导数经典例题1
求导练习题带答案
求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。
以下是一些求导的练习题及其答案，适合初学者练习。
练习题1：求函数 f(x) = x^3 的导数。
解：根据幂函数的求导法则，对于函数 f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。
因此，对于 f(x) = x^3，我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。
练习题2：求函数 g(x) = sin(x) 的导数。
解：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导数是 cos(x)。
所以，g'(x) = cos(x)。
练习题3：求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。
解：根据多项式的求导法则，我们可以分别对每一项求导，然后将结果相加。
对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。
练习题4：求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。
解：这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。
首先，设 u = x^2- 1，那么 k(x) = u^3。
u 的导数是 u' = 2x，而 u^3 的导数是3u^2。
应用链式法则，我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。
练习题5：求函数 m(x) = e^x 的导数。
解：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数是它自身。
所以，m'(x) = e^x。
练习题6：求函数 n(x) = ln(x) 的导数。
解：自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。
因此，n'(x) = 1/x。
练习题7：求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。
解：使用链式法则和幂函数的求导法则。
导数典型例题讲解
资料一 ：导数.知识点1．导数的概念例1．已知曲线y P (0, 0)，求过点P 的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2∴ k ＝00limlim (4)4x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,∴21St t t∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+, 即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒∴ v (t )=S ’＝00limlim(21)21t t St t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆即v (5)＝2×5＋1＝11.∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数yx =1处的导数。
解析：∆y1=, ∴ y x ∆∆, ∴ 0limx y x ∆→∆∆=1lim 2x ∆→=-.例5．已知函数f (x )=21sin 00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－f (0)=21()sinx x ∆∆, y x∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0lim x yx ∆→∆∆=01lim sin x x x ∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0.∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.例6．已知函数f (x )=21(1)121(1)12x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？解析：f (1)=1, 20001[(1)1]112lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,001(11)112lim lim 2x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y x x -+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导． 例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.解析：∵y =2x 3+3,∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,∴y x∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0lim x yx ∆→∆∆=6x 2.例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5),利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－61， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－61( x －1)，即 6y ＋x －31＝0. 例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？解析：∵ y ’=0lim x yx ∆→∆∆=220()lim2x x x x x x∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5. 例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值(1) 000()()limx f x m x f x x∆→-∆-∆； (2) 000()()limx xf x f x t x∆→∆+-∆. 解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。
导数典型例题(含答案)
导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim=xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f (x )=nn n k k n n n n x c nx c k x c x c c 1121221++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim= .解 ∵xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21（2nn n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 21(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim，也可以是00)()(limx x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是A.⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.故选A.点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x )的极小值个数是2个.点评 导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x )的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】 设函数f (x )与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n )，n ∈N *；③f (x )的导数f ＇(x )∈（0，1）.（1）证明：a n >α，n ∈N *；（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）即当n =k +1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解 令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，则当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2ax =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.（1）求y =f (x )的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x-≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at .（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），32ax =，当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在（0，32a）上单调递增；当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a .点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。
数学-导数经典20题
导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >）， 当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立， 由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点． 综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥， 即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立． 设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）． （1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减 极小 增 所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>， 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−， 因为2e 1e 1+−e 1>−， 所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−． 【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >） 故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=， 令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >）， 令()g x =2ln x x x −， 则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−， 令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′， 故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=， 故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）． （1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值． 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可． 【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解． 所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−， 由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减， 所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++． 由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−， 所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立， 所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞， 当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”， 所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立， 由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增， 所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ， 只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立． 综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在 上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在 上单调递减，在 +∞上单调递增． （2） 对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=． 当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+， 设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出． （2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）． （1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=， 令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<， 当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减． （2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增， 当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减， 不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+， 令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减， 即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立， 所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立， 因为1y x x=+在(]1,2上单调递增， 所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数． （1）求函数()f x y x=的单调区间； （2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间； （2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤， 再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<． 综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2． （2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x mm g x f x x xx x =−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−， 则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数； 当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间． （2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥． 【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−， 当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−， 由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<， 当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程． （2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可． 【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=． 即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ， 可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<， 当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<； （3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−， 由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >． 即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞； （2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<． 由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减， 可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=， 当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=， 即有ln 1x x x >−，则原不等式成立； （3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−， 由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<； 即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减； 又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证； 即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−． （1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−． 当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点， 当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增， 又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<， 故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x ′<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ， 由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a． 故当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =， 当1n =时，114T =， 当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ， 所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <． 【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >）， 当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增； 当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增； （2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+． 则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=， 消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点． 若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3． 综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）． （1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值； （2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =， 问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点， 当22e a >即e a >时，有2个交点， 当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明． 【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=， 当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞递增； （2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈， 则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−， 故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=， 又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间； （2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >）， 令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <， 又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意， 综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）． （1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点； （2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增， 故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意； 当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减， 故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在 递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=， 故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．精品公众号：学起而飞。
高中导数经典例题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版高中导数经典例题问题一 函数的单调性和导数的关系 例1、求下列函数的单调区间 （1）x x x f ln 23)(2-= （2）x e x x f -⋅=2)(（3）xx x f 1)(+=变式1、已知31292)(23-+-=x x x x f ，试确定)(x f 的单调区间.变式2、设函数)0(19)(23<--+=a x ax x x f ，若曲线)(x f y =的斜率最小的切线与直线612=+y x 平行，求：（1）a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间.例2、设函数aax x e x f ++=22)(，其中a 为实数.（1）若)(x f 的定义域为R ，求a 的取值范围. （2）当)(x f 的定义域为R ，求)(x f 的单调递减区间.例3、已知函数R a x ax x x f ∈+++=,1)(23（1）讨论函数)(x f 的单调区间； （2）设函数)(x f 在区间)31,32(--内是减函数，求a 的取值范围.变式1、若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求函数a 的取值范围.问题二 函数的单调性与导数的关系的应用例4、（1）函数),0()0,(,sin ππ⋃-∈=x xxy 的图像可能是（ ）（2）设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图像如图所示，则导函数)('x f y =的图像可能为（ ）变式1、设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =与)('x f y =的图像画在同一个直角坐标系中，其中不可能正确的是（ ）例5、当20π<<x ，求证：x x x 2tan sin >+.变式1、已知1>x ，证明不等式：)1ln(x x +>。
1求下列函数的导数
1．求下列函数的导数⑴10432+-=x x y ⑵100cos 8sin 7/1-++=x x x y⑶)/()(bx a b ax y ++= ⑷21sin x y += ⑸xey sin = ⑹x ey x100+=-xx xe e y xey xx x x x x y bx a b a y x x x x y x y ----=+-==++=++=+-=-+-=-=100100)1('cos '1/1cos 2·)1(·)1cos(')/()('sin 8cos 7)2/(1'46'sin 222/12212/12222⑹⑸⑷⑶⑵解：⑴2．已知某地段地形的海拔高度h 因水平坐标x 而变，h=100-0.0001x 2(1-0.005x 2)，度量x 和h 的单位为米。
问何处的高度将取极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？解：先求出h(x)对x 的一阶导数和二阶导数：42643643647242102106)102102(102102)1051010(22--------⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯+-=x x x x x x x dxd dx hd dxd dxdh令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。
∵d 2h/dx 2|x=0<0,∴x=0是极大值点，h(0)=100；∵d 2h/dx 2|x=10>0,∴x=10是极小值点，h(10)=99.0005米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10).3．求下列不定积分⎰⎰++-dx x dxx x x )2()13(23⑵⑴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-++--+dxxdxdx xe xdx x dxe dxb ax dx dx x x dx e xx x b ax dx x x x xx x x ln 222113)12(cos )11(cos sin )sin()cos (sin )2(222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==++=+=+-=--=+==++=++=+-=--=++-=++=++-=-==+--=-=-+++=-+=-+++=+=+++-=+-=+-----+---++-++-c x x xd dx cx x dx x xdx c ex d e dx xe c x x xd xdx x cb ax b ax d b axc ex d e dx e cb ax b ax d b ax dx b axc arctgx x dx dx dx cx x xdx xdx dx x x ce x dx x dx e dx e cx dx x dx dx x cx x x dx xdx dx x dx x x x x x x x aabax dx xx x aax dxx x x x xxx x dxx xx x x x 221ln 4121212212213312222/112212212111111122/3133312ln 22x 222344133)(ln )(ln ln )12(2sin )2cos 1(cos )11()(sin )(sin sin cos sin )()()2()cos()()sin()sin(sin cos cos sin )cos (sin 2ln 323)2(2)2(3)13(22222222⑽⑼⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵⑴4. 求下列定积分πππππππππ412832/02/0212/021011143214/6/4/6/21214/6/221211112211ln 132/12/12/12/111551105514143532421213221212/1212/021114/6/2111ln 12/12/111421)2cos 1(3)sin 3(454/||2sin )2(2cos 2cos 2ln |)ln ()(5.1|)ln 1()ln 1()ln 1(60|arcsin )1(|)1()1()1()1(||)1)sin 3(2cos )()1()1222322+=-+=+︒===-===+-=+=+=+=++=︒===-=-=--=--=-=-=-++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++---++--dx x xdx dx x x arctgx dx x x xd xdx e e x e dx e x x d x dx x e e e d e dx e e x x dx dx x dx x dxx x dx xdx dx e dx dx e e dx x x xxxeeexxxdx x x x xxx xxex xxdx xx πππππππ⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（解：⑴⑻⑺⑹⑸⑷⑶⑵（⑴示这些定积分。
关于导数的29个典型习题
关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h ..01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x xe x g xf x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.解 (1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛 ⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x(2) 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g xe x e x g x g x x g xf xx xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+xd y d dx dy22232])(1[定数。
完整版)导数大题练习带答案
完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。
Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。
+\infty)$。
Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。
m+3]$ 上的最值。
$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。
m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。
Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。
证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。
2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。
Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。
高中数学导数精选题目(附答案)
高中数学导数精选题目（附答案）(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)(3)极值点与极值①极小值点与极小值如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(4)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(5)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(6)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(7)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？答：f(x)为常数函数，不具有单调性．(8)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(9)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？答：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．(10):若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？答：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．(11):若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？答：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．(12):f′(x)>0或f′(x)<0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？答：f′(x)>0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)<0的解集对应函数f(x)的单调递减区间．(13):函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，课本P27图1.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(14):函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？答：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点. x1、x3是极大值点．(15)：已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？答：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．(16):导数为0的点都是极值点吗？答：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(17):函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？答：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．(18):若a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？答：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)ma x.(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)mi n.1．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()2．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()(2)函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y ＝f(x)的递增区间为____________；递减区间为________________．3．求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．4．试证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上是单调递增函数．5．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2l n x.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．6．求函数f(x)＝e xx－2的单调区间．7．已知函数f(x)＝x3－a x－1.讨论f(x)的单调区间．提示：由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)>0或f′(x)<0的解集即可．8．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围；(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x; (2)y＝ln x x.10．求下列函数的极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.11．已知f(x)＝x3＋3a x2＋b x＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．12．已知f(x)＝a x3＋b x2＋c x(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．13．求函数f(x)＝x3－3a x＋b(a≠0)的极值．提示：分类讨论a取不同值时，函数的单调性，进而求极值．14．设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值15．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；(2)f(x)＝x2－54x(x<0)．16．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；(2)f(x)＝12x＋S i n x，x∈[0,2π]．17．已知函数f(x)＝(4x2＋4a x＋a2)x，其中a<0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．18．已知函数f(x)＝a x3－6a x2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．19．已知f(x)＝x l n x，g(x)＝－x2＋a x－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．提示：2f(x)≥g(x)恒成立，可转化为2f(x)－g(x)≥0恒成立，然后利用分离参数法求a的取值范围．(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)ma x(或≤f(x)mi n);(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)mi n(或≤f(x)ma x)；(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)mi n≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));(4)f (x )≥g (x )恒有解⇔F (x )ma x ≥0(其中F (x )＝f (x )－g (x ))． 20．设函数f (x )＝x e x－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋1＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1.解： (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正； 当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内， 导数单调递增； 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．2.解析：选D 因为函数f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f ′(x )<0.解析：由f ′(x )的图象可知，当x ∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f ′(x )<0.故函数f (x )的增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)．3.解： 由于f (x )＝e x －x －1， 所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x <1，即f ′(x )＝e x －1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．4.证明：由于f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 由于0<x <2，所以l n x <l n 2<1， 故f ′(x )＝1－ln xx 2>0，即函数f (x )＝ln xx 在区间(0,2)上是单调递增函数. 5.解： (1)函数的定义域为R ，∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )>0，解得x >1或x <13.因此f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞)．令f ′(x )<0，解得13<x <1.因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33，又x >0，∴x >33； 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33，又x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.6.解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3). 7.解： f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3.当x >3a 3或x <－3a3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知， 当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数．当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．8.解：(1)由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0.即实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)由例题可知，f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.(5)∵f(x)＝x3－a x－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0,3)．9.解：(1)函数的定义域为R.f′(x)＝2x e－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4 e2.(2)函数y＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－ln xx2.令y′＝0，即1－ln xx2＝0，得x＝e.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：由表可知，当x＝e时，函数有极大值1 e.10.解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝143，f(x)极小值＝－6.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2(x2＋1)－4x2 (x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可以看出：当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3； 当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1. 11.解： ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0， 且f ′(x )＝3x 2＋6a x ＋b ，∴⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． ②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.12.解：f ′(x )＝3a x 2＋2b x ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点，∴x ＝±1是方程3a x 2＋2b x ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点.13.解： f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－a )＝2a a ＋b ， 极小值为f (a )＝－2a a ＋b .14.解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为(1－m,1＋m)．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.15.解：(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x＝1和x＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18.所以f(x)ma x＝2，f(x)mi n＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2.令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．16.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， 因为f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， 所以f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12， x ＝1时，f (x )取最大值为2. (2)f ′(x )＝12＋co S x ，令f ′(x )＝0， 又x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π 17.解： (1)当a ＝－4时，f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈－a 10，－a 2时，f (x )单调递减；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a 2≤4，即－8≤a <－2时，此时15<－a 10≤45，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)＝8时没有符合题意的a 值，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上知，a ＝－10.18.解：由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．f ′(x )＝3a x 2－12a x ＝3a x (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.19.解： (1)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝l n x ＋1， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )mi n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (2)2x l n x ≥－x 2＋a x －3，则a ≤2l n x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2l n x ＋x ＋3x (x >0)， 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 所以h (x )mi n ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )mi n ＝4，即a 的取值范围是(－∞，4]． 20.解：(1)∵a ＝1， ∴f (x )＝x e x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＋2＝x e x －12x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)， ∴当－1<x <0时，f ′(x )<0; 当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －a ＋22x ≥0， 当x ＝0时，显然成立； 当x >0时，即e x x ≥a ＋22恒成立． 记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2， 当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )是减函数， 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴a＋22≤e，得a≤2e－2.即a的取值范围是(－∞，2e－2]．。
导数经典综合题(原题版)
导数综合题经典百题1．已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.71828…）上的值域；（Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.2.已知函数.,1ln )(R ∈-=a xx a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值；（II ）求函数)(x f 的单调区间；（III ）当a=1，且2≥x 时，证明：.52)1(-≤-x x f 3.已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数).,()1(31)(223R ∈+-+-=b a b x a ax x x f （I ）若x=1为)(x f 的极值点，求a 的值；（II ）若)(x f y =的图象在点（1，)1(f ）处的切线方程为03=-+y x ，（i ）求)(x f 在区间[-2，4]上的最大值；（ii ）求函数)(])2()('[)(R ∈+++=-m em x m x f x G x的单调区间5．已知函数.ln )(xa x x f +=（I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.6．已知函数∈-++=b a m x b ax mx x f ,,,)1(3)(223R （1）求函数)(x f 的导函数)(x f '；（2）当1=m 时，若函数)(x f 是R 上的增函数，求b a z +=的最小值；（3）当2,1==b a 时，函数)(x f 在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m 的取值范围.7．已知函数()2ln .pf x px x =--（1）若2p =，求曲线()(1,(1))f x f 在点处的切线；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（3）设函数2(),[1,]eg x e x =若在上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围。
导数的基本公式14个例题
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
导数(1)答案
导数及应用（1）一、基础训练:1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ）， 则yx∆∆为 . 答案 Δx+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f ′(x)= . 答案 cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R 上可导且满足不等式xf ′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b 满足a ＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）. ①af(b)＞bf(a) ②af(a)＞bf(b) ③af(a)＜bf(b) ④af(b)＜bf(a) 答案 ①③④4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围为 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=ea x 在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . 答案 2二、典型例题题型一 利用导数定义解题例1 （1）求函数y=12+x 在x0到x0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy =11)(2020+-+∆+x x x =11)(11)(2202020+++∆+--+∆+x x x x x x=11)()(2202020+++∆+∆+∆x x x x x x ，∴x y∆∆=11)(220200+++∆+∆+x x x x x . （2）函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，→+-+xx f x f )1()21(题型二 、利用法则与公式求导例2 求下列各函数的导数： （1）y =25sin x xx x ++； （2）y =（x +1）（x +2）（x +3）；（3）y =-sin2x (1-2cos 24x)；（4）y =x -11+x+11. 解 （1）∵y =2521sin x x x x ++=x23-+x 3+2sin x x ，∴y ′=（x23-）′+(x 3)′+(x -2sin x )′=-23x 25-+3x 2-2x -3sin x +x -2cos x . (2)方法一 y =（x 2+3x +2）（x +3）=x 3+6x 2+11x +6，∴y ′=3x 2+12x +11. 方法二y ′=［（x +1）（x +2）］′（x +3）+（x +1）（x +2）（x +3）′ =［（x +1）′（x +2）+（x +1）（x +2）′］（x +3）+（x +1）（x +2）=（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2）=（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2）=3x 2+12x +11. （3）∵y =-sin 2x (-cos 2x )=21sin x ，∴y ′=(21sin x ) ′= 21（sin x ）′=21cos x . （4）y =x-11+x+11=)1)(1(11x x x x +--++=x -12，∴y ′=(x -12)′=2)1()1(2x x -'--=2)1(2x -.例3 求下列函数的导数： （1）y =4)31(1x -;(2)y =sin 2(2x +3π);(3)y =x 21x +. 解 （1）设u =1-3x ,y =u -4. 则y x ′=y u ′·u x ′=-4u -5·（-3）=5)31(12x -.(2)设y =u 2,u =sin v ,v =2x +3π, 则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+324πx .(3)y ′=(x 21x +)′=x ′·21x ++x ·（21x +)′=21x ++221xx +=22121xx ++.例4有一倒置的圆锥形容器，其底面的半径等于圆锥的高，若以9π3cm /s 的速度向该容器注水，求当水深为10cm 时水面上升的速度.题型三 、求切线方程例5 已知曲线y =31x 3+34.(1)求曲线在x =2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y ′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k =y ′|x =2=4.∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.（2）设曲线y =31x 3+34与过点P （2，4）的切线相切于点 A (x 0，31x 03+34)，则切线的斜率k =y ′|0x x ==x 02. ∴切线方程为y -(31x 03+34)=x 02(x -x 0),即y =x 02·x -32x 03+34. ∵点P （2，4）在切线上，∴4=2x 02-32x 03+34,即x 03-3x 02+4=0,∴x 03+x 02-4x 02+4=0,∴x 02(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.题型四 、用导数研究单调性例6 已知f (x )=e x-ax -1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 f ′(x )= e x -a .(1)若a ≤0，f ′(x )= e x-a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增. 若a ＞0, e x-a ≥0,∴e x≥a ,x ≥ln a . ∴f (x )的递增区间为（ln a ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立. ∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立. ∴a ≤（e x）min ，又∵e x＞0,∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x在（-∞，0］上恒成立. ∵e x在（-∞，0］上为增函数. ∴x =0时，e x最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤1，∴a =1.方法二 由题意知，x =0为f (x )的极小值点. ∴f ′(0)=0,即e 0-a =0,∴a =1.四、巩固练习1. y =tan x 的导数为 .解 y ′='⎪⎭⎫ ⎝⎛x x cos sin =x x x x x 2cos )(cos sin cos )(sin '-' =xxx 222cos sin cos +=x2cos 1.2.设函数f （x ）=cos （3x +ϕ）（0＜ϕ＜π）.若f (x )+f ′(x )是奇函数,则ϕ= . 答案6π3.若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或-41 4、函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为 ，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,33 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 5.设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a = . 答案 -26.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0πY ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,327.若函数f (x )的导函数为f ′(x )=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,18.设函数f (x )=ax +bx +1（a ,b ∈Z ），曲线y =f (x )在点（2，f （2））处的切线方程为y =3. （1）求f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f ′(x )=a -2)(1b x +,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++.0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==11b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==38,49b a因为a ,b ∈Z ,故f (x )=x +11-x . (2)证明 在曲线上任取一点（x 0,x 0+110-x ）,由f ′(x 0)=1-20)1(1-x 知,过此点的切线方程为y -110020-+-x x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--20)1(11x (x -x 0).令x =1,得y =1100-+x x ,切线与直线x =1的交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ; 令y =x ,得y =2x 0-1,切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1);直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为2111100--+x x |2x 0-1-1|=21120-x |2x 0-2|=2. 所以,所围三角形的面积为定值2.9．已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f′(x)=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，f′(x)=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.（2）解由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,∴只需a≥3.当a=3时，f′(x)=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明∵f(-1)=a-2＜a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.。
高中数学导数大题
1、已知函数在某区间内单调递增，且其一阶导数为正，二阶导数为负，则下列说法正确的是：A. 函数在该区间内始终大于零B. 函数在该区间内的增长速度逐渐减慢C. 函数在该区间内可能存在拐点D. 函数的一阶导数在该区间内先增后减（答案）B2、设函数f(x)在x=a处取得极大值，则下列关于f'(a)和f''(a)的说法正确的是：A. f'(a) = 0，f''(a) > 0B. f'(a) ≠ 0，f''(a) = 0C. f'(a) = 0，且f''(a)的存在性无法确定，但f(x)在x=a左右两侧导数符号相反D. f'(a) = 0，f''(a) < 0（答案）C3、若函数f(x)在区间(a, b)上可导，且f'(x) > 0，f''(x) < 0，则下列结论正确的是：A. f(x)在(a, b)上单调递减B. f(x)在(a, b)上先增后减C. f(x)在(a, b)上单调递增，但增长速度逐渐减慢D. f(x)在(a, b)上的凹凸性无法确定（答案）C4、已知函数f(x)在R上可导，且f'(x) = 2x - 3，则f(x)在x = 2处的切线斜率为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）C5、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2x，则f(x)的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3（答案）C6、已知函数f(x)在x=1处取得极小值，且f'(1) = 0，f''(1) > 0，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=1处不可导B. f(x)在x=1处单调性改变C. f(x)在x=1处取得最大值D. f''(x)在x=1处必为零（答案）B7、若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x)在(a, b)内恒大于零，则f(x)在[a,b]上的最小值为：A. f(a)B. f(b)C. f((a+b)/2)D. 无法确定（答案）A8、设函数f(x) = ex - x - 1，则f(x)在x = 0处的切线方程与x轴的交点横坐标为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）A。
导数典型例题(含答案)
导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=xf x f x ∆-∆+→∆)0()0(lim=xx x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0)100()2)(1(lim=lim 0→∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D.解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D.点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.【例2】 已知函数f (x )=nn n k k n n n n x c nx c k x c x c c 1121221++++++ ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim= .解 ∵xx f x f x ∆∆--∆+→∆)2()22(lim=2xf x f x ∆-∆+→∆2)2()22(lim+[]xf x f x ∆--∆-+→∆-)2()(2lim=2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)，又∵f ＇(x )=1121--+++++n n n k k n n n x c x c x c c ，∴f ＇(2)=21（2nn n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 21(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如xm x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000lim，且其定义形式可以是xm x f x m x f x ∆--∆-→∆)()(000lim，也可以是00)()(limx x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .解 ∵S =πR 2，而R =R (t )，t R '=2 cm/s ，∴t S '=t R )π(2'=2πR ·t R '=4πR ，∴t S '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】 以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是A.⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3 B. []π,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π3,4π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎦⎤⎢⎣⎡4π3,2π 解 设过曲线y =sin x 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cos x . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[)π,0，∴α∈⎦⎤⎢⎣⎡4π,0∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,4π3.故选A.点评 函数y =f (x )在点x 0处的导数f ＇(x 0)表示曲线，y =f (x )在点（x 0，f (x 0)）处的切线斜率，即k =tan α(α为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m ,m 3-am 2）.而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am )x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3-am 2+1=0.(*)设（*）式左边为f (m )，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m )有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a )，令f ＇(m )=0，得m =0，m =3a， ∴a ≠0，f (0)·f (3a )=0，即a ≠0，-271a 3+1=0，∴a =3.点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.点评 f ＇(x )>0（或<0）只是函数f ＇(x )在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f ＇(x )在(a ，b )上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ＇(x )≥0(或≤0)且f ＇(x )在(a ，b )的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y =f (x )定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x )在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x )的极小值个数是2个.点评 导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x )的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】 设函数f (x )与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n )，n ∈N *；③f (x )的导数f ＇(x )∈（0，1）.（1）证明：a n >α，n ∈N *；（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x )是单调递增函数.∴a k+1= f (a k )> f (α)=α，（∵α是方程f (x )= x 的实数根）即当n =k +1时，原式成立.故对于任意自然数N *，原式均成立.（2）解：g (x )=x -f (x ),x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x )，又∵0< f ＇(x )<1，∴g ＇(x )>0. ∴g ＇(x )在[)+∞,α上是单调递增函数.而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α)，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例9】 设x ≥0，比较A =xe -x ，B =lg(1+x )，C =xx +1的大小.解 令f (x )=C -B=xx +1-lg(1+x )，则f ＇(x )=xx x ++-+1)1(2)11(2>0，∴f (x )为[)+∞,0上的增函数，∴f (x )≥f (0)=0，∴C ≥B .令g (x )=B -A =lg(1+x )-xe -x，则当x ≥0时，g ＇(x )=xx e x +---1)1(12≥0，∴g (x )为[)+∞,0上的增函数，∴g (x )≥g (0)=0，∴B ≥A .因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a )，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a )，则只要设辅助函数F (x )= f (a )-φ(a )，然后证明F (x )在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x )和x 2的乘积成正比；②当2ax =时，y =a 3.并且技术改造投入比率：)(2x a x-∈(]t ,0,其中t 为常数，且t ∈(]2,0.（1）求y =f (x )的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x )x 2，∵当2a x =时，y = a 3，即a 3=k ·2a ·42a ，∴k =8，则f (x )=8-(a -x )x 2.∵0<)(2x a x-≤t ，解得0<x ≤122+t at .∴函数f (x )的定义域为0<x ≤122+t at .（2）∵f ＇(x )= -24x 2+16ax =x (-24x +16a )，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），32ax =，当0<x <32a 时，f ＇(x )>0，此时f (x )在（0，32a）上单调递增；当x >32a 时，f ＇(x )<0，此时f (x )是单调递减.∴当122+t at ≥32a 时，即1≤t ≤2时，y max =f (32a )=32732a ；当122+t at <32a 时，即0<t <1时，y max =f (122+t at )=323)12(32+t t a . 综上，当1≤t ≤2时，投入32a 万元，最大增加值是32732a ，当0<t <1时，投入122+t at万元，最大增加值是323)12(32+t t a .点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x )确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x )在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0)就是所求的最大或最小值.。
高中数学导数的典型例题
高中数学导数的典型例题题型一 利用二次求导求函数的单调性【典例1】 若函数f (x )＝sin x x，0<x 1<x 2<π.设a ＝f (x 1)，b ＝f (x 2)，试比较a ，b 的大小． 【思路分析】此题可联想到研究函数f (x )＝sin x x在(0，π)的单调性．函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大．导数的建立拓展了应用图象解题的空间．导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操作性．当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )单调递减．【解析】由f (x )＝sin x x ，得f ′(x )＝x cos x －sin x x 2， 设g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0<x <π，∵g ′(x )<0，即函数g (x )在(0，π)上是减函数．∵g (x )<g (0)＝0，因此f ′(x )<0，故函数f (x )在(0，π)是减函数，∵当0<x 1<x 2<π，有f (x 1)>f (x 2)，即a >b .【方法归纳】从本题解答来看，为了得到f (x )的单调性，须判断f ′(x )的符号，而f ′(x )＝x cos x －sin x x 2的分母为正，只需判断分子x cos x －sin x 的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题．【变式训练】1．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，求f (x )的解析式及单调区间． 解：因为f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2， 所以f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x .令x ＝1，得f (0)＝1.所以f (x )＝f ′(1)e x －1－x ＋12x 2， 所以f (0)＝f ′(1)e －1＝1，解得f ′(1)＝e.所以f (x )＝e x －x ＋12x 2. 设g (x )＝f ′(x )＝e x －1＋x ，则g ′(x )＝e x ＋1>0，所以y ＝g (x )在R 上单调递增．因为f ′(0)＝0，所以f ′(x )>0＝f ′(0)∵x >0，f ′(x )<0＝f ′(0)∵x <0.所以f (x )的解析式为f (x )＝e x －x ＋12x 2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0).题型二 利用二次求导求函数的极值或参数的范围【典例2】已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋x 3－x 2－ax .(1)若x ＝23为y ＝f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)若y ＝f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝－1时，方程f (1－x )－(1－x )3＝b x有实根，求实数b 的取值范围． [方法演示]解：(1)f ′(x )＝a ax ＋1＋3x 2－2x －a . 由题意，知f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，所以a 23a ＋1＋43－43－a ＝0，解得a ＝0. 当a ＝0时，f ′(x )＝x (3x －2)，从而x ＝23为y ＝f (x )的极值点． (2)因为f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )＝a ax ＋1＋3x 2－2x －a ＝x [3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)]ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立． 当a ＝0时，f ′(x )＝x (3x －2)，此时f (x )在[1，＋∞)上为增函数恒成立，故a ＝0符合题意；当a ≠0时，由ax ＋1>0对x >1恒成立，知a >0.所以3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)≥0对x ∵[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)，其对称轴为x ＝13－12a ，因为a >0，所以13－12a <13，所以g (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以只需g (1)≥0即可，即－a 2＋a ＋1≥0，解得0<a ≤1＋52. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋52. (3)由已知得，x >0，∵b ＝x (ln x ＋x －x 2)＝x ln x ＋x 2－x 3.令g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3，则g ′(x )＝ln x ＋1＋2x －3x 2.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝1x ＋2－6x ＝－6x 2－2x －1x. 当0<x <1＋76时，h ′(x )>0， ∵函数h (x )＝g ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋76上递增； 当x >1＋76时，h ′(x )<0， ∵函数h (x )＝g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋76，＋∞上递减．又g ′(1)＝0，∵存在x 0∵⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋76，使得g ′(x 0)＝0. 当0<x <x 0时，g ′(x )<0，∵函数g (x )在(0，x 0)上递减；当x 0<x <1时，g ′(x )>0，∵函数g (x )在(x 0,1)上递增；当x >1时，g ′(x )<0，∵函数g (x )在(1，＋∞)上递减．又当x →＋∞时，g (x )→－∞.又g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3＝x (ln x ＋x －x 2)≤x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋14， 当x →0时，ln x ＋14<0，则g (x )<0，且g (1)＝0， ∵b 的取值范围为(－∞，0]．【方法归纳】本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b 的范围问题，实际上是求g (x )＝x (ln x ＋x －x 2)极值问题，问题是g ′(x )＝ln x ＋1＋2x －3x 2＝0这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h (x )＝g ′(x )再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．【变式训练】2．设k ∵R ，函数f (x )＝e x －(1＋x ＋kx 2)(x >0)．(1)若k ＝1，求函数f (x )的导函数f ′(x )的极小值；(2)若对任意的t >0，存在s >0，使得当x ∵(0，s )时，都有f (x )<tx 2，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝1时，函数f (x )＝e x －(1＋x ＋x 2)，则f (x )的导数f ′(x )＝e x －(1＋2x )，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x －2，当0<x <ln 2时，g ′(x )<0；当x >ln 2时，g ′(x )>0，从而f ′(x )在(0，ln 2)上递减，在(ln 2，＋∞)上递增．故导数f ′(x )的极小值为f ′(ln 2)＝1－2ln 2.(2)对任意的t >0，记函数F (x )＝f (x )－tx 2＝e x －[1＋x ＋(k ＋t )x 2]，x >0，根据题意，存在s >0，使得当x ∵(0，s )时，F (x )<0.易得F (x )的导数F ′(x )＝e x －[1＋2(k ＋t )x ]，令h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x －2(k ＋t )．∵若h ′(x )≥0，注意到h ′(x )在(0，s )上递增，故当x ∵(0，s )时，h ′(x )>h ′(0)≥0，于是F ′(x )在(0，s )上递增，则当x ∵(0，s )时，F ′(x )>F ′(0)＝0，从而F (x )在(0，s )上递增．故当x ∵(0，s )时，F (x )>F (0)＝0，与已知矛盾；∵若h ′(x )<0，因为h ′(x )在(0，s )上连续且递增，故存在s >0，使得当x ∵(0，s )，h ′(x )<0，从而F ′(x )在(0，s )上递减，于是当x ∵(0，s )时，F ′(x )<F ′(0)＝0，因此F (x )在(0，s )上递减．故当x ∵(0，s )时，F (x )<F (0)＝0，满足已知条件．综上所述，对任意的t >0，都有h ′(x )<0，所以1－2(k ＋t )<0，即k >12－t ，故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12－t ，＋∞.题型三 利用二次求导证明不等式【典例3】证明当x >0时，sin x >x －x 36. 【解析】证明：令f (x )＝sin x －x ＋x 36， 则f ′(x )＝cos x －1＋x 22， 所以f ″(x )＝－sin x ＋x .易知当x >0时，sin x <x ，所以在(0，＋∞)上f ″(x )>0，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝0，所以在(0，＋∞)有f ′(x )>f ′(0)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故当x >0时，f (x )＝sin x －x ＋x 36>f (0)＝0. 所以sin x >x －x 36(x >0)． 【方法归纳】本题是应用导数证明不等式．证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式．【变式训练】3．已知函数f (x )＝m e x －ln x －1.(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当m ≥1时，证明：f (x )>1.解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－ln x －1，则f ′(x )＝－1x， 所以f (1)＝－1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－(x －1)，即x ＋y ＝0.(2)证明：当m ≥1时，f (x )＝m e x －ln x －1≥e x －ln x －1.要证f (x )>1，只需证e x －ln x －2>0.设g (x )＝e x －ln x －2，则g ′(x )＝e x －1x. 设h (x )＝e x －1x ，则h ′(x )＝e x ＋1x 2>0. 所以函数h (x )＝g ′(x )＝e x －1x在(0，＋∞)上单调递增． 因为g ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12－2<0，g ′(1)＝e －1>0，所以函数g ′(x )＝e x －1x在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∵⎝⎛⎭⎫12，1. 因为g ′(x 0)＝0，所以e x 0＝1x 0，即ln x 0＝－x 0.当x ∵(0，x 0)时，g ′(x )<0；当x ∵(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，所以当x ＝x 0时，g (x )取得极小值也是最小值g (x 0)．故g (x )≥g (x 0)＝e x 0－ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2>0. 综上可知，当m ≥1时，f (x )>1.【巩固训练】1．对任意实数x ，证明不等式1＋x ln(x ＋1＋x 2)≥1＋x 2.证明：设f (x )＝1＋x ln(x ＋1＋x 2)－1＋x 2，∵f ′(x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1＋x 2x ＋1＋x 2－x 1＋x 2＝ln(x ＋1＋x 2)，设h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝1＋x 1＋x 2x ＋1＋x 2＝1＋x 2＋x1＋x 2(x ＋1＋x 2)＝11＋x 2>0， 所以f ′(x )在(－∞，＋∞)上是增函数．由f ′(x )＝0，即ln(x ＋1＋x 2)＝0，得x ＝0.所以当x <0时，f ′(x )<0，则f (x )在(－∞，0)上为减函数；当x >0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝0处有极小值，所以f (x )≥f (0)＝0，即1＋x ln(x ＋1＋x 2)≥1＋x 2.2.已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∵(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e. (1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增．解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x＋1－a ， 所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x， 当x ∵(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∵(1，＋∞)时，g (x )单调递增．又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e，得a ＝2. (2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x－1(x >0)． 令h (x )＝ln x ＋1x， 则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 当x ∵(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∵(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∵(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∵(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1.因此当x ∵(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0.所以f (x )在定义域内单调递增．3．已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∵R ，e ＝2.718 28……为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解：由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∵[0,1]时，g ′(x )∵[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ∵(0,1)． 当g ′(x )<0时，0≤x <ln 2a ；当g ′(x )>0时，ln 2a <x ≤1，所以函数g (x )在区间[0，ln 2a )上单调递减，在区间(ln 2a,1]上单调递增，于是g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln 2a )＝2a －2a ln 2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln 2a )＝2a －2a ln 2a －b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . 4．已知函数F (x )＝e x ＋sin x －ax ，当x ≥0时，函数y ＝F (x )的图象恒在y ＝F (－x )的图象上方，求实数a 的取值范围．解：设φ(x )＝F (x )－F (－x )＝e x －e －x ＋2sin x －2ax .则φ′(x )＝e x ＋e －x ＋2cos x －2a .设S (x )＝φ″(x )＝e x －e －x －2sin x .∵S ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0在x ≥0时恒成立，∵函数S (x )在[0，＋∞)上单调递增，∵S (x )≥S (0)＝0在x ∵[0，＋∞)时恒成立，因此函数φ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，∵φ′(x )≥φ′(0)＝4－2a 在x ∵[0，＋∞)时恒成立．当a ≤2时，φ′(x )≥0，∵φ(x )在[0，＋∞)单调递增，即φ(x )≥φ(0)＝0.故a ≤2时F (x )≥F (－x )恒成立．当a >2时，φ′(x )<0，又∵φ′(x )在[0，＋∞)单调递增，∵存在x 0∵(0，＋∞)，使得在区间[0，x 0)上φ′(x )<0.则φ(x )在[0，x 0)上递减，而φ(0)＝0，∵当x ∵(0，x 0)时，φ(x )<0，这与F (x )－F (－x )≥0对x ∵[0，＋∞)恒成立不符，∵a >2不合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．5．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝a x，a 为实常数． (1)设F (x )＝f (x )－g (x )，当a >0时，求函数F (x )的单调区间；(2)当a ＝－e 时，直线x ＝m ，x ＝n (m >0，n >0)与函数f (x )，g (x )的图象共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：(m －1)(n －1)<0.解：(1)F (x )＝e x －a x，其定义域为(－∞，0)∵(0，＋∞)． 而F ′(x )＝e x ＋a x 2， 当a >0时，F ′(x )>0，故F (x )的单调递增区间为(－∞，0)∵(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：因为直线x ＝m 与x ＝n 平行，故该四边形为平行四边形等价于f (m )－g (m )＝f (n )－g (n )且m >0，n >0，m ≠n .当a ＝－e 时，F (x )＝f (x )－g (x )＝e x ＋e x， 则F ′(x )＝e x －e x 2.设h (x )＝F ′(x )＝e x －e x 2(x >0)， 则h ′(x )＝e x ＋2e x 3>0， 故F ′(x )＝e x －e x 2在(0，＋∞)上单调递增． 又F ′(1)＝e －e ＝0，故当x ∵(0,1)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x ∵(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，而F (m )＝F (n )，故0<m <1<n 或0<n <1<m ，所以(m －1)(n －1)<0.。
导数大题经典练习及答案
导数大题专题训练1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.3．设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.4、已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.5、已知函数(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．6、已知函数．(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.(Ⅱ)当，，由得.①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值. .由于因此，②当，，因此上单调递增，所以，……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，设，则，易知，当且仅当时取到，但从而可知对一切，都有成立.2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数在区间[e－1，e]上有两个零点，所以.解得.所以b的取值范围是.3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）. 因为，所以f (x)在[1，e]上是增函数，当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x2―2ax+1，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，所以实数a的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以.设，所以2a小于函数g (x)在区间的最大值.又因为，由解得；由解得.所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减.所以函数g (x)在，或x=2处取得最大值.又，，所以，所以实数a的取值范围是.（Ⅲ）因为，令h (x)=2x2―2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)＞0，此时函数f (x)没有极值点；②当a＞0时，（i）当Δ≤0，即时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f (x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；（ii）当Δ＞0时，即时，易知，当时，h (x)＜0，这时f (x)＜0；当或时，h (x)＞0，这时f (x)＞0；所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.综上，当时，函数f (x)没有极值点；当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.4．解：. (Ⅰ)，解得.(Ⅱ).①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.(Ⅲ)由已知，在上有.由已知，，由(Ⅱ)可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故.②当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，，，所以，，，综上所述，.5、解：(Ⅰ)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为因为，所以，所以a＝1，所以由解得x＞2 ；由解得0＜x＜2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是(Ⅱ)，由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值因为对于任意成立，所以即可则，由解得；所以a得取值范围是(Ⅲ)依题意得，则由解得x＞1，由解得0＜x＜1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以解得所以b得取值范围是6、解：(1)因为，，则，当时，；当时，．∴在上单调递增；在上单调递减，∴函数在处取得极大值．………3分∵函数在区间(其中)上存在极值，∴解得．(2)不等式，即为，记∴，…9分令，则，∵，∴，∴在上递增，∴，从而，故在上也单调递增，∴，∴．。
导数典型例题带答案
导数典型例题带答案1、设函数329()62f x x x x a =-+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值;(2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围. 2、已知函数1()ln(1),01x f x ax x x -=++≥+,其中0a > (1)若()f x 在x =1处取得极值,求a 的值;(2)求()f x 的单调区间; (3)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围。
3、已知函数f(x )=a ln x +x 2(a 为实常数).(1)若2a =-,求证:函数f(x )在(1,+∞)上是增函数;(2)当2a≥-时,求函数f(x )在[1,e]上的最小值及相应的x 值; (3)若存在x ∈[1,e],使得f(x )≤(a +2)x 成立,求实数a 的取值范围.答案1.解:(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-,即m 的最大值为34- (2) 因为当1x <时,'()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 2.解:(1)22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值,∴2'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a = (2)222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,由'()0'()0f x x f x x >><<解得解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）. (3)当2a ≥时,由(2)①知,()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时,由(2)②知,()f x 在x =处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞3.解:(1)当2-=a 时,x x x f ln 2)(2-=,当),1(+∞∈x ,0)1(2)(2>-='x x x f , 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数; (2))0(2)(2>+='x xa x x f ,当],1[e x ∈,]2,2[222e a a a x ++∈+, 当2-≥a 时,)(x f '在],1[e 上非负(仅当2-=a ,x=时,0)(='x f ),故函数)(x f 在],1[e 上是增函数,此时=min )]([x f 1)1(=f .∴当2-≥a 时,)(x f 的最小值为1,相应的x 值为1.(3)不等式x a x f )2()(+≤,可化为x x x x a 2)ln (2-≥-.∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取,所以x x <ln ,即0ln >-x x , 因而xx x x a ln 22--≥(],1[e x ∈), 令x x x x x g ln 2)(2--=(],1[e x ∈),又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-=', 当],1[e x ∈时,1ln ,01≤≥-x x ,0ln 22>-+x x ,从而'()0g x ≥(仅当x=1时取等号),所以)(x g 在],1[e 上为增函数, 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ,所以a 的取值范围是),1[+∞-.。
导数专题(经典23题)
23个函数与导函数类型专题ln()x1f xx1x=++，若x0>，且x1≠，ln()x kf xx1x>+-，求k的取值范围.解析：⑴将不等式化成()(*)k>=<模式由ln()x kf xx1x>+-得：ln lnx1x kx1x x1x+>++-，化简得：ln22x xk1x1<--①⑵构建含变量的新函数()g x构建函数：ln()22x xg xx1=-（x0>，且x1≠）其导函数由'''2u u v uvv v-⎛⎫=⎪⎝⎭求得：'()(ln ln)()22222g x x x x x1x1=----即：'()[()()ln]()22222g x x1x1xx1=--+-()ln()222222x1x1xx1x1⎛⎫+-=-⎪⎪-+⎝⎭②⑶确定()g x的增减性先求()g x的极值点，由'()0g x0=得：ln22x1x0x1--=+即：ln22x1xx1-=+③由基本不等式ln x x1≤-代入上式得：22x1x1x1-≤-+故：202x1x10x1---≥+即：()()021x110x1--≥+由于211x1≤+，即2110x1-≥+，故：0x10-≥，即0x1≥在0x x1≥≥时，由于22x11x1-<+有界，而ln x0>无界故：ln 22x 1x 0x 1--<+即：在0x x 1≥≥时，'()g x 0≤，()g x 单调递减； 那么，在00x x <<时，()g x 单调递增. 满足③式得0x 恰好是0x 1= ⑷ 在(,)x 1∈+∞由增减性化成不等式在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 应用不等式：ln x x 1<-得：ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭--⎝⎭⎝⎭ 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 由于极限()lim ln x 0x x 0→+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤⑹ 总结结论综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞由①式ln 22x x k 1x 1<--，设函数ln ()22x x K x 1x 1=--当x 1→时，用洛必达法则得：ln (ln )'(ln )limlimlim()22x 1x 1x 12x x 2x x 2x 112x x 1x 1→→→+===--，则()K 10= 用数值解如下：其中，()K x 的最小值是()K 10=，即()()K x K 1>，所以本题结果是k 0≤. ()ln2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322a 53-≤≤解析：⑴ 求出函数()f x 的导函数函数：()ln 2f x x ax =- ①其导函数：'()2112ax f x 2ax x x -=-=()()11x+-= ②⑵ 给出函数()f x 的单调区间由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()1-的符号决定. 当10->，即：x <'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当10-<，即：x >'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当10-=，即：x =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.⑶ 由区间的增减性给出不等式由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈ 若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点x=的两侧即：α<，β>.所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间. 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2a 3≤⑤ 代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-， 即：ln ln 32a 5-≥⑥ ⑸ 总结结论证毕.由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-⋅，()ln 2f a βββ=-⋅ 若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-⋅=-⋅ 即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22a βαβα-=-当：2β=，1α=时，ln 2a 3=当：3β=，2α=时，ln ln 32a 5-=故：a()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>. 解析：⑴ 求出函数()f x 导函数函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>. 导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =-+-()()112x a x=+- ① ⑵ 确定函数的单调区间当1a 0x ->，即(,)1x 0a ∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当1a 0x -<，即(,)1x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当1a 0x -=，即1x a =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a.()ln ()()21111f a 2a a a a a =-⋅+-⋅ln 111a a=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间由于lim ()x f x 0→+∞<，lim ()x 0f x 0→+<若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1f 0a >.即：ln 1110a a +->，即：ln 111a a>- ③考虑到基本不等式ln111a a ≤-及③式得：ln 11111a a a-<≤- 即：1111a a -<-，即：22a>，即：a 1< 结合ln1a，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <，B 1x a> 设：A 11x x a =-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11x a <（因x 0>）设：C 11x x a =+于是：()()A B f x f x 0==，即：()11f x 0a -=故：()ln()()()()2A 111111f x x a x 2a x a a a=---+--ln()()()2111121112a x a 2x x 2a x a a a a-=---⋅⋅++--ln()ln 211111ax a 1ax ax 0a=--+-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：()()ln()ln 2C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a=+=+-+--- ⑥⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：()()()()()1C A 1111g x f x f x f x f x a a=-=+--将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-2212a2a 1a x =--221221a x 2a 1a x =⋅- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11x a<，所以'()1g x 0>. 即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥ 由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 同在单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211x x x x a a=+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论那么，由⑨式得：()0A B 1x x x 2=+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a=+->. 证毕.知函数()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+.若()21f x x ax b 2≥++，求()a 1b +的最大值.解析：⑴ 求出函数()f x 的解析式由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式. 设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+，则：()Af 0B e==其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 21f x e x x 2=-+① ⑵ 化简不等式()21f x x ax b 2≥++ 即：()x 2211f x e x x x ax b 22=-+≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ② ⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③ 其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④要使②式得到满足，必须()g x 0≥故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+ 此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤ ⑷ 求()a 1b +的最大值由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥ 令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）其导函数为：'()(ln )()(ln )21h y 2y 1y y y 12y y=-+-=- ⑦当ln 12y 0->，即：(y 0∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增；当ln 12y 0-<，即：)y ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减；当ln 12y 0-=，即：y ='()h y 0=，()h y 达到极大值.此时，()h y 的极大值为：(2eh 12=-= ⑧ ⑸ 得出结论将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.解析：⑴ 利用基本不等式求出a利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+ 即：ln()()x x a x 1x a 1a -+≥+-+=-，即：()ln()f x x x a 1a =-+≥- 已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1= ⑵ 用导数法求出a函数()f x 的导函数为：'()1f x 1x a=-+ ① 当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③⑷ 确定()g x 的单调区间和极值于是由③式得导函数为：'()()11g x 12kx x 2k x 1x 1=--=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞ 当12k x 1>+，即1x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增； 当12k x 1<+，即1x 12k>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减； 当12k x 1=+，即m 1x x 12k==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x . 故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减， 所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值. ⑸ 求出最大值点m x将最值点m x x =代入③式得：（m 1x x 12k==-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =----()[()]ln()1111k 12k 2k 2k =---+ ()()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k2k 2k 2-+=+ ()()ln()12k 12k 2k 4k+-=+由()g x 的最大值为0得：()()()ln()m 12k 12k g x 2k 04k+-=+=即：2k 1=，即：1k 2=，此时m 1x 12k=-，即：m 12k 1x 1==+，即：m x 0= ⑹ 给出结论由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以：()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值.由m 1x 102k =-=得出实数k 的最小值为：1k 2=由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数()g x 0≤. 由③式可看出x 0=时，()g x 0= 由()g x 0=得：ln()2x x 1k x-+=，令ln()()2x x 1K x x-+=我们只要求出ln()()2x x 1K x x-+=在极值点的值就好.用洛必达法则：ln()lim ()limlim2x 0x 0x 011x x 1x 1K x 2xx→+→+→+--++== lim lim ()x 0x 0x11x 12x 2x 12→+→++===+ 对应于()g x 0=的1k 2=，即：实数k 的最小值1k 2=.()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.解析：⑴ 确定曲线的切线方程曲线：()x 2f x e ax ex =+- ① 其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为：()()'()()P P P y x f x f x x x =+- ③⑵ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()()()g x f x y x =-则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④ 其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得：'()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥ ⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值当a 0≥时：若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增； 若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减； 若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值. 由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一，所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线当a 0<时：由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：a> ()P x x P e e 02a x x 0⎧-=⎪⎨-=⎪⎩即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一.b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0=此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1， 当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线.故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'P Px x x x k e 1-===于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =- ⑸ 得到切点P 的坐标当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在.由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的. 将ln()P x 2a =-代入①式得：()()ln ()ln()P x 22P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+---得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标. ⑹ 结论切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+---()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围.解析：⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：()()()()21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==-- ()()()2121ax ax ax ax 212121e e x x e e 1x x x x ----==--- ①函数()ax f x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ② ⑵ 构建新函数()g x ，并求导判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立. 则：()()21ax ax ax21e e g x aex x -=-- ③ 导函数：'()2ax g x a e = ④ ⑶ 求()g x 在区间端点的函数值由③式得：()()211ax ax ax 121e e g x aex x -=--()[()]121ax a x x 2121e a x x e 1x x -=--+-()[()]121ax a x x 2121e e a x x 1x x -=----- ⑤()()212ax ax ax 221e e g x aex x -=--()[()]212ax a x x 2121e a x x 1e x x -=--+-()[()]212ax a x x 1221e e a x x 1x x -=---- ⑥ ⑷ 确定()g x 的零点存在利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号. 即：x e x 10--≥ ⑦将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠）将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在. 由④式得：'()2ax g x ae 0=>，即函数()g x 为单调递增函数.由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0= 由③式得：()()213ax ax ax 321e e g x ae0x x -=-=- （a 0≠）即：ln ()21ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故： 在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=； 在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=； 在03x x =时，()()03g x g x 0==.故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21ax ax 02211e e x x a a xx -∈-()ln()f x x 11=++.证明：当0x 2<<时，()9xf x x 6<+ 证明：⑴ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()ln()9xg x x 11x 6=++-+ ①导函数'()()2154g x x 1x 6=+-++ ②即：'()()()2254g x 2x 1x 6+=-++ ③ 函数()g x 满足()g 00=，'()g 00=，现在只要证明，当0x 2<<时，()g x 0<，则()9xf x x 6<+. ⑵ 化掉②式中的根号项.要保持不等号的方向不变，只有(*)≤即：(*)或(*). （(*)代表某个不含根号的式子）由于有(*)和(*)的两种选项，所以采用化掉.由均值不等式：22211x 2⋅≤+=+得：x 12≤+ 代入③式得：'()()()()()22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+++≤-=-++++ 即：()()'()()()32x 6454x 1g x 4x 1x 6+-⋅⋅+≤++()()()()332x 66x 14x 1x 6+-⋅+=++ ④⑶ 求函数()g x 的极值点当()g x 取极值时，'()g x 0=.故由④式得：()()33x 66x 10+-⋅+=，即：x 6+= ⑤令t =（1t <<则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥ 分解因式法：()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-()()2t 1t t 50=-+-=故有：1t 1=，及()2t t 50+-=，即：,231t 2-±=由于1t <<21t 2=所以有：1t 1=，21t 2=，即：1x 0=，321x 12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由于))(=3311122288⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭)(11136444-⨯>=>所以2x 3>⑷ 由单调性证明不等式由①式()ln()9xg x x 11x 6=++-+得：()g 00=，()ln ln 93g 34142036⨯=+-=-<+ 即：()()g 0g 3>，由于在(,)12x x x ∈区间，()g x 是单调的，故：()()12g x g x > 于是，函数在1x x 0==时达到极大值，然后递减，直到2x x 2=>时达到极小值.就是说在0x 2<<区间，'()g x 0<，函数()g x 单调递减. 即：()()g x g 00<=，故：()9xf x x 6<+. 证毕. 本题要点：构建函数()g x ，由两个相邻极值点之间的区间(,)12x x 是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系()()g 0g 3>，得出：函数()g x 在这个区间(,)12x x 为单调递减，由此来证明本题.a 0>，n 为正整数，抛物线n2a yx 2=-+与x 轴正半轴相交于点A .设抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距为()f n ，求证：当a ≥对所有n 都有：()()33f n 1n f n 1n 1-≥++. 证明：⑴ 先求A 点的坐标(,)A x 0将A x x =，A y y 0==代入抛物线n2a y x 2=-+得：A x =⑵ 求过A 点的切线方程抛物线的导数为：'y 2x =- ①故A 点的切线方程为：'()()A A A y y y x x x =+-即：()2A A A A y 02x x x 2x x 2x =+--=-+ ②⑶ 求切线在y 轴上的截距为()f n由②式，当x 0=时，()y f n =.故：()22n A f n 2x 2a === ③ ⑷ 分析待证不等式()()33f n 1n f n 1n 1-≥++，即：()()33f n 12n 11f n 1n 1+-+-≥++， 即：()32111f n 1n 1-≥-++，即：()321f n 1n 1≤++，即：()3f n 12n 2+≥+，即：()3f n 2n 1≥+将③式代入上式得：n 3a 2n 1≥+，即：a ≥④⑸ 数值分析由④式当n 1=时，a 3≥；当n 2=时，2a 17≥，即a ≥当n 3=时，3a 55≥，即a ≥<2553025=，3174913=） 因为a 1>，对④式两边求对数得：ln ln()31a 2n 1n≥+ ⑤⑹ 构建新函数()g n 构建函数：()ln()31g n 2n 1n=+，求()g n 的最大值. 求导得：ln()'()23326n n 2n 12n 1g n n⋅-++=当'()g n 0=时，即：ln()3336n 2n 12n 1=++，即：ln()33332n 12n 1-=++ ⑥令3t 2n 1=+，则t 1>. 代入⑥式得：ln 33t t-= ⑦ ⑺ 求3t 2n 1=+的最大值虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的. 由⑦式得：ln 3t 33t=-<，即：33t e 327<<= 即：3t 2n 127=+<，即：3n 13<代入④式a≥a≥=⑧⑻证明结论满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.证毕.ln()xx1f xe+=，'()f x为()f x的导数.设()()'()2g x x x f x=+，证明：对任意x0>，()2g x1e-<+解析：⑴求函数()g x的解析式函数ln()xx1f xe+=的导函数为：'()(ln)(ln)x x2x x1111f x e e x1x1x xe e=-+=--[]①函数()()'()2g x x x f x=+得：()()(ln)(ln)x xx1x1x1g x x11x x xxe e++=--=--②⑵构造新函数()h x由基本不等式x e1x≥+（仅当x0=时取等号）得:x1x1e+≤代入②式得：()lng x1x x x<--（x0>）令：()lnh x1x x x=--③则上式为：()()g x h x<④⑶分析()h x的单调性，并求其极值由③式得()h x导函数为：'()(ln)h x2x=-+⑤当2x e->，即ln2x0+>时，'()h x0<，()h x单调递减；当2x e -<，即ln 2x 0+<时，'()h x 0>，()h x 单调递增；当2x e -=，即ln 2x 0+=时，'()h x 0=，()h x 达到最大值.()h x 的最大值是在2m x x e -==，由③式得：()(ln )222m h x 1e e e ---=--()2221e 2e 1e ---=---=+ ⑥⑷ 证明结论故由④式和⑥式：()()()2m g x h x h x 1e -<≤=+证毕.,a b 是实数，函数()3f x x ax =+，()2g x x bx =+，'()f x 和'()g x 是()f x 、()g x 的导函数. 设a 0<，且a b ≠，若在以,a b 为端点的开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，求a b -的最大值M .解析：⑴ 构建新函数()h x函数()f x 的导数为：'()2f x 3x a =+ ①函数()g x 的导数为：'()g x 2x b =+ ②构建函数：()'()'()()()2h x f x g x 3x a 2x b ==++ ③则已知条件化为：在开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，等价于()h x 0≥ ④⑵ 确定b 的取值范围已知a 0<，若b 0>，则区间(,)I a b =；故：此时区间I 包括x 0=点.由①②式得：'()f 0a =，'()g 0b =，所以()'()'()h 0f 0g 0ab 0==<不满足④式，即：b 0>不成立.⑶ 确定x 的取值范围由于a 0<，b 0≤，x 0≤，即：2x b 0+≤要满足④式，在2x b 0+≠时，则必须有：'()f x 0≤，即：23x a 0+≤，即：2a x 3≤-，即：[x ∈，结合(,)x 0∈-∞得：[)x 0∈ ⑤ ⑷ 确定a b -的最大值M .由于区间I 是以,a b 为端点，a 0<，b 0≤，而[)x 0∈所以若b 0=，则a =a 0-=>， 即：2a a 3=-，故：1a 3=- ，代入⑤式得：[,)1x 03∈- 故：(,)(,)1I a b 03==- ⑥故：a b -的最大值M知函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1xθ+=+-+ （[,]0θπ∈），若x 0≥时()f x 0≤，求θ的最小值. 解析：⑴ 求出函数的导函数由函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1x θ+=+-+得： 导函数为：[(sin )()(sin )]'()()2112x 1x x 1x f x 1x 1x θθ++-+=-++ [()sin ]()2x12x 1x θ=-++ ①依题意，若x 0≥时，()f x 0≤所以，只要求出区间的最大值，使之为0，就解决问题.⑵ 由函数极值点得出相应的结果由极值点的导数为0得：'()f x 0=所以当在x 0≥区间'()f x 0≤时，函数()f x 在x 0≥区间单调递减故满足()f x 0≤的条件.于是：'()[()sin ]()2xf x 12x 01x θ=-+≤+由于x 0≥，()21x 0+>，所以()sin 12x 0θ-+≤，即：sin 12x θ≥+ 故：sin 11202x θ≥≥++，即：sin 12θ≥ 求三角函数定义域得：sin 1θ≤，故：sin [,]112θ∈.和曲线()y g x =都过点(,)P 02，且在点P 处的切线相互垂直. 若x 1>-时，()()f x g x ≤，求()ln()x f x e x λ=-+.当()f x 0≥时，求λ的取值范围.解析：⑴ 分析题意设()x g x e =，()ln()h x x λ=+，则()()()f x g x h x =-()f x 0≥的意思，就是()y g x =的图象在()y h x =的图象之上 设在0x x =处，()y g x =与()y h x =的图象相切，此时，设λ值为0λ只要0λλ≤，()y g x =的图象永在()y h x =的图象之上.⑵ 由0x x =点的关系来建模由于0x 点在曲线()y g x =上，故：0x 0y e = ①同时0x 点在曲线()y h x =上，故：ln()00y x λ=+ ②它们在0x x =图象相切，故：'()'()00g x h x =即：ln()001x x λλ+=+ ③ 由①②式得：ln()0x 0e x λ=+ ④⑶ 解超越方程③式方程③是一个超越方程，令01t x λ=+（t 0>），即：01x tλ+= 代入③得：ln t t -=或ln t t =- ⑤由ln t t =-得：t 0>（因ln t 定义域），则：ln t t 0=-<，即：t 1<故：(,)t 01∈ ⑥由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）或ln x 1x -≥（仅当x 1=时取等号）代入⑤式可得：ln t t t 1-=≤-，即：2t 1≥，即：[,)1t 2∈+∞ ⑦ 由⑥⑦得：(,)1t 12∈ ⑧ 事实上，方程ln t t =-的解是：.t 056714329B .⑷ 解出极值点的λ由④式得：ln()ln 0x 0e x t t λ=+=-=，即：ln 0x t t ==- 即：001x t x λ=-=-+ ⑨ 故：()()200001x x 22x x λ=-+=--+≥-，所以：当0x x =时，02λ≥ 由⑴的分析，本题答案是：0λλ≤，即2λ≤，本题答案：2λ≤（严格来说，解超越方程得=.0x t 056714329=--，.0233λB ，本题答案是.233λ<）本题解析③式是关键，⑸步是技巧.下面是极值点附近的函数图15、函数第15题设函数()()22f x 1a x ax =+-，其中a 0>，求()f x 0>时x 的取值范围. 解析：()y f x =的图象是开口向下的抛物线，于是()()()222f x 1a x ax x 1a ax =+-=+-当()f x 0=时，1x 0=，221a x 2a +=≥，即：(,)21a x 0a+∈，即：(,)x 02∈ 故：x 的取值范围是(,)x 02∈，本题就是分析二次函数题.16、函数第16题已知a 0>，函数()x a f x x a-=+.若函数()y f x =在x 0>区间的图像上存在两点,A B ，在A 点和B 点处的切线相互垂直，求a 的取值范围. 解析：去绝对值号⑴ 对x a >，()x a f x x a -=+，其导数：'()()22a f x 0x a =>+ 即：在x a >区间，函数()f x 单调递增；⑵ 对(,)x 0a ∈，()x a f x x a -=-+，其导数：'()()22a f x 0x a =-<+ 即：在(,)x 0a ∈区间，函数()f x 单调递减；⑶ 对x a =，()()f x f a 0==，函数()f x 达到极小值0.若A 点和B 点处的切线相互垂直，即：'()'()A B f x f x 1=- ① 则A 点和B 点分居于两个不同的单调区域.设(,)A x 0a ∈，则(,)B x a ∈+∞，于是①式就是：()()22A B 2a2a1x a x a ⋅=++，即：()()A B 2a 1x a x a =++ 即：()()A B x a x a 2a ++= ②⑷ 解析②式得⑤式由②式得：A B 2a x a x a+=+ ③ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈，代入③式得：B 2a a 2a x a <<+，即：B 1112x a<<+，即：()B 1x a 2<+< ④ 因为B x a >，所以B x a 2a +>，结合④式得：B 2a x a 2<+< 即：2a 2<，故：a 1< ⑤⑸ 解析③式得⑦式因为B x a >，所以B x a 2a +>，即：B 2a 1x a <+， 代入③式得：A B 2a x a 1x a+=<+，即：A x a 1+< ⑥ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈代入⑥式得：2a 1<，即：1a 2< ⑦()()1f x a 12x 2=--，a 为常数且a 0>. 若条件1：0x 满足(())00f f x x =；条件2：()00f x x ≠. 则满足这2个条件，称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点,12x x ，试确定a 的取值范围. 解析：⑴ 函数去绝对值号得出()1f x 和()2f x当1x 2<时，11x x 22-=-，()()1f x a 12x 2ax 2=--= 记：()1f x 2ax = ①当1x 2≥时，11x x 22-=-，()()=()1f x a 12x 2a 1x 2=--- 记：()=()2f x 2a 1x - ②条件1：(())00f f x x = ③条件2：()00f x x ≠ ④⑵ 在1x 2<及12ax 2<时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2<时，复合函数仍用①式：(())()11010f f x 2af x = 故：()100f x 2ax =，(())21100f f x 4a x =条件1：2004a x x =，即：24a 1=，即：1a 2=； 条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠.⑶ 在1x 2<及12ax 2≥时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2≥时，函数用②式：(())[()]21010f f x 2a 1f x =- 故：()100f x 2ax =，(())()2100f f x 2a 12ax =-条件1：()002a 12ax x -=，即：022ax 14a =+；条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠. 则：022a 1x 214a =≠+ ⑤ ⑷ 在1x 2<及12ax 2≥时解析⑤式 将条件1：022a x 14a =+代入012ax 2≥得：224a 1214a≥+即：228a 14a ≥+，即：24a 1≥，即：1a 2≥⑥ 将022a x 14a =+代入01x 2<得：22a 1214a<+ 即：24a 14a <+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10-> 故：1a 2≠⑦结合⑥式和⑦式及a 0>所以，⑤式022a x 14a=+为一个二阶周期点，记为：122a x 14a=+⑸ 在1x 2≥及()12a 1x 2-<时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-<时，应用①式得：(())()12020f f x 2af x = 故：()()200f x 2a 1x =-，(())()()2120200f f x 2af x 4a 1x ==- 条件1：()2004a 1x x -=，即：2024a x 14a=+；条件2：()002a 1x x -≠，即：02ax 12a≠+. 则：222a 4a 12a 14a ≠++，即：22a 4a ≠，即： a 0≠且1a 2≠ i>将2024a x 14a=+代入()012a 1x 2-<得：()224a 12a 1214a -<+ 即：()214a 114a<+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10->即：1a 2≠ii> 将2024a x 14a =+代入01x 2≥得：224a 1214a>+ 即：228a 14a >+，即：24a 1>，即：1a 2>结合i>和ii>及a 0>所以，2024a x 14a=+为另一个二阶周期点，记为：2224a x 14a=+⑹ 在1x 2≥及()12a 1x 2-≥时解析②式 对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-≥时，应用②式得：(())[()]22020f f x 2a 1f x =- 即：(())[()]2222000f f x 2a 12a 1x 2a 4a 4a x =--=-+ ⑧ 条件1：22002a 4a 4a x x -+=，即：()022a 12a x 14a-=-当12a 0-≠时，上式即：02ax 12a=+ 条件2：()002a 1x x -≠，即： 02ax 12a≠+()()2xf x 1x e-=+，()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 解析：⑴ 解读题意由于[,]x 01∈，所以有n x x ≤（n N +∈）. 故可以考虑将函数化为幂函数来解决.由于()()2x f x 1x e -=+，()f 01=，'()[()]()2x 2x f x 121x e 12x e --=-+=-+()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，()g 01=，'()cos sin 23x g x a 2x 2x x 2=++-构建函数：()()()h x f x g x =-⑵ 将函数()f x 化为幂函数形式构建函数：()1f x 1Ax =+，满足条件1：()()1f x f x ≤ ① 构建函数：()()()21f x f x f x =-，条件1成为：()2f x 0≤ ② 则：()()()21f 0f 0f 00=-=导函数：'()'()'()()2x 21f x f x f x A 12x e -=-=++ ③ 要满足[,]x 01∈时()2f x 0≤，必须是：'()2f x 0≤ 故由③式：()2x A 12x e -≤-+ ④ ⑶ 解析④式因为④式，记()()2x 0h x 12x e -=-+，则：'()[()]2x 2x 0h x 2212x e 2xe --=--+= 当x 0≥时，()0h x 是x 的单调递增函数. 故：()()00h x h 01≥=-，则由④式：A 1≤-； 且：()()200h x h 13e -≤=-，则由④式：2A 3e -≤-. 由于213e --<-，所以满足[,]x 01∈区间时，A 1≤-取A 的最大值，A 1=-⑷ 构建函数()1g x 化解cos x由于cos x 是偶函数，且cos sin ()()222x x x x 12121222=-≤-⋅=-函数()g x 在()h x 中的不等号方向是：()h x 0≥，即：()g x 0-≥，即：()g x 0≤ 应构建函数()cos 1g x x ≥，且()1g x 也是偶函数.构建函数：()21g x 1Bx =-，满足条件2：()cos 1g x x ≥ ⑸ 构建函数()()cos 31g x g x x =-构建函数：()()cos 31g x g x x =-，条件2成为：()3g x 0≥ 则：()()cos 31g 0g 000=-=，导函数：'()'()sin 31g x g x x =+ ⑤ 要满足[,]x 01∈时()3g x 0≥，必须是：'()3g x 0≥ 故由⑤式：'()sin sin 1g x x 2Bx x 0+=-+≥，则：sin xB 2x≤ ⑥ 当x 0→时，sin limx 0x 1B 2x2→≤= 当x 1=时，由⑥式得：sin .1B 0422≤B 取满足⑥式得B 的最大值，sin (.)1B 0422== ⑹ 构建函数：()2g x构建函数：()()321x g x ax 12xg x 2=+++ 即： ()()()()3232x 1g x ax 12x 1Bx 1a 2x 2B x 22=+++-=+++- 因为()cos 1g x x ≥，则：()()2g x g x ≥ ⑺ 构建函数()1h x ，求a 的范围构建函数：()()()112h x f x g x =-若()1h x 0≥，因为()()()()()()121h x f x g x f x g x h x =-≥-=，所以()h x 0≥于是：()()[()()]311h x 1x 1a 2x 2B x 2=--+++-()()31a 3x 2B x 2=-++-要使12B 02-≥，则1B 4≥，故：sin [,]11B 42∈ 此时，()()()()311h x a 3x 2B x a 3x 2=-++-≥-+若要()1h x 0≥，即：()a 3x 0-+≥，则：a 30+≤，即(,]a 3∈-∞-所以，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，实数a 的取值范围(,]a 3∈-∞-.()()ln ()2x 2x a x 0f x xx 0⎧++<⎪=⎨⎪>⎩，其中a 是实数. 设(,())11A x f x ，(,())22B x f x 为该函数图像上的两点，且12x x <.若函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围.解析：函数的导函数为：()'()()2x 2x 0f x 1x 0x⎧+<⎪=⎨>⎪⎩如果图像在点,A B 处的切线重合，则点,A B 分处于两个不同区间. 因12x x <，故A 点在1x 0<区间，B 点在2x 0>区间. ⑴ 设过A 点的切线方程为：'()()111y y f x x x =+- ①则：2111y x 2x a =++ ②'()11f x 2x 2=+ ③将②③式代入①式得：()()21111y x 2x a 2x 2x x =++++-即：()211y 2x 1x x a =+-+ ④⑵ 设过B 点的切线方程为：'()()222y y f x x x =+- ⑤ 则：ln 22y x = ⑥， '()221f x x = ⑦ 将⑥⑦式代入⑤式得：ln ()2221y x x x x =+⋅-，即：ln 221y x x 1x =+- ⑧ ⑶即：()ln 1221212x 1x x a x 1⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩ 由1x 0<,2x 0>得：()1212x 10x +=>，即：1x 1>-，故：(,)1x 10∈- 由()1212x 1x +=得：()211x 2x 1=+，即：21x 2>，故：(,)21x 2∈+∞ 由ln 212x a x 1-+=-得：ln 221a x 1x =-+ ⑨ ⑷ 求a 的取值范围由⑨式可知，a 随1x ，2x 单调递增 则a 有最小值，当1x 0→，21x 2→时，a →最小值. 故：(,)ln ln 1211a a x 0x 102122>===-+=--，即：ln a 21>--()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数．若()f x 在(,)1+∞上是单调减函数，且()g x 在(,)1+∞上有最小值，求a 的取值范围. 解析：函数()f x 的导函数为：'()1f x a x=- ① 函数()g x 的导函数为：'()x g x e a =- ②⑴ 由()f x 在(,)1+∞上是单调减函数得：'()f x 0≤ (,)x 1∈+∞ 代入①式得：1a 0x-≤，即：1a x ≥考虑到(,)x 1∈+∞，故：a 1>，即：(,)a 1∈+∞ ⑵ 由()g x 在(,)1+∞上有最小值，是最值点为0x x = 则：'()0g x 0=，(,)0x 1∈+∞代入②式得：0x e a 0-=，即：0x a e =，即：ln 0x a =考虑到(,)0x 1∈+∞，故：a e >，即：(,)a e ∈+∞()()x 2f x x 1e kx =-- (其中k R ∈).当(,]1k 12∈时,求函数()f x 在[,]0k 上的最大值M .解析：函数()f x 的最大值出现在两个地方：一个是区间的端点，另一个是导数'()f x 0=的地方.⑴ 在区间端点x 0=处函数值为：()()02f 001e k 01=--=-g ① ⑵ 在区间端点x k =处函数值为：()()k 3f k k 1e k =-- ②因为：k e k 1≥+，所以：()()()323f k k 1k 1k k 1k ≥-+-=-- 即：()()232f k k k 1k 1k 1≥--=--因为：(,]1k 12∈，所以：()()2f k k 1k 11≥--≥-即：()()f k f 01≥=- ③ ⑶ 在极值点0x x =处当()f x 取极值0x x =时，其导数'()0f x 0= 即：'()()00x x 0000f x x e 2kx x e 2k =-=- 则：0x 0=和0x e 2k 0-=，即：ln()0x 2k = 故：0x 0=时，或ln()0x 2k =，函数的极值点.⑷ 当0x 0=时，()()0f x f 01==- 函数值与①式相同. ⑸ 当ln()0x 2k =时()()0x 2000f x x 1e kx =--[ln()ln ()]2k 22k 22k =--[ln()]()ln ()200002k 12k k 2k =-⋅-⋅[ln()ln ()]2000k 22k 22k =-- 令：()[ln()ln ()]2g k k 22k 22k =--则其导函数为：ln()'()[ln()ln ()][]2222k g k 22k 22k k k k=--+-即：'()ln ()2g k 2k 0=-≤故：()g k 是随k 单调递减函数，其最大值为()()11g 2122=-=-即：()0f x 的最大值是 ()0f x 1=- ④⑹ 通过这所有情况的对比，③式表明②式()()k 3f k k 1e k =--为最大值.当1k 2→时，()).1f k 094978→-+-B()()3211f x x ax a 1x 132=-+-+在区间(,)14内为减函数，在区间(,)6+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围.解析：由导函数的正负来判定函数的增减.函数()f x 的导函数为：'()()2f x x ax a 1=-+- ①⑴ 若导函数'()f x 在区间(,)14内为负值，则()f x 在该区间为减函数. 故：当(,)x 14∈时，'()()2f x x ax a 10=-+-<则：'()f x 为开口向上的二次函数，其两个零点分别是1x 1≤和2x 4≥于是化为解二次方程：()2x ax a 10-+-= 由韦达定理得：12x x a +=，12x x a 1=- 即：12a x x 5=+≥ ②故当：12a x x 5=+≥时，()f x 在(,)x 14∈区间为减函数. ⑵ 若导函数'()f x 在区间(,)6+∞内为正值，则()f x 在该区间为增函数. 故：当(,)x 6∈+∞时，'()()2f x x ax a 10=-+->则：当x 6=时， '()f x 0≥，即：'()()2f 666a a 10=-+-≥ 故：()266a a 10-+-≥，即：355a 0-≥，即：a 7≤ ③()22x a f x x 2-=+在区间[,]11-上是增函数，实数a 的值组成的集合A . 设关于x 的方程()1f x x=的两个非零实根为,12x x . 若存在实数m ，使得不等式212m tm 1x x ++≥-对任意a A ∈及[,]t 11∈-恒成立，求m 的取值范围. 解析：⑴ 函数与其导函数函数：()22x a f x x 2-=+ ①其导函数：'()[()()]()2221f x 2x 22x 2x a x 2=+--+ ()()2222x ax 2x 2=-+++ ② ⑵ 分析()f x 增减性得出A()f x 在区间[,]11-上是增函数，即：'()f x 0≥，[,]x 11∈-A> 当x 0=时，'()()()2222f 00a 021002=-+⋅+=>+ ③ B> 当x 0<时，即[,)x 10∈-，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x≤- ④ 记：()12g x x x =-，则：'()122g x 10x=+> 即：2x x-是随x 单调递增的，即：()()()112g x g 1111≥-=--=- 故由④式得：a 1≤ ⑤C> 当x 0>时，即(,]x 01∈，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x≥- ⑥ 记：()22g x x x =-，则：'()222g x 10x=+> 即：2x x -是随x 单调递增的，即：()()222g x g 1111≥=-=- 故由⑥式得：a 1≥- ⑦ 综合⑤⑦式得：[,]a 11∈- ⑧ ⑶ 解关于x 的方程()1f x x= 关于x 的方程()1f x x =，即：22x a 1xx 2-=+ （x 0≠） 即：222x ax x 2-=+，即：2x ax 20-+= ⑨设两个非零实根为,12x x ，则由韦达定理得：12x x a +=，12x x 2⋅=-于是：12x x -== ⑩ ⑷ 解析不等式212m tm 1x x ++≥-将⑩代入不等式得：2m tm 1++≥2m tm 10++-构建函数：()2h m m tm 1=++则()h m 是开口向上的抛物线，其解为,12m m ，于是不等式的解为1m m ≤和1m m ≥则方程2m tm 10++=的解为：。
导数常见题型答案
导数常见题型例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--（1）()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 ∵当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴>例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +-当x=3a 时，)(x f 极大值=b.（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立① 则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x ag x a≤⎧⎨≥-⎩22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a=01,a <<12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
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经典例题导讲[例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y .错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.[例2]已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(21)1)(1(21)(2x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？错解：1)1(,1)11(21]1)1[(21lim 220='∴=∆+-+∆+→∆f xx x 。
分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .解：1)11(21]1)1[(21lim lim 2200=∆+-+∆+=∆∆--→∆→∆xx x y x x∴ f(x)在x=1处不可导.注：+→∆0x ，指x ∆逐渐减小趋近于0；-→∆0x ，指x ∆逐渐增大趋近于0。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，△x →0，包括△x →0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。
错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。
分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．解：4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ， 故00204262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。
即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：1512,14-=-=x y x y 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．[例4]求证：函数xx y 1+=图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数xx y 1+=的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.解：（1）111,12<-='∴+=xy x x y ，即对函数x x y 1+=定义域内的任一x ，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数xx y 1+=图象上各点处切线的斜率都小于1. （2）令0112=-x，得1±=x ，当1=x 时，2111=+=y ；当1-=x 时，2-=y ， ∴曲线xx y 1+=的斜率为0的切线有两条，其切点分别为)2,1(与)2,1(--，切线方程分别为2=y 或2-=y 。
点评： 在已知曲线 )(x f y =切线斜率为k 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(x f y =的导数值为k 时的解，即方程k x f =')(的解，将方程k x f =')(的解代入)(x f y =就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程k x f =')(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.[例5]已知0>a ，函数a x x f -=3)(，[)+∞∈,0x ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为 l .（1）求l 的方程；（2）设 l 与 x 轴交点为)0,(2x ，求证： ① 312a x ≥；②若311a x >，则1231x x a <<分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .解：（1）xa x a x x x y x f x x ∆+--∆+=∆∆=→∆→∆3300/)(lim lim )( xx x x x x x ∆∆+∆+∆=→∆3220)()(33lim 22203])(33[lim x x x x x x =∆+∆+=→∆2113)(x x f ='∴∴切线l 的方程为))(()(111x x x f x f y -'=-即)(3)(12131x x x a x y -=--.（2）①依题意，切线方程中令y=0得，②由①知2131123x a x x x --=，2131123x a x x x --=-∴[例6]求抛物线 2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离.分析：可设 ),(2x x P 为抛物线上任意一点，则可把点P 到直线的距离表示为自变量x 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02=--y x 的距离即为本题所求.解：根据题意可知，与直线 x －y －2=0平行的抛物线y=x 2的切线对应的切点到直线x －y －2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么12|2|0'00=====x x y x x x x ,∴210=x ∴ 切点坐标为)41,21(，切点到直线x －y －2=0的距离8272|24121|=--=d ， ∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为827.[例7]已知曲线x x x y S 432:23++-=及点)0,0(P ，求过点P 的曲线S 的切线方程.错解：4222++-='x x y ，∴过点P 的切线斜率40='==x y k ，∴过点P 的曲线S 的切线方程为x y 4=. 错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P 凑巧在曲线S 上，求过点P 的切线方程，却并非说切点就是点P ，上述解法对求过点P 的切线方程和求曲线在点P 处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ，则过点P 的曲线S 的切线斜率[例8]已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 错解：,163)(2-+='x ax x f )(x f 在R 上是减函数，0)(<'∴x f 在R 上恒成立，01632<-+∴x ax 正解:+='23)(ax x f 6x 0≤∆∴且0<a ，即01236≤+a 且0<a ，[例9]当 0>x 证明：x x f -+=)1ln()()(x f ∴在()+∞,0内是增函数，()(f x f >∴0)<，)(x g ∴在()+∞,0内是减函数，)(x g <∴x x <+<)1ln(成立.点评：从而导出)0()(f x f >及[例10]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 解 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元/km,那么铁路运费为53a 元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为:=y )100(53x a -+a4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得y '=53a -+4002+x ax =4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一驻点,所以1x =15是函数y 的极小值点,而且也是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最省.点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.[例11]函数5)()(,133)('3--=-+=ax x f x g ax x x f ，其中)('x f 是)(x f 的导函数.（1）对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g（2）设a ＝－2m y ＝3只有一个公共点. 解：（1）由题意()g x 令()(3x ϕ=-对11a -≤≤∴((ϕϕ⎧⎪⎨-⎪⎩故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（2）()'2233f x x m =-①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点 ②当0m ≠时，列表：∴()()2211f x f x m m ==--<-极小又∵()f x 的值域是R ，且在(),m +∞上单调递增∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点.当x m <时，恒有()()f x f m ≤- 由题意得()3f m -< 即3221213m m m -=-<解得()()332,00,2m ∈-综上，m 的取值范围是()332,2-.[例12]若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比） 分析：如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与2r 成反比， 即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最 大的照度，只需求y 的极值就可以了. 解：设O 到B 的距离为x ，则rx=ϕsin ，22a x r += 于是)0()(sin 232232∞<≤+===x a x xCrxC r C y ϕ，0)(2252222=+-='a x x a Cy .当0='y 时，即方程0222=-x a 的根为21a x -=（舍）与22a x =，在我们讨论的半闭区间[)+∞,0内，所以函数)(x f y =在点2a 取极大值，也是最大值。