导数经典例题1

经典例题导讲

[例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y .

错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.

正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.

[例2]已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(2

1)1)(1(2

1)(2

x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？

错解：1)1(,1)

11(21

]1)1[(21lim 220='∴=∆+-+∆+→∆f x

x x 。

分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .

解：1)

11(21

]1)1[(21lim lim 2200=∆+-+∆+=∆∆--→∆→∆x

x x y x x

∴ f(x)在x=1处不可导.

注：+→∆0x ，指x ∆逐渐减小趋近于0；-→∆0x ，指x ∆逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

000

，△x →0，包括△x →0＋，与△x

→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。

分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；

点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．

解：4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．

设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2

9

00--=

x y k PQ ， 故002

04262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。

即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：

1512,14-=-=x y x y 点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

[例4]求证：函数x

x y 1

+

=图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程. 分析： 由导数的几何意义知，要证函数x

x y 1

+=的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函

数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.

解：（1）111,12<-='∴+=x

y x x y ，即对函数x x y 1

+=定义域内的任一x ，其导数值都小于1，于是由

导数的几何意义可知，函数x

x y 1

+=图象上各点处切线的斜率都小于1. （2）令0112

=-

x

，得1±=x ，当1=x 时，2111=+=y ；当1-=x 时，2-=y ， ∴曲线x

x y 1

+

=的斜率为0的切线有两条，其切点分别为)2,1(与)2,1(--，切线方程分别为2=y 或2-=y 。

点评： 在已知曲线 )(x f y =切线斜率为k 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(x f y =的导数值为k 时的解，即方程k x f =')(的解，将方程k x f =')(的解代入)(x f y =就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程k x f =')(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.

[例5]已知0>a ，函数a x x f -=3)(，[)+∞∈,0x ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为 l .

（1）求l 的方程；

（2）设 l 与 x 轴交点为)0,(2x ，求证： ① 31

2a x ≥

；

②若311a x >

，则123

1x x a <<分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .

解：（1）x

a x a x x x y x f x x ∆+--∆+=∆∆=→∆→∆3300/

)(lim lim )( x

x x x x x x ∆∆+∆+∆=→∆3

220)()(33lim 2220

3])(33[lim x x x x x x =∆+∆+=→∆2

113)(x x f ='∴∴切线l 的方程为))(()(111x x x f x f y -'=-即)(3)(12131x x x a x y -=--.

（2）①依题意，切线方程中令y=0得，

②由①知2

1

31123x a x x x --

=，2

1

31123x a x x x --

=-∴

[例6]求抛物线 2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离.

分析：可设 ),(2x x P 为抛物线上任意一点，则可把点P 到直线的距离表示为自变量x 的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线

02=--y x 的距离即为本题所求.

解：根据题意可知，与直线 x －y －2=0平行的抛物线y=x 2的切线对应的切点到直线x －y －2=0的距离最短，设切点坐标为（

），那么12|2|0'00=====x x y x x x x ,∴2

1

0=

x ∴ 切点坐标为)41,21(，切点到直线x －y －2=0的距离8272

|

24121|

=--=d ， ∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为

8

2

7.