高阶谱高阶统计量的定义与性质

第1章 高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF eeE x j xj xj )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。

其中)(x f 为概率密度函数。

离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。

例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e ex j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。

2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。

例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --==x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21exp )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ(1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k kk )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。

随机变量x 的k 阶中心矩定义为⎰∞∞--=-=dx x p x x E k kk )()(])[(ηημ (1.2)由式(1.2)可见，10=μ,01=μ,22σμ=。

若),,2,1(n k m k =存在，则x 的特征函数)(ωΦ可按泰勒级数展开，即)()(!1)(1n k nk kO j k m ωωω++=Φ∑= (1.3) 并且k m 与)(ωΦ的k 阶导数之间的关系为n k j d d j m k k kk kk ≤Φ-=Φ-==),0()()()(0ωωω (1.4)(2) 高阶累积量定义x 的第二特征函数)(ωψ按泰勒级数展开，有)()(!)(ln )(1n k nk kO j k c ωωωω+=Φ=ψ∑= (1.5) 并且k c 与)(ωψ的k 阶导数之间的关系为n k j d d j d d jc kk kk k k k kk ≤ψ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ===),0()()(1)(ln 100ωωωωωω (1.6)k c 称为随机变量x 的k 阶累积量，实际上由1)0(=Φ及)(ωΦ的连续性，存在0 δ，使δω 时，0)(≠Φω，故第二特征函数)(ln )(ωωΦ=ψ对δω 有意义且单值（只考虑对数函数的主值），)(ln ωΦ的前n 阶导数在0=ω处存在，故k c 也存在。

(3) 二者关系下面推导k c 与k m 之间的关系。

形式地在式(2.3)与式(2.5)中令∞→n ，并利用⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=Φ∑∑∞=∞=k k k kk k j k c j k m )(!exp )(!1)(11ωωω+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∑∑∞=∞=∞=nk k k k k k k k k j k c n j k c j k c )(!!1)(!!21)(!11211ωωω(1.7)比较上式中各),2,1()( =k j k ω同幂项系数，得k 阶累积量与k 阶矩的关系如下：η===][11x E m c22222122]])[[(])[(][μ=-=-=-=x E x E x E x E m m c33323312133]])[[(])[(2)][(][3][23μ=-=+-=+-=x E x E x E x E x E x E m m m m c4441221312244]])[[(61243μ=-≠-+--=x E x E m m m m m m m c若0][==ηx E ，则 011==m c ][222x E m c ==][333x E m c == 2242244])[(3][3x E x E m m c -=-= 由上可见，当随机变量x 的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累积量与相应的高阶矩不相同。

2. 多个随机变量情形 (1) 高阶矩给定n 维随机变量),,,(21n x x x ，其联合特征函数为)]([exp ),,,(221121n n n x x x j E ωωωωωω+++=Φ (1.8)其第二联合特征函数为),,,(ln ),,,(2121n n ωωωωωω Φ=ψ (1.9)可见，联合特征函数),,,(21n ωωω Φ就是随机变量),,,(21n x x x 的联合概率密度函数),,,(21n x x x p 的n 维付里叶变换。

对式(1.8)与(1.9)分别按泰勒级数展开，则阶数n k k k r +++= 21的联合矩可用联合特征函数),,,(21n ωωω Φ定义为21212121212121),,,()(][====⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂Φ∂-==n n n nk n k k n r rk nk k k k k j x x x E m ωωωωωωωωω (1.10) (2) 高阶累积量同样地，阶数n k k k r +++= 21的联合累积量可用第二联合特征函数),,,(21n ωωω ψ定义为2121021212121212121),,,(ln )(),,,()(========∂∂∂Φ∂-=∂∂∂ψ∂-=n n n n nk nk k n r rk nk k n rk k k j j c ωωωωωωωωωωωωωωωωωω (1.11)(3) 二者关系联合累积量n k k k c 21可用联合矩n k k k m 21的多项式来表示，但其一般表达式相当复杂，这里不加详述，仅给出二阶、三阶和四阶联合累积量与其对应阶次的联合矩之间的关系。

设321,,x x x 和4x 均为零均值随机变量，则][),(212111x x E x x cum c == (1.12a)][),,(321321111x x x E x x x cum c == (1.12b)),,,(43211111x x x x cum c =][][][][][][][3241423143214321x x E x x E x x E x x E x x E x x E x x x x E ---= (1.12c) 对于非零均值随机变量，则式(1.12)中用][i i x E x -代替i x 即可。

与单个变量情形类似，前三阶联合累积量与前三阶联合矩相同，而四阶及高于四阶的联合累积量则与相应阶次的联合矩不同。

注意，式(1.12)中采用)(∙cum 表示联合累积量的方法在以后将时常用到。

3. 平稳随机过程的高阶累积量设)}({n x 为零均值k 阶平稳随机过程，则该过程的k 阶累积量),,,(121,-k x k m m m c 定义为随机变量)}(,),(),({11-++k m n x m n x n x 的k 阶联合累积量，即))(,),(),((),,,(11121,--++=k k x k m n x m n x n x cum m m m c (1.13) 而该过程的k 阶矩),,,(121,-k x k m m m m 则定义为随机变量)}(,),(),({11-++k m n x m n x n x 的k 阶联合矩，即))(,),(),((),,,(11121,--++=k k x k m n x m n x n x mom m m m m (1.14)这里，)(∙mom表示联合矩。

由于)}({n x 是k 阶平稳的，故)}({n x 的k 阶累积量和k 阶矩仅仅是时延121,,,-k m m m 的函数，而与时刻n 无关，其二阶、三阶和四阶累积量分别为)]()([)(,2m n x n x E m c x += (1.15a) )]()()([),(2121,3m n x m n x n x E m m c x ++= (1.15b))()()]()()()([),,,(32,21,2321321,4m m c m c m n x m n x m n x n x E m m m c x x x --+++=)()()()(21,23,213,22,2m m c m c m m c m c x x x x ----(1.15c)可以看出，)}({n x 的二阶累积量正好就是其自相关函数，三阶累积量也正好等于其三阶矩，而)}({n x 的四阶累积量则与其四阶矩不一样，为了得到四阶累积量，必须同时知道四阶矩和自相关函数。

1.3 高阶累积量的性质高阶累积量具有下列重要特性：(1) 设),,2,1(k i i =λ为常数，),,2,1(k i x i =为随机变量，则 ),,(),,(1111k ki i k k x x cum x x cum ∏==λλλ(2) 累积量关于变量对称，即),,,(),,(211k i i i k x x x cum x x cum =其中),,(1k i i 为),,1(k 中的任意一种排列。