级(上)期中数学试卷 解析版 (1)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2020-2021学年陕西省西安市莲湖十中片区七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．下列语句正确的是（）A．“+15米”表示向东走15米B．0℃表示没有温度C．﹣a可以表示正数D．0既是正数也是负数2．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×108C．4.4×109D．4.4×10103．关于整式的概念，下列说法正确的是（）A．的系数是B．32x3y的次数是6C．3是单项式D．﹣x2y+xy﹣7是5次三项式4．若（a﹣3）2+|b+4|＝0，则（a+b）2020的值是（）A．0B．﹣1C．1D．20205．某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（）A．（x﹣8%）（x+10%）B．（x﹣8%+10%）C．（1﹣8%+10%）x D．（1﹣8%）（1+10%）x6．万州二中初一年级小高同学为庆祝建国七十周年和建校八十周年，用五角星按一定规律摆出如图图案，则第9个图案需（）颗五角星．A．27B．30C．24D．28二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．用四舍五入法得到的近似数0.618，精确到位．8．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上（如图），根据图中的数据，判断墨迹盖住的整数有个．9．若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n＝．10．a，b是自然数，规定a∇b＝3×a﹣，则2∇17的值是．11．若x+y＝7，y+z＝8，z+x＝9，则x+y+z＝．12．若|x|＝2，|y|＝3，且x、y异号，则x﹣y的值为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）计算：（1）29×（﹣12）；（2）﹣14×[2﹣（﹣3）2]．14．（6分）按要求完成下列各题：（1）在数轴上表示下列各数：3，﹣4，﹣（﹣1.5），﹣|﹣2|；（2）用“＜”连接起来；（3）﹣|﹣2|与﹣4之间的距离是．15．（6分）已知a与﹣b互为相反数，c与d互为倒数，|x|＝4，y为最小的自然数，m为最大的负整数，求+cd+m﹣y．16．（6分）先化简，再求值：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）的值，其中x＝1，y＝﹣2．17．（6分）窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是acm，计算：（1）窗户的面积；（2）窗户的外框的总长．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：高度变化记作上升4.5km+4.5km下降3.2km﹣3.2km上升1.1km+1.1km下降1.4km﹣1.4km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？19．（8分）数学课上李老师让同学们做一道整式的化简求值题，李老师把整式（7a3﹣6a3b）﹣3（﹣a3﹣2a3b+a3﹣1）在黑板上写完后，让一位同学随便给出一组a，b的值，老师说答案．当刘阳刚说出a，b的值时，李老师不假思索，立刻说出了答案．同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？20．（8分）对于四个数“﹣8，﹣2，1，3”及四种运算“+，﹣，×，÷”，列算式解答：（1）求这四个数的和；（2）在这四个数中选出两个数，按要求进行下列计算，使得：①两数差的结果最小：②两数积的结果最大：（3）在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等于没选的那个数．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，请根据图形提供的信息解答下列各题：（1）b+c0（用“＜”或“＞”或“＝”填空）；（2）用含有字母a、b、c的式子填空：|a+b|＝；|a+c﹣b|＝；（3）化简：|b﹣a|+|a﹣c|﹣|b+c|（写出必要的解答过程）．22．（9分）数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话：请根据对话解答下列问题：（1）判断甲、乙、丙三位同学的多项式是否为“友好多项式”，并说明理由．（2）丁的多项式是什么？（请直接写出所有答案）．六、（本大题共12分）23．（12分）观察下列等式：＝1﹣，＝，＝，将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣＝1﹣＝．（1）猜想并写出：＝．（2）直接写出计算结果：+++…+＝；（3）探究并计算：①．②．2020-2021学年陕西省西安市莲湖十中片区七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．下列语句正确的是（）A．“+15米”表示向东走15米B．0℃表示没有温度C．﹣a可以表示正数D．0既是正数也是负数【分析】根据正负数的意义进行选择即可．【解答】解：A、“+15米”不一定表示向东走15米，原说法错误，故这个选项不符合题意；B、0℃不是没有温度，而是表示零上温度和零下温度的分界点，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、﹣a可以表示正数，也可以表示负数，原说法正确，故这个选项符合题意；D、0 既不是正数也不是负数，原说法错误，故这个选项不符合题意；故选：C．2．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×108C．4.4×109D．4.4×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将4400000000用科学记数法表示为：4.4×109．故选：C．3．关于整式的概念，下列说法正确的是（）A．的系数是B．32x3y的次数是6C．3是单项式D．﹣x2y+xy﹣7是5次三项式【分析】注意单项式的系数为其数字因数，次数是所有字母的次数的和，单个的数或字母也是单项式，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，项数为所含单项式的个数．【解答】解：A、﹣的系数为﹣，错误；B、32x3y的次数是4，错误；C、3是单项式，正确；D、多项式﹣x2y+xy﹣7是三次三项式，错误；故选：C．4．若（a﹣3）2+|b+4|＝0，则（a+b）2020的值是（）A．0B．﹣1C．1D．2020【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：a﹣3＝0，b+4＝0，解得：a＝3，b＝﹣4，则（a+b）2020＝（3﹣4）2020＝1．故选：C．5．某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（）A．（x﹣8%）（x+10%）B．（x﹣8%+10%）C．（1﹣8%+10%）x D．（1﹣8%）（1+10%）x【分析】首先利用减小率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润．【解答】解：由题意得3月份的利润为（1﹣8%）x，4月份的利润为（1﹣8%）（1+10%）x．故选：D．6．万州二中初一年级小高同学为庆祝建国七十周年和建校八十周年，用五角星按一定规律摆出如图图案，则第9个图案需（）颗五角星．A．27B．30C．24D．28【分析】设第n个图案需要a n（n为正整数）颗五角星，根据各图形中五角星颗数的变化，可找出变化规律“a n＝3n+1（n为正整数）”，再代入n＝9即可得出结论．【解答】解：设第n个图案需要a n（n为正整数）颗五角星．观察图形，可知：a1＝3×1+1，a2＝3×2+1，a3＝3×3+1，…，∴a n＝3n+1，∴a9＝3×9+1＝28．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．用四舍五入法得到的近似数0.618，精确到千分位．【分析】利用有效数字的精确度求解．【解答】解：近似数0.618，精确到千分位．故答案为千分．8．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上（如图），根据图中的数据，判断墨迹盖住的整数有10个．【分析】根据数轴的特征，可得墨迹盖住的整数有﹣6、﹣5、…、3，据此求解即可．【解答】解：墨迹盖住的整数有10个：﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3．故答案为：10．9．若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n＝7．【分析】利用合并同类项法则得出关于m，n的等式，求出m、n的值，代入计算即可．【解答】解：根据题意，得m﹣5＝1，3﹣n＝2，解得：m＝6，n＝1．所以m+n＝6+1＝7．故答案为：7．10．a，b是自然数，规定a∇b＝3×a﹣，则2∇17的值是．【分析】a∇b表示用a的3倍减去b的，据此求出2∇17的值是多少即可．【解答】解：∵a∇b＝3×a﹣，∴2∇17＝3×2﹣＝6﹣＝．故答案为：．11．若x+y＝7，y+z＝8，z+x＝9，则x+y+z＝12．【分析】已知三个等式左右两边相加，计算即可求出所求．【解答】解：∵x+y＝7①，y+z＝8②，z+x＝9③，∴①+②+③得：x+y+y+z+z+x＝7+8+9，即2x+2y+2z＝24，∴x+y+z＝12，故答案为：1212．若|x|＝2，|y|＝3，且x、y异号，则x﹣y的值为5或﹣5．【分析】先根据绝对值的定义及x，y异号，分别求出x、y的值，再代入x﹣y，即可得出结果．【解答】解：因为|x|＝2，|y|＝3，所以x＝±2，y＝±3．又x，y异号，所以当x＝2，y＝﹣3时，x﹣y＝2+3＝5；当x＝﹣2，y＝3时，x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案为：5或﹣5．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）计算：（1）29×（﹣12）；（2）﹣14×[2﹣（﹣3）2]．【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题．【解答】解：（1）29×（﹣12）＝（30﹣）×（﹣12）＝30×（﹣12）﹣×（﹣12）＝﹣360+＝﹣359；（2）﹣14×[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝﹣1+＝．14．（6分）按要求完成下列各题：（1）在数轴上表示下列各数：3，﹣4，﹣（﹣1.5），﹣|﹣2|；（2）用“＜”连接起来；（3）﹣|﹣2|与﹣4之间的距离是2．【分析】（1）在数轴上表示出各数即可；（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案；（3）观察数轴可得结果．【解答】解：（1）﹣（﹣1.5）＝1.5，﹣|﹣2|＝﹣2，在数轴上表示出各数如图：（2）它们的大小关系为﹣4＜﹣|﹣2|＜﹣（﹣1.5）＜3．（3）从数轴可知：﹣|﹣2|与﹣4之间的距离是2．故答案为：2．15．（6分）已知a与﹣b互为相反数，c与d互为倒数，|x|＝4，y为最小的自然数，m为最大的负整数，求+cd+m﹣y．【分析】利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：由题意得：a﹣b＝0，cd＝1，x＝4或﹣4，y＝0，m＝﹣1，当x＝4时，原式＝0+1+（﹣1）﹣0＝0；当x＝﹣4时，原式＝0+1+（﹣1）﹣0＝0．16．（6分）先化简，再求值：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）的值，其中x＝1，y＝﹣2．【分析】去括号、合并同类项化简后代入求值即可．【解答】解：3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）＝3y2﹣x2+4x2﹣6xy﹣3x2﹣3y2＝﹣6xy当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣6×1×（﹣2）＝12．17．（6分）窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是acm，计算：（1）窗户的面积；（2）窗户的外框的总长．【分析】（1）根据图示，用边长是acm的4个小正方形的面积加上半径是acm的半圆的面积，求出窗户的面积是多少即可．（2）根据图示，用3条长度是2acm的边的长度和加上半径是acm的半圆的周长，求出窗户的外框的总长是多少即可．【解答】解：（1）窗户的面积是：4a2+πa2÷2＝4a2+0.5πa2＝（4+0.5π）a2（cm2）（2）窗户的外框的总长是：2a×3+πa＝6a+πa＝（6+π）a（cm）四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：高度变化记作上升4.5km+4.5km下降3.2km﹣3.2km上升1.1km+1.1km下降1.4km﹣1.4km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？【分析】此题的关键是理解+，﹣的含义，+为上升，﹣为下降．在第二问中，要注意无论是上升还是下降都是要用油的，所以要用它们的绝对值乘2．【解答】解：（1）4.5﹣3.2+1.1﹣1.4＝1，所以升了1千米；（2）4.5×2+3.2×2+1.1×2+1.4×2＝20.4升；（3）∵3.8﹣2.9+1.6＝2.5，∴第4个动作是下降，下降的距离＝2.5﹣1＝1.5千米．所以下降了1.5千米．19．（8分）数学课上李老师让同学们做一道整式的化简求值题，李老师把整式（7a3﹣6a3b）﹣3（﹣a3﹣2a3b+a3﹣1）在黑板上写完后，让一位同学随便给出一组a，b的值，老师说答案．当刘阳刚说出a，b的值时，李老师不假思索，立刻说出了答案．同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？【分析】原式去括号合并得到最简结果，由结果与a、b的值无关，确定出所求即可．【解答】解：原式＝7a3﹣6a3b+3a3+6a3b﹣10a3+3＝3，由多项式化简可知：多项式的值跟a和b无关，∴无论多项式中a和b的值是多少，多项式的值都是3．20．（8分）对于四个数“﹣8，﹣2，1，3”及四种运算“+，﹣，×，÷”，列算式解答：（1）求这四个数的和；（2）在这四个数中选出两个数，按要求进行下列计算，使得：①两数差的结果最小：②两数积的结果最大：（3）在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等于没选的那个数．【分析】根据题意列出相应的算式，计算即可．【解答】解：（1）（﹣8）+（﹣2）+1+3＝﹣10+4＝﹣6；（2）①根据题意得：（﹣8）﹣3＝﹣8﹣3＝﹣11；②根据题意得：（﹣8）×（﹣2）＝16；（3）根据题意得：（﹣8）÷（﹣2）﹣3＝1或（﹣8）÷（﹣2）﹣1＝3．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，请根据图形提供的信息解答下列各题：（1）b+c＜0（用“＜”或“＞”或“＝”填空）；（2）用含有字母a、b、c的式子填空：|a+b|＝a+b；|a+c﹣b|＝b﹣a﹣c；（3）化简：|b﹣a|+|a﹣c|﹣|b+c|（写出必要的解答过程）．【分析】（1）直接利用数轴上a，b，c的位置进而得出答案；（2）直接利用数轴上a，b，c的位置进而得出答案；（3）直接利用数轴上a，b，c的位置进而得出答案．【解答】解：（1）由数轴可得，b+c＜0；故答案为：＜；（2）由数轴可得：a+b＞0，a+c﹣b＜0，则|a+b|＝a+b，|a+c﹣b|＝b﹣a﹣c；故答案为：a+b；b﹣a﹣c；（3）由数轴可得：b﹣a＞0，a﹣c＞0，b+c＜0，|b﹣a|+|a﹣c|﹣|b+c|＝b﹣a+a﹣c+（b+c）＝2b．22．（9分）数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话：请根据对话解答下列问题：（1）判断甲、乙、丙三位同学的多项式是否为“友好多项式”，并说明理由．（2）丁的多项式是什么？（请直接写出所有答案）．【分析】（1）根据定义计算两个多项式的差等于第三个多项式可作判断；（2）分情况讨论：①丁的多项式＝甲的多项式﹣乙的多项式或丁的多项式＝乙的多项式﹣甲的多项式；②丁的多项式＝甲的多项式+乙的多项式．【解答】解：（1）∵（3x2﹣x+1）﹣（2x2﹣3x﹣2），＝3x2﹣x+1﹣2x2+3x+2，＝x2+2x+3，∴甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”；（2）∵甲、乙、丁三位同学的多项式是“友好多项式”，∴分两种情况：①（2x2﹣3x﹣2）﹣（3x2﹣x+1）或（3x2﹣x+1）﹣（2x2﹣3x﹣2），（2x2﹣3x﹣2）﹣（3x2﹣x+1）＝2x2﹣3x﹣2﹣3x2+x﹣1＝﹣x2﹣2x﹣3（3x2﹣x+1）﹣（2x2﹣3x﹣2）＝3x2﹣x+1﹣2x2+3x+2＝x2+2x+3，②（3x2﹣x+1）+（2x2﹣3x﹣2），＝5x2﹣4x﹣1；∴丁的多项式是﹣x2﹣2x﹣3 或x2+2x+3或5x2﹣4x﹣1．六、（本大题共12分）23．（12分）观察下列等式：＝1﹣，＝，＝，将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣＝1﹣＝．（1）猜想并写出：＝﹣．（2）直接写出计算结果：+++…+＝；（3）探究并计算：①．②．【分析】（1）观察已知等式即可得结果；（2）根据已知等式的计算过程进行计算即可得结果；（3）①结合（1）（2）的计算过程进行计算即可；②结合①进行有理数混合运算即可．【解答】解：（1）＝﹣；故答案为：﹣；（2）+++…+＝1+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；故答案为：；（3）①＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1﹣）＝；②＝（1﹣﹣++﹣﹣++﹣+…+﹣﹣+）＝×（1﹣﹣+）＝．。
陕西省西安市莲湖区2020-2021学年高一上学期期中联考语文试题 Word版含答案
西安市莲湖区2020-2021学年高一上学期期中联考语文试卷考生注意：1．本试卷分共150分，考试时间150分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：人教版必修1。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
我们有理由相信，儿童时期的好奇心和想象力特别高。
但是随着受教育时间的增加，好奇心和想象力很有可能会递减。
这是因为知识体系都是有框架、有假定的，好奇心而想象力往往会挑战这些假定，突破现有框架，这在很多情况下并不正确，所以会遭到批评，而这在客观上就容易产生压制好奇心和想象力的效果。
当学生学习的目的是为了好成绩，教师教书的目标是传授标准答案，那么教育越投入，教师和学生越努力，好奇心和想象力就会被扼杀得越系统化、彻底化，好奇心和想象力的减少程度就越深。
如果创造力是知识与好奇心的乘积，那么随着受教育时间的增加，知识在增加，而好奇心却可能在减少，结果创造力就并非随受教育增多而单纯上升。
这就形成了创新型人才培养上的一个悖论：更多教育一方面有助于增加知识而提高创造力，另一方面又因减少好奇心和想象力而降低创造力。
我把上述想法进一步扩展，比好奇心和想象力更一般、更深层的因素，是心智模式或心态。
好奇心和想象力是心智模式或心态中的一种。
所以，我的更为一般性的假说是，创造力等于知识乘以心智模式。
我下面举四个人的例子，从不同角度论说具有创造性心智模式的人有何特征。
第一个是爱因斯坦和他的“简洁思维”。
爱因斯坦的心智模式是相信世界可以被简洁的理论理解，并可以用简洁的公式表述。
他说过，“如果你无法简单地解释，就说明你没有理解透彻。
”在他看来，科学研究不是为了智力上的快感，也不是为了纯粹的功利，而是想以最适当的方式画出一幅简化的和易领悟的世界图像。
所以，推动他的创造性的动力并非来自深思熟虑的意向或计划，而是来自激情。
第二个是乔布斯和他的“不同思维”。
在面对计算机领域的霸主——IBM这样的大公司时，乔布斯的心智模式是我要与你不同。
2020-2021西安市高一数学下期中一模试题(附答案)
2020-2021西安市高一数学下期中一模试题(附答案)一、选择题1．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+2．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①③5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C ．322D ．227．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+258．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．9．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．110．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 11．如图，正四面体ABCD 中，,EF 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________14．如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____15．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ． 16．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 17．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．18．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________. 20．在正方体1111ABCD A B C D -中，①BD P 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒ ③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD 请把所有正确命题的序号填在横线上________．三、解答题21．如图，在多面体ABCDM 中，BCD ∆是等边三角形，CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点.（1）求证：//OM 平面ABD ；（2）若2AB BC ==，求三棱锥M ABD -的体积.22．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =.(Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ； (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.23．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．24．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ； （2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程； (2) DC 边所在直线的方程．26．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC⊥平面11AA B B；（2）证明：//DE平面ABC.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为4031---=﹣1，PB的斜率为2031--=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.2．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 3．B解析：B【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误； ②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确； ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误； ④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确． 故选B ．解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B6．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m =+=,故32m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．9．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．10．A解析：A【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径3DE=234()32S ππ== 故选A 【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为25d ==<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.二、填空题13．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④ 【解析】 【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论． 【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错； 对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错； 对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④ 【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．14．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常 解析：32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．15．4【解析】试题分析：圆的圆心为圆心到直线的距离为所以点到直线的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系解析：4 【解析】试题分析：圆的圆心为()0,0,1r =，圆心到直线34250x y +-=的距离为5d ==，所以点到直线34250x y +-=的距离的最小值是5-1=4考点：直线和圆的位置关系16．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：()1,4,1--【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】 设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△A PC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4） 【解析】【分析】 【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．18．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】 【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】 74【解析】 【分析】将2291041y x x x +-+()2222354y x x =+-+()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =+-++即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：()22222291041354y x x x x x =+-+=+-+()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC +-++，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=min 74y ∴=74【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.20．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；解析：①③④ 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④. 【详解】对于①，如下图所示，由于1111,DD BB DD BB =P ，则四边形11DD B B 为平行四边形，则11D B BD P11D B ⊂面11D B C ，BD ⊄面11D B C ，所以BD P 平面11CB D ，故①正确；对于②，由于AD BC ∥，则直线AD 与1CB 所成角为145B CB ∠=︒，故②错误； 对于③，1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，则1AA BD ⊥，故③正确；对于④，在正方体中，1111,AA CC AA CC =P ，则四边形11AAC C 为平行四边形 所以1111,AC AC AC ⊄P 平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11A C ∥平面1ACD 同理1A B P 平面1ACD ，1111111,,AC A B A AC A B ⋂=⊂平面11A BC 所以平面11A BC ∥平面1ACD ，故④正确； 故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直推证出OM ⊥平面BCD ，再由AB ⊥平面BCD ，即可得OM //AB ，由线线平行，即可推证线面平行；（2）根据（1）中所求，结合M ABD O ABD A OBD V V V ---==，即可求解三棱锥A OBD -的体积即为所求. 【详解】（1）∵CMD ∆是等腰直角三角形，90CMD ∠=︒，点O 为CD 的中点，∴OM CD ⊥．∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD I 平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ， ∴OM ⊥平面BCD ．∵AB ⊥平面BCD ，∴OM //AB ． ∵AB Ì平面ABD ，OM ⊄平面ABD ， ∴OM //平面ABD ．（2）由（１）知OM //平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． ∵2AB BC ==，BCD V 是等边三角形，点O 为CD 的中点∴1122BOD BCD S S ∆∆== 24BC ==∴M ABD O ABD A OBD V V V ---==1123323BOD S AB ∆=⋅=⋅⋅=【点睛】本题考查的是空间的直线与平面平行判定定理的运用及点到面的距离的计算问题．第一问的解答时，务必要依据线面平行的判定定理中的条件要求，找出面内的线，面外的线，线线平行等三个缺一不可的条件；第二问三棱锥的体积的计算时，要运用等积转化法将问题进行转化，再运用三棱锥的体积公式进行计算．22．(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 3ABCDE V = 【解析】 【分析】（1）推导出AE ⊥CD ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面ADE ，再由AB ∥CD ，能证明AB ⊥平面ADE ．（2）凸多面体ABCDE 的体积V=V B-CDE +V B-ADE ，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：,AE CDE CD CDE ⊥⊂平面平面,AE CD ∴⊥又在正方形ABCD 中，CD AD ⊥AE AD A ⋂= CD ADE ∴⊥平面,又在正方形ABCD 中，//AB CD∴ //AB 平面ADE .(2) 连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ，//,,AB CD CD CDE ⊂Q 平面//AB CDE ∴平面，又AE CDE ⊥平面，∴ h AE = 1=又11222CDE S CD DE ∆=⨯=⨯=113B CDE V -∴==又11112332B ADE ADE V S AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=所以233ABCDE V = 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接PF ，由题意可得//PE AF ，由面面垂直的性质和等腰三角形的性质可得DC ⊥平面ABC ，AF BC ⊥，进而可得AF ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BCD ，由面面垂直的判定即可得证；（Ⅱ）由（1）知PE ⊥平面BDF ，计算出2PE BF ==，进而可得2BDF S =V ，由三棱锥体积公式即可得解. 【详解】（Ⅰ）证明：连接PF ，Q F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，∴//PF CD 且12PF CD =， Q //AE CD 且2DC AE =，∴//PF AE 且PF AE =， ∴四边形AEPF 为平行四边形，∴//PE AF ，Q 平面AEDC ⊥平面ABC ，平面AEDC I 平面ABC AC =，90ACD ∠=︒，∴DC ⊥平面ABC ，∴DC AF ⊥，又AC AB =，∴AF BC ⊥，Q BC DC C =I ，∴AF ⊥平面BCD ，∴PE ⊥平面BCD ， 又PE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得PE ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BDF ，Q 22DC AC AB AE ====，90ACD BAC ∠=∠=︒∴221122222PE AF BF BC ====+=∴12BDF S BF DC =⋅=V ，∴113323BDF E BDF S PE V -⋅===V . 【点睛】本题考查了面面垂直的判定和三棱锥体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.24．（1）见详解；（2）见详解；（3. 【解析】【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.【详解】(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P .又MD APC ⊄平面，AP APC ⊂平面，所以MD APC ∥平面.(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP P ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P I ＝，所以AP PBC ⊥平面.因为BC PBC ⊂平面，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC APC ⊥平面.(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP P ，所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以5,PB MB MD MB ====. 由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝. 于是111433222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝.所以1133322D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯⨯=g △＝＝＝. 【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.25．（1）320x y ++=；（2）320x y -+=【解析】分析：（1）先由AD 与AB 垂直，求得AD 的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根据矩形特点可以设DC 的直线方程为()306x y m m -+=≠-，然后由点到直线的距离得出2210510m+=，就可以求出m 的值，即可求出结果. 详解：(1)由题意：ABCD 为矩形，则AB⊥AD，又AB 边所在的直线方程为：x －3y －6＝0，所以AD 所在直线的斜率k AD ＝－3，而点T(－1，1)在直线AD 上．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋2＝0.(2)方法一：由ABCD 为矩形可得，AB∥DC，所以设直线CD 的方程为x －3y ＋m ＝0.由矩形性质可知点M 到AB 、CD 的距离相等所以＝,解得m ＝2或m ＝－6(舍)．所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.方法二：方程x －3y －6＝0与方程3x ＋y ＋2＝0联立得A （0，-2），关于M 的对称点C （4，2）因AB ∥DC ，所以DC 边所在的直线方程为x －3y ＋2＝0.点睛：本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC .【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.。
【精准解析】陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷
长安一中2020-2021学年度第一学期高一年级期中考试数学试题一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若全集U =R ，集合{0,1,2,3,4,5}A = ，{}|2B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为A. {1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {1,2}【答案】C 【解析】 【分析】【详解】试题分析：根据Venn 图可知图中的阴影部分表示()U A C B ⋂ ,所以阴影部分所表示的集合为{}1,2,0．考点：1．Venn 图；2．集合的运算．2. 设f A B →：是从集合A 到集合B 的映射，其中(){},,A B x y x R y R ==∈∈，()(),,f x y x y x y →+-：那么B 中元素(1,5)的原像是（ ）A. (3,2)-B. (3,2)-C. (2,1)-D. (2,1)-【答案】A 【解析】 【分析】根据()(),,f x y x y x y →+-：，由15x y x y +=⎧⎨-=⎩求解. 【详解】由()(),,f x y x y x y →+-：，令15x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩，所以B 中元素(1,5)的原像是()3,2- 故选：A3. 下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ） A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+ D. 2x y =【答案】C 【解析】 【分析】A. 由二次函数的性质判断；B. 由一次函数的性质判断；C. 由二次函数的性质判断；D.由指数函数的性质判断.【详解】A. 由二次函数的性质得，3y x =在()0,∞+单调递增，故错误；B. 由一次函数的性质得：1y x =+在()0,∞+单调递增，故错误；C. 由二次函数的性质得，21y x =-+图象关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，故正确；D. 由指数函数的性质得：2x y =在()0,∞+单调递增，故错误； 故选：C4.)63a -≤≤的最大值为（ ）A 9B.92C. 3D.2【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法结合函数的定义域即可求解．【详解】＝＝＝由于63a -≤≤，所以当32a =-有最大值92， 故选：B .【点睛】本题考查利用配方法求二次函数的最值，考查计算化简的能力，属基础题. 5. 函数2()ln(28)f x x x =--的单调递减区间是（ ） A. (,2)-∞- B. (,1)-∞C. (1,)+∞D. (4,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质即可求解【详解】由()2()ln 28f x x x =--知2280x x -->，即2x <-或4x >，结合复合函数“同增异减”的性质可知，当2x <-时，()2()ln 28f x x x =--单调递减. 故选：A【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解，属于基础题 6. 已知函数()24log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2C. ()2,4D. ()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的存在定理，求得()()240f f ⋅<，即可得到答案. 【详解】由题意，函数()24log f x x x=-，易得函数()f x 为单调递减函数， 又由()()2242log 21,41log 412f f =-==-=-，所以()()240f f ⋅<， 根据零点的存在定理，可得()f x 零点的区间是()2,4.故选：C.7. 设()f x 是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，若10x <且12+0x x >，则（ ） A. 12()()f x f x > B. 12()()f x f x <C. 12()=()f x f xD. 1()f x 与2()f x 大小不确定【答案】B 【解析】 【分析】由10x <且12+0x x >，结合函数的单调性得到()()21f x f x >-，再结合函数的奇偶性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数， 因为10x <且12+0x x >，可得210x x >->，所以()()21f x f x >-， 又由()()11f x f x -=，所以12()()f x f x <. 故选：B.8. 设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 6)f f -+=（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由题意判断出需要代入的解析式，然后分别计算出(2)f -与2(log 6)f 即可.【详解】因为21-<，所以2(2)1log (22)123f -=++=+=；因为2log 61>，所以22log 61log 32(log 6)223f -===，则2(2)(log 6)33=6f f -+=+.故选：B.9. 函数2ln y x x =-的图象大致为（ ）A B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数f （x ）为偶函数，，排除B,D ，再由函数的特殊值确定答案．【详解】令f (x )＝y ＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|－x |－(－x )2＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝－2x ，当x ∈时，y ′＝－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C ，A 项满足.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．10. 已知0.20.52log 0.5,2,0.2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】因为0.20.52log 0.50,21,00.21a b c =<=><=<，所以a c b << 故选：B11. 直线1y =与函数2()f x x x a =-+的图像有4个交点，则a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. 5(1,)4C. 5(,)4+∞D. 51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】将题干条件转化为函数()2g x x x =-与1y a =-的图像有4个交点，画函数()2g x x x=-的图像，可判断当1104a -<-<时，会有4个交点，即可求得. 【详解】原问题等价于函数()2g x x x =-与1y a =-的图像有4个交点，绘制函数()2g x x x =-的图像，由图可知函数()2g x x x =-的最小值为14-，所以当函数1y a=-的范围为1(,0)4-时，会有4个交点，所以1104a -<-<，则514a <<. 故选：B.12. 设函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足(21)(3)f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A. (,1]-∞-B. (0,)+∞C. (1,0)-D. (,0)-∞【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象可得不等关系求解.【详解】函数2,0()1,0x xf xx-⎧≤=⎨>⎩的图象如图所示：由图象知：若使(21)(3)f x f x+<，则30210213xxx x<⎧⎪+<⎨⎪+>⎩或30210xx<⎧⎨+≥⎩，解得12x<-或12x-≤<，即0x<，故选：D13. 已知函数()f x是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x-=+.若(1)2f=，则(1)(2)(3)f f f++(60)f++=（）A. 50- B. 0 C. 2 D. 60【答案】B【解析】【分析】利用奇函数的性质及(1)(1)f x f x-=+，推出函数()f x的周期为4，然后得出(1)(2)(3)(60)15[(1)(2)(3)(4)]f f f f f f f f++++=+++得出结果.【详解】由函数()f x是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，则()()f x f x-=-，(1)(1)f x f x -=+，(1)(1)f x f x ∴+=--，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是周期函数，且周期为4， (1)2f =，(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，则(2)0f =，(3)(34)(1)(1)2f f f f =-=-=-=-，(4)(44)(0)0f f f =-==，()(1)(2)(3)(60)15[(1)(2)(3)(4)]1520200f f f f f f f f ∴++++=+++=+-+=故选：B.14. 已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】 【分析】令(),()0t f x F x ==有3()22f t t =-，结合函数图象知有两个交点的横坐标为120,(1,2)t t =∈，再由1()f x t =、2()f x t =判断()F x 的零点个数即可.【详解】令(),()0t f x F x ==，则3()202f t t --=， 作出()y f x =的图象和直线32+2y x =，由图象可得有两个交点，设横坐标为12,t t ，∴120,(1,2)t t =∈.当1()f x t =时，有2x =，即有一解；当2()f x t =时，有三个解， ∴综上，()0F x =共有4个解，即有4个零点. 故选：A【点睛】关键点点睛：由(),()0t f x F x ==得3()22f t t =-，利用函数图象确定交点横坐标12,t t ，再由分段函数的性质当1()f x t =、2()f x t =时确定()F x 的零点个数.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题卡相应的位置）15. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，4()2f x x x =+，则(1)f =_______________.【答案】-1 【解析】 【分析】根据题意，得到()()11f f =--，代入即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，4()2f x x x =+，则()()411[2(1)(1)]1f f =--=-⨯-+-=-. 故答案为：1-. 16. 式子251log log 4+lg2lg525+的值是_______________. 【答案】-3 【解析】 【分析】根据对数的运算及运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由251lg1lg 42lg52lg 225log log 4+lg 2lg5(lg 2lg5)1325lg 2lg5lg 2lg5-+=⨯++=⨯+=-.故答案为：3-.17. 函数1()1(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是_____.【答案】(1,2) 【解析】 【分析】令10x -=，得1x =，()2f x = 【详解】令10x -=，则有1x =0()12f x a =+=所以()f x 过定点(1,2) 故答案为：(1,2)【点睛】处理与指数函数有关的函数过定点时是利用01a =(0a >且1)a ≠.18. 有一批材料可以建成200m 长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________. 【答案】22500m 【解析】 【分析】设每个小矩形长为x 米，宽为y 米，则依题意可知43200x y +=，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值． 【详解】如图所示：设每个小矩形长为x 米，宽为y 米，显然,0x y >，则依题意可知43200x y +=， 设围成的整个矩形场地的面积为S ，所以22114312003(4)(3)()()250044242x y S xy x y +==⋅⋅≤⋅=⨯=，当且仅当43x y =时取等号，即当10025,3x y ==时取等号，因此max 2500S =.故答案为：22500m19. 函数0.5()4log 1xf x x =-的零点个数为_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】由()0f x =得0.5log 4x x -=，由0.54,|log |xy y x -==的图象确定交点个数，即为所求零点的个数.【详解】令()0f x =，有0.54log 1x x =，即0.5log 4xx -=，∴作出0.54,|log |xy y x -==的函数图象如下：∴由图象有两个交点知：()f x 的零点个数有2个. 故答案为：220. 对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()000f x f x +-=，则称点()()00,x f x 是曲线()f x 的“优美点”.已知()22,02,0x x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则曲线()f x 的“优美点”个数为_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据定义分类讨论进行求解即可.【详解】当00x ≥时，由()()000f x f x +-=可得：200002201x x x x -++-=⇒=或02x =，显然符合00x ≥；当00x <时，由()()000f x f x +-=可得：200002201x x x x +++=⇒=-或02x =-，显然符合00x <，因此曲线()f x 的“优美点”个数为4. 故答案为：4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）21. 集合{}22190A x x ax a =-+-=， {}2560B x x x =-+= ，{}2280C x x x =+-=.（1）若AB A B =，求 a 的值；（2）若,A B A C ⋂≠∅⋂=∅，求a 的值． 【答案】（1）5a =；(2) 2a =-. 【解析】 【分析】（1）先求出B 集合，由A B A B =得出A B =，再由韦达定理求得a ；（2）求出集合C ，由A B φ⋂≠，A C φ⋂=得出3A ∈,从而求得a 的值，再代入集合A 中验证是否满足题意，得解.【详解】（1）由{}2560B x x x =-+=得{2,3}B =，因为A B A B =，所以A B =，所以2232319a a +=⎧⎨⨯=-⎩，解得5a =； （2）由{}2280C x x x =+-=得{2,4}C =-，因为A B φ⋂≠，A C φ⋂=，所以3A ∈，所以2233190a a -+-=，即23100a a --=，解得5a =或2a =-， 当5a =时，{2,3}A =与A C ⋂=∅矛盾， 当2a =-时，{5,3}A =-，满足题意，∴2a =- 故得解.【点睛】本题考查集合间的交集和并集运算，在求解时注意验证是否满足题意，属于基础题. 22. 若二次函数满足()()12f x f x x +-=且()02f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2()2f x x x =-+；（2）()0-∞，. 【解析】 【分析】（1）设函数2()f x ax bx c =++，根据(0)2f =，求得2c =，再由()()12f x f x x +-=，列出方程组，求得,a b 的值，即可求解；（2）把不等式()2f x x m >+在[]1,1-上恒成立，转化为2320x x m -+->在[]1,1-上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(0)2f =，可得(0)2f c ==，即2c =，所以2()2f x ax bx =++，又因为()()12f x f x x +-=，可得22ax a b x ++=，所以2=2=0a a b ⎧⎨+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以2()2f x x x =-+.（2）由()2f x x m >+在[]1,1-上恒成立，即222x x x m -+>+在[]1,1-上恒成立， 即2320x x m -+->在[]1,1-上恒成立， 令2231()32()24g x x x m x m =-+-=---，其对称轴为32x =，所以()g x 在区间[]1,1-是减函数，min ()(1)1320g x g m ==-+->，所以0m <，即实数m 的取值范围是()0-∞，. 23. 已知函数()()=432x x f x m m +-+（1）若1m=，函数是否有零点，如果有，请求出零点； （2）若函数有两个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）有，0；（2）01m <<. 【解析】 【分析】（1）设()20xt t =>，解出2210t t -+=，可得答案；（2）由条件可得方程()230t m t m +-+=有两个不相等的正根，然后可建立不等式组解出答案.【详解】（1）设()20xt t =>，当1m=时，则原函数对应的方程为2210t t -+=方程可得唯一解=1t ，当=1t 时=0x 原函数有唯一零点为0（2）设()20xt t =>，则原函数对应的方程为()230t m t m +-+=，原函数有两个零点，等价于方程()230t m t m +-+=有两个不相等的正根，则有()()2340300m m m m ⎧∆=-->⎪-->⎨⎪>⎩，解得01m <<24. 已知函数()1=log (01ax f x a x +>-且1)a ≠. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）若1a >，证明函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减；（3）是否存在实数a ，使得()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m --，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，()3++∞. 【解析】 【分析】（1）由解析式有(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞且()()f x f x -=-，奇函数即得证. （2）由函数单调性定义令121x x <<判断12()()f x f x -的符号即可确定单调性.（3）由题意知1n m >>且1a >，根据()f x 单调性有()1log ()1log a a f m mf n n=-⎧⎨=-⎩，进而可知,m n 为方程2(1)0x a x a +-+=在()1,+∞上两个不等实根，即可求a 的取值范围；【详解】（1）()f x 为奇函数；由解析式知：101x x +>-得(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞， 又111()log log log ()111aa a x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-， ∴()f x 为奇函数.（2）任取121x x <<，有120x x -<， ∵12211212112()011(1)(1)x x x x x x x x ++--=>----， ∴12121111x x x x ++>--，又1a >， ∴121211log log 11aa x x x x ++>--，故12()()f x f x >，所以函数()f x 在区间()1,+∞上单调递减； （3）若存在实数a ，由题意：[],(,1)(1,)m n ⊆-∞-⋃+∞且,0m n >， ∴1n m >>，又1log 1log a a m n ->-得log log a a m n <，即1a >，由（2）知：()1log ()1log a a f m m f n n =-⎧⎨=-⎩，有22(1)0(1)0m a m a n a n a ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩，∴,m n 为方程2(1)0x a x a +-+=在()1,+∞上两个不等实根，有()2(1)401{12120a a a f ∆=-->->=>，解得3a >+∴综上，存在实数(3)a ∈++∞使得题设条件成立. 【点睛】关键点点睛：（1）由函数奇偶性定义判断奇偶性. （2）由单调性定义即可确定()f x 的单调性.（3）根据定义域、值域及函数的单调性列不等式组，结合二次函数与方程的关系判断实数a的存在性，并求实数a的取值范围；。
陕西省西安中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
陕西省西安中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y =） A ．{|02}x x << B ．{|01x x <<或12}x << C ．{|02}x x <≤D ．{|01x x <<或12}x <≤2．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4)4．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13C ．12-D ．125．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n n x -(n ∈Z)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．1或－36．若函数2()41f x x x =-+在定义域A 上的值域为[]3,1-,则区间A 不可能为( ) A ．[]0,4B ．[]2,4C ．[]1,4D ．[]3,5-7．根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1082，则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1091D ．10938．已知实数a ，b 满足等式2019a ＝2020b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ．其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知函数f (x )＝2log ,031,0xx x x ->⎧⎨+≤⎩则f (f (1))＋31(log )2f 的值是( ) A ．5B ．3C ．－1D ．7210．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m>0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( ) A ．160B ．60C ．2003D ．320011．如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图像是( )A ．B ．C ．D ．12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足f （1﹣x ）＝f （1+x ）．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(99)f f f f ++++=… ( ) A ．99- B ．2C ．0D ．99二、填空题13．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________.14．已知1()(4)212x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -->0成立，那么a 的取值范围是__________．15．已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______；16．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k | n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确的结论是________．三、解答题 17．化简计算(1) 2034281()2log 10log 25()272π--+-+；(2) 已知101a a a ->-=，，求22441a a a a--+--的值． 18．已知集合{}1015,22A x ax B x x ⎧⎫=<-≤=-<≤⎨⎬⎩⎭(1) 若1a =,求A B ；(2) 若AB =∅,求实数a 的取值集合．19．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )；(2)若不等式()x ＋()x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 20．十一黄金小长假期间，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用（人工费，消耗费用等等）．受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)．(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？21．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 22．已知函数2()(0)f x ax bx c a b R c R =++>∈∈，，． (1)若函数()f x 的最小值是(1)0f -=，且c ＝1，()0()()0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩，，，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且1()1f x -≤≤在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围.参考答案1．D 【解析】2020,1x y x x -≥⎧-=∴⎨>≠⎩，解得01x <<或12x <≤，∴函数y ={|01x x <<或}12x <≤，故选D.【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.2．A 【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题. 【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列. 3．B 【详解】试题分析：根据函数的定义，对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，所以(1)(2)不对． 故选B考点：函数的概念．4．B 【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数， 得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数． 5．A 【分析】由幂函数f （x ）＝（n 2+2n ﹣2）23nn x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，知222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜，由此能求出n 的值．【详解】∵幂函数f （x ）＝（n 2+2n ﹣2）23n n x -（n ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，∴222221330n n n n n n ⎧+-=⎪-⎨⎪-⎩是偶数＜， 解得n ＝1． 故选A ． 【点睛】本题考查幂函数的性质及其应用，是基础题．熟记幂函数的性质是关键，是基础题． 6．D 【分析】根据函数图象得到函数在R上的单调性是先减后增，再根据单调性分别求出选项中四个区间上的最大最小值，得到相应的值域，再与[﹣3，1]比较，即可得到正确选项．【详解】∵函数f（x）＝x2﹣4x+1的图象是开口向上的抛物线，以x＝2为对称轴，∴函数在区间（﹣∞，2）上为减函数，[2，+∞）上为增函数．当x∈[0，4]时，函数最小值为f（2）＝﹣3，最大值为f（0）＝f（4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；当x∈[2，4]时，函数最小值为f（2）＝﹣3，最大值为f（4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；当x∈[1，4]时，函数最小值为f（2）＝﹣3，∵f（1）＝﹣2＜f（4）＝1，∴最大值为f（4）＝1，得函数值域为[﹣3，1]；当x∈[﹣3，5]时，最小值f（2）＝﹣3，最大值为f（﹣3）＝22，得函数值域为[﹣2，22]．根据以上的讨论可得区间A不可能为[﹣3，5]．故选：D．【点睛】本题给出二次函数的值域，求可能的定义域，着重考查了二次函数的单调性和闭区间上值域的求法等知识，属于基础题．7．C【解析】【分析】根据对数的性质可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【详解】由题意：M≈3361，N≈1082，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴173821010MN≈=1091．故选C．【点睛】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式，考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．8．B【分析】利用数形结合思想，先画出函数y＝2019x与y＝2020x的图象，找到使条件2019a＝2020b成立的a，b取值即可判断．【详解】如图，画出函数y＝2019x与y＝2020x图象示意图，因为2019a＝2020b，由图可知，共有三种情况：（1）a＜b＜0；（2）0＜b＜a；（3）a＝b＝0．故①②⑤正确，故选：B．【点睛】本题考查命题真假性的判断与应用，涉及到指数函数的图象与性质，采用数形结合思想解题是关键，属于基础题．9．A【分析】分别求出f (f (1))和31(log )2f 的值，即得解. 【详解】由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝31log 23-＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5. 故选A 【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数和对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．B 【分析】先求出log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，再计算出log m z ，即得log z m 的值. 【详解】由已知得log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y ＝111112244060--=，即log z m ＝60. 故答案为B 【点睛】本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 11．A 【分析】分两段，当P 点在AO 之间时，当P 点在OB 之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知． 【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题． 12．C 【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得f （0）＝0，进而求出函数的周期是4，结合f （x +2）＝﹣f （x ）可得f （1）+f （2）+f （3）+f （4）的值，结合函数的周期性分析可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），且f （0）＝0； 又由f （1﹣x ）＝f （1+x ）即有f （x +2）＝f （﹣x ），则f （x +2）＝﹣f （x ）， 进而得到f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），f （x ）为周期为4的函数， 若f （1）＝2，可得f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2， f （2）＝f （0）＝0，f （4）＝f （0）＝0， 则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝2+0﹣2+0＝0，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （99）＝24×[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]+f （1）+f （2）+f （3）＝f （2）＝0； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数的周期，属于基础题． 13．0或3 【分析】由并集结果推出B A ⊆，则3m =m 代入集合中验证是否满足条件即可. 【详解】A B A ⋃＝，B A ∴⊆，则3m =，若3m =，A ＝{1，3，B ＝{1，3}，满足B A ⊆；若m =0m =或1m =，0m =时，A ＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，满足B A ⊆；1m =时，A 、B 不满足集合中元素的互异性，舍去.综上所述，0m =或3.故答案为：0或3【点睛】本题考查根据集合并集运算结果求参数、集合中元素的互异性，属于基础题.14．[4,8)【分析】由题意知函数在R 上单调增，结合分段函数，可得不等式组140262a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪≥-⎪⎩＞＞，即可求出a 的取值范围【详解】∵对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x ＞--0成立，∴函数在R 上单调增， ∴140262a a a a ⎧⎪⎪⎪-⎨⎪⎪≥-⎪⎩＞＞，解得4≤a ＜8． 故答案为：[4,8)．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，注意临界位置x =1处满足的条件，属于中档题．15．98a ≤ 【分析】根据A 中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解．【详解】解：若A 中至少有一个元素，则方程2320ax x -+=至少有一个解．当0a =时，方程2320ax x -+=等价为320x -+=，即23x =，满足条件． 当0a ≠，判别式980a ∆=-，解得98a ≤且0a ≠． 综上所述，a 的取值范围为98a ≤，即9,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．16．①③④【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解．【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确； 在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，∴Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402， ∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确．故答案为①③④．【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．17．(1) 174； (2) 15【解析】【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值；（2）由已知分别求出a 2+a ﹣2与a 4﹣a ﹣4的值，则答案可求．【详解】（1）2034281()21025()272log log π--+-+ 233222[()]10513log log -=+-+ 9114=++ 174=； （2）∵a ＞0，a ﹣a ﹣1＝1，∴a 2+a ﹣2﹣2＝1，则a 2+a ﹣2＝3，1a a -+==a 2﹣a ﹣2＝（a +a ﹣1）（a ﹣a ﹣1）=a 4﹣a ﹣4=∴22441a a a a --+-==- 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，考查平方关系的应用，是基础的计算题．18．（1）162A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1{|2}2a a -≤≤ 【分析】（1）若a ＝1，则A ＝{x |1＜x ≤6}，由此能求出A ∪B ．（2）当A ＝∅时，a ＝0满足条件；当A ≠∅时，讨论a ＞0和0a <分别得集合A ,再利用A B =∅列不等式由此能求出实数a 的取值集合．【详解】（1）若1a =则{}16A x x =<≤,所以162A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭ （2）①当A φ=时0a =满足条件；②当A φ≠时, 0a >此时16A x x a a ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭由于A B =∅,则12a≥,即102a <≤；③当A φ≠时, 0a <此时61{|}A x x a a =≤<由于A B =∅,则112a ≤-，即20a -≤<． 综上所述,实数a 的取值集合为1{|2}2a a -≤≤ 【点睛】本题考查集合的运算，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意A φ=的讨论是易错题．19．（1）f (x )＝3·2x .（2）(－∞，] 【分析】（1）代入条件，解方程组得a,b ，即得结果，（2）分离变量转化为求对应函数最值问题，再根据指数函数单调性确定最小值取法，即得实数m 的取值范围.【详解】(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得结合a >0且a ≠1，解得∴f (x )＝3·2x .(2)要使()x ＋()x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝()x ＋()x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝()x ＋()x 在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝()x ＋()x 有最小值.∴只需m ≤即可．∴m 的取值范围(－∞，]【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.20．（1）y =50-110x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)；（2）w = -110x 2+34x +8000(0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)；（3）一天订住34个房间时，最大利润是10880元【分析】(1)利用每个房间增加x 元则所定房间数减少110x 直接求解即可 (2)每间房的房价减去20即为利润，与所定房间总数相乘即为总利润(3)配方，利用二次函数性质及定义域确定最大利润即可【详解】(1) y =50-110x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)； (2) w =(50-110x )(180+x -20)= -110x 2+34x +8000，(0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)； (3) w = -110x 2+34x +8000= -110(x -170)2+10890，当x <170时，w 随x 增大而增大，但0≤x ≤160， ∴当x =160时，w 最大=10880，当x =160时，y =50-110x =34； ∴一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元．【点睛】本题考查函数模型及应用，考查二次函数的最值，是基础题，注意定义域.21．（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．22．（1）8；（2）[－2,0]【分析】（1）由函数f （x ）的最小值是f （﹣1）＝0，且c ＝1，解得a ，b 的值，得到f （x ）解析式代入到F （x ）中，计算出F （2）+F （﹣2）的值；（2）由a ＝1，c ＝0，则f （x ）＝x 2+bx ，把问题﹣1≤f （x ）≤1在区间（0，1]上恒成立转化为﹣x 1x -≤b 1x ≤-x 在区间（0，1]上恒成立，研究﹣x 1x -和1x-x 在（0，1]的单调性求出最值，从而得到b 的取值范围．【详解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－2b a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2. ∴22(1)0()(1)0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩，，，∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立. 又y =1x －x 单调递增，故最小值为0，y =－1x －x=－（1x +x）2≥-=-当且仅当1x = 取等.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0].【点睛】本题考查了求函数解析式、计算函数值以及恒成立等问题，参变分离合理转化是解决问题的关键，属于中档题．。
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2020-2021学年第一学期期中考试
莲湖区高一上统考试题
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x+2＞2}，则M ∪N ＝（ ）
A ．{x |x ≥0}
B ．{x |0≤x ≤2}
C ．{x |x ＞0}
D ．{x |0＜x ≤2} 2．函数f （x ）＝x x -1lg 的定义域为（ ） A ．[1，+∞） B ．（1，+∞） C ．（0，1） D ．（0，1]
3．函数f （x ）＝ln x +2x ﹣5的零点所在区间为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
4.若函数1)(-=x x f ，且8)(=a f ，则=a （ ）
A ．9
B ．11
C ．10
D ．8
5．下列函数中与函数y ＝| x |值域相同的是（ ）
A ．y ＝log 3 x
B ．2x y =
C ．x
y 1= D ．y ＝x 2﹣4x +4 6．若函数f （x ）＝x 2+mx +5在区间[1，5]上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2]
C ．[﹣10，+∞）
D ．（﹣∞，﹣10] 7．已知a ＝e 41-，b ＝ln0.9，c ＝ln π，则（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．a ＜c ＜b
D ．b ＜a ＜c
8．已知全集为U=R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5,7}，C={ 7 }，则下列V enn
图中阴影部分表示集合C 的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数f （x ）＝)1,0(为常数，，且n m a a n a m x ≠>+-的图象恒过点（3，2），则
m+n=（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10．若函数f （x +1）的定义域[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为（ ）
A ．[﹣1，1]
B ．[﹣2，0]
C ．[0，2]
D ．[- 2，2]
11．已知函数f （x ）＝|log 2x |，在[161，m ]上的值域为[0，4]，f （2m ）的取值范围是（ ） A ．[1，2] B ．[0，2]
C ．[1，3]
D ．[0，3] 12．已知函数f （x ）＝,),1ln(,322⎩⎨⎧>-≤--λ
λx x x x x 若f
（x ）恰有两个零点，则λ的取值范围是（ ） A ．[-1，2）∪[3，+∞） B ．[1，2）∪[3，+∞） C ．[1，2）∪(2，+∞） D ．[1，+∞）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设集合A ＝{a ，2a 2}，B ＝{1，b a +}，若A ∩B ＝{-1}，则实数b ＝ ．
14．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，8），则f （2
1）= ． 15．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，3)4(=f ，则满足f （x+1）＜3的x
的取值范围是 ．
16．已知函数f （x ）＝x e x 51
1++在区间[﹣n ，n ]（n ＞0）上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知全集U ＝R ．，A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}，P ＝{x |x ≤0或x ≥
27}. (1)求A ∪B ，A ∩B
(2)求（∁U B ）∩P ，（∁U B ）∪P
18．（12分）（1）计算++81413ln e lg 200﹣lg 2；
（2）若log 2（log 3 x ）＝log 3（log 2 y ）＝2，求y ﹣x
的值．
19．（12分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣2．（1）求f(f（﹣2）)的值；
（2）求函数f（x）在R上的解析式．
20．（12分）已知二次函数f（x）的图象经过A（0，-3）,B（2,3）,C（1，-1）三点.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）= f（x）+mx在(3，8)上有最小值，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知集合A＝{x| x - 4＞0}，集合B＝{x|3-2x≤x≤10-x}，
集合C＝{x|m＜x＜2m﹣3}．
（1）求（∁R A）∩B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围.
22．（12分）已知函数f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 且f （x ）+g （x ）＝2x +1．
（1）求函数f （x ），g （x ）的解析式，并判断f （x ）的单调性；
（2）已知m>0，m 1，不等式f （2log m ）+f （－1）+2＜g （0）成立，求实数m 的取值范围.
参考答案与试题解析
1-5：ACCAD 6-10：ADBBCD
11. 0 12.8
1 13.（-5,3） 14. 1。