高等机构学 02 基于螺旋理论的自由度分析
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第05章 空间机构的自由度分析
于约束螺旋的自由度分析方法。众多的实例已经证明这种方法是有效的，也是目前最简单的。
4
5-2-2 公共约束和机构的阶 在应用修正的Kutzbach-Grübler公式时，一个很重要的因素就是如何确定机构的阶数d。机构的阶
数由公共约束数(common constraint) λ 来决定
d=6- λ
(5-5)
例5-2 计算图5-2所示的平面机构的自由度。
若选下面的三角形构件为机架，该机构有两个独立的环路，即 l=2，并且所有的运动副都为
单自由度的转动副；对于平面机构， d=3，由式 (5-5) 可得
g
M = ∑ fi − dl
i =1
= 7 −3× 2=1
Hunt并没有具体地讨论如何运用此式。人们在实践中发现对于一般形式的空间机构，d=6， 对于平面机构和球面机构，d=3。然而对于许多机构不论d取为3或6都不能得到正确的结果。通 常一个约束消去一个自由度，但是许多机构都存在这样的情况，那就是多个约束只消去一个自
由度。最简单的例子就是门扇上的两个合页（转动副）。从运动学上说，一个合页就决定了门
的转动运动，另一个合页则没有起到对运动的任何约束作用，这即是过约束。上述前3种自由度 的计算公式共同存在一个问题是没有考虑过约束的情况，后两种企图考虑过约束，但人们也不
3
··
知道如何考虑。本书将在下节应用螺旋理论来考虑过约束情况，介绍普遍适用的自由度计算的 方法。
(5-6)
i =1
这里 M 表示机构的自由度；d 表示机构的阶数， d = 6 − λ ；n 表示包括机架的构件数目；g 表
示运动副的数目；fi 表示第i个运动副的自由度；ν 表示多环并联机构在去除公共约束的因素后的
基于约束螺旋的自由度求解原理.
0 0 0 a4 / b4 0 0 0 a4 / b4
g
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 b2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 b4 0 0 1 0 0 0 0 1
m
rank (B) rank ({ S r S r S m 0, S m A})
基于约束螺旋的自由度求解
公共约束的分析流程：
将每个运动副具 有的自由度表达 为运动螺旋 Si 将运动螺旋整合 为螺旋系A 求A的反螺旋系B A的零空间
rank (B)
得到机构的公 共约束数
A [ S1; S2
构件数 第i个运动副引入的约束数
g
ui 6 fi
M 6(n g 1) f i
i 1
（ ui
第i个运动副引入的约束数）
对于平面机构，
M 3(n g 1) f i
i 1 g
机构自由度分析的一般公式
对于多环空间机构:
M f i 6l
i 1 g
0 1 0
S r 0 0 1 0 0 0
S4 0 1 0
公共约束：
0 1 0 0 1 a2 0 b4 b5 0 0 c5 a3
S r 0 0 1 0 0 0
S r 0 0 1 0 0 0
支链 2
冗余约束：
0 0
b1
t 3 3 1 0 0
自由度：
S 0 0 1 0 0 0
i 1 g
d 6
——多环并联结构在去除公共约束因素后的冗余约束； ——机构的局部自由度数。
第2章-机构结构理论
线的转动对此没有影响，所以连杆绕自身轴线的转动是一种局部自由度。CCSR 机构中也 有类似情况，即连杆存在能绕本身轴线转动的自由度，这也是一种局部自由度。
图 2-9 局部自由度示例 作为中间传动的同一构件上的 2 个运动副的移动自由度的轴线平行或共线，即 2 个圆 柱副 C 或 2 个移动副 P，或 1 个圆柱副 C 与 1 个移动副 P 的轴线平行。 具有局部自由度的机构可能会引起噪音和振动等不良现象。
j1
j1
p
5
f j ipi
j1
i1
空间机构的自由度计算可写成如下的通用表达式
(2-1) (2-2)
F
6n
6
p
5 i1
ipi
6(n
p)
5 i1
ipi
(2-3)
式中，n─活动构件数；p─运动副的总数；pi─第 i 类运动副的数目； fj—第 j 个运动副的自由度数。
2.2、空间机构的自由度计算
多闭环机构
p
L
F f j k fa (1 5 2 3) (3 6) 1 11 9 1 1
j1
k 1
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3.1、公共约束分析 2.3.2、并联机构的自由度分析 2.3.3、分析示例
2.3.1、公共约束分析
(2-6)
p
F fj j1
(2-7)
例2-3 选择两种具有转动输入和直线输出的单自由度空间机构(规定活动构件数 n=3)。
解 比较下列三种由不同运动副所组成的运动链，分别按式(2-8)计算，以检验是否能构
成所需输入和输出的单自由度机构。
（2）RRSC 运动链(图 2-3b)
图 2-9 局部自由度示例 作为中间传动的同一构件上的 2 个运动副的移动自由度的轴线平行或共线，即 2 个圆 柱副 C 或 2 个移动副 P，或 1 个圆柱副 C 与 1 个移动副 P 的轴线平行。 具有局部自由度的机构可能会引起噪音和振动等不良现象。
j1
j1
p
5
f j ipi
j1
i1
空间机构的自由度计算可写成如下的通用表达式
(2-1) (2-2)
F
6n
6
p
5 i1
ipi
6(n
p)
5 i1
ipi
(2-3)
式中，n─活动构件数；p─运动副的总数；pi─第 i 类运动副的数目； fj—第 j 个运动副的自由度数。
2.2、空间机构的自由度计算
多闭环机构
p
L
F f j k fa (1 5 2 3) (3 6) 1 11 9 1 1
j1
k 1
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3.1、公共约束分析 2.3.2、并联机构的自由度分析 2.3.3、分析示例
2.3.1、公共约束分析
(2-6)
p
F fj j1
(2-7)
例2-3 选择两种具有转动输入和直线输出的单自由度空间机构(规定活动构件数 n=3)。
解 比较下列三种由不同运动副所组成的运动链，分别按式(2-8)计算，以检验是否能构
成所需输入和输出的单自由度机构。
（2）RRSC 运动链(图 2-3b)
高等机构学 02
• 该机构是由上平台m、下平台B 和3 个SPR 型驱动分支组成。m 和B 均 为正三角形，3 个SPR 分支分别联 接m 和B 端点ai 和Ai (i=1，2，3)， 以B 的中心O为原点建立静坐标系OXYZ{B}，以m中心o为原点建立动坐 标系o-xyz{m}。各坐标轴满足以下几
何关系：X//A1A3， Y⊥A1A3， Z⊥B， x//a1a3，y⊥a1a3, z⊥m。
Pi TPi P
其中，T为上平台的方向余弦矩阵，P为上平台坐标系原点在固定 参考系中的坐标。二者均为已知量。
则6个驱动器杆长矢量Li可以表示为：
Li Pi Bi
3-RPS并联角台机构位置分析
机构由定平台O-A1A2A3，动平台Da1a2a3以及三个对称的RPS分支构成。
机构的所有边长都为M 。(初始位 形下li=M。)
《高等机构学》
基于螺旋理论的自由度分析原理 空间机构的位置分析 运动影响系数原理 基于约束螺旋理论的并联机构型综合 空间机构的奇异分析 机构学的其他问题
空间机构位置分析
➢ 位置正解
已知输入参数求输出参数，即已知驱动器位置求解 动平台的位姿。
➢ 位置反解
已知输出参数求输入参数，即已知动平台位姿求解 驱动器的位置。
➢ 位置解
机构动平台有3个转动自由度， 三个独立参数可以确定机构的位 姿。
在进行反解时，动平台的姿态 是已知的。可用一个姿态矩阵描 述为：
r11 r12 r13
R
r2 1
r2 2
r2
3
(1)
r31 r32 r33
3-CS并联角台机构位置分析
➢ 位置解
三个球面副在动坐标系中的坐标为：
6M3
注意：串联机构位置正解易于处理，逆解相对困难;并 联机构位置正解处理困难，逆解相对容易，但一些 少自由度并联机构的逆解处理也相对困难。
何关系：X//A1A3， Y⊥A1A3， Z⊥B， x//a1a3，y⊥a1a3, z⊥m。
Pi TPi P
其中，T为上平台的方向余弦矩阵，P为上平台坐标系原点在固定 参考系中的坐标。二者均为已知量。
则6个驱动器杆长矢量Li可以表示为：
Li Pi Bi
3-RPS并联角台机构位置分析
机构由定平台O-A1A2A3，动平台Da1a2a3以及三个对称的RPS分支构成。
机构的所有边长都为M 。(初始位 形下li=M。)
《高等机构学》
基于螺旋理论的自由度分析原理 空间机构的位置分析 运动影响系数原理 基于约束螺旋理论的并联机构型综合 空间机构的奇异分析 机构学的其他问题
空间机构位置分析
➢ 位置正解
已知输入参数求输出参数，即已知驱动器位置求解 动平台的位姿。
➢ 位置反解
已知输出参数求输入参数，即已知动平台位姿求解 驱动器的位置。
➢ 位置解
机构动平台有3个转动自由度， 三个独立参数可以确定机构的位 姿。
在进行反解时，动平台的姿态 是已知的。可用一个姿态矩阵描 述为：
r11 r12 r13
R
r2 1
r2 2
r2
3
(1)
r31 r32 r33
3-CS并联角台机构位置分析
➢ 位置解
三个球面副在动坐标系中的坐标为：
6M3
注意：串联机构位置正解易于处理，逆解相对困难;并 联机构位置正解处理困难，逆解相对容易，但一些 少自由度并联机构的逆解处理也相对困难。
高等机构学 05
(a) 姿态(900 450 0)
(b) 姿态 (900 450 300)
并联机构的奇异分析
对称5-RRR(RR)机构奇异分析
并联机构的奇异分析
分支运动奇异
支链的运动螺旋系:
P23 P45
图中Pij表示第i和j个副所确定的平面
并联机构的奇异分析
分支运动奇异
ˆ 的秩取决于其前 5 列。其前5列的行列式: $ limb
M d n g 1 fi v 2 4 4 1 4 2
i 1
g
约束螺旋系为： $1r 0 0 0; 1 0 0
r $2 0 0 0; 0 1 0
$3r 0 0 1; 0 0 0 $ 1 0 0; 0 0 0
奇异的分类
按机构的运动状态分类
（5） 连续几何奇异
在一定几何条件和位形下，锁住所有主动件，机构仍能连续 运动，称为连续几何奇异。
奇异的分类
按机构的运动状态分类
（6） 自由度瞬时变化奇异
奇异的分类
按机构的运动状态分类
（7） 自由度变化奇异
奇异的分类
按奇异形成的原因分类
（1） 运动学奇异
3-CUP机构为三自由度并联机构，具有一个沿Z轴的移动自 由度和另外两个转动自由度。
并联机构的奇异分析
两类奇异位置： 1.机构位姿按XYZ欧拉角转动时， （i）α=90；（ii） α=-90 此时|Jf|=0 其雅克比公式为
并联机构的奇异分析
在第一类奇异位型下，各分支的运动螺旋为：
并联机构的奇异分析
奇异的分类
奇异按线性丛分类
当机构的所有主动件被锁住下，输出件受到约束 力，当约束力发生线性相关时，这些约束力的作用线 都属于所谓的线性丛。
高等机构学 04
0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0; 0 1 0
基于约束螺旋理论的并联机构型综合
约束螺旋综合法的原理和步骤
——以3R2T对称五自由度并联机构的型综合为例
3.构造串联分支
由运动螺旋的不同线性组合或不同的排列来生成各种不同的串联分支。 在线性组合中必须保持所有运动螺旋的线性无关性。一般并联机构中不 含有螺旋副，为避免螺旋副的出现，$i1， $i2只能和$i3进行线性组合， 所得到转动副的一般形式为
空间汇交 力偶
空间的所有三个移动自由度
3R
3T
空间的所有三个转动自由度
基于约束螺旋理论的并联机构型综合
表2少自由度并联机构的分支约束螺旋系和机构约束螺旋系
基于约束螺旋理论的并联机构型综合
表2少自由度并联机构的分支约束螺旋系和机构约束螺旋系
基于约束螺旋理论的并联机构型综合
约束螺旋综合法的原理和步骤
本门课程的主要学习内容
基于螺旋理论的自由度分析原理 空间机构的位置分析 运动影响系数原理
基于约束螺旋理论的并联机构型综合
空间机构的奇异分析
机构学的其他问题
基于约束螺旋理论的并联机构型综合
机构型综合
即机构的构型设计，在给定机构期望自由度数和性 质的条件下 ,寻求机构的具体结构 ,包括运动副在空间 的布置和所有分支运动链的布置 ,运动副的数目 ,分支 的数目等。
对上式求反螺旋，可得机构约束螺旋系的标准基为
(12-13)
$r 0 0; 1 0 0 m1 0 $
r m2
0 0 0; 0 1 0
(12-14)
基于约束螺旋理论的 对称四自由度并联机构型综合
螺旋理论论文
基于螺旋理论对3SPS-RRS-PS并联机构的自由度分析陈志强(s130********)(燕山大学机械工程学院秦皇岛066004)摘要：3SPS-RRS-PS并联机构是由上下平台以及五个分支组成。
其中三个分支均由一个球副、一个移动副和一个球副组成，一个分支由两个转动副和一个球副组成，最后一个分支由一个移动副和一个球副组成。
下平台固定上平台可动。
采用螺旋理论对3SPS-RRS-PS并联机构进行了自由度分析。
关键词：3SPS-RRS-PS并联机构；螺旋理论；自由度分析DOF Analysis of 3-SPS-RRS-PS Parallel mechanism Based on ScrewTheoryChen Zhiqiang(College of Mechanical Engineering of Yanshan University 066004)Abstract：3SPS-RRS-PS parallel mechanism is composed of up and down the platform, and five branches. Three branches all by a ball, a movement, vice and a ball, a branch from the two vice and a ball rotation, finally a branch by a movement of vice and a ball. The movable platform on the fixed platform. Using screw theory for 3SPS-RRS-PS parallel mechanism are analyzed in degrees of freedom.Key words：3-SPS-RRS-PS Parallel mechanism; screw theory;DOF analysis0 前言并联机器人相比串联机器人具有许多优点，而相比六自由度并联机构少自由度并联机构具有驱动元件少，造价低，结构紧凑，容易控制等优势，在实际中有广泛的应用前景。
高等机构学-文档资料
平面五杆平行四边形机构自由度计算
AD分支的运动螺旋系：
$1 0 0 1; 0 0 0
$2 0 0 1; a2 b2 0 y
分支的约束螺旋系为：
x
$1r 0 0 0; 1 0 0
$2r 0 0 0; 0 1 0
$3r 0 0 1; 0 0 0
基于螺旋理论的自由度分析原理 ➢ 螺旋的基本概念 ➢ 螺旋表示运动和受力 ➢ 运动副的螺旋表示 ➢ 螺旋的相关性 ➢ 螺旋的相逆性 ➢ 基于螺旋理论的自由度计算
基本概念
直线的plücker坐标:
z
方向向量 S
位置向量 r
线矩S0= r×S
O
直线表示为(S; S0)，满足S·S0=0。
S
r
y
x
一般，对偶矢量中 S·S0≠0，(S; S0)表示一个一般的螺旋
$1 1 0 0; 0 0 0
$2 0 1 0; 0 0 0 $3 0 0 0; d3 0 f3
$4 0 1 0; d4 0 f4
$5 1 0 0; 0 e5 0
分支的约束螺旋系为：
$i5 $i 4
zi $i3 xi $i1
yi $i2
$ 1 r 000 ;001
为垂直于U副十字平面的约束力偶。
与已知螺旋系相逆的反螺旋
当螺旋系同时含有若干线矢量和偶量
1 与此螺旋系相逆的线矢量，必须与所有偶量相垂直且与所有线矢量相交
2
与此螺旋系相逆的偶量必须与螺旋系的所有线矢量垂直
基于螺旋理论的自由度分析原理 ➢ 螺旋的基本概念 ➢ 螺旋表示运动和受力 ➢ 运动副的螺旋表示 ➢ 螺旋的相关性 ➢ 螺旋的相逆性 ➢ 基于螺旋理论的自由度计算
$2 0;s2
高等机构学07动力学
q C p q,q
G p q
M p q
惯量矩阵（Inertia matrix），6×6 科氏力和向心力项（Coriolis，centripetal force），6×1 重力项（Gravity），6×1
空间机构动力学
动力学研究方向
2、多刚体动力学研究 负载质量小，支腿质量、惯量占有相当比重，需要考虑 支腿惯量影响。
单刚体动力学
平移运动的牛顿方程
牛顿方程：
i 1~ 6
l ni f ai mp g mp t
支腿推力 重力 惯性力 写成矩阵形式：
Ln f a mp g mp t
l n3 f a3 l n4 f a4 l n5 l n6 36 f a6 61
Ln l n1 l n2 f a f a1 f a2
惯量矩阵inertiamatrix66科氏力和向心力项corioliscentripetalforce61重力项gravity61动力学研究方向2多刚体动力学研究负载质量小支腿质量惯量占有相当比重需要考虑支腿惯量影响
YSU
《高等机构学》
燕山大学机械工程学院
本门课程的主要学习内容
螺旋理论基础
基于螺旋理论的自由度分析原理
其中 J rc,a I
rrc T ( I ln ln ) l
多刚体动力学
缸筒质心速度：
v tc ωa rtc l n
va ωa l n l
v tc J tc,a v a
J tc,a rtc T ( I ln ln ) l
缸筒质心加速度：
vtc J tc,a va J tc,a va
支腿角速度
第2章-机构结构理论
j 1
5
F f j p1 2 p2 1 6 2 1 8
j 1
7
图 2-2
RPRCRRR 机械手
图 2-1 RHPRR 机械手
2.2.2、单闭环机构的自由度计算
开式链中 pn=1，式(2-3)和(2-4)可以简化为
F ipi
i 1
5
(2-6) (2-7)
由于机构中存在一些特殊的几何约束条件，从而使运动副失去的某些自由度(亦即不起作 用的自由度)称为消极自由度。
F f j f0 (3 3) 3 2 1
j 1
p
图 2-10
消极自由度示例 1
F f j f0 7 4 2 1
j 1
解 比较下列三种由不同运动副所组成的运动链，分别按式(2-8)计算，以检验是否能构 成所需输入和输出的单自由度机构。
（2）RRSC 运动链(图 2-3b)
F ipi 6 p1 2 p2 3 p3 6
i 1 5
1 2 2 1 3 1 6 1
图 2-12 多闭环机构
F f j k fa (1 5 2 3) (3 6) 1 11 9 1 1
j 1 k 1
p
L
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3.1、公共约束分析 2.3.2、并联机构的自由度分析 2.3.3、分析示例
在组成运动副的构件上，对另一构件相对运动产生约束作用的几何形 体称为运动副元素。
运动副常用其元素的几何形状命名，如球副、圆柱副、平面副、螺旋 副等。运动副还可按其自由度数f＝1，…，5而分别称为I，…，V类 副。 组成运动副的两构件上其运动副元素的几何形状重合的称为低副。运 动副元素几何形状不重合时称为高副。由表2-1可看出，低副的自由 度数f只能为1、2或3。 用运动副相连接的构件系统称为运动链。若组成运动链的每个构件上 至少有两个运动副元素，则该运动链称为闭式运动链(简称闭式链)， 否则为开式运动链(简称开式链)。将一闭式运动链的某一构件固定， 就可以产生运动的转换，进而得到一机构。
5
F f j p1 2 p2 1 6 2 1 8
j 1
7
图 2-2
RPRCRRR 机械手
图 2-1 RHPRR 机械手
2.2.2、单闭环机构的自由度计算
开式链中 pn=1，式(2-3)和(2-4)可以简化为
F ipi
i 1
5
(2-6) (2-7)
由于机构中存在一些特殊的几何约束条件，从而使运动副失去的某些自由度(亦即不起作 用的自由度)称为消极自由度。
F f j f0 (3 3) 3 2 1
j 1
p
图 2-10
消极自由度示例 1
F f j f0 7 4 2 1
j 1
解 比较下列三种由不同运动副所组成的运动链，分别按式(2-8)计算，以检验是否能构 成所需输入和输出的单自由度机构。
（2）RRSC 运动链(图 2-3b)
F ipi 6 p1 2 p2 3 p3 6
i 1 5
1 2 2 1 3 1 6 1
图 2-12 多闭环机构
F f j k fa (1 5 2 3) (3 6) 1 11 9 1 1
j 1 k 1
p
L
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3、基于旋量理论的机构自由度分析
2.3.1、公共约束分析 2.3.2、并联机构的自由度分析 2.3.3、分析示例
在组成运动副的构件上，对另一构件相对运动产生约束作用的几何形 体称为运动副元素。
运动副常用其元素的几何形状命名，如球副、圆柱副、平面副、螺旋 副等。运动副还可按其自由度数f＝1，…，5而分别称为I，…，V类 副。 组成运动副的两构件上其运动副元素的几何形状重合的称为低副。运 动副元素几何形状不重合时称为高副。由表2-1可看出，低副的自由 度数f只能为1、2或3。 用运动副相连接的构件系统称为运动链。若组成运动链的每个构件上 至少有两个运动副元素，则该运动链称为闭式运动链(简称闭式链)， 否则为开式运动链(简称开式链)。将一闭式运动链的某一构件固定， 就可以产生运动的转换，进而得到一机构。
高等机构学04影响系数原理讲义
0 S3
S4 S4 (P R4 )
S5 S5 (P R5 )
S6
S6 (P R6 )
其中
S1 (0 0 1)
S2
(0
1
0)
R1 R2
A A
2
S3 (a - A) a - A
S4
S3
R3 R4 R5 R6 a
S5
S2
S6 (S5 S4 ) S5 S4
直接法
对于空间少自由度并联机构，分支往往不足6自由度 ，可以用虚设机构法进行分析。
串联机构的影响系数
串联机构的二阶影响系数
用构造法得到2R链的运动影响系数
由式（7）可得
G [S1 (P R1)]T [S2 (P R2 )]T
其中 S1 S2 (0 0 1) P R1 (l1 c1 l2 c12 l1 s1 l2 s12 0) P R2 (l2 c12 l2s12 0)
影响系数定义
对式（2）再次求导
u qT [H ]q+[G]q
(4)
2u
[H ]ij qiq j
(5)
式中这些二阶偏导数定义为二阶影响系数，H即为二 阶影响系数矩阵，表示加速度与输入之间的映射关系。
操作臂的影响系数矩阵
平面2R机构的输入输出分别为：
u [x y]T , q [1 2 ]T 运动方程：
YSU
《高等机构学》
陈子明
燕山大学机械工程学院 2015年11月
本门课程的主要学习内容
螺旋理论基础 基于螺旋理论的自由度分析原理 空间机构的位置分析 运动影响系数原理 空间机构动力学 基于约束螺旋理论的并联机构型综合 空间机构的奇异分析
影响系数定义
一阶影响系数矩阵 - Jacobian矩阵 [G] 二阶影响系数矩阵 - Hessian矩阵 [H] 能够应用于机构的速度分析，加速度分析，误差 分析，受力分析，以及对机构性能的一些分析等方面。
基于约束螺旋理论的机构自由度分析的普遍方法
t 和 Phillips
[21]
, ,
, Bagic , Freudenstein和Alizade , Hervé
中国科学 E 辑: 技术科学
2009 年 第 39 卷 第 1 期
Kutzbach 公式”的概念; 2003 年, 文献[33]定义了“并 联冗余约束”: 只有当 2 个以上的分支连接上下平台 时 , 才有可能产生这种 “ 并联冗余约束 ”, 对修正的 G-K公式做了进一步的补充和完善. 这些概念和公式 的提出 , 为 “ 基于约束螺旋理论求解自由度的基本原 理”的形成奠定了基础. 用修正的Grübler-Kutzbach 公式 已经成功解决了许多疑难机构的自由度 . 有代表性的 是 Bennett, Delta, CPM 式求解. 新世纪以来 , 许多新的自由度的方法还不断地 被提出 . 如 2003 年 Rico 等人 Gosselin Gogu
有效还要在实践中检验. “在现有的认知水平下 , 一种理论越能解释或预 测更多的事情, 它就越应该被认为是合理的”. 经过多年的努力 , 应用修正的 G-K 公式已经成 功地分析了 Gogu 提到的所有现代并列机构以及 Merlet 指出的 3 大著名反例的自由度, 从而有效地说明了该 方法正确、简单 , 更具有一般性. 并且在这个发展过 程中总结形成了一套分析机构自由度的系统方法 , 包括 1 个公式和 4 项关键技术. 事实证明这套方法是 目前相对有效的机构自由度分析的通用方法而且易 于掌握 . 本文系统介绍这个机构自由度通用原理和 方法.
$ D $ r = 0.
r
旋理论提出的 , 所以有必要对螺旋理论进行简要的 描述[41,42].
1.1
螺旋的基本概念及相关性
如图 1 所示, 空间一条直线可以由方向矢量 S 和
[21]
, ,
, Bagic , Freudenstein和Alizade , Hervé
中国科学 E 辑: 技术科学
2009 年 第 39 卷 第 1 期
Kutzbach 公式”的概念; 2003 年, 文献[33]定义了“并 联冗余约束”: 只有当 2 个以上的分支连接上下平台 时 , 才有可能产生这种 “ 并联冗余约束 ”, 对修正的 G-K公式做了进一步的补充和完善. 这些概念和公式 的提出 , 为 “ 基于约束螺旋理论求解自由度的基本原 理”的形成奠定了基础. 用修正的Grübler-Kutzbach 公式 已经成功解决了许多疑难机构的自由度 . 有代表性的 是 Bennett, Delta, CPM 式求解. 新世纪以来 , 许多新的自由度的方法还不断地 被提出 . 如 2003 年 Rico 等人 Gosselin Gogu
有效还要在实践中检验. “在现有的认知水平下 , 一种理论越能解释或预 测更多的事情, 它就越应该被认为是合理的”. 经过多年的努力 , 应用修正的 G-K 公式已经成 功地分析了 Gogu 提到的所有现代并列机构以及 Merlet 指出的 3 大著名反例的自由度, 从而有效地说明了该 方法正确、简单 , 更具有一般性. 并且在这个发展过 程中总结形成了一套分析机构自由度的系统方法 , 包括 1 个公式和 4 项关键技术. 事实证明这套方法是 目前相对有效的机构自由度分析的通用方法而且易 于掌握 . 本文系统介绍这个机构自由度通用原理和 方法.
$ D $ r = 0.
r
旋理论提出的 , 所以有必要对螺旋理论进行简要的 描述[41,42].
1.1
螺旋的基本概念及相关性
如图 1 所示, 空间一条直线可以由方向矢量 S 和
高等机构学 02 基于螺旋理论的自由度分析
M 6 n g 1 f i v
i 1
g
运动副的螺旋表达
运动副
转动副 (R) 移动副 (P) 螺旋副 (H) 圆柱副 (C) 万向铰 (U) 平面副 (E) 球面副 (S)
图示
活动度
1 1 1 2 2 3 3
螺旋表示
$R1 1 0 0; 0 0 0
$P1 0 0 0; 1 0 0
$3
e
f
$4
$r $2
0 1; e 0 0
$1
z O
约束螺旋系为：
y
$ 1 0 0; 0
f
e
x
3-RPS机构自由度计算
3个相同分支有3个类似的约束 力，都过各自分支球副中心并 与第一个转动副平行。
3个约束力线性无关，约束了平 台的3个自由度，被约束的运动 包括动平台内的两个移动和绕 动平台法线的转动。 按照修正的G-K公式计算：
三个约束力偶限制了三个转动 自由度，上平台只具有三个移 动自由度。 无伦平台如何移动，其分支中的两个U副平面始终平行。 机构的自由度性质不会改变
i 1
3-UPU机构自由度计算
总结：
用基于螺旋理论的自由度计算方法计算3-UPU并联 机构的自由度是最能体现这种方法优点的一个例子。
由于每个UPU分支中连接定、动平台的两个转动副 并不相邻，一般情况下两者之间并没有稳定的平行关系 。但当在机构装配时将其安装到平行位置时，由于机构 自由度的限制，其几何关系不会被破坏，这种几何关系 变成稳定的。
自由度公式
平面机构自由度公式
M 3N 2 p2 p1
空间机构自由度公式
M 6N 5 p5 4 p4 3 p3 2 p2 p1
螺旋理论在机构学中的应用
物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一个表示物体受到
的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积 为零，则表示力螺旋不能约束运动螺旋代表的瞬时运动。
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----旋量对偶原理
$ r $1 0 $ $2 0
UPU分支具有5个自由度， 对动平台施加一个约束
$ r ( sr ; sr 0 ) (lr mr nr ; or pr qr )
机械系统---机构学---自由度分析
螺旋理论基础----旋量对偶原理
$r $1 sr s10 s1 sr 0 (lr o1 mr p1 nr q1 ) (l1 or m1 pr n1 qr ) 0 $r $2 sr s20 s2 sr 0 (lr o2 mr p2 nr q2 ) (l2 or m2 pr n2 qr ) 0 $r $5 sr s50 s5 sr 0 (lr o5 mr p5 nr q5 ) (l5 or m5 pr n5 qr ) 0
球铰轴线在空间的描述
$1 1 0 0 ; 0 b1 c1
$ 2 0 1 0 ; a2 0 c2 $3 0 0 1 ; a3 b3 0
1 s1 0 0
x1 0 r1 y1 r s z1 z y 1 1
螺旋理论基础
UPU分支运动螺旋系：
$1 1 0 0 ; 0 0 0 转动副： s ; r s $ $2 0 1 0 ; 0 0 0 $3 0 0 0 ; 0 0 1 移动副： 0 ; s $
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则变为两转一移并联机构。
其他3-UPU机构自由度分析
当3-UPU 瞬时五自由度并联机构的自由度变化情况
Carricato机构自由度计算
有4个分支：
（1）3个相同的4自由度PRPR运动链；
（ 2）一个布置在机构中央的双 Candan 铰链的5副RUPUR 运动链；
（ 3 ）机器人手是直接联接在 RUPUR 分 支的末端；
三个约束力偶限制了三个转动 自由度，上平台只具有三个移 动自由度。 无伦平台如何移动，其分支中的两个U副平面始终平行。 机构的自由度性质不会改变
i 1
3-UPU机构自由度计算
总结：
用基于螺旋理论的自由度计算方法计算3-UPU并联 机构的自由度是最能体现这种方法优点的一个例子。
由于每个UPU分支中连接定、动平台的两个转动副 并不相邻，一般情况下两者之间并没有稳定的平行关系 。但当在机构装配时将其安装到平行位置时，由于机构 自由度的限制，其几何关系不会被破坏，这种几何关系 变成稳定的。
YSU
《高等机构学》
燕山大学机械工程学院
本门课程的主要学习内容
螺旋理论基础
基于螺旋理论的自由度分析原理
空间机构的位置分析
运动影响系数原理
空间机构动力学
基于约束螺旋理论的并联机构型综合 空间机构的奇异分析
机构的自由度
IFToMM 定义
确定机构或运动链位型所需的独立参数的数目 IFToMM定义中强调的是数目。但仅仅确定自由度数目 是远远不能全面描述此类新机构的特点的，尤其是对于 并联机构，研究其末端执行器的运动性质尤为重要。
修正的G-K公式
M d n g 1 f i v
i 1 g
d—— 机构的阶，平面机构的阶是3，空间机构的阶为6 n ——表示机构中包括机架总的活动构件的数目 g ——运动副的数目 fi ——第i个运动副的自由度数目 v——机构的过约束
所有的机构都可看作空间机构，有如下通用公式
Carricato机构自由度计算
PRPR分支的运动螺旋系：
1 $1 0 0 0; 1 0 0 1 $2 1 0 0; 0 e2 1 $3 0 0 0; 0 e3
f2 f3
1 $4 1 0 0; 0 0 0
分支约束螺旋系为：
r $12 0 0 0; 0 0 1 r $11 0 0 0; 0 1 0
3-RPS机构自由度计算
3-RPS机构自由度计算
分支的运动螺旋系：
$5
$1 1 $2 0 $3 1 $4 0 $ 0 5
r
0 0; 0 0 0 0 0; 0 e 0 0; 0 1 0; f f f e 0 0
0
M 6 n g 1 fi v 6 8 9 1 12 3 3
i 1
g
3-UPU机构自由度计算
UPU分支的运动螺旋系：
$1 1 0 0; 0 0 0 $2 0 1 0; 0 0 0 $3 0 0 0; d3 $4 0 1 0; d 4 $5 1 0 0; 0 e5
3-RRC机构自由度计算
根据机构三个分支的对称性，可知三个分支的约束螺旋 系均为分别沿 y 和 z 轴方向的两个约束力偶。
$ir1 0 0 0; 0 1 0 $ir2 0 0 0; 0 0 1
(i 1,2,3)
若考虑公共约束
可以看出三个分支有相同(竖直方向)的力偶分量，即机 构存在一个公共约束。共面不汇交的三个约束力偶中又 存在一个并联冗余约束。
分支约束螺旋系为：
0 0
f3 f4 0
$1r 0 0 0; 0 0 1
3-UPU机构自由度计算
三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的U副平 面，它们相互并不平行，彼此线性无关。 由修正的G-K公式计算可得
g
M d n g 1 fi v 6 8 9 1 15 3
i 1 g
3-RRC 并联机构
M d n g 1 fi
i 1 g
=6(8 9 1) 15 3
=6(10 12 1) 20 2
=6(8 9 1) 12 0
错误
错误
过约束（冗余约束）
由于没有考虑机构中可能存在的过约束（冗余约束）， G-K公式对于一些机构无法得到正确的结果 若某机械系统对同一构件提供了两个以上约束性质相同 的约束，就称构件受到了过度的约束，简称“过约束” 当约束以反螺旋表示时，数学上当“两个以上的约束反 螺旋”线性相关时，则存在过约束。 例如：门上的两个共线的合页
Carricato机构自由度计算
中间 RUPUR 分支的 5 个运动副所决定的 7 个螺旋是线性相关的，秩为 6 ，此分支 对动平台不产生任何约束作用。 作用在动平台上的 6 个约束力偶中只 有3个是独立的，有三个冗余约束。
M 6(n g 1) f i
i 1
g
其他3-UPU机构自由度分析
看一下 3-UPU 瞬时五自由度并联机构。
当3-UPU 瞬时五自由度并联机构发生竖直移动后，自由 度性质不变。
其他3-UPU机构自由度分析
当3-UPU 瞬时五自由度并联机构发生水平移动后
则变为三维移动并联机构。
其他3-UPU机构自由度分析
当3-UPU 瞬时五自由度并联机构发生转动后
i 1
g
在两个约束力偶的作用下，动平台失去了两个转动自由 度，其自由度性质为三移一转。
当动平台发生任意移动或绕定平台法线方向的转动后， 两个平台的平行关系不会改变，分支中的U副平面始终 垂直于定平台，分支约束力偶始终平行于定平台。其自 由度性质不会改变。
机构的阶和公共约束
机构的阶：
机构运动螺旋系的阶指的是机构所有构件允许的运动维数， 一般情况下平面机构的阶为3，空间机构的阶为6
$ H1 1 0 0; h1 0 0
$C1 1 0 0; 0 0 0
$C 2 0 0 0; 1 0 0
$U1 1 0 0; 0 0 0
$E1 0 0 0; 1 0 0
$U2 0 1 0; 0 0 0
$E2 0 0 0; 0 1 0
$E3 0 0 1; 0 0 0
机构的阶 = 6 - 公共约束数
机构的公共约束：
与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公 共约束（整个机构的运动螺旋系的反螺旋）。存在公共约束则 意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动。
并联机构的公共约束：
各分支都能提供同样的约束（约束力共轴，约束力偶同向）。
3-RRC机构自由度计算
i 1 g
d—— 机构的阶，平面机构的阶是3，空间机构的阶为6
n ——表示机构中包括机架总的活动构件的数目 g ——运动副的数目 fi ——第i个运动副的自由度数目
G-K公式
3-RPS 并联机构
M d n g 1 fi
i 1 g
4-URU 并联机构
M d n g 1 fi
这正是因为基于螺旋理论的自由度分析方法可以对 机构任何瞬时的关系进行分析，更容易挖掘出机构在各 种装配构型下的自由度性质。
其他3-UPU机构自由度分析
同样是3个UPU分支，当机构的分支与平台的布置关系发 生改变，则机构的自由度性质将会发生巨大变化。
3-UPU 三转动并联机构
3-UPU 瞬时三移两转五 自由度并联机构
$1r
r $3 r $2
4-URU机构自由度计算
URU分支的运动螺旋系：
$1 0 0 1 0 0 0 $2 1 0 0; 0 0 0 $3 1 0 0; 0 e3 $4 1 0 0; 0 e4 $5 0 0 1; d5 f3 f4
0 0
分支约束螺旋系为：
自由度公式
平面机构自由度公式
M 3N 2 p2 p1
空间机构自由度公式
M 6N 5 p5 4 p4 3 p3 2 p2 p1
M—— 机构的自由度 N ——表示机构中除去机架总的活动构件的数目 pi ——表示机构具有i 个约束的运动副的数目
G-K公式
M d n g 1 f i
$3
e
f
$4
$r $2
0 1; e 0 0
$1
z O
约束螺旋系为：
y
$ 1 0 0; 0
f
e
x
3-RPS机构自由度计算
3个相同分支有3个类似的约束 力，都过各自分支球副中心并 与第一个转动副平行。
3个约束力线性无关，约束了平 台的3个自由度，被约束的运动 包括动平台内的两个移动和绕 动平台法线的转动。 按照修正的G-K公式计算：
M 6 n g 1 f i v
i 1
g
运动副的螺旋表达
运动副
转动副 (R) 移动副 (P) 螺旋副 (H) 圆柱副 (C) 万向铰 (U) 平面副 (E) 球面副 (S)
图示
活动度
1 1 1 2 2 3 3
螺旋表示
$R1 1 0 0; 0 0 0
$P1 0 0 0; 1 0 0
机构的自由度
机构的自由度
机构或运动链在三维空间所具有的稳定的独立运动的能力
① 这个能力的大小以确定机构或运动链位型所需要的 独立参数的数目表示； ② 这个能力的性质以机构杆件所具有的移动自由度和 转动自由度来表示； ③ 这个自由度能力表现在时空上应该具有连续不变性 ，它应该是全周的。
机构的自由度
RRC分支的运动螺旋系：