双曲线的几何性质ppt课件
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双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
双曲线的简单几何性质 课件
12 分
双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率， 二是求离心率的取值范围．求圆锥曲线的离心率的 关键是探寻a与c的关系．在探寻过程中，要充分挖 掘各种隐含条件，结合图形与圆锥曲线的定义，并 要综合运用各种知识，只有这样才能做到“心有灵 犀一‘点’通”，找到最优解法，提高解题速度．
由双曲线的几何性质求标准方程
●
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为 8，离心率为54；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，
实轴长和虚轴长相等，且过点 P(4，－ 10)；
(3)渐近线方程为 y＝±12x，且经过点 A(2，－3)．
思路点拨： (1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；
思路点拨： 双曲线方程 ―化 变―简 形→ 双曲线的标准方程
―→ a，b，c的值 ―→ 结果
解析： 将方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程4y22－3x22＝1， 由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0,5)， 渐近线方程为 x＝±34y，即 y＝±43x.
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝
1(a>0双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
由①②联立，无解．
若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为ay22－bx22＝
1(a>0，b>0)，
则ab＝12.
③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a92－b42＝1.
求双曲线的离心率
点 P 是双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)和圆 C2： x2＋y2＝a2＋b2 的一个交点，且有 2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中 F1，F2 是双曲线 C1 的左右两个焦点，求双曲线 C1 的离心率．
双曲线的性质课件(PPT 15页)
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
2.双曲线的简单几何性质PPt
双曲线的 简单几何性质(2)
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3） e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e越大， 越大, 且e增大, 即渐近线y 的绝对值越大， a a 这时，双曲线的形状从扁狭逐渐开阔，即开口越大，
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b 等轴双曲线x2 y 2 λ (λ ≠0) 渐近线方程y x
想一想:有相同渐近线的双曲线方程相同吗？试举例说明。
例1、求下列双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
3 4
，
例4．求满足下列条件的双曲线标准方程.
3 ，且过（-1，2） 的双曲线。 e 2呢？ x2 y 2 （2）与双曲线 1有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4 x2 y 2 1 共渐近线 ，并且过点 M (2 3, 3) （3）已知双曲线 16 9
（1）离心率为
x2 y 2 （2）与双曲线 1 有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3） e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e越大， 越大, 且e增大, 即渐近线y 的绝对值越大， a a 这时，双曲线的形状从扁狭逐渐开阔，即开口越大，
结论：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b 等轴双曲线x2 y 2 λ (λ ≠0) 渐近线方程y x
想一想:有相同渐近线的双曲线方程相同吗？试举例说明。
例1、求下列双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、 离心率、渐近线方程。
y x 1 (a 0,b 0 ) a b
x a 或 x a，y R
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
b y x a
(e 1)
c e a
3 4
，
例4．求满足下列条件的双曲线标准方程.
3 ，且过（-1，2） 的双曲线。 e 2呢？ x2 y 2 （2）与双曲线 1有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4 x2 y 2 1 共渐近线 ，并且过点 M (2 3, 3) （3）已知双曲线 16 9
（1）离心率为
x2 y 2 （2）与双曲线 1 有相同焦点，且过 点（3 2，2） 16 4
《二讲双曲线》课件
添加 标题
双曲线的图像：双曲线有两个分支，在平 面坐标系中呈现出“马蹄形”的形状。
添加 标题
参数方程与图像的关系：通过参数方程可 以绘制出双曲线的图像，而通过图像也可 以读取出双曲线的参数方程。
添加 标题
参数方程的应用：双曲线的参数方程在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，例如在研究天体 运动、电磁波传播等问题时常常会用到双曲线的 参数方程。
预习内容建议：回 顾双曲线的定义、 性质和图像
所需准备材料：笔 记本、笔、教材等
预习时间安排：建 议提前一周开始预 习
感谢观看
汇报人：PPT
图像特征：与双曲 线渐行渐远
双曲线的离心率
离心率的定义：离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与焦点的距离与双曲线实 轴长度的比值。
离心率的取值范围：离心率的取值范围是大于1，表示双曲线与焦点的距离大于双曲线实轴长度。
离心率与双曲线形状的关系：离心率越大，双曲线的开口越宽，形状越扁平；离心率越小，双 曲线的开口越窄，形状越接近于椭圆。
双曲线的性质
双曲线是平面上的两条曲线，它们在两个不同的方向上弯曲。 双曲线的两个焦点位于其对称轴上，并且离原点的距离相等。 双曲线的渐近线是与双曲线无限接近的直线，它们与双曲线在同一直线上。 双曲线的离心率大于1，这是双曲线与椭圆和圆的区别之一。
双曲线的几何性质
双曲线的对称性
定义：双曲线关 于原点对称
双曲线的渐近线：双曲线与坐标轴的交点为渐近线，其斜率为b/a。
双曲线的离心率：离心率e是描述双曲线离散程度的参数，其值为c/a， 其中c为焦点到原点的距离。
双曲线的焦点位置：对于中心在原点的双曲线，其焦点位置为x轴正负 方向上，距离原点为c的点。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
A1 A2
O
B1
•
F2
x
5.离心率 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小
c
(1)定义： 双曲线的焦距与实轴长的比 e , 叫做双曲线的离心率.
a
∴e >1
(2)e的范围： ∵c>a>0
y
B2
(3)e的含义：e越接近1，双曲线开口越小；
e越大，双曲线开口越大.
(4)等轴双曲线的离心率e= ?
解：依题意可设双曲线的方程为 2 2 1
a
b
2a 16，
a 8
c 5
又 e , c 10
a 4
b2 c 2 a 2 102 82 36
x2 y2
双曲线的方程为
1
64 36
3
渐近线方程为y x ,且焦点F1 (10, 0), F2 (10, 0)
-a
a
F1 A1 O
A2
B2 -b
F2
4.双曲线的渐近线:
2
2
一般地，双曲线 2 − 2 = 1 ( > 0, > 0)的两支向外延伸时，与两条直
线 ± = 0逐渐接近，但永不相交.我们把这两条直线叫做双曲线的渐
近线.
y
x y
b
x2 y2
双曲线 2 2 1的渐近线方程为 0,即y x .
A1 (0,-a ), A2(0, a )
线段A1A2叫实轴 , 长度为2a
线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b
c
e (e 1)
a
x y
b
0,即y x
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)
()
思考 类比椭圆几何性质的研 ,你认 究 你认 , 为应研究双曲线 x y − = (a > , b > a b ? 如何研究这些性质
) 的哪些性质 ?
y
范围
, 观察双曲线可以看出它在 不等式x ≤ −a 与x ≥ a 表示 .下面利用双曲线 的区域内 . 的方程求出它的范围 x y 将方程( )化为 − = , a b
设双曲线的方程为
y
C` A` O
13 12
C A
x
B`
25
B
图 . −
()
x y − = (a > , b > ) , 令点C的坐标为( , y ), a b 则点B的坐标为( , y − ).
因为点 B,C 在双曲线上 , 所以
(y − ) −
− b y − = . b
y
= ,(
)
C` A` O
离心率
c , 与椭圆类似双曲线的焦距与实轴长 的比 , a 叫做双曲线的离心率.因为c > a > , 所以双 c e 曲线的离心率 = > . a
思考 离心率可以刻画椭圆的 , ,双 扁平程度双 ? 曲线的离心率刻画双曲 线的什么几何特征
操作打开的几何画板 , 在动态中观察图形的 变化与离心率的关系.
1 2 2 1
, 条直线逐渐接近我们把这两条直线叫做 , . 双曲线的渐近线也就是说 双曲线与它的
,但永远不相交 . 渐近线无限接近但永远不相交 x y , 在方程 − = 中 如果 a = b, 那么双曲 a b 线方程为x − y = a ,它的实轴和虚轴的 , 长都等于 a.这时 四条直线 x = ± a, y = ± b , 围成正方形 渐近线方程为 y = ± x,它们互 相垂直, 并且平分双曲线 实轴和虚轴所成 , 的角实轴和虚轴等长的双曲 线叫做 等轴双 曲线.
观 关 例 求双曲线 y − x = 的实半轴长 和虚半轴长、焦点坐标 离心率、渐近线 和虚半轴长、 、离心率、 . 方程
解 把方程 y − x = 化为标准方程 y x , − = . 由此可知 实半轴长a = ,
+ = , c 焦点坐标是( ,− ), ( , );离心率e = = ; a
渐近线方程为y = ± x.
B2 O F1 A1 B1 A2 F2 x
图 . −
x 于是, 双曲线上点的坐标 ( x, y ) 都适合 ≥ , 即 a x ≥ a , 所以x ≤ − a, 或 x ≥ a .这说明双曲线在不
等式 x ≤ − a 与 x ≥ a 所表示的区域内.
对称性
x y 类比研究椭圆 + = a b (a > b > ) 对称性的方法 , , x 容易得到双曲线关于 轴、 y 轴和原点都是对称的 .这 时,坐 标轴是双曲线的对 , 称轴 原点是双曲线的对称
13
C A
x
12
()
b
由方程( ) , 得y =
代入方程( ), 得 b + b−
(负值舍去),
B`
25
B
b 图 . − − = , 化简得 − b = .用计算器解得b ≈ . x − y = .
()
所以, 所求双曲线的方程为
例 l:x=
点M( x, y) 到定点F( , ) 的距离和它到直线 . 的距离的比是常数 , 求点M 的轨迹
令 x = , 得 y = −b , 这个 方程没有实数根说明双 , y , 曲线和 轴没有交点但我 画在y 轴上(图 . − ). 们也把 B ( ,−b) , B ( , b)
F1
y
B2
O
A1 A2
F2
x
B1
线段 A A 叫做 双曲线的实轴 图 . − , 它的长等于 a, a 叫做双曲线的半实轴长 ; 线段 B B 叫做 双曲线的虚轴它的长等于 , b, b 叫做双曲线的虚半轴长 .
双曲线的几何性质
• 思考回顾
• 椭圆的简单几何性质 ？ 范围; 对称性; 顶点; ①范围 ②对称性 ③顶点 ④离心率等
回想：我们是怎样研究上述性质的？ 回想：我们是怎样研究上述性质的？
双曲线是否具有类似的性质呢?
究方法 我们根 , 类比椭圆几何性质的研 据双曲线的标准方程 x y − = (a > , b > a b . 研究它的几何性质
F1
y
Q
N M
B2
b
O A1 B1
a
A2
F2
x
所以 | MN |= Y − y = b x− x −a a
(
b x− x −a x+ x +a ab . = ⋅ = a x+ x +a x+ x +a b 设 | MQ | 是点M到直线y = x的距离, 则 | MQ |<| MN | . a
(
)
)(
渐近线
信息技术应用
1
y
B2
, 如图 经过 A , A 作y轴的平 O F A A F x 行线x = ±a, 经过 B , B 作x B 轴的平行线y = ± b,四条直 ( 线围成一个矩形图 . − ). 图 . − 矩形的两条对角线 所在的 x y 直线的方程是 ± = .由几何画板实验可以看 a b x y , 到, 双曲线 − = 的各支向处延伸时与这两 a b
)
图
当x逐渐增大时, | MN | 逐渐减小, x无限增大, | MN | 无限接近于零, | MQ | 也无限接近于零.
也就是说, 双曲线在第一象限的部分从射线 ON的下方逐渐接近于射线ON .
在其他象限内也可以证明类似情况你能证 , , 明吗? , | x 另外 我们也可直接计算 MQ |, 证明当 无限
增大时| MQ | 无限接近于零 , .
虚半轴长b = ; c = a + b =
图 . −
()
例 双曲线型冷却 , 塔的外形 是双曲线 的一部分绕其虚轴 ( 旋转所成的曲面图 . − ( ) )它的最小 半 径为 m, 上口半 径为 m ,下口半径 为 m,高 m.试选择 , 适当的坐标系求出 ( 此双曲线方程 精确 到 m ).
解 如图 . − ( ), 建立直 角坐标系 xOy, 使小圆的直 径AA`在x轴上, 圆心与原点 重合.这时, 上、下口的直径 CC `, BB` 都平行于 x 轴 , 且 | CC `|= × , | BB`|= × .
, M . 操作打开的几何画板观察动点 形成轨迹过程
解 设d是点M到到直线l的距离, 所求轨迹就是 | MF | 集合P = M = d ,
y
H
O d
M x
(x − )
由此得
+y
F
= .
图 . −
−x
, 将上式两边平方 并化简, 得 x − x 即 − y = y = . ,
y
B2
O
F1
A1
A2
F2
x
B1
图 . −
. 中心 双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心
顶点
y
( , 在方程 )里 令y = , 得
A 轴有两个交点 (− a, ), A (a, ). 因为x轴是双曲 线的对称轴, 所以双曲 x = ±a,因此双曲线与 x
F1
B2
O
A1 A2
F2
x
B1
图 . −
线和它的对称轴 有两 . , 个交点它们叫做双曲线的顶点
y
H
d
M
x
O
F
所以 点M的轨迹 , 图 . − 是实轴、虚轴长 分别为 、的双曲线 (图 . − ).
探究与ห้องสมุดไป่ตู้现
b x y 为什么y = ± x 是双曲线 − = 的渐近线 a a b x y 如图 , 先取双曲线 − = y a b N Q 在 第一象 限 内部分进行证明 . M
B2
这一部分的方程可写为
b
b y= x − a ( x > a ). a 设M ( x, y )是它上面的点, b N ( x, Y )是直线 y = x上 a
O
a
F1
A1 B1
A2
F2
x
图
b 与M有相同横坐标的点, 则Y = x . a
b 因为 y = x −a = a b x a b a − < x = Y, a x