空间曲线的切线与空间曲面的切平面doc资料
空间曲线的切线
空间光滑曲线在点M 处的切线为此点处割线的极限位置 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
给定光滑曲线 : x x(t), y y(t), z z(t),t [, ]
设 上的点M (x0 , y0, z0 )对应 t t0 , x(t0), y(t0 ), z(t0 ) 不全为0 则 点M的切向量：T {x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
因此，根据隐函数求导方法,得
2
x
2y
dy dx
2z
dz dx
0,
y
x
dy dx
dz dx
0.
从而得到：
dy
x yz ,
dx y xz
dz x2 y2 dx y xz
因此，切向量
T
{1, dy , dz} {1, 5 , 3}
M
dx dx M
44
于是，曲线在M处的切线方程：
法平面方程：
x 1 y 1 z 2 4 5 3
4(x 1) 5y 1 3z 2 0
因此曲线 在点M 处的
切线方程
x x0 y y0 z z0
xt0 yt0 zt0
法平面方程 xt0 (x x0) yt0 y y0 zt0 z z0 0
例1.求曲线 : x t, y t 2, z t3 在点M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程.
解：曲线在M点出切向量为
T {1,2t,3t2} {1,2,3}
M
t1
因此M 处的切线方1 z 1 123
(x 1) 2y 1 3z 1 0
例2.求曲线xx2y
y2 z z 0
空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线与法平面空间曲线是指在三维空间中具有一定形状的曲线。
研究空间曲线的性质和特点，尤其是切线和法平面的关系，对于数学、物理等学科具有重要意义。
本文将探讨空间曲线的切线与法平面的相关概念与定理，以及它们在实际问题中的应用。
一、切线的定义与性质在平面曲线研究中，我们已经熟悉了切线的概念和性质。
在空间曲线的研究中，切线的定义与平面曲线类似。
设有空间曲线C，过曲线上一点P，可以做出唯一的切线l。
与平面曲线不同的是，在空间中，切线除了具有方向性和位置性外，还具有一个关键的性质：与曲线C相切的平面即为切线平面。
根据切线的定义和性质，我们可以得出切线的一些重要结论。
首先，切线过曲线上一点与该点的切线向量相同。
其次，切线上的所有点都在切线平面上。
最后，两个相交曲线的切线平面是同一个平面。
这些结论为我们研究空间曲线的切线与法平面提供了基础。
二、曲线的切线方程与法平面定义对于给定的空间曲线C，经过曲线上任意一点P的切线方程是研究曲线性质和计算切线的重要工具。
在二维平面中，我们使用斜率来表示切线的方程。
在三维空间中，切线的方程由曲线上的一点和切线的方向向量确定。
设曲线C的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t),其中t为参数。
过曲线上参数为t的点P，切线的方向向量为V，则切线的参数方程为：x = x(t) + V1t,y = y(t) + V2t,z = z(t) + V3t。
法平面与曲线的切线密切相关。
在平面几何中，我们已经熟悉了平面的法线向量与法线方程。
对于空间中的曲线C，过切点P的法线向量与切线V垂直，并与曲线C相切于切点P。
法平面的法线向量即为曲线C在切点P处的切线向量V。
三、切线与法平面的求解如何求解空间曲线的切线与法平面呢？一般情况下，我们先求出曲线C的参数方程，然后根据切线的特性，求出切线的参数方程。
接下来，找到切线上的一点，并求出该点的切线向量。
这样，我们就得到了切线的方程与切线的方向向量。
空间曲线的切线与法平面
设空间曲线用参数方程表示为:
x x(t ), y y(t ), z z(t )
求曲线上过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 的切线方程，这里
x0 x(t0 ), y0 y(t0 ), z0 z(t0 )
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
如果曲线的方程表示为 y y( x), z z( x)
可以把它写成如下的以 x 为参数的参数方程 x x, y y(x), z z(x)
于是可得曲线在点 M0 的切线方程和法平面方程如下：
X x0 Y y( x0 ) Z z( x0 )
由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点
M 0 和点 M (x, y, z)的割线方程
X x(t0 ) Y y(t0 ) Z z(t0 ) x(t) x(t0 ) y(t) y(t0) z(t) z(t0)
在上式各端的分母都除以 t t0
X x(t0 ) Y y(t0 ) Z z(t0 ) x(t) x(t0 ) y(t) y(t0) z(t) z(t0)
t t0
t t0
t t0
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
由于切线是割线的极限位置，在上式中令 t t0 取极限，就得到曲线在点 M0 的切线方程：
X x(t0 ) Y y(t0) Z z(t0)
x(t0 )
y(t0 )
z(t0 )
由此可见，曲线在点 M0 的切线的一组方向数是
处的切线及法平面方程。
解：
xt' 1 , yt' 2t , zt' 3t 2
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ,)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点,B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线,当A B →时,若AB 趋于一条直线,则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零即空间的曲线C 为光滑曲线,则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为也可以写为当A B →时,0t t →,割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x ''',此即为切线的方向向量,所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面,法平面方程为如果空间的曲线C 由方程为且)(),(0'0'x z x y 存在,则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是法平面方程为如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交,由方程组 确定时,假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ,在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数有)(),(0000x z z x y y ==,),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=;于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是 即法平面方程为类似地,如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂Ay x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时,我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式;所以,当向量时,空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r例 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程． 解 当πθ=时,曲线过点()πb a ,0,-,曲线在此点的切线方向向量为{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ,所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0． 二、空间曲面的切平面与法线设曲面S 的一般方程为取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点,设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数,且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ;设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===,我们有 上式对t 在0t t =求导得到因此,曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量 垂直,于是这些切线都在一个平面上,记为α,平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面,向量n称为法向量;S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线,它的方程为 设曲面S 的方程为若),,(z y x F 在S 有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ,则称S 是光滑曲面;由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线;若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =,这时,容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为 法线方程为我们知道,函数),(y x f z =在点),(00y x 可微,则由Taylor 公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说,函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代替,误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小;若曲面S 的方程表示为参数形式设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===,),,(0000z y x P 为曲面上一点;假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ,在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件,则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数即x 和y 的逆映射 满足),(),,(000000y x v v y x u u ==;于是,曲面S 可以表示为由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导得到故所以,S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为 法线方程为例 求曲面zxy z ln+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程; 解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z zxy z y x F ,易得}2,1,1{-=→n切面方程为 即02=-+z y x . 法线方程为习题1．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xy z arctan =在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程;4;证明曲面)0(3>=a a xyz 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值;5．证明曲面)(xy xf z =上任意一点的切平面过一定点;第七节 极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似,我们可以引入多元函数的极值概念;定义 n 元函数),,,(21n x x x f 在点),,,(002010n x x x P 的一个邻域⊂)(0P U n R 内有定义;若对任何点)(),,,(021P U x x x P n ∈ ,有)()(0P f P f ≥或)()(0P f P f ≤则称n 元函数),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 取得极大或极小值, ),,,(002010n x x x P 称为函数),,,(21n x x x f 的极大或极小值点;极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点;类似一元函数,我们称使得n 元函数),,,(21n x x x f 的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点;我们有如下定理;定理 若),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的极值点,且),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 的一阶偏导数存在,则),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的驻点;证 考虑一元函数)2,1)(,,,,()(001n i x x x f x ni i ==φ,则i x 是)(i x φ的极值点,Fermat 马定理告诉我们,可导函数在极值点的导数是零,于是和一元函数类似,反过来,驻点不一定是极值点;而偏导数不存在的点也有可能是极值点;判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多,下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理;定理 若),(000y x P 为二元函数),(y x f 的驻点,且),(y x f 在),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中有二阶连续偏导数;令2B AC CB B A Q -==,则（1） 当0>Q 时,若0>A ,),(y x f 在),(000y x P 取极小值；若0<A ,),(y x f 在),(000y x P 取极大值；（2） 当0<Q 时,),(y x f 在),(000y x P 不取极值；（3） 当0=Q 时,),(y x f 在),(000y x P 可能取极值,也可能不取极值; 例 求函数)6(32y x y x z --=的极值; 解 解方程组得驻点为)3,2(0P 及直线0,0==y x 上的点;对)3,2(0P 点有0,144,108,1622>--=-=-=B AC C B A ,于是函数z 在)3,2(0P 取积大值108)(0=P z ; 容易判断,满足条件⎩⎨⎧<<=600y x 的点为函数z 的极小值点,极小值为0；满足条件的⎩⎨⎧<=00y x 和⎩⎨⎧>=6y x 的点为函数z 的极大值点,极大值为0; 一、 最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题,即如何用最小的成本获取最大利益的问题,这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题;我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点,统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值;1、 一元函数设)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数,则)(x f 在],[b a 上一定有最大值和最小值;区间的两个端点a 和b 可能成为其最值点,而如果最值点在开区间),(b a 取得的话,则一定是)(x f 的极值点,即是)(x f 的驻点或是使导数)('x f 不存在的点;假设)(x f 的所有驻点是11211,,k x x x ,使导数)('x f 不存在的点是22221,,m x x x ,那么例 求抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点;解 设),(y x 是抛物线x y 22=上的点,则),(y x 与)4,1(的距离是考虑函数2)(d y f =,由0)('=y f ,得到唯一驻点2=y ,于是抛物线x y 22=上与)4,1(最近的点是)2,2(2、多元函数类似一元函数,n 元函数),,,(21n x x x f 的最值问题就是求),,,(21n x x x f 在某个区域⊂D n R 上的最大值和最小值,我们只需求出),,,(21n x x x f 在D 内部的所有极值和边界上最值,从中比较就可以选出),,,(21n x x x f 在D 上的最值;例 求平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离;解 设),,(z y x 是平面42=++z y x 上的点,则),,(z y x 与)2,0,1(-的距离是 考虑函数2),(d y x f =,由0,0'==y x f f ,得到唯一驻点)3/5,6/11(,于是平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离是665)3/5,6/11(=d 三、条件极值问题和Lagrange 乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n 元函数),,,(21n x x x f ,然后求其极值或最值,是无条件极值问题,但是,更多的极值和最值问题是有约束条件的,即条件极值问题;一般来说,条件极值问题是指：求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值; 我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m 个变量,从而转化为上一节的无条件极值问题来解决,但是,消元法往往比较困难甚至是不可能的,所以,我们需要给出一种新的方法来求条件极值;下面我们介绍拉格朗日乘子法;我们以二元函数为例来说明,即：求目标函数),(y x f z =在一个约束条件0),(=y x F 限制下的极值问题;假设点),(000y x P 为函数),(y x f z =在条件0),(=y x F 下的极值点,且0),(=y x F 满足隐函数存在定理的条件,确定隐函数)(x g y =,则0x x =是一元函数))(,(x g x f z =的极值点;于是 由隐函数存在定理得到 令λ=),(),(0000y x F y x f y y ,于是极值点),(000y x P 需要满足三个条件：因此,如果我们构造拉格朗日函数其中,λ称为拉格朗日乘子,则上面三个条件就是也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题;用这种方法去求可能的极值点的方法,称为拉格朗日乘子法;类似地,求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y =在一组约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<===)(,0),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m nn 下的极值时,我们可以构造相应的拉格朗日函数为于是,所求条件极值点满足方程组例横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆,其表面积等于S ,问其尺寸怎样时,此盆有最大的容积解 设圆半径为r ,高为h ,则表面积)0,0)((2>>+=h r rh r S π,容积h r V 221π=; 构造拉格朗日函数 解方程组 得到ππ32,300S h S r ==,这时33027πS V =; 由实际情况知道,V 一定达到最大体积,因此,当00232r Sh ==π时,体积最大; 习题1． 求函数xy y x z 333-+=的极值; 2． 求函数22442y xy x y x z ---+=的极值; 3．求椭圆4422=+y x 上与)0,1(最远的点 4．求平面1=-+z y x 与点)1,1,2(-的最短距离; 5．求曲面12+=xy z 上与)0,0,0(最近的点6．已知容积为V 的开顶长方浴盆,问其尺寸怎样时,此盆有最小的表面积7．求用平面0=++Cz By Ax 与椭圆柱面12222=+by a x 相交所成椭圆的面积;第八节 导数在经济学中的应用一、导数的经济意义 1．边际函数定义 设函数)(x f y =可导,则导函数)('x f 在经济学中称为边际函数; 在经济学中,我们经常用到边际函数,例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等,它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题,都反映了导数在经济学中的应用;成本函数)(x C 表示生产x 个单位某种产品时的总成本;平均成本函数)(x c 表示生产x个单位某种产品时,平均每个单位的成本,即xx C x c )()(=;边际成本函数是成本函数)(x C 相对于x 的变化率,即)(x C 的导函数)('x C ;由微分近似计算公式我们知道令1=∆x ,我们有)()1()('x C x C x C -+≈,也就是说,边际成本函数)('x C 可以近似表示已经生产x 个单位产品后再生产一个产品所需要的成本;在生产中,我们当然希望平均成本函数)(x c 取得极小值,这时,我们可以得到0)('=x c即则0)()('=-x C x xC ,于是我们得到)()('x c x C =;因此,平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等;这在经济学中是一个重要原则,就是说在生产中,当边际成本函数低于平均成本函数时,我们应该提高产量,以降低平均成本；当边际成本函数高于平均成本函数时,我们应该减少产量,以降低平均成本; 例 设某种产品生产x 个单位时的成本为21.02250)(x x x C ++=;求（1） 当生产产品100单位时的边际成本和平均成本； （2） 当生产产品数量为多少时平均成本最低; 解 1边际成本函数和平均成本函数为 于是,5.14)100(,22)100('==c C2平均成本函数)(x c 取得极小值时,边际成本函数和平均成本函数相等,即 因此,当生产产品数量为50时平均成本最低; 类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数;需求函数)(x p 表示销售x 单位某种产品时的单个产品的价格;那么,)(x p 是x 的单调减少函数;收益函数是)()(x xp x R =,边际收益函数是)('x R ;利润函数是 边际利润函数是)('x P ;当利润函数取极大值时,0)()()('''=-=x C x R x P ,于是,)()(''x C x R =,也就是说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本;为了保证取得最大利润还需要下面条件即)()(''''x C x R <;所以,当)()(''x C x R =且)()(''''x C x R <时取得最大利润;例设某种产品生产x 个单位时的成本为320003.001.028.127)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.028.10)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润 解 收益函数是 由)()(''x C x R =得到 我们得到100=x ;容易验证对任意0>x 有)()(''''x C x R <;所以,当生产产品数量达到100单位水平可以取得最大利润;2．弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念,弹性也是一种变化率问题,与导数概念密切相关;定义 设函数)(x f y =在点0x 可导,则称00x x yy ∆∆为函数)(x f y =在点0x 与x x ∆+0两点间的弹性；称00x x yy ∆∆在0→∆x 时的极限为函数)(x f y =在点0x 的弹性,记为x x ExEy =或)(0x f ExE即如果)(x f y =在),(b a x ∈可导,相应地,我们可以给出),(b a 上弹性函数的定义当x 很小时,我们有近似计算公式也就是说,函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比,上式表示当x 从0x 产生001的改变时, )(x f y =改变000)(x f ExE需求函数)(p f Q =表示在价格为p 时,产品的需求量为Q ;需求函数)(p f Q =是单调减少函数,)(p f Q =的反函数也称为需求函数,就是我们前面提到的需求函数)(x p ;需求函数)(p f Q =对价格p 的导数称为边际需求函数;需求函数)(p f Q =的弹性为由于)(p f Q =是单调减少函数,因此0≤EpEf; 收益函数)()(p pf pQ p R ==,于是令EpEfE d =,我们有 若1<d E ,则需求变动幅度小于价格变动幅度,称为低弹性,这时,0)('>p R ,)(p R 是单调增加函数;也就是说当价格上涨时收益增加, 当价格下跌时收益减少;若1>d E ,则需求变动幅度大于价格变动幅度,称为高弹性,这时,0)('<p R ,)(p R 是单调减少函数;也就是说当价格上涨时收益减少, 当价格下跌时收益增加;若1=d E ,则需求变动幅度和价格变动幅度相同,称为单位弹性,这时,0)('=p R ;也就是说当价格改变时,收益没有变化;类似上面对需求弹性的研究,我们也可以讨论供给弹性;供给函数)(p Q ϕ=是指商品生产商的供给量Q 与价格p 之间的关系函数;)(p Q ϕ=是单调增加函数;边际供给函数是)(p Q ϕ=对价格p 的导数,供给弹性函数是例 设某种产品的需求函数为p Q 5100-=,其中价格)20,0(∈p ; 1求需求函数Q 的弹性EpEQ； 2用需求弹性说明价格在什么范围变化时,降低价格反而使收益增加; 解 1需求函数Q 的弹性20-=p pEp EQ ; 2容易得到当2010<<p 时,1>=EpEQE d ,这时,0)('<p R ,当价格下跌时收益增加;二、其它应用举例导数在经济学中有很多应用,下面举一些例题说明;首先,我们考虑连续复利率问题;假设初始资金为0A ,如果年利率为r ,那么,t 年后资金为t r A t A )1()(0+=;通常情况下是一年多次计息,假设一年n 次计息,那么 我们这里是连续复利率计算问题,令∞→n 得到 于是,我们得到连续复利率计算公式rt e A t A 0)(=;例某企业酿造了一批好酒,如果现在就出售,总收入为0R ,如果贮藏起来,t 年后出售,收入为520)(t eR t R =;如果银行年利率为r ,并且以连续复利率计算,问贮藏多少年后出售可以使收入的现值最大;解 由连续复利率计算公式,t 年后的总收入)(t R 的现值)(t X 为 由0)('=t X 得,2251r t =年;故贮藏2251r年出售,总收入的现值最大; 下面,我们再举一个其它应用题;例 某企业生产某型号仪器,年产量A 台,分几批生产,每批生产准备费为B 元,假设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,平均库存量为批量的一半;设每年一台仪器的库存费为C 元;问如何选择批量,使一年中库存费与准备费之和最小;解 设批量为x 台,则库存费为C x 2,每年生产的批数为xA,生产准备费为B x A ,于是总费用为 令0)('=x f ,得到CABx 2=; 因此,批量为CABx 2=台时,一年中库存费与准备费之和最小; 多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用;n 元函数),,,(21n x x x f y =的偏导数),,2,1)(,,(21n i x x x f x n i=∂∂称为对i x 的边际函数;我们可以类似一元函数引入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等;我们还可以类似一元函数引入函数的偏弹性概念;这里不再一一详细叙述;下面我们举几个多元函数应用题;例 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为1如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润；2如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格,使该企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小;解 1总利润函数是 由得5,421==Q Q ,这时7,1021==p p ;因为这是一个实际问题,一定存在最大值,且驻点唯一,因此当7,1021==p p 时,取得最大利润（3） 若实行价格无差别策略,则21p p =,即有约束条件 构造拉格朗日函数 由得2,4,521===λQ Q ,这时821==p p ; 最大利润因此,企业实行价格差别策略所得利润要大于实行价格无差别策略的利润;例 假设某企业通过电视和报纸作广告,已知销售收入为 其中x 万元和y 万元为电视广告费和报纸广告费; 1在广告费用不限的情况下求最佳广告策略； 2如果广告费用限制为万元,求相应广告策略; 解 1利润函数为 由得到唯一驻点1,5.1==y x ;这时最大利润为41)1,5.1(=P 万元2构造拉格朗日函数为 由得到唯一驻点5.1,0==y x ;这时最大利润为39)5.1,0(=P 万元习题1．设某种产品生产x 个单位时的成本为230040000)(x x x C ++=;求 1当生产产品1000单位时的边际成本和平均成本； 2当生产产品数量为多少时平均成本最低;2．设某种产品生产x 个单位时的成本为32001.0361450)(x x x x C +-+=,需求函数x x p 01.060)(-=;当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润 3．设某种产品的需求函数为5p e Q -=,求6=p 时的需求弹性； 4． 设某种产品的需求函数为p Q 2100-=讨论其弹性的变化; 5;某产品的总收益函数和成本函数分别是 厂商追求最大利润,政府对产品征税,求：1求产品产量和价格为多少时,厂商能取得税前最大利润； 2征税收益的最大值及此时的税率； 3厂商纳税后的最大利润;6．假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是其中1p 和2p 为售价,1Q 和2Q 为销售量;总成本函数为试确定两个市场上该产品的销售价格,使该企业获得最大利润;第九节 曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲程度的．线有直线和非直线,如果一个人沿着直线行走,他不需要转动方向；但如果他沿着一条非直线行走时,他在每一点行进的方向是曲线的切线方向．因而他在每一点行进的方向大多是不一样的．人移动时,他要转动方向．当曲线的弯曲程度大一点时,人走相同的距离目光的转向要大一点．在直线上转向是没有的．因而我们就用曲线上单位距离切线方向即目光方向的转动角度来刻画曲线的弯曲程度．设光滑曲线方程为()x f y =,()b a x ,∈,()b a x x ,,21∈,()()111,x f x P ,()()222,x f x P 是曲线上的两点．当弧21P P 很小时,可以用21P P 的直线距离来近似．设曲线在点21,P P 的切线与x 轴正向的夹角分别是ααα∆+,,则()()()21tan ,tan x f x f '=∆+'=ααα,所以()()()21arctan ,arctan x f x f '=∆+'=ααα．而()()()()21221221x f x f x x P P -+-=,这时有1212limP P x x α∆→是刻画曲线在点1x 的弯曲程度的,通常记为k ． 定义 若函数()x f y =具有两阶连续的导数,则曲线上单位长度的切线转动 称为函数()x f y =的曲率．显然曲率0≥k ．例 求抛物线c bx ax y ++=2的曲率． 解：b ax y +='2,a y 2='', 所以曲率为()()232212b ax ak ++=．显然当02=+b ax 时,k 最大． 即在abx 2-=对称轴处,曲线弯曲程度最大． 例 求直线b kx y +=的曲率． 解：因为k y =',0=''y , 所以0=k ．即直线没有弯曲．上面这种方法是对显函数而言的．如果曲线有参数方程()()⎩⎨⎧==t y y t x x 给出,求曲率的过程可以如下进行．先求()()t x t y dx dy ''=,()()()()()()322t x t y t x t x t y dx dy dx d dx y d ''''-'''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,代入前面求曲率的公式,得到()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=．例 求半径为R 的圆的曲率． 解：可设圆方程为⎩⎨⎧==θθsin cos R y R x ,则θsin R x -=',θcos R y ='； θcos R x -='',θsin R y -=''；代入上面的公式,得()()()RR R R R R R k 1sin cos sin sin cos cos 2322=+⋅-⋅-=θθθθθθ． 即圆的弯曲程度是其半径的倒数．R 越大,曲率越小．为此我们一般曲线上任意一点可以用一个圆弧来表示．相比较着一点的曲率的倒数,即k1称为该点的曲率半径,也就是说,该点的弯曲程度与半径为k1的圆的弯曲程度接近．此时在该点的法线上的的一侧一点Ｏ,使得k OP 1=,点Ｏ称为曲率中心．以O 为圆心,k1为半径的圆称为P 点的曲率圆．下面考虑隐函数曲率的求法．求隐函数的曲率,关键在于求y y ''',．举一个例子．例 求曲线12222=+b y a x ()0,0>>b a 上一点的曲率．解：对12222=+by a x 两边对x 求导,得到0121222='+y by a x． 所以 ya xb y 22-='．又对0121222='+y by a x两边对x 求导,得到 01212122222=''+'+y by y b a ． 所以32422223242244221y a b a x b y y a b y x a b a b y y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='', ()()232424442321xb y ab a y y k +='+''=．特别地,当R b a ==时,Rk 1=． 最后介绍极坐标系下,曲线的曲率的求法． 例 求阿基米德螺线θa r =的曲率．解：因为θθθcos cos a r x ==,θθθsin sin a r y ==,所以θθθsin cos a a x -=',θθθcos sin a a y +='． θθθcos sin 2a a x --='',θθθsin cos 2a a y --=''． 代入公式()()()()()()()2322t y t x t y t x t x t y k '+''''-'''=,得()()232223222222122θθθθ++=++=a a aa a k ．曲率半径为k1．。
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
空间曲线与曲面的切平面与法线方程
空间曲线与曲面的切平面与法线方程在几何学中，空间曲线与曲面的切平面与法线方程是研究曲线与曲面性质的重要工具。
通过求解切平面与法线方程，我们可以揭示曲线曲面的性质，进而应用于实际问题的求解与分析。
本文将介绍空间曲线与曲面的切平面与法线方程的推导过程和应用案例。
一、空间曲线的切平面与法线方程1. 切线与切平面在空间几何中，曲线上的点处，切线是通过该点且与曲线相切的直线。
曲线上每一点都有唯一的切线。
通过求解切线，我们可以得到曲线的切平面与法线方程。
2. 切线方程的求解设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)对曲线参数方程求导，得到切线向量T：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)切线方程可表示为：(x - x0) / (dx/dt) = (y - y0) / (dy/dt) = (z - z0) / (dz/dt)3. 切平面方程的求解切平面是通过曲线上一点与切线方向垂直的平面。
设切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为切平面的法向量。
由于切线向量T与切平面法向量垂直，所以有：A(dx/dt) + B(dy/dt) + C(dz/dt) = 0根据切线方程求解得到的切线方程，将其代入上述方程中，即可得到切平面方程。
4. 法线方程的求解法线是切平面上与切线垂直的直线。
切平面方程的法向量为(A, B, C)，法线方程可表示为：(x - x0) / A = (y - y0) / B = (z - z0) / C二、曲面的切平面与法线方程1. 切平面方程的求解曲面的切平面与曲面上一点处的切向量垂直。
设曲面方程为F(x, y, z) = 0，求曲面某点的切平面方程，需要求解该点处的梯度向量∇F。
切平面方程可表示为：∇F · (x - x0, y - y0, z - z0) = 02. 法线方程的求解法线是曲面上与切平面垂直的直线。
空间曲线的切线和曲面的切平面.
6.2.4 空间曲线的切线和曲面的切平面 课题： 空间曲线的切线和曲面的切平面 目的要求： 会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。
重点： 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的求法 难点： 公式的推导 教学方法： 讲练结合 教学时数： 2 课时 教学进程：、空间曲线的切线和法平面定义 1 设在空间曲线 上有一个定点 M ，在其邻近处取 上另一点 M ' ，并作割线 MM'．令 M '沿 趋近 M ，那么割线的极限位置 TM 就是曲线 L 在点 M 的切线(图 1) 设一条空间曲线方程为x x(t), y y(t),z z(t)考 虑 t t 0 所 对 应 的 一 点 M( x 0 , y 0 , z 0 )及 t t 0 t 所 对 应 的M (x 0 x,y 0 y,z 0 z). 则割线 MM 的方程为切线的方程为x x 0 y y 0 z z 0 ．x (t 0) y (t 0) z(t 0) 作垂直于曲线在该点处切线的平面 ,这个平面称为曲线在 M (x 0, y 0,z 0) 点处的 法平面 , 这个法平面的方程为x (t 0)(x x 0) y (t 0)(y y 0) z(t 0)(z z 0) 0．例 1 求螺旋线 x acos ,y asin ,z k 在 处的切线与法平面方程． 4 法平面方程x x 0y y 0z z 0x yz x x 0y y 0z z 0 xyz t , t txyx (t 0 ),y (t 0 ),程为解 这里 x asin ,y acos ,z k22 (x 0, y 0,z 0)为 (2 对应的点4k a, a, 24 ) ,则曲线在点 M(x 0, y 0,z 0) 的切线方 2 xa 2 2 a 22ya2 22 a 2k z 4 k图1以 t 除上式各分母 ,得当 M M 时, t 0zt z (t 0), t2 a(x 2 a) 2 a(y 2 a) k(z 4 ) 0曲面的切平面和法线定义 2 设有曲面 S ，P (x 0,y 0,z 0)为 S 上任取的一点 , C 为 S 上过点 P 的任意一条 曲线,那么在点 P 处曲线 C 的切线 PT 称为曲面 S 在点 P 处的切线．一般地，过曲面上的一 点可以作无穷多条切线．可以证明，所有这些切线都在一个平面上．这个平面称为曲面 S 在点 P 的切平面 ．过 P 点垂直于切平面的直线，称为曲面 S 在点 P 的法线 ．设曲面的方程为 z f(x,y) ，其中函数 f (x, y)具有连续的一阶偏导数 , C 的方程为x x(t), y y(t), z z(t) 可以证明 ,曲面在 t t 0所对应的一点P(x 0,y 0,z 0) 所对应切平面方程为 f x从而知道法线的方向数,1p所以法线的方程为切平面方程为p(x x 0) F y p (y y 0 ) F z p (z z 0) 0例 2 求抛物面 z 3x 2 2y 2 在点 P(1, 1,2) 处的切平面与法线的方程．6, zyz 2 6(x 1) 4(y 1)z 解 因为 zx 即 法线的方程为 Fx 6x p p4y p 4 ，所以根据公式，切平面的方程为 p p6x 4y z 8 0 ；y1例 3 求椭球面 2x 2 a 解 令 F(x, y,z) = 2y 22b 22x 2 ax162z 2 1=0在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )处的切平面方程． c2y 2 b 2z2 1xp所以，所求切平面的方程为2x 0 2 a2 c z 221 c Fy=0，那么2y 0b 22z 0 2p c 2f|P (x x 0) y |P (y y 0)z z 0x x 0y y 0z z 0 1如果曲面方程的形式为 F(x,y,z) 0，且 续性条件 ,则曲面在 P 点处的法线方程为 x x 0 y y 0F(x,y,z)在 P(x 0,y 0,z 0)处满足一定的连 z z 0 F xpF yF z2x 20 (x x 0 ) 2y 20 (y y 0 ) 2z 20 (z z 0) 0a b c化简得x 0x y 0y z 0 z222 abc小结本讲内容： 强调曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念及。
空间曲线与曲面的切平面与法平面
空间曲线与曲面的切平面与法平面在数学中，空间曲线和曲面是重要的研究对象。
曲线是一个一维的对象，可以用参数方程或者隐式方程表示。
曲面则是一个二维的对象，可以用参数方程、隐式方程或者参数化方程表示。
在研究空间曲线和曲面时，我们常常需要了解曲线和曲面上某点的切线或者法线，这对于进一步研究曲线和曲面的性质和变化非常重要。
本文将介绍空间曲线和曲面的切平面与法平面的概念以及求解方法。
一、空间曲线的切线与切平面空间曲线是三维空间中的一条曲线，我们可以通过曲线上某一点的导数来求解该点处的切线。
设曲线的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t).在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，该点的切向量T可以由参数t求导得到：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)|t=t0.切向量T是曲线上该点的切线方向，我们可以通过该向量来确定切线的方向。
此外，曲线上任意一点的切向量均与曲线在该点的切线方向相同。
在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，切线方程可以表示为：(x - x0)/dx/dt = (y - y0)/dy/dt = (z - z0)/dz/dt.切线方程表示了曲线上点P处切线上所有点的坐标与点P坐标的关系，通过该方程我们可以求解切线上的点的坐标。
与切线相对应的是切平面，切平面与曲线上某一点处的切线垂直，并且包含该切线。
我们可以通过点法式方程来表示切平面，设曲线上一点为P(x0, y0, z0)，其切平面方程为：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.其中A、B、C为切平面的法向量的坐标，可以通过切线的方向向量T求解：A = dx/dt,B = dy/dt,C = dz/dt.切平面方程表示了切平面上所有点的坐标与点P坐标的关系。
二、空间曲面的法线与法平面空间曲面是三维空间中的一个二维对象，我们可以通过曲面上某一点的偏导数来求解该点处的法线。
切线与法平面
可以把它写成如下的以 x 为参数的参数方程
x x, y y(x), z z(x)
于是可得曲线在点 M0 的切线方程和法平面方程如下：
X x0 Y y(x0 ) Z z(x0 )
1
y(x0 )
z(x0 )
F(x, y, z) f (x, y) z 0
于是曲面在 (x0 , y0 , z0 ) （这里 z0 f (x0 , y0 ) ）点的切平面 方程为
fx(x0 , y0 )( X x0 ) f y(x0 , y0 )(Y y0 ) (Z z0 ) 0
法线方程为
所以在点 (1, 2,3) 处 球面的切平面方程为
2(x 1) 4( y 2) 6(z 3) 0
法线方程
x 1 y 2 z 3 246
曲面的夹角 两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲 面在该点的夹角。
如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在 该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲 面为正交曲面。
D(y, z)
D(z, x)
D(x, y)
M0
M0
M0
和法平面方程
D(F , G)
D(F , G)
D(F , G)
D( y, z) ( X x0 ) D(z, x) (Y y0 ) D(x, y) (Z z0 ) 0
M0
M0
M0
例1 求曲线 x t, y 2t, z t3 在点 (1,2,1) 处的
x(t0 )
y(t0 )
z(t0 )
由此可见，曲线在点 M0 的切线的一组方向数是
空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法
空间曲线的切线与法平面掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法空间曲线是三维几何中的重要概念，理解和掌握空间曲线的切线与法平面的计算方法对于解决相关问题具有关键作用。
本文将介绍空间曲线的定义以及切线与法平面的计算方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、空间曲线的定义空间曲线是三维空间中的曲线，由于其存在弯曲和变化的特性，我们需要研究曲线上某一点的切线方向和曲线在该点的法平面。
切线与法平面是通过对曲线在该点的局部线性逼近得到的，具体计算方法如下。
二、切线的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的切线方向。
切线的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式。
假设曲线的参数方程为x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)，其中t为参数。
2. 然后，我们需要求解参数方程在该点的导数。
将参数t代入参数方程中，得到此点处的切向量，即曲线在该点的切线方向。
切向量的表示形式为T = (x'(t), y'(t), z'(t))。
3. 最后，我们可以得到切线的方向向量。
对切向量进行归一化处理，得到的单位向量即为切线的方向向量。
通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的切线方向，从而进一步分析曲线的性质和特点。
三、法平面的计算方法在空间曲线上选择一点P，我们想要求解此点处的法平面。
法平面与切线垂直，并与曲线在该点的切线相切。
法平面的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲线上该点的参数方程形式，与求解切线相同。
2. 然后，我们可以先求解切线的方向向量T。
3. 接着，我们需要找到与切线方向向量垂直的向量N。
可以通过以下方法得到：a. 找到切线方向向量与任意向量都垂直的向量V。
b. 通过向量叉乘的方式，得到N = T × V。
4. 最后，我们需要找到一个过该点的平面，且法向量为N。
这个平面即为法平面。
通过以上计算过程，我们可以得到空间曲线在选定点处的法平面，从而进一步分析曲线的性质和特点。
空间曲线与曲面的切线与法线的性质与计算
在空间曲线中，法线通常指的是与切线垂直的直线。对于参数方程表示的曲线，其法线方向可以通过切线方向的 叉积得到。具体地，可以选取另外两个不共线的向量与切线方向向量进行叉积运算，得到法线方向向量。
隐函数表示下计算方法
切线计算
对于隐函数表示的曲线 F(x,y,z)=0，其切 线方向可以通过求解隐函数的梯度得到 。具体地，切线方向向量为 grad F = (Fx, Fy, Fz)，其中 Fx、Fy、Fz 分别为 F 对 x、y、z 的偏导数。
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空间曲线与曲面的切
线与法线的性质与计
算
汇报人：XX
2024-01-30
REPORTING
• 曲线与曲面基本概念 • 切线与法线定义及性质 • 空间曲线切线与法线计算 • 曲面切线与法线计算 • 切线与法线在几何中的应用 • 总结与展望
目录
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PART 01
曲线与曲面基本概念
REPORTING
XX
THANKS
感谢观看
REPORTING对于隐函源自表示的曲面$x^2+y^2-z=0$，在点$(1,1,2)$处的梯度向量为${2,2,1}$，因此切线方向垂直于该向量，法线方向与该向量平行。
XX
PART 05
切线与法线在几何中的应 用
REPORTING
曲线曲面交点问题
01
切线与法线用于求解曲线或曲面之间的交点，通过 联立方程求解。
02
在计算机图形学中，交点检测是碰撞检测、光线追 踪等算法的基础。
03
对于复杂曲线或曲面，可能需要采用数值方法逼近 求解交点。
最小距离和最大距离问题
01 切线与法线可用于求解点到曲线或曲面的最小距 离和最大距离。
空间中的曲线与曲面的切线
空间中的曲线与曲面的切线曲线与曲面的切线在空间中具有重要的几何性质。
它们描述了曲线或曲面上某一点的局部特征，并且在解决几何问题时起到了重要的作用。
本文将介绍曲线与曲面的概念、切线的定义和性质，并且以具体的例子说明切线的应用。
一、曲线与曲面的概念在空间中，曲线是由一系列点按照特定的规律连接而成的，它是二维几何对象。
曲面则是由一系列曲线以一定方式排列而成的，它是三维几何对象。
曲线和曲面是几何学中的基本概念，我们常常遇到各种各样的曲线和曲面，如直线、圆、椭圆等。
二、曲线的切线1. 切线的定义对于曲线上的一点P，沿曲线可以找到一些相近的点，当这些点趋于P点时，连接它们的直线逐渐趋近于一条特殊的直线，即切线。
切线可以通过两个点之间的斜率来描述，斜率表示了曲线在该点处的斜率或倾斜程度。
2. 切线的性质（1）切线与曲线相切于一点。
（2）切线与曲线的交点处，切线与曲线的切点重合，切线和曲线共享这个点。
（3）切线的斜率等于曲线在该点的导数。
三、曲面的切平面1. 切平面的定义对于曲面上的一点P，可以找到一些相近的点，当这些点趋于P点时，连接它们的平面逐渐趋近于一平面，即切平面。
切平面是曲面在该点处的局部表现。
2. 切平面的性质（1）切平面与曲面相切于一点。
（2）切平面与曲面的交线处，切平面与曲面的切线重合，切平面和曲面共享这条交线。
（3）切平面与曲面的法向量垂直。
四、切线的应用实例切线在几何学和物理学中被广泛应用，下面以两个实例来说明切线的应用。
1. 曲线的切线在计算斜率和求导数中起到重要作用。
例如，对于函数y=f(x)，在某个点x=a处求切线的斜率，可以通过计算函数在该点的导数f'(a)来得到。
2. 曲面的切平面在求解曲面上某点的切线方向和法向量方向上起到关键作用。
例如，对于球体，切平面与球体表面的交线处即为球体上的切线，切平面的法向量垂直于球体表面。
在工程设计、数学建模和科学研究中，我们经常需要求解曲线与曲面的切线，以获得局部特征信息或解决问题。
空间曲线与曲面的切平面与法平面
空间曲线与曲面的切平面与法平面空间曲线和曲面是几何学中重要的概念，它们在三维空间中具有广泛的应用。
在研究这些曲线和曲面的性质时，我们常常需要考虑切平面和法平面。
本文将探讨空间曲线与曲面的切平面与法平面的概念及其应用。
一、空间曲线空间曲线是在三维空间中由点构成的轨迹。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
我们用参数方程表示空间曲线，其中参数通常用$t$表示。
对于空间曲线上的任意一点$P$，其坐标可以由参数方程表示为$(x(t), y(t), z(t))$。
在某一点处，曲线的切向量即为参数$t$的导数，表示为\[\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(x'(t), y'(t), z'(t))\]切向量$\mathbf{T}$表示曲线在该点的方向和变化率。
二、曲面曲面是三维空间中的一个二维对象，可以由参数方程或者隐式方程表示。
常见的曲面有平面、曲面和旋转曲面等。
我们用参数方程表示曲面上的点，参数通常用$(u, v)$表示。
对于曲面上的任意一点$P$，其坐标可以由参数方程表示为$(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$。
曲面上的两个参数方向分别由矢量$\mathbf{u}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}$和$\mathbf{v}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}$表示。
这两个参数方向的矢量积$\mathbf{N}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}$垂直于曲面，被称为曲面的法向量。
三、切平面给定空间曲线或曲面上的一点$P$，切平面是与该点切于一点的平面。
切平面与曲线（或曲面）在该点处不相交，但与其相切。
对于空间曲线上的一点$P$，切平面由切向量$\mathbf{T}$和过该点的直线方程组成。
切平面的方程可以表示为\[\mathbf{T}\cdot\mathbf{r}=\mathbf{T}\cdot\mathbf{r_0}\]其中$\mathbf{r_0}$是曲线上的一点，$\cdot$表示点积。
空间曲线的切线与法平面
所以切线方程为：
x R R R y z 2 2 2 1 1 1
即
2x R ( 2 y R) ( 2z R)
此直线可看作是 x y 2R 平面与平面 y z 的交线。
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曲面的切平面与法线
㈠ 设曲面方程为
F ( x, y, z ) 0
过曲面上点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 任作一条在曲面上的曲线 l ， 设其方程为 x x(t ), y y(t ), z z(t ) 显然有
F ( x(t ), y(t ), z (t )) 0
在上式两端对 t 求导，得
(Fx ) x(t ) (Fy ) y(t ) (Fz ) z(t ) 0
2
3
在点 (1, 1, 1) 的切线与法平面方程
解
在曲线方程中分别对 t 求导，得
2 x 1, y 2t , z 3t
对应于点 (1, 1, 1) 的参数 t 1
，于是
x t 1 1, y t 1 2, z t 1 3
从而切线方程为 法平面方程为
x 1 y 1 z 1 1 2 3
dy D( F , G) dx D( z, x) D( F , G) dz D( F , G) , D( y , z ) dx D( x, y) D( F , G ) D( y , z )Fra bibliotek上一页
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从而可得曲线在点 M 0 的切线方程：
X x0 Y y0 Z z0 D( F , G ) D( F , G ) D( F , G ) D( y , z ) M 0 D( z , x ) M 0 D( x, y) M 0
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面工X 二x(t)设空间的曲线C由参数方程的形式给出：《y = y(t) , t€(o(,P).z = z(t)设tot C，J, A(x(t o), y(t o), z(t o)、B(x(t i), y(t i),z(t i))为曲线上两点,A, B 的连线AB称为曲线C的割线，当B > A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A的切线.如果x = x(t), y = y(t), z = z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线C为光滑曲线)，则曲线在点A切线是存在的•因为割线的方程为x — x(t°)y — y(t°) z—z(t°)x(tj — x(t o) y(tj — y(t o) z(t i) — z(t o)也可以写为x — x(t。
)_ y — y(t。
)_ z — z(t。
)x(tj - x(t。
) y(tj - y(t。
) z(tj —z(t。
)t -t o t - t o t - t o当B > A时，t > t o，割线的方向向量的极限为fx(t o), y(t o), z(t o)1，此即为切线的方向向量，所以切线方程为X — x(t o) _ y — y(t o) _ z _z(t o)x(t。
)「y(t。
)「z(t o).过点A(x(t o), y(t o), z(t o)且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点A(x(t o), y(t o), z(t o)的法平面，法平面方程为x'(t o)(x-X o) y (t o)(y - y o) z'(t°)(z - z°) = 0如果空间的曲线C由方程为y = y(x),z = z(x)且y'(x o),z'(x°)存在，则曲线在点A(x°, y(X o), z(x°)的切线是X -X o _ y - y(X o) _ z -z(X o)1 y"(x o) z"(x o)法平面方程为(x-X o) y (X o)(y - y(X o)) z'(X o)(z-z(X o)) =o如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组；F(x, y,z)=0,c:丿[G(x, y, z) = o确定时，假设在A(x o, y o ,z o)有J =班F，G)式o，在A( x o, y o, z o)某邻域内满足隐函数点(y,z)A组存在定理条件，则由方程组丿F(x, y,z)-0,在点A(x o,y o,z o)附近能确定隐函数©(X, y,z) = 0y = y(x),z 二z(x)七/ 、/ 、 dy1 c(F,G) dz 1 F(F,G)有y o = y(x o ), Z o =z(x o ) — = ------------------------ ,一 = ---------------- 。
92空间曲面的切平面与法线
切平面上的点的竖坐标的增量.
三、小结
切向量
◆空间曲线的切线与法平面
法向量 ◆曲面的切平面与法线
1.
x x(t)
y
y(t ),
T { x(t), y(t), z(t)};
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
例1 求曲面 z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的 切平面和法线方程.
解 令 F( x, y, z) z ez 2xy 3,
Fx
(1,2,0)
2y (1,2,0)
4,
F y (1,2,0)
2x (1,2,0)
2,
Fz (1,2,0)
(1
ez ) (1,2,0)
0,
切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0;
法线方程
x 1 y 2 z 0.
令 n {Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )}
即 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n
T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
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第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ．设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线．如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为)()()()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=--也可以写为010********)()()()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=---当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x如果空间的曲线C 由方程为)(),(x z z x y y ==且)(),(0'0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是)()()()(100000x z x z z x y x y y x x '-='-=-法平面方程为))()(())()(()(00'00'0=-+-+-x z z x z x y y x y x x如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(:z y x G z y x F c ，确定时，假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂=Az y G F J ，在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数)(),(x z z x y y ==有)(),(0000x z z x y y ==，),(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ∂∂-=∂∂-=。
于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是AA dx dz z z dx dy y y x x 0001-=-=- 即AAAy x G F z z x z G F y y z y G F x x ),(),(),(),(),(),(000∂∂-=∂∂-=∂∂-法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F AA A类似地，如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠∂∂Ay x G F 或0),(),(≠∂∂Ax z G F 时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。
所以，当向量0}),(),(,),(),(,),(),({≠∂∂∂∂∂∂=AA A y x G F x z G F z y G F r ρ时，空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r ρ例6.32 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程．解 当πθ=时，曲线过点()πb a ,0,-，曲线在此点的切线方向向量为{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ，所以曲线的切线方程为bt z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0．二、空间曲面的切平面与法线 设曲面S 的一般方程为0),,(=z y x F取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点，设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续偏导数，且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x 。
设c 为曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x c 设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===，我们有0))(),(),((=t z t y t x F上式对t 在0t t =求导得到0)(),,()(),,()(),,(0'0000'0000'000=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x因此，曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =ϖ垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为α，平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面，向量n ρ称为法向量。
S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线，它的方程为),,()(),,()(),,()(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 设曲面S 的方程为0),,(=z y x F若),,(z y x F 在S有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ，则称S 是光滑曲面。
由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。
若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =，这时，容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法线方程为1)(),()(),()(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 我们知道，函数),(y x f z =在点),(00y x 可微，则由Taylor 公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说，函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代替，误差为2020)()(y y x x -+-的高阶无穷小。
若曲面S 的方程表示为参数形式⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(:v u z z v u y y v u x x S 设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===，),,(0000z y x P 为曲面上一点。
假设在),,(0000z y x P 有0),(),(0≠∂∂=P v u y x J ，在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数（即x 和y 的逆映射）),(),,(y x v v y x u u ==满足),(),,(000000y x v v y x u u ==。
于是，曲面S 可以表示为)),(),,((),(y x v y x u z y x f z ==由方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x ，两边分别同时对y x ,求偏导得到),(),(),(),(),(),(,),(),(v u y x u xy vv u y x vxyuv u y x uyxvv u y x v yx u∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 故,),(),(),(),(),(),(),(),(v u y x v u x z v z u z f v u y x v u z y v z u z f y v y u y x v x u x ∂∂∂∂-=+=∂∂∂∂-=+=所以，S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为)(),(),()(),(),()(),(),(0),(0),(0),(000000=-∂∂+-∂∂+-∂∂z z v u y x y y v u x z x x v u z y v u v u v u 法线方程为),(0),(0),(0000000),(),(),(),(),(),(v u v u v u v u y x z z v u x z y y v u z y x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-例6.33 求曲面zxy z ln+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程。
解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z zxy z y x F ，易得}2,1,1{-=→n切面方程为0)1(2)1()1(=---+-z y x即02=-+z y x . 法线方程为211111--=-=-z y x习题6.61．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．2．求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．3．求曲面xyz arctan=在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程。