2020中考数学专题1—几何模型之双子型

【模型解析】

2020 中考专题 1——几何模型之双子型

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【例题分析】

例 1.如图 1，直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0),以线段OA 为边在第四象限内作等边△AOB,点C 为x 正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA 交y 轴于点E．

(1)△OBC 与△ABD 全等吗？判断并证明你的结论；

(2)着点C 位置的变化，点E 的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E 的坐标；若有变化，请说明理由．

图 1

例2.如图 2-1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°,cosC＝

5

,点

6D、

E

分别是边

BC、AC 的中点，连接DE，

AE

将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时,

仅就图 2-2 的情况给出证明．

图2-1 图2-2

的大小有无变化？请

BD

例3．如图3所示，在四边形A BCD 中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则B D 的长为．

图3图4

例4.如图4，在△ABC 中,∠ABC＝60°,AB＝2，BC＝8，以A C 为腰，点A为顶点作等腰△ACD, 且∠DAC＝120°,则BD 的长为.

【巩固练习】

1.如图1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O 为A C 中点，若点D在直线B C 上运动，连接O E，则在点D运动过程中，线段O E 的最小值是为（）

A.

1

2

B.

2

2

C.1

D. 2

图1图2

2.如图 2,△ABC 为等边三角形,AB＝2,点D 为BC 边上的动点,连接AD,以AD 为一边向右作等边△

ADE,连接C E. (1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为;

(2)在点D 的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD 的长,若不存在,请说明理由. (3)取AC 中点P,

连接PE,在点D 的运动过程中,求PE 的最小值.

3.在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图3-1，当点C1在线段C A的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图3-2，连接A A1,CC1．若△A1BA1的面积为4，求△CBC1的面积；

图3-1 图3-2

4.【提出问题】

（1）如图4-1，在等边△ABC中，点M是B C上的任意一点（不含端点B、C），连结A M，以A M

为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．

【类比探究】

（2）如图4-2，在等边△ABC中，点M是B C延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)

中结论BM＝CN 还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图4-3，在等腰△ABC 中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B、C），连结A M，以A M为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结C N．试探究B M与C N的数量关系，并说明理由．

图4-1 图4-2 图4-3

5.如图 5，正方形ABCD、BGFE 边长分别为 2、1，正方形BGFE 绕点B 旋转，直线AE、GC 相交于点H．（1）在正方形B GFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；

（2）连接DH、BH，在正方形BGFE 绕点B 旋转过程中，求DH 的最大值；

图5备用图

6.如图 6-1，已知点A(0,－3)和x 轴上的动点C(m,0),△AOB 和△BCD 都是等边三角形．

（1）在C 点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC 的长度，请将它找出来，并说明理由．

（2）如图 6-2，将△BCD 沿CD 翻折得△ECD,当点C 在x 轴上运动时，设点E(x,y),请你用m 来表示点E 的坐标并求出点E 运动时所在图象的解析式．

（3）在C 点运动的过程中，当m 时，直接写出△ABD 是等腰三角形时E 点的坐标．

图1图2

7.【问题探究】（1）如图 7-1，锐角△ABC 中分别以AB、AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD,使AE＝AB,AD ＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．

【深入探究】

（2）如图 7-2，四边形ABCD 中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD 的长．

（3）如图 7-3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．

图7-1 图7-2 图7-3

8.(1)如图 8-1，已知△ABC,以AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；

（2）如图 8-2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD 中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠

ACB＝∠ADB＝45°,求BD 的长；

（3）如图8-3，四边形A BCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝4

,B D＝5,AD＝12，求B D

3

的长．

图8-1 图8-2 图8-3