投资学(高级教程)(07)-单指数与多因素模型.
合集下载
因素模型
因素模型杨长汉1证券资产价格的决定因素是多种多样的，西方学者在研究中采取了多种多样的方法去探讨证券价格的决定因素。
最主要的两种模型就是单因素模型和多因素模型。
一、单因素模型(Single-Index Model)夏普(William Sharp)于1963年建立了单因素模型2。
单因素模型是指证劵价格的影响因素只有一个，而如果有两个或两个以上的因素，则称为多因素模型。
单因素模型的基本思想是：当市场指数上升时，市场中大部分证券资产的价格就会上涨；相反，当市场指数下降时，市场中大部分证券资产的价格就会下降。
单因素模型中有以下两个基本假设条件：第一，证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，而这里所讲的因素仅指系统性风险。
第二，一个证券的非系统性风险与其他证券的非系统性风险之间的相关系数为零，两种证券之间的相关性仅取决于共同的市场因素。
在单因素模型中，主要有两个基本因素会造成证券收益率的波动：一是宏观经济环境因素，比如GDP 增长率、利率、通货膨胀率等，这些因素的变化会引起证券市场中所有证券收益率的变化，相对于市场中的系统性风险；二是微观因素的影响，如公司的财务状况、公司的经营状况以及突发事件等，这些因素的变化只会引起个别证券收益率的变化，相当于市场中的非系统性风险，可以通过多样化的投资组合进行分散。
我们以股票的收益率和股价指数的收益率为例，可以得到如下单因素模型公式： it it i mt it r A R βξ=++这一公式揭示了股票的收益率与市场指数收益率之间的关系。
其中，it r 为t 时期证券i 的收益率，mt R 为t 时期市场指数的收益率，i β为斜率，表明股票收益率波动对市场指数波动的反应程度，代表两者的相关关系，it A 是截距项，反映市场指数为零时股票收益率的大1 文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著杨长汉，笔名杨老金。
师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。
八章 单指数模型与多因数模型
E(ri)–rf=α i+i[E(M)–rf]
则有：E(ri)–=α i+rf + i[E(M)–rf]
与CAPM模型相比较，可见，CAPM模型是所有股票阿尔
法的期望值为零的取期望的单指数模型。
第二节
多因素模型
一、两因素模型
二、多因素模型
一、两因素模型
（一）双因素模型（Two-Factor Models）
a j b j1 f1 b j 2 f 2 e j )
二、多因素模型
多因素模型认为，证券i 的收益率取决于K个因素，其表达式为：
rit ai bi1Fit bi 2 F2t bik Fkt it
性质： 预期回报率 方差 i2
k
ri ai bij F j
2 M
上式所以成立，是因为由于α I是常数，它与所有变量 的斜方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系 统风险，因此： 可推导出： Cov(ei，RM)=0 i= Cov(Ri，RM)/σ
2 M
在推导CAPM模型中，也有i= Cov(Ri，RM)/σ
2
M成立，
即单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。因此， CAPM模型是单指数模型的一个特例，对Ri=α i+iRM+ei两边 取期望，有
i 5.411.14 7.24 2.82
因此，单指数模型为：RGM-rf=-2.82+1.14（RM-rf）
e
2 e
2 i
300.644 2.82 7.181.14137.36 124.364
2
S 124.364/(12 2) 12.44
方法二解析【见EXCEL】
最新MBA精品课件6、单指数模型和多指数模型
19
指数模型和分散化模型
RP P P Rm eP
N
P 1 N i i 1 P 1 N i i 1
Prepared by Professor Charles Cao
6
单指数模型
• 市场风险的例子
– 利率发生变化 – 政府的货币政策发生变化 – 通货膨胀率发生变化
• 公司特有风险的例子
– 更换CEO – 开发了一种新产品
Prepared by Professor Charles Cao
7
单指数模型
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 市场指数的 . . . . . . . 超额收益 . . . . . . . . . . . . . . . .. Ri = i + ß iRm + ei
Prepared by Professor Charles Cao
• 市场风险或系统风险：与宏观经济因素或市 场指数相关的风险 • 非系统风险：公司特有风险 • 总风险=系统风险+非系统风险
Prepared by Professor Charles Cao
17
风险分解
i2 = i2 m2 + 2(ei)
这里：
i2 = 总风险 i2 m2 = 系统风险 2(ei) = 非系统风险
风险溢价（超额收益）
令: Ri = (ri - rf)
Rm = (rm - rf)
风险溢价 的格式
Ri = i + ß iRm + ei
Prepared by Professor Charles Cao 13
有价证券特征线（ Security Characteristic Line ）
投资学7.因素模型
模型建立与检验
模型选择与构建
基于投资学理论和实证研究，选择合适的模型进行构 建，如多因子模型、机器学习模型等。
模型参数估计
采用适当的估计方法对模型参数进行估计，如最小二 乘法、最大似然法等。
模型检验与评估
对模型进行各种检验和评估，如拟合优度检验、预测 能力评估等，以确保模型的可靠性和有效性。
结果分析与讨论
投资学7.因素模型
目录
• 引言 • 7因素模型介绍 • 7因素模型的实证分析 • 7因素模型的应用 • 7因素模型的局限性 • 未来研究方向
01
引言
投资学概述
投资学是研究如何将资金进行合理配 置以实现预期收益的学科。它涉及到 金融市场的运作、资产定价、风险管 理等多个方面。
投资学的主要目标是帮助投资者做出 明智的决策，以实现财富的保值和增 值。
账面市值比风险因素
总结词
账面市值比风险是指由于公司账面市值比大小对投资 收益的影响。
详细描述
账面市值比是指公司账面价值与市值之间的比例。账 面市值比的大小反映了公司资产与市场价值之间的关 系。如果账面市值比较高，说明公司的资产价值高于 市场价值，可能存在资产质量不佳、市场前景不明朗 等问题，因此风险较大。反之，如果账面市值比较低 ，说明公司的资产价值低于市场价值，可能存在资产 质量良好、市场前景明朗等问题，因此风险较小。
05
7因素模型的局限性
数据获取的局限性
7因素模型需要大量的历史数据来计 算各因素的权重，但在某些情况下， 可能无法获取足够的数据或者数据质 量不高，这会影响模型的准确性和可 靠性。
VS
对于新兴市场或小规模公司，其历史 数据可能较少，这使得7因素模型的 适用性受到限制。
投资学 单因素模型
2018-5-14
对外经济贸易大学金融学院《投资学》
4
3. 证券市场线只考虑了由风险市场组合的预 期收益率对证券或证券组合预期收益率的 影响，即把市场风险全部集中的体现在一 个因素里，而影响总体市场环境变化的宏 观因素很多。
2018-5-14
对外经济贸易大学金融学院《投资学》
5
威廉.夏普（Sharpe）继马科维兹之后于1963年提出了
E (ri ) rf ( E (rM ) rf ) iM
E (ri ) i i E ( F )
2018-5-14
对外经济贸易大学金融学院《投资学》
20
CAPM 可视为一个特殊的单因素模型或特殊的市场 模型，在那里的市场组合收益率 rM实质上就是一个 单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏 观经济指数，于是有： ri－rf ＝αi ＋bi（rm－rf ）＋εi 或者Ri =αi+bi*Rm+εi （实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回 归直线就是证券i的特征线）
2018-5-14
对外经济贸易大学金融学院《投资学》
16
二、市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用市场指数来作为影
响证券价格的单因素，此时的单因素模型 被称为市场模型。市场模型实际上是单因 素模型的一个特例。
2018-5-14
对外经济贸易大学金融学院《投资学》
17
假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期市场
2018-5-14 26
双因素模型的主要特征
1. 跟单因素模型一样，一旦利用前面那些方程计算
出预期回报率、方差和协方差后，投资者便可以使 用最优化来导出弯曲的马氏有效集。继而，对于一 个给定的无风险利率，可以确定出切点组合，在此 基础上，投资者可以确定他的最佳组合。此时，计 算方差-协方差矩阵需要估计多少参数？ 2.分散化 对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不 显著。 同单因素模型一样，在双因素模型中，一个组合对 某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平 均，权数为投资于各证券的比例
053单指数与多因素模型4
3
3-4
单因素模型
进一步的， 考虑不同企业对宏观经 济事件有不同的敏感度 ， 记证券i对宏观经济事件的敏感 度为 i， 则证券i的宏观成分 i mi， 并有：ri E (ri ) i m ei 此即单因素模型 (single factormodel)
2 并有： i2 i2 m 2 (ei ) 2 Cov(r ,r ) Cov ( m e , m e ) i j i i j j i j m
13
3-14 表
Excel Output: Regression Statistics for the SCL of HewlettPackard
14
3-15
3 投资组合的构建与单指数模型
单指数模型的输入列表
标普500的风险溢价 标普500组合的标准差估计 n组估计值： - 系数
11
3-12
图 Excess Returns on HP and S&P 500 April 2001 – March 2006
12
3-13
图 Scatter Diagram of HP, the S&P 500, and the Security Characteristic Line (SCL) for HP
- 残差
- 值
15
3-16
单指数模型的最优风险投资组合
最大化夏普比率：
E ( RP ) P E ( RM ) P wi i E ( RM ) wi i
i 1 i 1 2 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 P P M (eP ) M wi i wi (ei ) i 1 i 1 E ( RP ) SP 1 2 1 2 n 1 n 1
指数模型
双因素模型的主要特征
1.跟单因素模型一样 1. 跟单因素模型一样， 跟单因素模型一样 ， 一旦利用双因素模型计算出预期 回报率、 回报率 、 方差和协方差后， 方差和协方差后 ， 投资者便可以使用最优化来 导出弯曲的马氏有效集。 导出弯曲的马氏有效集 。 继而， 继而 ， 对于一个给定的无风险 利率， 利率， 可以确定出切点组合， 可以确定出切点组合 ， 在此基础上， 在此基础上， 投资者可以 确定他的最佳组合。 确定他的最佳组合。参数估计将极大简化。 参数估计将极大简化。 2. 对于一个充分分散化的组合， 对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不显 著。 3。在两因素模型中， 在两因素模型中，一个组合对某一因素的敏感性是对 所含证券的敏感性的加权平均， 所含证券的敏感性的加权平均 ， 权数为投资于各证券的 比例
假设投资组合中包含对无风险资产的投资，投资比例 如下： 证券 比例 因素敏感性 非因素风险 rf 0.1 0 A 0.36 0.2 49 B 0.54 3。5 100 如果因素的标准差为15%，组合的因素风险为多少？ 组合的非因素风险为多少？ 组合的标准差为多少？
第二节、多因素模型 多因素模型
经济状况影响着大部分企业， 经济状况影响着大部分企业 ， 因而对经济前景 的预期的变化被认为对绝大部分证券的收益率 产生深刻影响。 产生深刻影响 。 然而经济并不是一个简单、 然而经济并不是一个简单 、 统 一的实体， 一的实体 ， 因而我们需要确认一些具有广泛作 用的共同影响力， 用的共同影响力 ， 比如： 比如 ： 1.国内生产总值 1. 国内生产总值； 国内生产总值 ； 2. 利率水平； 利率水平；3.通货膨胀率 3.通货膨胀率； 4.石油价格水平。 通货膨胀率；4.石油价格水平 石油价格水平。
单因素模型与多因素模型
3-4
因素模型的产生
因素模型中的因素常以指数形式出现 （如GNP指数、股价指数、物价指数等）, 所以又称为指数模型。 单因素模型相对CAPM是为了解决两个问 题，一是提供一种简化地应用CAPM的方 式；二是细分影响总体市场环境变化的 宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、 能源价格等具体带来风险的因素模型
3-1
因素模型
3-2
单因素（SIM）模型
单指数模型的估计 单指数模型的一般形式
单指数模型中的系统风险与非系统风险
3-3
因素模型的产生
因素模型由威廉.夏普在1963年提出.它 是是描述证券收益率生成过程的一种模 型，建立在证券关联性基础上。认为证 券间的关联性是由于某些共同因素的作 用所致，不同证券对这些共同的因素有 不同的敏感度。这些对所有证券的共同 因素就是系统性风险。因素模型正是抓 住了对这些系统影响对证券收益的影响， 并用一种线性关系来表示。
年
1 2 3 4 5 6
GDP增长率 （%）
5.7 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
证券收益率 （%）
14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
3-7
单指数模型的估计 （图）
这一关系也可用下面的图形表示
3-8
单指数模型的估计 （表达式）
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP
3-29
结论（β的关系） 虽然从严格意义上讲，资本资产定价模 型中的β 值和市场模型中的β 值是有区 别的，但是在实际操作中，由于我们不 能确切知道市场组合的构成，所以一般 用市场指数来代替，因此我们可以用市 场模型中测算的β 值来代替资本资产定 价模型中的β 值。
《投资学》第11讲 指数模型
令最大值
M
max
2 ei
则有 进一步
2 ep
1 n2
n i 1
2 ei
1 n2
n
M
i 1
M n
0
2 ep
M n
指数模型对风险分散化的分析
当n变得足够大时，
2 p
2 ep
小到可以忽略不计。
2 ep
p2
2 m
可分散风险 系统风险
n
随着投资组合中加入的证券数量的增加，非系统性风险越来越来分散，投
2 ei
2 m
E (m2 ) [ E (m)]2
2 ei
E (ei2 ) [ E (ei )]2
Cov(m, ei ) 0, E (m) 0, E (ei ) 0
总风险 = 系统性风险 + 公司特有风险
随堂练习：计算以下协方差:
Cov(im ei , jm e j )
7
单因素模型
注意 ：m 和 ei 相互独立， ei 和e j 之间也相互
独立，且 ei 的期望为0。
Cov(m, ei ) 0 Cov(ei , e j ) 0 E(ei ) 0, E(e j ) 0
思考：宏观经济冲击对每个公司收益率的 不确定性的影响是否可能一样？
单因素模型收益
E[(im ei )( jm e j )] E(im ei )E( jm e j )
E(i jm2 imej j mei eie j )
E(i jm2)
i
j
2 m
单指数模型课件
现代投资组合理论与投资风险管理——单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是由于单一的共同影响或指数。
随便观看股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的缘由之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标或许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：R.=a i+βi R m用代表股票收益。
此代表市场指数的收益率——随机变量。
生代表股票,•的收益中独立于市场表现的部分——随机变量。
4度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
/项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分:用见表示a i的期望值，“表示《中的随机变量，E(e,∙) = 0。
即：a i = a i + e i一只股票的收益方程现在可以写为：R i^a i+βi R m+e i,和此都是随机变量，分别以3和4表示它们的标准差O单指数模型的基本方程R i =a i+ β i R m+e i其中£匕)=0,对全部股票2 = 1,…,N二、模型的假设条件1.指数与特有收益不相关：E[e i(R fn-R fn)] = 0i = l,…，N2.证券仅通过对市场的共同反应相互关联:E(e i e j) = 0 i = l,.∙∙,N及j = l,…，N旦i≠ j 、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是：(1)收益均值：R i=a i+βi R m(2)证券收益的方差：σ,2 = β↑σ~m + CF；(3)证券,•和川攵益之间的协方差：σ.. = βiβjσ1m这样在单指数模型成立的状况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。
任何组合的期望收益是:_ N _ N N _M = ∑x∕ = ∑x,q + ∑xΛ^/=1 i=l i=l-t N N1]r另%=1x,α∙，则:i=l /=1Rp = + βpR∏我们知道一个股票组合的方差的公式是:N N N*= ∑ X 汨+∑∑ XiXj%ji=∖z=l 7=1代入前面或和％的结果，我们得到:N N N N可=£ X； *+ ΣΣ x iχjβiβjσl+∑ X；端i=1 /=1 √=1/=1• •4J进一步还可简化为:N N N= ΣΣxΛAM>ΣχXi=∖√=1z=lN N N= (∑^∙A)(∑^Λ)⅛÷ΣχX∙z=l 7=1 /=1N/=1四、单因素模型的估量和应用1、估量%与4首先举例说明见与吗的值的得来。
投资学之指数模型PPT(17张)
•
8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。
•
9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。
五、资产组合的方差
●单指数模型可证明：随着资产组合中股票数量的增 加，非系统风险逐步下降，而系统风险并不变化。
●假定一个等权重的资产组合有n只股票，每只股票的 收益为：Ri =αi +iRM +ei
●整个资产组合的收益为：RP=αP+PRMห้องสมุดไป่ตู้eP
●等权重资产组合的收益可以表示为 RP =∑wiRi =1/n∑Ri=1/n∑(αi +iRM +eI) =1/n∑αi+(1/n∑i)RM +1/n∑ei
●第一简单；第二，选择最重要的因素。
•
1、有时候，我们活得累，并非生活过于刻薄，而是我们太容易被外界的氛围所感染，被他人的情绪所左右。
•
2、身材不好就去锻炼，没钱就努力去赚。别把窘境迁怒于别人，唯一可以抱怨的，只是不够努力的自己。
•
3、大概是没有了当初那种毫无顾虑的勇气，才变成现在所谓成熟稳重的样子。
•
10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。
•
11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。
•
12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。
05单指数与多因素模型
塔值了：
未来的＝a＋b(现在的β) 然而，没有理由把我们自己限定在这样简单的预测法则下。为什
么不在预测贝塔时也考虑其他变量呢？例如，如果我们相信，公 司的大小和负债率是贝塔的两个决定因素，那么我们可以把等式 扩展为：
现在的＝a＋b1(过去的β)＋b2(公司大小)＋b3(负债率)
这种方法是由罗森堡（ R o s e n b e rg）与盖伊（G u y）提出来的，
指数模型中股票风险的测度
每种证券有两种风险来源：市场的或系统
的风险，它们的区别源于它们对宏观经济 因素的敏感度，这个差异反映在RM上，以 及对公司特有风险的敏感度，这个差异反 映在e上。如果我们记市场超额收益RM的方 差为σM2，则我们可以把每个股票收益率的 方差拆分成两部分：
很容易看出，简化后的指数模型为什么这么有用。对于
指数模型与单因素模型的关系 ������
指数模型可以看作单因素模型的特例， 是将单因素模型中的宏观因素具体为具有 代表性的市场指数。它意味着，证券收益 的不确定性来自微观风险和宏观风险，而 其中，宏观风险具体是证券市场总体的风 险，即系统性风险。
根据指数模型,我们可以把实际的或已实现
指数模型的估计
指数模型与分散化
随着越来越多的证券组成资产组合，由于
分散了公司特有风险，资产组合的方差下 降。然而，分散化的能力是有限的。甚至 对于一个相当大的n，仍然存在着部分风险， 因为所有资产实际上仍暴露于一般或市场 的因素之上。因此，我们说系统风险是不 可分散的。
资本资产定价模型与指数模型
巨大的证券市场，马克维茨程序要求的估计数量在利用 指数模型时仅仅需要其中的很小一部分。
另一优点不那么明显但同样重要。简化的指数模型对于
投资学第八章单指数与因素模型
一、单指数模型的提出
●在估算中计算量最大的部分是协方差的计算。 ●经验表明，股票收益之间的协方差一般为正，于是
可将公司外部的因素看成是一个。 ●公司内部特有因素对股价影响的期望值是零，即随
着投资的分散化，这类因素的影响将逐渐减少。 ●就此，夏普提出单因素模型：ri=E(ri)+mi+ei ●可将宏观因素的非预测成分定义为F，将股票i对宏
☞这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合 的方差将接近于系统方差。
等权重资产组合方差的分解(2)
五、单指数模型与CAPM模型
☞按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的 协方差公式为
☞ Cov(Ri，RM)=Cov(iRM+ei，RM) =iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) =iσ2M
☞单指数模型可证明：随着资产组合中股票 数量的增加，非系统风险逐步下降，而系统 风险并不变化。
☞假定一个等权重的资产组合有n只股票，每 只股票的超额收益为：Ri =αi+iRM +ei
☞整个资产组合的超额收益为：
RP=αP+PRM+eP
RP a P P RM eP
N
P
☞由于P=1/n∑i；αP=1/n∑αi，是一个常数； eP =1/n∑ei ，因此资产组合的方差为
σ2P=2Pσ2M +σ2(eP)
等权重资产组合方差的分解(1)
☞定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资 产组合的贝塔值和市场风险水平，不会随资产 组合中的股票数量的增加而变化。
☞定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是 独立的，都具有零期望值，所以随着资产组合 中的股票数量越来越多，非系统风险越来越小。
投资学(高级教程)(07)-单指数与多因素模型
7 单指数与多因素模型
均值方差模型对组合投资收益与风险的关系 及其优化给出了 精确、有效的计算方法，其相 关证券之间的协方差计算量较大，优化过程也 比较复杂。人们希望寻找简明的方法计算、优 化组合。这就是“指数模型”。
7.1 单指数模型
系统风险与公司特有风险
证券收益之间的协方差有正有负(正是因为负的 协方差使组合投资的风险降低)，但相同的经济力量 (因素)通使影响公司的经营状况，如：经济周期、 利率、技术进步、劳动力成本、原材料等。这些因 素的变化将导致证券市场收益率相应发生变化，使 证券收益之间的协方差趋向于正。
i
2 ei
[
Ri
R
i
f
2 m
n j1
Rj Rf
2 ej
j
/(1
2 m
n j1
2 j
2 ej
)]
i 1,2, , n
(7.15)
用
C*
2 m
n j1
Rj Rf
2 ej
j
/(1
2 m
n j1
2 j
2 ej
)
代入式(7.15)有：
yi
i
2 ei
[
Ri
R i
f
C*]
i 1,2, ,n
(7.16)
yi
2 ei
i
2 m
y j j , i 1,2, , n
j1
(7.10)
求 yi 得：
yi
Ri Rf
2 ei
i
2 m
2 ei
n
yjj,
j1
i 1,2, ,n
(7.11)
式(7.11)两边同乘以βi，并对所有i求和得：
均值方差模型对组合投资收益与风险的关系 及其优化给出了 精确、有效的计算方法，其相 关证券之间的协方差计算量较大，优化过程也 比较复杂。人们希望寻找简明的方法计算、优 化组合。这就是“指数模型”。
7.1 单指数模型
系统风险与公司特有风险
证券收益之间的协方差有正有负(正是因为负的 协方差使组合投资的风险降低)，但相同的经济力量 (因素)通使影响公司的经营状况，如：经济周期、 利率、技术进步、劳动力成本、原材料等。这些因 素的变化将导致证券市场收益率相应发生变化，使 证券收益之间的协方差趋向于正。
i
2 ei
[
Ri
R
i
f
2 m
n j1
Rj Rf
2 ej
j
/(1
2 m
n j1
2 j
2 ej
)]
i 1,2, , n
(7.15)
用
C*
2 m
n j1
Rj Rf
2 ej
j
/(1
2 m
n j1
2 j
2 ej
)
代入式(7.15)有：
yi
i
2 ei
[
Ri
R i
f
C*]
i 1,2, ,n
(7.16)
yi
2 ei
i
2 m
y j j , i 1,2, , n
j1
(7.10)
求 yi 得：
yi
Ri Rf
2 ei
i
2 m
2 ei
n
yjj,
j1
i 1,2, ,n
(7.11)
式(7.11)两边同乘以βi，并对所有i求和得：
单指数模型课件
现代投资组合理论与投资风险管理——单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。
随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：i i i m R a R β=+i R 代表股票收益。
m R 代表市场指数的收益率——随机变量。
i a 代表股票i 的收益中独立于市场表现的部分——随机变量。
i β度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
i a 项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分：用i α表示i a 的期望值，i e 表示i a 中的随机变量，()0i E e =。
即：i i i a e α=+一只股票的收益方程现在可以写为：i i i m i R R e αβ=++i e 和m R 都是随机变量，分别以ei σ和m σ表示它们的标准差。
单指数模型的基本方程：i i i m i R R e αβ=++其中()0i E e =，对所有股票1,,i N =L 二、模型的假设条件 1. 指数与特有收益不相关：[()]0i m m E e R R -= 1,,i N =L2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：()0i j E e e = 1,,1,,i N j N i j ==≠L L 及且三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算 在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是： （1） 收益均值：i m i i R R αβ=+（2） 证券收益的方差：2222i i m ei σβσσ=+（3） 证券i 和j 收益之间的协方差：2ij i j m ββσσ=这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。
投资金融之单一指数和多因素模型PPT课件( 61页)
Let: Ri = (ri - rf) Rm = (rm - rf)
Risk premium format
Ri = ai + ßi(Rm) + ei
证券特征线 Security Characteristic Line
Excess Returns (i)
Ri =αi + ßiRm
SCL
. . .... . .. .. . .. . . . ..
(rm - rf) = 0
ßi(rm - rf) = the component of return due to
movements in the market index
ei = firm specific component, not due to market
movements
Risk Premium Format
(ri - rf) = a i + ßi(rm - rf) + ei
Risk
Prem（股票持有期超额收益）oMr Ianrdkeext
Risk Risk
Prem Prem
ia = the stock’s expected return if the
market’s excess return is zero
ßi = index of a securities’ particular return to the factor
F= some macro factor; in this case F is unanticipated movement; F is commonly related to security returns
2) 非预期或风险收益（the unexpected or risky return）: the portion that comes from information that will be revealed .
投资学7因素模型
在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值
ri ai bi1 f1 bi2 f2
其回报率的方差
证券i对因子1的敏感度
2 i
b2 2 i1 f1
bi22
2 f2
2bi1bi 2
cov(
f1,
f2
)
2 ei
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi1 f1 bi2 f2 ei ,
回报率均值向量回报率方差协方差矩阵无风险利率估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加引入因素模型可以大大简化计算量由于因素模型的引入使得估计markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化
投资学得到投资者的最优投 资组合，要求知道：
回报率均值向量 回报率方差-协方差矩阵 无风险利率
其中：
Ft是t时期因素f的预测值； Rit在时期t证券i的回报； εit在时期预测的误差； αi零因素； βi证券i对因素F的敏感度(sensitivity),或因素
载荷（factor loading）
为简单计，只考虑在某个特定的时间的因素模型，从而省掉角 标t，从而（1）式变为
证券 1 2 3
β1 0.80 1.20 0.80
β2 1.50 －1.56 1.60
图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。图上的每一点表示： 在给定的年份，股票A的回报率与GDP增长率。
通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为
rRi 4% 2IGDPt it t
r6 13.0%
e6 3.2%
4%
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(7.14)
将式(7.14)代入式(7. 11)，得：
n R R n 2 R R i i f j f j 2 2 yi 2 [ m /( 1 i 1,2,, n j m 2 )] 2 ei i ej j 1 j 1 ej
(7.15)
用
2 C* m j 1
n
Rj Rf
2 ej
2 j 代入式(7.15)有： 2 j /(1 m 2 ) j 1 ej n
i Ri R f yi 2 [ C * ] i 1,2,, n ei i
(7.16)
标准化：
2 wi yi wi zi n n n wi 2 y i wi wi i 1 i 1 i 1
1 2 2 1 2 (e p ) ( ) (ei ) (e) 0 (n ) n i 1 n
2 n
σp 2
σ2(ep) 可分散风险 βp2σm2 系统风险 n
7.2 利用单指数模型构造最佳投资组合
利用拉格朗日乘子法确定n种证券有效组合 W=(w1,w2,…,wn)T时，有下列方程：
证券i 的收益率方差： 证券i ,j的收益之间的协方差：
2 Cov(ri , rj ) Cov(i rm , j rm ) i j m
单指数模型估计
Ri SCL
Rm
单指数模型与风险分散化
Sharpe(1963)首先提出的单指数模型，从另一 个角度说明了资产组合风险分散化。(William F. Sharpe.
n
(7.6)
则资产组合对市场的敏感程度为：
1 n p i n i 1
(资产组合有：
1 n 1 n p i , e p ei n i 1 n i 1
)资产组合方差为：Fra bibliotek2 2 2 2 (ep ) p p M
(7.7)
其中， βp2σm2为系统风险， σ2(ep)为非系统风险。
(7.9)
将式(7.9)代入式(7.8)，有：
2 2 Ri R f yi i2 m yi ei
或
Ri R f yi i
2 ei 2 m n
j 1,i j
2 y j i j m,
n
i 1,2,, n
y ,
j 1 j j
i 1,2,, n
的持有期收益可表示为：
ri = Ri + mi + ei (7.1) 其中，Ri 为证券持有期初的期望收益，mi为证券持 有期间非预期宏观因素对证券收益的影响， ei为非 预期公司特有事件的影响。 mi 和ei均具有零期望值。
由于不同企业对宏观经济因素影响由不同的敏感 性，将mi分解成两个因子： mi= βiF, F为宏观因素 非预测成分， βi为证券对对宏观经济事件的敏感度。
(7.12)
将其中的 i 转换为j, 即：
y
j 1 j j j 1
n
n
Rj Rf
2 ej
2 n 2 j j 2 m yj j j 1 ej j 1 n
(7.13)
求得：
y
j 1 j j j 1
n
n
Rj Rf
2 ej
2 j 2 j /(1 m ) 2 j 1 ej n
(7.10)
求 yi 得：
yi
Ri R f
2 ei
2 n i m 2 yj j, ei j1
i 1,2,, n
(7.11)
式(7.11)两边同乘以βi，并对所有i求和得：
y
i 1 i i i 1
n
n
Ri R f
2 ei
2 n i2 m i 2 y j j i 1 ei j 1 n
则 ri = Ri + βiF + ei (7.2)
式(7.2)为证券收益的单指数模型。(常用Rm代F)
股票持有期的超额收益：
ri-rf = αi + βi(rm-rf) + ei 或 Ri = αi + βiRm + ei
2 2 i2 i2 m ei
(7.3) (7.4) (7.5)
(7.17)
这就是利用单指数模型(SIM)求有效投资组合的方程。
7.3 CAPM与单指数模型
Ri R f yi i2
2 其中， yi ( )wi
j 1,i j
n
y j ij ,
i 1
n
i 1,2,, n
n
(7.8)
, ( R p wi Ri (1 wi ) R f )
i 1
在单指数模型中，有：
2 2 i2 i2 m ei 2 ij i j m
7 单指数与多因素模型
均值方差模型对组合投资收益与风险的关系 及其优化给出了 精确、有效的计算方法，其相 关证券之间的协方差计算量较大，优化过程也 比较复杂。人们希望寻找简明的方法计算、优 化组合。这就是“指数模型”。
7.1 单指数模型
系统风险与公司特有风险
证券收益之间的协方差有正有负(正是因为负的 协方差使组合投资的风险降低)，但相同的经济力量 (因素)通使影响公司的经营状况，如：经济周期、 利率、技术进步、劳动力成本、原材料等。这些因 素的变化将导致证券市场收益率相应发生变化，使 证券收益之间的协方差趋向于正。 如果将这些相关经济因素综合成一个宏观经济 引导棒，对证券市场产生影响。除此以外，证券收 益的剩余不确定性均为公司所特有。则可以把证券
A simplified model of portfolio analysis. Management Science, Jan.,1963)
n个等权重资产组合的超额收益率为
1 n 1 n 1n 1n 1n Rp wi Ri Ri (i i RM ei ) i ( i ) RM ei n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 i 1