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(完整版)高难度压轴填空题_三角函数

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高中数学三角函数专项(含答案)

高中数学三角函数专项(含答案)

高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．4．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______． 5．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．6．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan 3θ________．7．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．8．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.10．已知直线y m =与函数3()sin (0)42f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象相交，若自左至右的三个相邻交点．．．．A ，B ，C 满足2AB BC =，则实数m =______. 二、单选题11．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )12．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >13．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5415．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．916．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6B ．62C ．12D ．12217．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >.已知1122,,,a b a b 满足12122||a a b b +22221122a b a b =+⋅+，若||23AB =，则这样的点A 个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）19．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，cosB=-55，则BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示ABC ∆的外接圆半径. ①如图，在以O 圆心、半径为2的圆O 中，BC 和BA 是圆O 的弦，其中2BC =，45ABC ∠=︒，求弦AB 的长；②在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（2）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？ 23．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 24．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.25．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈． （1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．26．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.27．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式；（2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()33f x m --≤恒成立，求m 的取值范围.28．已知函数()cos s (3co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.29．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．30．已知两个不共线的向量a ，b 满足3)a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得|3|||a b ma =成立，求正数m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．3π2．33．2⎝45．⎝⎭6．2rr h-+7．1⎡⎤⎣⎦8．742ω<<或91322ω<≤.910．1或2##2或1二、单选题 11．D 12．A 13．B 14．B 15．A 16．C 17．D 18．D 19．C 20．A 三、解答题21．（1）②证明见解析，（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理知2sin sin sin AB b aR C B A===，根据题目中所给的条件可求出AB 的长；②若C ∠是钝角，则其余弦值小于零，由余弦定理得2222(2)a b c R +<<，即可证出结果；（2）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边,a b 的关系，以及与直径的大小的比较，分三类讨论即可. 【详解】（1）①解：因为1sin 22a A R ==，角A 为锐角，所以30A =︒ 因为45ABC ∠=︒，所以105C =︒由正弦定理得，2sin1054sin 75AB R =︒=︒②证明：因为C ∠是钝角，所以cos 0C <，且cos 1C ≠-所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以2222(2)a b c R +<<， 即2224a b R +<（2）当2a R >或2a b R ==时，ABC ∆不存在当2a R b a =⎧⎨<⎩时，90A =︒，ABC ∆存在且只有一个所以c =当2a R b a <⎧⎨=⎩时，A B ∠=∠且都是锐角，sin sin 2a A B R ==时，ABC ∆存在且只有一个所以2sin c R C ==当2b a R <<时，B 总是锐角，A ∠可以是钝角，可以是锐角 所以ABC ∆存在两个当90A ∠<︒时，c =当90A ∠>︒时， c =【点睛】此题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断然，三角形的外接圆等知识，综合性强，属于难题.22．（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【解析】 【分析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有 2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得： 1.52(2)22(2)CE CG x y DF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为： 1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x xBCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 23．（1）212S sin πα=⎛⎫++ ⎪⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)1000021 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 24．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题. 25．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式26．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+42 ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．27．（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0-【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==解得2t =，33⎝⎭（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤.因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+， 所以32m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 28．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈，解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.29．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.30．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（23）⎣⎭【解析】 【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解. 【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直，所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=，即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。

精选高难度压轴填空题----三角函数

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1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[+- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A3. 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：m BCC B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒（其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin( )cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若 ()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)352()67()2()(ππππ-=-⇒-=f g x f x g ，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 35267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ=8. 如果满足∠ABC =60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是 )8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题BAC CACx xx -4 39. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析：（2007全国联赛）)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。

专题12 三角函数(全题型压轴题)试题含解析

专题12 三角函数(全题型压轴题)试题含解析

专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (2)③三角函数零点问题（解答题） (3)④三角函数解答题综合 (6)①三角函数的图象与性质②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合专题12三角函数（全题型压轴题）目录①三角函数的图象与性质 (1)②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 (9)③三角函数零点问题（解答题） (12)④三角函数解答题综合 (20)①三角函数的图象与性质设()t f x =，则方程()()2220f x af x ⎡+⎣+⎦=⎤可化为由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；①当22m-=时，即②当3-=时，即t=m③当3->时，即t<m②函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换③三角函数零点问题（解答题）由图可知，当1t =或12t -≤<当112t ≤<时，()h x 在区间⎡⎢⎣当21t <-或1t >时，()h x 在区间令ππ2πZ 62,x k k-=+∈故两个零点12,x x关于x故()122πcos cos3x x+=7．（2023春·江西·高一统考期末）已知函数由图可知，30a -≤≤，且21πt t +=，所以()12121ππsin sin 466x x t t ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭故a 的取值范围为()123,0,sin x x ⎡⎤-+⎣⎦8．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）已知(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值④三角函数解答题综合(2)当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()π02f x kf x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)43310-(2)()3,1--【详解】（1）由题意得，向量()1,3ON = 的相伴函数为()sin 3cos f x x x =+，所以()13πsin 3cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()85f x =，∴π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∵ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ0,32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴23cos 1s πin 335πx x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ1π3π433sin sin sin cos 33232310x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）向量()1,3ON = 的相伴函数为()πsin 3cos 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π2sin 2cos 03π2π3f x kf x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin π3π3k x x ⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．所以①当π06x ≤<，即πππ332x ≤+<时，πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin π3tan π3cos 3x k x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭>-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，即max πtan 3k x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于πππ332x ≤+<，所以πtan 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为πtan 33=，所以max πtan 33k x ⎡⎤⎛⎫>-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；②当π6x =，ππ32x +=，不等式ππsin cos 033x k x ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为10>成立．③当π11π612x <≤，ππ5π234x <+≤时，πcos 03x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，。

完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习

完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习

完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。

Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。

解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。

2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。

专题2 三角函数压轴小题(原卷版)

专题2 三角函数压轴小题(原卷版)

专题2 三角函数压轴小题一、单选题1．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2b aC a-=，则sin sin B A +的取值范围是（ ） A ．332⎫⎪⎪⎝⎭B ．(3⎤⎦C ．32,2⎫⎪⎭D ．832,⎦2．已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得2cos iC jθ-≤，记C 的最小值为λ，则（ ） A ．1120001000λ<< B ．111000500λ<< C ．11500200λ<< D ．11200100λ<<3．已知△ABC 中，22AB AC ==()min 2AB BC R λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ） A 3B ．23C 5D 64．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．33⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2343⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2343⎫⎪⎪⎝⎭D ．2343⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭5．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A 2B 3C 3D 26．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：△()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； △()f x 的最小正周期可能是2π； △ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；△()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△7．设函数()211f x x =-，()122x fex --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ）A ．123I I I <<B ．321I I I <<C ．132I I I <<D ．213I I I <<8．设a △R ，函数f (x )()()2222215cos x a x a x a x a x a ππ⎧-⎪=⎨-+++≥⎪⎩＜，若函数f (x )在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，94]△（52，114]B ．（74，2]△（52，114]C ．（2，94]△[114，3）D ．（74，2）△[114，3）9．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣10．直线1y =与函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像在y 轴右侧交点的横坐标从左到右依次为12n a a a 、、、，下列结论：△π2cos 23f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；△()f x 在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；△12n a a a 、、、为等差数列；△121234πa a a +++=．其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: △()y f x =是偶函数; △()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数;△()y f x =在(,2)ππ上为增函数; △()y f x =的最大值为22 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△12．已知函数()()()()()222sin 2π2π3,R 216,x a x af x a x a x a x a ⎧-<⎪=∈⎨-++-+≥⎪⎩，若()f x 在区间()0,∞+内恰好有7个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．5817,,3236⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．581711,,2363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．51711,3,263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D ．81711,3,363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦13．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最大值为2 C ．()(),x f x f x π∀∈-=RD ．[]()0,,0x f x ππ∀∈+>14．已知 11sin 65a =, 11sin 56b =, 15cos 156c =, 则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ． c a b <<15．在ABC 中，角A B C ､､所对的边分别是,120,a b c A D =､､是边BC 上一点，AB AD ⊥且3AD =，则2b c +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．916．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知锐角ABC 满足23AB =60C ∠=°且O 为ABC 的外接圆圆心，若OC OA OB λμ=+，则2λμ-的取值范围为（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．[2,2)-D ．(2,2)-17．（2023·全国·高三专题练习）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy （ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值18．（2023·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（ ） A ．60- B ．120- C ．180 D ．24019．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ） A ．16B ．24C ．25D ．3620．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，cos cos()sin sinA CA B Ca c+=，且cos2C C+=，则a b+的取值范围是（）A．(4⎤⎦B．(2,C．(]0,4D．(]2,4 21．（2022·山西·忻州一中模拟预测（文））定义：设不等式()0f x>的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式sin cos2sin cosx x mx x x+>+-在(0,)π上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（）A．cos2[,cos1)2B．cos2(,cos1]2C．[]cos2,cos1D．[]cos2,sin222．（2023·全国·高三专题练习）设ω∈R，函数()()22,0,6314,0,22sin x xf xg x xx x xπωωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是（）A．12,43⎛⎤⎥⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦23．（2022·全国·高三专题练习（文））在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos22cos1x x=-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（）A．3cos34cos3cosx x x=-B．存在||1x≤时，使得3|43|1x x->C．给定正整数n，若||1ix≤，(1,2,,)i n=，且31niix==∑，则1||3niinx=≤∑D．设方程38610x x--=的三个实数根为1x，2x，3x，并且123x x x<<，则2232312()xx x x-=-二、多选题24．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若()sin cosx x x xf x=-，则下列说法正确的是（）A．()f x的最小正周期是2πB．()f x的对称轴方程为212kxππ=-，()k∈ZC．存在实数a，使得对任意的x∈R，都存在125,01,2x xπ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k =D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++=25．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60A ∠=︒，把△ABD 沿BD 折起使得A 点变为'A ，则（ ）A ．7BD =B ．三棱锥'A BCD -3C ．当'A C BD =时，三棱锥'A BCD -10D ．当'A C BD =时，'60A BC ∠=︒26．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 27．（2022·全国·高三专题练习（文））由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+B ．()424881P t t t =-+C ．51sin18-︒=D ．51cos18+︒=28．（2022·全国·高三专题练习）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（ ） A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<< C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列 三、填空题29．（2022·安徽淮南·二模（理））ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC边上的中线，AO =则2AB AC -的取值范围是________．30．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．31．（2022·全国·高三专题练习（文））1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.32．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．33．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（文））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则nA ∠的最大值是________________.34．（2022·天津西青·高三期末）在等腰直角三角形ABC 中，π2C ∠=，点P 在三角形内，满足2(222)0PA PB PC +++=，则APB ∠=______.35．（2022·全国·高三专题练习（理））函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.36．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B CAA BB CC A B C++++的值为_____________.37．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-， 则22x y +的最小值为_____．38．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））ABC 的外心为O ，三个内角A B C ，，所对的边分别为1825a b c AO BC a a c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，，，，4b =.则ABC 面积的最大值为____________. 39．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）对开区间(),I a b =，定义I b a =-，当实数集合M 为n 段（n 为正整数）互不相交的开区间12n I I I ､､､的并集时，定义1||nk k M I ==∑，若对任意上述形式的()0,2π的子集A ，总存在Z k ∈，使得k A A λ≥，其中|,|tan 214k k A x x A x π⎧⎫⎛⎫=∈+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，则λ的最大值为___________. 40．（2021·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知4Cπ， 2222a b c -=，则A ＝____________.41．（2022·安徽·高三开学考试）有下列命题: △函数tan y x =在定义域内是增函数;△函数1π()cos 234f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3π;△直线πx =为函数()sin(cos )cos f x x x =+图像的一条对称轴; △函数()|sin |cos f x x x =+的值域为[2]-.其中所有正确命题的序号为_____.42．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．43．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，且ABC的面积222)ABC S a b c +-△，则c a b+的取值范围是___________.44．（2022·全国·高三专题练习）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 22sin αββ+=，则tan β的最大值为________.45．（2022·北京·测试学校四高三）若ABC 三边长为等差数列，则cos cos cos A B C ++的取值范围是___________.46．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，()2ABCcSa b =-，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则sinsin 22A B C-+=___________. 47．（2022·北京·测试学校四高三）已知凸四边形ABCD 满足50,40ABD BDC CAD ACB ∠∠∠∠====，则符合题意且不相似的凸四边形ABCD 的个数为___________.48．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．49．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.50．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 四、双空题51．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=，若4C π，则A =___________；若ABC 为锐角三角形，则2cos ab B的取值范围是___________.52．（2022·广东佛山·高三期末）菱形ABCD 中，ππ1,,32AB A ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点E ，F 分别是线段,AD CD 上的动点（包括端点），AE CF =，则()AE CF AC +⋅=___________，ED EB ⋅的最小值为___________.53．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 是BC 边上一点，且6B π=，12AD BD =，若D 是BC 的中点，则ACAB=______；若3AC =ADC 的面积的最大值为_________．。

高中数学《三角函数》精选高难度压轴考点试题

高中数学《三角函数》精选高难度压轴考点试题

1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[+- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A 3. 已知O 是锐角A B C ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：m BCC B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒ （其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin( )cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos 5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③ 解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61 解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)352()67()2()(ππππ-=-⇒-=f g x f x g ，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 35267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ= 8. 如果满足∠ABC=60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是AB CDx xx -4 3)8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析： )4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。

高中数学三角函数专项练习(含答案)

高中数学三角函数专项练习(含答案)

高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________4．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.5．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________7．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 8．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.9．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.10．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x af x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=13．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）AB ．3CD ．15．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1616．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．已知函数()2sin 1,022sin 1,02x x f x x x ππ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-18．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.22．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.24．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知sin 2C =（1）若4a =，c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆22213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.25．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数．26．已知函数()sin 2f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标； （2）若02πα-<<，()1f α=，求sin 2α的值.27．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值28．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.29．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； (2)若6,22BC AB AD ==，求b ．30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．2 3．1008或10094．8156．12(,)369-7 8．()135,2169．1π-##1π-+ 10．25二、单选题 11．D 12．C 13．A 14．B 15．C 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C 三、解答题21．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.22．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题. 23．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.24．（1）2）c = 【解析】 【分析】（1）先根据sin2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值． 【详解】解：（1）因为sin2C =所以2101cos 12sin122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．25．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1． ∵0＜φ2π＜，∴φ4π=．∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin 2x π， 由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4．而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数， 即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点；③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．26．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）12-. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z ππ+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．【详解】（1）()13sin 2322sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()26k x k Z ππ=-∈， 因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-， 因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．27．（1）1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.28．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=.【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．29．（1）13； （2 【解析】【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果.【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B, 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=, (2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =,在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠ 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=, ()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==. BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。

江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题17 三角函数问题(填空题)(解析版)

江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题17 三角函数问题(填空题)(解析版)

专题17 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB C B A tan tan 1tan tan tan -+-=. 2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积Rabc R c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.已知函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f （x ）的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f （1）+f （2）＝ ． 【答案】3【分析】由条件利用二倍角的余弦公式可得f （x ）＝cos （2ωx +2φ）+1+，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．【解答】解：∵函数f （x ）＝A cos 2（ωx +φ）+1＝A •+1＝cos （2ωx +2φ）+1+（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+＝3，可求：A＝2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：＝4，∴解得：ω＝．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1＝2，∴cos2φ＝0，由0＜φ＜，可得2φ＝，解得：φ＝．∴函数的解析式为：f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）＝﹣（sin+sin）+2×2＝﹣1+4＝3．故答案为：3．【知识点】三角函数的最值、余弦函数的单调性、余弦函数的图象2.已知等边△ABC的边长为1，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且S△ADF＝S△DEF＝．若AD＝x，CE＝y，则的取值范围为．【分析】由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，运用三角形的面积公式，求得y关于x的函数式，令y≤1，得＜x≤或＜x≤1，再由换元法和基本不等式，以及对勾函数的单调性，可得所求范围．【解答】解：由AD＝x，CE＝y，可得BD＝1﹣x，BE＝1﹣y，0≤x≤1，设CF＝z，可得AF＝1﹣z，S△ADF＝S△DEF＝＝•＝，即有S△ADF＝x（1﹣z）•＝，可得z＝1﹣，由z≥0，可得≤x≤1，由S△DEF＝﹣﹣（1﹣x）（1﹣y）•﹣yz•＝，化为1﹣x﹣y+xy+y（1﹣）＝，即为y＝，由y≤1，即有≥0，即或，结合≤x≤1，可得＜x≤或＜x≤1，①则＝，可令3x﹣2＝t，即x＝，可得＝＝，若t＝0，则x＝，＝0；若t＞0，即＜x≤1，可得＝≤＝，当且仅当t＝1，即x＝1时，取得等号，又＞0，可得此时0＜≤；当t＜0时，即≤x＜，由①可得≤x≤，则﹣1≤t≤﹣，则﹣≤t+≤﹣2，则＝≥＝，当且仅当t＝﹣1，x＝时，取得等号，且≤＝2，即≤≤2，则的范围是[0，]∪[，2]．故答案为：[0，]∪[，2]．【知识点】三角形中的几何计算专项突破一、填空题（共15小题）1.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，则ω＝，函数f（x）的单调减区间为．【分析】由题意可得x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值，由此求出函数的解析式，可得它的减区间．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（1）＝f（3）＝f（9）＝m，且f（x）在（3，9）上无最小值，∴x＝2、x＝6为函数f（x）的图象上2条相邻的对称轴，f（2）为最小值，f（6）为最大值．故函数的最小正周期为2×（6﹣2）＝8＝，∴ω＝．∴2×+φ＝﹣，6×+φ＝，∴φ＝﹣π，f（x）＝sin（x﹣π）＝﹣sin x．令2kπ﹣≤x≤2kπ+，求得8k﹣2≤x≤8k+2，可得函数f（x）的单调减区间为[8k﹣2，8k+2]，k∈Z，故答案为：；[8k﹣2，8k+2]，k∈Z．【知识点】正弦函数的单调性2.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2．则＝，∠BAD＝．【分析】由题意利用三角形内角平分线的性质、余弦定理，求得结果．【解答】解：△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且AB＝1，AD＝，AC＝2，则由三角形内角平分线的性质可得，＝＝．设∠BAD＝θ，则θ为锐角，设BD＝x，则DC＝2x．由题意在△ABD、△ACD中，分别利用余弦定理可得，x2＝1+﹣2×1××cosθ，4x2＝4+﹣2×2××cosθ，∴4+﹣2×2××cosθ＝4（1+﹣2×1××cosθ），求得cosθ＝，∴θ＝，故答案为：，．【知识点】余弦定理、正弦定理3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若CD是边AB上的中线，且CD＝CA，则的最小值为．【分析】易知cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，结合余弦定理可推出a2﹣b2＝，将cos A和cos B均用余弦定理表示，并代入中化简，再结合基本不等式即可得解．【解答】解：根据题意，作出如下所示图形，则CD＝CA＝b，∵∠ADC＝π﹣∠BDC，∴cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，由余弦定理得，＝﹣，化简得a2﹣b2＝，∴＝+•＝+•＝+•≥2＝，当且仅当＝•，即a＝b时，等号成立，∴的最小值为．故答案为：．【知识点】三角形中的几何计算、正弦定理4.已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足，，且f（x）在区间上单调，则ω取值的个数有个．【答案】3【分析】设函数的最小正周期为T，则T＝，由，可知，，又f（x）在区间上单调，于是，综合解得ω可以为2，6，10，共3个值．【解答】解：设函数的最小正周期为T，则T＝，∵，，∴，n∈N*，即ω＝2（2n﹣1），n∈N*，又f（x）在区间上单调，∴，解得0＜ω＜12，∴n可以为1，2，3，即ω为2，6，10，共3个值．故答案为：3．【知识点】正弦函数的单调性5.已知函数（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是．【分析】先整理解析式，由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），即可得出结论．【解答】解：函数＝sinωx﹣＝sin（），由f（x）＝0，可得sin（ωx﹣）＝0，解得x＝∉（π，2π），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴≥π⇒ω≤1；因为ω＞0；分别取k＝0，1，2，3…∴ω∉（，）∪（，）∪（，）∪…＝（，）∪（，+∞），∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈（0，]∪[，]．故答案为：（0，]∪[，]．【知识点】两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数6.函数的最小正周期T＝，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）的最大值为2，则φ的值可以为．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期T＝＝π，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ+）的图象．若函数y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+2φ+）的最大值为2，则当sin（2x+）＝1时，sin（2x+2φ+）＝﹣1，则2φ＝（2k﹣1）•π，k∈Z．令k＝1，可得φ＝，故答案为：π；．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.在△ABC中，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD＝1，，则BD的长度的最大值是．【分析】根据可分析出△ABC是直角三角形，画出图形，可设∠ACD＝α，借助于余弦定理在三角形BCD中表示出BD2，然后再利用三角形ACD借助于余弦定理找到x与α角的关系，代入BD2表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．【解答】解：在三角形ABC中，设AC＝x，则BC＝，且．由正弦定理得，解得，显然B为锐角，故B＝．∴．设∠ACD＝α，∴．∴在△BCD中，＝3（x2+1）+6x sinα……①．又∵在△ACD中，．∴．代入①式得：BD2＝．令t＝x2+1，则上式可化为，（）……②．∴，令y′＝0得，可见t＞5．即t2﹣10t+16＝0，∴t＝8或t＝2（舍）将t＝8代入②式得BD2＝27，故．（因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点）故答案为：3．【知识点】三角形中的几何计算8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝3．若点D在边BC上，且BD＝2DC，则AD的最大值是．【分析】△ABC中利用正弦定理转化求得A的值，再求出△ABC外接圆的半径；取BC的中点M，利用直角三角形的边角关系与两边之和大于第三边，即可求出AD的最大值．【解答】解：△ABC中，，由正弦定理得，sin A sin B＝sin B cos A，因为sin B≠0，所以tan A＝；又因为0＜A＜π，所以A＝；设△ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，R＝＝＝；取BC的中点M，如图所示；在Rt△BOM中，BM＝BC＝，OM＝＝＝；在Rt△DOM中，DM＝BD﹣BM＝，OD＝＝＝1；由AD≤AO+OD＝R+OD＝+1，当且仅当圆心O在AD上时取“＝”；所以AD的最大值是+1．故答案为：+1．【知识点】余弦定理、正弦定理9.如图，在矩形OABC与扇形OCD拼接而成的平面图形中，OA＝3，AB＝5，∠COD＝，点E在弧CD上，F在AB上，∠EOF＝．设∠FOC＝x，则当平面区域OECBF（阴影部分）的面积取到最大值时cos x＝．【分析】要求阴影部分面积最大，即求空白部分最小，利用角x结合三角函数，可以分别表示出小扇形和三角形的面积．表示出来后，可以发现是一个正切函数与一次函数的和函数，为求最小值，只需求导数后寻其极值点即可．【解答】解：因为∠EOF＝，所以∠DOE＝x﹣，x∈[，]依题意得当平面区域OECBF（阴影部份）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，∵S△OAF+S扇DOE＝OA•AF+OD2•∠DOE＝×3×+×52•（x﹣）＝令＝令，故时，s取得最小值，此时．故答案为：【知识点】扇形面积公式10.如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为．【答案】5【分析】根据题意把设＝，＝，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，P A，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设＝，＝，则＝+＝﹣3﹣，＝+＝2+，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ、μ，使＝λ＝﹣λ﹣3λ，＝μ＝2μ+μ，故＝﹣＝（λ+2μ）+（3λ+μ）．而＝+＝2+3，∴，解得，故＝，＝，即AP：PM＝4：1．BP：PN＝3：2，设PM＝t，则PN＝2t，P A＝4t，PB＝3t，t＞0，设△APN的面积为x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，可得cosα＝＝，sinα＝，则x＝•4t•2t•sinα＝＝≤，当t2＝，即t＝时，x取得最大值，而△ABP的面积为x，△BPM的面积为，则△ABC的面积为2（+）＝x，则△ABC的面积的最大值为×＝5．故答案为：5．【知识点】解三角形11.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，D为AC上一点，AD：DC＝1：3，则△ABC面积最大时，BD＝．【分析】由2＝c，结合三角形的正弦定理和三角函数的和差公式，可得b＝，再由三角形的海伦面积公式，化简整理，结合二次函数的最值求法，可得三角形的面积取得最大值时a的值，再由余弦定理计算可得所求值．【解答】解：∵2cos A＝a（﹣cos C），c＝2，∴c cos A＝﹣a cos C，∴由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C＝sin A，∴sin（A+C）＝sin B＝sin A，∴b＝，由p＝，p﹣a＝，p﹣c＝，p﹣b＝，由三角形的海伦面积公式可得S△ABC＝＝＝＝＝＝＝，当a2＝12，即a＝2时，b＝2，△ABC的面积取得最大值，∵D为AC上一点，AD：DC＝1：3，∴AD＝，∴由余弦定理可得cos A＝＝＝，解得BD＝．故答案为：．【知识点】余弦定理12.如图，边长为a的正方形ABCD内的点P，Q满足：AP∥CQ，AP＝b，CQ＝2b，PQ＝b，则当∠P AB最小时，a：b的值为．【答案】2【分析】作四边形PQCR，可得R在分AC为的阿氏圆上，求出b＝PQ＝即可【解答】解：作平行四边形PQCR，则＝，根据阿氏圆定理，可知点R在分AC为的阿氏圆上，设圆在直线AC上的两点及圆心分别是M、N、O，易知CM＝CA，CO＝CA，OM＝ON＝CA，当AR与圆O相切于下方时，∠P AB最小，此时b＝PQ＝AR0＝＝，所以，故答案为2．【知识点】三角形中的几何计算13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3a sin A＝2b sin B+c sin C．记△ABC的面积为S．则的最大值为．【分析】观察已知条件3a sin A＝2b sin B+c sin C．与目标式，构造它们之间的联系．【解答】解：由条件及正弦定理可得3a2＝2b2+c2，所以＝＝＝•＝•＝≤＝．故答案为：．【知识点】正弦定理14.，若，则α＝【分析】根据两角和差的公式，利用换元法转化为方程进行求解即可．【解答】解：∵sin（﹣α）＝sin[﹣（α+）]＝cos（α+），∴由，得sin（α+）+cos（α+）＝sin2（α+）+﹣1①设t＝sin（α+）+cos（α+），则t＝sin（α++）＝sin（α+），∵，∴α+∈[，]，则t＞0，同时sin2（α+）＝t2﹣1，则方程①等价为t＝t2﹣1+﹣1＝0，即t2﹣t+﹣2＝0．即t＝＝＝，即t＝＝或t＝＝1（舍）由t＝sin（α+）＝，得sin（α+）＝1，即α+＝，即α＝﹣＝，故答案为：．【知识点】两角和与差的三角函数15.如图已知等边△ABC的边长为2，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE交于点F，AB＝2AD，AC＝3AE，则△BCF的面积为．【分析】首先根据题意建立平面直角坐标系，进一步求出点ABCDE的坐标，进一步求出直线BE和CD的直线方程，最后利用二元一次方程组求出点F的坐标，最后求出三角形的面积．【解答】解：根据等边三角形建立平面直角坐标系：如图所示：由于三角形为边长为2的等边三角形，故：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）AB＝2AD，AC＝3AE，所以：D为线段AB的中点，所以：D（），E为线段AC的三等分点，过点E作EH∥AO，得到：E（），所以：直线BE的方程为：y＝＝，直线CD的直线方程为：，所以：，解得：，y＝，则：．故答案为：【知识点】三角形中的几何计算。

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三角函数在现代科技的发展当中，举足轻重。

如果三角函数学不好，就无法进入气势恢宏的现代数学殿堂，就无法欣赏数学那令人陶醉的逻辑之美，我们对数学的认知永远只能停留于肤浅的“算术”层面。

“三角函数”是一个重要的数学工具，也是现代数学的重要基础。

自然而然，三角函数在我们高中阶段就成了是重点考察的内容，是决定高考胜败的关键所在。

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高中数学三角函数专项(含答案)

高中数学三角函数专项(含答案)

高中数学三角函数专项(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________4．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论： ①203f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解； ④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的编号为________． 5．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.6．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.7．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．10．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.二、单选题11．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-412．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭13．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5414．已知三棱锥A BCD -中，4AB BC BD CD AD =====，二面角A BD C --的余弦值为13，点E 在棱AB 上，且3BE AE =，过E 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ）A ．103πB ．3πC ．3π D15．如图，长方形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C ．15112- D ．518- 16．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π18．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(21,)-+∞B ．(12,)++∞C ．(1,12)D ．(31,)++∞19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+（其中0>ω，2πϕ<）在520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象恰有三个不同的交点,,P M N ，PMN ∆为直角三角形，求ϕ的取值范围． 22．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.23．已知(3cos ,sin ),(sin ,0),0a x x b x ωωωω==>，设()(),f x a b b k k R =+⋅+∈. （1）若()f x 图象中相邻两条对称轴间的距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是12，求()f x 的解析式，并说明如何由sin y x =的图象变换得到()y f x =的图象.24．如图，长方形ABCD 中，2,3AB BC ==，点,,E F G 分别在线段,,AB BC DA （含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.（1）求角θ的取值范围；（2）求出EFG ∆周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ∆周长l 的取值范围. 25．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．26．已知函数()2sin 2cos 3f x x a x =+-.（1）当1a =时，求该函数的最大值；（2）是否存在实数a ，使得该函数在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a的值；若不存在，试说明理由.27．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，点P 为面11ADD A 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）．PM ⊥平面ABCD 交AD 于点M ，MN BD ⊥于点N ．（1）设AP x =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11A C 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 28．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )2]x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.29．已知向量 22(2,22()),(,)2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数． 30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．3π2．33．12(,)369-4．①②④．56．②③ 7．138 9．10．-7二、单选题 11．A 12．A 13．B 14．B 15．A 16．B 17．C 18．B 19．A 20．C 三、解答题21．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】且为等腰三角形，由此可确定周期，进而得到ω的知；采用整体对应的方式可知若为三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由此可构造不等式求得结果. 【详解】令t x ωϕ=+，结合sin y t =与cos y t =图象可知：sin y t =与cos y t =，其交点坐标分别为4π⎛ ⎝⎭，5,4π⎛ ⎝⎭，94π⎛ ⎝⎭，13,4π⎛ ⎝⎭，．．．，PMN ∆为等腰三角形．PMN ∆∴斜边长为2T πω==，解得，ω=；52553244T T=⋅<，∴两图象不可能四个交点； 由x ⎡∈⎢⎣⎦，有5,2t πϕϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，两图象有三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由45924πϕπϕπ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩得：,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据三角函数的交点与性质求解解析式中的参数范围的问题，关键是能够利用正余弦函数的性质类比得到正弦型和余弦型函数的交点所满足的关系，从而根据两函数交点个数确定不等关系.22．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+()242f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．23．（1）01ω<≤；（2）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;平移变换过程见解析.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算,表示出()f x 的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于2π及周期公式,即可求得ω的取值范围; （2）根据最小正周期,求得ω的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与()f x 的最大值是12,即可求得()f x 的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵(3cos ,sin ),(sin ,0)a x x b x ωωω== ∴(3cos sin ,sin )a b x x x ωωω+=+∴2()()3sin cos sin f x a b b k x x x k ωωω=+⋅+=++1cos21122cos2222x x k x x k ωωωω-=++=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可知222T ππω=≥,∴1ω≤ 又0>ω, ∴01ω<≤ （2）∵T πω=, ∴1ω=∴1()sin 262f x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当266x ππ-=即6x π=时max 11()sin 16622f x f k k ππ⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭∴12k =-∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将sin y x =图象上所有点向右平移6π个单位,得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（或将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到sin 2y x =的图象；再将得到的图象上所有点向右平移12π个单位,得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象） 【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.24．（1）[,]63ππ（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈，EFG ∆周长l 的取值范围为1)]【解析】（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可. （2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=，在Rt ΔEBF 中，求得1sin EF θ=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111()cos sin sin cos f θθθθθ=++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，此时tan θ=02πθ<<，所以max 3πθ=当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值， 此时=3BEF π∠，所以min 236πππθ=-=故所求θ的取值集合为[,]63ππ（2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=，1AE =，所以1cos EG θ= 在Rt ΔEBF 中，cos cos()2BE BEF EF πθ∠=-=，1BE =，所以1sin EF θ= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+2222222211sin cos 1sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+== 因为[,]63ππθ∈，所以sin 0,cos 0θθ，1sin cos FG θθ=所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ=++=++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=，[,]63ππθ∈令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-=所以22(1)211t l t t +==-- 因为[,]63ππθ∈，57[,]41212πππθ+∈，所以sin()4πθ+∈所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈所以EFG ∆周长l 的取值范围为1)] 【点睛】本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.25．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ在△OPQ 中，OQOP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ. 由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f ′(θ)令f ′(θ)＝0，得sinθθ0满足0sin θ则0cos θ=，即()02f θ===列表如下：由上表可知，f (θ0)＝2是极大值，也是最大值． 由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tanα单调递增则当tanαα也取得最大值．故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 26．（1）1-；（2）存在，且2a =. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，得出()()2cos 11f x x =---，由1cos 1x -≤≤结合二次函数的基本性质可得出该函数的最大值；（2）换元[]cos 0,1t x =∈，将问题转化为二次函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上的最大值为1，然后分0a ≤、01a <<和1a ≥三种情况讨论，利用二次函数的基本性质求出函数()222t at g t -+-=在区间[]0,1上最大值，进而求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时，()()22sin 2cos 3cos 11f x x x x =+-=---，1cos 1x -≤≤，当cos 1x =时，该函数取得最大值，即()max 1f x =-；（2）()22sin 2cos 3cos 2cos 2x a x x a x f x =+-=-+-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设[]cos 0,1t x =∈，设()222t at g t -+-=，[]0,1t ∈，二次函数()y g t =的图象开口向下，对称轴为直线t a =.当0a ≤时，函数()y g t =在[]0,1上单调递减，所以0=t 时，()()max 021g t g ==-≠，0a ∴≤不符合题意；当1a ≥时，函数()y g t =在[]0,1上单调递增，所以1t =时，()()max 1231g t g a ==-=，2a ∴=满足1a ≥；当01a <<时，函数()y g t =在[]0,a 上单调递增，在(],1a 上单调递减， ∴当t a =时，()()2max 21g t g a a ==-=，a ∴=01a <<.综上，存在2a =符合题意. 【点睛】本题考查二次型余弦函数的最值，将问题转化为二次函数的最值来求解是解题的关键，第二问要对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.27．(1) PN =(0,x ∈；(2) arctan . 【解析】 【分析】（1）求出PM ,AM ,运用余弦定理,求得PN ；（2）求出PN 的最小值,由于//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,通过解直角三角形PMN ,即可得到. 【详解】（1）在APM ∆中,PM =AM =；其中0x <<在MND ∆中,2MN x ⎫=⎪⎪⎝⎭,在PMN ∆中,PN =(0,x ∈；（2）当(0,x 时,PN 最小,此时43PN =.因为在底面ABCD 中,MN BD ⊥,AC BD ⊥,所以//MN AC ,又11//A C AC ,PNM ∠为异面直线PN 与11A C 所成角的平面角,在PMN ∆中,PMN ∠为直角,tan PNM ∠=所以arctan4PNM ∠=,异面直线PN 与11A C 所成角的大小 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法等.属于难题. 28．(1)0 (2)32【解析】 【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+， 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()2222g x g m ==-⨯-=-⇒=故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果. 29．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=．∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1．∵0＜φ2π＜，∴φ4π=． ∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin2x π，由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018； （Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点； ③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点． 综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点； ②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点； ③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．30．（1）见解析；（2）32⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=． (2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。

第五章 三角函数【压轴题专项训练】(解析版)

第五章 三角函数【压轴题专项训练】(解析版)

第五章三角函数【压轴题专项训练】一、单选题1．下列命题中正确的是（）A ．终边和始边都相同的角一定相等B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．小于90︒的角一定是锐角D ．大于或等于0︒且小于90︒的角一定是锐角【答案】B 【分析】根据任意角的定义判断．【详解】终边和始边都相同的角不一定相等，可以是终边相同角，故A 错误；始边相同而终边不同的角一定不相等，B 正确；小于90︒的角包括锐角、零角和负角，故C 错误；零角不是锐角，故D 错误；只有B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查任意角的定义，终边相同角的定义，掌握任意角的定义是解题关键．2．在直径为20cm 的圆中，165°圆心角所对应的弧长为（）A ．253πcm B ．556πcm C ．403πcm D ．553πcm 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的转化、弧长与圆心角的关系，即可求得结果.【详解】165°＝180π×165rad ＝1112πrad ，所以l ＝1112π×10＝556π(cm)．故选：B 【点睛】本题考查了角度制和弧度制的转化和求弧长，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.3．已知tan 2α=，则2222sin cos 12sin cos αααα-++等于（）A ．89B ．119C ．67D ．47【答案】A 【分析】对齐次式，先弦化切，再代入求值.【详解】tan 2α=，22sin cos 1αα+=，∴22222222222sin cos 12sin α2tan α2282sin cos 2sin αcos α2tan α12219αααα-+⨯====+++⨯+.故选：A.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．4．若点P 在角23π的终边上，且||4OP =，则点P 的坐标是（）A．(2,-B．C．(2--,D．(2)--【答案】A 【分析】设出坐标，根据三角函数的定义建立关系即可求出.【详解】点P 在角23π的终边上，设(),P x y ，0,0x y <>，则可得42tan3yx π===⎪⎩，解得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点P的坐标是(2,-.故选：A.5．已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++=⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【分析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=-= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．6．已知tan()3α-=-，则22sin sin()cos 3cos αααα--+的值为（）A ．B ．1C ．32D ．32【答案】D 【分析】由题可得tan 3α=，再将所求式化为齐次式即可求出．【详解】由题可得tan 3α=，222222sin sin cos 3cos sin sin()cos 3cos sin cos αααααααααα++--+=+22tan tan 39333tan 1912ααα++++===++．故选：D ．7．已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin 2,cos 2)-，则角α的一个弧度数为（）A ．π2+B ．π22+C ．3π22-D ．π22-【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式可求α.【详解】因为P 的坐标为(sin 2,cos 2)-且P 在角α的终边上，故cos sin 2α==，同理sin cos 2α==-，而cos sin 22πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin sin 22πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故α与22π-的终边重合，又0222ππ<-<，α锐角，故22πα=-，故选：D.8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，π2ϕ<），若()f x 的图象经过点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻对称轴的距离为π2，则()f x 的解析式可能为（）A ．()πcos 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()π3cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()π4cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】先求得2ω=，排除B 、D ，然后把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项A ，C ，排除C.【详解】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=⨯=，又2T ππω==，所以2ω=，故选项B ，D 错误；把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项A ，2π43cos cos 03362f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 成立，而把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项C ，2π43cos 3cos 30333f πππ⎛⎫⎛⎫=-==-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 不成立.故选：A.9．1tan15tan15︒-=︒（）A．B．C．-D ．4【答案】C 【分析】切化弦，然后利用倍角公式求解即可.【详解】221sin15cos1515cos 15cos30tan1521tan15cos15sin15cos15sin15sin 302sin ︒︒︒-︒-︒︒-=-==-︒︒︒︒︒︒故选：C10．将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】将各选项所给函数按条件平移，判断平移后的函数奇偶性，即得出结果.【详解】A 选项，将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2sin 2sin 2333y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭显然不是奇函数，故A 错；B 选项，将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到sin cos 36y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，函数cos y x =-显然是偶函数，故B 错；C 选项，将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2cos 2cos233y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，函数cos 2x y =-显然是偶函数，故C 错；D 选项，将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2cos 2sin 236y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭的图象，函数sin 2y x =显然是奇函数，故D 正确.故选：D.二、多选题11．(多选)若函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的图象关于直线83x π=对称C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在区间(,)2ππ上单调递减【答案】ABC 【分析】由三角函数周期的计算公式，可判定A 正确；由三角函数对称轴的性质，可判定B 正确；求得()cos(3f x x ππ+=-+，令()0f x π+=，得到,6x k k Z ππ=+∈，可判定C 正确；由三角函数单调性的判定方法，可判定D 不正确.【详解】由题意，函数()cos(3f x x π=+，可得()f x 的最小正周期为221T ππ==，所以A 正确；当83x π=时，可得88()cos(cos31333f ππππ=+==-，所以83x π=是函数()f x 的其中一条对称轴，所以B 正确；由()cos()3f x x π=+，可得()cos()cos(33f x x x ππππ+=++=-+，令()0f x π+=，即cos()03x π+=，解得,6x k k Z ππ=+∈，当0k =时，可得6x π=，即6x π=是函数()f x π+的一个零点，所以C 正确；由(,)2x ππ∈，可得54(,)363x πππ+∈，当5(,]36x πππ+∈时，即2(,)23x ππ∈时，函数()f x 单调递减；当4(,)33x πππ+∈时，即2(,)3x ππ∈时，函数()f x 单调递增，所以D 不正确.故选：ABC.12．下列四个选项正确的有（）A ．75-︒角是第四象限角B ．225︒角是第三象限角C ．475︒角是第二象限角D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD 【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案.【详解】对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角；对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角.故选：ABCD .【点睛】本题考查对象限角的掌握，是对角的定义的考查，属于基础题.13．下列化简正确的是A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-【答案】AB 【分析】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=，依次分析即得解【详解】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos oαααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB 【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.14．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 说法中不正确．．．的是（）A ．最小正周期为T π=B ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数D ．图象关于直线6x π=对称【答案】CD 【分析】根据正弦函数的周期性求出()f x 的周期判断A ；代入法判断B 、D ；根据正弦函数的周期性求出函数()f x 的单调区间判断C.【详解】最小正周期为22T ππ==，A 正确；因为22sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 正确；令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 在5[,],1212k k k Z ππππ-++∈上单调递增，所以函数()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错；2sin 633f πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线6x π=对称，D错误.故选：CD 三、填空题15．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b －a 的最大值是________．【答案】43π【分析】由于正弦函数的周期性，可以在一个周期区间内确定函数值为1-和12的x 值，结合周期性性可得结论．【详解】因为函数y ＝sin x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和12.不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知51sin sin662ππ==，3sin 12π=-，由正弦函数的周期性可知(b －a )min ＝352263πππ-=，(b －a )max ＝1354=663πππ-.故答案为：43π．16．sin15cos75︒︒=__________．【分析】由诱导公式和二倍角公式求解．【详解】211cos3022sin15cos75sin15sin15sin 15224-︒︒︒=︒⋅︒=︒===．故答案为：24．17．应用五点法作函数y ＝32sin 1(33x π-的图象时，图象的最高点的坐标是________．【答案】53(,)22π【分析】由正弦型三角函数图像性质求解即可.【详解】由sin 1()33x π-＝1可得x ＝52π，所以图象的最高点的坐标是53(,)22π.故答案为：53(,)22π【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图像的性质，属于简单题.18．有下列命题：①若α是第二象限角，且sin =,cos m n αα=，则tan mnα=-；②无论α为何值，都有22sin cos 1αα+=；③一定存在角α，使得22sin cos 1αα+=；④总存在一个角α，使得1sin cos 2αα==．其中正确的有_____．【答案】②③【分析】由同角三角函数的平方关系，商数关系，可判断①、②、③的真假，根据三角函数的性质判断④的真假.【详解】①由sin tan cos mnααα==，错误；②对任意角α，都有22sin cos 1αα+=，正确；同理，③正确；④不存在一个角α，使得1sin cos 2αα==成立，错误；故答案为：②③.四、解答题19．已知角α＝2010°.（1）将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；（2）在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．【答案】（1）752+6ππ⨯，第三象限的角；（2）答案见解析.【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；（2）利用代入法进行求解即可.【详解】（1）6772010=2010rad==(52+)rad 18066rad ππππ︒⨯⨯，又73<62πππ<，∴α与76π终边相同，是第三象限的角．（2）与α终边相同的角可以写成72()6k k Z πγπ=+∈，又50πγ-≤<，∴当k ＝－3时，296πγ=-；当k ＝－2时，176πγ=-；当k ＝－1时，56πγ=-.20．若cos130a ︒=，则tan 50︒=__________．【答案】a【分析】利用诱导公式求出cos50︒，然后求出sin 50︒，再求tan 50︒的值．【详解】解：cos130a ︒=即：cos50a ︒=-，所以sin 50︒所以sin 50tan 50cos50︒︒==︒故答案为：a．21．已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求tan 24απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）210；（2）13．【分析】(1)由3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求得4sin 5α=，结合两角差的余弦公式，即可求解；(2)由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得3tan()24πα-=，再结合二倍角的正切公式，即可求解．【详解】(1)由题意知，3cos 5α=-，(,)2παπ∈，所以4sin 5α=，则34cos()cos cos sin sin 444525210πππααα-=+=-⨯+⨯=(2)由三角函数的基本关系式，可得sin tan s 43co ααα==-，则3tan()cot 24παα-=-=又由22tan()324tan()tan 2()22441tan ()24αππαπααπ-⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦--，解得1tan(243απ-=或tan()324απ-=-，又因为(,)2παπ∈，可得(0,)244a ππ-∈，所以1tan(243απ-=．【点睛】利用诱导公式、两角和(差)的正弦、余弦、正切公式以及三角函数的基本关系求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形，并且注意角的范围对三角函数符号的影响．22．已知3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（1）求tan α，sin 2α的值；（2）求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）43-，2425-；（2）410【分析】（1）首先利用同角三角函数关系求出4sin 5α=-，从而得到4tan 3α=-，再利用正弦二倍角公式计算sin2α即可.（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案.【详解】（1）因为3cos5α=，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以4sin5α=-，所以4sin45tan3cos35ααα-===-，24sin22sin cos25ααα==-.（2）314 sin sin cos cos sin333525πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题.。

压轴题03 三角函数压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题03 三角函数压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3．将函数()2sin 21f x x =-图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π34．函数e sin xy x =在区间[]2,2ππ-上的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫- ⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站CC ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h 3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点D10．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在()s t 时刻相对于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A．小球运动的最高点与最低点的距离为2cm B．小球经过4s往复运动一次C．()3,5t∈时小球是自下往上运动D．当 6.5t=时，小球到达最低点○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos22sin21αα+=，则sinα=（）A．15B C．45D2．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，大约公元前417年—公元前369年）通过下图来…，记BACα∠=，DACβ∠=，则()cosαβ+=（）A．46B．36-C．36+D．463．若π2α<<，π02β-<<，π1cos43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，π3cos423β⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．9-B．9C．539D．94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x yB x y，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos,A B，余弦距离为()1cos,A B-.已知()sin,cosPαα，()sin,cosQββ，()sin,cosRαα-，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tan tanαβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωωω⎛⎫=->⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到8．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比12=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB 在AC 251AC+D ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根9．已知()cos 4cos3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥○热○点○题○型三三角函数综合应用一、解答题1．已知函数2()23cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知)213,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅ ．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且23a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()213cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.5．若实数x ，[0,2]y π∈，且满足cos()cos cos x y x y +=+，则称x ､y 是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.。

三角函数高考选择填空压轴题专练

三角函数高考选择填空压轴题专练

三角函数高考选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．已知奇函数()()cos (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示， E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 3-B. 12-C. 14D. 34π- 【答案】D【解析】由奇函数()002f πϕ=⇒=， MNE ∆是边长为1的正三角形，可得122TT ωπ=⇒=⇒=，E 是最高点且32E y =， ()'cos f x A x ωω=-得A=32π,所以()313cos 2234f x x f ππππ⎛⎫⎛⎫=+⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．设函数())cos 3sin cos f x x x x ωωω=+（其中02ω<<），若函数()f x 图象的一条对称轴为3x π=，那么ω=（ ）A.12 B. 13 C. 14 D. 16【答案】A 【解析】()231113sin cos cos cos2sin 22262f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭， 3x π=是对称轴，则2362k πππωπ⨯+=+， k Z ∈，又02ω<<，则12ω=，故选A ．3．在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，，若1,2cos 0bc b c A =+= ，则当角B 取得最大值时， ABC ∆的周长为（ ） A. 3 B. 22 C. 23 D. 32 【答案】C【解析】由题意可得：()20,20,3,3.0,0.2sinB sinCcosA sin A C sinCcosA sinAcosC cosAsinC tanA tanC b cosA tanC c+=++==-=--=∴据此可得：()2tan tan 2tan 2tan tan 11tan tan 13tan 3tan tan A C CB AC A C CC C+=-+=-==-++，由均值不等式的结论：22313233tan tan C C≤=+, 当且仅当3tan 3C =时等号成立，此时角B 取得最大值. 据此可知： 33tan ,tan 3,tan 33B AC ==-=， 即△ABC 时顶角为120°的等腰三角形， 结合余弦定理可得ABC ∆的周长为23+. 本题选择C 选项.4．已知ABC ∆中， ,,A B C 的对边长度分别为,,a b c ，已知点O 为该三角形的外接圆圆心，点,,D E F 分别为边,,BC AC AB 的中点，则::OD OE OF =（ ） A. ::a b c B. 111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C 【答案】D【解析】如图：在三角形AOD 中1122tan tan c c OD AOB C ==∠，同理1122,tan tan a b OE OF A B==，所以 OD:OE:OF =12tan c C ： 12tan a A ： 12tan b B，由正弦定理，可得OD:OE:OF = cosA:cosB:cosC ，选D.5．在ABC ∆中， ()2,?cos 1AB AC BC A π==-=，则cos A 的值所在区间为（ ） A. ()0.4,0.3-- B. ()0.2,0.1-- C. ()0.3,0.2-- D. ()0.4,0.5 【答案】A【解析】设BC a = ， ()1·cos 1,cos 0,BC A A aπ-=∴=-< ，中ABC ∆ 中， 22222228182,cos ,22288a a a AB AC A a +---====∴-=⨯⨯，化为32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a -= ，则()328810f x x x =-+= ，()2'2416,f x x x =- 可得()f x 在(),0-∞ 上递增，()()0.4 1.4 1.2810,0.30.0640f f -=-⨯+-= ， ()cos 0.4,0.3A ∴∈-- ，故选A.6．在ABC ∆中， 5AC =，1150tantantan222AC B +-=，则BC AB += ( )A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B【解析】因为1150tan tan tan 222A C B +-=，所以coscos 5cos222sin sin sin222A C BA CB +=，则cos sin sin cos 5cos 22222sin sin sin 222AC A C B A C B +=，即sin()5cos222sin sin sin222A CB AC B +=，即5sinsin sin cos 22222A C B A C ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，即6sin sin cos cos 2222A C A C =； 由正弦定理，得5sin sin sin BC AB A C B==，则()5sin(+)sin()5sin()5sin sin 222222sin sin cos cos 222A C A C A C A C BC AB B B B B --++===5cos cos sin sin 35sin sin 2222227cos cos sin sin 5sin sin222222A C A C A CA C A C A C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===-；故选B. 7．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c O 是ABC ∆外接圆的圆心,若cos B b =-,且cos cos sin sin B CAB AC mAO C B+=,则m 的值是( )A.4B. 2C.D. 【答案】C【解析】cos B b =-，2222a c b b ac +-⋅=-，整理得222b c a +-=，所以222cos 2b c a A bc +-==，即4A π=，因为O 是ABC∆的外心，则对于平面内任意点P ，均有：cos cos cos 2sin sin 2sin sin 2sin sin A B C PO PA PB PC B C A C A B =++，令P 与A 重合，及4A π=得2cos cos 2sin sin B C AO AB AC AB AC C B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵cos cos sin sin B CAB AC mAO C B+=，∴m =．故选C ． 记忆：三角形的四心与向量关系：（1）O 是ABC ∆重心0OA OB OC ⇔++=，P 是平面ABC 内任一点， ()12PG PA PB PC G =++⇔是ABC ∆重心． （2）O 是ABC ∆垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅+⋅+⋅， 若O 是ABC ∆垂心，则tan tan tan 0AOA BOB COC ++=． （3）O 是ABC ∆外心OA OB OC ⇔==，若O 是ABC ∆外心，则sin2sin2sin20AOA BOB COC ++=．若O 是ABC ∆外心，则对于平面内任意点P ，均有：cos cos cos 2sin sin 2sin sin 2sin sin A B CPO PA PB PC B C A C A B=++．（4）O 是ABC∆内心0AB AC BA BC CA CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⇔⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O 是ABC ∆内心0aOA bOB cOC ⇔++=，O 是ABC ∆内心sin sin sin 0AOA BOB COC ⇔++=．二、填空题8．（2017年全国2卷理）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos cos 44f x x x x x =--=-+ 2cos 12x ⎛=--+ ⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当cos 2x =时，函数取得最大值1.9．已知33sin2,sin2x x m y y m +=+=-，且,,44x y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， m R ∈，则tan 3x y π⎛⎫++= ⎪⎝⎭____．【解析】令f(x)=x 3+sinx,则f(−x)=−x 3−sinx ， ∴f(x)为奇函数,且f(x)在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭为单调函数， ∵f(x)=m,f(y)=−m ，∴x+y=0，∴tan tan 33x y ππ⎛⎫++== ⎪⎝⎭故答案为：.10．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为__________．【答案】8【解析】y sinx = 对任意(),,1,2,3,...,i j x x i j m = ，都有()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-= ，要使m 取得最小值，尽可能多让()1,2,3,...,i x i m = 取得最高点，考虑120...6m x x x π≤<<<≤ ，()()()()()()12231...12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-= ，按下图取值可满足条件， m ∴ 最小值为8 ，故答案为8 .11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 222a c b ac +-=， 3b =2a c +的取值范围是__________．【答案】3,27【解析】由题意得2221cos 22a c b B ac +-==，又因为()0,B π∈，可知3B π=。

(压轴题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(包含答案解析)

(压轴题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．452．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 3．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（ ）A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[8,9)5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于直线π12x =-对称6．使函数())cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为A B C D 8．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C9．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B C ．1916D ．3410．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于011．675︒用弧度制表示为（ ） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭二、填空题13．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，则实数ω的取值范围是__________.14．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________.15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当(]0,1x ∈时，()21log f x x=，若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是__________. 16．已知3cos 6απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则54cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为_____．17．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .18．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数；④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 19．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④1212()()f x f x x x -->0；⑤1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.当()tan f x x =时，正确结论的序号为________．20．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数()()cos[6]1,2,...,126y A x B x π=-+=来表示.已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为______℃. 三、解答题21．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），最后向下平移2个单位得到()y g x =图象，求函数()y g x =的解析式及在R 上的对称中心坐标． 22．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间. 23．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心； （2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．24．已知函数1()sin 2126f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（其中a 为常数）. （1）求()f x 的单调减区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值.25．已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 的单调增区间； （III ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值． 26．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值.【详解】 因为3cos 5α==，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 2．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）． 当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误； 当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.3．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标， 可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.4．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=；当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A5．B解析：B 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知22T π=，从而可求出2ω=，再由()y f x =的图像向左平移6π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，可得sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ的值，然后逐个分析各个选项即可 【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=. 设将()f x 的图像向左平移6π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±， 所以sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=+∈， 因||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 又()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ+=+∈，故对称轴为直线,26k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k ππ+=∈Z ，故,212k x k Z ππ=-∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以A 错误，B 正确. 故选：B 【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.6．B解析：B 【解析】1())cos(2)2()cos(2))2sin(2)226f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.7．A解析：A 【分析】由题意根据三角函数定义可知0x cos α=，先根据角α的取值范围求出6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围继而求出4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再通过凑角求cos α. 【详解】5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则26ππαπ<+<,则由3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，则0x cos α=. 又cos αcos 66ππα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos sin 6666cos sin ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-+⨯=故0x =.选A. 【点睛】本题考查三角函数定义及三角恒等变换的简单应用.解题中注意所求角的取值范围.由配凑法根据已知角构造所求角进行求解是三角恒等变换中常用的解题技巧.8．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．10．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭和23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

(压轴题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)

(压轴题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题1．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 2．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．83．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列结论正确的是（ ） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为A ．3310- B ．3310+ C ．3310D ．43310- 6．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C7．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =8．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（ ） A ．60169B ．120169C ．119169D ．591699．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论： ①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称；③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根. 其中正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④10．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．1311．已知函数11()sin sin sin sin f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，现有命题：①()f x 的最大值为0； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的周期为π； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称.其中真命题的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112．若函数()22()sin 23cos sin f x x x x =+-的图像为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数 D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 二、填空题13．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为603米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.14．设函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，给出下列命题：①图象C 关于直线1112π=x 对称；②函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数；③函数()f x 是奇函数；④图象C 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.其中，错误命题的是______.15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.16．已知M 是函数()()238sin f x x x x R π=--∈的所有零点之和.则M 的值为_____. 17．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称； ③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得32sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____. 18．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.19．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.20．函数()()0,0,2(f x Asin x A πωϕωϕ=+>><)的部分图像如图所示.则()f x 的解析式是_____.三、解答题21．已知函数()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像， ()g x 图像关于原点对称，()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π. （1）求()f x 在[]0,π上的增区间; （2）若()230f x m -=+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，求实数m 的取值范围.22．已知函数2()3sin cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π. （1）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若263x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.23．如图所示，摩天轮的半径为50m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min .甲，乙两游客分别坐在P ，Q 两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧PQ 的弧长l (单位：m )；（2）设游客丙从最低点M 处进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少85m 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.24．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数；（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.25．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为()g x ，若不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.26．己知函数()sin 3cos (0, 0 )f x A x A x A ωωω=+>>，其部分图象如图所示．（1）求A 和ω的值；（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调增区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈， 因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.2．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.3．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=， 当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-， 对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-，故C 错误； 对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.4．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误； 对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增，因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.5．A解析：A 【分析】由题意根据三角函数定义可知0x cos α=，先根据角α的取值范围求出6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的取值范围继而求出4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再通过凑角求cos α. 【详解】5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则26ππαπ<+<,则由3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，则0x cos α=. 又cos αcos 66ππα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos sin 6666cos sin ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-+⨯310-=故0x =.选A. 【点睛】本题考查三角函数定义及三角恒等变换的简单应用.解题中注意所求角的取值范围.由配凑法根据已知角构造所求角进行求解是三角恒等变换中常用的解题技巧.6．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．7．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.8．B解析：B 【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解． 【详解】如图，由题意8CD =，弓琖ACB 的面积为128，1(8)81282AB ⨯+⨯=，24AB =， 设所在圆半径为R ，即OA OB R ==，则22224(8)2R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得13R =， 5OD =，由211sin 22AB OD OA AOB ⨯=∠得 2245120sin 13169AOB ⨯∠==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长AB ，然后求得半径R ，从而可解决扇形中的所有问题．9．D解析：D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-， 由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-==⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误； 对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误；对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.10．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.11．A解析：A 【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性定义，周期函数的定义可判断②③的正误，再根据函数解析的特征可判断④的正误，最后利用换元法可求判断①的正误. 【详解】22111()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由sin 0x ≠可得,x k k Z π≠∈，故函数的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈， 所以函数的定义域关于原点对称.又()()()222211()sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-=-，故()f x 为偶函数， 故②正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ+=+-=+，故()f x 是周期函数且周期为π，故③正确. 又()()()221()sin sin f x x f x x πππ-=--=-，故()f x 的图象关于直线2x π=对称，故④正确.令2sin t x =，则(]0,1t ∈且()1f x t t=-，因为1y t t=-为(]0,1上的增函数，故()max 0f x =，故①正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：对于复杂函数的性质的研究，注意先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性或周期性，最后再研究函数的单调性，讨论函数图象的对称性，注意根据()()f a x f x -=来讨论. 12．C解析：C 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin(2+)3f x x π=；根据正弦型函数的性质验证选项得解 【详解】()sin 222sin(2+)3f x x x x π==()f x 最小正周期22T ππ==，A 错误； ()2sin[2()+]2sin(2)2sin 2333f x x x x ππππ-=-=-=，B 错误； 当7(,)1212x ππ∈时，32(,)322x πππ+∈ ()f x ∴在7(,)1212ππ上是减函数，C 正确； 将2sin 2y x =向左平移3π个单位长度得到22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数的周期性、对称性和单调区间的求解、三角函数平移变换的应用等知识；关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.二、填空题13．【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的 解析：(40303)π+【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得3sin QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解. 【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT =，60PQ = 所以3sin 2QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+.故答案为：(40π+ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.14．②③④【分析】根据函数的图象与性质分析函数的对称性奇偶性与单调性即可得出结论【详解】解：①由得令直线为函数图象的对称轴故图象C 关于直线对称故①正确；由得令得函数在区间内是增函数故②错误；故函数不是奇解析：②③④ 【分析】根据函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与性质，分析函数的对称性，奇偶性与单调性，即可得出结论. 【详解】 解：①由232x k πππ-=+，Z k ∈，得25121x k ππ=+，Z k ∈， 令1k =，直线1112π=x 为函数图象的对称轴， 故图象C 关于直线1112π=x 对称，故①正确； 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，得函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数，故②错误； ()00f ≠，故函数()f x 不是奇函数，故③错误；由23x k ππ-=，k Z ∈，得612x k ππ=+，k Z ∈，图象C 不关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故④错误.故答案为：②③④. 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈， ∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．16．【分析】根据和的函数图像的对称点和交点个数得出答案【详解】令可得作出和的函数图像如图所示：由图像可知两函数图像有个交点又两函数图像均关于直线对称的个零点之和为故答案为：【点睛】本题考查了函数零点之和 解析：12【分析】根据8sin y x π=和23y x =-的函数图像的对称点和交点个数得出答案. 【详解】令()0f x =可得8sin 23x x π=-，作出8sin y x π=和23y x =-的函数图像如图所示：由图像可知两函数图像有8个交点， 又两函数图像均关于直线32x =对称， ∴()f x 的8个零点之和为324122⨯⨯=.故答案为：12 【点睛】本题考查了函数零点之和，考查了转化与化归、数形结合的思想，属于基础题.17．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确. ④24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭2322<，所以④错误.故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.18．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：解析：②③ 【分析】根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案. 【详解】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确； 所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．【分析】和的图象都关于对称所以①②由①②结合即可得到答案【详解】由题意因为和的图象都关于对称所以①②由①②得又所以将代入①得注意到所以所以故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质涉及到函数图象的平解析：34π-【分析】()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②结合06,22ππωθ<<-<<即可得到答案.【详解】由题意，()()sin()33g x f x x ππωωθ=-=-+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对 称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②，得12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得11,4k k Z πθπ=-∈，注意到22ππθ-<<，所以4πθ=-，所以34ωθπ⋅=-.故答案为：34π- 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.20．【分析】由图像对应横坐标可求再将代入可进一步求解由图像过点可求进而求解【详解】由解得又函数过所以解得又图像过可得解得故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式属于中档题解析：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【分析】由34T 图像对应横坐标可求ω，再将6x π=代入可进一步求解ϕ，由图像过()0,1点可求A ，进而求解 【详解】由1132312644T πππω-==⋅，解得2ω=，又函数过()max ,6f x π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以63A f Asin ππϕ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭=，解得6π=ϕ，又图像过()0,1可得()106f Asin π==，解得2A =，故()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭故答案为：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，属于中档题三、解答题21．（1）70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）12⎛ ⎝⎦. 【分析】（1）由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，可得函数的周期，从而得出ω的值，由平移得出()g x 的解析式，根据()g x 图像关于原点对称，可求出ϕ的值，从而可求()f x 单调增区间,得出答案.（2）令23t x π=+则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[2s n 2]i t ∈，根据()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-有两解，从而可得答案. 【详解】解:由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则22T ππω==，1,ω∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数()g x 的图像关于原点对称，3k πϕπ-+=，,2πϕ<所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 令0k =得51212x ππ-≤≤ 1k =得7131212x ππ≤≤ ()f x ∴在[]0,π增区间是70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2令23t x π=+，0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，由2sin y t =322m -<，即123m <≤12m ∴<≤m ∴的取值范围是12⎛ ⎝⎦【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设23t x π=+，由0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n ,2]i 3t ∈-若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，然后数形结合求解，属于中档题.22．（1）1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）()0,2. 【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得1()sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222T ππω==，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππππ-≤-≤+，化简即可得解； （2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在263x ππ≤≤范围内求出()g x 的最值即可得解. 【详解】（1）2()3cos cos f x x x x ωωω=-312(cos 21)22x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222T ππω==，解得2ω=所以，1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∵242262k x k πππππ-≤-≤+∴224233k x k ππππ-≤≤+∴21226k k x ππππ-≤≤+ ∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）依题意得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+因为当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()2g x m g x -<<+恒成立所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =为单调减函数所以max ()1126g x g π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，()min21103g x g π⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<所以m 的取值范围是()0,2. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有： （1）三角函数基本量的理解应用； （2）三角函数图像平移伸缩变换的方法； （3）恒成立思想的理解及转化. 23．（1）252m π；（2）50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤；（3）5min 2. 【分析】（1）根据弧长的计算公式可求PQ 的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求H 关于时间t 的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令85H ≥，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度. 【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为22412ππ=， 故25350122lm ππ. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设sin()H A wx B ϕ=++， 由题意知，12T =，所以26w T ππ==， 又由50,1105060A r B ===-=，所以50sin()606H x πϕ=++，当0x =时，可得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-，故H 关于时间t 的函数解析式为50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤.（3）令50sin()608562H x ππ=-+≥，即1sin()622x ππ-≥， 令522,6626k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈，解得412812,k x k k Z +≤≤+∈， 因为甲乙两人相差3312min 242⨯=， 又由354min 22-=，所以有5min 2甲乙都有最佳视觉效果. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 24．（1）()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；（2）52分钟. 【分析】（1）根据题意分析游客甲绕原点作匀速圆周运动，根据三角函数定义可把他离地面的距离()h t 表示出来；（2）先求出游客乙离地面距离的函数()g t ，则()()h h t g t =-△即为甲乙的离地面距离之差，利用函数求最值. 【详解】（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为22010ππ=弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是10t π， 因为圆的半径为50r =米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为50sin 102y t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 则其离地面的距离为：()()205050sin 7050cos 010210h t t t t πππ⎛⎫=++-=-≥⎪⎝⎭. 法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，据题意有12050,2070,A b A A b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩又周期20T =，所以10πω=，由在最低点入舱得01022πππϕϕ⋅+=-⇒=-，故得()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知游客乙离地面的距离：()()7050cos 57050sin 1010g t t t ππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦，其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙的离地面距离之差为：()()50sin cos 1010104h h t g t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当()21042t k k ππππ-=+∈Z ，即()15202t k k =+∈Z 时，甲乙离地面距离之差达到最大，所以152t =，即游客乙坐上摩天轮552t -=分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；。

压轴题05 三角函数与解三角形范围与最值问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题05 三角函数与解三角形范围与最值问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．考向一：ω取值与范围问题考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．一、单选题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数()π2cos 13f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（0ω>）的图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．25,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知函数())π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．75,93⎛⎤⎥⎝⎦B ．75,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1010,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1010,93⎛⎤⎥⎝⎦4．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180︒的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，30,105,2A B AB AD ∠=︒==︒∠=，则CD 的取值范围是（）A ．,14⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎣⎭C ．⎣⎭D ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．（2023·全国·校联考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，若2222b a c =+，则△ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．34C ．1D ．326．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知60B = ，4b =，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．67．（2023·全国·模拟预测）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．8二、多选题8．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠三、填空题9．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则c a的取值范围是______．10．（2023·上海金山·统考二模）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.11．（2023·全国·校联考二模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B a A a C =+，则3b ca-的取值范围是______.12．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP △的面积的最大值为__________．四、解答题13．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sin sin 2B C c a C +=；②sin 1cos a CA=-；③ABC )222b c a +-.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14．（2023·陕西榆林·统考三模）已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，4AB AC ⋅=，且sin 8sin ac B A =．(1)求A ；(2)求sin sin sin A B C 的取值范围．15．（2023·上海浦东新·统考二模）已知,0R ωω∈>，函数cos y x x ωω-在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为______________．16．（2023·浙江金华·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．已知ABC 的面积4ac S =，其外接圆半径2R =，且()224cos cos ()sin A B b B -=．(1)求sin A ；(2)若A 为钝角，P 为ABC 外接圆上的一点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围．17．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象是由π2sin 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到的.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的图象与y 轴距离最近的对称轴方程；(2)若()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.18．（2023·山东德州·统考一模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=．(1)求证：2A B =；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且2c =，求ABD △面积的取值范围．19．（2023·江西吉安·统考一模）在直角坐标系xOy 中,M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求M 的普通方程;(2)若D 为M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.20．（2023·江西九江·统考二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知()()0a b c a b c ab -+--+=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+．(1)求c ；(2)求a b +的取值范围．21．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin B A Cb c b a-=-+.(1)求角A 的值；(2)若2c =，求a b +的取值范围．22．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7b =，且sin sin sin sin a b A Cc A B+-=-.(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围.23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角ABC 中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，且22a b bc -=．(1)求角B 的取值范围；(2)若4c =，求ABC 中AB 边上的高h 的取值范围．24．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.25．（2023·福建·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值.26．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC ∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==(1)若BD =AD 的长；(2)求ABD △面积的最大值．27．（2023·湖南·校联考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足236sin02A Ba b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；(2)求tan A 的最大值．28．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）在ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin sin sin sin b a cA CB C-=+-．(1)求角A 的大小；(2)记ABC 的面积为S ，若12BM MC = ，求2AMS的最小值．29．（2023·云南·统考二模）ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，π3A =．(1)若2b =，3c =．求证：tan sin a b A B+=(2)若D 为BC 边的中点，且ABC的面积为AD 长的最小值．30．（2023·广西·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2)cos cos 0b a C c B ++=.(1)求C ；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且2CD =，求2a b +的最小值.31．（2023·安徽宣城·统考二模）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B--=．(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)求2254cos a a c c B-的最小值．32．（2023·全国·模拟预测）已知ABC 是斜三角形，角A ，B ，C 满足cos(2)cos sin 2A B A B ++=.(1)求证：cos sin 0C B +=；(2)若角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，求22245a b c +的最小值，并求此时ABC 的各个内角的大小.33．（2023·吉林·统考三模）如图，圆O 为ABC 的外接圆，且O 在ABC 内部，1OA =，2π3BOC ∠=．(1)当π2AOB ∠=时，求AC ；(2)求图中阴影部分面积的最小值．。

精选高难度压轴填空题----三角函数

精选高难度压轴填空题----三角函数

2
x
1 sin 2
)(cos 2 x
x
1 cos 2
x
)
最小值是__________
25 4
解析：令 a sin 2 x,b cos2 x ，则 a b 1, ab 1 ，原式 ab 1 b a
4
ab a b
1 4 2 25
4
4
17.
若对于 x (0, ) ，不等式 1
k
1,3,5,...,2011，故各极大值和为 e
e3
... e2011

e
(1 e2012 1 e2
)
19. 在 斜 三 角 形 ABC 中 ， 角 A, B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b, c ， 若 t a nC t a nC 1 ， 则 t a nA t a nB
斜角为 _______ 3 4
解析： f ( ) a 2 b2 即 2 (a b) a 2 b2 a b 0
ห้องสมุดไป่ตู้
4
2
15. 若 f (x) Asin( x ) 1 ( 0, | | <π) 对任意实数 t，都有 f t π f t π ．
f (x) f ( 5) 4 5 ，即 f(x)在[1 , 5] 上的最小值是 4 5
45
44
5
10. 满足条件 AB 2, AC 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值
22
解析：2008 江苏高考题，本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设 BC＝ x ，
则 AC＝
2x
解析：设 A B C 900 , 3A A B C 1800 A 600 ，但锐角三角形无法体现，

专题01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值压轴题四种模型全攻略(原卷版)

专题01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值压轴题四种模型全攻略(原卷版)

专题01锐角三角形函数和特殊角的三角函数值压轴题四种模型全攻略考点一正弦、余弦、正切的概念辨析考点二求角的正弦值、余弦值、正切值考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长考点四求特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析A．sinBCAAB=B．A．CDACB．BDCB考点二求角的正弦值、余弦值、正切值例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形=，连接CEBE OC(1)求证：四边形OCEB是矩形；AB=，(2)连接DE，当5考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知则BC的长为___________．3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在考点四求特殊角的三角函数值【变式训练】A．1 2二、填空题7．（2022·山东威海8．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，在每个小正方形的边长为O均落在格点上，则∠OAB的正切值为11．（2022·辽宁·沈阳市虹桥中学溪湖分校九年级阶段练习）如图，在矩形ACBÐ=°，点F是对角线AC上的一个动点，60和点A位于DF两侧，点F从点A12．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，且AD＝2，那么∠DAC＝三、解答题16．（2021·福建·厦门外国语学校海沧附属学校九年级阶段练习）如图，BD＝4，AD＝3，求∠(1)求∠ABD的正弦值；(2)求BG的长．20．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）我们不妨定义：一组对边平行且一组对角互余。

第9讲 三角函数填空压轴题(原卷版)

第9讲 三角函数填空压轴题(原卷版)

第9讲 三角函数填空压轴题1．（2021·江苏三校联考）已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________．2．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）已知函数()2sin()f x x h ωϕ=++的最小正周期为π，若()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为M ，则M 的最小值为________． 3．（2021·全国超级全能生联考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，设()sin h x x π=，若函数()()()g x f xh x =-，则()g x 在区间[]2020,2019-上的零点个数为___________． 4．（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin 0A B C -=，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为_________5．（2021·河南信阳期末（理））在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________6．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若60BAC ︒∠=，D 为边BC 上一点，且1,:2:3AD BD DC c b ==，则23b c +的最小值为_________．7．（2021·河南三门峡期末（理））已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）．8．（2021·广东深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______．9．（2021·北京石景山区·高三一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2()y x R ωω=+∈，其中0xπω；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0．5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0．4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0．4米的安全间隙．在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若6π=ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若6π=ω，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2x π=时，船底离海底的距离最大；④若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则23x π=时，船底离海底的距离最大． 10．（2021·山西临汾一模（理））对于一个函数()()y f x x D =∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得()12kx m f x kx m +≤≤+在x D ∈时恒成立，称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道．则下列函数在[)1,+∞内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）①()()1sin cos 2f x x =+；②()ln x f x x =；③()f x =()2cos 3f x x x =+．11．（2021·江苏常州一模）若2cos 1x x +=，则5sin cos 2=63x x ππ⎛⎫⎛⎫-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12．（2021·广西玉林模拟）函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线6x π=-，则ω的最小值为___________．13．（2021·内蒙古呼和浩特一模（理））四边形ABCD 内接于圆O ，10AB CD ==，6AD =，60BCD ∠=︒，下面四个结论：①四边形ABCD 为梯形； ②圆O 的直径为14；③ABD △的三边长度可以构成一个等差数列；④四边形ABCD 的面积为 其中正确结论的序号有___________．14．（2021·甘肃高三一模（文））函数()cos 22f x x x =-，x ∈R ，有下列命题： ①()y f x =的表达式可改写为2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到；④满足()f x ≤x 的取值范围是3,124x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）15．（2021·内蒙古呼和浩特一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．16．（2021·中学生标准学术能力诊断性3月测试）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =，sin BAD ∠=，cos 4BAC ∠=，则AD =__________．17．（2021·甘肃兰州模拟（文））在ABC ∆中，D 为BC 中点，2,AB AD ==，且sin cos 2sin sin cos A AB C C=-+，则AC =________．18．（2021·甘肃兰州模拟）在ABC 中，(2)0AB AC BC ⋅+=，1sin 3C =，则22sin sin A B -的值为______．19．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）如图，某湖有一半径为100m 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为___________．20．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______．21．（2021·辽宁高三一模（理））关于函数()2sin sin 2f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 在[0,2]π内有3个极值点； ③()f x 在[0,2]π内有3个零点； ④()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中所有真命题的序号为___________．22．（2021·广东揭阳一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，2222a b c =+，则ABC 的面积的最大值为_______________．23．（2021·江西上饶一模（理））已知ABC 的外心为O ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2223320AO CB BO AC b a ⋅+⋅+-=，则cos B 的最小值为_______．24．（2021·内蒙古包头期末（理））已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，sin sin B C +=bc 的值为______． 25．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知函数()217cos 22sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为________．26．（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的最小正周期T =___________．27．（2021·安徽皖江名校联盟2月联考）设点O 是ABC 外接圆的圆心，3AB =，且4AO BC =-⋅．则sin sin B C的值是___________．28．（2021·安徽高三月考（文））关于函数cos 23()2x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的性质，下列表述正确的是 ①是周期函数，且最小正周期是π； ②是轴对称图形，且对称轴是直线,26k x k Z ππ=-∈； ③定义域是R ，值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④是中心对称图形，且对称中心是,1212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ⑤单调减区问是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 29．（2021·陕西咸阳一模（理））已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题： ①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数；③()f x 的图像关于2x π=对称； ④()f x ．其中真命题有________．30．（2021·江西景德镇期末（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，5a c ==，且227cos 25a b bc A ac -+=-，G 为ABC 的重心，则GA =________ 31．（2021·安徽蚌埠二模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 0a C C b c +--=，且2a =，则ABC 内切圆半径的最大值为___________．32．（2021·安徽池州期末（理））已知在锐角ABC且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________．33．（2021·江西新余期末（理））已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=，则A =_______． 34．（2021·平罗中学高三期末（文））设函数()cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,； ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数． 其中正确的结论序号是___________________．（写出所有正确结论的序号）．35．（2021·浙江宁波模拟）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2sin sin cos cos21B C A A +=，则2a bc的最小值为______．36．（2021·江苏扬州月考）几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为36的等腰三角形被称为“黄金三角形”．如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且BC AC =．记阴影部分的面积为1S ，正五边形的面积为2S ，则12S S =_______．37．（2021·广东中山期末）数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-，①4a =_________；②若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的通项公式，则此通项公式可以为n a =_________．（写出一个即可）38．（2021百校3月联考）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c =，6b =，D 是AC 边上近A 点的三等分点，且2ABD CBD ∠=∠，则CBD ∠=_____；BC =______．。

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1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[-- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A 3. 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒ （其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin()cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos 5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61 解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若 ()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)35()67()2()(πππf g x f x g =-⇒-=，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 ACx xx -4 335267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ= 8. 如果满足∠ABC =60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是 )8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析：（2007全国联赛）)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。

于是)(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f (x )在]45,41[上的最小值是55410. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值解析：2008江苏高考题，本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯=，根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==BAC C由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值11. 已知定义域为D 的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②()f x =2sin()4x π+；③()f x；④()f x =21xx x -+，其中是“倍约束函数的序号是 ①③④解析：①x x 22≤；②数形结合不可能存在k 使|||)4sin(2|x k x ≤+π恒成立；③)1(1122≥-≥⇒≤-x x x k x k x 成立；④11122+-≥⇒≤+-x x k x k x x x 12. 若[]0,απ∈,,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，λ∈R ，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为= 22解析：令x x x f sin )(3+=，则απαπαπαπαcos )2()2sin()2()2(33--=-+-=-fλ2=，λββββββ2)cos sin 4(22sin 8)2(33-=+=+=f ，故022=+-βπα13. 已知0>a ，设函数120092007()sin ([,])20091x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，那么=+N M ．4016解析：x x f x x sin 12009120092008)(++-+=，注意到1200912009+-x x 和x sin 都为奇函数，故对函数)(x f 考虑构造新函数x x g xx sin 1200912009)(++-=为奇函数，而)(2008)(x g x f +=，在区间],[a a -上由奇函数的对称性知0)()(=+-x g x g ，故401622008=⨯=+N M14. 函数x b x a x f cos sin )(-=图象的一条对称轴方程是4π=x ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角为 _______43π解析：22)4(b a f +±=π即0)(2222=+⇒+±=-b a b a b a 15. 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ．－1解析：()()ππ33f t f t +=-+知)(x f 一条对称轴是3π=x ，1)3sin(±=+ϕωπ，0)3cos(=+ϕωπ16. 设)2,0(π∈x ，则函数)cos 1)(cos sin 1(sin 2222xx x x ++最小值是__________425解析：令x b x a 22cos ,sin ==，则41,1≤=+ab b a ，原式ba ab ab ab +++=14252441=++≥ 17. 若对于)2,0(π∈x ，不等式9cos sin 122≥+xpx 恒成立，则正实 数p 的取值范围为__________[)4∞，+解析：9)1(cos sin sin cos )1()cos sin 1)(cos (sin 222222222≥+≥+++=++p xx p x x p x p x x x 18. 设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20110≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为 πππ220121)1(e e e --解析：]2011,0[,0sin 2)('∈=⇒==x k x x e x f xπ，但要使)(x f 取极大值，则2011,...,5,3,1=k ，故各极大值和为ππππππ22012201131)1(...e e e ee e --=+++19. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则=+222c b a _ 3 解析：12cos sin sin sin cos sin )sin cos sin cos (cos sin 22222=-+==⋅=+c b a c C ab c B A C C C B B A A C C 20. 设b a ,均为大于1的自然数，函数x b x g x b a x f cos )(),sin ()(+=+=，若存在实数m ，使得)()(m g m f =，则b a +的值为_________4解析：1)sin(1)1(0cos sin )()(22+≤++=-⇒=--+=-a x a a b x b x a ab x g x f ϕ因b a ,均为大于1的自然数，故)2(,21211221211)1(1222222≥-++=+-+=-++=-+≤a aa a a a a a a a ab 的最大值5，故2=b ，此时2=a21. 直线l 与函数]),0[(sin π∈=x x y 图象相切于点A ，且OP l //，O 为原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交点为B ，过切点A 作x AC ⊥轴，垂足为C ，则_____=⋅BC BA 442-π解析：设)sin ,(00x x A ，切线方程为)(cos sin 000x x x x y -=-，令0=y ，00tan x x x B -=，202)(tan x BC ==⋅，而π2cos 0==OP k x44)2()2(1cos sin )(tan 22220220-=-==∴πππx x x22. 设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c ＋c b的取值范围是 ]5,2[解析：因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ，．所以ABC S ∆＝212a ＝1sin 2bc A ，所以sin A ＝2a bc ．又因为cos A ＝2222b c a bc +-＝212b c a c b bc ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A 同时b c＋c b ≥2，所以b c ＋cb∈[2． 23. 已知点O 为ABC ∆24==,则=• 6 解析：61224cos 2cos 4)(=⋅-⋅=∠-∠=-=⋅RR R R BAO R CAO R AB AC AO BC AO 24. 在ABC ∆中， 223cos cos 222C A a c b +=，且ABC ∆的面积sin S a C =，则a c +的值是________4解析：sin S a C =得2=b ，223coscos 222C A a c b += b A c C a b A c C a 3)cos 1()cos 1(232cos 12cos 1=+++⇒=+⋅++⋅⇒ 4233)cos cos (==+⇒=++⇒=+++⇒b c a b b c a b A c C a c a25. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____4-<λ或122--=λ解析：令x t sin =则01)1(22=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ又)1(λλ-+=λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ26. 已知函数f (x )=2cos x x -，x ∈ππ[]22-，，则满足f (x 0)＞f (3π)的x 0的取值范围为__[,)23ππ--∪(,]32ππ解析：注意到)(x f 的奇偶性和单调性即可27. 平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，T ，则S 2＋T 2的最大值是 ．87解析：如图，设βα=∠=∠C A ,,由余弦定理知：1cos 3cos cos 2cos 222222-=⇒⋅-+==⋅-+αββαBC CD BC CD BD AB AD AB AD 332cos 0)1,1(<<⇒-∈α，又87)63(cos 23sin 41sin 4322222+--=+=+αβαT S ，当63cos =α时，最大值为87 28. 设点),(00y x P 是函数x ytan =与x y -=（0>x ）图象的一个交点，则=++)12)(cos 1(020x x __________2解析：)0(tan 000>=x x x ，法一：消0x ，2cos 2)1(tan 0202=⋅+x x ，法二：消0tan x ，用万能公式.ACDS T说明：若无00>x ，则可以用特殊值00=x 求解____]3,1[30. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解31. 在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π 解析：数形结合，先画22==b AC ，再以C 为圆心，2=a 为半径画圆，如图即可解得.法二：正弦定理b BbA a ≥=sin sin 32. 如图，动点M 在圆228x y +=上，(2,0)A 为一定点，则OMA ∠的最大值为 4π解析：本题等同于31题。

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